Semana N° 3

SEMANA N° 3

CURSO: CALCULO III Tema :

DERIVADA DIRECCIONAL

DERIVADA DIRECCIONAL Y VECTOR GRADIENTE

Figura 1 En el mapa del clima de la figura 1, se muestra un mapa de curvas de nivel de la función temperatura T ( x, y)  para los estados de California y Nevada a las 3 pm de un día de octubre. Las curvas de nivel unen localidades con la misma temperatura. La derivada parcial T  x  en un lugar como Reno es la razón de cambio de la temperatura con respecto a la distancia si viaja hacia el este desde Reno; T  y  es la razón de cambio de la temperatura si viaja hacia el norte. Pero ¿Qué sucede si queremos saber la razón de cambio de la temperatura cuando viaja al sureste? En esta sección se estudia un tipo de derivada, que se denomina derivada direccional, que permite calcular la razón de cambio de una función de dos o más variables en cualquier dirección. La derivada direccional de  f : D  Rn  R en el punto  x  D  y en la dirección de u   vector unitario de  R n  denotada por  D u f ( x) se define por

 D u f ( x)  lim

h 0

 f ( x  hu )  f ( x ) h

 ,

Siempre que exista. Working Adult

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A esta definición la podemos particularizar considerando a  D  R 2 y deseamos encontrar la razón de cambio de  z  f ( x, y)  en ( x0 , y0 ) en la dirección de un vector unitario u  (a, b) . Para hacer esto considere la superficie S cuya ecuación es  z  f ( x, y) , y  z0  f ( x0 , y0 ) . Entonces el  punto  P( x0 , y0 , z 0 )  queda en S. El plano vertical que pasa por  P en la dirección de u corta a S en una curva C   (véase figura 2). La pendiente de la recta tangente T  a C en el punto  P es la razón de cambio de z en la dirección de u.

Figura 2 Luego, para este caso, la definición de derivada direccional de  f   en ( x0 , y0 ) en la dirección de un vector unitario u  (a, b) es  D u f ( x0 , y0 )  lim

 f ( x0  ha, y0  hb )  f (x0 , y 0 )

h0

h

Si existe este límite. Los teoremas dados a continuación nos ayudaran a evitar el uso del límite.

Teorema Si

 f : D 

 se calcula por la fórmula: n

es una función diferenciable, entonces la derivada direccional

 Du f ( x1 ,...xn ) 

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 f  x1

u 1

f x2

u2  ...... 

f   xn

un

…………. (1)

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Teorema Si  z 

f ( x, y) es una función diferenciable de  x, y , y u = cos i  sen  j  es un vector

unitario, entonces

 Du f ( x, y) 

  f  x

cos 



f  



y

sen 

donde   es el ángulo formado por el vector u  con el eje OX  .

Ejemplo 1 Calcula, la derivada direccional de la función

 f ( x, y)  x 2  3xy 2 en el punto  P (1, 2)

en la dirección que va desde el origen hacia este punto.

Solución  f    2 x  3 y 2  x ( 1,2)

; ( 1,2)  14

 f    6 xy  y (1,2)

 12 ; además u  ( 1,2)

v



v

 1 2   , . 12  22  5 5  (1, 2)

 1   2  38 Por lo tanto  D u f  (1, 2)  14  .   12   5 5 5    

Ejemplo 2 Hallar la derivada de la función  f ( x, y )  x3  xy  2 y 2 en el punto  P(1, 2 )  y en la dirección que va desde este punto al punto  N( 4,6 )

Solución Sea a  PN  N  P  (4,6)  (1,2)  (3, 4)  a  5 . El vector unitario es   

a a

 f    3 x 2  y  x (1,2)

; (1,2)  1

 f     x  4 y  y (1,2)

(1,2)

3 4

( , ), 5 5

 9 . Por lo tanto

33 3  4  D u f  (1, 2)  1   9     . 5 5 5

Ejemplo 3 Suponga que la temperatura (en grados Celsius) en el punto (x,y) cerca de un aeropuerto está dado por  f ( x, y ) 

1 180

7400  4x  9 y  (0.03)xy 

(con las distancias  x y  y   medidas en kilómetros). Suponga que su avión despega del aeropuerto en la ubicación  P (200,200) y se sigue al noreste en la dirección especificada por el vector v  (3,4) ¿Cuál es la tasa de cambio inicial de la temperatura que se observará?

