Seminario Santa Maria ANALISIS COMBINATORIO Mejorado

ANALISIS COMBINATORIO TÉCNICA DE CONTEO PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN Supongamos que tengo 3 camisas de vestir y 4 pantalones. ¿Cuáles y cuántas serán las diferentes formas que tendré para vestirme con dichas prendas? Veamos:

* * * Se observa:

K1 : elementos repetidos de una 1era clase. K2 : elementos repetidos de una 2da clase. K3 : elementos repetidos de una 3era clase. Kn : elementos repetidos de una nésima clase.

VARIACIONES: arreglos donde participan un grupo de los elementos. (importa el orden del arreglo) Supongamos que Alberto (A), Beatriz (B), Carlos (C) y Daniel (D) se quiere sentar en dos sillas disponibles. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar? Veamos:

C representa una camisa y P un pantalón; entonces: = Donde: K1 + K2 + K3 + ……… + Kn  N Entonces: n ! = (n  1 )!  n

 Tendemos 3 x 4 = 12 formas diferentes.

Ejemplo: Calcular:

Es decir, el número de arreglos diferentes que se pueden hacer con 4 elementos diferentes, tomados de a 2, es igual a 12. Luego, el número de variaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2 será :

Ejemplo: Con todas las letras de la palabra “ALIBABA” ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar, sin importar lo que diga?

En general: Si un proceso (A) se puede efectuar de n maneras y otro proceso (B) se puede efectuar de m maneras diferentes, entonces ambos procesos juntos se pueden efectuar de (mxn) maneras diferentes. PRINCIPIOS DE LA ADICIÓN Si tengo 4 maneras diferentes para ir al Cusco y otras 3 formas para viajar a Arequipa, entonces tengo (4+3) formas diferentes para ir al Cusco o Arequipa. Entonces: Si un proceso (A) se puede efectuar de n maneras y otro proceso (B) se puede efectuar de m maneras, entonces A o B se pueden efectuar de ( m + n ) maneras. FACTORIAL DE UN NÚMERO Sea "n" un número entero positivo, el factorial de "n", se denota por "n!" o "" y se define como el producto de los enteros consecutivos desde 1 hasta n o desde n hasta la unidad inclusive. n ! = n = 1  2   3   4   . . . .   ( n  1 )   n

Ejemplos:

Ejemplo: Calcular:

En general : Donde n  k  Z+ Forma práctica:

PERMUTACIÓN: arreglos donde participan todos los elementos En una carrera participan 3 atletas, ¿de cuántas maneras distintas pueden llegar a la meta, si llega uno a continuación del otro? Veamos: Sean los participantes a,b,c los arreglos serian: abc, acb, cab,cba,bac,bca, serian en total seis arreglos, los cuales se puede hallar con

PERMUTACION CIRCULAR Es un arreglo u ordenación de elementos diferentes alrededor de un objeto; en estas ordenaciones no hay primer ni último elemento por hallarse todos en línea cerrada. Pc(n) = (n1)! Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una masa circular 7 personas?

COMBINACIONES: arreglos donde participan un grupo de los elementos. (No importa el orden del arreglo) Si tenemos 5 textos de diferentes cursos, ¿cuántos grupos diferentes de 2 textos cada grupo se pueden formar? Solución: Si los textos son A,B,C,D,E, entonces las parejas serán : {A;B};{A;C};{A,D},{A,E},{B,C},{B,D}, {B,E}, {C,D},{C,E},{D,E} Luego el número de combinaciones de 5 elementos tomado de 2 en 2 es 10.

En general: PERMUTACION CON REPETICIÓN Es un arreglo u ordenación de elementos donde algunos de ellos se repiten. Si se tienen “N” elementos de los cuales:

En general:

n  k  Z+

Forma práctica:

d) 720 a) 400 d) 399

b) 380 e) 401

c) 240

5. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna y sin retornar por ningún tramo o camino de ida? Ejemplo: = Propiedades:

n

n

C k = C nk

=10

a) 400 d) 399

C 50  C 50 4

A

NIVEL I 1. Felipe desea viajar de Lima a Cuzco y tiene A su disposición 4 líneas aéreas y 6 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar? a) 6 líneas b) 4 c) 24 d) 10 e) N.A. 2. Esther tiene 4 blusas y 3 faldas. ¿De cuántas maneras se puede vestir, si la blusa azul se la debe poner siempre con la falda celeste? a) 12 d) 11

c) 240

6. ¿Por cuántas rutas diferentes se puede ir de A a B y regresar al punto A sin retornar por ningún tramo o camino de ida?

C 17 0  C 13 0 46

b) 380 e) 401

b) 8 e) N.A.

c) 7

C

B

b) 160 e) N.A.

7.

Con todas las letras de la palabra BEATRIZ, cuántas palabras diferentes se pueden formar sin importar que las palabras tengan o no sentido. a) 120 b) 720 c) 5040 d) 28 e) N.A. 8.

La T y siempre.

R

deben

estar

juntas

a) 120 b) 720 c) 5040 d) 240 e) N.A. 9. Todas las palabras deben empezar con B y siempre deben llevar consigo la sílaba TRIZ.

a) 9 c) 12 d) 40

a) 6 c) 12 d) 120

20

e) 625

4. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna y regresar, si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida?

a) 24 d) 12

b) 24 e) N.A.

