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Semana 15
ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA
MSc Ing Tany Tany Encomenderos Encomender os
EXPE EX PERI RIME MENT NTAC ACIÓ IÓN N EN ME MECÁ CÁNI NICA CA DE FL FLUI UIDO DOS S Las ecuaciones fundamentales de un flujo son generalmente insuficientes para la solución completa de un problema. Habría que recurrir a la experimentación.
nittud ude es fí fí si sica cass, por lo que Pueden intervenir hasta 9 mag ni parece imposible imposible la experimentación. experimentación. Afortunadamente, en un problema concreto, no influirán más de 6; pero todavía es excesivo.
EXPE EX PERI RIME MENT NTAC ACIÓ IÓN N EN ME MECÁ CÁNI NICA CA DE FL FLUI UIDO DOS S Las ecuaciones fundamentales de un flujo son generalmente insuficientes para la solución completa de un problema. Habría que recurrir a la experimentación.
nittud ude es fí fí si sica cass, por lo que Pueden intervenir hasta 9 mag ni parece imposible imposible la experimentación. experimentación. Afortunadamente, en un problema concreto, no influirán más de 6; pero todavía es excesivo.
nálilisi siss di mensi nsio ona nall podemos formar Mediante el aná formar ag r up upa aci cio one ness adi mensi nsio ona nale less y trabajar con ellas en lugar de con las magnitudes físicas reales. Con ello se reduce el número de variables a (n m): n = número de magnitudes físicas que intervienen m = número de magnitudes básicas que intervienen (masa, longitud y tiempo, como mucho) -
Cuantas menos agrupaciones resulten, menos experiencias hay que hacer: una agrupación requeriría una experiencia; dos agrupaciones varias experiencias (10 por ejemplo) para construir una curva, y tres nos llevaría l levaría a varias (10 curvas y/o 100 experiencias, por ejemplo). Una ventaja adici icional que nos proporciona la teo teoría ría dimensional es la de predecir los resultados de un proyecto, en base a los obtenidos ensayando con un modelo a esca scala. la.
El Teorema π (pi) de Vaschy Buckingham Es el teorema fundamental del análisis dimensional. Establece que dada una relación física expresable mediante una ecuación en la que están involucradas n”” magnitudes físicas o variables, y si dichas variables se expresan en términos de “m” cantid cantidade ades s física físicas s dimens dimension ionalm alment ente e indepe independi ndient entes es,, ent entonc onces es la ecuaci ecuación ón origin original al puede escribirse equivalentemente como una ecuación con una serie de n - m nú núme mero ros s adim adimen ensi sion onal ales es cons constr trui uido dos s con con las las vari variab able les s originales.
ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS
ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS Para establecer los posibles adimensionales, supongamos que intervienen a la vez todas las posibles fuerzas sobre el flujo: de presión, de gravedad , de fricción, de elasticidad y de tensión superficial. Expresemos la resultante (F ), o fuerza de inercia ( F i ), que provoca la aceleración del flujo, en función de la velocidad u: 3
F F i m a ( l 2
-1
l (l t
)2
) (l t - 2 ) 2
l u
2
F uerza de presión ( p): F uerza de gravedad ( g ): F uerza viscosa ( ): F uerza elástica ( K ): F uerza tensión superficial ( )
F uerza de presión ( p): F uerza de gravedad ( g ): F uerza viscosa ( ): F uerza elástica ( K ): F uerza tensión superficial ( )
F p = l 2 · p
F uerza de presión ( p): F uerza de gravedad ( g ): F uerza viscosa ( ): F uerza elástica ( K ): F uerza tensión superficial ( )
F p = l 2 · p F g = l 3 · · g
F uerza de presión ( p):
F p = l 2 · p
F uerza de gravedad ( g ): F uerza viscosa ( ):
F g = l 3 · · g
F r = l 2 ·t
F uerza elástica ( K ): F uerza tensión superficial ( )
l 2 ·( ·u/l ) = l · u ·
F uerza de presión ( p):
F p = l 2 · p
F uerza de gravedad ( g ): F uerza viscosa ( ):
F g = l 3 · · g F r = l 2 ·t
F uerza elástica ( K ): F uerza tensión superficial ( )
l · u ·
F K = l 2 · K
F uerza de presión ( p): F uerza de gravedad ( g ): F uerza viscosa ( ): F uerza elástica ( K ):
F p = l 2 · p F g = l 3 · · g F r = l 2 ·t
l · u ·
F K = l 2 · K
F uerza tensión superficial ( ) F = l ·
Sumando las cinco fuerzas e igualándolas a la de inercia: 2
3
2
2
l p l g l u l K l l u Expresión que relaciona
2
8 magnitudes físicas:
f (l, p, , g, u, , K, ) = 0 Si hubiera dos longitudes características, lo que ocurre con frecuencia, resultarían 9 magnitudes físicas en lugar de 8.
