SEP por unidad
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SEP por unidad...
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Aspecto Asp ectoss b´ asic os asicos C´ alculo en por unidad alculo Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformado alculo t ransformadores res Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
C´ alculo alcul o en Por Un Unida idad d Dr. Humberto Verdejo
October 7, 2013
Aspecto Asp ectoss b´ asic os asicos C´ alculo en por unidad alculo Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformado alculo t ransformadores res Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
1
Asp As pec ecto toss b´asic as icos os Estructura de un Sistema El´ectrico ectrico de Potencia (SEP) Representaci´ on on de un SEP Diagrama unilineal Red equivalente
C´alculo alc ulo en p or uni unidad dad 3 Cambio de Impedancia Base alculo en por unidad en redes con transformadores alculo 4 C´ Circuito Circuito equivalente equivalente de por unidad de un transforma transformador dor monof´ monof´asico asico de 2 enrollados Transformador real con la rama de excitaci´on on despreciada 2
Forma alternativa
5 Circuito
Equivalente en por unidad del transformador 3φ 3φ de dos enrolla-
dos Obtenci´on on del circuito equivalente en cantidades normales Circuito Equivalente en por unidad Ejemplos de desfase en los transformadores
Traspaso de corrientes y voltajes al lado primario del transformador ideal Ejemplo Ejempl o c´alculo alcul o en por unidad unida d Otro ejemplo
Aspecto Asp ectoss b´ asic os asicos C´ alculo en por unidad alculo Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformado alculo t ransformadores res Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Es un sistema que comprende generaci´ on, on, transmisi´ on on y distribuci´on o n de la energ´ energ´ıa el´ectrica. ectrica. Est´a constituido por diversos elementos, siendo los principales principa les componente comp onentes: s: generadores, genera dores, transformadores, trans formadores, l´ıneas el´ectricas ectric as y consumos. De lo anterior se infiere que el objetivo principal es generar, transmitir y distribuir distr ibuir energ´ energ´ıa el´ectrica ectri ca hasta los consumidores consum idores finales, finale s, cumpliendo cumpl iendo con aspectos de calidad cali dad de la energ´ energ´ıa, seguridad de suministro sumi nistro y continuidad del mismo. Estos objetivos objetivos se cumplen con la consecuencia consecuencia de otros elementos, elementos, tales como: elementos de protecci´on, on, aislaci´ on on y operaci´on. on. 1
Calidad de la Energ´ Energ´ıa: cumplir con una banda de variaci´ variaci´ on m´axima permitida en el voltaje, esto es la banda de regulaci´on on de voltaje o tensi´ on on ( ∆V (p .u ), ), aplicado al voltaje nominal).
±
2
Seguridad de Suministro: Sumi nistro: sea realizado con est´ es t´ andares andares de seguridad para las personas (para evitar accidentes) y para los equipos (evitar fallas).
3
Continuidad de Suministro: no existan interrupciones.
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Otro aspecto a tener presente dice relaci´o n con la imposibilidad de almacenar energ´ıa el´ ectrica en grandes cantidades, por lo cual esto debe producirse en la medida que ella es requerida. Para cumplir con este aspecto el control del SEP se realiza en tiempo real y est´a a cargo de los centros de despacho econ´omico de carga (CDEC). Ahora es posible establecer el concepto de sistema interconectado. Corresponde a un SEP de una regi´on espec´ıfica, donde se encuentran conectados todos los generadores mediante transformadores y l´ıneas de transmisi´ on para suministrar potencia y energ´ıa a los diversos consumos que son abastecidos. Representaci´ on gr´afica del SEP con s´ımbolos espec´ıficos que muestra la estructura, interconexi´ on de los diversos elementos y par´ ametros nominales.
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Figure:
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Los valores de voltaje y potencia son trif´asicos a menos que se indique que son 1φ y los par´ametros R , X L , X C , se expresan por fase cuando est´ an en Ω ´o S , seg´ un corresponda. Para la red operando en r´egimen permanente equilibrado, la red equivalente corresponde al circuito equivalente por fase, donde todas las cantidades son monof´asicas, cuando se expresa en cantidades nominales o propias. Seg´un el ejemplo anterior, se tendr´a:
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Figure:
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Para estudiar el comportamiento del SEP, se debe tener en cuenta las condiciones de operaci´ on en la barra de carga, en este caso la barra (3); ˙ 3 (kV 1φ ) para S ˙ 1φ , con ello de calcula I ˙3 y aplicando as´ı se especifica V carga an´ alisis de circuitos se calcula el resto de las variables de inter´es, por ˙ 1 , I ˙1 , S ˙ G . ejemplo, V Para este modelo se tiene la dificultad de tener que traspasar las cantidades el´ectricas de un lado al otro de los transformadores. Esto se evita trabajando con la red equivalente en por unidad (p.u.), o en tanto por uno (0/1). De esta forma la red queda expresada como se muestra a continuaci´on:
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Figure:
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Las cantidades en por unidad, se obtienen a partir de definir para el SEP, las llamadas cantidades bases, las cuales se expresan en cada zona del SEP a cada lado del transformador. Cantidad normal Cantidad en por unidad = Cantidad base La cantidad base debe tener la misma unidad que la cantidad normal y debe ser siempre un n´umero real. 1
Cantidades monof´asicas on base fase-neutro, en [kV ]BN . V BN : tensi´ S B 1φ : potencia base ”por fase”, en [kVA]1φ , [MVA]1φ .
