Semántica de La Lógica de Primer Orden I - 2016

 

S em ántica d e la lóg ica d e p rim er ord en M od elos,in terp retaciones y va v alu acion es

 

C ontenido • La semántica de la lógica clásica • Modelo e interpretació interpretación n • Interpreta Interpretación ción por sustitución • Interpreta Interpretación ción por asignación • Consistencia, satisfabilidad y decidibilidad

 

La se sem m ántica de la lóg ica p roposicional • En la lógica proposicional, la semántica está basada en una función

que va de las fbf a los valores de verdad establecidos. Esto es, la semántica en LP es veritativo funcional. La etensión de un enunciado es su valor de verdad !"rege#. • $sumimos que %ay un &nico universo al cual aplicar nuestro esquema de valuación, valuación, tenga o no una eistencia. Esto la %ace pobre en t'rminos descriptivos y eplicativos. • cualquier LP nos brinda un esquema sencilla de veri(cación de la verdad de enunciado !las tablas de verdad#. • La semántica de LP usa el concepto de interpretación al igual que la

lógica de predicados !toda asignación de un valor de verdad por medio de la función ) no es más que una interpretación del enunciado P ba*o )#

 

M odelo e interpretación • La semántica de la lógica de primer

orden no puede ser veritativo+funcional en el sentido de la lógica proposicional porque en la primera se lleva más allá el principio de composicionalidad !"rege#. • ado que los componentes sintácticos de esta lógica incluyen individuos, la semántica subyacente requiere, como ocurre en programación, de una ontolog-a de conceptos, lo que no implica la existencia de una realidad etraling-stica.

VS

• /n modelo es un esquema que permite

desarrollar lo anterior. • Pero tenemos una idea intuitiva un

tanto dis-mil sobre 0modelo12

VS

 

M odelo e interpretación • La idea básica detrás de 0modelo1 es la de estructura que permite

interpretar epresiones epresiones de un lengua*e. • /n modelo está compuesto por dos partes3 el universo del discurso y la

función modelo. de interpretación. Estos conceptos pueden cambiar en cada • Los

modelos no ri4en con las de(niciones de etensionalidad e intensionalidad. Es importante, sin embargo, entender la etensión y la intensión en este nuevo esquema lógico3 en sentido matemático, se limita a los predicados pero se puede seguir entendiendo en el sentido de "rege. "rege.

• os

principios "/5$ME56$LE73 etensionalidad !Leibni8#.

composicionalidad

!"rege#

y

• El concepto de modelo genera una posición relativista, acorde a los

cambios cient-(cos del siglo 9I9 y 99. Es la lógica de la nueva ciencia.

 

In terp retación p or su sust sti itu ción • /n modelo M para el lengua*e L es una diada :, I; donde  representa

el universo del discurso e I representa la función de interpretación en el que • 7i c es una constante de L, entonces I!c# ∈  • 7i < es un predicado n+ario de L, entonces I!,2an# es una fórmula atómica en L, entonces ) M $!a=, a>,2an# ? = si y solo si 〈I!a=#,...,I!an#〉 ∈ I!$#. • )M !@ φ# ? = ssi )M !φ# ? A • )M !φ ∧ ψ # ? = ssi )M !φ# ? = y )M !ψ # ? = • )M !φ ∨ ψ # ? = ssi )M !φ# ? = o ) M !ψ # ? = • )M !φ → ψ # ? = ssi ) M !φ# ? A o ) M !ψ # ? = • )M !φ ↔ ψ # ? = ssi )M !φ# ? )M !ψ # • )M !∀ φ# ? = ssi )M !BcD φ#?= para toda c en L • )M !∃ φ# ? = ssi )M !BcD φ#?= para al menos una c en L

 

Ejem p lo

p=

p>

pF

p

• e(na formalmente un

modelo y muestre que las siguientes son verdaderasa(rmaciones o falsas •   ∀ ∃y "!, y# •   ∀ ∀y !5!# → V(y)) •   ∃x ∀y (¬ F(x, y) ∧ V(x))

 

In terp retación p or asign ación • /n modelo M para el lengua*e L es una diada :, I; donde  representa el universo del discurso e I representa la función de interpretación en el que3 • GGtGGM,H ? I!t# si t es una constante en L. • GGtGGM,H ? g!t# si t es una variable.

• La función )M, H !llamada la función valuación en M ba*o g# se de(ne as-3 • 7i $!t=, t>,2tn# es una fórmula atómica en L, entonces ) M $!t=, t>,2tn# ? = si y solo si 〈 GGt=GGM,H,2 GGtnGGM,H 〉 ∈ I!$#. • )M, H !@ φ# ? = ssi )M, H !φ# ? A • )M, H !φ ∧ ψ # ? = ssi ) M, H !φ# ? = y )M, H !ψ # ? = • )M, H !φ ∨ ψ # ? = ssi ) M, H !φ# ? = o )M, H !ψ # ? = • )M, H !φ → ψ # ? = ssi )M, H !φ# ? A o )M, H !ψ # ? = • )M, H !φ ↔ ψ # ? = ssi )M, H !φ# ? )M, H !ψ # • )M, H !∀ φ# ? = ssi ) M, H BdD !φ#?= para toda d en  • )M, H !∃ φ# ? = ssi )M, H BdD !φ#?= para al menos una d en 

 

Ejem p lo • e(na formalmente un

p=

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pF

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modelo y muestre que las siguientes a(rmaciones son verdaderas o falsas •   ∃x ∀y "!, y# •   ∀ ∃y "!, y# •   ∀ ∀y !!5!# ∧ V(x))→ F(x, y)) •   ∃x ∀y (¬ F(x, y) ∧ V(x))

 

Satisfacibilidad, decidib ilidad y consistencia • El primer concepto que cambia es el de satisfacibilidad3 a%ora diremos que una fórmula es satisfacible si eiste un modelo que la la

%ace verdadera. verdadera. /n modelo que la %ace falsa será un contramodelo o contrae*emplo. • Enunciados de la lógica de primer orden con predicados de más de

dos argumentos no son decidibles !es decir, no se puede crear un procedimiento ba*o el cual se pueda a(rmar que son o no verdaderos ba*o cualquier modelo#. Este es el problema de la indecidibilidad y proviene de la tesis C%urc%  6uring y de los traba*os de LJKen%eim#. • 7i una fórmula es verdadera ba*o una interpretación, entonces será

verdadera ba*o una interpretación interpretación en la que su universo del discurso sean los n&mero naturales !tesis LJKen%eim  7olem#. • La consistencia será limitada a los modelos planteados.