Senoides y Fasores

Tema 2 Senoides y Fasores

Corriente alterna

 Antes de comenzar comenzar conviene remarcar la diferencia diferencia de este tipo de corriente con la corriente continua y también la explicación de los parámetros más importantes de una señal alterna.La corriente continua es aquella que mantiene su valor de tensión constante y sin cambio de polaridad, ejemplo de ella puede ser una batería de las que se utilizan en los automóviles o las pilas con las que alimentamos nuestros juguetes o calculadoras electrónicas. A este tipo de corriente se la conoce como C.C. o, según los autores de habla inglesa, D.C. La corriente alterna también mantiene una diferencia de potencial constante, pero su polaridad varía con el tiempo. Se la suele denominar C.A. o A.C. en inglés.

Fig. 2.1 Señales continuas y alternas.

La diferencia de la corriente alterna con la corriente continua, es que la continua circula sólo en un sentido. La corriente alterna (como su nombre lo indica) circula durante un tiempo en un sentido y después en sentido opuesto, volviéndose a repetir el mismo proceso en forma constante.

Este tipo de corriente es la que nos llega a nuestras casas y la usamos para alimentar la TV, el equipo de sonido, la lavadora, la refrigeradora, etc. Parámetros importantes de la corriente alterna: Frecuencia: número de veces que una corriente alterna cambia de polaridad en 1 segundo. La unidad de medida es el Hertz (Hz) y se la designa con la letra F. De esta forma si en nuestro hogar se tiene una tensión de 220 V 50 Hz, significa que dicha tensión habrá de cambiar su polaridad 50 veces por segundo. Una definición más rigurosa para la frecuencia: número de ciclos completos de C.A. que ocurren en la unidad de tiempo.

Fase: es la fracción de ciclo transcurrido desde el inicio del mismo, su símbolo es la letra griega  Período: es el tiempo que tarda en producirse un ciclo de C.A. completo se denomina T. En nuestro ejemplo de una tensión de 220 V 50 Hz su período es de 20 mseg. La relación entre la frecuencia y el período es F=1/T Valor instantáneo: valor que toma la tensión en cada instante de tiempo. Valor máximo: valor de la tensión en cada "cresta" o "valle" de la señal. Valor medio: media aritmética de todos los valores instantáneos de la señal en un período dado. Su cálculo matemático se hace con la fórmula:

(2.1) Valor eficaz: valor que produce el mismo efecto que la señal C.C. equivalente. Se calcula mediante:

(2.2) Se puede obtener el voltaje equivalente en corriente continua (Vrms) de este voltaje alterno con ayuda de la fórmula Vrms = 0.707 x Vp . Este valor de voltaje es el que se obtiene cuando se usa un voltímetro. Si se prepara un voltímetro para que pueda medir voltajes en corriente alterna (a.c.) y medimos la salida de un tomacorriente de una de nuestras casas, lo que vamos a obtener es: 110 Voltios o 220 Voltios aproximadamente, dependiendo del país donde se mida. El voltaje que leemos en el voltímetro es un VOLTAJE RMS de 110 o 220 Voltios.!!! Cuál será el voltaje pico (Vp) de esta señal???

Revisando la fórmula del párrafo anterior anterior se despeja Vp. Vp = Vrms / 0.707

(2.3)

-Caso Vrms = 110 V, Vp = 110 / - Caso Vrms = 220 V, Vp = 220 / 0.707 = 311.17 Voltios

0.707

=

155.6

Voltios

Las corrientes y los voltajes (cuando son alternos) se expresan de forma común con su valor efectivo o RMS (Root Mean Square  – raíz media cuadrática). Cuando se dice que en nuestras casas tenemos 120 voltios o 220 voltios, éstos son valores RMS o eficaces Qué es RMS y porqué se usa? Tiene una relación con la disipación de calor o efecto térmico que una corriente directa de igual valor disiparía. Un valor en RMS de una corriente es el valor, que produce la misma disipación de calor que una corriente directa de la misma magnitud. En otras palabras: El valor RMS es el valor del voltaje o corriente que C.A. que produce el mismo efecto de disipación de calor que su equivalente de voltaje o corriente en C.D. Ejemplo: 1 amperio (ampere) de corriente alterna (c.a.) produce el mismo efecto térmico que un amperio (ampere) de corriente directa (c.d.) Por esta razón se utiliza el término “efectivo”.El valor efectivo de una onda alterna se determina multiplicando su valor máximo por 0.707 VRMS = VPICO x 0.707 Ejemplo: encontrar el voltaje RMS de una señal con V PICO = 130 voltios 130 Voltios x 0.707 = 91.9 Voltios RMS

Si se tiene un voltaje RMS y se desea encontrar el voltaje pico: VPICO = VRMS / 0.707 Ejemplo: encontrar el voltaje Pico de un voltaje V RMS = 120Voltios VPICO = 120 V / 0.707 = 169.7 Voltios Pico Valor promedio

El valor promedio de un ciclo completo de voltaje o corriente es cero ( 0 ). Si se toma en cuenta solo un semiciclo (supongamos el positivo) el valor promedio es: VPR = VPICO x 0.636 La relación que existe entre los valores RMS y promedio es:V RMS = VPR x 1.11 VPR = VRMS x 0.9

(2.5)

Tabla 2.1 Resumen de los cálculos de voltajes promedios y rms.

Valores dados Máximo (pico) RMS Promedio

Para encontrar los valores Máximo (pico) RMS Promedio 0.707 x Valor 0.636 x Pico Pico 1.41 x VRMS 0.9 x VRMS 1.57 x Promedio 1.11 x Promedio

(2.4)

Valor

Ejemplo

Valor promedio de sinusoide = 50 Voltios, entonces: VRMS = 50 x 1.11 = 55.5 Voltios VPICO = 50 x 1.57 Voltios = 78.5 Voltios

Valor pico a pico: valor de tensión que va desde el máximo al mínimo o de una "cresta" a un "valle". En las siguientes figuras se presenta una señal alterna donde se han especificado algunos de estos parámetros, la figura a) muestra una onda alterna donde se ven tanto el valor eficaz, el valor máximo, el valor pico a pico y el período. En la figura b) dos ondas alternas, de igual frecuencia, pero desfasadas 90º.

Fig. 2.2 Parámetros de las señales alternas.

En la figura a) si la frecuencia es de 50 Hz entonces el período es T=20 mseg y abarcará desde el origen hasta el punto D. En ella también se puede ver la fase, la que es medida en unidades angulares, ya sea en grados o radianes. También se pueden ver los distintos puntos donde la señal corta al eje del tiempo graduado en radianes. En la figura b), se ven dos señales alternas desfasadas 90º ( /2 radianes), esto es, cuando la primera señal arranca del punto A, la segunda lo hace desde el punto B, siendo el desfasaje entre los puntos A y B de 90º. Por lo tanto se dice que se tienen dos señales de igual frecuencia y amplitud pero desfasadas entre sí por 90º. Con lo visto hasta ahora se tienen las condiciones de presentar a una señal senoidal en su representación típica: U = Umax sen (2 ft + ) Donde: Umax: tensión máxima f: frecuencia de la onda t: tiempo :

fase

(2.6)

Otros tipos de corriente alterna:

En electrónica se utilizan infinidad de tipos de señales por lo cual se hace prácticamente imposible enumerarlas a todas. Una de ellas es la pulsatoria (también llamada onda cuadrada). Esta onda se ve en la siguiente figura:

Fig. 2.3 Señal cuadrada.

Otra onda frecuentemente utilizada en electrónica es la onda triangular:

Fig. 2.4 Señal triangular.

y también está la onda diente de sierra:

Fig. 2.5 Señales diente de sierra.

Cabe aclarar que las definiciones de los parámetros que se hicieron para una onda senoidal se mantienen válidos para estos tipos de ondas. Comportamiento de los componentes pasivos en C.A: Los componentes pasivos tienen distinto comportamiento cuando se les aplican dos corrientes de distinta naturaleza, una alterna y la otra continua.

Resistencias y C.A: estos son los únicos elementos pasivos para los cuales la respuesta es la misma tanto para C. A. como para C.C. Se dice que en una resistencia la tensión y la corriente están en fase.

Fig. 2.6 Señales de tensión y corriente en un elemento resistivo.

Inductancia y C.A .: Las señales tensión y corriente mantienen la misma forma de onda pero ya no están en fase sino que desfasadas 90º. La corriente atrasa 90º con respecto a la tensión.

Fig. 2.7 Señales de tensión y corriente en un elemento inductivo.

El parámetro que mide el valor de la inductancia es la reactancia inductiva: (2.7) XL = 2  f L donde XL se expresa en ohms y como XL = V/I por la Ley de Ohm entonces se tiene que: i(t) = V(t)/XL = V(t)/2fL (2.8) Donde se observa que ahora la corriente no depende exclusivamente del valor de la tensión y de la reactancia inductiva, sino también de la frecuencia, siendo inversamente proporcional a esta. Capacidad y C.A: Es ahora el caso en el que la corriente se adelanta 90º con respecto a la tensión, manteniendo la misma forma de onda que ésta.

Fig. 2.8 Señales de tensión y corriente en un elemento capacitivo.

El cálculo de la reactancia capacitiva (medida en ohms) se hace con la siguiente fórmula: XC = 1/2fC (2.9) y aplicando nuevamente la Ley de Ohm: i(t) = V(t) / XC = 2fC V(t) (2.10) También aquí la corriente depende de la frecuencia, pero ahora es directamente proporcional a ésta.

La impedancia (resistencia + reactancia)

La resistencia es el valor de oposición al paso de la corriente (sea directa o alterna) que tiene el resistor o resistencia. La reactancia es el valor de la oposición al paso de la corriente (solo corriente alterna) que tienen los condensadores (capacitores) y las bobinas (inductores). En este caso existe la reactancia capacitiva debido a los condensadores y la reactancia inductiva debido a las bobinas. Cuando en un mismo circuito se tienen estos elementos combinados (resistencias, condensadores y bobinas) y por ellas circula corriente alterna la oposición de este conjunto de elementos al paso de la corriente alterna se llama: impedancia. La impedancia tiene unidades de Ohmios (Ohms). Y es la suma de una componente resistiva (debido a las resistencias) y una componente reactiva (debido a las bobinas y los condensadores) Z = R+jX

(2.11)

La jota ( j ) que precede a la X, nos indica que ésta (la X) es un número imaginario. No es una suma directa, pues son fasores. Lo que sucede es que estos elementos (la bobina y el condensador) causan una oposición al paso de la corriente alterna (además de un desfase), pero idealmente no causa ninguna disipación de potencia, como si lo hace la resistencia (La Ley de Joule).El desfase que ofrece una bobina y un condensador son opuestos, y si estos llegaran a ser de la misma magnitud, se cancelarían y la impedancia total del circuito sería igual al valor de la resistencia. La fórmula anterior se grafica:

Fig. 2.9 Gráfica de la impedancia.

Se puede ver que las reactancias se grafican en el eje Y (el eje imaginario) pudiendo dirigirse para arriba o para abajo, dependiendo de si es mas alta la influencia de la bobina

o el condensador y las resistencias en el eje X. (solo en la parte positiva del eje X). El valor de la impedancia (la línea diagonal) será: Z = (R2 + X2)1/2

(2.12)

(2.13)

La inversa de la impedancia se denomina admitancia (Y) y se define: Y = 1/Z 

(2.14)

Un circuito de corriente alterna consta de una combinación de elementos (resistencias, capacidades y autoinducciones) y un generador que suministra la corriente alterna. Una fem alterna se produce mediante la rotación de una bobina con velocidad angular constante dentro de un campo magnético uniforme producido entre los polos de un imán. v=V0 sen( t) Para analizar los circuitos de corriente alterna se emplean dos procedimientos, uno geométrico denominado de vectores rotatorios, y otro que emplea los números complejos. Un ejemplo del primer procedimiento, es la interpretación geométrica del Movimiento  Armónico Simple como proyección sobre el eje X de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud y que gira con una velocidad angular igual a la frecuencia angular. Mediante las representaciones vectoriales la longitud del vector representa la amplitud y su proyección sobre el eje vertical representa el valor instantáneo de dicha cantidad. Los vectores se hacen girar en sentido contrario a las agujas del reloj. Con letras mayúsculas se representarán los valores de la amplitud y con letras minúsculas los valores instantáneos. Una resistencia conectada a un generador de corriente alterna

La ecuación de este circuito simple es (intensidad por resistencia igual a la fem) iR=V0sen( t)

(2.15)

(2.16)

La diferencia de potencial en la resistencia es v R= (    t ) (2.17)   V 0sen   En una resistencia, la intensidad i R   y la diferencia de potencial v R   están en fase. La relación entre sus amplitudes es

(2.18)

Como vemos en la representación vectorial de la figura, al cabo de un cierto tiempo t , los vectores rotatorios que representan a la intensidad en la resistencia y a la diferencia de potencial entre sus extremos, ha girado un ángulo   t . Sus proyecciones sobre el eje vertical marcados por los segmentos de color azul y rojo son respectivamente los valores en el instante t  de la intensidad que circula por la resistencia y de la diferencia de potencial entre sus extremos. Un condensador conectado a un generador de corriente alterna

En un condensador la carga q, la capacidad C  y diferencial de potencial v   entre sus placas están relacionadas entre sí q=C·v (2.19) Si se conecta las placas del condensador a un generador de corriente alterna q=C · V 0sen (    t) (2.20)   La intensidad se obtiene derivando la carga respecto del tiempo, i=dq/dt (2.21)

