Semana 2 - Regla dCe La Cadena

SEMANA 2 CURSO: CÁLCULO III Tema

:

Regla de la cadena y optimización de funciones de varias variables

REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES La regla de la cadena para funciones de una variable dice que cuando w  f (x) es una función diferenciable de x , y x  g (t ) es una función diferenciable de t, w se convierte en una función diferenciable de t y dw/ dt puede calcularse mediante la fórmula

dw dw dx  . dt dx dt Para funciones de dos o más variables, la regla de la cadena tiene varias formas. La forma depende del número de variables en cuestión, pero funciona como regla de la cadena de una función de una variable, una vez que consideramos la presencia de variables adicionales. Teorema.- Sea f : D  R 2  R

una función diferenciable, definida por u  f ( x, y) y u u  x  x  y  y , , , , , ; x  h(r, s) y y  g (r, s) , y existen las derivadas parciales  x  y r s r s Entonces las derivadas parciales de la función compuesta u  f ( x(r, s), y(r, s)) se pueden calcular mediante:

u u  x u  y u u  x u  y     ; . r x r y r s x s y s

Caso Particular: Si z  f ( x, y) , donde x  x(t ) ; y  y(t ) , entonces la derivada total de z respecto de t se puede calcular: o bien haciendo la sustitución, o bien, aplicando la siguiente fórmula:

dz z dx z dy   dt x dt y dt Ejemplo 1 Dada la función z=2xy donde x  s 2  t 2 ; y 

………………….. (1)

s z z ; ; hallar t  s t

Solución Como

z z x x y 1 y s  2 y;  2 x;  2s  2t;  ;   2 entonces x y s t  s t t t

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z z x z y 1 2x 2(3s 2  t 2 )    (2 y)(2s)  (2 x)  4 ys   s x s  y s t t t z z x z y s 2xs 2st 2  2s3    (2 y)(2t )  (2 x)( 2 )  4 yt  2  t  x t  y t t t t2 Ejemplo 2 Si z  x 2 y  3xy 4 , donde x  sen 2t y y  cos t . Determine dz dt cuando t  0 . Solución Por la regla de la cadena tenemos 4 2 3 dz z dx z dy    (2 xy  3 y )(2cos 2t )  ( x  12 xy )(sent ) dt x dt y dt

No es necesario escribir las expresiones para x y y en términos de t simplemente observemos que cuando t  0 tiene x  sen 0  0 y y  cos0  1 . Por lo tanto

dz z dx z    (0  3)2cos0  (0  0)(sen 0)  6 dt x dt t t 0

La derivada del ejemplo 2 se puede interpretar como la razón de cambio de z con respecto a t cuando el punto ( x, y) se desplaza por la curva C cuyas ecuaciones paramétricas son x  sen2t , y  cost . Ver figura

En particular, cuando t  0 , el punto ( x, y) es (0,1) y dz dt  6 es la razón del incremento cuando uno se desplaza por la curva C que pasa por el punto (0,1) . Por ejemplo si

z  T ( x, y)  x2 y  3xy 4 representa la temperatura en el punto ( x, y) , entonces la función compuesta z  T (sen 2t , cost ) representa la temperatura en los puntos sobre C y la derivada dz dt representa la razón a la cual la temperatura cambia a lo largo de C . Ejemplo 3 La figura siguiente muestra un bloque de hielo cilíndrico que se funde. Debido al calor del Sol que le llega desde arriba, su altura h decrece con más rapidez que su radio r . Si su altura disminuye a 3cm/h y su radio a 1cm/h cuando r  15 cm y h  40 cm ¿Cuál es la tasa de cambio del volumen V del bloque en ese instante?

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Solución

Con V   r 2 h , la regla de la cadena ofrece

dV V dr  V dh dr dh    2 rh   r 2 . dt r dt h dt dt dt Al sustituir los valores de r  15 cm , h  40 cm ,

dr dh  1 y  3 se encuentra que dt dt

dV  2 (15)(40)(1)   (15)2 (3)  1875  5890.49 (cm3/h). dt Así en el instante en cuestión, el volumen del bloque cilíndrico disminuye a poco menos de 6 litros por hora.

Ejemplo 4 Dos objetos recorren trayectorias elípticas dadas por las ecuaciones paramétricas siguientes x1  4cos t y y1  2sent (Primer objeto)

x2  2sen 2t

y

y2  3cos2t (Segundo objeto)

¿A qué velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos cuando t   ? Solución En la figura siguiente se puede ver que la distancia s entre los dos objetos está dada por

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s  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2 y que cuando t   , se tiene x1  4 , y1  0 , x2  0 , y2  3 y

s  (0  4)2  (3  0)2  5 . Cuando t   , las derivadas parciales de s son las siguientes.