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Adicionalmente, se establece que: S B 1φ = V BN I B
B =
· ⇒ I
S B 1φ V BN
(1)
2 V BN V BN = Z B = I B S B
(2)
[kVA]B 1φ (MVA)B 1φ 103 = [ A] I B = [kV ]BN (kV )BN
·
(kV )BN 103 (kV )2BN 103 = [Ω] Z B = (kVA)B 1φ (kVA)B 1φ (kV )BN
·
2
Cantidades trif´asicas
·
(3)
(4)
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V BL : tensi´ on base entre l´ıneas, en [kV ]BL . asica, en [kVA]3φ , [MVA]3φ . S B 3φ : potencia base trif´
Adem´as, se establece por definici´ on
S B 3φ =
√
3V BL I B
⇒ I
B
=
S B 3φ
√ 3V
(5)
BL
por otro lado, V BL =
√
3V BN
V BN V BL = Z B = I B 3I B
√
La impedancia es por fase, no existe impedancia trif´ asica.
(6)
(7)
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(kVA)B 3φ (MVA)B 3φ 103 = [ A] I B = 3(kV )BL 3(kV )BL
(8)
(kV )2BL (kV )2BL = [Ω] Z B = (kVA)B 3φ (MVA)B 3φ
(9)
√
√
·
Las cantidades en por unidad, satisfacen la ley de Ohm y la ecuaci´o n de potencia compleja. Se cumple: ˙ = Z ˙ I ˙ V
·
(10)
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˙ V V ˙B
=
˙ I ˙ Z V B
·
(11) ˙ I ˙ Z V B S B V B S B
=
(12)
· · ˙ · I ˙ Z V 2 S · V S
(13)
˙ Z I ˙ Z B I B
(14)
˙ (pu ) I ˙ (pu ) = Z
(15)
V B
=
=
B
B
B
B
·
·
Por otro lado,
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˙ (pu ) = Z =
˙ Z R + jX R X = = + j Z B Z B Z B Z B R (pu ) + jX (pu )
(16) (17)
Z B es un escalar, al igual que todas las cantidades bases. Z B es un escalar para no variar el argumento de la impedancia.
Sea ˙ = V ˙ I ˙ S
·
∗
(18)
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˙ S S B
=
V˙ I S B
=
˙ I V V B I B
=
˙ (pu ) I (pu ) V
∗
· ·
(19) ∗
·
(20) (21)
∗
Adem´as: ˙ = P + jQ / : S B S
˙ S P Q = + j S B S B S B
(22)
(23)
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˙ (pu ) = P (pu ) + jQ (pu ) S
(24)
Sea Z referida a su potencia nominal, es decir, se considera que est´ a en base propia.
˙ a (pu ) = Z
˙ n (pu ) = Z
˙ Z
(25)
Z Bantigua
˙ Z
(26)
Z Bnueva
˙ = Z ˙ a (pu ) Z Ba = Z ˙ n Z Bn Z
·
·
(27)
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Z Ba Ba ˙ ˙ Z n (pu ) = Z a (pu )
(28)
· Z
Bn Bn
V B 2 adem´ ade m´as as se sabe sab e que: que : Z B B = S B B
˙ n (pu ) Z
=
˙ a (pu ) Z
˙ a (pu ) = Z
·
2 V Ba S Ba Ba 2 V Bn S Bn Bn
(29) 2
· · V Ba Ba V Bn Bn
Consideremos un transformador ideal.
