Semana 6 -Vectores

 Vectores en Rn (en el plano y espacio tridimensional)

Objetivos  Ubicar

puntos en el espacio tridimensional.

 Definir

un vector en el plano y en el espacio.

 Sumar

y multiplicar vectores por un escalar. escalar.

 Calcular  Calcular

el ángulo entre dos vectores. el producto escalar y vectorial de

vectores.  Calcular

la proyección y componente de un vector sobre otro vector.

 Aplicar

el producto escalar y vectorial vectorial a diferentes  problemas de contexto real.

Espacio tridimensional R3 Es el conjunto de ternas ordenadas (;;)  de números reales, cuya notación está dada por:   . Cada terna ordenada (;;)   se denomina punto del espacio tridimensional.

Ubicación de puntos en R3 Ubicaremos los puntos: 2; 4; 3 , (3;−4;2) y (4;5;−3)

3 2

(3;−4;2)

−4

(2;4;3) 4

3

5

2

4 −3

(4;5;−3)

Ubicación de puntos en R3

Definición de vector Se define como un segmento de recta dirigido que tiene magnitud y dirección. Es decir, si   y    son dos puntos en el espacio, el segmento de recta dirigido  , es el segmento de recta que va del punto inicial   al punto final .

Regla terminal menos inicial TMI En  : Si una flecha tiene punto inicial A = (  ;  ) y  punto final B = (  ;  ), entonces el vector está dado  por:   =  −  =  −  ;  −  . Similarmente,

En  : Si la flecha tiene el punto inicial A = (  ;  ;  ) y punto final B = (  ;  ;  ), entonces el vector está dado por:   =  −  =  −  ;  −  ;  −  .

Observación Cualquier flechas con la misma longitud y apuntando en la misma dirección representan al mismo vector.

Regla terminal menos inicial TMI (−2; 6)

 = (3; 3)

(−5;3)

(2;6)

(7;6)

 = (3; 3)

 = (3; 3)

(2;3)

(−1;3)

(4;3)

 = (3; 3) (−1;0)

(5;−2)

(2;−5)

Módulo de un vector Sean los puntos A = (  ;  ;  ) y B = (  ;  ;  ) , la distancia entre los puntos A y    es igual al módulo del vector   =  =  −  ;  −  ;  −  , y está dado  por:

 =  =

( −  ) +( −  ) +( −  )

Vector unitario Es un vector cuya longitud es 1. En general, si  ≠ 0 entonces el vector unitario que tiene la misma dirección de  está dado por:

 = 

Vectores unitarios estándar en     1) Los vectores unitarios estándar en el  plano son:

 = (1; 0) y   = 0; 1 2) Los vectores unitarios estándar en el espacio tridimensional:

 = 1; 0; 0 ,   = 0; 1; 0 y  = 0; 0; 1

ó Cualquier vector  = ( ;  ;  )  puede ser escrito como una combinación lineal de los vectores unitarios estándar:

 =   +   +  

Ejemplo Encuentre el módulo del vector   que tiene como punto inicial (3; −7) y punto final (−2; 5).

Solución  =

(−2 − 3) +(5 + 7)  = 13

Ejercicios 1) Represente geométricamente los vectores de la forma   = (4; −12; ) que tengan 13 unidades de módulo.

Solución:

Suma de vectores en  Si  = (  ;  ) y  = ( ;  ), entonces  +  = ( +  ;  +  ). Similarmente para   .

 + 

ó 

 

 

   

Multiplicación de un vector por un escalar en  El producto del escalar  y el vector  = (  ;  )  está dado  por: .  = ( ;  ).

2 

1  2

−

1 −  2 −3

Suma y multiplicación por un escalar de vectores en  Si  = (  ;  ;  ) y  = ( ;  ;  ), entonces

 +  = ( +  ;  +  ;  +  ) El producto del escalar  y el vector  = (  ;  ;  ) está dado por:

.  = (.  ;  .  ;  .  )

Propiedades de vectores Si  ,  y   son vectores en    además  y  son escalares, entonces

1.  +  =  +  2.  +  +  =  +  +  3.  + 0 =  , 4.  + −

0 es el vector nulo.

