Semana 07 Conteo de Figuras

 

SESIÓN 07 CONTEO DE FIGURAS Rpta : …………….

APRENDIZAJES ESPRADOS: Ejercitar



y

potenciar

la

faculta tad d

de

obseraci!n y percepci!n " isual. #escubrir y aplicar $%todos para reali&ar el



conteo de diersas '(uras.

. #$uánt #$uántos os cuad cuadrado radoss %a! %a! en en la fig figura ura&& *)ibu5ada en cuadriculados+

CONTEO DE FIGURAS Para algunos Para algunos de estos estos proble problemas mas se dispon disponee de cie iert rtos os mé méttod odos os si sist steemá máti tico coss o fó fórm rmuulas las preest pre establ ableci ecidas das,, mientr mientras as que para para otros otros solo solo podemos contar con nuestra intuición e imaginación paraa obtene par obtenerr la sol soluci ución. ón. Haremo Haremoss ent entonc onces es un estudio por separado de los casos que se conoce.

Rpta : …………….

1. MÉTODO M ÉTODO COMB COMBINATORI INATORIO O El pr pres esen ente te mé méto todo do co cons nsist istee en an anot otar ar un número o símbolo en c/u de las partes de la figu figura ra,, de mo modo do que que cada cada nuev nuevaa fi figu gura ra que que de dete tecte ctemo moss qued quedee asoc asocia iada da a un núme número ro o combinación combin ación de números. números. uego contamos contamos las combinaciones anotadas ! el resultado será la cantidad pedida. EJEMPLO ".

  FÓRMULAS P PARA ARA CASOS NOTABLES A. CONT CONTEO EO DE DE SEGM SEGMEN ENTO TOS. S.-2

1

…

3

n)

n

6órmula(

*s +

#$uánt #$uántos os triá triángu ngulos los %a! en esta esta figu figura& ra&

7s 4 89 de segmentos n 4 7 de espacios sobre la línea. EJEMPLO 8

#$uántos elementos %a! en la siguiente figura& 3 4

7 6

R

 /

25

Solución .'



-

,

Rpta : …………….

1

$olocamos un dígito a cada parte(

B. CONTEO DE TRIÁNGULOS os triángulos son(

6órmula(

)e *"+ ( " -   0 1 2 34 3 )e *-+ "-  01 23 4 )e *0+ ( "- 0123 23"- 01   4

*t + *t + 0 de … 1

2

3

Rpta:   "1 triángulos Rpta:

-. #$uánt #$uántos os triá triángu ngulos los %a! en la la figur figura& a&

EJEMPLO

n

trin(ulos

E

 

#$uántos triángulos %a! en las siguientes figuras& i+

1 2 3 4 2 3 4

ii+

n

n

6órmula(

Rpta : …………….

Rpta : …………….

*



+

C. CONTEO CON TEO DE CUADRILÁTERO CUADR ILÁTEROS S a figura debe ser un cuadrado de n : n n 4 7 de casilleros por lado.

i+ 2

1

…

3

4

ii) La figura principal es un rectángulo 1 2 3 2

*c + 0 de

!r$ul  

$

cuadrilteros ii+ n $

!r$ul  

Fórula:

2 1

!" de cuadrados: 2

3

4

…

n

.n # $%&)$n-&)#$-')$n-')#( $%&)$n-&)#$-')$n-')#(

n + *casilleros en la base $ + * casilleros sobre un

EJEMPLO En cada caso *allar el !" de cuadrados.

EJEMPLO

i)

ii)

#$uántos cuadriláteros %a! en c/u de las figuras& i+

ii+ 1 2 3

…

14 1 15 5

Rpta : ……………. Rpta : …………….

Rpta : …………….

Rpta : …………….

D. CONTEO DE CUADRADOS: i) La figura principal es un cuadrado.-

E. CONTEO DE PARALELEPÍPEDOS

CUBOS

Y 

 

n+

*casilleros por lado i) +onteo de +u,os $+u,os siples)

-.

En la la ffiigura gura(( a+ #$uántos paralelepípedos %a!& b+ #$uántos cubos %a!& c+ #$uántos paralelepípedos que no son cubos %a!&

0cubos+

Rpta :

!r$ula:

a …………………. b …………………. c ………………….

Pero Pero si el sólido es un paraleleppedo  paraleleppedo   formado por cubos simples, entonces( n

n1

EJER++OS RES/EL0OS

2

!

#

&. #$uántos sectores circulares %a! en la figura&  1

  !r$ula:

1 

" 1

1 2



3

2

1 2

1 0de cubos

n

+ $np$"1n)1p)1$)2n)2 $np$"1n)1p)1$)2n)2p)2… p)2…

; se continúa %asta que uno de los factores sea ". ii) +onteo de Paraleleppedos.

Resolución: como %a! 6 2

 

=

15

8úmero de cuadriláteros 4 "> ? "0 4 "0> 2. #$uántos cuadriláteros %a! en la figura&

@esolución( $ontando directamente, encontraremos "3, pero el método más rápido sería( $

×



 $ 

1

$



'

$ % 

8úmero de cuadriláteros (  ? 1 4 "3 En general( "  …

".Hallar el número de triángulos en( a+ "3 b+ "C

$  1



$

.

.

!

.

