Separata 06 Probabilidad 2

Separata de ayuda 06

Mg. Héctor Basilio Marcelo

ESTADÍSTICA Y PROBILIDADES

SEMANA 07 PROBABILIDAD 2

DOCENTE:

Mg. HÉCTOR BASILIO MARCELO

Estadística y Probabilidades

Separata de ayuda 06

Mg. Héctor Basilio Marcelo

Huancayo – 2016

PROBABILIDAD DE UN EVENTO Definición: Sea Ω un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. La probabilidad de cualquier evento A de Ω, es el número real P(A) que satisface los siguientes axiomas: Ax. 1)

P(A) ≥ 0, para todo evento A

Ax. 2)

P(Ω) = 1

Ax. 3)

Si: A y B son dos conjuntos muuamente excluyentes, entonces: P(AUB) = P(A) + P(B)

Teorema: SI: Ф es el evento imposible, entonces P(Ф) = 0 Demostración: 1. Ω y Ф; son disjuntos, mutuamente excluyentes. 2. Ω = (Ω U Ф) 3. P(Ω) = P(Ω) + P(Ф) Ax3 4. P(Ф) = 0 Teorema: Si: AC es el evento complementario del evento A, entonces: P(A) = 1 – P(AC) ᴠ P(AC) = 1 – P(A) Demostración: 1. A y AC son disjuntos: 2. Ω = (A U AC) 3. P(Ω) = P(A) + P(AC) Ax3 4. 1 = P(A) + P(AC)

Ax1

5. P(A) = 1 – P(A ) ᴠ P(A ) = 1 – P(A) C

C

Teorema: SI: A y B son eventos tales que A  B, entonces, P(A) ≤ P(B)

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Demostración: 1. A  B; Premisa 2. A U (B – A) = B 3. A ᴧ (B – A) son disjuntos 4. P(A) + P(B – A) = P(B)

Ax3

5. P(B) – P(A) = P(B – A) 6. P(B – A) ≥ 0;

Ax1; para todo evento

7. P(B) – P(A) ≥ 0 8. P(A) ≤ P(B) NOTA: Utilizando el Ax3, por inducción se verifica que: Si: A1, A2, A3, …, An son n eventos mutuamente excluyentes dos a dos, entonces:

 n

n   A  U i  P Ai  i=1  i=1 

 

P

En la teoría probabilidad avanzada, en lugar del Ax3 o su generalización, la nota anterior, se utiliza el axioma siguiente:

Ax4

Si: A1, A2, A3, … A  es una sucesión infinita de eventos que se excluyen mutuamente dos a

dos, entonces:

 

   A  U i  P Ai i=1  i=1 

P(A  A  ...)  P  1 2 

 

Teorema: Teorema de la probabilidad de una evento cuyos sucesos elementales son equiprobables: SI: Ω contiene “n” sucesos elementales equiprobables y “k” de éstos pertenecen al evento

A 

P(A)=

K n

Demostración: 1. Sea: Ω = {W1, W2, W3, … Wn} un espacio muestral finito de n elementos

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 n

n   W  U i  P Wi  i=1  i=1 

 

2. P(Ω) = P  3. P(Ω) = 1

Ax4 Ax2

n

 P  Wi   1

4.

i=1

5. Wi son igualmente posibles (o equiprobables) entonces: P(Wi) = p

n

 p 1

6.

i=1

7. np = 1 entonces p = 1/n 8. Sea A un evento del espacio equiprobable Ω que consiste de k(0 ≤ k ≤ n); k puntos muestrales

1 1 1 k n(A) P(A)= + +...+ =  n 44n2 4 43n n n(Ω) 1 k veces

9.

P (A)=

n(A) Casos favorables de A  n(Ω) Casos Posibles

Ejemplo: 

Se lanza una dado y se observa el resultado; Calcula la probabilidad de obtener: a) 3 puntos b) Al menos 3 puntos



Un dado se carga de tal manera que un número par tiene el doble de posibilidad de salir que un número impar. Calcula la probabilidad de obtener al menos un 3 al lanzar el dado.

Práctica: 1. Si la probabilidad de que ocurra un evento A es ½ y que ocurra un evento B es ¾, determine los posibles valores de p = P(AB)

2. La probabilidad de que Juan asista a una cita es ½ y de María asista a la misma cita es 5/14. Si la probabilidad de que al menos uno de los dos asista a la cita es 5/7, calcula la probabilidad de que: a) Ninguno de los dos asista b) Solo uno de ellos asista a la cita

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3. Tres cazadores A, B y C están apuntando con sus rifles a un León. La probabilidad de que acierte A el disparo es 4/5, la de B es 3/7 y la de C es 2/3. Si los tres disparan, calcule la probabilidad de que: * Los tres acierten * Acierte A y B y que C falle * ninguno acierte

4. Sabemos que entre seis pernos, dos son más cortos que los demás. Si se escogen dos pernos al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que los dos más cortos sean los escogidos?

