Semana 02 Analisis Vectorial Unac 2010 a Plus

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad)

ANÁLISIS VECTORIAL Semana 01

1.VECTOR. Se representa mediante Z un segmento de recta orientado. En física sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales. Se representa por cualquier letra del alfabeto con una pequeña flecha en la  Y parte superior. Todo vector tiene dos elementos fundamentales: el X modulo y la dirección. V VECTOR EN EL ESPACIO El módulo representa el tamaño o valor de la cantidad vectorial. La dirección representa la orientación del vector respecto del sistema coordenado cartesiano u otro sistema coordenado.

r

a

2.VECTORES 2. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL ESPACIO . El vector unitario es aquel que tiene como módulo o tamaño la unidad de medida. Los vectores cartesianos son: iˆ : tiene dirección del eje X positivo.

iˆ : tiene dirección del eje X negativo.

−

 jˆ : tiene dirección del eje Y positivo : tiene dirección del eje Y negativo ˆ : tiene dirección del eje Z positivo. k  ˆ : tiene dirección del eje Z negativo. − k  El módulo de cada vector unitario es igual a la unidad de medida: ˆ =1 iˆ =  jˆ = k  Los tres vectores unitarios son mutuamente perpendiculares: ˆ iˆ ⊥  jˆ ⊥ k  En el espacio tridimensional el vector a tiene tres componentes: −  jˆ

Z

k

r

a = ( a x; a y; a z) = a xiˆ + a y ˆj + a zkˆ   

 j

 Y

i

X EJEMPLO 01: Se tiene un vector a = 3iˆ + 12 1 2 ˆj + 4kˆ .   VECTORES UNITARIOS Determine el módulo del vector. Resolución Si graficamos el vector obtenemos un paralelepípedo, entonces el módulo del vector es igual al tamaño de la diagonal.

r

2

a = 32 + ( 12 ) + 42 = 9 + 14 144 + 16 16

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ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) a = 13 Respuesta: el módulo del vector es 13. 3.VECTOR 3. VECTOR UNITARIO DIRECCIONAL. Cada vector tiene su respectivo vector unitario. El vector unitario es paralelo a su respetivo vector de origen.

uˆ

=

a

a

⇒

a

=

a .uˆ

En general se puede obtener un vector unitario en una dirección determinada, relacionado dos o más vectores. EJEMPLO 02: Determine el vector unitario del vector:  A = 3 i + 4  j + 12 k  Resolución  A 3 i + 4  j + 12 k  = El vector unitario se define como: uˆ = 13  A

El vector unitario es: uˆ =

3 13

i+

4 13

 j +

12 13

k 

4.COSENOS DIRECTORES. Son las componentes del vector unitario en el sistema coordenado cartesiano. En el sistema cartesiano tridimensional vector a tiene Z tres componentes rectangulares: r

a = (a x; a y; a z)

=

a xiˆ + a y ˆj + a zkˆ    

azz

Designamos con α , β  y θ  los ángulos que el vector a hace con los ejes cartesianos X, Y y Z, respectivamente.  Tenemos tres componentes: a x = a.Cosα  , a y = a.Cosβ  , a z 

=

ax

a.Cosθ  …(1)

X COMPONENTES DEL VECTOR

Cálculo del módulo del vector:

a2

=

a x2

+

a y2 + a x2

 Y

ay

…(2)

reemplazando (1) en (2) tenemos:

( Cosα ) 2 + ( Cosβ ) 2 + ( Cosθ ) 2 = 1

Entonces el vector unitario de a es:

uˆ = ( Cosα ; Cosβ ; Cosθ )

EJEMPLO 03: Calcular los cosenos directores del vector  A =12 i − 15 j − 16 k  . RESOLUCIÓN

r

Cálculo del módulo del vector: a = ( 12 ) 2 + ( −15 ) 2 + ( −16 ) 2 = 144 + 225 + 256 = 25 uˆ =

A

12 i − 15 j − 16 k

A

25

uur =

 

= 0, 48 i − 0, 6 j − 0, 64 k

y

uˆ =  ( Cosα ; Cosβ ; Cosθ )

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ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) Comparando tenemos que: Cosα = 0,48 , Cosβ = −0, 6 , Cosθ = −0,64 5.PRODUCTO 5. PRODUCTO ESCALAR ESCALAR. Dado los vectores A y B , su producto escalar o interno se representa

por A B , y se define como el producto de sus módulos por el coseno del ánguloθ  que forman, esto es:

A . B .Cosθ

A B

B . A .Cosθ  ,

donde 0 ≤ θ  ≤ π  Debemos enfatizar que A B es un número real, (positivo, negativo o nulo), y no un vector. Dado los vectores: A

A B

a1 .b1

a 2 .j . j a 3 .k .k y  B

a1 .i

a 2 .b 2

Propiedad Distributiva: A Vectores ortogonales: i

A A

a1

2

a2

2

b 2 .j .j

B

C

A B

B A A C

j j k k 1 j j k i k 0 a3

ur ur

Cuadrado del módulo: A A

2

y

ur 2

B B

b1

A

Z Si A B

b3 .k  

a 3 .b3

PROPIEDADES Se cumple la propiedad conmutativa: A B

Vectores paralelos: i i

b1 .i

2

bθ2

2

b3

2

O

perpendiculares. 0 y ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente PRODUCTO ESCALAR

EJEMPLO 04: Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que a = 3  y b = 4 . Z Calcular: a • b RESOLUCIÓN

De la definición: a b

a . b .Cosθ 

3 4 CosPPRODUCTO 1200 6VECTORIAL

EJEMPLO 05: ¿Para qué valores de “m” los vectores a m.i 3 j 2k  y b 1i perpendiculares entre sí? RESOLUCIÓN De la definición: a a1 .i a 2 .j . j a 3 .k y  b b1 .i b 2 .j . j b3 .k .k  

a b

a1 .b1

a 2 .b2

De la condición: Si a b perpendiculares. Entonces: m . 1 Resolviendo: m

2j

son m.k  son

a 3 .b3 l os vectores es nulo, ambos son mutuamente 0 y ninguno de los

3 . 2

2 .

m

0

6

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 A  A

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) 6.PRODUCTO VECTORIAL. Dado los vectores A y B , su producto vectorial o externo se

representa por otro vector C , que se denota como C A B . Su módulo se define como el producto de sus módulos por el seno del ánguloθ  que forman entre sí, esto es:

A . B .Senθ  , donde 0 ≤ θ  ≤ π 

A B

Debemos enfatizar que C es perpendicular al plano formado por los vectores A y B . Regla de la mano Derecha: los dedos giran desde la dirección del vector A hacia la dirección del vector B y el dedo pulgar coincide con el vector C. El la figura el ángulo θ  gira en el sentido desde A hacia B. PROPIEDADES

I. Si A B

0 , entonces los vectores tienen la misma dirección o son paralelos.

II. Anti conmutativo: A B III. Propiedad Distributiva:

A

B

C

A B

A

A C

IV. Vectores paralelos: i

i

V. Vectores ortogonales: i

k i

B A

j j k k 0 j k , j k i ,

θ B

j

VI. Dado los vectores:

A

a1 .i

ÁREA DEL PARALELOGRAMO y

a 2 .j . j a 3 .k .k  

ur ur

B

b1 .i

b 2 .j .j

e  ntonces se cumple que: A B b 3 .k entonces

i

j

k 

a1

a2

a3

b1

b2

b3

El área del paralelogramo formado por los vectores concurrentes A y B es:

Area del parale lo log ra ramo

A B

El área de la región triangular formado por los vectores A y B es: Area del triangulo

A B 2

EJEMPLO 06: Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 30°. Sabiendo que a = 6  y b = 5 .

Calcular: a × b RESOLUCIÓN De la definición: a

b

a . b .Senθ 

6 5 Sen 300

15

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ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) EJEMPLO 07: Dado los vectores  A = 3 i − 1 j − 2 k  y  B = 1i + 2 j − 1 k  determinar las componentes

vectoriales de: A × B RESOLUCIÓN De la definición del producto vectorial entre dos vectores:

ur ur

A B

i

j

k 

i

j

k 

1

2

a1

a2

a3

3

b1

b2

b3

1

A × B = 5 ˆi + 1 ˆj + 7 kˆ

2

i

1

1 2

2 1

j

3

2

1

1

k 

3

1

1

2

 