Solución Como v no es un vector unitario, primero debemos reemplazarlo como uno que sí lo sea y que este en la misma dirección: Working Adult

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v

u

v

(3, 4)



32  42

3 4

( , ) 5 5

Ahora utilizamos la formula (*) la cual produce  3  1   4  1   Du f ( x, y)    4  (0.03) y     9  (0.03) x .  5  180   5  180 

Cuando se sustituye  x  y  200 , se encuentra que 18    3  1   4  15       0.1  Du f ( P )         180  5  180   5  180 

Esta tasa instantánea de cambio -0.10C/Km significa que se observará en un inicio una disminución de 0.10C en la temperatura por cada kilómetro que se viaje.

Ejemplo 4 Del ejemplo anterior haciendo w  f ( x, y ) 

1 180

7400  4x  9 y  (0.03)xy  ,

(Con la temperatura expresada en grados Celsius y la distancia en kilómetros) observamos que la derivada direccional de la función temperatura es dw ds

0

  Du f (P )  0.1

C 

km

En el punto  P (200,200) en dirección del vector u  (3,4) . Si un avión sale del aeropuerto en P y vuela en dirección de u con velocidad v  ds dt   5 km/min, entonces, la ecuación (1)  proporciona dw ds  C   km  C   .   0.1 .   5   0.5 dt ds dt  km   min  min

dw

0

0

Así, se observa una tasa inicial de disminución de medio grado de temperatura por minuto.

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GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN Si  f : D  R n  R es una función diferenciable, entonces el gradiente de  f   es el vector definido por

   f f f      f ( x)   , ,......,      x x x 2  1 n 

Interpretación del vector gradiente El vector gradiente  f   tiene una interpretación importante que involucra el máximo valor  posible de la derivada direccional de la función  f   derivable en un punto P dado. Si   es el ángulo entre  f ( P ) y el vector unitario u (como se muestra en la figura),

entonces la ecuación (1) da

 Du f ( P )  f (P ).u  f (P ) u cos   f (P ) cos    porque u  1 . El valor máximo posible de cos     es 1, y esto se consigue cuando    0 . Es decir, cuando u es el vector unitario particular m  f ( p ) f ( p ) , que apunta en dirección del vector gradiente   f ( p) la derivada direccional alcanza su máximo valor. En este caso la fórmula anterior lleva a

max D u f ( P )  f ( p ) El cual representa el valor máximo de la derivada direccional.

Resumen: 1.

 Du f ( x1 ,...x n )  f ( x1 , x2 ,...., x n )(u 1, u2 ......u n )

2. El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado, mientras que el gradiente cambiado el signo señala la dirección de máxima disminución. Working Adult

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3. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su modulo es decir  f ( x)  max Du f ( x) . 4. El valor mínimo de la derivada direccional es   f ( x)   y ocurre cuando u y  f ( x) tienen direcciones opuestas (cuando cos    1  ).

Ejemplo 5 Dada la función

2

 f ( x, y )  x  y

2

a) Calcula  D u f ( x )  en el punto  P   (1,2) en el sentido del vector que forma un ángulo de 60º con el sentido positivo del eje OX.  b) Calcula máx.  D u f ( x )

Solución 1 3  f   a) u  (cos 60, sin 60)   , ; además  2 2   x   1 3  Du f ( x)   2, 4   , 1 2 3.  2 2     

 2 x

( 1,2)

 2;

( 1,2)

 f     y

 2 y

(1,2)

 4 , luego

(1,2)

 b)  f  (1, 2)  (2, 4)  max D u f ( x)  f ( x)  22  4 2  2 5 .

