Semana 1 - s1 Introducción
September 7, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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ECUACIONES DIFERENCIALE DIFERENCIALES S SEMANA 1 INTRODUCCION A LA ASIGNATURA
SESIÓN 1:
Introducción a la Asignatur Asignatura, a, Presentación del sílabo
Evaluación Diagnosca Clase # 1 Orlando Raúl Pomalaza Romero
Propósito de la Clase
Idenfca su situación actual y conoce la organización de la asignatura.
Estructuración de los conte contenidos nidos y la relación con otros temas
2. Derivadas 2. Derivadas
1. Límite y connuidad
3. 3. Aplicaciones Aplicaciones de las derivadas
6. 6. Ecuaciones dierenciales y transormada de Laplace
4. Integrales 4. Integrales
5. Aplicaciones Aplicaciones de 5. las integrales
PRESENTACIÓN Y EXPOSICIÓN DEL SÍLABO
ECUACIONES DIFERENCIALES Código : ASUC01255 Carácter:: Obligatorio Carácter Créditos : 5 Prerrequisito:: Cá Prerrequisito Cálc lcul ulo o In Intteg egra rall Periodo Académico Horas semanales : :6 2021 - 10 Teóricas : 4 Prácticas : 2
INTRODUCCIÓN Ecuaciones Diferenciales es una asignatura obligatoria de facultad que se ubica en el quinto periodo académico de la Facultad de Ingeniería. Tiene como prerrequisito a la asignatura de Cálculo Integral; y es prerrequisito de la asignatura de Mecánica de Fluidos 1 para Ingeniería Ambiental, Ingeniería Civil, Ingeniería de Minas e Ingeniería Mecatrónica; es prerrequisito de Ingeniería de Control 1 para Ingeniería Electrónica; y es prerrequisito de Métodos Numéricos de Ingeniería para Ingeniería Mecatrónica. Desarrolla a nivel intermedio, la competencia transversal Conocimientos de Ingeniería. En virtud de lo anterior, su relevancia reside en desarrollar los conceptos y aplicaciones de las ecuaciones diferenciales, valorando su importancia en la formación profesional.
CONTENIDOS GENERALES Los contenidos generales que la asignatura desarrolla son los siguientes: Ecuaciones diferenciales ordinarias, Sistemas de ecuaciones diferenciales, Ecuaciones diferenciales parciales lineales, Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo con coeficienteslineales constantes y orden variables, Series de Fourier, Transformada de Laplace.
Resultado de aprendizaje Al finalizar la asignatura, el estudiante será capaz de aplicar las herramientas de las ecuaciones diferenciales para resolver ejercicios y problemas del entorno real.
Organización de los aprendizajes
Metodología La asignatura se desarrollará mediante la metodología activa centralizada en las actividades del sujeto que aprende. El docente utilizará algunas estrategias de recojo de saberes previos como preguntas dirigidas hacia el logro del propósito, discusión, indagación, etc. y para la exposición del tema utilizará el debate y el diálogo participativo. Los estudiantes desarrollarán las estrategias de tándem y trabajo cooperativo, individualmente y grupalmente para la resolución de ejercicios y problemas, exposiciones y socialización de resultados. Para algunos se utilizará la clase magistral que será complementada contemas trabajos aplicativos a situaciones nuevas. El docente se apoyará en el recurso didáctico del aula virtual mediante el uso de las TIC.
Evaluación
Sistema de evaluación
Promedio Final
(Consolida do 1) x 0.20 (Consolidado (Examen Parcial) x 0.25 (Consolidado 2) x 0.20 (Examen Final) x 0.35
La nota fnal se obene sumando los cuatro resultados
OBTENCIÓN DE LA NOTA DE CONSOLIDADO: C1 y C2 = PD1 (0,30) + PD2 (0,45) + PC (0,25) PD
= Prueba de desarrollo
PC
= Promedio de Práctcas califcadas.