EJEMPLO 08: Se conocen los vértices de un triángulo: A (0; 0; 0), B (3; 0; 0) y C (0; 4; 0), calcular el área de la región definida por el triángulo de vértices A, B y C. RESOLUCIÓN Sean los vectores AB y AC donde AB

uuur uuur

AB AC

AB AC

3; 0; 0 y AC

i

j

k 

i

j

k 

a1

a2

a3

3

0

0

b1

b2

b3

0

4

0

ˆi 0 4

0; 4; 0

0

ˆj 3 0

0

0 0

ˆk  3 0

0 4

12 kˆ  

El valor o módulo es: AB AC

12

AB AC

12

2

2

Area del triangulo

6

Respuesta: el área de la región triangular es 6 unidades cuadradas. EJEMPLO 09: Se conocen los vértices de un triángulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las componentes vectoriales de: AB BC RESOLUCIÓN Determinamos las componentes de cada vector: AB

uuur uuur

AB BC

i

1 3 2

AB BC

j

6 ˆi

0

k  3 2

ˆi 3 0

3 2

ˆj

1; 3; 3 y BC

1

3

2

2

ˆ k 

2; 0; 2

1

3

2

0

4 ˆj 6 kˆ  

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ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) 7.TRIPLE 7. TRIPLE PRODUCTO ESCALAR ESCALAR . Por medio del productos escalar y vectorial de tres vectores

A , B y C se forma: A

ur

A

ur ur

B C

B C

A1

A2

A3

B1

B2

B3

C1

C2

C3

C

B

PROPIEDADES: I. El producto triple escalar es un número real:

A II. A

B C

A

número re real

B C

B

C A

VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO

C

A B

III. El valor del “triple producto escalar” representa el volumen de un paralelepípedo de aristas A , B y C. EJEMPLO 09: Se conocen los vértices A (4; 0; 0), B (0; 5; 0), C (0; 0; 3) y D (0; 0; 0) calcular el volumen del sólido de vértices A, B, C y D. RESOLUCIÓN Sean los vectores DA 4; 0; 0 , DB 0; 5; 0 , DC 0; 0; 3 El valor del “triple producto escalar” representa el volumen de un paralelepípedo de aristas DA , DB y DC .

uuur

DA

A1

uuur uuur

DB DC DC

A2

A3

4

0

0

5

0

0

3

B1

B2

B3

0

C1

C2

C3

0

4

5

0

0

0

0

3

0

3

2 j 1k y   c

3i

0

0

0

5

0

0

60

Respuesta: el volumen del solido es 60 unidades cúbicas. EJEMPLO 10: Se dan los vectores a 1i 1j 3 k ,  b

Determinar: a b

2i

2j

5k .  

c

RESOLUCIÓN De la definición del producto vectorial entre dos vectores:

r r

a b

i

j

k 

i

j

a1

a2

a3

1

1 3

b1

b2

b3

a × b = −7 ˆi + 7 ˆj + 0 kˆ

Cálculo de: a b

c

2

2

k  1

i

1 3 2

1

j

1

3 2

1

k 

1

1 2

2

  7; 7; 0

3; 2; 5

7

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ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) 8.TRIPLE PRODUCTO. Por medio de productos vectoriales de tres vectores A , B y C se

pueden formar productos como: A

B C , A B

Co C B

A , en todos estos

casos el resultado es otro vector. PROPIEDADES: I. No se puede asociar: A II. A

B C

III. A

B

B C

A B

A C B

A B C

A C B

B C A

C

EJEMPLO 11: Sean los vectores A

A

B C y A B

C

4; 0; 0 , B

0; 1; 3 , determine

0; 5; 0 , C

C ¿se obtiene el mismo resultado?

RESOLUCIÓN Primer caso:

i

ur ur

B C

A j

k 

0 5

0

0 1

3

Cálculo de A

r

A

A B

i

ur ur

B C

0

15 0

0

A B

C

j

k 

4

0

0

0

5

0

A B

r

C

ˆj 0 0

3

0

ˆ 0 k  0

3

ˆi 0 5 C

0 ˆi

0

0 ˆj

ˆj 4 0

0

0; 0; 20

i

j

k 

0

0

20

0 1

3

Es importante hacer notar que: A

5 1

15 ˆi

0 ˆj 0 kˆ  

15; 0; 0

k 

0

i

0

4; 0; 0 j

4

Cálculo de A B

ur ur

ˆi 5 1

B C

Segundo caso:

ur ur

B C

r

0 kˆ

0 0

0

ˆ 4 k  0

0 5

0 ˆi

0 ˆj

20 kˆ  

0;1; 3

20 ˆi

0 ˆj

B C

0 kˆ

A B

20 ˆi

C

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ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) 9.PROYECCIÓN DE UN VECTOR . La proyección del vector A sobre el vector B , es otro vector paralelo al vector  B que se denota del siguiente modo:

ur

A B

B r . uu B

uur

Pr oyecB A u r

B

Al módulo de la proyección del vector A sobre el vector se le denomina Componente del vector A sobre el vector B. u r