Ejemplo 6 Ahora suponga que la función de temperatura del ejemplo 4 se reemplaza con w  f ( x, y , z ) 

1

 7400  4x  9y  (0.03)xy   2z   180 El término adicional -2z corresponde a una disminución de 20C en la temperatura por kilometro de altitud  z . Suponga que un halcón esta inmóvil en el aire, en el punto P (200, 200,5) y sobre el aeropuerto desciende en forma súbita a la velocidad de 3km/min en la dirección especificada por el vector (3,4,-12). ¿Cuál es la tasa de cambio instantánea que experimenta el ave? Solución El vector unitario en la dirección del vector (3, 4,-12) es u

(3, 4, 12) 32  42  (12)2

4 12 , ) 13 13 13

(

3

,

El vector gradiente de temperatura

 f ( P)  

1 180

[4  (0.03) y ]i 

1 180

[9  (0.03)x ] j  2k 

Tiene el valor Working Adult

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 f ( P)  

10 180

i

15 180

j  2k 

En la posición inicial del halcón, P    (200,200,5)   . Por lo tanto, la tasa de cambio temperatura para el ave respecto a la distancia es: dw ds

  Du f (P )  f (P ).u  (

Su velocidad es de

ds dt 

10

3

15

4

de la

0

12

C  )( )  ( )( )  ( 2)( )  1.808 . 180 13 180 13 13 km

 3km / min , por lo que la tasa de cambio temporal de la temperatura

que experimenta el halcón es 0 0 dw ds  C   km  C     .  1.808 5.424 .  5  dt ds dt  km   min  min

dw

Así, el ave se calienta inicialmente casi 5.5 grados por minuto conforme desciende hacia la tierra.

Ejemplo 7 Del ejemplo anterior, sabemos que la función de temperatura es

w  f ( x, y , z ) 

1 180

7400  4x  9y  (0.03)xy   2z

 

(Con la temperatura expresada en grados Celsius y la distancia en kilómetros). ¿En qué dirección debe descender un halcón que comienza en el punto  P (200,200,5)  a una altitud de 5 Km, afín de calentarse lo más rápido? ¿Qué tan rápido subirá su temperatura conforme el ave  baje a una velocidad de 3 km/min? ¿Cuál será la dirección de la brújula y el ángulo de descenso conforme vuele en esa dirección particular? (Tarea)

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SEMINARIO DE PROBLEMAS 1.

En cada ejercicio calcular la derivada direccional de  f   en el punto  P  para el cual   es un vector unitario en la dirección de  PQ .

a)  f ( x, y)  e x cos y  e y sen x  P (1, 0)  , Q(3,2) . b)  f ( x, y)  x 2  xy  y 3.  P(1, 2) , Q (1,3) . c)  f ( x, y)  e x arctg y.  P(0,2) , Q (2,5) .

2.

Calcula en cada caso, el gradiente y el valor máximo de la derivada direccional de la función en el  punto que se indica:

a)  f ( x, y) 

y  x2  y 2

b)  f ( x, y ) 

 en el punto (1,1)

c )  f ( x, y, z )  ze x cos y  en el punto (0,

3.

Dada la función

  4

x2  x  y

 en el punto (2,1)

d)  f ( x, y)  x 2  y 2  en el punto (2,1)

,1)

 f ( x, y, z)  ( x 1) 2  2( y 1) 2  3( z  2) 2  6 , encontrar la derivada

direccional de la función en el punto (2,0,1) en la dirección del vector i  j  2k .

1

, donde r 2  x 2  y2  z 2 ,  en la dirección del gradiente.

4.

Hallar la derivada de la función   

5.

Calcular la derivada de la función  z  x  y en el punto  M (1,1) en la dirección del vector que

r 

2

2

forma un ángulo de 60 0 con el sentido positivo del eje  x .

6.

Encuentre las direcciones en las cuales la derivada direccional de  f ( x, y)  ye   en el punto xy

(0,2) tiene el valor 1.

7.

8.

