Semejanza de Triangulos.
December 29, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Secretaría de Educación Pública Subsecretaria de Educación Media Superior Dirección General de Educación Tecnológica Industrial
CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS industrial de servicios No.160
ALUMNO:__________________________________________________ GRUPO_________ N:L:________ DOCENTE: ING. FERNANDO TOVAR OLIVARES FECHA: ABRIL 2018 SEMEJANZA DE TRIANGULOS Se denomina semejanza a las características y condiciones geométricas para reproducir las figuras con todos sus detalles, haciendo variar únicamente su tamaño y conservando su forma, El símbolo de la semejanza es “ ”
~
Dos triángulos se llaman semejantes cuando sus ángulos miden respectivamente respectivamente iguales uno a uno y sus lados homólogos proporcionales.
Lados homólogos.- Son lados l ados opuestos a los ángulos respectivamente congruentes. congruentes. AB y DE ; BC y EF ; AC y DF EDF;
BAC = B
ACB =
DFE y
ABC =
DEF
K: constante de proporcionalidad.
ka
kc
E
c
kb
A
D
C
=
= K
Lados proporcionales o razón de semejanza
a
b
=
F
Por lo tanto
ABC ~
DEF
CARACTERES DE LA SEMEJANZA DE TRIANGULOS: La semejanza de triángulos es una relación de equivalencia y por lo tanto satisface satisface los caracteres de: de: a) Idéntico ó reflejo.- Todo triángulo es semejante a sí mismo. ABC ~ ABC b) Recíproco o simétrico.- Si un triángulo es semejante a otro, este es semejante al primero. ABC ~ DEF También DEF ~ ABC c) Transitorio.- Dos triángulos son semejantes a un tercero, son semejantes entre sí.
ABC ~
DEF;
DEF ~
XYZ por lo tanto ABC ~
EYZ
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA SEMEJANZA DE TRIANGULOS. “Toda paralela a un lado de un triáng t riángulo, forma como los otros lados l ados un triángulo semejante al trazado”. Q
X
P
Y
Z
R
HIPOTESIS: PQR, EY ll PR PR TESIS: XQY ~ PQR CONTRUCCIÓN AUXILIAR. Por el punto Y se traza t raza YZ ll PQ RYZ Formándose DEMOSTRACCION: En los PQR y XQY, se tiene tiene PQR y XQY por ser angulos comunes. QXY y QPR por ser angulos correspondientes. QYX y QRP por ser angulos correspondientes.
(1)
(2)
= =
son todos proporcionales, por ser XY ll PR PR (Teorema de Tales)
son todos proporcionales, proporcionales, siendo siendo YZ ll QP en QP en base a la construcción auxiliar (Teorema de Tales).
(3) Comprando (1) y (2), tenemos; tenemos;
=
=
transitorio. aplicando el carácter transitorio.
(4) PZ = XY, XY, por ser lados opuestos del paralelogramo. (5) (5) Sustituyendo Sustituyendo (4) en (3), tenemos:
CONCLUCION:
PQR =
=
XQY ;
=
QXY =
Por lo tanto: XQY ~
QPR ;
QYX =
QRP QRP Y
=
=
PQR
TEOREMA RECIPROCO DEL FUNDAMENTAL DE LA SEMEJANZA DE TRIANGULOS.- “Todo triángulo
semejante a otro es igual a uno de los triángulos que pueden obtenerse trazando una paralela a la base de éste”
CASOS O CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULO.
Para determinar la semejanza entre dos triángulos, no es necesario conocer la igualdad de todos los angulos y la proporcionalidad de los lados homólogos, tal y como lo indica el teorema fundamental; razón que permite establecer los siguientes casos de semejanza de triángulos.
1.- CASO AAA.- si dos triángulos t riángulos tienen 2 ángulos que miden respectivamen respectivamente te iguales. A Si: GA = ED GH ll BC α D γ α = ϕ G H γ = θ Φ γ = β β
θ
B
C
E
F
AGH ABC ~= Por lo tanto:
DEF AGH ABC ~
DEF
Ejemplo :
Según la figura, si AB // DE , ¿es Si AB // DE , entonces
D= B
ABC
DCE?
A
B
( Alternos internos entre paralelas ) y E= A
por lo tanto :
C
( alternos internos entre paralelas)
ABC
DCE
D
E
2.- CASO LAL.- Si dos triángulos tienen 2 lados proporcionales y los ángulos comprendidos miden iguales
A
Sí:
GH = EF GA = ED GH ll BC AGH ~ ABC Φ α =
D
α
G
H Φ
B
C
E
F
=
Por lo tanto:
= K
ABC ~
DEF
Ejemplo: ¿Son semejantes los triángulos?
