Semana 6-Trabajo-centro de Masa y Centroides
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CALCULO II TRABAJO MECANICO-CENTROIDESTEOREMA DE PAPPUS
Mg. Dennis Quispe Sanchez
CASO 1: Un depósito cilíndrico, de 3 pies de diámetro y 4 pies de largo, colocado en la caja de un camión, se utiliza para abastecer de combustible (gasolina) (gasolina) a dos tractores. El eje del depósito es horizontal. ¿Cuánto trabajo es necesario para bombear todo su contenido en un tractor si la abertura del depósito de éste se encuentra en el punto más alto del depósito cilíndrico? (peso de la gasolina 42 libras/pies 3)
CASO 2: SEGURIDAD EN UN CENTRO COMERCIAL La región limitada por las curvas y = ( x2 - 20)/2 , y=0 entre x=-2 y x=2, representa un lote de esta estaci cio onam namien iento para ara un cent centrro come comerrcial cial.. Para ara mejo ejorar la segu segurridad idad en el estacionamiento, el gerente del centro comercial planea construir un kiosco de observación en el centro del lote. Si se le encargaría a usted el trabajo 1. ¿En dónde dónde instala instalaría ría el kiosco kiosco?? 2. ¿Cóm ¿Cómo o lo harí harías as??
¿Qué necesitamos recordar? recordar?
Técnicas de integración. Integral definida. Graficas de secciones transversales.
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Al finalizar la sesión el estudiante resuelve problemas vinculados a ingeniería calculando el trabajo realizado al bombear el agua que contiene un depósito por su parte superior
y calcula el volumen de un solido de revolución usando el teorema de Pappus y Guldin.
Temario 1. Trabajo Mecanico 2. Ejemplos 3. Centroide de una lamina 4. Ejemplos 5. Teorema de Pappus y Guldin. 6. Ejemplos.
TRABAJO MECÁNICO: INTRODUCCIÓN 1. TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE:
Sea F una fuerza que actúa sobre el bloque en la posición A y lo desplaza x unidades hasta el punto B, entonces el trabajo realizado por esta fuerza es:
F .cos( )
0 W 0 0 W 0 0 W 0
TRABAJO MECÁNICO: INTRODUCCIÓN
1. TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE:
( N )
(area ) ( m)
TRABAJO MECÁNICO
2. TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE:
y
F ( x)
b
W
F ( x)dx a
x
x f xi
EJEMPLOS:
Una fuerza de 600 libras comprime un resorte de 4 pg. De su longitud natural de 20 pg. Encontrar el trabajo realizado al comprimir el resorte 6 pg. adicionales. SOLUCION:
F ( x)
Ley de Hooke:
600
k
k (4)
150
10
W
150 xdx 75 x 4
k.x
2
10 4
6300
FORMULAS BASICAS:
F
m a
F V a
. g
P m. g
m
V
Densidad del agua
1
gr cm 3
62.43
lb pies 3
TRABAJO MECÁNICO: VACIADO DE LIQUIDOS
3. TRABAJO REALIZADO AL LEVANTAR UN OBJETO:
Trabajo = (peso del objeto) x (altura a la que se eleva)
W
h
W
W
P.h m. g .h
.V . g .h
TRABAJO MECÁNICO: VACIADO DE LIQUIDOS
Y
Y
A
X
X sección transversal del tanque de área A:
V
y
A( y ).y
TRABAJO MECÁNICO: VACIADO DE LIQUIDOS
Y
H
h
H
Entonces el trabajo realizado para extraer el elemento de liquido de ancho y hasta la altura del tanque H es: W V
y
.