Encuentra la dirección y sentido en que cada una de las siguientes funciones disminuye lo más rápidamente posible en el punto  P   indicado en cada caso, y encuentra la razón de decrecimiento en esa dirección.

a)  f ( x, y )  20  x 2  y 2 ;

P   (1, 3)

c )  f ( x, y)  cos(3x  y);

P (

   , ) 6 4

b)  f ( x, y)  e xy ; P (2,3) d )  f ( x, y) 

 x  y  x  y

;

P   (3,1)

En una montaña la elevación  z  por sobre el punto  x, y  en el plano XY horizontal al nivel del mar es de  z  2000  2x  4 y  pies. El eje positivo de las abscisas apunta al este y el eje positivo 2

2

de las ordenadas apunta al norte. Un alpinista se encuentra en el punto (20, 5,1100). a) Si el alpinista utiliza una brújula para avanzar hacia el oeste, ¿subirá o bajara? ¿Con que rapidez? b) Si el alpinista utiliza una brújula para avanzar hacia el noreste, ¿subirá o bajara? ¿Con que rapidez? c ) ¿Qué dirección ha de marcar la brújula para que el alpinista avance en el mismo nivel? Working Adult

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9.

La temperatura en un punto  x, y  de una placa metálica en el plano XY es T ( x, y ) 

 xy 1   x 2  y 2

grados Celsius. a) Encuentra la razón de cambio de la temperatura en el punto (1,1) en la dirección y sentido del vector (2,-1). b) Una hormiga que está en el punto (1,1) quiere caminar en la dirección y sentido en que la temperatura disminuye más rápidamente. Encuentra un vector unitario en esta dirección y sentido.

10. Temperatura La temperatura en el punto ( x, y) de una placa metálica se modela mediante T ( x, y )  400e ( x a) b) c)

2

 y) 2

,

0 x ,

0 y

Utilizar un sistema computacional para graficar la función de distribución de temperatura. Hallar las direcciones, sobre la placa en el punto (3,5) , en las que no hay cambio en el calor. Hallar la dirección de mayor incremento de calor en el punto (3,5) .

11. Suponga que en una cierta región del espacio el potencial eléctrico V   está dado por V  x, y, z   5x 2  3xy  xyz .  a) Determine la razón de cambio del potencial en  P(3,4,5)  en la dirección del vector v  i  j  k .  b) ¿En qué dirección cambia V   con mayor rapidez en  P ? c ) ¿Cuál es la razón máxima de cambio en  P ?

12. En las cercanías de una boya, la profundidad de un lago en el punto de coordenadas ( x, y) es  z  200  0.02x 2  0.001y 3 , donde  x, y y z se miden en metros. Un pescador en un bote pequeño  parte del punto (80,60)  y se dirige hacia la boya, la cual se ubica en el punto (0,0) . ¿El agua  bajo el bote se hace más somera o más profunda cuando el pescador parte? Explique.

13. La temperatura T en una bola de metal es inversamente proporcional a la distancia desde el centro de la bola, el cual se considera como el origen. La temperatura en el punto (1,2,2)  es 1200 .

a) Determine la razón de cambio de T en (1,2,2)  en la dirección hacia el punto (2,1,3) . b) Demuestre que en cualquier punto en la bola la dirección de incremento más grande de temperatura está definido por un vector que señala hacia el origen.

14. La temperatura es T T ( x, y, z)  

60  x  y  z 2  3 2

2

grados

en

cualquier

punto

( x, y , z ) en

el

espacio

 R3 y

, la distancia se mide en pulgadas.

a) Encontrar la rapidez de cambio de temperatura en el punto (3, 2, 2)   en la dirección del vector 2i  3 j  6k  .

b) Encontrar la dirección y la magnitud de la máxima rapidez de cambio de T en (3, 2, 2) .

15. La función  f ( x, y , z ) tiene en el punto  P (2, 3, 5) las derivadas direccionales al punto  A   (0,1,9) , 

3

en la dirección al punto  B(5, 3,1) y

1 3

en la dirección

1

en la dirección al punto 5 4 C (4, 2,7) . Calcular la derivada direccional de  f   en la dirección al punto  D(1,3,6) .