10. ¿De cuántas maneras distintas 5 personas pueden ubicarse alrededor de una fogata? a) 120

b) 24

b) 120 e) N.A.

c) 36

NIVEL II 01. Pablito va con su papá a una tienda de discos. Luego de una detallada búsqueda se decide por 5 CDs y 7 casetes; sin embargo su padre le indica que solo puede escoger 2 CDs y 3 casetes. Calcular el número de formas diferentes que puede efectuar su pedido considerando la sugerencia de su padre. b) 30 e) 28

c) 350

c) 180

ENUNCIADO: "De Lima a Ica, existen 4 caminos diferentes, de Ica a Tacna hay 5 caminos también diferentes". 3. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna, pasando siempre por Ica? b)

11. Del problema anterior. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ubicarse alrededor de la fogata, si dos personas deben estar juntos siempre?

a) 300 d) 45 a) 150 d) 120

e) N.A.

c) 240

02. ¿Cuántos diccionarios billingües se deben editar si tomamos en consideración los siguientes idiomas: español, inglés, francés, alemán y japonés? a) 60 d) 5

b) 24 e) 32

c) 10

03. Un supervisor, responsable de 7 promotores de venta debe verificar el trabajo de su equipo. Con el fin de no despertar suspicacias, varía permanentemente el orden de verificación. ¿De cuántas formas diferentes puede efectuar su trabajo? a) 920 d) 5040

b) 820 e) 620

c) 720

04. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 6 niños en fila, a condición de que tres de ellos en particular, estén siempre juntos? a) 5040 b) 4050 c) 7000 d) 72 e) 144 05. Con las cifras 8; 5; 1; 2; 6, ¿cuántos números mayores de 10 y menores de 99, se pueden formar?

a) 10 d) 30

b) 60 e) 20

c) 120

06. Con las letras de la palabra “EDITOR”, ¿cuántas palabras de 6 letras que terminen en “E” se pueden formar? a) 60 d) 120

b) 720 e) 24

c) 360

07. Un padre va al cine con sus 4 hijos. ¿De cuantas maneras podrán sentarse en una fila, si el padre siempre se sienta al centro? a) 24 d) 60

b) 48 e) 30

c) 120

08. Noemí tiene por su casa 6 amigos, uno de los cuales se llama Jorge. ¿De cuantas maneras podrá invitar a 3 de ellos a su casa, si Jorge siempre debe estar entre los invitados? a) 20 d) 40

b) 10 e) 120

c) 60

09. ¿De cuantas maneras se pueden disponer 5 personas en una fila, si una de ellas siempre va en un extremo? a) 24 d) 240

b) 48 e) 20

c) 120

10. ¿De cuantas maneras se podrá formar una comisión de por lo menos 4 personas, con 6 personas disponibles? a) 15 d) 28

b) 21 e) 22

c) 42

11. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa circular, si tres de ellas siempre deben estar juntas? a) 12 d) 24

b) 72 e) 48

c) 20

12. Martín tiene 12 amigos y 15 amigas. ¿De cuántas maneras podrá elegir a 6 amigos y 8 amigas para invitarlos a su casa?

a) 924 b) 6 435 c) 7 359 d) 5 945 940 e) 5 945 490 13. Un entrenador de fútbol tiene 16 jugadores. ¿De cuántas maneras podrá formar su equipo, si cualquiera de los jugadores puede desempeñarse en cualquier puesto?; además se sabe que un jugador no puede jugar por estar lesionado. a) 1 356 d) 3 003

b) 1 365 e) 1 615

c) 1 500

b) 840

c) 120 e) 64

15. En un mercado venden 6 tipos diferentes de frutas y 8 tipos diferentes de verdura. ¿De cuantas maneras una señora podrá comprar 3 tipos diferentes de verdura? a) 280 d) 140

b) 560 e) 96

17. En un grupo de 15 personas hay 4 que se llaman Luis, 6 Pedro y el resto Jorge. ¿De cuántas maneras se podrán elegir a 2 Luises, 4 Pedros y 3 Jorge? a) 900 d) 300

14. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra "JAPANAJA"? a) 81 d) 8

podrá comprar 3 tipos diferentes de fruta o 2 tipos diferentes de verdura? a) 48 b) 96 c) 280 d) 140 e) 560

c) 48

16. En el problema anterior, ¿de cuantas maneras diferentes, al señora

b) 600 e) 1 200

c) 750

18. En un plano hay 10 puntos, ¿cuántos segmentos se pueden determinar, que tengan como extremos a dichos puntos? a) 45 b) 90 c) 20 d) 5 e) 50 19. Se tienen 15 puntos coplanarios, donde 3 o más de ellos no son colineales. ¿Cuántos triángulos se pueden determinar, que tengan como vértices a dichos puntos? a) 165 d) 150

b) 910 e) 455

c) 250

20. Un muchacho visita a su enamorada 3 veces a la semana. ¿De

cuantas maneras podrá elegir dichos días de visita, si uno de esos días debe ser sábado? a) 21 d) 42

b) 30 e) 45

c) 15

21. Un barco lleva 5 banderas de color diferente. ¿Cuántas señales diferentes se podrán hacer, izando en un mástil, por lo menos 3 banderas? a) 520 d) 246

b) 430 e) 150

b) 210 e) 180

c) 325

23. Con 10 marineros, ¿cuántas tripulaciones de 4 marineros se pueden formar? a) 180 d) 420 24. los marineros

b) 210 e) 270

a) 2 500 d) 5 040

b) 240 e) 1 800

c) 5 400

25. ¿Por cuántas rutas diferentes se puede ir de A a B?

A

C

B

c) 864 000

22. En el problema anterior, ¿cuántas señales podrán hacerse, pudiendo izarse cualquier número de banderas? a) 405 d) 350

determinados, ¿de cuántas maneras se formará la tripulación?

a) 12 d) 20

b) 14 e) 24

c) 16

26. Del siguiente tablero, ¿de cuántas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca y una casilla negra de tal manera que no estén en la misma horizontal ni vertical?

c) 220

En el problema anterior, si deben ocupar puestos

a) 24 d) 256

b) 120 e) 64

c) 32