Seminarski rad - Numericke metode - Metoda Konacnih Razlika

Zavod za strojarske konstrukcije

NUMERIČKE METODE . seminarski rad

METODA KONAČNIH RAZLIKA

Sadržaj 1 UVOD .......................................................................................................................................... 1 1.1 Metoda konačnih razlika ....................................................................................................... 1 1.2 Bandaže parnih kotlova ......................................................................................................... 3 2 ZADATAK................................................................................................................................... 5 3 RJEŠENJE ZADATKA METODOM KONAČNIH DIFERENCIJA ......................................... 6 4 PRORAČUN PROGIBA ANALITIČKIM POSTUPKOM RJEŠAVANJA ............................. 15 5 ZAKLJUČAK ............................................................................................................................ 18

1 UVOD 1.1 Metoda konačnih razlika Metoda konačnih razlika (engl. finite difference method) numerička je metoda za rješavanje diferencijalnih jednadžbi pri čemu se numeričko rješenje dobiva u odabranim točkama razmatrane konstrukcije. Derivacije odgovarajućih funkcija koje su zavisne varijable u diferencijalnoj jednadžbi , zamjenjuju se s razlikom vrijednosti tih funkcija u susjednim točkama podijeljenom s međusobnim razmakom točaka. Te točke nazivaju se čvorovi i čine mrežu konačnih razlika. Za svaki čvor dobiva se jedna algebarska diferencijska jednadžba koja povezuje nepoznatu vrijednost u čvoru s vrijednostima te varijable u odgovarajućem broju susjednih čvorova. Ideja za aproksimaciju derivacije u metodi konačnih razlika proizišla je iz definicije same derivacije: d∅ (∅( + ∆ − ∅( 
 = lim ∆ d  ∆→ ∅

Geometrijska interpretacija prve derivacije   u točki xi nagib je tangente na krivulju ∅(u toj točki. Taj nagib moguće je aproksimirati s pravcima koji prolaze kroz susjedne točke na krivulji, prema slici:

Slika 1.1 Prikaz aproksimacije derivacije Tangentu na krivulju koja opisuje prvu derivaciju moguće je aproksimirati pravcem koji predstavlja razliku unaprijed, pravcem koji opisuje razliku unazad te pravcem koji označuje središnju razliku. Shema središnje razlike daje bolju aproksimaciju derivacije nego sheme razlike unaprijed i razlike uanzad. Procjena greške provodi se pomoću razvoja funkcije u Taylorov red. 1

Primjena MKD kod savijanja ravnog grednog nosača: Diferencijalna jednadžba savijanja grede: d     d 

Slika 1.2 Savijanje ravnog grednog nosača Domena (greda) se dijeli na jednake segmente duljine ∆z međusobno povezane u čvorove (…i-1, i, i+1, …) te se infinitezimalni prirast funkcije progiba v(z) zamjeni konačnom diferencijom (razlikom) ∆v, uz konačni prirast ∆z varijable z. Diskretizacija je postupak raspodjele grede na jednake segmente (∆z). Diskretizacijom diferencijalne jednadžbe savijanja grede dobiva se diferencijalna jednadžba elastične linije za i-ti čvor:  − 2 + (! = ∆ 


   "

koja se postavlja samo za unutrašnje čvorove čime se rješavanje diferencijalne jednadžbe svodi na rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi.

2

1.2 Bandaže parnih kotlova Parni kotao je za vrijeme rada konstantno izložen određenoj vrijednosti unutarnjeg tlaka i promjenama temperature koji uzrokuju pojavu deformacija membranskih zidova. Membranski zidovi su sklopovi cijevi i ravnih šipki koji služe provođenju topline. Kao oslonci membranskim zidovima postavljaju se bandaže u obliku greda I profila. Funkcija im je da prilikom deformacija osiguraju da membranski zidovi zadrže svoj položaj i oblik.

Slika 1.3 Prikaz bandaže membranskog zida

Cijevi membranskih zidova su zavarom spojene sa nosačima. Nosači se spajaju kliznim elementima sa bandažama koje su fiksne, kako bi omogućili gibanje membranskih zidova. 3

Bandaže su u obliku okvira, elastično spojene na uglovima pomoću pomičnih elemenata (svornjaka) kako bi kompenzirali međusobne deformacije uslijed promjene temperature.