C Como
15 10
Entonces
12 8
y ademas
= B = 35º
8
B
15
CRJ
R
Q
35º 10
LBQ
L 35º R
12
J
3.- CASO LLL. Si dos triángulos tienen 3 lados proporci proporcionales onales (ver figura uno de semejanzas semejanzas de Triángulo) A Sí: G
D
H
B
GH GA == EF ED AH = DF GH ll BC AGH = DEF AGH ~ ABC Por lo tanto: AGH ~ ABC ABC ~ DEF
C
E
F
Ejemplo: ¿Son semejantes los triángulos TMQ y CJX? T Como
18 12
Entonces
12 8
15 10
ABC
18 12
DEF
Q
15
J
M
10
8 C
X 12
TRIÁNGULO RECTÁNGULO Introducción El estudio, conocimiento y manejo del triángulo rectángulo es de gran ayuda para su aplicación en otras asignaturas de la curricula (Física, Geografía, Cálculo Diferencial e Integral, etc.). Así también, es de gran utilidad para resolver problemas en los que intervienen ángulos y las longitudes de sus llados; ados; el triángulo lo encontramos desde las mesas de billar, hasta en las más grandes construcciones. Además, en la ingeniería, tareas como el cálculo de alturas de puentes y edificios entre otros, es práctica práctica común que se lleva a cabo a través de la aplicación de ésta área de las matemáticas.
Es necesario identificar con todo detalle a los triángulos rectángulos, ya que de este proceso podemos obtener datos muy importantes, importantes, como la distancia de la Tierra al Sol, la longitud de lugares inaccesibles al hombre entre otros.
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS RECTANGULOS.- Como todos los triángulos rectángulos tienen un ángulo recto igual entre ellos, su semejanza se condiciona a los siguientes casos: 1.- “Dos triángulos rectángulos son semejantes, cuando tienen un ángulo agudo igual”. igual”. A α =
Sí:
θ
D ABC = 90°
90° θ
α
B
C
Por lo tanto:
E
DEF = 90°
ABC ~
DEF
F
2.- “Dos triángulos rectángulos son semejantes, cuando tienen un ángulo agudo igual”. A D
Sí: Sí:
ABC =
90°
90°
B
C
E
F
Por lo tanto:
=
DEF = 90°
ABC ~
DEF
3.- “Dos triángulos rectángulos rectángulos son semejantes, cuando cuando tiene la hipotenusa y un cateto proporcional”. A D
Sí: Sí:
ABC =
90° 90°
Por lo tanto:
90°
B
C
E
=
DEF = 90°
ABC ~
DEF
F
PROPORCIONALIDAD DE LAS ALTURAS DE DOS D OS TRIANGULOS SEMEJANTES.- Las SEMEJANTES.- Las alturas de dos triángulos semejantes son proporcionales siempre y cuando sean las homologados”. homologados”. TEOREMA.- Las alturas homólogas de dos triángulos t riángulos semejantes son proporcionales a sus lados correspondientes”. correspondientes”. “
C H
90° A
Sí:
B E
HEF = 90° 90°
ABC ~
EGH
Por lo tanto:
90° D
CAD =
F
G
=
RAZONES Y PROPORCIONES. Una razón es un cociente o comparación de magnitudes. En la razón se busca comparar dos números en el que el primero contenga al segundo y viceversa. Ejemplos: 12
15
3
5
3
1
4
15 3 5 Una proporción está determinada como la igualdad de dos razones, r azones, ejemplo: R1
A
R2
C
D B La proporción proporción se escribe como: A:B : : C:D que se lee: A es a B como C es a D. Se considera que A y D son extremos y B y C son medios.
PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA. Si en una figura geométrica se conserva la razón que existe al comparar dos de sus magnitudes y una de ellas la hacemos crecer o variar su tamaño, las demás magnitudes deben variar con la misma constante de proporcionalida proporcionalidad. d. Ejemplo: Consideremos Consideremos los triángulos ABC y A’B’C’: A’B’C’: Razón de los perímetros en dos triángulos semejantes Observa que sus lados son proporcionales: proporcionales: 8
6
10
= 3 = 5 = 2 4 Por eso los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes y la razón de semejanza es AC
8 = =2 A´Cʹ 4
Vamos ahora a calcular la razón de los perímetros de los triángulos ABC y A’B’C’: A’B’C’: P = perímetro del triángulo ABC (8 + 6 + 10) cm = 24 cm P’ = perímetro del triángulo A’B’C’ (4 + 3 + 5) cm = 12 cm →
→
Ejemplo: los lados de un rectángulo miden 3 m y 5 m, si el el largo crece crece a 10 m ¿cuánto debe de medir medir el el ancho para conservar conservar la razón qque ue existe existe entre entre ellos? 3
5
3(10)
x x
10
Entonces
5
x
6
m
Ejemplo.- sea un triángulo de lados 3, 4 y 5 obtenga uno uno de mayor dimensión. dimensión. Se puede resolver multiplicando multiplicando por dos cada un unoo de los lados quedando las nuevas medi medidas das de 6, 8 y 10 unidades.
6
10
5 3
8
4
Ejemplo.- En la siguiente figura, sabiendo que las dimensiones están en metros, calcula x, y, z.
24
Solución:
3a 24
30 y
x
2a x
y
2a
z
a
x
y z
48
3 30 x
16 m
20 m
24 y
2
10 m
Ejemplo.- Calcula x en el siguiente dibujo dibujo si a = 3 cm, b = 4 cm, c = 6 cm (x se denomina segmento segmento cuarto proporcional).
Solución:
a
c
b
3
x
6
4
x
6·4
x
3
8 cm
Ejemplo.- A la vista de esta imagen, calcula h.
Solución: Los dos triángulos son semejantes pues dos de sus lados son paralelos y podemos considerar que los lados formados por los rayos del Sol también son paralelos. En consecuencia: AB BC
CD DE
1 1,5
h 10
CD
1 10 1,5
6,67 m
Ejemplo.- Para calcular la profundidad de un pozo, hasta no hace mucho tiempo, se utilizaba una vara de un metro de largo que se apoyaba en el suelo y se iba separando del borde del pozo hasta que se veía el extremo del fondo. Aquí tienes una representación esquemática:
Si te has separado a 75 cm del borde, ¿cuál será la profundidad del pozo si tiene 1,5 m de diámetro? Solución: AB = 1m = 100cm BC = 75cm DE =1,5m = 150cm La profundidad del pozo será CD. Son dos triángulos semejantes puesto que sus ángulos son iguales. Por ser semejantes, tenemos que AB
CD
BC
100
DE
CD
75
CD
100·150
150
200 cm 2 m
75
Ejemplo.- Si en la figura siguiente conoces AB = 3 cm, BC = 1 cm, DE = 8 cm, calcula
Solución:
AB BC
CD
DE
1
3
CD 8
CD
8 3
2,67 cm
Ejemplo.- Calcula el valor de x en esta ilustración.
Solución: 3
x
5
55
x
55·3
5
33 m
CD.
Ejemplo.- En la siguiente ilustración, calcula D si conocemos h = 1,65 m; d = 2 m; H = 14,85 m
Solución:
h
d
H
D
D
H·d H·d
14,85·2
h
1,65
18 m
Ejemplo.- Calcula la altura de un depósito de agua que da una sombra de 15 m de largo, si a la misma hora un bastón de 1 m de alto da una sombra de 1,8 m de largo. Solución:
Los dos triángulos son semejantes pues dos de sus lados son paralelos, y podemos considerar que los lados formados en ambos triángulos por los rayos del Sol también son paralelos. En consecuencia, AB
CD
BC
1
DE
h
1,8
15
CD
1·15
1,8
8,33 m
Ejemplo.- Halla x e y en la siguiente figura: Solución: Aplicando el Teorema de Tales: x 4,5
4,5 7
6,5 y
y
7·6,5 4,5
10,11cm
3 2
x
3·4,5 2
6,75 cm
Ejemplo.- Calcula x (todas las medidas están en centímetros).
3
Solución:
x
2
5
x
3·5
2
7,5 cm
Ejemplo.- Calcula x (las unidades son metros):
3
Solución:
1,5
6
x
x
6·1,5 3
3m
Ejemplo.- Calcula x e y (las unidades son metros): Solución: 6
1,5
8
y
y
8·1,5
6
2m
6
1,5
10
x
x
10·1,5
6
2,5 m
Ejemplo.- Calcula x, y, z (las unidades son centímetros):
Solución: 6
8
x
x
6·4 6·4
3 cm
8
4
6
3
8
y
y
3· 3·8 8
6
4 cm
6
8
3
z
z
3·8 3·8
4 cm
6
Ejemplo.- Halla la altura de una torre que proyecta una sombra de 45 m, sabiendo que un muro de 3 m da una sombra de 5m. Solución:
45
x
3
5
x
45·5
3
75 m
Ejemplo.- Una escalera de 10 m está apoyada contra la pared. Su pie está a 1,6 m de la base de la misma. ¿Cuánto dista de la pared el escalón situado a 2,4 m de altura? Solución: 10
1,6
10 2,4 x 1,6·7,6 1,21 m x 10
Ejemplo.- Del siguiente dibujo conocemos: conocemos: AC = 108 m, CE = 72 m, BF = 27 m. ¿Cuánto miden BC y CF?