Com Comp B A u r

θ

A B uu r

O

B

ur

ur

Pr oyecB A

B

uur

CompB A.

u r

u r

Proyección de A sobre ComB pur A. A. uˆ

Pr oyecB A u r

B

B

B

EJEMPLO 11: Determina las componentes rectangulares del vector m , sabiendo que es perpendicular a los vectores F1 2 i 3 j 1k y  F2 1 i 2 j 3 k además satisface a la condición:   m

1i

2j

7k

10

RESOLUCIÓN

Sea m

pero

q F1 F2

la condición: m

1i

F1 F2

2 j 7k

i

j

k 

2

3

1

1

2

3

7 ˆi

5 ˆj 1 kˆ

7; 5; 1

10

la condición: q 7; 5; 1 1 ; 2; 7 10 1 Resolviendo la ecuación tenemos que: q Respuesta: m

Pr oyec x m r

1 F1 F2

7 ˆi ,

7 ˆi

5 ˆj 1 kˆ

Pr oyec y m r

 

5 ˆj ,

Pr oyecz m r

1 kˆ  

PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES

r

1. En el sistema vectorial vectorial mostrado, mostrado, determine determine el valor de la siguiente operación: operación: a

r

¿Qué ángulo forman a  b

c

r

b y c

d ?

2 ˆj , b

1 ˆi

b

r

c

d

a

d 1

RESOLUCIÓN Los vectores son: a

3 ˆi

2 ˆj , c

2 ˆi

2 ˆj , d

2 ˆi

2 ˆj

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ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) r

Cálculo de: a

r

Piden: a

b

r

Respuesta: a

b

r

c

4 ˆi

0j

d

4; 0

r

b y c

r

y c

d

0 ˆi

0;

4

0

4j

d forman un ángulo recto.

r

2. En el sistema vectorial vectorial mostrado, mostrado, determine determine el valor de la siguiente operación: operación: a

r

¿Qué ángulo forman a

b y a

b

r r

a

c

c ?

b c a 1

RESOLUCIÓN Los vectores son: a

r

Cálculo de: a

r

Piden: a b

r

Respuesta: a

3 ˆi 2 ˆj , b 7 ˆi 0 ˆj y

b

r r

a

c

7; 0

b y a

4 ˆi a

2 ˆj , c

0 ˆi 1 ˆj

c

0; 1

3 ˆi 1 ˆj

0

c forman un ángulo recto.

3. Se muestra muestra un conjunto conjunto de vectores. vectores. Sabiendo Sabiendo que A reales. Determine m  A 

n.C , donde m y n son números

m.B

n

B C

RESOLUCIÓN Los vectores son: A

2 ˆi 1 ˆj , B

0 ˆi 1 ˆj , C

1 ˆi 1 ˆj

Reemplazamos en la relación: A m.B n.C , entonces 2; 1 m. 0; 1 n. 1; 1 2; 1 n; m n comparando las coordenadas cartesianas tenemos que: n 2 y1 m resolviendo m

3 Respuesta: m

n

1

2; 1 , C 4. Verificar Verificar que que los los cuatro cuatro puntos A 3; 1; 2 , B 1; 2; vértices de un trapecio.

1; 1; 1;

RESOLUCIÓN Para formar vectores a partir de dos puntos en el espacio: AB

entonces: AB

2; 3; 3 , BC

2;

1; 2 , CD

Comparando las coordenadas de los vectores AB K 

1 2

entonces AB

n

4;

3 y D 3; 5; 3 son los

x2

x1; y1

6; 6 , DA

2; 3; 3 y CD

0; 4;

y2 ; z1

z2

4; 1 6; 6

K.CD

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ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) Entonces AB y CD son paralelos, por consiguiente ABCD es un trapecio. 5. ¿Para ¿Para qué qué valo valores res de α  y β  los vectores a colineales?