Sumando las cinco fuerzas e igualándolas a la de inercia: 2
3
2
2
l p l g l u l K l l u Expresión que relaciona
2
8 magnitudes físicas:
f (l, p, , g, u, , K, ) = 0 Si hubiera dos longitudes características, lo que ocurre con frecuencia, resultarían 9 magnitudes físicas en lugar de 8. Dividamos la primera ecuación por la fuerza de inercia:
l g p , 2 , 2 u u
, , 0 2 2 l u u l u
K
en la que intervienen 5 variables (adimensionales), en lugar de las 8 (dimensionales).
l g K p , 2 , , , 0 2 2 2 l u u l u u u
Estos adimensionales suelen expresarse de la siguiente forma:
Coeficiente de presión
p
u
2
2
l g K p , 2 , , , 0 2 2 2 l u u l u u u
Estos adimensionales suelen expresarse de la siguiente forma:
Coeficiente de presión
p
u
2
2
Los cuatro restantes cambiémoslos de manera que la velocidad u quede en el numerador con exponente uno.
p 2 , u 2
u l g
,
l u
,
u
, K
0 l u
p , u 2 2
u l g
,
l u
,
u K
,
0 l u
p , u 2 2
u l g
Número de F roude
,
l u Fr
,
u K
u
l g
,
0 l u
p , u 2 2
u l g
,
Número de F roude
l u Fr
,
u K
,
0 l u
u
l g
Número de Reynolds
Re
l u
l u
p , u 2 2
u l g
,
Número de F roude
l u Fr
u
,
K
,
0 l u
u
l g
Número de Reynolds Número de Mach K
a (velocidad
Re
Ma
l u
l u
u
u
K
a
del sonido). Si Ma
1, supersónic o
p , u 2 2
u l g
,
Número de F roude
l u Fr
u
,
K
0 l u
,
u
l g
Número de Reynolds Número de Mach K
a (velocidad
Re
l u
Ma
l u
u
u
a
K
del sonido). Si Ma
Número de Weber
We
u
l
1, supersónic o
Wiliam F roude Osborne Reynolds E rnst Mach Inglaterra (1810-1879) Belfast (1842-1912) Austria (1839-1916
Moritz Weber Alemania (1871-1951)
p u
2
f (Fr, Re, Ma, We)
2
Si hubiera dos longitudes características en el problema, l y l' , el cociente l /l' , ó l' /l , sería otra variable adimensional: p u
2
2
f (Fr, Re, Ma, We, l/l’ )
p u
2
f (Fr, Re, Ma, We)
2
Si hubiera dos longitudes características en el problema, l y l' , el cociente l /l' , ó l' /l , sería otra variable adimensional: p u
2
2
f (Fr, Re, Ma, We, l/l’ )
E n cada caso se eliminarán aquellos adimensionales cuya intervención sea nula o poco importante.
SEMEJANZA DE MODELOS
Ensayos con modelos Los modelos se hacen de materiales muy diversos: madera, escayola, metales, hormigón, plástico, etc. No es necesario ensayar con el mismo fluido que utilice el prototipo. El agua y el aire son los fluidos que generalmente se utilizan, por su disponibilidad.
Los ensayos de canalizaciones, puertos, presas, aliviaderos, etc, se hacen en laboratorios de hidráulica. Los ensayos de modelos de aviones, y en general de cuerpos sumergidos, se hacen en túneles de viento y en túneles de
agua. Los ensayos de barcos se hacen en los llamados canales
hidrodinámicos.
Leyes de semejanza Dos corrientes fluidas son semejantes cuando las líneas de flujo de una lo sean respecto a las homólogas de la otra; diremos entonces que existe semejanza cinemática. Para ello es necesario,
a) Semejanza geométrica l p l m
siendo
la escala.
;
2 l p 2 l m
2 ;
3 l p 3 l m
3
Leyes de semejanza Dos corrientes fluidas son semejantes cuando las líneas de flujo de una lo sean respecto a las homólogas de la otra; diremos entonces que existe semejanza cinemática. Para ello es necesario,
a) Semejanza geométrica l p l m
siendo
;
2 l p 2 l m
2 ;
3 l p 3 l m
3
la escala.
b) Semejanza dinámica. Las fuerzas en puntos homólogos del modelo y del prototipo han de ser semejantes: Re p = Rem; Fr p = Fr m; Ma p = Mam; We p = Wem
a) Cuando el flujo presenta una superficie libre, la fuerza predominante es la gravedad: semejanza de F roude,
Frp = Frm b) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo subsónico, la fuerza predominante es la viscosidad: semejanza de Reynolds,
Rep = Rem c) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo supersónico, la fuerza predominante es la compresibilidad: semejanza de Mach,
Map = Mam d) En láminas de líquido muy delgadas prima la tensión superficial: semejanza de Weber ,
Wep = Wem
Semejanza de Froude Fr p
Relación de velocidades u p um
l p g p
l m g m
Fr m
u p
um
g p
g m
Semejanza de Froude Fr p
Fr m
Relación de velocidades u p um
l p g p
u p
l m g m
um
y si g p = g m, como es lo habitual: u
p
u
12
m
Por ejemplo, si = 25, u p /um = 5.
g p
g m
Relación de caudales (Q Q p Qm
S p u p
S m u m
Para = 25, Q p/Qm = 3125.
S u )
Q p
Qm
52
Relación de caudales (Q Q p Qm
S u )
Q p
S p u p
S m u m
52
Qm
Para = 25, Q p/Qm = 3125.
Relación de fuerzas ( F p
F p
F m
m
3
3
l
Si p = m,
Para = 25, F p/ F m = 15625.
) F p
F m
3
Relación de potencias ( P
F u )
Si p = m, P p
F p
P m
u p
F m
um
P p
P m
Para = 25, P p/ P m = 78125.
7 2
3
12
Semejanza de Reynolds Re p
Re m
Relación de velocidades l p u p
p
l m u m m p
m
um
1
p
m
l p l m
p 1
u u
;
u p
m
Por ejemplo, si = 25, p = m, y u p/um = 1/25.
Con la semejanza de Froude, había que ensayar con una velocidad 5 veces menor, y con la Reynolds con una velocidad 25 veces mayor, por lo que no es posible que se cumplan las dos a la vez, a menos que la escala sea la unidad. Podemos ensayar desde luego con un fluido diferente al del prototipo, y algo podríamos compensar. Menos mal que lo frecuente es que sólo intervenga una fuerza.
Relación de caudales (m
p
m p
m m
m
m p m m
S p
Q
S m
um
p p
m m
S u )
p
u p
m
2
p m
p
1
m
Relación de fuerzas F p F m
l p
l m
( F
u p
um
F p F m
l u )
p
m
p
1 p p
m m m
2
p p m m
Relación de fuerzas F p F m
l p
l m
( F
u p
um
F p F m
l u )
p
m
p
1 p p
m m m
2
p p m m
Si se tratara del mismo fluido y en el mismo estado, F p = F m:
el mayor esfuerzo cortante en el modelo contrarresta su menor superficie de rozamiento.
Semejanza de Mach Ma p
Ma m
Relación de velocidades u p K p a (velocidad
del sonido)
p K
K m
m
(capítulo X)
u p
a p
um
um
am
Semejanza de Mach Ma p
Ma m
Relación de velocidades u p K p a (velocidad
del sonido)
p K
um
m
K m
(capítulo X)
u p
a p
um
am
Relación de caudales(m
p
m p
m m
m
u p
S p
um
S m
Q
u S )
m
p
p
m m
m
a
p
a
m
2
Relación de fuerzas ( F F p
K p
F m
S p
K m
K p
S m
F p F m
K S )
2
K m
; y como
p a p
a
K
2
2 m a m
(capítulo X)
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