semana 3

ACTIVIDAD 3 Objetivos: ● ●

Resolver un modelo de programación lineal por el método gráfico. Conocer conceptos del método gráfico: desigualdades, region factible, punto óptimo.

 Instrucciones: ·

Revisa los siguientes recursos: Lectura

o

Matemáticas para los negocios: Solución gráfica

Video

o

·

Método gráfico – Programación lineal

Da respuesta respuesta a las interrogantes descritas en la sección A de la tarea. tarea. Recuerda que debes basar tus respuestas en la información que hayas recopilado de fuentes bibliográficas. Utiliza tus palabras para dar respuesta a las interrogantes.

· ·

Da solución solución por el método gráfico a los ejercicios ejercicios propuestos propuestos en la sección sección B de la tarea. La solución de los ejercicios se puede hacer a mano (con (con letra legible), sólo necesitas escanearla o tomar una fotografía y pegarla en una hoja de Word. Otra opción es que utilices el editor de ecuaciones de Word para capturar las soluciones.

-

Incluye la bibliografía de referencia en el formato APA.

Forma de evaluación: Criterio

Ponderación

Presentación

10%

Ejercicio 1.

30%

Ejercicio 2.

60%

Desarrollo de la actividad: Ejercicio 1. (3 puntos)

1)

Contesta la siguiente pregunta: ¿En qué tipo de situaciones es recomendable la utilización del método gráfico y en qué problemas no se puede aplicar? El método gráfico es recomendable en situaciones donde sólo se tienen 2 variables, y se presentan pocas restricciones, pues en caso de no darse estas condiciones, no se podría realizar la gráfica o se presentaría una gran dificultad para poder identificar la región factible.

2)

Explica la manera de modelar matemáticamente situaciones comunes que requieren la solución de un problema mediante programación lineal. Debe poder establecerse la función objetivo, que resuelva una cuestión de máximo o mínimo, respondiendo a situaciones como máxima ganancia, mínima perdida, máxima producción, mínima cantidad de material, máximo beneficio, mínimo desperdicio. Esta función objetivo debe de estar sujeta a un grupo de variables cuantificables. Para modelar un problema de programación lineal en situaciones comunes se debe de identificar la situación a modelar, buscando si es de máximo o de mínimo, ello dependerá de la situación a modelar. Posteriormente se definen las restricciones a las que están sujetas las variables de la función objetivo.

3)

Describe la manera de generar una solución gráfica para los problemas de programación lineal. Primero se establecen los ejes que identifican las variables de la función objetivo, las desigualdades de las restricciones se convierten en igualdades, se grafican las igualdades. A partir de la gráfica de las igualdades se identifica la región factible, evaluar la función objetivo en los puntos esquina y verificar cuál de ellos es el cumple la condición de máximo o mínimo. Este punto será la solución al problema de programación lineal.

Ejercicio 2. (6 puntos)

Resuelve los ejercicios y problemas de programación lineal que se presentan a continuación. Utiliza el método gráfico.

La solución se puede hacer a mano (con letra legible), sólo necesitas escanearla o tomar una fotografía y pegarla en una hoja de word. Otra opción es que utilices el editor de ecuaciones de word para capturar las soluciones.

a)

  =  +   : 2 ≥ 4 2 + 2 ≤ 24 5 + ≤ 100 , ≥ 0

Convirtiendo en igualdad las restricciones. Restricción 1 Convirtiendo en igualdad la restricción.

2 = 4 Punto donde intersecta al eje

 = 42 = 2

Restrcción 2 Convirtiendo en igualdad la restricción.

2x + 2y = 24 Puntos donde intersecta al eje. Para x=0

2y = 24 → y = 242 = 12 Para y=0

2 = 24 →  =  242 = 12

Restrcción 3 Convirtiendo en igualdad la restricción.

5 +  = 100 Puntos donde intersecta al eje. Para x=0

 = 100 Para y=0

5 = 100 →  = 100 5 = 20

Uniendo las 3 restricciones en una sola grafica.

Región factible.

Por lo que la región factible es e área comprendida entre las restricciones 1 y 2.

Localización de los puntos esquina.

Coordenadas de los puntos 1 (x=0, y=0) 2 (x=0, y=2) 4 (x=12, y=0) Para las cordenadas del punto 3, se calculan igualando las restricciones 1 y 2.