S Bn Bn S Ba Ba
(30)
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I ˙p p
I ˙s s aT : 1
˙ p V p
˙ s s V
S BP BP ; V BP BP
Figure:
Se cumple que: np = aT ; ns
˙ p V p ˙ s s V
= aT
I ˙p
⇒ V ˙
p p
∗
˙ p ˙ ˙ s I ˙ V p I p = V s s
·
∗
S BS BS ; V BS BS
· ⇒ I ˙ ∗
∗
s
=
˙ s s = aT V
˙ s s V ˙ p V p
·
=
1 aT
(31)
(32)
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Para Para el transformador monof´asico, asico, como no existe desfase producto de la conexi´ on, on, se tiene que: 1 aT
˙ | | I ˙ | | V = = ˙ |I | |V ˙ | ∗
p
s s
∗
(33)
p p
s
Si se divide por las cantidas bases, considerando que deben cumplir con la raz´ on on de transformaci´on: on: V BP BP = aT V BS BS
(34)
˙ p ˙ s s V V p ˙ p ˙ s (p .u ) = a T = V p (p .u ) = V s V BP V BP BP BP
(35)
se ten te ndr´a:
·
El circu circuit ito o equiv equivale alent ntee en por por unid unidad ad de un tran transfo sforma rmado dorr ideal ideal,, es de acuerdo a la figura:
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
I ˙p (p .u )
I ˙s (p .u )
˙ p (p .u ) V
˙ s (p .u ) V
Figure:
Recordar que: V BP = aT V BS ,
·
S BP = S BS = S Base
(36)
Del mismo modo se puede demostrar que: I ˙p (p .u ) = I ˙s (p .u )
(37)
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Transformador real con la rama de excitaci´ on despreciada: I ˙p (A)
R p + jX p (Ω)
˙ p (V ) V
I ˙s (A)
jX s + R s (Ω)
˙ p (V ) E
˙ s (V ) E
˙ s (V ) V
Figure:
S B , I BP = V BP 2 V BP , Z BP = S B
S B I BS = V BS 2 V BS Z BS = S B
Todas las cantidades son monof´asicas Se debe cumplir que:
(38)
(39)
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V BP = a T , V BS
˙ p V
=
˙ P E
= = =
˙ S E I ˙S
I BS = aT I BP
˙ P (R P + jX P ) I ˙P + E ˙ S aT E ˙ S (R S + jX S ) I ˙S + V aT I ˙P
· ·
(40)
·
·
(41)
Reemplazando ecuaciones: ˙ P V
˙ S ] = (R P + jX P ) I ˙P + aT [(R S + jX S ) I ˙S + V ˙ S ] (R P + jX P ) I ˙P aT [(R S + jX S ) I ˙S + V ˙ + V P (p .u ) = V BP = Z BP I BP V BP = a T V BS = aT I BS Z BS (42)
·
· ·
·
·
·
·
·
· ·
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Esta ecuaci´ on se puede escribir de la forma:
˙ P (p .u ) V
= +
= + pero, I ˙P (p .u ) = = ˙ T (p .u ) = donde, Z
(R P + jX P ) Z BP
·
I ˙P I BP
aT (R S + jX S ) aT Z BS
·
(43) ˙ S I ˙S aT V + I BS aT V BS
· ·
· + jX )(p .u ) · I ˙ (p .u ) ˙ (p .u ) + jX )(p .u ) · I ˙ (p .u ) + V ·
(R P (44) P P (R S S S S I ˙S (p .u ) ˙ P (p .u ) I ˙P (p .u ) + Z ˙ S (p .u ) I ˙P (p .u ) + V ˙ S (p .u ) Z (R P + jX P )(p .u ) + (R S + jX S )(p .u ) (45)
·
·
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I ˙p (p .u )
R p + jX p
R s + jX s
˙ p (p .u ) V
I ˙s (p .u )
˙ s (p .u ) V
Forma Alternativa: Si el circuito equivalente est´a referido al primario:
I ˙p (A)
˙ p (V ) V
˙ p (Ω) Z
˙ s (Ω) · a 2 Z T
˙ s (V ) · aT = E ˙ p V
Figure:
I ˙s (A)
˙ s (V ) V
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˙ P (V ) V
=
˙ P (Ω) + a2 Z ˙ S (Ω)) I ˙P (A) (Z T
+
˙ S (V ), aT V
˙ P (p .u ) = V +
·
donde,
multiplicando por,
1 V BP
·
· ˙ (Ω) · I ˙ (A) a2 · Z V = Z · I = a2 · Z · I ˙ (V ) a · V V = a · V ˙ (p .u ) · I ˙ (p .u ) + Z ˙ (p .u ) · I ˙ (p .u ) + V ˙ (p .u ) Z T
BP
= ˙ T (p .u ) = Z
·
˙ P (Ω) I ˙P (A) Z V BP = Z BP I BP BP
+
·
P
T
S
P
BP
BP
T
BS
BP
S
T
BS
P
S
P
(R P + jX P )(p .u ) + (R S + jX S )(p .u )
S
(46)
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
I ˙p (p .u )
˙ p (p .u ) Z
˙ s (p .u ) Z
˙ p (p .u ) V
I ˙p (p .u )
I ˙s (p .u )
˙ s (p .u ) V
˙ T (p .u ) Z
˙ p (p .u ) V
I ˙s (p .u )
˙ s (p .u ) V
Figure:
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Dado que: ˙ CC (Ω) = Z ˙ eq (Ω) + Z ˙ eq (Ω) a2 Z T TP P S
