Semana 3 - Proporcionalidad y Regla de Tres

 

RITMÉTIC ____________________________________________________________   PROPORCIONALIDAD

 REGLA DE TRES

–

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Suponga que dos magnitudes están relacionadas de modo que al duplicar el valor de una de ellas, el valor de la otra también se duplica; al triplicar la primera, la segunda también queda multipl multiplicada icada por tres, tres, etc. Siempre que sucede esto, decimos que existe entre ambas magnitudes, una relación de proporción directa. Por ejemplo, si contamos lla a cantidad de panes que se pueden comprar con cierta cantidad de soles:   SOLES # PANES 1 sol  

8 panes 

2 soles 3 soles

16 panes 24 panes

4 soles

32 panes

 Además, se cumple que el cociente de los valores correspondientes de las magnitudes es constante  # panes soles



8 1



16 2



24 3



32 4



8  (constante)

Si graficamos los valores correspondientes de las magnitudes en el plano.   (#de panes) 32 24 Tg= 8

16 8 

1

2

3

4

(S/.)

Lic. Lorenzo Rafael Heredia 

1 

 

Los puntos se encuentran sobre una recta que pasa por el origen. Obs: La pendiente de la recta es igual a la constante de proporcionalidad. Este valor se puede calcular como la tangente del ángulo agudo que forma la recta con el eje X

 A  D.P. B

En general:

 Valor  V alor de  A 

  



constante

 Valor  V alor de B

NOTA

 A  DP   B   A

 se lee A es directamente proporcional a B    B

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Supongamos que una persona realiza un viaje por automóvil en una distancia de 180km. entre una ciudad y otra. Sea V la velocidad constante del auto y t el tiempo transcurrido en el viaje.

 V(Km/H) t(H) 30

6

45

4

60

3

90

2

Se puede observar que al duplicar la velocidad, el tiempo se divide entre 2, y al triplicar la  velocidad, el tiempo tiempo se reduce a su tercera parte. Además, se cumple cumple que el producto de los valores correspondientes de las magnitudes magnitudes es constante. constante. La gráfica de los valores correspondientes correspondientes de las magnitudes en el plano es:

 V(Km/H)  V(K m/H) El área de cada rectángulo que se genera con un punto de la curva es igual a la constante de proporcionalidad.

180 90 60 45 30 1

2

3

4

6

t(H)

Los puntos se encuentran sobre una rama de hipérbola equilátera. equilátera. En general:

 A IP B

(Val (V alor or de A) (V (Val alor or de B) = co cons nsta tante nte

Lic. Lorenzo Rafael Heredia 

2 

 

PROPIEDADES

I.

II.

Si:  A IP B



Si:  A DP B





Si:  A DP B

A DP C



  B IP C    B DP C    B IP C

 A IP B IV.

  B DP C



 A IP DP BB  A  A IP B III.

A DP 1/B

 

n



 A   DP  B



 A 

m

 IP  B

A IP A IP C C A DP C

n

m

Si:  A DP B (Cuando C es constante) constante) y A IP C (Cuando B es constante) Se cumple:  A   C B



constante

PROBLEMAS PROPUESTOS

El número a es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número b. Si: a = 5/7 cuando b = 49. ¿Cuál es el valor de b, si a = 1/4 ? a) 250 b) 300 c) 500 d) 360 e) 400  1.

2. 

La presión en un balón de gas es IP a su volumen; es decir a menor volumen volume n mayor presión. Un balón de 240 litros soporta una presión de 4,8 atm. ¿Qué presión soportará un balón de 60 litros? a) 19,2 atm b) 16,4 atm c) 14,4 atm d) 18,2 atm e) 16 atm Según la Ley de Boule, la presión es inversamente proporcional al volumen que contiene determinada cantidad de gas. ¿A qué presión está sometido un gas si al aumentar esta presión en 2 atmósferas, el volumen varía en 40%? a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

3. 

4. 

Si A IP B y DP C, cuando A=5, B=4, C=2. Hallar "C" cuando A = 6, B = 9  Lic. Lorenzo Rafael Heredia 

3 

 

a) 4

b) 5,4

c) 5

d) 6,2

e) 7

Si A DP B é IP C, cuando C = 3/2 , A y B son iguales. ¿Cuál es el valor de B cuando A = 1 y C = 12?  a) 8 b) 6 c) 4 d) 12 e) 9

5. 

B 

e IP a 3 C    Además cuando A es 14 entonces B=64 y C=B. Hallar A cuando B sea 4 y C sea el doble de B. a) 7 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

6. Se

sabe que A es DP a 

7.