( x2  x1 ) ds 1 4    (0  4)   2 2 d x1 5 5 ( x2  x1 )  ( y2  y1 ) ( y2  y1 ) ds 1 3    (3  0)   2 2 d y1 5 5 ( x2  x1 )  ( y2  y1 ) ( x2  x1 ) ds 1 4   (0  4)  2 2 d x2 5 5 ( x2  x1 )  ( y2  y1 ) ( y2  y1 ) ds 1 3   (3  0)  2 2 d y2 5 5 ( x2  x1 )  ( y2  y1 ) Cuando t   , las derivadas de x1 , y1 , x2 y y2 son

x1  4sent  0 , t x2  4cos 2t  4 , t

y1  2cost  2 t y2  6sen2t  0 t

Por tanto, usando la regla de la cadena apropiada, se sabe que la distancia cambia a una velocidad o ritmo

ds s dx1 s dy1 s dx2 s dy2     dt x1 dt y1 dt x2 dt y2 dt  4  3 4  3     (0)     (2)    (4)    (0) 5 5 5       5 22  . 5

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Hallar dw/ dt utilizando la regla de la cadena apropiada a) w  x 2  y 2 , x  2t; y  3t b) w  x 2  y 2 , x  cost , y  e t c) w  xseny, x  et , y    t

 y  x

d) w  ln  , x  cost , y  sent 2.

Hallar dw/ dt a) utilizando la regla de la cadena apropiada y b) convirtiendo w en función de t antes de derivar a) w  xy, x  et , y  e 2t b) w  cos(x  y), x  t 2 , y  1 c) w  x 2  y 2  z 2 , x  cost, y  sent, z  et d) w  xy cos z, x  t, y  t 2 , z  arccost

3.

En los siguientes ejercicios hallar w / s y w / t utilizando la regla de la cadena apropiada y evaluar cada derivada parcial en los valores de s y t dados. a) w  x 2  y 2 , x  s  t, y  s  t, Punto : s  1, t  0 b) w  y 3  3x 2 y, x  e s , y  et , Punto : s  1, t  2 c) w  sen(2 x  3 y), x  s  t , y  s  t , Punto : s  0, t   / 2 d) w  x 2  y 2 , x  s cost, y  s sent, Punto : s  3, t   / 4

4.

El voltaje en los extremos de un conductor aumenta a una tasa de 2 volts/min y la resistencia disminuye a razón de 1 ohm/min. Emplee I = E/R y la regla de la cadena para calcular la tasa a la cual la corriente que circula por el conductor está cambiando cuando R = 50 ohms y E = 60 volts.

5.

La longitud del lado marcado x del triángulo de la figura aumenta a una tasa de 0.3 cm/s, el lado marcado y crece a una tasa de 0.5 cm/s y el ángulo incluido  aumenta a una tasa de 0.1 rad/s. Emplee la regla de la cadena para determinar la tasa a la cual el área del triángulo está cambiando en el instante x = 10 cm, y = 8 cm y   /6

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OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EXTREMOS ABSOLUTOS Y EXTREMOS RELATIVOS En cursos anteriores se estudiaron las técnicas para hallar valores extremos de una función de una variable. En esta sesión se extienden estas técnicas a funciones de dos variables. Por ejemplo, en el Teorema siguiente se extiende el teorema de valor extremo para una función de una sola variable a una función de dos variables. Considérese la función continua f de dos variables, definida en una región acotada cerrada R. Los valores f (a, b) y f (c, d ) tales que f (a, b)  f ( x, y )  f (c, d )

para todo (x, y) en R se conocen como el mínimo y máximo de f en la región R, como se muestra en la figura.

Recuérdese que una región en el plano es cerrada si contiene todos sus puntos frontera. El teorema del valor extremo se refiere a una región en el plano que es cerrada y acotada. A una región en el plano se le llama acotada si es una subregión de un disco cerrado en el plano.

Teorema Teorema del valor extremo Sea f una función continua de dos variables x y y definida en una región acotada cerrada R en el plano xy. 1. Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor mínimo. 2. Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor máximo.

A un mínimo también se le llama un mínimo absoluto y a un máximo también se le llama máximo absoluto. Como en el cálculo de una variable, se hace una distinción entre extremos absolutos y extremos relativos.