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OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EXTREMOS ABSOLUTOS Y EXTREMOS RELATIVOS En cursos anteriores se estudiaron las técnicas para hallar valores extremos de una función de una variable. En esta sesión se extienden estas técnicas a funciones de dos variables. Por ejemplo, en el Teorema siguiente se extiende el teorema de valor extremo para una función de una sola variable a una función de dos variables. Considérese la función continua f   de dos variables, definida en una región acotada cerrada R. Los valores  f  (a, b)  y  f  (c, d )  tales que  f  (a, b)   f  ( x,  y)   f  (c, d )

 para todo ( x,  y) en R se conocen como el mínimo y máximo de  f  en la región R, como se muestra en la figura.

Figura N° 4: R  contiene algún(os) punto(s) donde f(x, y) es un mínimo y algún(os) punto(s) donde f(x, y) es un máximo Recuérdese que una región en el plano es cerrada si contiene todos sus puntos frontera. El teorema del valor extremo se refiere a una región en el plano que es cerrada y acotada. A una región en el plano se le llama acotada si es una subregión de un disco cerrado en el plano.

Teorema Teorema del valor extremo Sea  f  una función continua de dos variables x y  y definida en una región acotada cerrada R en el plano xy. 1. Existe por lo menos un punto en R, en el que  f  toma un valor mínimo. 2. Existe por lo menos un punto en R, en el que  f  toma un valor máximo.

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A un mínimo también se le llama un mínimo absoluto y a un máximo también se le llama máximo absoluto. Como en el cálculo de una variable, se hace una distinción entre extremos absolutos y extremos relativos.

Definición Extremos relativos Sea  f  una función definida en una región R que contiene ( x0 , y 0 ) . 1. La función  f  tiene un mínimo relativo en ( x0 , y 0 )  si  f  ( x,  y)   f  ( x0 , y 0 )

 para todo ( x, y) en un disco abierto que contiene ( x0 , y 0 ) . 2. La función  f  tiene un máximo relativo en ( x 0 , y 0 )  si  f  ( x,  y)   f  ( x0 , y 0 )

 para todo ( x, y) en un disco abierto que contiene ( x0 , y 0 ) .

Decir que  f  tiene un máximo relativo en ( x 0 , y 0 )  significa que el punto ( x0 ,  y 0 , z 0 )  es por lo menos tan alto como todos los puntos cercanos en la gráfica de  z    f  ( x, y) . De manera similar,  f tiene un mínimo relativo en ( x0 , y 0 ) si ( x0 ,  y 0 , z 0 )  es por lo menos tan bajo como todos los puntos cercanos en la gráfica. Para localizar los extremos relativos de  f , se pueden investigar los puntos en los que el gradiente de  f  es 0 ó los puntos en los cuales una de las derivadas parciales no exista. Tales  puntos se llaman puntos críticos de  f .

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Definición Puntos críticos Sea  f  definida en una región abierta R  que contiene ( x0 , y 0 ) . El punto ( x0 , y 0 )  es un punto crítico de  f si se satisface una de las condiciones siguientes: 1.  f   x ( x0 ,  y0 )  0  y  f   y ( x0 ,  y 0 )  0 2.  f   x ( x0 , y 0 )  o  f   y ( x0 , y 0 ) no existe. Recuérdese de la sesión anterior que si  f  es diferenciable y  f  ( x 0 ,  y 0 )   f   x ( x 0 ,  y 0 ) i 

 f   y ( x 0 , y 0 )  j

 0 i  0  j

Entonces toda derivada direccional en ( x 0 , y 0 )  debe ser 0. Esto implica que la función tiene un plano tangente horizontal al punto ( x 0 , y 0 ) , como se muestra en la figura

Al parecer, tal punto es una localización probable para un extremo relativo. Esto es ratificado  por el teorema siguiente

Teorema Los extremos relativos se presentan sólo en puntos críticos Si f tiene un extremo relativo en ( x 0 , y 0 )   en una región abierta  R, entonces ( x 0 , y 0 )  es un  punto crítico de  f .