Slika 1.4 Spojevi bandaža

4

2 ZADATAK Bandaža parnog kotla izvedena je kao okvirni nosač i funkcija joj je spriječiti nekontroliranu deformaciju membranskih zidova parnog kotla koja može nastati uslijed djelovanja pretlaka/potlaka dimnih plinova. Potrebno je primjenom metode konačnih diferencija odrediti progibe i nagibe tangente na elastičnu liniju za bandažu parnog kotla. Zbog provjere numeričkog rješenja, progibe i nagibe tangente na elastičnu liniju potrebno je odrediti i nekom od analitičkih metoda. Skicirajte elastičnu liniju savijanja bandaže. Korak diskretizacije odabrati takav da odstupanje numeričkog od analitičkog rješenja bude manje od 5 %. Statički model zadan je prema skici A, B, C, D, E, F, G ili H. Bandaža je opterećena kontinuiranim opterećenjem q koje se dobije redukcijom tlaka dimnih plinova s pripadajućeg dijela membranskog zida. Bandaže se obično izrađuju od standardnih valjanih I-profila prema DIN1025, koji ovdje mogu biti HE-M, HE-B ili u HE-A izvedbi (nazivna mjera 300 mm). Bandaža je opterećena na savijanje oko težišne osi s većim aksijalnim momentom tromosti poprečnog presjeka. Proračunska temperatura tc bandaža je temperatura zasićenja vodene pare pri proračunskom tlaku u membranskim zidovima kao isparivačkim površinama. Bandaže se obično izvode od S235JRG2, S355J2G3 ili 16Mo3. Budući se modul elastičnosti mijenja s povećanjem temperature potrebno je za materijal bandaže, a prema ASME B31.1-1995, odrediti iznos modula elastičnosti za proračunsku temperaturu i primijeniti ga u proračunima. Osim rješenja navedenog zadatka, u seminarskom radu je potrebno dati osnovni teorijski pregled o metodi konačnih diferencija. Prema dostupnoj literaturi opišite primjenu i konstrukcijske izvedbe bandaža vodocjevnih parnih kotlova s osvrtom na mogućnosti povezivanja bandaža s membranskim zidovima te na konstrukcijske izvedbe kutnih spojeva bandaža. Zadano: Statički model: C q = 5 N/mm I profil HE-B 300mm tc = 290°C – proračunska temperatura Materijal: S355J2G3 a1 = 6500 mm b = 3000 mm

Slika 2.1. Statički model C 5

3 RJEŠENJE ZADATKA METODOM KONAČNIH DIFERENCIJA Zbog dvostruke simetrije moguće je promatrati samo jednu četvrtinu okvirnog nosača. Pravilo je da ako na simetričnu konstrukciju djeluje simetrično opterećenje u presjecima simetrije antisimetrične sile su jednake nuli (Q = 0). Konstrukcija oslobođena veza je prikazana na slici 2.

Slika 3.1 Konstrukcija oslobođena veza Jednadžbe statičke ravnoteže:

Σ$ = 0 * &' − ( ∙ = 0 2 * &' = ( ∙ = 7500 N 2 Σ$.  0 0 &/  ( ∙  0 2 0 &/  ( ∙  16250 N 2 Σ'  0 0 * 0 /  &/ ∙  ( ∙  ( ∙  '  0 2 8 8 /  '  20781250  0

Diskretizacijom je konstrukcija podijeljena na 19 jednakih segmenata duljine 250mm. ∆x = 250 mm

6

Slika 3.2 Diskretizirana konstrukcija Diferencijalna jednadžba elastične linije za i-ti čvor: 4  − 2 + ! = ∆ 
    Diferencijalne jednadžbe elastične linije za pojedine čvorove, prema slici 3: ČVOR 1:   ' 5 ′  5 ' 57  25  5  ∆  ∙  ČVOR 2:   '  0,5( ∙ ∆  '  0,5( ∙ ∆   5  25  59  ∆ ∙  ČVOR 3: 9  '  2( ∙ ∆  '  2q ∙ ∆  5  259  5:  ∆  ∙  ČVOR 4: :  '  4,5( ∙ ∆  '  4,5q ∙ ∆  59  25:  5=  ∆  ∙  ČVOR 5: =  '  8( ∙ ∆  '  8q ∙ ∆   5:  25=  5>  ∆ ∙  7