2 ˆi

3 ˆj

β  kˆ y  b

α  ˆi 6 ˆj 2 kˆ son  

RESOLUCIÓN

Si a y  b sus componentes en los ejes cartesianos serán proporcionales: Reemplazando tenemos que:

2

3

α 

Resolviendo se tiene que: α  4 y β 

6

β  2 1

x1

y1

z1

x2

y2

z2

K 

K 

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ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) PROBLEMAS PROPUESTOS DE VECTORES 1. Calcular el módulo del vector:  A = 6 i + 3 j − 2 k  2. Calcular el módulo del vector: W  = 4 i − 3 j + 12 k  3. Dado los puntos A = ( 3; − 1; 2 ) y  B = ( − 1; 2;1) determinar los vectores: AB y BA respectivamente. 4. Dado los puntos P  = ( − 3; 2;1) y Q = (1; − 2; − 1) determinar los vectores: PQ y QP respectivamente. 5. Determinar el punto N, con que coincide el extremo del vector  A = − 4 i + 3 j + 2 k  sabiendo que el origen coincide con el punto M de coordenadas (1; 2; − 3) . 6. Determinar el punto P, con que coincide el extremo del vector C  = 4 i − 3 j + 5 k  sabiendo que el origen coincide con el punto Q de coordenadas ( 2; − 1; 3) . 7. Se dan los vectores  A = 4 i − 2 j + 6 k  y  B = − 2 i + 4 j . Determinar la proyección del vector

 A + B 2

sobre los ejes coordenados cartesianos. 8. Dado el módulo de vector  A = 2 y los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianos 

x, y, z respectivamente α  = 45 , β  = 60 y θ  = 120 . Determinar la proyección del vector  A sobre los ejes coordenados. 9. Dado el módulo de vector  A = 10 y los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianos 





x, y, z respectivamente α  = 90 , β  = 150 y θ  = 60 . Determinar la proyección del vector  A sobre los ejes coordenados. 10. Calcular los cosenos directores del vector  A =12 i − 15 j − 16 k  . 11. Calcular los cosenos directores del vector P 3 i 4 j 12 k .  





12. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientesα  = 45 , β  = 135 y θ  = 60 ? 13. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientesα  = 45 , β  = 60 y θ  = 120 ? 14. ¿Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientesα  = 90 , β  = 150 y θ  = 60 ? 15. Un vector forma con los ejes OX, y OZ los ángulos α  = 120 y θ  = 45 respectivamente, ¿qué ángulo forma el vector con el eje OY? 16. Un vector forma con los ejes OX, y OY los ángulos α  = 45 y β  = 135 respectivamente, ¿qué ángulo forma el vector con el eje OZ? 17. Un vector forma con los ejes OY, y OZ los ángulos β  = 150 y θ  = 60 respectivamente, ¿qué ángulo forma el vector con el eje OX? 18. Determinar las coordenadas del punto M, si su radio vector forma con los ejes coordenados ángulos iguales y su módulo es igual a 3 unidades. ¿Qué ángulo forma el radio vector con los ejes coordenados cartesianos? 19. Calcular el vector unitario del vector T  = − 4 i + 3 j + 12 k  20. Calcular el vector unitario del vector a = 6 i − 2 j − 3 k  























21. Calcular el vector unitario del vector G

4i





3j

22. Determinar el vector unitario perpendicular al vector E 6 i 8 j 23. Se tiene un cuadrado de vértices A, B C y D; y área 25 unidades cuadradas. Si conocemos el vértice A (10; 20) y el lado AB es paralelo al vector 3 i + 4 j . Determinar la posición de los vértices B, C y D.

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ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) 24. Se tiene un cuadrado de vértices A, B C y D; y área 100 unidades cuadradas. Si conocemos el vértice A (20; 10) y el lado AB es paralelo al vector 4 i + 3 j . Determinar la posición de los vértices B, C y D. 25. Si los módulos de los vectores P y Q son 18 y 14 unidades y sus cosenos directores con los 2 −1 2 6 3 2 P Q ; ; y ; ; respectivamente. Determinar el resultado de: 3 3 3 7 7 7 2

ejes X, Y y Z son

26. Dado  A = 13 ,  B = 19 y  A + B = 24 Calcular:  A − B 27. Sabiendo que los vectores  A y B forman entre si un ángulo de 120° y además  A = 3 ,  B = 5

Determinar:  A − B 28. ¿Para qué valores de “p” y “q” los vectores  A = −2 i + 3 j +  p k  y  B = q i − 6 j + 2 k  son colineales? 29. ¿Para qué valores de “r” y “s” los vectores  A = r i + 12 j + 3 k  y  B = 8 i + sj + 2 k son paralelos? 30. Los siguientes vectores W

15 i 12 j 9 k  y P

5i

¿  son colineales? 4 j 3 k ¿son

31. Los siguientes vectores E 15 i 12 j 9 k  y T 5 i 4 j 3 k ¿son ¿  son paralelos? 32. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (4; 9), B (9; 9), C (9; 6) y D (2; 6). ¿Es un trapecio? 33. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (3;-1; 2), B (1; 2,-1), C (-1; 1:-3) y D (3;-5; 3). ¿Es un trapecio? 34. Dado los puntos A (-15; -10), B (5; -7,8), C (2; 2:-7) y D (5;-4; (5; -4; 2). ¿  AB y CD son colineales? 35. El vector T  de módulo 75 tiene dirección opuesta al vector a = 16 i − 15 j + 12 k . Determinar las proyecciones del vector T  en el sistema coordenado cartesiano. 36. Dado los vectores en el plano p 2 i 3 j y q 1i 2 j . Expresar el vector A 9 i 4 j en función de los vectores p y q . 37. Dado los vectores en el plano p 3 i función de los vectores p y q .