2 + 2 = 24 2 = 4 Matriz asociada

20 22 244 

1 → 1 2 2 → 2 2

10 11 122 

−2 + 1 → 1

10 01 120 

3 (x=10, y=2) Evaluando los puntos encontrados en la función objetivo

2 (x=0, y=2)

5(0) + 3(0) = 0 5(0) + 3(2) = 6

3 (x=10, y=2)

5(10)+3(2)=56

4 (x=12, y=0)

5(12) + 3(0) = 60

1 (x=0, y=0)

  =  + 

Seleccionar la combinación que cumpla con el objetivo. Debido a que estamos buscando maximizar, el valor más alto de los resultado de 60.

seleccionados es x=12, y=0, ya que se obtiene el

Ejemplo resuelto La compañía ACME ha decidido fabricar sólo dos productos de los cuatro que producía anteriormente, para lo cual necesita saber cuánto necesita producir de cada uno de ellos para maximizar la utilidad de la compañía. Los tiempos de producción, capacidad de producción y la utilidad de ambos productos se muestran a continuación en la siguiente tabla:

Formulación del problema: Tomamos la variable “y” como las sillas y la variable “x” como las mesas (la elección es arbitraria) Entonces el planteamiento queda: Maximizar Z= 750x + 150y Sujeto a: 15x + 11y ≤ 3,500 6x + 3y ≤ 1,200 20x + 40y ≤ 8,000 x, y ≥ 0

Paso 1: Establecer ejes.

Colocamos Mesas p/jardín en la variable x, mientras que Sillas/p jardín en variable y. Paso 2: Representar restricciones de manera gráfica Restricción

1.

Convertimos la restricción en una igualdad: 15x + 11y = 3,500 Encontramos los puntos donde se intersecta la función en los ejes. Sea x=0, entonces: 15(0)+11y=3,500 →  0+11y=3,500

→ 11y=3,500 → y=3,500/11 → x=318.18

Por tanto tenemos el punto: (0, 318.18) Hacemos y=0, y despejando obtenemos: 15x+11(0)=3,500 →  15x+0=3,500 Por tanto tenemos el punto: (233.33, 0)

Graficamos la recta que une ambos puntos:

→ 15x=3,500 → x=3,500/15 → x=233.333

Dibujamos la región comprendida por la restricción 1. Al ser una condición ≤, l a región se encuentra a la izquiera o por debajo de la recta:

Restricción 2. Convertimos la desigualdad en igualdad: 6x+3y = 1,200 Encontramos los puntos donde se intersecta la función en los ejes: Hacemos x=0 6(0)+3y=1,200 → 0+3y=1,200

→ 3y=1,200 → y=1200/3 → y=400

Por tanto, el punto (0, 400) está en la recta que delimita la restricción 2.

Hacemos y=0 6x+3(0)=1,200 → 6x+0=1,200

→ 6x=1,200 → x=1200/6 → x=200

Por tanto, el punto (200, 0) está en la recta que delimita la restricción 2. Graficamos:

Dibujamos la región comprendida por la restricción 2. Al ser una condición ≤, l a región se encuentra a la izquiera o por debajo de la recta:

Restricción 3. Convertimos la desigualdad en igualdad: 20x+40y = 8,000 Encontramos los puntos donde se intersecta la función en los ejes: Hacemos x=0 20x+40y=8,000 → 20(0)+40y=8,000

→ 0+40y=8,000 → 40y=8,000 → y=8,000/40 → y=200

Por tanto, el punto (0, 200) está en la recta que delimita la restricción 3.

Hacemos y=0 20x+40y=8,000 → 20x+40(0)=8,000

→ 20x+0=8,000 → 20x=8,000 → x=8,000/20 → x=400

Por tanto, el punto (400, 0) está en la recta que delimita la restricción 3. Graficando:

Dibujamos la región comprendida por la restricción 1. Al ser una condición ≤, la región se encuentra a la izquiera o por debajo de la recta:

Juntamos las tres restricciones en una sola gráfica:

Paso 3. Identificar la región factible La región factible es la intersección de las regiones comprendidas por las restricciones.

Paso 4. Obtener la mejor solución. Método solución del punto esquina

Localizar las coordenadas de cada punto esquina de la región factible.

Punto 1: (x=0, y=0) Punto 2: (x=0, y=200) Punto 3: (x=200, y=0)

El Punto 4 lo calcularemos igualando la

restricción 2 y 3 debido a que por inspección no es

evidente el valor exacto de la coordenada. Para ello resolverémos el sistema obtenido, usando el método de Gauss-Jordan. Restricción 2

6 x + 3y  = 1,200

Restricción 3

20x + 40y = 8,000

Encontramos la matriz asociada:

Realizamos la operación R 1

 1/6R1 para hacer la entrada (1,1) una unidad.