09$ero de n7n + 18 $7$ + 18  > = ,uadrilteros 2 2    

    

> Aaralelep;pedos 2 2 2

3. #$uántos triángulos %a! en la figura& 1 2 3 4 5

c+ -> d+ -" e+ 8.A. -. Ha Hall llar ar el el tota totall de seg segme mento ntoss en( en( a+ 03 b+ 0C c+ 1> d+ 1" e+ 8.A.

  F

A

G E

  /

B

HC



#



J -

n n + 18 2 ⇒

 n9$ero n9$ero de trin(ulos + 6 > 7 + 21 2

R



. $uánto $uántoss ángulo ánguloss agudos agudos se se encue encuentr ntran an en( en( a+ 10 b+ -0 c+ 0 d+ 10 e+ 8.A.

1 2 3 3@

6

@esolución( Anal An aliB iBan ando do ca caso soss pa part rtic icul ular ares es nos nos da dare remo moss cuenta que cumple con la fórmula(

I

. Ha Hala larr el total total de de ttriá riáng ngul ulos os a+ 0> b+ 0 c+ -0 d+ > e+ 8.A. 0. Hallar Hallar el número número de cua cuadri drilát látero eros. s.

 

a+ "3 b+ -> c+ -" d+ "2 e+ "C

1

1. #$uánt #$uántos os segme segmento ntoss se cue cuenta ntann en total& total& a+ "" ""b+ "" """ c+ "- """ d+ " ""e+ " -""

a+ 1> 2 b+ 1" 3 4 c+ 1d+ 1 e+ 8.A. 2@ "-. Halle el número número total de puntos de corte en(

1 3

2 4

5 ?6 ?8 1@@

?7 ??

2. #$uán #$uántas tas pirámide pirámidess de base cuadran cuadrangular gular %a! %a! en la figura&

1

2

2@

3

a+ "0> d+ "->

b+ "1> e+ 8.A.

c+ "3>

". Halle en en la figura( figura(

a+ 0b+ 0 c+ 3 d+ 1e+ C D.

3. En la figu figura ra

DD. DDD. D. DD. DDD.

D.

#$uántos cuadriláteros %a!& #$uántos ccuuadrados % %aa!& #$uántos cuadriláteros que no son cuadrados se pueden observar&

a+ "C> "> "-> b+ "C0 -> "> c+ ->> >">

d+ ->0>"0> e+ -">0>"1>

C. Halle el número número total total de trapec trapecios ios circulare circulares. s. a+ ">> b+ C> c+ 3> d+ 2> e+ 1> ">. #$uántos cuadriláteros cuadriláteros e:isten, como má má:imo, :imo, en la siguiente figura& a+ b+  c+ 0 d+ 1 e+  "". Halle eell número número de triángulos( triángulos(

a+ 1> C>C>>3"> b+ 3>">>C>>3>> c+ 1>3>C>>3->

El nú número de de cubos co como el sombreado El número total de cubos El número de paralelepípedos El número de paralelepípedos que no son cubos. d+ 3>C>C>>3"> e+ 8.A.

". Halle Halle el númer númeroo de parale paralelep lepípe ípedos dos que no son cubos. a+ 20 b+ 21 c+ 22 d+ 23 e+ 8.A. "0. #$uántos #$uántos cubitos como mínimo mínimo se debe agregar agregar en cada caso para obtener un cubo compacto. 



 

?? 5

1@@

4

a+ "1>-> 3 b+ "1> c+ "1--3

d+ 2"11e+ 8.A.

1

a+ 3"> b+ 3>> c+ 2C> d+ 23> e+ 8.A.

"1 "1.. #$ #$uá uánt ntos os cuad cuadri rilá láte tero ross como como má má:i :imo mo se pu pued eden en contar& I8 K8 ,8 #8 E8

15 32 25 3@ 6@

--. En la figura , #$uántos cuadrados cuadrados como má:imo se puede contar& a+ ->" b+ ->c+ -> d+ ->0 e+ ->1

 

"2. #cuántos #cuántos cuadriláte cuadriláteros ros %a! en la figura figura&& -. Halle el número total de triángulos. a+ > b+ 2 a+ C d+ 3

b+ "e+ "

c+ ">

"3 "3.. En la figu figura ra,, #$ #$uá uánt ntos os tr triá iáng ngul ulos os po pose seen en en su interior sólo asterisco&

c+ 0 d+ e+  -. Halle el má:imo número de cuadriláteros.

a+ 3 b+ C c+ "> d+ "" e+ 8.A.

a+ > b+ -C c+ -3 d+ -2 e+ -1

"C. $alcule $alcule el má:imo número número de sectores circulares circulares en cada caso. a+ - ! " b+ > ! c+ 0 ! 1" d+ -3 ! 1 e+ 0> ! -

-0. Halle el má:imo número de triángulos. a+ "1 b+ -1 c+ d+ 3 e+ >





->. )etermina el má:imo número número de triángulos en cada caso. a+ C ; 1> b+ 0> ; 1" c+ 3 ; 0C d+ 2 ; 1e+ 8.A. -". $alcule $alcule el número número total de puntos puntos de corte entre entre las figuras dadas.

-1. #$uánt #$uántas as pir pirámi ámide de de base base cua cuadra drada da %a! en el sólido mostrado& a+ 1 b+ 2> c+ 22 d+ C3 e+ ">0