Si A D.P. B y C e I.P. D2  . Averiguar cómo varía "A" cuando "B" aumenta en su tercera parte, “C" disminuye sus 2/5 y "D" aumenta en la 1/5 parte de su valor. a) 2/5 b) 5/9 c)4/9 d) 4/7 e)2/7 8. P

varía inversamente proporcional con la enésima potencia de Q. P varía de 5/2 a 5/8 cuando Q varía de 8 a 64. Hallar "n" a) 4/3 b) 2 c) 3/2 d) 2/3 e) 3 9. Una

rueda A de 80 dientes engrana con otra otra rueda B de 50 dientes. Fijo al eje de B hay otra rueda C de 15 dientes que engrana con una rueda D de 40 dientes. Si A da 120 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D? a) 70 b) 72 c) 60 d) 90 e) 96 10.

Hallar: x + y + z 50 40 z/2 x 24

a) 180

b) 193

z 60

c) 200

y

d) 120

e) 48

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4 

 

Si: A, B, C y D son magnitudes proporcionales, además: A2 D.P. B (C; D son constantes) ; A I.P. 3 C   (B; D son constantes) ; D2  DP A  (B; C son constantes) Si cuando: A = 2 ; B = 9 ; C = 125 ; D = 2. ¿Cuál es el valor de C, cuando A = 99 ; B = 121 y D = 6? a) 30 b) 270 c) 2700 d) 900 e) 27000 11. 

Una magnitud A es DP a B y C; e IP a D 2 ¿Qué variación experimenta A cuando B se duplica, C aumenta en su doble y D se reduce a su mitad? a) Aumenta 30 veces su valor. b) Aumenta 23 veces su valor. c) Se reduce 1/3 d) Se duplica. e) Aumenta 3 veces su valor. 12. 

El número de paraderos que tiene un ómnibus en su recorrido es directamente proporcional al espacio recorrido y la velocidad es proporcional al número de pasajeros que transporta. Si en un recorrido que emplea una velocidad de 42 km/h y se detiene en 24 paraderos ha transportado 60 13. 

pasajeros, determinar en cuántos paraderos se detiene en otro recorrido, con una velocidad de 63 km/h; habiendo transportado 108 pasajeros. a) 20 b) 23 c) 25 d) 30 e) 32 14. Sean

3 magnitudes A; B y C.

Para A = cte: 

B

16

24

40

C

6

9

15

Para B = cte: 

Si A = 4; cuando C = 10 y B = 5 Dar la diferencia de cifras de A. a) 0 15. Las

b) 1

 A 

4

16

9

C

6

3

4

Hallar A cuando C = 5 y B = 10 c) 2

d) 3

e) 4

magnitudes A, B y C guardan las siguientes relaciones:  A  a

*Con C: constante:

B

8a

27a

64a

b 0,5 b 0,3 b 0,25b

Si cuando A = 4, B = 9 y C = 16. a) 36 b) 42

*Con B: constante:

 A 

a

2a

3a

4a

C

0,25c

c

2,25c

4c

Hallar A cuando B = 3 y C = 4. c) 48 d) 54 e) 60

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5 

   

REGLA DE TRES

Es cuando se comparan dos dos magnitudes magnitudes proporcionales. Pueden ser directas directas o inversas. Directa: Cuando las magnitudes comparadas son directamente proporcionales. proporcionales.

1.

Esquema:

1era. magnitud

2da. magnitud

a x

b c

Si son magnitudes directamente proporcionales proporcionales se cumple: 

a

x 

b



bx



ac

c

Ejemplo: Un grifo arroja en 12 minutos 640 litros litros de agua. ¿Cuántos litros litros arrojará en 75 minutos? Minutos

# litros

12

640

75

x

12x = 75(640) 

Es una R3SD

x = 4000l 

Inversa: Cuando las magnitudes comparadas son inversamente proporcionales : Esquema:   1era. magnitud 2da. magnitud

2.

a

b

x

c a.b=x.c

Si son magnitudes inversamente inversamente proporcionales se cumple: Ejemplo: 24 sastres pueden hacer un trabajo en 30 días, ¿Cuántos sastres habrá que aumentar para hacer dicho trabajo en 20 días? Resolución   Sastres

días

24

30

x

20

Es una R3SI

x = 36

20x = 30(24)

Entonces hay que aumentar 36  24 = 12 sastres

REGLA DE TRES COMPUESTA

Es cuando se comparan más de dos magnitudes es decir al menos 3 magnitudes (6 valores correspondientes) Ejemplo 1: 50 peones siembran un terreno de 500m2 de superficie en 6 días de 6h/d; entonces, el número de días que necesitan 20 peones doblemente rápidos para sembrar un terreno de 2 800m de superficie trabajando 4h/d es: Resolución:    IP Peones

m2

horas

4x

50 800 

50(1) 20(2)