5. Adolfito le pregunta a su papá Adolfo: ¿cuántos años tienes?; y él para confundirlo le responde: “tengo tantos años como el total de maneras en que se puede expresar el número 9 como la adición indicada de tres números naturales, incluido el cero y no necesariamente diferentes”. ¿Cuántos años tiene Adolfo?.

6.

En la Clínica Anglo-Americana, Unidad de Oncología, se examinaron 60 pacientes, de los cuales, se encontró que 36 tenían cáncer benigno y el resto cáncer maligno. La quinta parte de los pacientes con cancer benigno y la séptima parte de los que tienen cáncer maligno son solteros. Si se selecciona un paciente a] azar y se observa que es de estado civil soltero : (Probabilidad condicional) a) ¿Cuál es la probabilidad de que el paciente tenga cáncer benigno? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el paciente tenga cáncer maligno?

7. Una urna contiene 5 fichas similares de los cuales 3 son de color rojo y 2 de color azul. Si de esa urna se extraen al azar 3 fichas a la vez, entonces calcular: a)

El espacio muestral

b)

La probabilidad de que sólo una de ellas sea de color rojo

8. Dos alumnos se distribuyen al azar en 3 computadoras numeradas con 1, 2 y 3 respectivamente, pudiendo estar ambos en una misma computadora, pero ninguno en dos computadoras a la vez: c)

Determine los elementos del espacio muestral

d)

Calcular la probabilidad de que la computadora 2 no se ocupe

9. Un dado se lanza 2 veces consecutivas. Calcular la probabilidad de obtener: a) 7 puntos b) 6 puntos sólo en la segunda tirada c) 7 puntos o 6 puntos sólo en la segunda tirada

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d) 7 puntos y 6 puntos sólo en la segunda tirada

10. Un lote contiene “n” objetos. La probabilidad de que al menos uno sea defectuoso es 0,06 la probabilidad de que al menos dos sean defectuosos es 0,04. Calcular la probabilidad de que: a) Todos los objetos sean no defectuosos b) Exactamente un objeto defectuoso

11. Un monedero contiene 4 veces mas monedas de medio sol que de 20 céntimos, y tres veces mas monedas de un sol que de medio sol. Si se elige una moneda al azar. Calcular la probabilidad de que su valor sea al menos de medio sol.

12. Doscientas personas están distribuidas de acuerdo a su sexo y lugar de procedencia de la siguiente manera: 130 son hombres. 110 son de la capital y 30 son mujeres y de provincia. Si se elige dos personas al azar Calcular la probabilidad a) Ambos sean hombres y de provincias. b) Al menos uno de los dos sea mujer.

13. De 200 personas, el 40% fuma, 164 saben manejar y sólo el 5% no fuma y no sabe manejar. Si se elige una persona al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que fume y maneje? b) ¿y de que fume pero no maneje?

14. En cierta planta de montaje, tres máquinas, M1, M2 y M3, montan 30%, 45% y 25% de los productos, respectivamente. Se sabe de la experiencia pasada que 2%, 3% y 2% de los productos ensamblados por cada máquina respectivamente tiene defectos. Ahora, supongamos que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado, ¿cuál es la probabilidad de que este producto esté defectuoso?

15. Si: A y B son sucesos para los cuales P( A)  x ; P( B)  y

;

P( A  B)  z

Calcular cada una de las probabilidades siguientes en términos de x, y, z a) P( AC  B C ) c) P ( AC  B ) b) P ( AC  B )

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d) P( AC  B C )

16. Sean A y B dos características genéticas. La probabilidad de que un individuo presente la característica A es 0.50, de que presente la característica B es 0.35 y de que presente ambas características es 0.05. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo: a) presente una única característica? b) presente por lo menos una de ellas? c) presente ninguna de ellas? d)) presente la característica B si ha presentado la característica A? e) presente la característica B si ha presentado al menos una de las dos? f) presente la característica A si no ha presentado la característica B?

17. Un lote consiste de 15 objetos idénticos, 7 de las cuales se califican como E (éxito) y el resto se califican como F (fracaso). Si se escogen 5 objetos al azar, calcule la probabilidad d que tres sean E y dos sean F, si se escogen: a) Uno por uno sin reposición b) Uno por uno con reposición c) Los cinco a la vez

18. Un lote de 40 artículos de un mismo tipo de los cuales 4 son defectuosos y 36 son no defectuosos. Si se divide al azar el lote en 4 sub lotes de 10 artículos cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de que en cada sub lote haya un artículo defectuoso?

19. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

20. Cien personas fueron encuestadas acerca de sus preferencias sobre tres productos A, B y C. Se encontró que 50 prefieren A, 37 el B, y 30 el C. Además 12 prefieren A y B, 8 solo A y C, 5 solo B y C, 15 solo C. De 5 personas encuestadas eligidas al azar. Calcular la probabilidad de que 2 de ellas prefieren B y C, 2 solo A y B, y una prefiera los tres productos.,

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