Solución:
108
BC
108 72
x
27·108
27
81 m
36
CF = 81 - 27 =
54 m
Ejemplo.- ¿Cuál es la altura de una torre sabiendo que proyecta proyecta una sombra de 32 m si al mismo tiempo un bastón de 1,2 m proyecta una sombra de 1,5 m? Solución:
x 32
1,2 1,5
x
32·1,2 1,5
25,6 m
25.- Calcula x (las unidades son centímetros):
Solución:
Ejemplo.- Calcula x e y (las unidades son centímetros):
9
15
6
x
x
6·15
9
10 cm
4
Solución: 4 2
2
x
6
x
y 4·4
4
y
6·2
8 cm
3 cm
7,5 cm
4
2
Ejemplo.- Calcula x e y (las unidades son centímetros):
Solución:
6 x
8 6
x
6·6 8
4,5 cm
8 6
10
y
y
6·10 8
Ejemplo.- Queremos hacer un plano a escala del aula. Para ello, tomamos medidas y observamos que tiene por planta un rectángulo de 8 x 10 m. ¿Qué medida tendrán los lados del plano si queremos utilizar una escala 1:100? Solución: Si queremos utilizar la escala 1:100 significa que cada centímetro del plano equivaldrá a 100 cm en la realidad. Las medidas en centímetros del del rectángulo del aula son 800 x 1 000 cm; por tanto las medidas serán: 800: 100 = 8 cm 1 000: 100 = 10 cm
Ejemplo.- Al realizar un plano de un cuadrado de 5 m de lado, la representación en el papel tiene un lado de 25 cm. ¿Cuál será la escala a la que lo hemos realizado? 25 cm 1 500 Solución: La escala será 1:20. x 20 500 cm
x
25
Ejemplo.- La distancia real entre dos ciudades es 80 km. Si en el mapa distan 2 cm, a) ¿cuál es la escala del mapa? b) Si otras dos ciudades distan 240 km, ¿cuántos centímetros les separa en el mapa? c) Si dos ciudades están separadas 3 cm en el mapa, ¿cuál es su distancia en la realidad? Solución:
a)
2
1
8000000
4000000
La escala es 1 : 4000000.
b) 240 km = 24000000 cm, por tanto, en el mapa distarán
24000000
6 cm .
4000000
c) En la realidad distarán 3 · 4000000 = 12000000 cm = 120 km.
Ejemplo.- La distancia real entre dos ciudades es 70 km. Si en el mapa distan 2,5 cm,
a) ¿cuál es la escala del mapa? b) Si otras dos ciudades distan 350 km, ¿cuántos centímetros les separa en el mapa? c) Si dos ciudades están separadas 1,5 cm en el mapa, ¿cuál es su distancia en la realidad? Solución: a)
2,5
1
7000000
2800000
La escala es 1 : 2800000.
b) 350 km = 35000000 cm, por tanto, en el mapa distarán
35000000 2800000
12,5 cm .
c) En la realidad distarán 1,5 · 2800000 = 4200000 cm = 42 km.
Ejemplo.- Si un campo está dibujado a escala 1 : 1200, ¿cuál será en el terreno la distancia que en el plano mide 18 cm? Solución: La distancia será: será: 18 • 1200 = 21600 cm = 216 m. m. Ejemplo.- En un mapa a escala 1: 10000000, la distancia entre dos ciudades es 12 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ambas ciudades? Solución: La distancia real será: 12 • 10000000 = 120000000 cm = 1200 km. km.