·
(47)
Ecuaci´on (47) se obtiene a partir de la prueba de cortocircuito realizado por el lado primario ˙ CC (Ω) = Z ˙ eq (Ω) + Z ˙ eq (Ω) Z TS S P
· a12
(48)
T
Ecuaci´on (48) se obtiene a partir de la prueba de cortocircuito realizado por el lado secundario. Se demuestra que: ˙ eq (Ω) = a2 Z ˙ eq (Ω) Z T TP TS
·
Se obtiene que:
(49)
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2 ˙ eq (Ω) ˙ T (Ω) a Z Z TS T P ˙ T (p .u ) = = Z P 2 Z Z BP aT BS
(50)
˙ T (p .u ) = Z ˙ T (p .u ) Z P S
(51)
·
·
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados I ˙p (A)
I ˙s (A) aT : 1
˙ p (V ) V
˙ s (V ) V I ˙p (A)
I ˙p (A)
I ˙s (A)
˙ p (V ) V
˙ s (V ) V
˙ p (p .u ) V
Figure:
I ˙s (A)
˙ s (p .u ) V
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En un SEP radial, para cada lado de cada transformador, se define una zona en la cual se especifica las cantidades bases y ´estas deben cumplir con la raz´ on de transformaci´ on que define las zonas: T 1
˙ G V
T 2
V PT /V S T 1
1
Z L (Ω)
Figure:
V PT /V ST 2
2
S D
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Se cumple que: V BG V BL V BL V BD
= =
V PT 1 V ST 1 V PT 2 V ST 2
= aT 1 = aT 2
(52)
En un SEP enmallado a cada lado de un transformador se define una zona, en la cual los voltajes bases cumplan con la raz´on de transformaci´ on del respectivo transformador. Adicionalmente en un SEP, de esta naturaleza, se debe cumplir que el producto de las razones de transformaci´on en cada lazo o malla debe ser de valor 1.
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
(1)
(2)
(3)
aT 1 : 1
(4)
aT 2 : 1
Lazo
1 : aT 3 (5)
Figure:
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
En el lazo o malla, debe cumplirse que: 1
· · a
aT 1 aT 2
=1
(53)
T 3
Si: aT 1
V 1 = , V 2
aT 1 =
V B 1 , V B 2
aT 2
V 3 = , V 4
aT 3
V 1 = V 6
Voltajes por zona: aT 2 =
V B 2 , V B 3
aT 3 =
V B 1 V B 3
Luego:
aT 1
· a · a1 T 2
T 3
=
V B 1 V B 2
· V V 23 · V 1 1 B B
B
V B 3
=1
(54)
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Si no se cumple esta condici´on, el c´alculo en por unidad no se puede aplicar correctamente. Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados (I ˙p )a,b ,c
(I ˙s )a,b ,c
˙ p )a,b ,c (V
˙ s )a,b ,c (V
Figure:
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Tipo de conexiones: Y /∆, Y /Y , ∆/∆, Y /Z , ∆/Z , Z /Z . Se definen las conexiones como tipo par e impar. Y /Y , ∆/∆, ∆/Z , Z /Z Y /∆, Y /Z
La definici´ on de par o impar, se basa en el desfase entre los voltajes primarios y secundarios, el que corresponde a un m´ultiplo de 30o . M´ ultiplo par de 30o (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12=0) M´ ultiplo impar de 30o (1, 3, 5, 7, 9, 11) No todas las conexiones indicadas por el m´u ltiplo de 30o son factibles t´ecnicamente. Las que se utilizan usualmente son:
⇒ 0o y 180o Impar =1 y 11 ⇒ 30o y 330o =-30o Par= 0 y 6
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En situaciones espec´ıficas se dan las conexiones 5 y 7 150o y 210o =150o , b´asicamente para transformadores especiales en sistemas electr´ onicos de potencia. Para expresar la conexi´ on de un transformador 3φ se utiliza la siguiente normativa:
⇒
1
Identificar el lado de mayor tensi´ on con letra may´uscula Y , ∆, Z
2
Identificar el lado de menor tensi´on con letra min´uscula y , d , z
3
El ´angulo de desfase del voltaje del lado de menor tensi´ on, respecto del lado de mayor tensi´on, se indica con un n´umero (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12=0) que indica el m´ultiplo de 30o , junto a la letra de menor tensi´on.