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Definición Extremos relativos Sea f una función definida en una región R que contiene ( x0 , y0 ) . 1. La función f tiene un mínimo relativo en ( x0 , y0 ) si f ( x, y)  f ( x0 , y0 )

para todo (x, y) en un disco abierto que contiene ( x0 , y0 ) . 2. La función f tiene un máximo relativo en ( x0 , y0 ) si f ( x, y)  f ( x0 , y0 )

para todo (x, y) en un disco abierto que contiene ( x0 , y0 ) .

Decir que f tiene un máximo relativo en ( x0 , y0 ) significa que el punto ( x0 , y0 , z 0 ) es por lo menos tan alto como todos los puntos cercanos en la gráfica de z  f ( x, y ) . De manera similar, f tiene un mínimo relativo en ( x0 , y0 ) si ( x0 , y0 , z 0 ) es por lo menos tan bajo como todos los puntos cercanos en la gráfica. Para localizar los extremos relativos de f, se pueden investigar los puntos en los que el gradiente de f es 0 ó los puntos en los cuales una de las derivadas parciales no exista. Tales puntos se llaman puntos críticos de f. Definición Puntos críticos Sea f definida en una región abierta R que contiene ( x0 , y0 ) . El punto ( x0 , y0 ) es un punto crítico de f si se satisface una de las condiciones siguientes: 1.

f x ( x0 , y 0 )  0 y f y ( x 0 , y 0 )  0

2.

f x ( x0 , y0 ) o f y ( x0 , y 0 ) no existe.

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Recuérdese de la sesión anterior que si f es diferenciable y f ( x 0 , y 0 )  f x ( x 0 , y 0 ) i  f y ( x 0 , y 0 ) j  0i  0 j

Entonces toda derivada direccional en ( x0 , y0 ) debe ser 0. Esto implica que la función tiene un plano tangente horizontal al punto ( x0 , y0 ) , como se muestra en la figura

Al parecer, tal punto es una localización probable para un extremo relativo. Esto es ratificado por el teorema siguiente

Teorema Los extremos relativos se presentan sólo en puntos críticos Si f tiene un extremo relativo en ( x0 , y0 ) en una región abierta R, entonces ( x0 , y0 ) es un punto crítico de f.

Ejemplo 1 Hallar los extremos relativos de f ( x, y)  2x 2  y 2  8x  6 y  20 Solución Para comenzar, encontrar los puntos críticos de f. Como f x ( x, y)  4x  8

Derivada parcial con respecto a x.

f y ( x, y)  2 y  6

Derivada parcial con respecto a y.

y

están definidas para todo x y y, los únicos puntos críticos son aquellos en los cuales las derivadas parciales de primer orden son 0. Para localizar estos puntos, se hacen f x ( x, y) y f y ( x, y) igual a 0, y se resuelven las ecuaciones 4x  8  0 y 2 y  6  0

Para obtener el punto crítico (– 2,3 ). Completando cuadrados, se concluye que para todo ( x, y)  (2,3) Departamento de Ciencias 2016-0

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f ( x, y)  2( x  2) 2  ( y  3) 2  3  3.

Por tanto, un mínimo relativo de f se encuentra en (– 2, 3). El valor del mínimo relativo es f (2,3)  3 , como se muestra en la figura.

El ejemplo 1 muestra un mínimo relativo que se presenta en un tipo de punto crítico; el tipo en el cual ambos f x ( x, y) y f y ( x, y) son 0. En el siguiente ejemplo se presenta un máximo relativo asociado al otro tipo de punto crítico; el tipo en el cual f x ( x, y) o f y ( x, y) no existe. Ejemplo 2 1/ 3 Hallar los extremos relativos de f ( x, y)  1  x 2  y 2  Solución Como

f x ( x, y)  



2x

3 x2  y

y



2 2/3

f y ( x, y)  

2y



3 x2  y2



2/3

se sigue que ambas derivadas parciales existen para todo punto en el plano xy salvo para (0,0). Como las derivadas parciales no pueden ser ambas 0 a menos que x y y sean 0, se concluye que (0,0) es el único punto crítico. En la figura siguiente se observa que f (0,0) es 1. Para cualquier otro (x, y) es claro que



f ( x, y)  1  x 2  y 2



1/ 3

1

Por tanto, f tiene un máximo relativo en (0,0).

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Observación En el ejemplo 2, f x ( x, y)  0 para todo punto distinto de (0,0) en el eje y. Sin embargo, como f y ( x, y) no es cero, éstos no son puntos críticos. Recuérdese que una de las derivadas parciales debe no existir o las dos deben ser 0 para tener un punto crítico.

EL CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES El teorema anterior afirma que para encontrar extremos relativos sólo se necesita examinar los valores de f ( x, y ) en los puntos críticos. Sin embargo, como sucede con una función de una variable, los puntos críticos de una función de dos variables no siempre son máximos o mínimos relativos. Algunos puntos críticos dan puntos silla que no son ni máximos relativos ni mínimos relativos. Como ejemplo de un punto crítico que no es un extremo relativo, considérese la superficie dada por f ( x, y)  y 2  x 2 Paraboloide hiperbólico

que se muestra en la figura. En el punto (0,0), ambas derivadas parciales son 0. Sin embargo, la función f no tiene un extremo relativo en este punto ya que en todo disco abierto centrado en (0,0) la función asume valores negativos (a lo largo del eje x) y valores positivos (a lo largo del eje y). Por tanto, el punto (0,0,0) es un punto silla de la superficie. (El término “punto silla” viene del hecho de que la superficie mostrada en la figura se parece a una silla de montar). En las funciones de los ejemplos 1 y 2, fue relativamente fácil determinar los extremos relativos, porque cada una de las funciones

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estaba dada, o se podía expresar, en la forma de cuadrado perfecto. Con funciones más complicadas, los argumentos algebraicos son menos adecuados y es mejor emplear los medios analíticos presentados en el siguiente criterio de las segundas derivadas parciales. Es el análogo, para funciones de dos variables, del criterio de las segundas derivadas para las funciones de una variable. La demostración de este teorema se deja para un curso de cálculo avanzado. Teorema Criterio de las segundas derivadas parciales Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene un punto (a, b) para el cual f x (a, b)  0 y f y (a, b)  0

Para buscar los extremos relativos de f , considérese la cantidad



d  f xx (a, b). f yy (a, b)  f xy (a, b)

1. 2. 3. 4.

Si Si Si Si



2

d  0 y f xx (a, b)  0 , entonces f tiene un mínimo relativo en (a, b) d  0 y f xx (a, b)  0 , entonces f tiene un máximo relativo en (a, b)

d  0 , entonces (a, b, f (a, b)) es un punto silla d  0 el criterio no lleva a ninguna conclusión.

Observación Si d  0 , entonces f xx (a, b) y f yy (a, b) deben tener el mismo signo. Esto significa que f xx (a, b) puede sustituirse por f yy (a, b) en las dos primeras partes del criterio. Un recurso conveniente para recordar la fórmula de d en el criterio de las segundas derivadas parciales lo da el determinante 2  2 d

f xx (a, b) f yx (a, b)

f xy (a, b) f yy (a, b)

Donde f xy (a, b)  f yx (a, b) bajo ciertas condiciones. Ejemplo 3 Identificar los extremos relativos de f ( x, y)   x 3  4xy  2 y 2  1 Solución Para comenzar, se identifican los puntos críticos de f . Como

f x ( x, y)  3x 2  4 y

y

f y ( x, y)  4 x  4 y

Existen para todo x y y, los únicos puntos críticos son aquellos en los que ambas derivadas parciales de primer orden son 0. Para localizar estos puntos, se igualan a 0 f x ( x, y) y f y ( x, y) y se obtiene  3x 2  4 y  0 y 4 x  4 y  0 . De la segunda ecuación

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se sabe que x  y , y por sustitución en la primera ecuación, se obtienen dos soluciones: y  x  0 y y  x  4 / 3 . Como

f xx ( x, y)  6 x, f yy ( x, y)  4 y f xy ( x, y)  4 se sigue que, para el punto crítico (0,0),





d  f xx (0,0). f yy (0,0)  f xy (0,0)  0  16  0 2

y, por el criterio de las segundas derivadas parciales, se puede concluir que (0,0,1) es un punto silla. Para el punto crítico 4 / 3,4 / 3 ,



d  f xx (4 / 3,4 / 3). f yy (4 / 3,4 / 3)  f xy (4 / 3,4 / 3)



2

 8(4)  16  16  0

y como f xx (4 / 3,4 / 3)  8  0 se concluye que f tiene un máximo relativo en 4 / 3,4 / 3 , como se muestra en la figura.