=0

5.   +  =  +  6.

 +   =  + 

7.

.   = ()

8. 1 .  = 

Ejercicios 2) Dados los vectores   = 3  − 2  + ,  = 2 − 4 − 3 y  = −  + 2  + 2  , represente geométricamente y determine el módulo de cada uno de los siguientes vectores:

a)   =  +  +  b)   = 2 − 3  − 5 

Solución:

Ejercicios 3) Determine el vector cuya representación geométrica va del origen de coordenadas al baricentro del triángulo de vértices   = (1; −1; 2), B = (2; 1; 3) y C = (−1; 2; −1)..

Solución:

Ejercicios 4) Un peso de 100 lb cuelga de dos alambres como se ve en la figura adjunta. Encuentre las tensiones (fuerzas)  y  en ambos alambres y las magnitudes de las tensiones.

Solución:

Ejercicios 5) Una cámara de televisión de 120 libras está colocada en un trípode, como se muestra en la figura adjunta, representar la fuerza ejercida en cada pata del trípode como un vector.

Solución:

Vectores paralelos Se dice que dos vectores  y , son donde  es una constante, además

paralelos si  = . ,

Si  > 0, entonces  ↑↑  Si  < 0, entonces  ↑↓  Si  = 1, entonces  = 

Ejemplo Los vectores  = (2; 3; 4) y  = (4; 6; 8), son paralelos (↑↑). Los vectores  = (−2; 2; 3) y  = (4; −4; −6), son paralelos (↑↓).

Ejercicios 6) Determine el vector   con las características presentadas en cada caso: a) Es de módulo 7 y su dirección está determinada por el vector  = 12 − 5 .  b) Es de módulo 3 y su dirección es opuesta al vector     =  −   − . 

Solución:





Ejercicios 7) Determine las componentes horizontal y vertical de la fuerza F de 12N con que se jala la cuerda de una cometa cuando dicha cuerda forma 45°  con la horizontal.

Solución:

Producto escalar en   y  El producto escalar de  = (  ;  ) y  = ( ;  ), es:

.  =  .  +  .  El producto escalar de  = (  ;  ;  ) y  = ( ;  ;  ), es:

.  =  .  +  .  +  . 

Observación Se dice que los vectores  y , son perpendiculares si .  = 0.

Ejercicios 8) Si se sabe que   = 24 y  = 6 , determine los valores de   de manera que los vectores  =  −  +   y  =  +  −   sean ortogonales.

Solución:

Ejercicios 9) Considere la siguiente figura, donde las caras laterales son  perpendiculares al plano XY, la cara superior es paralela al plano XY y la  base del solido es un rectángulo. Además  =  = 1, a) Determine la longitud del vector

  +  −  .  b) Determine  producto

resultado del escalar donde   +  −  . (2)

 = 1; 0; 0 .

Solución:

el

Ángulo entre dos vectores El ángulo   entre dos vectores no nulos  =  ;  ;  y  =  ;  ;  , está dada por:

.   =  . 

Ejemplo Calcule la medida del ángulo entre los vectores   y  , en cada caso: a)    = 5; 1; 2   = (2; 4; −3) b)    = 3;  = 5 y   +  = 19;

Ejercicios 10) Use las propiedades del  producto punto para determinar la medida del ángulo    del triangulo A mostrado en la figura.

Solución:

Ejercicios 11) En la figura adjunta: a) Determine el vector unitario en la dirección de .  b) Indique las coordenadas de tres vectores que no pasen por el origen de coordenadas y que sean ortogonales con . c) Calcule el coseno de la medida del ángulo formado por los vectores  y  .

Solución:

Proyección y componente del vector  sobre  1) Si  y    son vectores no nulos, entonces la proyección de   sobre  es dado por:

  =

.    

2) La componente  sobre  esta dado por:

.    = 

Ejercicios 12) Sean los vectores   = (−3; 4; 1)

y  = 3; 2; 5 ,

determine el vector   ortogonal a (0;1;0)  que satisface lo siguiente: .  = 6 y   = 1.