Obtenci´ on del circuito equivalente en cantidades normales Se aplican las pruebas: 1
Cortocircuito: para determinar la impedancia de cortocircuito del transformador que se expresa en Ω de lado en el cual se aplica la prueba.
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2
En Vac´ıo: para determinar la raz´ on de transformaci´ o n y la rama de excitaci´on, cuyo valor en siemens se expresa del lado donde se aplic´o la prueba.
Para estudios del SEP, normalmente se desprecia la rama de excitaci´on o rama shunt, por lo que b´ asicamente se utiliza la prueba de cortocitcuito ˙ eq (Ω) = Z ˙ CC (Ω) y dicho circuito queda referido al lado para obtener Z T por el cual se aplic´o la prueba. Adem´ as, como se trata de un dispositivo de caracter´ıstica sim´etrica equilibrado trif´asico, dicho circuito equivalente contiene la impedancia por fase en un modelo equivalente.
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
(A)
˙A V cc
(B )
˙ B V cc
(C )
˙ C V cc
I ˙Acc
(a )
I ˙Bcc
(b )
I ˙Ccc
(c )
Lado (H)
Lado (X)
Figure:
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
˙ CC (V ) V H ˙ ˙ eq (Ω) = Z Z CC H (Ω) = H I ˙CC (A)
(55)
H
Si la conexi´ on del lado (H) es Y i ∆, al aplicar la prueba de cortocircuito, ˙ eq (Ω) por fase, independiente de la conexi´on del lado (X). se obtiene Z H ˙ eq (Ω) correSi la prueba de cortocircuito se realiza por el lado (X), Z transf ˙ eq (Ω), por lo tanto: sponde a Z X
˙ eq (Ω) = a Z T H
| | · Z ˙ 2
eq X (Ω),
a˙ T =
˙ H V ˙ X V
(56)
donde a˙ T se obtiene de la prueba en vac´ıo y resulta ser compleja. De lo anterior, el circuito equivalente que se obtiene se expresa “por fase”, dado que se trata de un dispositivo 3φ equilibrado.
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
a˙ T : 1
(A) ˙ H V AB
˙ HN V
˙ XN V
(B )
a˙ T : 1
(C )
a˙ T : 1
˙ X V ab
˙ V H
˙ V X
A,B ,C
a,b ,c
(N )
Figure: Modelo equivaente 3φ conexi´ on Y-Y
y desde aqu´ı se trabaja con el circuito equivalente por fase.
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
I ˙H = I ˙A (A)
˙ eq (Ω) Z H
˙ HN = V ˙ AN (V ) V
a˙ T : 1
˙ HN E
I ˙X = I ˙a (A)
˙ Xn = V ˙ an (V ) V
Figure: Modelo equivalente 3φ conexi´ on Y-Y
Circuito Equivalente en por unidad: A partir del circuito equivalente, por fase, aplicando las bases de voltaje, corriente, impedancia, en forma an´ aloga a lo desarrollado para el transformador 1φ se obtiene la representaci´on en por unidad. As´ı entonces, V BH = V Hnom (V ),
I BH = I Hnom (A)
(57)
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
y por supuesto, en este caso: S BA = S BX = S B = S nom (VA)
(58)
con lo cual: [V BH (V )]2 Z BH (Ω) = S BH (VA)
(59)
Siendo los valores sub H , los correspondientes valores 3φ, (V L , I L , S 3φ ). Con esto, se tendra: ˙ HN (V ) = Z ˙ eq (Ω) I ˙H + E ˙ HN V H
·
˙ HN = a˙ T V ˙ Xn pero E
·
(60)
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
˙ HN (V ) = V
˙ eq (Ω) I ˙H (A) + a˙ T V ˙ Xn , Z H