Bibliografía
Bibliografía Bibliograa Básica Larson, R. y Edwards, B. (2016). Cálculo (10.a ed., T. 1 y 2). Cengage Learning. hps://bi.ly/3pivwK
Bibliograa Bibliogr aa Complementaria
Larson, R., Edward, B. (2012). Cálculo de una variable. 9ª ed. México.: Mc Graw Hill. Código Biblioeca UC. 515.L26. Cengel, Y., Palma, W. (2014). Ecuaciones dierenciales para ingeniería y ciencias. 1ªed. México: Mc Graw Hill.
Espinoza, E. (2014). Análisis maemátco IV. Perú: Ediorial Servicios Gráfcos J.J. Zill Dennis. Ecuaciones Dierenciales. Trascendenes Tempranas . México. Ediorial Mc Graw Hill, 2015. Sewar James. Cálculo: Trascendenes Tempranas 6a ed. México. Cengage
Learning, 2008 y Vera Carlos. Ecuaciones Dierenciales- Ediorial Moshera. Lima Lázaro Moisés
Perú 2013
Recursos digitales
Julio Proene. (2011). Ecuaciones dierenciales por separación de variables. Recuperado de: hps:// www.youube.com/wach?v=v3CsjgKeB7U . Academatca.c Academatca.com. om. (2011). Que es una ecuación dieren dierencial. cial. Recuperado de: www.youube.com/wach?v=94YQF2BWis0 . Academatca.c Academatca.com. om. (2012). Ecuaciones dierenciales homogéneas. Recuperado de: www.youube.com/wach?v=T9say5jlEA
Academatca.com (2019). Video de Sisemas de Ecuaciones Dierenciales Lineales de Primer Orden. Academatca.com Recuperado de: hps://www.youube.com/wach?v=GicHvMzQHks . Tareas Plus. (2019). Video sobre la Transormada de Laplace. Recuperado de: hp:// www.youube.com/wach?v=c3TwyoLS_19 Universidad de Sevilla. (2019). La ransormada de Laplace. Recuperado de: hp://euler.us.es/~ renao/clases/mm2/laplace.pd Universidad Universid ad del Valle. (2016). La Tr Transormada ansormada de Laplace. Recuperado de: hp ://maematcas.univalle.edu.co/~ jarango/Books/curso/ jarango/Books/curso/cap07.pd cap07.pd PassIEDU. PassIED U. (2019). Serie de Fourier. Recuperado de: hp hp://www.youube.com/wach?v=ixJmZG1zmJ8 ://www.youube.com/wach?v=ixJmZG1zmJ8 . Universidad Universid ad de Oviedo. (2019). Serie de Fourier. Fourier. Recuperado de: hp ://www.unioviedo.es/bayon/mm/serour . Universidad de Santago de Chile. (2019). series-deourier22ejerciciosresuelos Ejercicios resuelos resuelos de Serie de Fourier. Fourier Recuperado do de: hp://es.slideshare.ne/joearro hp:// es.slideshare.ne/joearroyosuarez/ yosuarez/series-deourier 22ejerciciosresuelos. . . Recupera
Reglas de juego • Se consciente de la importancia de la asignatura para tu proesión. • Pracca en clase el modelo de proesional que quieres ser. • Pracca tus valores y se consecuent consecuente e con tus actos. • No vengas a clase tras una nota, ven por todos lo conocimientos que
adquieres para tu ormación proesional. • Respeta los derechos de los demás y haz respetar los tuyos. • Puntualidad y responsabilidad duran durante te tu ormación proesional. proesional.
Evaluación Diagnósca Está en el aula virtual y Usted ene que resolverlo para su califcación.
¿Qué es una ecuación diferencial?
Toda ecuación que qu e establece la dependencia dep endencia de una variable respecto a otra u otras mediante derivadas es una Ecuación Diferencial variable dependiente
dy dx
0.2 x y variable independient independiente e
Por ejemplo
La rapidez con que un cuerpo se calienta es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T(t) T(t) y la temperatura del ambiente T dT dt
a
K (T a T )
Donde K es el coeficiente de transmisión de calor que depende del material
¿Dónde se usan?