500 800

6(6) x(4)

360 36



x = 18 días

40 500

DP

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6 

 

Ejemplo 2: 5 hornos consumen 30 toneladas de carbón en 20 días; 3 hornos más consumirán en 25 días una cantidad de carbón igual a: Resolución: DP

Hornos 5

TN 30

8

x

x

días 20

8 

30

25

25

x = 60 TN



5

20

DP

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.  Se

sabe que "h" hombres tienen vvíveres íveres para "d" días. Si estos víveres deben alcanzar para "4d" días. ¿Cuántos hombres deben retirarse? a) h/3 b) h/4 c) 2h/5 d) 3h/5 e) 3h/4 2. Ángel

es el doble de rápido que Benito y la tercera parte que Carlos. Si  Ángel hace una obra obr a en 45 días, ¿En cuá cuántos ntos días harán la obra obr a los 3 juntos? a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 25 3.  16 obreros pueden hacer una obra en 38 días, ¿En cuántos días harán la obra su rendimiento en31 un 60%?e) 32 a) 28si 5 de los obrerosb)aumentan 29 c) 30 d) 4. Un

sastre pensó hacer un terno en una semana; pero tardó 4 días más por trabajar 4 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó diariamente? a) 11 b) 7 c) 8 d) 14 e) 22 5. Doce

hombres se comprometen a terminar una obra en 8 días. Luego de trabajar 3 días juntos, se retiran 3 hombres. ¿Con cuántos días de retraso terminan la obra? 2     a) 1 1 días b) 1 3 días c) 2 1 días d) 1 día e) 2 días 3

4

6. Si

en 80 litros de agua de mar existen 2 libras de sal, ¿Cuánta agua pura se debe aumentar a esos 80 litros para que en cada 10 litros de la mezcla exista 1/6 de libra de sal? a) 20 b) 35 c) 40 d) 60 e) 50 7. Manuel

es el triple de rápido que Juan y juntos realizan una obra en doce días. Si la obra la hiciera solamente Manuel, ¿Cuántos días demoraría? a) 20 b) 16 c) 18 d) 14 e) 48 8. Un

reloj se atrasa 10 minutos cada día.

marcar a) 36 la hora correcta? b) 72

c) 120

¿En cuántos días volverá a d) 132

e) 144

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7 

 

9. Una

fábrica dispone de 3 máquinas de 70% rendimiento y produce 3200 envases cada 6 jornadas de 8 horas. Con el fin de reducir personal, se cambian las máquinas por otras 9 del 90% de rendimiento que producen produ cen 7200 envases en 4 jornadas de "n" horas. Hallar "n" a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 10. En

12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Se retiran 6 12

obreros. obra? ¿Cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la a) 36 días b) 12 días c) 48 días d) 24 días e) 15 días 11. Una

obra debía terminarse en 30 días empleando 20 obreros, trabajando 8 horas diarias. Después de 12 días de trabajo, se pidió que la obra quedase terminada 6 días antes de aquel plazo y así se hizo. ¿Cuántos obreros se aumentaron teniendo presente que se aumentó también en dos horas el trabajo diario? a) 4 b) 24 c) 44 d) 0 e) 20 12.

puedenlahacer obra días, mientras que 2unhombres hombre y 28 muchachos hacen mismauna obra en en 45 15 días. Un solo muchacho, ¿en qué tiempo haría la misma obra? a) 90 días b) 120 días c) 180 días d) 150 días e) 60 días 13. 

Se contrataron 25 obreros para que terminen una obra en 21 días trabajando 8 horas diarias. Luego de 6 días, se acordó que la obra quede terminada 5 días antes del plazo establecido, ¿Cuántos obreros más se tuvieron que contratar sabiendo que se incrementó en 2h el trabajo diario? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 30 14.

obreros y dospor ayudantes una obraen en220 días Cuatro trabajando 8 horas día. Si alpueden cabo dey 8deben días, realizar se incrementan el número de obreros y en 4 el número de ayudantes y se decide reducir en 1 hora la jornada diaria. ¿Cuántos días antes culminarán dicha obra, si el rendimiento de cada obrero es el triple del de cada ayudante? a) 8 b) 6 c) 4 d) 12 e) 16 15. Un

trabajo puede ser hecho por 8 hombres en 14 días trabajando 9 horas diarias. Si 4 hombres aumentaran su rendimiento en 40% ¿en qué tiempo terminarán la obra? 2

Rpta.

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