Semana10 02 Pruebas Hipotesis Una Media

 

RAMIRO GUERRÓN VARELA 2. 

Para determinar si las soldaduras de las tuberías en una planta satisfacen las especificaciones solicitadas, se selecciona una muestra aleatoria de soldaduras y se realizan pruebas en cada una de ellas. La resistencia de la soldadura se mide como la fuerza requerida para romperla. Suponga que las especificaciones indican que la resistencia media de las soldaduras debe exceder de 100 lb/pulg2; el equipo de inspección decide probar que la media supera la l a 100 lb/pulg 2, para lo cual se tomó una muestra de 25 observaciones, y se obtuvo una media de 101 lb/pulg 2, la desviación estándar de la población es de 5,0 lb/pulg2 , considere un nivel de significancia de 0,05 y realice una prueba de hipótesis que verifique si se cumplen los requerimientos respectivos. Datos:  = 101  ,  = 2 5,  = 5,0,   = 0,05  Solución: a. 

Determinar las hipótesis  :  ≤ 100   :  > 100 

b. 

Establecer el nivel de significancia  = 0,05 

c. 

Calcular el estadístico de prueba

=

=

−    √  10 1011 − 10 1000

= 1,0 1,0

5,0 25 √ 25 d. 

Encontrar el estadístico crítico

 = 1,64 1,6455

e. 

Toma de decisión El estadístico de prueba ( = 1,0)  cae en la zona de no rechazo, por tanto, no tengo evidencia estadística suficiente para rechazar  . Lo que se concluye es que la resistencia de la soldadura es igual o menor a 100  . Cálculo el valor-p

P á g i n a 6 | 25  25 

 

RAMIRO GUERRÓN VARELA 3. 

Se desarrolla un nuevo proceso de cura para cierto tipo de cemento que afirma da una resistencia media a la compresión co mpresión 2 2 de 500 kg/cm  y una desviación estándar de 12,0 kg/cm . Para probar la hipótesis de que  ≥ 500 contra la alternativa de que μ < 500 . Se toma una muestra aleatoria de 50 piezas de cemento, donde se obtuvo una media de 497. Se puede concluir que el nuevo proceso cumple con lo ofertado. Considere un nivel de significancia de 0,01. Datos:  = 497,  = 5,  = 12,0,  = 0,01  Solución: a.  Determinar las hipótesis  :  ≥ 500 

 :  < 500  b. 

Establecer el nivel de significancia  = 0,01 

c. 

Calcular el estadístico de prueba

=

d. 

 −  497 − 500 500 = −1 −1,7 ,767 67 =  12 √  50 √ 50

Encontrar el estadístico crítico

 = −2,326 

Usando R, se calcula de la siguiente manera:

e. 

Toma de decisión El estadístico z de prueba ( = −2,326) cae en la zona de no rechazo, por lo l o cual, no tengo evidencia estadísti estadística ca suficiente para rechazar  . Cálculo el valor-p

P á g i n a 7 | 25  25 

 

RAMIRO GUERRÓN VARELA 4. 

Un fabricante de sistemas rociadores utilizados como protección contra incendios en edificios de oficinas afirma que la temperatura de activación del sistema promedio verdadera es de 130°F. Una muestra de n = 9 sistemas, cuando se somete a prueba, dan una temperatura de activación promedio muestral de 131,08 °F. Si la distribución de los tiempos de activación es normal con desviación estándar de 1,5°F, ¿contradicen los datos la afirmación del fabricante a un nivel de significancia a 0,01? Datos:  = 131,08   = 9   = 1,5   = 0,01  Solución: a.  Determinar las hipótesis  :  = 130   :  ≠ 130  b. 

Establecer el nivel de significancia  = 0,01 

c. 

Calcular el estadístico de prueba

=

−    √ 

2,16  = 131, 131,08 08 − 130, 130,00 = 2,16 1,50 √ 9 d. 

Encontrar el estadístico crítico

 = 2,16 2,16  e. 

Toma de decisión Z cae en la zona de no rechazo, por tanto no rechazo r echazo  . No tengo evidencia estadística suficiente para rechazar  . Cálculo el valor-p

P á g i n a 8 | 25  25 

 

RAMIRO GUERRÓN VARELA 5. 

El porcentaje deseado de   en cierto tipo de cemento aluminoso es de 5,50. Para comprobar si en una instalación de producción particular el porcentaje promedio verdadero es de 5,50 se analizaron 16 muestras obtenidas de manera independiente. Suponga que el porcentaje de   en una muestra está normalmente distribuida con  = 0,30  y que se obtuvo  = 5,25. Realizar una prueba de hipótesis para verificar que la media cumpla con lo deseado. Datos:  = 5,25   = 1 6   = 0,30   = 0,05 

Solución: a.  Determinar las hipótesis  :  = 5,50   :  ≠ 5,50  b. 

Establecer el nivel de significancia  = 0,05 

c. 

Calcular el estadístico de prueba Uso el estadístico z, porque conozco la desviación estándar de la población.

=

=

d. 

−    √  5,25 5,25 − 5,50 5,50 = −3,3 3,3 … 0,30 16 √ 16

Encontrar el estadístico crítico

 = − 11,9 ,966  e. 

 = 1,9 1,96 

Toma de decisión

Rechazo   y acepto    Cálculo el valor-p

P á g i n a 9 | 25  25 

 

RAMIRO GUERRÓN VARELA 6. 

Con el fin de obtener información sobre las propiedades de resistencia a la corrosión de un tipo de conducto de acero, fueron enterrados en el suelo 45 especímenes durante 2 años. Se midió la penetración máxima (en mils) en cada espécimen y se obtuvo una penetración promedio muestral de  = 52,7 y una desviación estándar muestral de 4.8. Los conductos se fabricaron con la especificación de que la penetración promedio verdadera fuera cuando mucho de 50 5 0 mils. Serán utilizados a menos que se pueda demostrar demostrar concluyentemente que la especificación se satisface. ¿Qué concluiría? Datos:

 = 52,7  = 4 5   = 4,8   = 0,05  Solución: a.  Determinar las hipótesis  :  ≤ 50   :  > 50  b. 

Establecer el nivel de significancia  = 0,05 

c. 

Calcular el estadístico de prueba Desconocemos el valor de la desviación estándar poblacional, pero al ser una muestra de tamaño mayor que 30 usaremos el estadístico z, tomado la desviación estándar muestral como un estimador de la desviación estándar poblacional. Así usaremos:

∗ =

d. 

 −  52 52,7 ,7 − 50 50,0 ,0 = 3,77 3,7733 =  4,8 45 √  √ 45

Encontrar el estadístico critico

 = 1,645 e. 

Toma de decisión El estadístico z de prueba cae en la zona de rechazo, por tanto, rechazo    y acepto  . Lo que concluyo estadísticamente es que la media supera los 50 mils. Cálculo el valor-p

P á g i n a 10 | 25  25