ČVOR 6:

ČVOR 7:

ČVOR 8:

ČVOR 9:

ČVOR 10:

ČVOR 11:

ČVOR 12:

ČVOR 13:

>  '  12,5( ∙ ∆  '  12,5q ∙ ∆  5=  25>  5?  ∆  ∙  ?  '  18( ∙ ∆  '  18q ∙ ∆  5>  25?  5@  ∆  ∙  @  '  24,5( ∙ ∆  '  24,5q ∙ ∆   5?  25@  5A  ∆ ∙  A  '  32( ∙ ∆  '  32q ∙ ∆  5@  25A  5  ∆  ∙    '  40,5( ∙ ∆  '  40,5q ∙ ∆  5A  25  5  ∆  ∙    '  50( ∙ ∆  '  50q ∙ ∆   5  25  5  ∆ ∙    '  60,5( ∙ ∆  '  60,5q ∙ ∆  5  25  59  ∆  ∙  9  '  72( ∙ ∆  −' + 72q ∙ ∆  5 − 259 + 0 = ∆  ∙ 

ČVOR 14: U točki B se smatra da nema pomaka pa je:

ČVOR 15:

ČVOR 16:

5: = 0 59 − 0 + 5= = 0

= = / − 12,5( ∙ ∆  −/ + 12,5q ∙ ∆   0 − 25= + 5> = ∆ ∙  > = / − 8( ∙ ∆  −/ + 8q ∙ ∆  5= − 25> + 5? = ∆  ∙  8

ČVOR 17:

ČVOR 18:

ČVOR 19:

ČVOR 20:

? = / − 4,5( ∙ ∆  −/ + 4,5q ∙ ∆  5> − 25? + 5@ = ∆  ∙  @ = / − 2( ∙ ∆  −/ + 2q ∙ ∆  5? − 25@ + 5A = ∆  ∙  A = / − 0,5( ∙ ∆  −/ + 0,5q ∙ ∆   5@ − 25A + 5 = ∆ ∙   = / 7 5A = 5A

5A − 25 + 5A7 = ∆  ∙

−/ 

Nakon sređivanja dobiva se sustav 21 jednadžbe s 21 nepoznanicom koji glasi: 1. ∆  25 − 25 + ∙ ' = 0  2. ∆  ( ∙ ∆ : 5 − 25 + 59 + ∙ ' = 0,5   3. ∆  ( ∙ ∆ : 5 − 259 + 5: + ∙ ' = 2   4. ∆  ( ∙ ∆  59 − 25: + 5= + ∙ ' = 4,5   5. ∆  ( ∙ ∆  5: − 25= + 5> + ∙ ' = 8   6. ∆  ( ∙ ∆  5= − 25> + 5? + ∙ ' = 12,5   7. ∆  ( ∙ ∆  5> − 25? + 5@ + ∙ ' = 18   8. ∆  ( ∙ ∆  5? − 25@ + 5A + ∙ ' = 24,5   9

9.

10.

∆  ( ∙ ∆  5@ − 25A + 5 + ∙ ' = 32   5A − 25 + 5 +

11.

∆  ( ∙ ∆  ∙ ' = 40,5  

5 − 25 + 5 + 12.

13.

∆  ( ∙ ∆  ∙ ' = 50  

∆  ( ∙ ∆  5 − 25 + 59 + ∙ ' = 60,5   5 − 259 +

14.

∆  ( ∙ ∆  ∙ ' = 72  

59 + 5= = 0

15.

−25= + 5> + 16.

∆  ( ∙ ∆  / = 12,5  

5= − 25> + 5? + 17.

18.

