Semana 2b-2016-1 Tito Cinematica de La Particula

Dinámica

2016-1

Semana 2 Expositor: M.Sc Ing. Tito Vilchez Vilchez

Tema: Cinemática de la Partícula en Movimiento Absoluto en 3D

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES La ampliación de dos dimensiones (x,y) a tres dimensiones (x,y,z) no ofrece dificultad especial. Simplemente basta añadir la coordenada z y sus dos derivadas temporales a las expresiones bidimensionales, de forma que el vector de posición R, la velocidad v y la aceleración a se expresan de la siguiente manera: En el plano solo se consideran dos componentes X e Y

Vector Posición:

R  Xiˆ  Yjˆ  Zkˆ Vector Velocidad:

dX ˆ dY ˆ dZ ˆ v i j k dt dt dt v  Xiˆ  Yjˆ  Zkˆ v  v iˆ  v ˆj  v kˆ X

v

Y

Z

 vX    vY    vZ  2

2

2

R

Vector Aceleración:

d 2 X ˆ d 2Y ˆ d 2 Z ˆ a i  2 j 2 k 2 dt dt dt

a  Xiˆ  Yjˆ  Zkˆ a  v X iˆ  vY ˆj  vZ kˆ a  a iˆ  a ˆj  a kˆ X

Y

Z

R a

 aX    aY    aZ  2

2

2

kˆ

MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO EN COORDENADAS CILINDRICAS

(r, , Z)

La posición de la partícula P se define utilizando las coordenadas cilíndricas (a) ˆ Descomponiéndose en términos de sus vectores unitarios:eˆr , eˆ , k Siendo R el vector posición:

R  reˆr  zkˆ

dR v  reˆr  r eˆ  zkˆ dt v

 vr 

2

  v    vz  2

a

vr  r

v  r

a  r  2r 2

2

vz  z

 Siempre se mide a partir del eje Positivo X

2

 ar    a    az 

eˆ

eˆr

dv d 2 R a  2  (r  r 2 )eˆr  (r  2r )eˆ  zkˆ dt dt

ar  r  r 2

R

2

aZ  z

Ejemplo 1

Obligatorio: Resolver por Coordenadas Cilíndricas

La barra OB gira alrededor del eje Z con una velocidad angular constante   4rad / s mientras que la corredera A sube por la barra con una rapidez constante S  6m / s Para el instante cuando  = /2 rad, determine: 1.- La magnitud de la velocidad radial.(m/s) 2.- La magnitud de la velocidad transversal.(m/s) 3.- La magnitud de la velocidad en el eje Z.(m/s) 4.- La magnitud de la aceleración radial.(m/s2) 5.- La magnitud de la aceleración transversal a.(m/s2) 6.- La magnitud de la aceleración en el eje Z.(m/s2)

Respuestas con 4 decimales truncado

Vr = 4,5962 m/s v = 6,128 m/s vZ = 3,8567 m/s

ar = - 24,512 m/s2 a = 36,7698 m/s2 aZ = 0 m/s2

Solución:

z

S

Vr = 4,5962 m/s v = 6,128 m/s vZ = 3,8567 m/s



r

  0  0

Sabemos que S=2m, S  6m / s

S 0

Para S= 2m y =40: Se cumple:

r  S.Cos40

z S  2m

R

Percibimos que el ángulo =40=cte.

r  2.Cos40

ar = - 24,512 S m/s2 a = 36,7698 m/s2 50 aZ = 0 m/s2 40

r

r  1,532m

Derivando respecto del tiempo:

r  S.Cos 40  S  0 

r  6.Cos40

r  4,5962m / s

Derivando respecto del tiempo la ecuación:

r  S.Cos40 r 0

r  S.Cos 40  S (0) De igual manera se procede con:

z  S.Sen 40

z  2.Sen 40  1, 2855m

z  S.Sen 40

z  6.Sen 40  3,8567m / s

z  S.Sen 40

z 0

También:



Luego:

 2

  4rad / s  cte  0 ar  r  r 2  0  1,532(4)2

rad

vr  r  4,5962m / s

ar  24,512m / s 2

v  r  1,532  4   6,128m / s a  r  2r  1,532(0)  2(4,5962)(4)

vz  z  3,8567m / s v

 vr 

2

  v    vz  2

v  8,5762m / s

aZ  z  0

a  36, 7696m / s 2 2

a

 ar 

2

  a    az  2

a  44,1909m / s 2

2

http://ssmundodesconocido.es/la-tierra-hueca-nuevas-y-sorprendentespruebas.html http://francis.naukas.com/2015/08/26/el-video-youtube-de-la-ultimaboutade-de-hawking/

MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO EN COORDENADAS ESFERICAS (R, , ) Las expresiones de la posición y velocidad son fáciles; pero de la aceleración es mas complicada a causa de la geometría adicional necesaria. Obsérvese que el sentido del vector eR es el que tendría el movimiento del punto B, si R aumentara, pero manteniendo constantes  y . Asimismo, el sentido de eθ, es el que tendría B si θ aumentara, pero manteniéndose constantes R y . Finalmente, el sentido de e es el que tendría el movimiento de B si  aumentara pero manteniéndose constantes R y θ.

R

R  ReˆR

EXPRESIONES MATEMATICAS DE LA POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION DE LA PARTICULA EN COORDENADAS ESFERICAS

R  ReˆR dR v  vR eˆR  v eˆ  v eˆ  ReˆR  R Cos eˆ  R eˆ dt Donde:

vR  R v

v  R Cos v  R

 vR 

2

  v    v  2

2

dv d 2R a   aR eˆR  a eˆ  a eˆ 2 dt dt

Donde:

vR  R v  R Cos v  R

aR  R  R  R Cos  2

2

2

Cos  d ( R 2 )  a     2 R Sen R  dt 

a  2R Cos  R Cos  2R Sen 2  1 d (R  )  2 a     R SenCos R  dt 

a  2R  R  R 2 SenCos a

 aR 

2

  a    a  2

2

Ejemplo 1

Obligatorio: Resolver por Coordenadas Esféricas

La barra OB gira alrededor del eje Z con una velocidad angular constante mientras que la corredera A sube por la barra con una rapidez constante Para el instante cuando  = /2 rad, determine: 1.- La magnitud de la velocidad radial.(m/s) 2.- La magnitud de la velocidad transversal.(m/s) 3.- La magnitud de la velocidad en el eje Z.(m/s) 4.- La magnitud de la aceleración radial.(m/s2) 5.- La magnitud de la aceleración transversal a.(m/s2) 6.- La magnitud de la aceleración en el eje Z.(m/s2) Respuestas con 4 decimales truncado

VR = 6 m/s v = 6,128 m/s v = 0

aR = - 18,7783 m/s2 a = 36,7701 m/s2 a = 15,7569 m/s2

Utilizando el método de coordenadas esféricas tenemos:





2

  4rad / s  cte

rad

 0

R  2m R  6m s R  0

  40   0   0 vR  6m / s

vR  R  6m / s

VR = 6 m/s v = 6,128 m/s v = 0

v  R Cos  2(4)Cos 40 v  6,1283m / s

v  R  0

v

 vR 

2

  v    v 

V = 8.5764 m/s

2

2

aR = - 18,7783 m/s2S a = 36,7701 m/s2 a = 15,7569 m/s2

aR  R  R 2  R 2Cos 2 aR  0  2(0)2  2(42 )Cos 2 40 aR  18, 7783m / s 2 a  2R Cos  R Cos  2R Sen a  2(6)(4)Cos40  2(0)Cos40  2(2)(4)(0)Sen40 a  36, 7701m / s 2

a  2R  R  R 2 SenCos a  2(6)(0)  2(0)  2(4)2 Sen40Cos40

a  15, 7569m / s 2

a

 aR 

2

  a    a  2

2

a = 44,1922 m/s2

Transformacion de Coordenadas Nos sirven para determinar velocidades y aceleraciones en un Sistema en base a otros conocidos. Considerando que las ecuaciones de transformacion son lineales, utilizando el algebra matricial, definiremos los 6 casos de transformacion: Caso I.- De coordenadas rectangulares a coordenadas cilindricas:

Haciendo una vista de Planta:

 vZ vY

vX vZ

vr

eˆ v eˆr

vZ Y

O 

r

 

vX X

eˆ

v y Cos

vx Sen

vZ

vY

vr

v y Sen vxCos

eˆr vr  vxCos  v y Sen  0vz

v  vx Sen  vyCos  0vz vz  ovx  0vy  1vz

v

Donde:

 vr   cos  v     Sen     vz   0

sen cos  0

0   vx  0  v y  1   vz 

Siendo:

 cos   T    Sen  0

En forma similar:

sen cos  0

 ar   cos   a     Sen     az   0

En forma simplificada:

0  0 1 sen cos  0

0   ax     0  a y  1   az 

[v( r , , z ) ]  [T ][v( x, y , z ) ] [a( r , , z ) ]  [T ][a( x, y , z ) ]

Transformacion de Coordenadas Caso II.- De coordenadas cilindricas a coordenadas rectangulares:

T  1



Cos    Sen  0

 Sen Cos 0

0  0 1

1

[v( x , y , z ) ]  [T ][v( r , , z ) ] 1

[a( x, y , z ) ]  [T ][a( r , , z ) ]

Transformacion de Coordenadas Caso III.- De coordenadas cilindricas a coordenadas esfericas:

 Cos T    0  Sen

Sen   1 0  0 Cos  0

[v( R, , ) ]  [T ][v( r , , z ) ] [a( R, , ) ]  [T ][a( r , , z ) ]

Transformacion de Coordenadas Caso IV.- De coordenadas esfericas a coordenadas cilindricas:

T  1



Cos   0  Sen

0 1 0

 Sen   0  Cos 

1

[v( r , , z ) ]  [T ][v( R , , ) ] 1

[a( r , , z ) ]  [T ][a( R , , ) ]

Transformacion de Coordenadas Caso V.- De coordenadas rectangulares a coordenadas esfericas:

 cos  cos   T T     Sen  SenCos

CosSen Cos  SenSen

Sen   0  Cos 

[v( R, , ) ]  [T ][T ][v( x, y , z ) ] [a( R, , ) ]  [T ][T ][a( x, y , z ) ]

Transformacion de Coordenadas Caso VI.- De coordenadas esfericas a coordenadas rectangulares:

T T  1



1



CosCos    SenCos  Sen

 Sen Cos 0

1

1

1

1

 CosSen    SenSen   Cos

[v( x, y , z ) ]  [T ][T ][v( R, , ) ] [a( x, y , z ) ]  [T ][T ][a( R, , ) ]

Ejemplo 1

Obligatorio: Resolver por Coordenadas Esféricas

La barra OB gira alrededor del eje Z con una velocidad angular constante   4rad / s mientras que la corredera A sube por la barra con una rapidez constante S  6m / s Para el instante cuando  = /2 rad, utilizando transformación de Coordenadas, determine en coordenadas cilíndricas: 1.- La magnitud de la velocidad radial.(m/s) 2.- La magnitud de la velocidad transversal.(m/s) 3.- La magnitud de la velocidad en el eje Z.(m/s) 4.- La magnitud de la aceleración radial.(m/s2) 5.- La magnitud de la aceleración transversal a.(m/s2) 6.- La magnitud de la aceleración en el eje Z.(m/s2)

Respuestas con 4 decimales truncado

Vr = 4,5962 m/s v = 6,128 m/s vZ = 3,8567 m/s

ar = - 24,512 m/s2 a = 36,7698 m/s2 aZ = 0 m/s2

Utilizando el método de coordenadas esféricas tenemos:





2

  4rad / s  cte

rad

 0

R  2m R  6m s R  0

  40   0   0 vR  6m / s

vR  R  6m / s

VR = 6 m/s v = 6,128 m/s v = 0

v  R Cos  2(4)Cos 40 v  6,1283m / s

v  R  0

v

 vR 

2

  v    v 

V = 8.5764 m/s

2

2

aR = - 18,7783 m/s2S a = 36,7701 m/s2 a = 15,7569 m/s2

aR  R  R 2  R 2Cos 2 aR  0  2(0)2  2(42 )Cos 2 40 aR  18, 7783m / s 2 a  2R Cos  R Cos  2R Sen a  2(6)(4)Cos40  2(0)Cos40  2(2)(4)(0)Sen40 a  36, 7701m / s 2

a  2R  R  R 2 SenCos a  2(6)(0)  2(0)  2(4)2 Sen40Cos40

a  15, 7569m / s 2

a

 aR 

2

  a    a  2

2

a = 44,1922 m/s2

Utilizando el caso IV, de coordenadas esfericas a coordenadas cilindricas: Velocidades

T  1



Cos   0  Sen

0, 766  vr  v   0   vZ  0, 6427 0, 766  vr  v   0   vZ  0, 6427

 Sen  0  Cos 

0 1 0

0 1 0 0 1 0

Cos 40 0 T 1    0 1   Sen40 0

0, 6427 vR    0  v  0, 766  v  0, 6427  6  6,1283 0   0, 766  0 

 Sen40   0  Cos 40 

vR  6m / s v  6,1283m / s v  0

vr  0, 766(6)  0(6,1283)  0, 6427(0)

vr  4,596m / s

v  0(6)  1(6,1283)  0, 766(0)

v  6,1283m / s

vZ  0, 6427(6)  0(6,1283)  0, 766(0)

vZ  3,8562m / s

Utilizando el caso IV, de coordenadas esfericas a coordenadas cilindricas: Aceleraciones

0, 766  ar  a   0    aZ  0, 6427 0, 766  ar  a   0    aZ  0, 6427

0 1 0

0 1 0

0, 6427  aR    0  a  0, 766  a 

aR  18, 7783m / s 2 a  36, 7701m / s 2

a  15, 7569m / s 2

0, 6427  18, 7783  36, 7701  0   0, 766  15, 7569 

ar  0,766(18,7783)  0(36,7701)  0,6427(15,7569) ar  24,5111m / s 2

a  0(18, 7783)  1(36, 7701)  0(15, 7569)

a  36, 7701m / s 2

aZ  0,6427(18,7783)  0(36,7701)  0,766(15,7569)

aZ  0m / s 2

BLOQUE A La Grúa Liebherr telescópica móvil de 10 m de largo en el instante mostrado, gira alrededor del eje vertical CD a razón constante de 3 rad/s y el extremo B se aleja de A (observe los detalles de la figura derecha) a razón constante de 0,2 m/s. Si  disminuye a razón constante de 2 rad/s. Para el instante mostrado cuando  = 30, determine: a.- La magnitud de la aceleración aR de la arandela.(m/s2) b.- La magnitud de la aceleración a de la arandela.(m/s2) c.- La magnitud de la aceleración transversal a .(m/s2) d.- La magnitud de la aceleración aX .(m/s2) e.- La magnitud de la aceleración aY de la arandela.(m/s2) f.- La magnitud de la aceleración aZ de la arandela.(m/s2) g.- La magnitud de la aceleración de B.(m/s2)

BLOQUE B Para un tiempo corto, medido a partir del origen, la posición del extremo A (que no se muestra) de la base de la caja, esta se mueve en los polines transportadores, a largo de su trayectoria que está definida por las ecuaciones r = 20t (m), θ = 0.2t (rad) y z = ―10 cos θ (m), donde t se mide en segundos. Para t = 5 s, determine: a.- La magnitud de la velocidad de A en el eje X.(m/s) b.- La magnitud de la velocidad de A, en el eje Y.(m/s) c.- La magnitud de la aceleración de A, en el eje X.(m/s2) d.- La magnitud de la aceleración de A, en el eje Y.(m/s2) e.- La magnitud de la velocidad de A en el eje R.(m/s) f.- La magnitud de la velocidad de A, en el eje .(m/s) g.- La magnitud de la aceleración de A, en el eje R.(m/s2) h.- La magnitud de la aceleración de A, en el eje .(m/s2)

THE END!

Higher Education: Let’s make it all that it can be and needs to be! Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser! Profesor: M.Sc Tito Vilchez