Para un condensador, la intensidad i C  está adelantada 90º  respecto a la diferencia de potencial v C.  La relación ente sus amplitudes es (2.22)

Una bobina conectada a un generador de corriente alterna

La ecuación del circuito es (suma de fem es cero, ya que la resistencia es nula)

(2.23)

Integrando esta ecuación se obtiene i  en función del tiempo (2.24)

La intensidad i L  en la bobina está retrasada 90º  respecto de la diferencia de potencial entre sus extremos v L. La relación entre sus amplitudes es (2.25)

Técnica Fasorial

(2.26)

(2.27)

(2.28)

Combinaciones R-L, R-C y RLC:

 Además de los casos ya vistos donde solamente estaban presentes en un circuito un solo tipo de elemento pasivo, existen casos en los cuales se combinan resistencias con capacitores e inductancias, se analizarán cómo se comportan las corrientes y tensiones en cada una de estas combinaciones.

R-L:

Fig. 2.10 Circuito RL.

En la gráfica se puede ver el diagrama vectorial de las tensiones del circuito. Se observa cómo VR  está en fase con la corriente, V L  está adelantada 90º con respecto a esta y entonces resolviendo la suma vectorial se tiene que V T  está adelantada   grados a la corriente. R-C:

Fig. 2.11 Circuito RC.

De la misma manera que en el circuito R-L vemos en el diagrama vectorial de las tensiones del circuito, como otra vez V R está en fase con la corriente, mientras que V C está 90º atrasada a la corriente. De la suma vectorial se observa que V T  está    grados atrasada con respecto a I.

R-L-C: Por último se estudiará el caso en el que están presentes en un circuito de C.A. los 3 tipos de componentes pasivos (R, L, C).

Fig. 2.12 Circuito RLC.

En el diagrama vectorial de las tensiones en el circuito se observa que V C está atrasada 90º a la corriente, V R en fase con ella y V L adelantada 90º. Nótese que en la figura no se dibujó la tensión resultante total dado que ésta será función de las tres tensiones presentes, resultando la tensión total (V T) adelantada a la corriente si X L > XC, atrasada si XC > XL y estará en fase con la corriente si X C = XL.

Determinación de Impedancia paralelo

Existe un número de fórmulas para calcular la impedancia total (magnitud y ángulo de fase) de un circuito paralelo de CA, en forma directa, sin la determinación de la corriente total. Si el circuito de CA está formado solamente por resistencias en paralelo, las

corrientes de las ramas están en fase con el voltaje aplicado y la impedancia total ( Z) es igual a la resistencia equivalente ( R), o

y el ángulo de fase, Θ = 0°. Para un número de inductancias o capacidades en paralelo, la impedancia total iguala a la reactancia total de las ramas, o

y el ángulo de fase, Θ = +90° o -90°, dependiendo de si el circuito consiste en inductancias o capacidades en paralelo. (En general, un ángulo de fase positivo indica que el circuito es inductivo y que la corriente atrasa al voltaje aplicado; un ángulo de fase negativo indica que el circuito es capacitivo y que la corriente adelanta al voltaje aplicado.) Para dos reactancias ( X1 y X2) del mismo tipo, en paralelo, la impedancia total

Cuando una reactancia inductiva ( XL) y una reactancia capacitiva ( XC) están colocadas en paralelo, la impedancia total

Cuando XL es mayor que XC, la reactancia resultante ( X) es negativa (es decir capacitiva), y el ángulo de fase Θ  = -90°. Cuando XC  es mayor que XL, la reactancia resultante es positiva (es decir, es inductiva) y el ángulo de fase Θ = +90° . Dos impedancias en paralelo: Cuando dos impedancias, Z1 y Z2  , están conectadas en paralelo, la magnitud de la impedancia resultante (total) es

Para obtener los resultados correctos con estas fórmulas deben usarse valores positivos para X1 y X2  , cuando la reactancia es inductiva ( XL) y valores negativos cuando la reactancia es capacitiva ( XC). Las fórmulas sirven generalmente para cualquier grupo de dos impedancias en paralelo. Más abajo se indican fórmulas específicas para circuitos particulares en paralelo. 1- Inductancia y resistencia en paralelo

donde XL = ω L = 2 π f L (dado que 2 π f=ω )

2- Capacidad y resistencia en paralelo

donde XC = 1/ωC y ω = 2 π f 

3- Inductancia y capacidad en paralelo

XL = ω L ; X C = 1/ωC y ω = 2 π f 

4- Inductancia , capacidad y resistencia en paralelo

5- Inductancia y resistencia serie ( R1) en paralelo con resistencia ( R2)

6- Inductancia y resistencia serie con capacidad en paralelo

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