→

Hacemos R2 → R2 – 20R1

Convertimos el 30 en unidad con R 2

Por último R1

→ (1/30)R 2

→ R1 +(1/2)R2

Por tanto el punto 4 esta dado por: (x=133.33,

y=133.33)

Evaluar los puntos encontrados en la función objetivo. Utilidad Punto 1: $750(0)

+

$150(0)

= $0

Utilidad Punto 2: $750(0)

+

$150(200)

= $30,000

Utilidad Punto 3: $750(200)

+

$150(0)

= $150,000

$150(133.33)

= $120,000

Utilidad Punto 4: $750(133.33) +

Seleccionar la combinación que cumpla con el objetivo  de nuestro problema, si se busca maximizar, la mejor solución será la de resultado mayor, si se busca minimizar será la de menor resultado.

Debido a que estamos buscando maximizar la utilidad, el valor más alto de los

seleccionados es

producir x=200, y=0, ya que el producir 200 mesas semanalmente se obtiene una utilidad de $150,000.

Estadistica.

Desarrollo de la actividad: Contexto. México, según una encuesta global realizada por Randstad Holding, firma internacional de recursos humanos, durante el segundo trimestre de 2011, es el segundo país con el índice de movilidad laboral más alto. Un estudio realizado para conocer la trayectoria laboral entre generaciones (padres e hijos) se realizó con una muestra representativa la cual incluye a todos los hijos autoempleados o trabajadores por cuenta propia que comparten el mismo hogar con padres en cualquiera de las categorías ocupacionales (patrones, asalariados). Para controlar los efectos de las diferencias por edad, se decidió seleccionar a los jefes de hogar ocupados que tuvieran 30 y más años, con hijos ocupados de 15 o más años, la siguiente tabla de contingencias muestra los resultados encontrados. POSICION OCUPACIONAL DE LOS PADRES

Trabajadores Subordinados (s) H

JI

O

S

Trabajadores por cuenta propia, no profesionales y no directivos (NP)

Trabajadores sin pago (SP)

Total

Trabajadores Subordinados (S)

Empleadores (E)

Trabajadores por cuenta propia, profesionales y directivos (P)

14144

2657

353

5696

171

23021

158

100

7

73

17

355

177

59

42

113

12

403

744

124

31

996

72

1967

S L

O

Empleadores (e) E

P

O

S

CI

OI

N

O

C

U

P

A

C

OI

N

A

L

D

Trabajadores por cuenta propia, profesionales y directivos (p) Trabajadores por cuenta propia, no profesionales y no directivos (np)

Trabajadores sin pago (sp)

Total

824

479

81

3526

97

5007

16047

3419

514

10404

369

30753

Imagina que tienes una empresa y estás interesado en conocer la trayectoria laboral prevaleciente en México y reducir el porcentaje de personas que renuncian a un puesto. Para tomar una decisión sobre los requisitos que se deben incluir en el perfil de contratación, determina las probabilidades siguientes. Por ejemplo: Padres Trabajadores por cuenta propia, profesionales y directivos (P) o Hijos Trabajadores Subordinados (s) = P U s = 514/30753 + 23021/30753  – 353/30753 = 0.0167 + 0.7486 - 0.1115 = Introducción: Ejercicio 1. (1 Punto) Padre trabajador por cuenta propia, profesional o directivo (P).

514  = .   = 30753 Ejercicio 2. (1 Punto) Hijo trabajador sin pago (sp).

 =  5007 30753 = . Ejercicio 3. (1 Punto) Hijo empleador (e).

355  = .   = 30753 Ejercicio 4. (1 Punto)

0.6538

Padre empleador con hijo trabajador subordinado (E

∩ s).

⋂ =  2657 30753 = .  Ejercicio 5. (1 Punto) Hijo trabajador sin pago y padre trabajador sin pago (sp

∩ SP).

97  = .  ( ∩ ) = 30753 Ejercicio 6. (1 Punto) Padre trabajador subordinado o hijo empleador (S U e).

355  − 158  = . ( ∪ ) =  16047  + 30753 30753 30753 Ejercicio 7. (1 Punto) Padre trabajador por cuenta propia no profesional o hijo subordinado (NP U s).

23021 −  5696  = .   ∪  = 10404  + 30753 30753 30753 Conclusiones:

Bibliografía.

Tip Recuerda las reglas del cálculo de unión e intersección de probabilidades: Probabilidad de la unión de sucesos Para calcular la probabilidad de la unión de sucesos, debemos mirar si son compatibles o incompatibles. La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es:

La probabilidad de la unión de sucesos compatibles es:

Fijémonos que cuando los sucesos son incompatibles, fórmula siempre es cierta.

, por lo que la segunda

Probabilidad de la intersección de sucesos Para calcular la probabilidad de la intersección de sucesos, debemos primero comprobar si son dependientes o independientes. La probabilidad de la intersección de sucesos independientes es:

La probabilidad de la intersección de sucesos dependientes es:

Fijémonos que cuando los sucesos son independientes, fórmula en realidad siempre es cierta.

, por lo que la segunda

Si es necesario, puedes consultar otras fuentes de información para complementar tu trabajo.