Ejemplo 1: Hallar los extremos relativos de

 f  ( x,  y)  2 x 2   y 2  8 x  6 y  20

Solución Para comenzar, encontrar los puntos críticos de  f . Como Working Adult

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 f   x ( x,  y)  4 x  8

Derivada parcial con respecto a x.

 f   y ( x,  y)  2 y  6

Derivada parcial con respecto a y.

y

están definidas para todo  x y  y, los únicos puntos críticos son aquellos en los cuales las derivadas parciales de primer orden son 0. Para localizar estos puntos, se hacen  f   x ( x, y) y  f   y ( x, y )  igual a 0, y se resuelven las ecuaciones 4 x  8  0 y 2 y  6  0

Para obtener el punto crítico ( –   2,3 ). Completando cuadrados, se concluye que para todo ( x,  y )  (2,3)  f  ( x,  y)  2( x  2) 2  ( y  3) 2  3  3.

Por tanto, un mínimo relativo de  f  se encuentra en ( –   2, 3). El valor del mínimo relativo es  f  (2,3)  3 , como se muestra en la figura.

El ejemplo 1 muestra un mínimo relativo que se presenta en un tipo de punto crítico; el tipo en el cual ambos  f   x ( x, y) y  f   y ( x, y)   son 0. En el siguiente ejemplo se presenta un máximo relativo asociado al otro tipo de punto crítico; el tipo en el cual  f   x ( x, y)  o  f   y ( x, y)  no existe.

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Ejemplo 2: Hallar los extremos relativos de



 f  ( x,  y)  1   x 2  y 2



1/ 3

Solución Como  f   x ( x,  y)  

2 x



3  x 2   y



2 2/3

y  f   y ( x,  y)  

2 y



3  x 2   y 2



2/3

se sigue que ambas derivadas parciales existen para todo punto en el plano xy salvo para (0,0). Como las derivadas parciales no pueden ser ambas 0 a menos que x y  y sean 0, se concluye que (0,0) es el único punto crítico. En la figura siguiente se observa que  f  (0,0)   es 1. Para cualquier otro ( x, y) es claro que



 f  ( x,  y)  1   x 2  y 2



1/ 3

1

Por tanto, f  tiene un máximo relativo en (0,0).

Observación En el ejemplo 2,  f   x ( x,  y)  0  para todo punto distinto de (0,0) en el eje  y. Sin embargo, como  f   y ( x, y )   no es cero, éstos no son puntos críticos. Recuérdese que una  de las derivadas  parciales debe no existir o las dos deben ser 0 para tener un punto crítico.

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EL CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES El teorema anterior afirma que para encontrar extremos relativos sólo se necesita examinar los valores de  f  ( x, y)   en los puntos críticos. Sin embargo, como sucede con una función de una variable, los puntos críticos de una función de dos variables no siempre son máximos o mínimos relativos. Algunos puntos críticos dan puntos silla que no son ni máximos relativos ni mínimos relativos. Como ejemplo de un punto crítico que no es un extremo relativo, considérese la superficie dada por  f  ( x,  y)   y 2  x 2

Paraboloide hiperbólico

que se muestra en la figura. En el punto (0,0), ambas derivadas parciales son 0. Sin embargo, la función  f  no tiene un extremo relativo en este punto ya que en todo disco abierto centrado en (0,0) la función asume valores negativos (a lo largo del eje x) y valores positivos (a lo largo del eje  y). Por tanto, el  punto (0,0,0) es un punto silla de la superficie. (El término “punto silla” viene del hecho de que la superficie mostrada en la figura se parece a una silla de montar). En las funciones de los ejemplos 1 y 2, fue relativamente fácil determinar los extremos relativos, porque cada una de las funciones estaba dada, o se podía expresar, en la forma de cuadrado perfecto. Con funciones más complicadas, los argumentos algebraicos son menos adecuados y es mejor emplear los medios analíticos presentados en el siguiente criterio de las segundas derivadas parciales. Es el análogo, para funciones de dos variables, del criterio de las segundas derivadas para las funciones de una variable. La demostración de este teorema se deja para un curso de cálculo avanzado. Teorema Criterio de las segundas derivadas parciales Sea  f  una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene un punto (a, b) para el cual  f   x (a, b)  0 y  f   y (a, b)  0