·
·
1
· V
BH
˙ HN (p .u ) = V
˙ eq (Ω) I ˙H (A) ˙ Xn Z a˙ T V H + Z BH (Ω) I BH (A) V BH = a˙ T V BX
˙ HN (p .u ) V
˙ eq (p .u ) I ˙H (p .u ) + e j θ V ˙ Xn (p .u ) Z H
=
I ˙H = I ˙A (p .u )
·
·
·
·
˙ eq (p .u ) Z T
˙ HN = V ˙ AN (p .u ) V
˙ HN (p .u ) E
·
a˙ T : 1
· | |·
I ˙X = I ˙a (p .u )
˙ Xn = V ˙ an (p .u ) V
Figure: Modelo equivaente 3φ conexi´ on Y-Y
(61)
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
donde e j θ =
a˙ T aT ∠θ aT ∠θ = = = e j θ . Recordar que a˙ T a˙ T aT
| |
| |
˙ eq (p .u ) = Z ˙ eq (p .u ) = Z ˙ eq (p .u ) Z T H X
Ejemplos: De acuerdo a lo visto anteriormente, el circuito en por unidad por fase, est´a dado de acuerdo a la siguiente figura: I ˙1 (p .u )
˙ (p .u ) V 1
˙ T (p .u ) Z
I ˙2 (p .u )
e j θ : 1
+ ˙ V 1 (p .u ) −
Lado Primario
+ ˙ 2 (p .u ) V −
Lado Secundario
Figure: Modelo equivalente por fase
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Es posible distinguir diferentes casos: 1
Caso Y d 1 Lado Primario: Alta Tensi´ on (Y) - Lado Secundario: Baja Tensi´on (∆) ˙ 1 (p .u ) = e j 30 V ˙ 2 (p .u ) V
2
Caso ∆y 11 Lado Primario: Alta Tensi´ on (∆) - Lado Secundario: Baja Tensi´on (Y) ˙ 1 (p .u ) = e − j 30 V ˙ 2 (p .u ) V
3
Caso ∆y 1 Lado Primario: Alta Tensi´ on (∆) - Lado Secundario: Baja Tensi´on (y) ˙ 1 (p .u ) = e j 30 V ˙ 2 (p .u ) V
Traspaso de corrientes y voltajes:
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
I ˙1 (p .u )
I ˙2 (p .u )
˙ T (p .u ) Z
e j θ : 1
+ ˙ 1 (p .u ) V
˙ (p .u ) V 1
−
+ ˙ 2 (p .u ) V −
Lado Primario
Lado Secundario
Figure: Modelo equivalente por fase
˙ 1 (p .u ), I ˙1 (p .u ), V ˙ 2 (p .u ) Considerando las variables en el transformador ideal V e I ˙2 (p .u ), se cumple que: ˙ 1 (p .u ) I ˙1 (p .u ) = V ˙ 2 (p .u ) I ˙2 (p .u ) V
·
∗
·
∗
(62)
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
˙ 1 (p .u ) V ˙ 2 (p .u ) V I ˙2 (p .u ) ∗
I ˙1 (p .u ) ∗
= e j θ j θ
= e
⇒ V ˙ 1(p .u ) = e θ · V ˙ 2(p .u ) j
I ˙2 (p .u )
⇒ I ˙ (p .u ) = e θ ⇒ I ˙1(p .u ) = e θ · I ˙2(p .u ) j
−
j
1
Corrientes y voltajes en el lado primario son los valores del secundario multiplicados por e j θ !!!!
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Ejemplo de c´ alculo en por unidad: Considere el siguiente sistema:
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Figure: Modelo equivalente por fase
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
on Y d 1 de 3 unidades 1φ, cada una. T 2 : Banco 3φ, conexi´ 63.5/15kV ,
20MVA,
X cc lado de baja = 0.529(Ω),
medidos en lado de 15 k
Condiciones de operaci´ on: El generador aporta a la barra (3) una ˙ 3 = 106.7 (kV) entre potencia S G2 = 45 + j 22.5 MVA3φ , siendo V l´ıneas. Determinar:
| |
1
El circuito equivalente en por unidad para S B = 100MVA y V BL = 110 kV en zona de la l´ınea.
2
Con el circuito equivalente obtenido, determinar el aporte de la potencia compleja del generador G 1 a la barra (1) y el voltaje V bn en la barra (4).
Soluci´ on 1
Circuito equivalente en por unidad
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Figure: Modelo equivalente por fase C´ alculo de las cantidades bases por zona
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Zona (3): V B (3) = 110kV Z B (3) =
I B (3) =
(kV B 3 )2 MVAB
1102 = = 121(Ω) 100
100(MVA) 103
S B(3) (kVA)
√ 3 · V
BL(3) (kV )
kVA
· √ 3 · 110kV MVA
=
= 524.9(A)
Zona (1): V B(1) V B(3)
.8kV | | |aT ˙ | = 13 110kV
= a˙ T 1 ,
V B (1) = V B(3)
= Z B(1) I B (1) =
1
13.8 .8 = 110 · = 13.8kV · 13 110 110
(kVA)2 MVAB
S B (kVA)
√ 3 · V
B (1)
13.82 = = 1.9044(Ω) 100 100 103 = = 4183, 7(A) 3 13.8
√ ··
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Zona (2): V B(3) V B (2)
· √
63.5 3 = = 7.3323 15
⇒= V B
=
(2)
100(MVA) 103
·
I B (2) =
Par´ ametros en por unidad
kVA MVA
√ 3 · 15(kV )
V B(3)
7.3323
=
= 15.002
≈ 15kV
100 103 (kVA)
√ 3· · 15(kV )
G 1 : X s1 = 0.9(p .u ) base propia, V BP = 13.2kV y S BP = 120MVA
X s1 Bn
=
X s1 Ba
2
· · 13.2 100 V Ba
V Bn
S Bn S Ba
2
= =
0.9
·
13.8 0.6862(p .u )
·
120
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
T 1 :
X T 1Bn
=
X T 1Ba
2
· · 110 100 V Ba
V Bn
S Bn S Ba
2
= =
0.06
·
110 0.048(p .u )
·
125
Banco 3φ de unidades 1φ 63.5/15kV ,
20MVA,
X T = 0.529(Ω),
lado de 15 kV
Existen al menos dos maneras de calcular la reactancia X T2 en por unidad para el banco trif´asico:
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
1
Calculando la reactancia en por unidad para cada transformador 1 φ, usando bases monof´ asicas equivalentes a las bases 3 φ del sistema, esto significa: S B 1φ = V B 1φ =
V B3 φ
√ 3
S B 3φ
3
, considerando conexi´on Y, donde V L =
√
3 V f
·
on ∆, donde V f = V L V B1 φ = V B 3φ , considerando conexi´ De acuerdo a esto, Z 3φ (p .u ) = Z 1φ (p .u ) Si se calcula X (p .u ) de una unidad 1 φ, usando cantidades bases monof´asicas, equivalentes a las 3 φ, se obtiene X (p .u ) del banco 3φ igual a la X (p .u ) de cada unidad 1 φ X = 0.529(Ω), lado de 15 kV
Z B 1φ =
Luego,
(V B1 φ )2 S B 1φ
⇒ V 1
φ
= 15kV
(V B3 φ∆ )2 (15kV )2 = = = 6.75(Ω) 1 1 100MVA S B 3φ 3 3
·
·
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
X T1 (p .u ) =
X T1 (Ω)1φ Z B 1φ
=
0.529 = 0.07837 6.75
Una forma alternativa, X T 1φ (Ω)lado l´ınea
=
=
Z B1 φ =
2 aT X T 1φ (Ω)lado generador
· 110 2 √ 3
15 · 0.529 = 9.48281(Ω)
√ (110/ 3)2 100/3
X T1 φ (p .u ) = 2
= 121(Ω)
9.4828 = 0.07837 121
El circuito equivalente es el siguiente:
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
I ˙3
+
˙ V 1
-
Figure: Modelo equivalente por fase
I ˙2
+
˙ V 3
-
I G2
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Como se conoce el m´odulo en barra (3), fijamos la referencia en esta barra, es decir: ˙ 3 = V 3 ∠0o (p .u ) V La corriente por la carga se obtiene: I ˙3 =
∗
S 3 V 3
Como se conoce S G2 (3) , se obtiene de: I ˙2 =
∗
S G2 (3) V 3
Para obtener la potencia entregada por el generador (2), hacemos uso de las relaciones voltaje y corriente para el transformador ideal: ˙ = V ˙ 3 + I ˙2 jX T V 3 2
·
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
˙ = e j θ2 V ˙ 2, V 3
·
I ˙2 = e j θ2 I ˙G2
·
˙ G = V ˙ 2 I S G 2 2
·
∗
Para calcular la tensi´ on en barra (4), se aplica LKT: ˙ 4 = I ˙3 (R L + jX L ) + V ˙3 V
·
Para calcular la potencia generada por G 1 : ˙ = e j θ1 V ˙ 4, V 1
·
I ˙G1 = e j θ1 I ˙3
·
˙ 1 = V ˙ + ˙I G jX T V 1 1 1
·
˙ G = V ˙ 1 I S G 1 1
·
Otro Ejemplo:
∗
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Figure:
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Para el SEP de la figura se pide lo siguiente: 1
Obtener el circuito equivalente en por unidad para S BASE = 50MVA trif´asicos y V BASE = 6.6kV de l´ınea en el lado del motor sincr´ onico.
2
Con el circuito equivalente obtenido anteriormente, si el motor sincr´onico demanda una potencia compleja de 8 MVA trif´ asicos con factor de potencia 0.8 en adelanto operando a voltaje nominal y siendo la carga demandada en la barra (3) de 60 ∠25.84o MVA trif´asicos, calcule la potencia compleja MW +jMVAr que aporta el generador en la barra (1) y su corriente de l´ınea en amperes correspondientes a la fase c.