∆  ( ∙ ∆  / = 8 ∙  

∆  ( ∙ ∆  5> − 25? + 5@ +  = 4,5  /  5? − 25@ + 5A +

19. 5@ − 25A + 5 + 20.

∆  ( ∙ ∆  / = 2  

∆  ( ∙ ∆  / = 0,5  

25A − 25 + 21.

∆   =0  /

−/ + ' = 20781250

Sustav jednadžbi će se riješiti u obliku:

CAE ∙ FbH = FCH 10

Lijeva strana sustava jednadžbi se pretvara u matricu sustava [A]: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

w1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

w2 2 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

w3 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

w4 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

w5 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

w6 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

w7 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

w8 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

w9 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

w10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

w11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

w12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0

w13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0

w15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0

w16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0

w17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0

w18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0

w19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 2 0

w20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 0

Ma 1,3451E-09 1,3451E-09 1,3451E-09 1,3451E-09 1,3451E-09 1,3451E-09 1,3451E-09 1,3451E-09 1,3451E-09 1,3451E-09 1,3451E-09 1,3451E-09 1,3451E-09 0 0 0 0 0 0 0 1

Mc 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,3451E-09 1,3451E-09 1,3451E-09 1,3451E-09 1,3451E-09 1,3451E-09 -1

Desna strana sustava jednadžbi se pretvara u vektor {C}: 0 0,00021018 0,00084071 0,00189159 0,00336283 0,00525442 0,00756637 0,01029867 0,01345133 0,01702433 0,0210177 0,02543141 0,03026548 0 0,00525442 0,00336283 0,00189159 0,00084071 0,00021018 0 20781250

11

{b} je vektor nepoznanica: w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 w9 w10 w11 w12 w13 w15 w16 w17 w18 w19 w20 Ma Mc

Prije rješavanja potrebni su još sljedeći podaci: Ix = 25170 cm4 – moment inercije oko osi x, iz tablice toplo valjanih profila prema EURONORM 53-62 (HE-B), za nazivnu mjeru 300 mm za nazivnu mjeru 300mm: E = 184,6 GPa – modul elastičnosti, iz tablice ovisnosti modula elastičnosti o temperaturi (ASME B31.1 – 1995), za ugljične čelike s manje od 0,3% ugljika, za temperaturu 290°C, linearnom interpolacijom. Sustav se rješava pomoću programa Microsoft Excel. Kako bi dobili iznose nepoznanica potrebno je prvo izračunati inverz matrice sustava [A] pomoću naredbe „minverse“ koji glasi: -4,153 -3,667 -3,208 -2,778 -2,375 -2 -1,653 -1,333 -1,042 -0,778 -0,542 -0,333 -0,153 0,1528 0,2778 0,375 0,4444 0,4861 0,5 2E+07 2E+07

-7,306 -7,333 -6,417 -5,556 -4,75 -4 -3,306 -2,667 -2,083 -1,556 -1,083 -0,667 -0,306 0,3056 0,5556 0,75 0,8889 0,9722 1 4E+07 4E+07

-6,306 -6,333 -6,417 -5,556 -4,75 -4 -3,306 -2,667 -2,083 -1,556 -1,083 -0,667 -0,306 0,3056 0,5556 0,75 0,8889 0,9722 1 4E+07 4E+07

-5,306 -5,333 -5,417 -5,556 -4,75 -4 -3,306 -2,667 -2,083 -1,556 -1,083 -0,667 -0,306 0,3056 0,5556 0,75 0,8889 0,9722 1 4E+07 4E+07

-4,306 -4,333 -4,417 -4,556 -4,75 -4 -3,306 -2,667 -2,083 -1,556 -1,083 -0,667 -0,306 0,3056 0,5556 0,75 0,8889 0,9722 1 4E+07 4E+07

-3,306 -3,333 -3,417 -3,556 -3,75 -4 -3,306 -2,667 -2,083 -1,556 -1,083 -0,667 -0,306 0,3056 0,5556 0,75 0,8889 0,9722 1 4E+07 4E+07

-2,306 -2,333 -2,417 -2,556 -2,75 -3 -3,306 -2,667 -2,083 -1,556 -1,083 -0,667 -0,306 0,3056 0,5556 0,75 0,8889 0,9722 1 4E+07 4E+07