A
W . y
.g .h
A( y ) y .g .h
W . A( y )( H n
Waprox
X b
. A( yi )( H yi ) y i 1
W A( y )( H y ) dy a
y ) y
EJEMPLO 1: Un depósito de agua semiesférico de 10 metros de radio se vacía mediante bombeo. Calcular el trabajo realizado para vaciar el tanque cuando la bomba está situada justamente en la cúspide. Solución Ecuación del perfil del tanque:
x
2
( y 10) 2
circunferencia
100
10 2
A( y )
.r
A( y )
. x
2
A
A( y )
(100 ( y
2
10) )
EJEMPLO:
H
h
2
O
H
1000
y
kg m3
10
y
10
W (100 ( y 10) 2 ).(10 y )dy 0
EJEMPLO 2: Un tanque de agua en forma de un cono circular recto, mide 10m de diámetro en la parte superior y 15m de profundidad, si la superficie del agua está a 5m por debajo de la tapa del tanque. Encuentre el trabajo realizado al bombear el agua hasta la superficie del tanque. Solución Ecuación del perfil del tanque:
15
(5,15)
15 y
5
x
3x
10
A
A( y )
.r
A( y )
. x
2
y
2
(0,0)
2
A( y )
9
EJEMPLO:
H
h
W
2
O
H
9
1000
y
kg m3
15
y
15
0
y 2 .(15 y ) dy
CENTROIDES-CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA 1. CENTRO DE MASA UNO-DIMENSIONAL:
: momento alrededor del origen 0.
Si M 0
0 , el sistema esta en equilibrio. n
mi . x i Si M 0
0
se define el centro de masa como:
x
i 1 n
mi i 1
MOME NTO
MASA x DI STANCI A
CENTROIDES-CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA Ejemplo: Hallar el centro de masa del sistema:
CENTROIDES-CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA 2. CENTRO DE MASA DOS-DIMENSIONAL:
Aquí existen dos momentos alrededor de los ejes coordenados X e Y:
M X
m1 y1 m2 y 2 .... mn y n
M Y
m1 x1
C x y ,
.... mn xn m2 x2
El centro de masa o centro de gravedad es :
x
M X y m
M Y m
m m m 1
2
.... m
n
CENTROIDES-CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA Ejemplo: Hallar el centro de masa del sistema:
CENTROIDES-CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA
3. CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA PLANA:
CENTROIDES-CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA
3. CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA PLANA:
Material de la lamina con densidad plana constante (medida de la masa por unidad de área). Considerar una lamina de forma irregular formada por la grafica de dos funciones f y g, como se muestra en la figura:
m
b
A
m f ( x ) g ( x ) dx a
CENTROIDES-CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA
3. CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA PLANA:
¿Como se calculan los momentos?
MOME NTO
MASA x DI STANCI A
b
M x
2
f 2( x)
g 2 ( x ) dx
x f ( x)
g ( x ) dx
a b
M y a
x y ,
M y M x m
,
m
EJEMPLO 3: Hallar el centro de masa de la lámina correspondiente a la región parabólica 0 y 4 x 2 , donde la densidad es constante e igual a 3 para todo punto ( x, y) sobre la región que se muestra en la figura. Solución
Calculemos la masa y los momentos: 2
m
4 x
2
dx 32 3
2
(0;1,6)
2
M x
512 x dx 4 2
2 2
2
30
Así el centro de masa esta ubicado 512 en: 0
2
M y
x
x 4 x 2 dx
2
0
32 3
0
;
y
30 32 3
8 5
EJEMPLO 4: Halle el centro de masa de una lámina de densidad uniforme y de región limitada por f ( x) 4 x 2 y g ( x ) x 2 las gráficas de : Solución
m
b
a
Calculemos la masa:
f ( x) g ( x) dx
27
1
2 2 (4 x ) ( x 2) dx 6
Calculemos los momentos: M x
2
b
a
( f ( x)) 2 ( g ( x)) 2 dx 54
1
2 2 2 (4 x ) ( x 2) dx 2 2 5
M y
b
a
x f ( x) g ( x) dx
1
2
x (4 x
2
) ( x 2) dx
27 12
Así el centro de masa esta ubicado en: 1
12
TEOREMA DE PAPPUS Y GULDIN
TEOREMA 1: El volumen de cualquier solido de revolución obtenido al girar la región R alrededor de una recta L que no corta a dicha región, es igual al área de R multiplicada por la longitud de la circunferencia recorrida por el centroide de la región.
