Semana02 Polinomios Unica
February 1, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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EXPRES EXPR ESIO IONE NESS AL ALGE GEBR BRAI AICA CASS Y POLINOMIOS ESPECIALES Curso : Álgebra. Docente: García Saez, Edwin Carlos
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Es una compaginación de variables y constantes, en un número limitado de veces, enlazado por signos de operaciones como suma, resta, multiplicación, división, potenciación radicación. Ejemplos: 1. 2. 3.
= 3 6 , = ,, ,, = 5
Término algebraico
Es una expresión algebraica reducida donde no está presente la operación de adición y sustracción.
; = 3 3
Dónde: Coeficien Coefi ciente te o parte numé numérica rica.. -3 Variables o parte literal: ; Exponente: 5 y 7
Términos semejantes
Son aquellos términos de la misma parte literal y de exponentes iguales, entonces se pueden sumar o restar los coeficientes y se escribe la misma parte literal. Ejemplo: ;; = 4. ; ; = ..;
; = 2.
Valor num numéri érico co V.N.) V. N.)
Es el resultado que se obtiene al reemplazar las variables de una ex expres presión ión al algeb gebraic raicaa por va valore loress determinados. Ejemplo: 1. Determinar el V.N. de la siguiente expresión:
, , = 3
Para = 5 ; =2 ; = .3 Reemplazando:
5;5; 2;3 = 5 3 2 3 = 7
MONOMIO
Son expresiones algebraicas de un solo término. Ejemplo
, , = . .
1.Grado de un monomio
1.1.. Grad 1.1 Grado o abs absolu oluto to GA)
Se obtiene sumando sus exponentes de cada variable.
( ()) = 3 2 5 ⟹ ( ()) = 10
1. 2. Grado relat relativo ivo GR)
Es el exponente con respecto a un variable seleccio seleccionado. nado.
= 3, = 2, = 5
POLINOMIOS Es una expresión algebraica racional entera que consta de varios términos, que a su vez está definida sobre un campo numérico.
= Donde:
− − ⋯ ; ≠ 0
; ; ; … : coeficientes. : variable. : grado del polinomio. coeficiente principal (coeficiente de la variabl vari e con mayo mayor r exp exponen onente) te) : able Si = 1 entonces el POLINOMIO ES MÓNICO. : término independiente. independiente. •
•
Ejemplo:
,, = 2 ถ 3 ถ
1.Grado de un polinomio
1.1.. Grad 1.1 Grado o abs absolu oluto to GA )
Es la mayor suma de exponentes de variables obtenida en uno de sus términos.
⟹ () = 12
1.2.. Grad 1.2 Grado o relati relativo vo GR)
Es el mayor exponente que presente dicha variable en uno de los términos del polinomio.
= 6; = 7
TEOREMA Dado un polinomio
()
POLINOMIOSS ESPECIALES POLINOMIO
1. Polinomio ordenado
Se dic icee ordenado respecto a alguna de sus variables ,cuando 1. Suma De Coeficientes: sus exponentes sólo aumentan o disminuyen en forma creci cr ecient entee o dec decre recie ciente nte.. Ejemplo Seaa el po Se polilino nomi mioo 2. Término Indep Independien endiente te Está ordenado en forma decreciente respecto a la variable “x” y
.. = 1 .. = ( (0) 0)
,, = 2 5
en forma creciente respecto a la variable “y”. 2. Polinomio Poli nomio comple completo to
Llamaremos completo respecto a alguna variable si existen términos de todos los grados incluyendo el término indepe ind ependi ndient ente, e, has hasta ta un gr grado ado det determ ermina inado. do. Ejemplo
= 5 13 2 4 Es un polinomio completo = 5 13 2 4 Sea el polinomio
Es un polinomio completo y ordenado en forma decreciente
TEOREMA En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es igual al grado aumentado en uno.
3. Polinomio homogéneo
Un polinomio de dos o más términos y dos o más variables es homogéneo si cada término tiene el mismo grado absoluto. Ejemplo El polinomio
,, = 2 ถ ถ 3 ถ
° é é = 1
Es homogéneo de grado 9.
TEOREMA
4. DoPolinomios s o más poidénticos linomios en las mismas varia iabbles son id idéénticos,
Si un polinomio es completo y ordenado respecto a una variable, se tiene que los grados relativos a esa variable de dos términos consecutivos difieren en la unid unidad. ad.