Con el criterio de las segundas derivadas parciales pueden no hallarse los extremos relativos por dos razones. Si alguna de las primeras derivadas parciales no existe, no se puede aplicar el criterio. Si





d  f xx (a, b). f yy (a, b)  f xy (a, b)  0 2

el criterio no es concluyente. En tales casos, se pueden tratar de hallar los extremos mediante la gráfica o mediante algún otro método, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4 Hallar los extremos relativos de f ( x, y)  x 2 y 2 Solución Como f x ( x, y)  2 xy 2 y f y ( x, y)  2 x 2 y , se sabe que ambas derivadas parciales son igual a 0 si x  0 o y  0 . Es decir, todo punto del eje x o del eje y es un punto crítico. Como f xx ( x, y )  2 y 2 , f yy ( x, y)  2 x 2 y f xy ( x, y )  4 xy se sabe que si x  0 o y  0 , entonces

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

d  f xx ( x, y). f yy ( x, y)  f xy ( x, y)



2

 4 x 2 y 2  16 x 2 y 2  12 x 2 y 2  0

Por tanto, el criterio de las segundas derivadas parciales no es concluyente, no funciona. Sin embargo, como f ( x, y )  0 para todo punto en los ejes x o y y f ( x, y)  x 2 y 2  0 en todos los otros puntos, se puede concluir que cada uno de estos puntos críticos son un mínimo absoluto, como se muestra en la figura

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos. a) f ( x, y)  x  1   y  3 2

2

b) f ( x, y)  5  x  3   y  2 2

2

c) f ( x, y)  x 2  y 2  1 d) f ( x, y)  25  x  2  y 2 2

e) f ( x, y)  x 2  y 2  2x  6 y  6 f) f ( x, y)   x 2  y 2  10 x  12 y  64 2.

Examinar la función para localizar los extremos relativos.

f ( x, y)  3x 2  2 y 2  6x  4 y  16 f ( x, y)  3x 2  2 y 2  3x  4 y  5 f ( x, y)   x 2  5 y 2  10 x  10 y  28 f ( x, y)  2x 2  2xy  y 2  2x  3 1 e) f ( x, y)  x 2  xy  y 2  2 x  y 2 a) b) c) d)

f) f ( x, y)  x 2  y 2 Departamento de Ciencias 2016-0

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



1/ 3

2 g) f ( x, y)  x 2  y 2 1  2 2 h) f ( x, y)    x 2  y 2 e1 x  y 2  3.

Examinar la función para localizar los extremos relativos y los puntos silla a) b) c) d)

f ( x, y)  80 x  80 y  x 2  y 2 f ( x, y)  x 2  y 2  x  y f ( x, y)  x 2  3xy  y 2 f ( x, y)  x 2  xy  y 2  3x  y

4.

Una caja rectangular descansa en el plano xy con uno de sus vértices en el origen. El vértice opuesto está en el plano 6 x  4 y  3z  24 como se muestra en la figura. Hallar el volumen máximo de la caja.

5.

Un fabricante de artículos electrónicos determina que la ganancia o beneficio P (en dólares) obtenido al producir x unidades de un reproductor de DVD y y unidades de un grabador de DVD se aproxima mediante el modelo





P( x, y)  8x  10 y  0.001 x 2  xy  y 2  10000 Hallar el nivel de producción que proporciona una ganancia o beneficio máximo. ¿Cuál es la ganancia máxima? 6.

Hallar tres números positivos x, y y z que satisfagan las condiciones dadas a) El producto es 27 y la suma es mínima. b) La suma es 32 y P  xy 2 z es máxima c) La suma es 30 y la suma de los cuadrados es mínima. d) El producto es 1 y la suma de los cuadrados es mínima.

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7.

Costos Un contratista de mejorías caseras está pintando las paredes y el techo de una habitación rectangular. El volumen de la habitación es de 668.25 pies cúbicos. El costo de pintura de pared es de $0.06 por pie cuadrado y el costo de pintura de techo es de $0.11 por pie cuadrado. Encontrar las dimensiones de la habitación que den por resultado un mínimo costo para la pintura. ¿Cuál es el mínimo costo por la pintura?

8.

Volumen máximo El material para construir la base de una caja abierta cuesta 1.5 veces más por unidad de área que el material para construir los lados. Dada una cantidad fija de dinero C, hallar las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede ser fabricada.

9.

Un comedero de secciones transversales en forma de trapecio se forma doblando los extremos de una lámina de aluminio de 30 pulgadas de ancho (ver la figura). Hallar la sección transversal de área máxima.

10. Costo mínimo Hay que construir un conducto para agua desde el punto P al punto S y debe atravesar regiones donde los costos de construcción difieren (ver figura). El costo por kilómetro en dólares es 3k de P a Q, 2k de Q a R y k de R a S. Hallar x y y tales que el costo total C se minimice.

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