Si r es la distancia entre el centroide de R y la recta L entonces el volumen es:
V (S )
2 r. A( R)
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PAPPUS
1. Encontrar el volumen de un toro de revolución que se muestra en la figura el cual se obtiene al girar alrededor del eje Y la circunferencia ( x 2) 2 y 2 1
V (S )
2 r. A( R )
2 (2)( )
4 2
TEOREMA DE PAPPUS Y GULDIN
TEOREMA 2: Si una curva plana C gira alrededor de un eje L que no intersecta dicha curva, entonces el área de la superficie de revolución que se genera S es igual al producto de la longitud de arco de C por la distancia recorrida por el centroide de C.
A( S )
2 r.l (C )
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PAPPUS
1. Encontrar el area de un toro de revolución que se muestra en la figura el cual se obtiene al girar alrededor del eje Y la circunferencia ( x 2) 2 y 2 1
A( S )
2 r.l (C )
2 (2)(2 )
8 2
CASO 1
Un depósito cilíndrico, de 3 pies de diámetro y 4 pies de largo, colocado en la caja de un camión, se utiliza para abastecer de combustible (gasolina) a dos tractores. El eje del depósito es horizontal. ¿Cuánto trabajo es necesario para bombear todo su contenido en un tractor si la abertura del depósito de éste se encuentra en el punto más alto del depósito cilíndrico? (peso de la gasolina 42 libras/pies3)
Solución Y
1,5
0
X y
x
1,5
x
Calculemos transversal
A( y ) A( y )
2
y
la
2
1,5
2
1,5
y
2
2
sección
(2 x)(4) 8 1,52
8 x y2
Entonces el trabajo realizado se calcula mediante la siguiente integral: Y 1, 5
1, 5
2
1, 5
2
1,5
1, 5
W 12
1,5
8(1,5 y ) 1,5 y dy
W (recorrido) A( y ) dy
0
y
1, 5
1,52 y 2 dy 4 ( 2 y ) 1,52 y 2 dy
1, 5
1, 5
I 1
I 2
1,5
2
y
2
du
I 2 (2 y ) 1,5 y dy
I 2
2
3
2
2
1, 5
(1,52 y 2 ) 3
1, 5
2
x
2
0
ydy
u du
u
1/ 2
2
du
3 2
y
2
1,5
2
Haciendo un cambio de variable en la segunda integral se tiene: u
X
u
3
3
1,5
En la primera integral utilizamos sustitución trigonométrica y se obtiene: y
1,5 sin
dy 1,5 cos d
Calculo de los límites de integración de la nueva integral 1,5 1 sin
*)
y
*)
y
2
1,5 1 sin
2
La nueva integral queda:
2
I 1
2
2
1,5 1,5 sin 1,5 cos d 2
2
2
1,5
2
2
1 sin cos d 2
I 1
2
2
1,5 cos 2
2
2
d
1,5
2
1 cos 2
1,5 sin( 2 ) 2 2 2 2
d
2
2
2
sin( ) sin( ) 2 1,52 1 , 5 2 2 I 1 2 2 2 2 2 2
1,5 1,5
2 2 2 2
2
2
2
I 1
1,5
2
Reemplazando este valor de la integral se tiene el trabajo solicitado
1,52 1,52 W 12 2 12 2 42
567 pie.lbf
CASO 2: SEGURIDAD EN UN CENTRO COMERCIAL
La región limitada por las curvas y = ( x2 - 20)/2 , y=0 entre x=-2 y x=2, representa un lote de estacionamiento para un centro comercial. Para mejorar la seguridad en el estacionamiento, el gerente del centro comercial planea construir un kiosco de observación en el centro del lote. Si se le encargaría a usted el trabajo 1. ¿En dónde instalaría el kiosco? 2. ¿Cómo lo harías?
Solución
Calculemos la masa: x 20 112 m 0 dx 2 13 2
2
2
Calculemos los momentos: x 20 0 2 2
M x
2
2
2
2
2
5248 dx 30
x 20 dx 0 M y x 0 2 2
2
2
Así el centro de masa esta ubicado en: 0 x
112 13
0
5248
y
30 112 13
4.69
( x, y )
2
2
r x 1. Se genera una esfera girando alrededor del eje X la grafica de : y alrededor del eje X. Aplique los teoremas de Pappus para encontrar el centroide de dicho semicírculo.
2. Encontrar el volumen del solido generado girando la región acotada por y
alrededor del eje Y.
2
x
2,
y
0, x
6
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