≡
cuando tienen los mismos valores numéric icoos para cualquier val aloor que se as asig ignne a su suss vari riaabl bles es.. Teorema: Dos polinomios en una variable y del mismo grado de la forma:
= − − ⋯ = − − ⋯
Son idénticos o iguales si y solo si
= ; = ; =
5. Polinomio idénticamente nulo
≡
Un polilino nom mio es idén énti ticcam amen ente te nu nulo lo,, si su suss val aloores nu numé mérrico coss par araa cu cual alqu quiier val aloor o valo va lorres as asig igna nado doss a la lass va vari riab able less res esul ulta ta se serr si siem empr pree ce cerro. Un po polilino nom mio de la form rma: a: − − Es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes son cero, es decir:
= ⋯ = = = ⋯ = 0
6. Polinomio constante
Es de la forma
= ; ∈ ℝ ; ≠ 0, entonces su grado es cero.
1. Calcule el grado de “ “si lo loss si sigu guie ient ntes es po polilino nomi mios os so sonn semejantes
;; ; = ++ ;; ; = 5
A) 18
B) 20
C) 23
D)24
E) 26
Solución Por ser tér términ minos os sem semejan ejantes tes,, ten tenemos emos::
1 = 2 ∧ 4 = 5 ∧ 4 = 16
; ; ; ; = 6
=1 ∧ =1 ∧ =4 Luego remplazando los valores tenemos:
;; ; = ;; ; = 5
∴
= =
2.
Resp Re spec ecto to al si sigu guie ient ntee po polilino nomi mioo
() = 2 11 3
Indiquee cua Indiqu cuanta ntass pr propo oposic sicion iones es son co corr rrect ectas: as: I. Su grado es 3. II. Su coeficie iennte principal es 2. IIIII.I. El té térm rmin inoo in inde depe pend ndie ient ntee es 11. IV. El polinomio no es Mónic icoo. A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Solución
GA(P (P)= )= 3 , inc incorr orrect ectoo . GA Coefic ficien iente te pri princi ncipal pal =2 =2,, inc incorr orrect ectoo .Coe . TI=P(0)= 2.0 0 0 11 3.0 = 11, incorrecto Coeficien iciente te prin principa cipal=1 l=1, incorrecto . Coef
∴
3.
Del pol polino inomio mio
,, = 3 +−− +−
= 11 ; = 5 Dete De term rmin inee el va valo lorr de 2 . A) 10
B) 15
C) 5
D) 25
E) 12
Solución Del polinomio tenemos:
= 5 ∧ ∧ = 11
= 0 ∧ = 10 10
3 ( 2) = 5 ∧ 3 2 = 11
= ∧ = 1010 = = 5
3 2 = 5 ∧ 1 = 11
∴
=
2 ( 2) 5 es Mónico y = = ( 1) 1) ( ) es un polinomio 4. Si el polinomio
idén id énti tica came ment ntee nu nulo lo.. Ha Hallllee el má máxi ximo mo va valo lorr de A) -9
B) 9
C) 81
.
D) -81
E) 7
Solución Por ser Mónico:
(2)= ( 2) = ± 1 ( 2) = ±1 = ±1 2
= 3∨ = 1
Por se serr idé ntic nticam am ent e nu lo:
1 = 0 ∧ = 0 ∧ =0 = 1 ∧ = ∧ = 1 =
= 3 ∨ = 1
∴ = =
5. Sea es un po polilino nomi mioo de defifini nido do po porr
() ( ) = (1(1 2 2)) 1 3
tal que la suma de coeficientes excede en 23 al term te rmin inoo in inde depe pend ndie ient nte, e, ca calc lcul ulee el va valo lorr de “n”. A)2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Solución
1 0 = 23 1 = (1 2.1) 1 3.1 1 = (3 (3)) 4
Tene mo s qu e :
Luego:
0 = (1 2.0) 1 3.0 0 = (1 (1)) 1 0 =2
finalmente:
1 0 = 23 (3) 4 2 = 23 (3) 4 = 25
∴
=
6.
(() )∧∧ P Si al sumar
;
se ob obtitien enee un po polin linom omio io ho homo mogé géne neoo do dond ndee + . − .
= ;; = 6
calc lcuule el val aloor de A)2 B) -3
C)3 1
D) -2
E) 1
Solución Tene m os qu e el sig uie nte po lin linom om io es homogéneo
+ . + −− . 6 1 . = 1 . = + 1 . = . ∧ 1 . = . 1 = ∧ 1 = 1
=
∧ 1 =
1= =∧ 1 = 2 = 0 = 2 ∨ = 1 = 3
∴
1 = 2 31 = 2
7
. Si el polinomio es homogéneo homogéneo,, halle el valor de .
; ;;; = A) 1
+ . .
B) 0
C) 2
D) 4
Solución Us and o propi propieda eda de dess en los exp one nte ntess
;; ;; = .+. .+. .+ . . . 6.6. 6 18. 18 12. 12 = 36. 22 14 36. 36 = 36. 22 14 36 = 22 14 14 = 14 14
∴
=1
E) 3
8. Si () es un po polilinnomio com ompl pleeto y or ordden enaado do,, don ondde su té térm rmin inoo in inde depe pend ndie ient ntee es a la suma de coeficientes como 2 es a 3. Hallar
= 2 + (2 3 3) )− 3 A)
B)
C)
D)
E) 25
Solución Por se serr po linom io co mp leto y orde nad o ten em os descendente
= 3 ; 4 = 2 ; = 1 = 3 ; 4 = 2 ; = 1 = 1;1; = 2 ; = 1 (0) = 2 Lueg o p or dato (1) 3 2 23 3 1 3 = 23
3 2 3 2 22 6 1 3 = 3 8 = 3 9 = 2 2 16 16 = 25 2
9.
En el si sigu guie ient ntee po polilino nomi mioo se cu cump mple le::
(2 ( 2 1) = 4 3 2 128 28(4 (4 1) 1)
La sum umaa de coe oefifici cien ente tess y el té térm rmin inoo in inde depe pend ndie iennte su sum man 1. Ha Hallllee n ,si est stee es im impa par. r. A) 11
B) 5
C) 7
D) 9
E) 13
Solución Lueg o p or dato
=
finalmente 1 (0 1 = 4.13 2.1 1281 44..1 ( 10) 1 ( (00)= 1 1 = 1 2 1128 3 128 3 128=1 1 2 Luego 0 = 4.1/23 2.1/ 2.1/22 1128 4.1/2 1 2 = 128.4 2 = 2 0 = 1 1 128 1
128 00 == 1 1 1 128 1
= 9
10.
El si sigu guie ient ntee po polilino nomi mioo es cuadrático cuadrático,, Mó Móni nico co y ca carrec ecee de té térm rmin inoo liline neal al..
Halle (2)
() ( ) = 3 2 −
A) 11
B) 16
C) 14
D) 20
E) 10
Solución Luego por dato es cuadrático
1=2
=3
Lue go por dato es Mó nic nico o
2 =1
=3
Luego carece de termino lineal
3 =0
=3
finalmente
2 = 3.2 2 .2− .2.2 2 = 3.2 3 2 .2− 3.2 3 3.3 2 = 6 1 . 2 6 3 9 2 = 64 6 39 2 = 16
Gracias
Solución Calculando los valores numéricos: ❑
= .. =25
= =
❑
. = 11 = .
= =
Finalmente :
= = =7 ∴ =
Solución Del las condiciones tenemos:
Además tenemos que :
,, = 3 +− +−
1 1
= 7 3 ( 2) = 7
1= =1111
= 10
Luego Lue go resol resolvemo vemoss el si siste stema ma de ecu ecuacio aciones nes::
32=7
=2
=6
=2
= 10 10
=4
∴
=
Solución Utilizando la propiedad tenemos:
= 1 = 33 1 1 = 3
∴
= 3
Recordar
=
Solución Utilizando los datos del problema:
() = − +− −
=1∧ = 3∧ = 1
1 = 00∧ 3 = 1 ∧ = 2 = 1∧13= 1∧ = 2
Finalmente nos pide calcular:
== 11 ∧∧ 1 = 3∧ 33 = 1 =∧ 2 = 2
∴
−= 1.3.1 −= 3 − = 1/3
Solución
:: =
Utilizando los datos del problema:
≡ ( )( ) ( )
2x2
.. . = (. )( ) ( ))
: =
= . .( .())
2.2.11 . = (. )( ) ( ))
= ()
= . = ..
=
:: =
=
2.2.00 . = (. )( ) ( )
= ()( ()( ))
=
∴
=032=1
Recordar
Solución
POLINOMIO MONICO
Por ser polinomio Mónico tenemos
=
=
. . = () () . . = () ()
SUMA DE COEFICIENTES DE UN POLINOMIO
TERMINO INDEPENDIENTE DE UN POLINOMIO
Utilizando la propiedad:
. = = . . . . . .. = = . . . = = ∴ .. = =
Solución Por ser tér términ minos os sem semejan ejantes, tes, ten tenemos emos::
1 = 4∧ 4 ∧ 3 1 = 5 = 3 ∧ 3 = 6 =3 ∧ =2
Reduciendo los términos semejantes
8 7 + 15
∴
=
Solución En el monomio desarrollando la potencia poten cia tene tenemos: mos:
,, = 8+ = 36 3 36 = 327= 36 =9
∴
=
Solución Nos pide pid e ca calc lcula ularr En el monomio tenemos:
= 12 ∧ = 10 1 = 12 ∧ 3 = 10 = 13 ∧ = 7
= 3 ∧ = 10
= 6 5 = 6.3 10 5 = 18 10 5
∴
= 13
:
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