Solución:

Ejercicios 13) Dado el paralelepípedo  , calcule la medida del ángulo que forman los vectores   y   sabiendo que:

-   = 4; 0; −1 -  = (  ;  ; 0) -  =   = 3; −6; 3 -  = (−1; 3; 7)

Solución:

Ejercicios 14) Un lancha de 600 libras se encuentra sobre una rampa inclinada 30°, como se muestra en la figura adjunta ¿Qué fuerza se requiere para impedir que la lancha resbale cuesta abajo por la rampa?

Solución:

Producto vectorial Sea  = (  ;  ;  ) y  = ( ;  ;  )   dos vectores en el espacio, entonces el producto vectorial de  y  es el vector:

  ×  =  

  

  

 ×  =   −    −   −     +   −   

Observación a) Se dice que dos vectores  y  en   son paralelos si

 ×  = 0  b)  ×  = − × 

Ejemplos Hallar  ×   si  = (3; 3; 0) y  = (3; −3; 0).

Solución     ×  = 3 3 0 3 −3 0  ×  = (0; 0; −18)

Observación

Ejercicios 15) Dados los vectores   = (3; −1; −2) y  = (1; 2; −1) , calcule los siguientes vectores:

a) (2 +  ) ×  b) (2 −  ) × ( 2  + )

Solución:

Aplicaciones En física, el producto vectorial puede ser usado para medir el torque (el momento de una fuerza   respecto a un punto ). Si el punto de aplicación de la fuerza es ,  el momento de fuerza de  sobre , es dado por:

 =  × 

Ejercicios 16) Calcule el vector ‘torque’ respecto al punto  = (4; −1; 4) generado por la fuerza  = (3; −4; 2)   aplicada en el  punto  = (5; 3; −7)   de una llave fija.

Solución:

Producto vectorial respecto al ángulo entre los vectores Si  y  son vectores tridimensionales diferentes de cero, el producto vectorial de  y  es el vector:

 ×  = (  .  )  es el ángulo entre  y , 0 ≤  ≤  y  es el vector unitario perpendicular al vector  y al vector 

Ejercicios 17) Un tornillo se aprieta aplicando una fuerza de 40N a una llave de 0,25m como se muestra en la figura. Encuentre la magnitud del torque alrededor del centro del tornillo.

Solución:

Ejercicios 18) Se ejerce una fuerza    de 180N sobre una estructura cuyas dimensiones se muestran en la figura. a)

Exprese la fuerza   en forma vectorial como una función del ángulo .

 b)

Determine la medida aproximada del ángulo    para que la fuerza    sea ortogonal al vector  .

c)

Modele el momento angular de la fuerza  alrededor del punto   en términos del ángulo  .

d)

Determine la proyección ortogonal de la fuerza  sobre el vector   cuando la medida del ángulo   sea de 30°.

Solución:

Ejercicios 19) La figura muestra una cadena suspendida. La tensión en cada uno de los extremos de la cadena es de 15N. a)

Modele la expresión vectorial (en términos de  y  ) que permita calcular el peso de la cadena como una función del ángulo  .

 b)

Cuando  = 37°, determine la proyección ortogonal del peso de la cadena a lo largo de la fuerza de tensión del lado derecho.

Solución:

Áreas y volúmenes aplicando el producto vectorial Áreas El módulo del producto vectorial  ×  es igual al área del paralelogramo generado por  y  .

Volúmenes El volumen    del paralelepípedo con vectores ,  y    como aristas adyacentes, está dado por:

 = . ( × )

Ejercicios 20) Con las propiedades del  producto vectorial y la figura mostrada. Determine a)

La medida del ángulo  .

 b) El área dela región limitada  por el triángulo ABC.

Solución:

Ejercicios 21) Use el cálculo vectorial  para determinar el volumen de un tetraedro con vértices P = (0; 0; 0) , Q = 1; 2; −1 , R = (3; 4; 0), S = (−1; −3; 4)

Solución: