Semana 4- Sesiones 7 y 8 - Pruebas de Hipotesis Para Dos Poblaciones

Plan de clase Inicio

• Competencias • Motivación. • Saberes previos.

• Prueba de hipótesis para el cociente de dos varianzas poblacionales. • Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias poblacionales con varianzas conocidas. Contenido de sesión • Ejercicios resueltos.

Cierre

• Retroalimentación. • Autoevaluación

CASO PRACTICO Un estudio estadístico sobre el uso de cajeros automáticos indica que el monto diario (en dólares) de los movimientos tanto para varones y mujeres tienen distribución normal con la misma media y con varianza respectivas de 64 y 49 dólares2. Sin embargo la inferencia respecto a la igualdad de las medias es poco creíble. Para investigar más al respecto, se seleccionaron aleatoriamente los montos de los movimientos de 20 varones y 25 mujeres dando las medias respectivas de 200 y 205 dólares. Al nivel de significancia del 1%, ¿se puede concluir que las medias en ambos grupos son diferentes?

Competencias Al termino de la sesión, el estudiante estará en capacidad de:  Realiza pruebas de hipótesis para el cociente de dos varianzas poblacionales en problemas contextualizados.  Realiza pruebas de hipótesis para la diferencia de medias poblacionales con varianzas conocidas en problemas.

Pruebas de hipótesis para la igualdad de varianzas poblacionales Supuestos para realizar la prueba • Poblaciones normales • Muestras independientes

PASOS

1. Hipótesis

UNILATERAL A LA IZQUIERDA

BILATERAL

UNILATERAL A LA DERECHA

H0 :

 12   22

H0 :

 12   22

H0 :

 12   22

H1 :

 12   22

H1 :

 12   22

H1 :

 12   22

2. Nivel de significación 3. Estadístico de Prueba

S12 Fc  2 S2



También :

Fn11, n 21

Fn , m , 

1 Fm , n ,1

4. Valor crítico

5. Decisión Rechazar H0 si:

Fcal  Fn1 1, n2 1; 1

Fcal  Fn1 1, n2 1; 1 o Fcal  Fn1 1, n2 1; 

Fcal  Fn1 1, n2 1; 

Ejemplo 1 Oswaldo Clark acaba de adquirir dos fábricas de papel y está preocupado porque cree que tiene una variabilidad significativamente diferente en sus producciones, aún cuando las dos plantas producen aproximadamente la misma cantidad promedio de papel cada día. La siguiente información se obtuvo para determinar si las preocupaciones del señor Clark son justificadas. Al nivel de significación del 5%, ¿las dos plantas revelan la misma variabilidad en su producción?

Planta A B

Tamaño muestra 31 26

Varianza 984 toneladas cuadrado 1136 toneladas cuadrado

“LO QUE ESCUCHO LO OLVIDO. LO QUE VEO LO RECUERDO. PERO LO QUE HAGO, LO

1.- Hipótesis nula:

Hipótesis alterna

 12   22

H0 :

Preocupación Sr. Clark no justificada

2.-  = 0.05

 12   22

H1 :

Preocupación Sr. Clark justificada La variable de estudio producción (X), y se distribuye como una normal.

3.- Estadístico de prueba S12 FC  2 S2

5.- Decisión

 0.87

4.- Valor crítico

0.87

F 30; 25; 0.025 2.18 F 30; 25; 0.975

1 F 25;30; 0.025



1  0.472 2.12

Como Fc  0.87   0.472,2.18 , no se rechaza H 0 .

Decisión: A un nivel de significación del 5%, no existe suficiente evidencia estadística para rechazar que la variabilidad de la producción en ambas plantas son iguales; por lo tanto, la preocupación del Sr. Clark no está justificada.

Ejemplo 2 Las ventas medias semanales de las llantas PS214 en dos tiendas A y B de servicios, son aproximadamente iguales. Sin embargo el gerente de ventas de la tienda B cree que sus ventas son más consistentes. A continuación se presenta el número de llantas PS214 que se vendieron en las últimas 10 semanas en la tienda A y durante las últimas 11 semanas en la tienda B.

Tienda A Tienda B

32 39

35 38

34 40

35 42

32 45

30 44

33 35

31 32

31 36

33 38

37

Suponga que las ventas en cada tienda se distribuye como una normal y que las muestras son independientes. Al nivel de significancia de α =0.05, ¿son homogéneas las varianzas de las ventas semanales.

Pruebas de hipótesis para la diferencia de medias poblacionales Supuestos para realizar la prueba • Poblaciones normales • Muestras independientes

Caso A: Cuando las varianzas poblacionales son conocidas



PASOS

1. Planteamiento de hipótesis

y  22

2 1

UNILATERAL A LA IZQUIERDA

H0 : μ 1  μ 2  μ H1 :  1   2  

son conocidas BILATERAL

0 0



UNILATERAL A LA DERECHA

H 0 : 1   2   0

H0 :  1   2  

H1 : 1   2   0

H1 :  1   2   0

2. Nivel de significación: α

3. Estadístico de Prueba

Z cal 

( x1  x 2 )  0



2 1

n1





2 2



N (0,1)

n2

4. Valor crítico 5. Decisión

Rechazar H0 si: Zcal < Z

Rechazar H0 si: Zcal < Z/2 o Zcal > Z1-/2

Rechazar H0 si: Zcal > Z1-

0

Ejemplo 3 Un estudio estadístico sobre el uso de cajeros automáticos indica que el monto diario (en dólares) de los movimientos tanto para varones y mujeres tienen distribución normal con la misma media y con varianza respectivas de 64 y 49 dólares2. Sin embargo la inferencia respecto a la igualdad de las medias es poco creíble. Para investigar más al respecto, se seleccionaron aleatoriamente los montos de los movimientos de 20 varones y 25 mujeres dando las medias respectivas de 200 y 205 dólares. Al nivel de significancia del 1%, ¿se puede concluir que las medias en ambos grupos son diferentes?

Solución 1. Planteamiento de hipótesis

5. Decisión

H 0 : 1   2  0 H1 : 1   2  0

2. α = 0.01

3. Estadístico de prueba

Como Zcal = -2.51 se encuentra en ( x1  x 2 )   0 (200  205)  0 la región de rechazo, entonces no Z cal   64 19 se rechaza H0. Con un nivel de  12  22   20 25 n1 n2 significancia del 1%, existe evidencia estadística para concluir Z cal  2.51 que las medias en ambos grupos 4. Valores críticos son diferentes. Es decir, el movimiento diario en los cajeros Z0 = Z1/2 = 2.58 automáticos es el mismo tanto - Z0 = Z/2 = -2.58 para varones como mujeres.

Caso B: Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales

(12

y  22

PASOS 1. Planteamiento de hipótesis

no se conocen , UNILATERAL A LA IZQUIERDA

H0 : μ 1  μ 2  μ H1 :  1   2  

pero son estadístic amente iguales ) BILATERAL

0 0

UNILATERAL A LA DERECHA

H 0 : 1   2   0

H0 :  1   2  

H1 : 1   2   0

H1 :  1   2   0

2. Nivel de significación: α

3. Estadístico de Prueba

tc 

( x1  x2 )  0 (n1  1) S12  (n2  1) S22 n1  n2  2

1 1     n n  1 2 

4. Valor crítico 5. Decisión

Rechazar H0 si:

tcal  t n1 n 2 2; 

Rechazar H0 si:

t ca l  t n1 n 2  2;  / 2 o t ca l  t n1 n 2  2; 1 / 2

Rechazar H0 si:

tcal  t n1 n 2 2; 1

0

Ejemplo 4 El dueño de una panadería tradicional, está preocupado porque sospecha que uno de sus hornos está produciendo panes con mayor cantidad de ceniza. Con la finalidad de comparar la calidad de pan francés producido por dos hornos A y B, se han medido mediante análisis en laboratorio el porcentaje de ceniza en 10 unidades de pan provenientes de cada uno de los hornos, si se demuestra que el porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno A supera al porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno B en más de 0.2%, entonces tendrá que realizar un proceso de mantenimiento al horno afectado, deteniéndose su producción. Los resultados se muestran en la siguiente tabla. Al nivel de significancia del 5%, ¿Hay suficiente evidencia para afirmar que el porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno A supera al porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno B en más de 0.2%?

A B

1 1.77 1

2 1.69 1.3

3 1.9 1.47

4 1.87 1.6

5 1.4 0.96

6 1.4 1.14

7 2 1.65

8 2.9 1.76

9 2.5 1.69

10 1.9 1.65

Solución Prueba de igualdad de varianzas utilizando Minitab Test Method DF1 DF2 Statistic P-Value F Test (normal) 9 9 2.37 0.214 Ho: La cantidad de ceniza producida por ambos hornos son homogéneos. H1: La cantidad de ceniza producida por ambos hornos NO son homogéneos. Como p-valor = 0.214 > α = 0.05, entonces no se rechaza Ho. Es decir, la cantidad de ceniza en ambos hornos son homogéneas.

Paso 1: H0: μ1-μ2 ≤0.2 H1: μ1-μ2 >0.2 Paso 2: α = 0.05 Paso 3: TCal 

x 1  x 2   μ 0  (n 1  1) S  (n 2  1) S  n1  n 2  2  2 1

2 2

 1 1        n1 n 2 

 1.79

Paso 5: Como el Tcal = 1.79 > T0 = 1.734, se rechaza H0. Con un nivel de significancia del 5%, existe evidencia estadística para afirmar que el porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno A supera al porcentaje de ceniza promedio por unidad de pan producida por el horno B en más de 0.2%. Por lo tanto, se tendrá que realizar un proceso de mantenimiento al horno A.

Caso C: Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero diferentes

(12

y  22 Pasos

1. Planteamiento de hipótesis

no se conocen , UNILATERAL A LA IZQUIERDA

H0 : μ 1  μ 2  μ H1 :  1   2  

pero son estadístic amente diferentes ) UNILATERAL A LA DERECHA

BILATERAL 0 0

H 0 : 1   2   0

H0 :  1   2  

H1 : 1   2   0

H1 :  1   2   0

2. Nivel de significación: α

3. Estadístico de Prueba

Tcal 

( x1  x 2 )   0 S12 S 22  n1 n2

2

 S12 S2    2  n2   n1 g 2 2 2 ( S1 / n1 ) ( S 22 / n2 ) 2  n1  1 n2  1

4. Valor crítico

5. Decisión

Rechazar H0 si:

Tcal < tg,



Rechazar H0 si: Tcal < tg, /2 o Tcal > tg, 1-/2

Rechazar H0 si: Tcal > tg, 1-

0

Problema 5 Las ventas medias semanales de las llantas PS214 en dos tiendas A y B de servicios, son aproximadamente iguales. Sin embargo el gerente de ventas de la tienda B cree que sus ventas son más consistentes. A continuación se presenta el número de llantas PS214 que se vendieron en las últimas 10 semanas en la tienda A y durante las últimas 11 semanas en la tienda B. Tienda A Tienda B

32 39

35 38

34 40

35 42

32 45

30 44

33 35

31 32

31 36

33 38

37

Suponga que las ventas en cada tienda se distribuye como una normal. Al nivel de significancia de α =0.05

¿Está usted de acuerdo con el gerente de la tienda B?

Prueba de Hipótesis para la igualdad de proporciones: 1 - 2 = 0 PASOS

1. Hipótesis

UNILATERAL A LA IZQUIERDA

BILATERAL

UNILATERAL A LA DERECHA

H0 : 1   2   0

H0 : 1   2   0

H0 : 1   2   0

H1 :  1   2   0

H1 :  1   2   0

H1 :  1   2   0

2. Nivel de significación

3. Estadístico de Prueba

ZC 

( p1  p2 )  p0  p1 (1  p1 ) p2 (1  p2 )     n n  1 2 

4. Valor crítico

5. Decisión

Z cal  Z 

Z cal  Z  / 2 o Z cal  Z 1 / 2

Z cal  Z 1

Ejemplo 6 El jefe de calidad afirma que la proporción de unidades defectuosas del proveedor A es mayor que la del proveedor B en más de 3%. Si dos muestras aleatorias independientes de 200 unidades del producto de cada proveedor han dado 30 y 17 unidades defectuosas respectivamente para A y B , ¿Esta usted de acuerdo con la afirmación del jefe de calidad? Use un nivel de significancia del 5%.

1.- Hipótesis nula:

Hipótesis alterna

H 0 :  1   2  0.03 El jefe de calidad no tiene la razón

H1 :  1   2  0.03 El jefe de calidad tiene la razón

2.-  = 0.05

3.- Estadístico de prueba Z cal 

( PA  PB )  π 0 PA( 1  PA ) nA



4.- Valor crítico Z1  1.64

PB( 1  PB ) nB



( 0.15  0.085)  0.03 0.15( 1  0.15) 200



0.085( 1  0.085)

 1.09

200

5.- Decisión Como zcal = 1.09 < z0 = 1.64, no se rechaza H0. Con un nivel de significancia del 5%, no existe evidencia estadística que apoye la afirmación del jefe de calidad.

SÍNTESIS  Pruebas de hipótesis para igualdad de varianzas poblacionales.  Prueba para la diferencia de medias poblacionales. • Caso A: Cuando las varianzas poblacionales son conocidas.

• Caso B: Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales.

• Caso C: Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero diferentes.  Prueba de hipótesis ara la igualdad de proporciones.

METACOGNICIÓN  ¿Qué aspectos te han parecido interesantes?  ¿Qué contenido consideras más importantes del tema trabajado?  ¿Qué competencias del tema podrías aplicar en tu vida diaria?

PARA REFORZAR LO APRENDIDO Resolver los problemas propuestos de la Guía de Trabajo

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA 1. Anderson, D. (2012) Estadística para Negocios y Economía. México: CENGAGE Learning 2. Chue, J. (2012) Estadística Aplicada. Lima: Universidad de Lima 3. Lind, D. (2012) Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. México: Mc Graw Hill

4. Pérez, C. (2013) Diseño de experimentos: técnicas y herramientas. Madrid: Garceta