Para buscar los extremos relativos de  f  , considérese la cantidad



d    f   xx (a, b). f   yy (a, b)   f   xy (a, b)



2

1. Si d   0  y  f   xx (a, b)  0  , entonces  f  tiene un mínimo relativo en (a, b) 2. Si d   0  y  f   xx (a, b)  0  , entonces  f  tiene un máximo relativo en (a, b) 3. Si d   0 , entonces (a, b,  f  (a, b)) es un punto silla 4. Si d   0  el criterio no lleva a ninguna conclusión.

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Observación Si d   0   , entonces  f   xx (a, b) y  f   yy (a, b)   deben tener el mismo signo. Esto significa que  f   xx (a, b) puede sustituirse por  f   yy (a, b)  en las dos primeras partes del criterio.

Un recurso conveniente para recordar la fórmula de d   en el criterio de las segundas derivadas  parciales lo da el determinante 2  2

d  

 f   xx (a, b)

 f   xy (a, b)

 f   yx (a, b)

 f   yy (a, b)

Donde  f   xy (a, b)   f   yx (a, b)  bajo ciertas condiciones.

Ejemplo 3: Identificar los extremos relativos de  f  ( x, y)   x 3  4 xy  2 y 2  1 Solución Para comenzar, se identifican los puntos críticos de  f . Como  f   x ( x, y)  3 x 2  4 y

y

 f   y ( x, y )  4 x  4 y

Existen para todo  x y  y, los únicos puntos críticos son aquellos en los que ambas derivadas parciales de primer orden son 0. Para localizar estos puntos, se igualan a 0  f   x ( x, y )  y  f   y ( x, y )  y se obtiene  3 x 2  4 y  0 y 4 x  4 y  0 . De la segunda ecuación se sabe que  x    y , y por sustitución en la primera ecuación, se obtienen dos soluciones:  y   x  0  y  y   x  4 / 3 . Como  f   xx ( x,  y)  6 x,  f   yy ( x, y )  4 y  f   xy ( x, y )  4

se sigue que, para el punto crítico (0,0),



d    f   xx (0,0). f   yy (0,0)  f  xy (0,0)



2

 0  16  0

y, por el criterio de las segundas derivadas parciales, se puede concluir que (0,0,1) es un punto silla. Para el punto crítico 4 / 3,4 / 3 ,





d    f   xx (4 / 3,4 / 3). f   yy (4 / 3,4 / 3)  f  xy (4 / 3,4 / 3)

2

 8(4)  16  16  0

y como  f   xx (4 / 3,4 / 3)  8  0  se concluye que  f  tiene un máximo relativo en 4 / 3,4 / 3 , como se muestra en la figura. Working Adult

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Con el criterio de las segundas derivadas parciales pueden no hallarse los extremos relativos  por dos razones. Si alguna de las primeras derivadas parciales no existe, no se puede aplicar el criterio. Si



d    f   xx (a, b). f   yy (a, b)   f   xy (a, b)



2

0

el criterio no es concluyente. En tales casos, se pueden tratar de hallar los extremos mediante la gráfica o mediante algún otro método, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4: Hallar los extremos relativos de  f  ( x, y )   x 2 y 2 Solución Como  f   x ( x,  y )  2 xy 2  y  f   y ( x, y)  2 x 2 y  , se sabe que ambas derivadas parciales son igual a 0 si  x  0  o  y  0 . Es decir, todo punto del eje x o del eje y es un punto crítico. Como 2  f   xx ( x, y )  2 y 2 ,  f   yy ( x, y)  2 x y

 f   xy ( x, y )  4 xy

se sabe que si  x  0  o  y  0 , entonces



d    f   xx ( x,  y). f   yy ( x,  y)   f   xy ( x,  y)



2

 4 x 2 y 2  16 x 2 y 2  12 x 2 y 2  0

Por tanto, el criterio de las segundas derivadas parciales no es concluyente, no funciona. Sin embargo, como  f  ( x,  y )  0  para todo punto en los ejes  x o  y y  f  ( x, y)   x 2 y 2  0  en todos los otros puntos, se puede concluir que cada uno de estos puntos críticos son un mínimo absoluto, como se muestra en la figura

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SEMINARIO DE PROBLEMAS

1.

Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos. 2

a)  f ( x, y)   x 1   y  3

2

2.

d)  f ( x, y )  25   x  2  y 2

 f ( x, y)  x 2  y 2  2 x  6 y  6

a)  f  ( x, y)  3 x 2  2 y 2  6 x  4 y  16

b)  f  ( x, y)  3 x 2  2 y 2  3 x  4 y  5

c)  f  ( x, y)   x 2  5 y 2  10 x  10 y  28

d)  f  ( x, y)  2 x 2  2 xy   y 2  2 x  3

 g)  f  ( x, y)   x  y 2

4.

2 2  f)  f ( x, y)   x  y 10 x 12 y  64

Examinar la función para localizar los extremos relativos.

1 2 2  f   (  x ,  y )   x   xy   y  2 x   y e) 2

3.

2

2

c)  f ( x, y)  x 2  y 2 1 e)

2

b)  f ( x, y)  5   x  3    y  2 



2 1/ 3

2

2 2  f)  f  ( x, y )   x  y

 1 2 2  1 x 2  y 2  f   (  x ,  y )    x   y  e h)  2  

Examinar la función para localizar los extremos relativos y los puntos silla

a)  f  ( x, y)  80 x  80 y   x 2  y 2

b)  f  ( x, y)   x 2   y 2   x   y

c)  f  ( x, y)   x 2  3 xy  y 2

d)  f  ( x, y)   x 2   xy   y 2  3 x   y

Una caja rectangular descansa en el plano xy  con uno de sus vértices en el origen. El vértice opuesto está en el plano 6 x  4 y  3z   24  como se muestra en la figura. Hallar el volumen máximo de la caja.

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5.

Un fabricante de artículos electrónicos determina que la ganancia o beneficio P (en dólares) obtenido al producir x unidades de un reproductor de DVD y y unidades de un grabador de DVD se aproxima mediante el modelo  P ( x, y)  8 x  10 y  0.001 x 2   xy  y 2    10000

Hallar el nivel de producción que proporciona una ganancia o beneficio máximo. ¿Cuál es la ganancia máxima?

6.

Hallar tres números positivos x, y y z que satisfagan las condiciones dadas a) El producto es 27 y la suma es mínima.  b) La suma es 32 y  P    xy 2 z  es máxima c) La suma es 30 y la suma de los cuadrados es mínima. d) El producto es 1 y la suma de los cuadrados es mínima.

7.

Costos Un contratista de mejorías caseras está pintando las paredes y el techo de una habitación rectangular. El volumen de la habitación es de 668.25 pies cúbicos. El costo de pintura de pared es de $0.06 por pie cuadrado y el costo de pintura de techo es de $0.11 por pie cuadrado. Encontrar las dimensiones de la habitación que den por resultado un mínimo costo para la pintura. ¿Cuál es el mínimo costo por la pintura?

8.

Volumen máximo El material para construir la base de una caja abierta cuesta 1.5 veces más por unidad de área que el material para construir los lados. Dada una cantidad fija de dinero C, hallar las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede ser fabricada.

9.

Un comedero de secciones transversales en forma de trapecio se forma doblando los extremos de una lámina de aluminio de 30 pulgadas de ancho (ver la figura). Hallar la sección transversal de área máxima.

10. Costo mínimo Hay que construir un conducto para agua desde el punto P al punto S y debe atravesar regiones donde los costos de construcción difieren (ver figura). El costo  por kilómetro en dólares es 3k  de  P  a Q, 2k  de Q a  R y k  de  R a S . Hallar x y y tales que el costo total C se minimice.

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