Ejemplo.- Se ha hecho un plano de una finca a escala 1: 750. ¿Qué longitud tiene la tapia que en el dibujo mide 25 cm? Solución: La tapia medirá: 25 • 750 = 18750 cm = 187,5 m. m. Una finca de forma rectangular 450 m y 320 m de dimensiones. Si se quiere representar a escala Ejemplo.3: 10000, ¿cuáles serán sus dimensiones entiene el dibujo? Solución: Las dimensiones en el dibujo serán: 450: 10000 • 3 = 0,135 m = 13,5 cm cm 320: 10000 • 3 = 0,096 m = 9,6 cm cm
Ejemplo.- Se ha construido el plano de una habitación rectangular de dimensiones 9 y 6 m. En el plano, el largo de la habitación es 12 cm. ¿Cuál es la escala del plano? ¿Cuál es el ancho de la h habitación abitación en el plano? Solución:
12
900
1
75
La escala es: es: 1 : 75
El ancho ancho es: es: 6 : 75 = 0,08 m = 8 cm
s egmento de 12 cm representa 60 m en el Ejemplo.terreno? ¿A qué escala está dibujado un campo si en el plano un segmento Solución:
12
1
6000
500
La escala es: 1 : 500
Ejemplo.- Una finca de forma rectangular tiene 30 m y 20 m de dimensiones. Si se quiere representar a escala 1 : 50, ¿cuál es el área de la finca en el dibujo? Solución: Las dimensiones dimensiones en el dibujo son: 30 : 50 = 0,6 m y 20 : 50 = 0,4 0,4 m
El área área en en el dibujo es 0,6 · 0,4 = 0,24 m2 = 2400 cm2
Ejemplo.- Un trapecio en un plano a escala 1 : 800 mide 0,12 m de base mayor, 0,09 m de base menor, y 0,07 m de altura. ¿Cuál es el área real de este trapecio? Solución: Las dimensiones reales son:
0,12 · 800 = 96 m 0,09 · 800 = 72 m 0,07 · 800 = 56 m El área real será:
96 72 2 ·56 4704 m 2
Ejemplo.- Quiero comprar una cama y en el plano, la habitación dispone de un hueco de 2 x 4 cm. Si la escala es de 1 : 45, ¿podré meter una cama de 135 x 180 cm? Solución: En el hueco cabe una cama de dimensiones: 2 · 45 = 90 cm x
4 · 45 45 = 180 cm, con lo que no puedo meter la cama que que yo quiero.
Ejemplo.- Calcula la escala de un plano en el que 4 cm representan 2,4 km en la realidad. 4 1
Solución: La escala es:
1 : 60000
240000
60000
Ejemplo.- Calcula la escala de un plano en el que el perímetro de un jardín cuadrangular es 6 cm, si en la realidad el jardín tiene un lado de 12 m. Solución: En el plano, el lado del jardín es 6 : 4 = 1,5 cm. La escala es:
Ejemplo. Encuentra el valor de
AD si AC
1,5 1200
1 800
1 : 800
= 25
A D
15 3 B
E
C
Teorema del cateto En todo triángulo rectángulo un cateto es es media media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella . a byc m
hipotenusa catetos proyección del cateto b sobre la hipotenusa
n
proyección del cateto c sobre la hipotenusa
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.
Teorema de la altura En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.
EJERCICIOS 1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si se cumple la segunda condición de semejanza.
2. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo. 3. Dos cuadriláteros tiene, tiene, cada uno, sus cuatro lados iguales y la razón entre los lados respectivos es 5:2 . ¿Es suficiente para que sean semejantes? Haz un dibujo y justifica tu respuesta. 4. Dos cuadriláteros tiene cada uno sus cuatro ángulos interiores iguales. ¿Son necesariamente semejantes?. Justifica tu respuesta y haz el dibujo correspondiente. correspondiente. 5. ¿Qué valor debe tener k para que el ABC sea semejante al DEF ?
6. Los lados de un triángulo miden 2 cm., 1,5 cm. y 3 cm. Construye, sobre un ssegmento egmento de 2,5 cm.. homólogo del primer lado de este triángulo, un triángulo semejante a aquel. 7. En un triángulo ABC, a = 6 cm, b = 8 cm y c = 10 cm. Calcula los lo s lados de un triángulo A’B’C’, semejante al triángulo ABC, de perímetro igual a 36 cm 8. En un polígono ABCDEF, de perímetro 280 cm, el lado AB mide 20 cm. Determina el perímetro A’B’C’D’E’F’, semejante al primero, si A’B’ = 8 cm cm
9. Los lados de un cuadrilátero ABCD miden AB = 6 cm, BC = 9 cm, CD = 10 cm y AD = 12 cm. Calcula los lados de otro cuadrilátero A’B’C’D’, semejante a ABCD, si A’B’ = 8 cm c m
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