Soluci´ on 1
Circuito equivalente en por unidad Zona 4: Zona del motor, V B 4 = 6.6kV ; S B = 50MVA 2
X SM (p .u ) = 0.8 ·
6.6 50 6.6
·
10
= 4(p .u )
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Zona (2-3): Zona de la l´ınea Existen dos alternativas: 2
X T 2
7 50 · 10 = 0.2812( . ) = 0.05 · 6.6 154 50 p u
2
X T2 = 0.05
·
·
145.2
= 0.2812(p .u )
10
Zona 1: Zona del generador Despreciando las p´ erdidas en los enrollados y como la prueba se aplica por el lado de 154kV, se determina: I Blado 154 kV X (Ω)lado 154 kV =
80 · 103 (kVA) = √ = 299.922(A) 3 · 154(kV ) V cc
I B lado 154 kV
Z Base lado 154 kV X T1 (p .u ) =
=
5780.7 = 19, 274(Ω/fase ) 299.992
(145.2)2 = = 421.6608(Ω) 50
19.274 X (Ω)lado 154 kV = = 0.0457(p .u ) 421.6608 Z Base lado 154 kV
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
X G1 = 0.97 ·
144 14.1428
2
50 ·
75
= 0.6704(p .u )
Para la l´ınea que se encuentra en la Zona (2-3) Z Base (2-3)
˙ L (p .u ) Z
145.22 = = 421.6608(Ω) 50
=
(0.0428 + j 0.322)(Ω/fase ) · 109.3(km) ·
=
0.01109 + j 0.0835
= (0.0842∠82.429o )(p .u ) Desfase de transformadores Transformador 1 ˙ ∆ (p .u ) = e j 30 V ˙ Y (p .u ) V
·
⇒ θ1 = 30o
Transformador 2 ˙ ∆ (p .u ) = e j 30 V ˙ Y (p .u ) V
·
⇒ θ2 = 30o
1 (Ω) 421.6608
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Consideraciones adicionales para plantear el modelo equivalente ˙ M = S
8 −1 0.8 = (0.16∠ − 36.87o )(p .u ) ∠ − cos 50
˙ 4 = V ˙ M = (1∠0o ) V ˙ D = S 3 2
Circuito equivalente
60 o ∠25.84 = (1.2∠25.84)(p .u ) 50
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Figure:
Corriente en el motor
I ˙M (p .u ) =
˙ M (p .u ) S ˙ M (p .u ) V
∗
=
(0.16∠ 36.87) (1∠0)
−
∗
= (0.16∠36.87)(p .u )
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Corriente en el primario de T 2 ˙I T2 (p .u ) = e j 30o I ˙M (p .u ) = (0.16∠66.87)(p .u )
·
Tensi´on en el primario de T 2 o
˙ (p .u ) = e j 30 V 4
· V ˙ 4 (p .u ) = (1∠30o)(p .u )
Tensi´on en barra (3) ˙ 3 (p .u ) = V = =
˙ (p .u ) + jX T I ˙T V 4 2 2 (1∠30o ) + j 0.2812 (0.16∠66.87) (0.97367∠32.118)(p .u )
·
·
Corriente en carga barra (3)
I ˙D3 =
∗
˙ D S 3 ˙3 V
=
(1.2∠25.84) (0.97367∠32.118)
∗
= (1.23245∠6.278)(p .u )
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Corriente que llega a barra (3) I ˙L = I ˙T2 +I ˙D3 = (0.16∠66.87)+(1.23245∠6.278) = (1.3184∠12.347)(p .u )
Voltaje en barra (2) ˙ 2 (p .u ) V
= = + =
˙ 3 (p .u ) + ( R L + jX L )(p .u ) I ˙L (p .u ) V
·
(0.97367∠32.118) (0.01109 + j 0.0835)(p .u ) (13.184∠12.347)(p .u ) (1.02939∠37.615)(p .u )
·
Tensi´on en el primario de T 1 ˙ (p .u ) = e j 30 V ˙ 2 (p .u ) = (1.02937∠67.615)(p .u ) V 2
·
Aspectos b´ asicos C´ alculo en por unidad Cambio de Impedancia Base C´ alculo en por unidad en redes con transformadores Circuito Equivalente en por unidad del transformador 3φ de dos enrollados
Corriente que entrega G 1 I G (p .u ) = e j 30 I ˙L (p .u ) = (1.3184∠42.347)(p .u )
·
Voltaje en barra (1) ˙ 1 (p .u ) = V ˙ (p .u ) + jX T (p .u ) I ˙G (p .u ) = (1.056494∠70.57)(p .u ) V 2 1
·
Potencia compleja entregada por Generador (1) ˙ G (p .u ) S
= = = ˙ G (MVA) = S
˙ 1 (p .u ) I ˙ (p .u ) V G
·
∗
(1.056494∠70.57) (1.3184∠ (1.392886∠28.224)(p .u ) ˙ G (p .u ) 50MVA S
·
·
= 61.364 + j 32.936(MVA)
− 42.347)
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