Notación d 2 y 3 dy 2 y 0 dx 2 dx
Notación de Leibniz: dy/dx, d y/dx ,... d y/dx y 3 y 2 y 0 Notación prima: y', y'', y'''… y(n),... 2
2
n
n
y 3 y 2 y 0
Notación de Newton: x, x, x, ...
Notación de Operadores: Dy, Dy, D 2y, D3y , … D 2 y 3Dy 2 y 0 En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál es la variable dependiente y la independiente: independiente:
dy
dx 5 y e
x
CLASIFICACIÓN DE LAS E.D. Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por tipo, orden, grado y linealidad. Tipo la unción desconocida deOrdinaria solo una. variable, la a) Si ecuación se llama Ecuacióndepende Dierencial dy 2 x dx
2 y 3 y ' 2 x y
b) Si la unción desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama Ecuación Dierencial Parcial. 2v x 2
2
2v y 2
v
CLASIFICACIÓN DE LAS E.D. Orden El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada mas alta que aparece en la ecuación. Ejemplo Determinarr el orden de las ecuaciones diferenciale Determina diferenciales: s: dy
3
5 7 x 8 dx
a)
Es de primer orden
d4y d 2 y dy 2 b) 4 5 2 3 x 7 dx dx dx 2
2
6
5
2
c) d 2y 7 x dy x 2 d y2 dx dx dx
Es de cuarto orden
3
Es de segundo orden
dx
dx
dx
CLASIFICACIÓN DE LAS E.D. Grado El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la derivada que nos dio el orden de la ecuación diferencial.
Ejemplo Determinar el grado de las ecuaciones diferencial diferenciales: es: 3
dy a) xy 7 x 5 8
Es de tercer grado
dx4 2 5 d y d 2 y dy 2 b) 4 5 2 3 x 7 dx dx dx 3
6
c) d y 7 x dy x 2 d y 2
Es de segundo grado
2
Es de tercer grado
dx 2
dx
2
dx
CLASIFICACIÓN DE LAS E.D. CLASIFICACIÓN Linealidad Una EDO n: de n – ésimo orden es lineal cuando presenta la siguiente representación: representació an ( x)
d n y dx
n
an 1 ( x)
d n 1 y
dy
dx
dx
... a1 ( x ) n 1
a0 ( x) y g ( x)
La variable dependiente así como como todas sus derivadas y, y , y, ... son de primer grado, es decir la potencia de cada uno de los términos ….que …. que involucran a “y” es 1.
(n)
... an de y , y , ... y dependen a los sumo de la a0 , a1 ,“x”. Los coeficientes variable independiente Las Funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas, tales como trigonométricas, exponenciales, logarítmicas o inversas no inversas no pueden aparecer en una ecuación diferencial lineal.
CLASIFICACIÓN DE LAS E.D. Ejemplos: ¿Lineales o no lineales? ( 1 − ) + 2 =
2
2
+
=0
=0
SOLUCIÓN DE UNA E.D. Una solución de una ED es cualquier función que satisface la ED, este es, la reduce a una identidad.
Ejemplo N°1 x 2 una La func funció ión n defi defini nida da por por y 9 es una solu soluci ción ón de la ecua ecuaci ción ón diferencial: x y'
y
1 y' 1 9 x 2 2 2 x x 2 9 x 2
puesto que:
y al sustituir en la ED se obtiene una una identidad
x
x
9 x 2
9 x 2
3 x 3
CONDICIONES INICIALES En general las ecuaciones diferenciales pueden tener una infinidad de soluciones, entonces podemos preguntarnos ¿cómo escoger alguna de las soluciones en particular?
Las ecuaciones diferenciales servirán para modelar diversas situaciones en ingeniería y ciencias, de modo que se requiere de sólo una respuesta del modelo, para lo cual se debe brindar más información para decidirlo.
Si una ecuación diferencial puede resolverse para obtener una solución general que contiene una un a constante arbitraria, bastará con una condición inicial para determinar una solución particular y si tuviera más constantes requerirá tantas como constantes arbitrarias posee.
SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA E.D. Una solución particular de una ED es toda solución obtenida asignando valores específicos a las constantes que intervienen en la solución general.
Ejemplo N°2 Verificar que y=Cx que y=Cx3 es solución de la ecuación diferencial
xy'
3 y
0
Hallar la solución particular sujeta a la condición inicial: y( 3 )
2
SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA E.D. Solución Derivando y=Cx Derivando y=Cx3 tenemos que y’=3Cx que y’=3Cx2, luego, sustituyendo en la ED: 2
3
x 3Cx 3 Cx 0
de esta manera y=Cx manera y=Cx3 es solución de la ED. Para obtener la solución particular, apliquemos la condición inicial y(-3)=2 inicial y(-3)=2 en la solución general esto es: 3
2 C 3 27C La solución particular es: 2
C
27
y
2
27 x
3
SOLUCIÓN PARTICULAR DE UNA E.D. Ejemplo N°3 La ecuación diferencial y '' 4 y 0 admite a y A cos( 2t ) Bsen (2t ) como solución general. Determina la solución particular que satisface a las condiciones iniciales y(0) = 3 , y’(0)=8 Solución Derivando y=Acos(2t) + Bsen(2t) tenemos que: Derivando y=Acos(2t) y’ = -2A sen(2t) + 2B cos(2t), y’’= -4A cos(2t) - 4B sen(2t), luego, sustituyendo en la ED: -4A cos(2t) - 4B sen(2t) + 4[Acos(2t) + Bsen(2t)] = 0 → 0 = 0 de esta manera la función es función es solución de la ED. Para obtener la solución particular, apliquemos la condición inicial y(0)=3, inicial y(0)=3, y ’ (0)=8 en la solución general esto es: A cos(0) Bsen(0) 3 A 3 2 Asen(0) 2 B cos(0)
8
B
4
La solución particular es: y =3 cos(2t) + 4 sen(2t)
VERIFICACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA E.D. Para comprobar que una ecuación es o no la solución de una ecuación dada, se aplica el siguiente método: Método 1. Observemos que derivada o derivadas aparecen en la ecuación diferencial. 2. Estas derivadas las encontramos al derivar la ecuación que se supone solución. 3. La ecuación será solución cuando al sustituir el valor de las derivadas encontradas (paso 2) dentro de la ecuación diferencial, aparezca una identidad a=a (donde aєR) al reducir la ecuación ya sustituida.
VERIFICACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA E.D. Ejemplo N°1
3 Determine si la ecuación o2 no de la ecuación diferencial dada: dy es solución dy 2 0; y C x C 4 xy 8 y dx dx
Solución Como la EDO es de primer orden, entonces hallamos la primera derivada de la función que se supone solución: dy 2 y C x C 2C ( x C ) dx Sustituyendo en la ED y reduciendo: [2C ( x C )]3 4 xC ( x C ) 2 2C ( x C ) 8[C ( x C ) 2 ]2 0
8C 2 ( x C )3 C x x C 0 0 0 ¡identidad identidad!! 2
Por lo tanto la función y C x C es solución de la ED
VERIFICACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA E.D. Determine si la ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada: x 2 y x y 2 y 0; y x cos(ln x )
Ejemplo N°2 Solución Como la EDO es de segundo orden, entonces hallamos la primera y segunda derivada de la función que se supone solución: cos( s(lln x) y x co y cos(ln x) xsen(ln x)(1 / x) cos(ln x) sen(ln x) y sen(ln x )(1/ x) cos(ln x)(1/ x)
Sustituyendo en la ED y reduciendo: (ln x ) cos(ln x) sen x 2 x cos(ln x ) sen(ln x ) 2 x cos(ln x ) 0 x x xsen(ln x) x cos(ln x ) x cos(ln x ) xsen(ln x ) 2x cos(ln x ) 0 0 0
cos( s(lln x) es solución de la ED Por lo tanto la función y x co
OBTENCIÓN DE LA E.D. A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL
Para obtener la ED a partir de su solución general, general, aplicaremos el siguiente método: 1. Observemos el número de constantes de integración que aparecen en la solución general dada. 2. Derivemos la solución general tantas veces como el número de constantes de integración aparezcan en ella. En otras palabra, si la solución general tienen n constantes de integración diferentes, entonces derivaremos n veces tal solución.