-1,306 -1,333 -1,417 -1,556 -1,75 -2 -2,306 -2,667 -2,083 -1,556 -1,083 -0,667 -0,306 0,3056 0,5556 0,75 0,8889 0,9722 1 4E+07 4E+07

-0,306 -0,333 -0,417 -0,556 -0,75 -1 -1,306 -1,667 -2,083 -1,556 -1,083 -0,667 -0,306 0,3056 0,5556 0,75 0,8889 0,9722 1 4E+07 4E+07

0,6944 0,6667 0,5833 0,4444 0,25 -4E-16 -0,306 -0,667 -1,083 -1,556 -1,083 -0,667 -0,306 0,3056 0,5556 0,75 0,8889 0,9722 1 4E+07 4E+07

1,6944 1,6667 1,5833 1,4444 1,25 1 0,6944 0,3333 -0,083 -0,556 -1,083 -0,667 -0,306 0,3056 0,5556 0,75 0,8889 0,9722 1 4E+07 4E+07

2,6944 2,6667 2,5833 2,4444 2,25 2 1,6944 1,3333 0,9167 0,4444 -0,083 -0,667 -0,306 0,3056 0,5556 0,75 0,8889 0,9722 1 4E+07 4E+07

3,6944 3,6667 3,5833 3,4444 3,25 3 2,6944 2,3333 1,9167 1,4444 0,9167 0,3333 -0,306 0,3056 0,5556 0,75 0,8889 0,9722 1 4E+07 4E+07

4,6944 4,6667 4,5833 4,4444 4,25 4 3,6944 3,3333 2,9167 2,4444 1,9167 1,3333 0,6944 0,3056 0,5556 0,75 0,8889 0,9722 1 4E+07 4E+07

4,6944 4,6667 4,5833 4,4444 4,25 4 3,6944 3,3333 2,9167 2,4444 1,9167 1,3333 0,6944 -0,694 -0,444 -0,25 -0,111 -0,028 1E-16 4E+07 4E+07

4,6944 4,6667 4,5833 4,4444 4,25 4 3,6944 3,3333 2,9167 2,4444 1,9167 1,3333 0,6944 -0,694 -1,444 -1,25 -1,111 -1,028 -1 4E+07 4E+07

4,6944 4,6667 4,5833 4,4444 4,25 4 3,6944 3,3333 2,9167 2,4444 1,9167 1,3333 0,6944 -0,694 -1,444 -2,25 -2,111 -2,028 -2 4E+07 4E+07

4,6944 4,6667 4,5833 4,4444 4,25 4 3,6944 3,3333 2,9167 2,4444 1,9167 1,3333 0,6944 -0,694 -1,444 -2,25 -3,111 -3,028 -3 4E+07 4E+07

4,6944 4,6667 4,5833 4,4444 4,25 4 3,6944 3,3333 2,9167 2,4444 1,9167 1,3333 0,6944 -0,694 -1,444 -2,25 -3,111 -4,028 -4 4E+07 4E+07

2,34722222 2,33333333 2,29166667 2,22222222 2,125 2 1,84722222 1,66666667 1,45833333 1,22222222 0,95833333 0,66666667 0,34722222 -0,3472222 -0,7222222 -1,125 -1,5555556 -2,0138889 -2,5 20650586,7 20650586,7

3,4731E-08 3,4525E-08 3,3909E-08 3,2881E-08 3,1442E-08 2,9593E-08 2,7332E-08 2,4661E-08 2,1578E-08 1,8085E-08 1,418E-08 9,8643E-09 5,1377E-09 -5,138E-09 -9,341E-09 -1,261E-08 -1,495E-08 -1,635E-08 -1,681E-08 0,30555556 -0,6944444

12

Množenjem inverza matrice [A]-1 sa vektorom {C} pomoću naredbe „mmult“ dobiva se rješenje sustava: w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 w9 w10 w11 w12 w13 w15 w16 w17 w18 w19 w20 Ma Mc

Momenti MA i MC:

Maksimalni progibi:

0,920064291 mm 0,911677646 mm 0,886727888 mm 0,845845548 mm 0,79008151 mm 0,720907014 mm 0,640213653 mm 0,550313372 mm 0,453938473 mm 0,35424161 mm 0,254795792 mm 0,159594381 mm 0,073051093 mm -0,073051093 mm -0,129667515 mm -0,171740858 mm -0,200742361 mm -0,217722909 mm -0,223313033 mm 12469618,06 Nmm -8311631,944 Nmm

' = 12469,6 Nm / = −8311,6 Nm 5 = 0,92 mm 5: = 0 mm 5 = −0,2233 mm

13

Elastična linija je prikazana na slici:

Slika 3.3 Skica elastične linije

14

4 PRORAČUN PROGIBA ANALITIČKIM POSTUPKOM RJEŠAVANJA Problem će biti riješen energijskom metodom za određivanje sila i deformacija. Jednadžbe statičke ravnoteže:

Σ$ = 0 * &' − ( ∙ = 0 2 * &' = ( ∙ = 7500 N 2 Σ$. = 0 0 &/ − ( ∙ = 0 2 0 &/ = ( ∙ = 16250 N 2

Σ'  0 0 * 0 /  &/ ∙  ( ∙  ( ∙  '  0 2 8 8 /  '  20781,25  0 Progib u točki A će se odrediti pomoću uvjeta da je nagib elastične linije u točki A αA=0. K' =

∂M =0 N'

Nosač je oslobođen veza te je podijeljen na dva integracijska područja, x1 i x2, duljina AB i BC.

Slika 4.1 Integracijska područja nosača 15

Momenti za pojedina područja integracije:



  = ' − ( ∙ 2 0  = ' + &' ∙  − ( ∙ − ( ∙ 8 2

Parcijalne derivacije momenata po MA: N =1 ∂' N =1 ∂'

K' = UV

∂M 1 ∂ = O  ∙ d = 0 N'  ∂' W

 R Z 1 Q  0  ∙ O S' − ( ∙ T ∙ 1d + O S' + &' ∙  − ( ∙ − ( ∙ T ∙ 1d YY = 0 ∕∙   QQ 2 8 2 Y   P X UV

W

 9  1 1 1 S' ∙  − ( ∙ T\ +
' ∙  + &' ∙  − ( ∙ 0 ∙  − ∙ ( ∙ 9 ] = 0 6  2 8 6 

' ∙

a 1 1 1 1 1 − ( ∙ 09 + ' ∙ * + &' ∙ *  − ( ∙ 0 ∙ * − ( ∙ * 9 = 0 2 48 2 8 16 48

Uvrštavanjem poznatih vrijednosti može se izračunati nepoznanica MA: ' = 13177,1 Nm Iz jednadžbe statičke ravnoteže za moment oko točke A može se izračunati moment MC: / = ' − 20781,25 = −7604,15 Nm Progib u točki A se računa prema izrazu: 5' =

∂M 1 ∂ = O
 ∙  d N$'  ∂$'

Parcijalne derivacije momenata po sili FA: N = − ∂$'

N 0 =− ∂$' 2

16

UV

W

 R Z 1 Q  0  0 Y 5' = O S' − ( ∙ T ∙ − d + O S' + &' ∙  − ( ∙ − ( ∙ T ∙ −  d Y  QQ 2 8 2 2 Y   P X

5' =

1 −'  1 1 1 1 &' 
0 + ( ∙ 0: − ' ∙ 0 ∙ * + ( ∙ 09 ∙ * + ( ∙ 0 ∙ * 9 − ∙ * ∙ 0  16  8 128 4 32 96

Daljnjim sređivanjem i uvrštavanjem poznatih vrijednosti dobiva se izraz: 5' =

1 46348,3 = 9,975 ∙ 10: m  5' = 0,9975 mm

17

5 ZAKLJUČAK Maksimalni progib je progib wA u točki A. Iznos progiba dobiven numeričkim postupkom metodom konačnih razlika: Iznos progiba dobiven analitički:

5 = 5' = 0,92 mm 5' = 0,9975 mm

Razlika dobivenih rezultata iznosi 7,8%.

18