SEMANA 02

LA INTEGRAL INDEFINIDA:

SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA

Departamento de Ciencias

Logros de Aprendizaje

 Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a gestión e ingeniería a partir de ecuaciones diferenciales con una condición inicial, calculando integrales indefinidas a través del método de sustitución algebraica.

¿Podrías Calcular la integral



 x 1  xdx

?

¿Qué antiderivada será?

Métodos de Integración

Por Sustitución

Algebraica

Trigonométrica

Derivación por Regla de la cadena

u

du



g ( x)

g´( x ) dx  

Por Partes

Por Fracciones Parciales

Integración por Sustitución



Cambio de Variable 2. Diferencial

u



g ( x)

du g´( x ) dx  

Reemplazar e Integrar 

  f   g ( x)  g´( x)dx   f  u  du u=g(x) Regresar a la variable x

dx

Ejemplo 1

Calcular la integral

  3 x  2 

Solución: Realizando el cambio de variables:

u 

d u

3x  2

Reacomodando los términos en la integral:

d u dx

  3 x  2



1 3

3  dx

  3 x  2  u

Reemplazando

1 

3

3 dx  Integrando

1 

3

ln(u )

Reemplazando:

dx

1

 3 x  2  3 ln(3

 x 

2)

d u

u

6



Determine:

Ejemplo 2

 xdx  x

2

1

Solución: 1° Cambio de variable u  x

du

2° Derivando



2

1

d  x 2



1 

2 xdx

3° Efectuando y reemplazando en la integral Regresar a la variable x

2

2 xdx  x

2

1



d u 2 u



u

 C 



 x

2

 1  C 

Ejemplo 3



Determine:

 x 1  xdx

Solución: 1° Cambio de variable 2° Derivando

du

u  1 x



u

d (1  x)





1



x

d x

3° Efectuando y reemplazando en la integral



x



1 x

  dx     u  1 2 

Regresar a la variable x

2 

5

5

u

5/ 2

u du 2



3/ 2

3

2

5

1   x

u



3

   u3/ 2  u1/ 2  d u 

C  3

1   x



C 

  x

Determine:

Ejemplo 4

3

x

 2dx

4

Solución: 1° Cambio de variable 2° Derivando

du



u  x

d (x

4

4

2





2)  4 x

3

dx

3° Efectuando y reemplazando en la integral



x

4

2x

3

dx

 1 

Regresar a la variable x

du

6



4 u

3/ 2

6

1 

u

1

 x



4

12

u  43

C 



2



3



C 

3/ 2

   C  

Ejemplo 5

Determine:

 cos 2 xsen 2 xdx 3

Solución: 1° Cambio de variable 2° Derivando

d u



u



sen2 x

d ( sen2 x) 

2cos2 xd x



3° Efectuando y reemplazando en la integral



3

 sen 2 x cos 2 xdx

 u 

Regresar a la variable x

1

d u

2

11

 u 24 1



3

8

4



1



2

3

u du

   C  

 sen2 x 

4



C 

Ejemplo 6

Determine:

Solución: 1° Cambio de variable 2° Derivando

du



u

1

  x ln x dx

 ln x

d (ln x )

1 

dx

 x

3° Efectuando y reemplazando en la integral 1

 Regresar a la variable x

dx

 x

du







ln ln x

ln  x

u



ln u  C 

 C 

12

Valor de la Tierra Se estima que en t años, contados a partir de ahora, el valor V (en dólares) de una hectárea de tierra cerca de Pozuzo, provincia de Oxapampa, se incrementa a una tasa de:

dólares por año.

Si el valor actual de la tierra es de $ 5000 por hectárea ¿Cuánto costará dentro de 10 años? Exprese su resultado al dólar más cercano.

Depreciación El valor de reventa de una máquina industrial disminuye a una tasa que depende su edad. Cuando la máquina tiene t años, la tasa a la cual cambia su valor es

V '  t 

960e



t /5

 

dólares por año.

a) Exprese el valor de la máquina en términos de su edad y de su valor inicial. b) Si originalmente la máquina valía $5 200, ¿cuánto valdrá cuando tenga 10 años?