OBTENCIÓN DE LA E.D. A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL 3. Tomando en cuenta el resultado de la última derivada obtenida, se nos pueden presentar los siguientes casos: a) Si en la última derivada ya no aparecen constantes de integración, esta será la ED que de la solución general dada. b) Si la última derivada contiene constantes de integración, habrá que eliminarlas, pudiendo pudiendo utilizar para para esto, las ecuaciones de las derivadas encontradas, así como también la solución general dada. En la ED NO NO deben aparecer constantes de integración.
OBTENCIÓN DE LA E.D. A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL Ejercicio N°3
Encuentre desen la siguiente solución general: C y ela3 x ED x C x ( 2 ) cos( 2 ) 1 2
Solución Como en la ED se observa dos constantes de integración, hallamos la primera y 3 x
segunda derivada:
y e C1sen(2 x ) C2 cos(2 x ) y 3e3 x 2C1 cos(2 x) 2C2 sen(2 x) y 9e3 x 4C1sen(2 x) 4C2 cos( 2 x)
Combinando las tres funciones con la finalidad de eliminar las constantes de integración: y 9e3 x 4[C1sen(2 x ) C2 cos(2 x)]
y 9e3 x 4 y 4e3 x
y e3 x
Por lo tanto la ED es
y 4 y 13e 3 x
OBTENCIÓN DE LA E.D. A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL Ejercicio N°4
2 x 2solución x Encuentre la ED de la siguiente general:
Solución
y C1e C2 xe
Como en la ED se observa dos constantes de integración, hallamos la primera 2 x
y segunda derivada: derivada:
2x
y C1 e C2 xe y 2C1e2 x C2 e 2 x 2C2 xe2 x y 4C1e2 x 2C2e 2 x 2C2e 2 x 4C2 xe2 x
Combinando las tres funciones con la finalidad de eliminar las constantes de integración: 4 y y 4C1e2 x 4C2 xe2 x 4 y y 4(C1e2 x C2 xe2 x ) 4 y y 4 y 0 y
Por lo tanto la ED es y 4 y 4 y 0
Ejercicio N°1
Compruebe que la función indicada sea una solución de la ecuación diferencial dada. 2 2 x x
yy ( y) y lny; ln y c1e c2 e
Ejercicio N°2
Compruebe que la función indicada sea una solución de la ecuación diferencial 2 V 2V dada. 3 x 2
x
2
y
V;
V e sen 2 y
Ejercicio N°3
Determina la ecuación diferencial cuya solución general es dada
y x 2 C1e x C2 e 2 x
Ejercicio N°4
Determina la ecuación diferencial cuya solución general es dada
y Ae 2 x Bxe 2 x
Ejercicio N°5
Determina la ecuación diferencial cuya solución general es dada
a 2 x 3 3 ln y x b
Ejercicio N°6
Determina la ecuación diferencial cuya solución general es dada
y C1e 2 x cos 3 x C2 e 2 x sen3x
CLASIFICACIÓN DE LAS E.D.
¿Qué aprendimos hoy? • Definición de E.D • Clasificación de E.D • Verificación de soluci solución ón de E.D • Obtención de E.D. a partir de su solución
Referencias Bibliográfica Bibliográficas s • Larson, R. y Edwards, B. (2016). Cálculo. México: Cengage Learning. • Zill Dennis (2015). Ecuaciones Dierenciales. Tempranas. México. Ediorial Mc Graw Hill.
Trascendenes
• Sewar James. (2008) Cálculo: Trascendenes Tempranas 6a ed. México. Cengage Learning
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