2j y q

38. Dado los vectores en el plano p 3 i función de los vectores p y q .

2j y q

39. Dado los vectores en el plano p función de los vectores p y q .

4j y q

40. Se dan los vectores a

vector p

r

a

b

r

vector  p

r

a

b 2

3 i 1 j , b 1i

4 j . Expresar el vector A

7i

2 i 1 j . Expresar el vector A

7i

4 j en

2 i 1j en 3i

2 j en

2 j y c = − 1i + 7 j . Determinar la descomposición del

c en base de los vectores a  y b .

41. Se dan los vectores a

r

7i

2 i 1 j . Expresar el vector A

r

c

6i

2 j , b 1i

5 j y c = − 1i + 7 j . Determinar la descomposición del

en base de los vectores a  y b .

42. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la descomposición del vector AD tomado como base los vectores AB y AC . 43. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la descomposición del vector BD tomado como base los vectores AB y AC . 44. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la descomposición del vector CD tomado como base los vectores  AB  y  AC . 45. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2), B (2; 1), C (3; 2) y D (-2; 3). Determinar la descomposición del vector AD BC CD tomado como base los vectores AB y AC .

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Página 12

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) 46. Se dan los vectores p

3i

2j , q

1i 1 j y r

2 i 1 j . Determinar la descomposición del

vector c 11 i 6 j en base de los vectores p; q y r  . 47. Se dan los vectores p

3i

2 j 1k  , q

1i 1 j

2k y  r

2 i 1 j 3k . Determinar la

descomposición del vector c 11i 6 j 5k  en base de los vectores p; q y r  . 48. Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que a = 3  y b = 4 . Calcular: a •b

49. Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que a = 3  y b = 4 . Calcular:

(a) 2 50. Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que a = 3  y b = 4 . Calcular:

(a + b )2 51. Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que a = 3  y b = 4 . Calcular:

( a − b ) 2 52. Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que a = 3  y b = 4 . Calcular:

r

3a

r

2b

a

2b

53. Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 120°. Sabiendo que a = 3  y b = 4 . Calcular:

(3a + 2 b ) 2 54. Conociendo los vectores a = 1 j , b = 1i + 2 j y c = 3 i . Determinar:  E  =

a •b + a •c +b •c 





a+b +c

55. Conociendo los vectores a = 3 i + 1 j , b = 1i + 2 j y c = −4 i + 2 j . Determinar:  K  =

a •b + a •c + b •c 





a+b +c

56. Los vectores a y b son perpendiculares entre si, además el vector c forma con cada uno de

r

ellos un ángulo de 60°. Sabiendo que: a = 3 , b = 5 y c = 8 calcular: 3a

2b

b

r

3c

57. Los vectores a y b son perpendiculares entre si, además el vector c forma con cada uno de

ellos un ángulo de 60°. Sabiendo que: a = 3 , b = 5 y c = 8 calcular: ( a + b + c ) 2 

58. Cada par de vectores a , b  y c forman entre si un ángulo de 60°. Sabiendo que a = 4 , b = 2 y c = 6 Determina el módulo de ( a + b + c ) .

59. Para que valores de “m” los vectores a m.i 3 j 2k  y b 1i 2 j m.k  son son perpendiculares entre sí. 60. Para que valores de “p” los vectores a 12.i p. j 2 k  y b 1i 2 j p.k  son son perpendiculares entre sí. 61. Sabiendo que a = 3 y b = 5 determinar para que valor de “q” los vectores ( a + q.b ) y ( a − q.b ) son perpendiculares entre sí. 62. Sabiendo que a = 4 y b = 2 determinar para que valor de “q” los vectores ( a + q.b ) y

( a − q.b )

son perpendiculares entre sí.

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Página 13

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) 63. ¿Qué condición deben satisfacer los vectores a y b para que ( a + b ) y ( a − b ) sean perpendiculares entre sí? 64. Demostrar que el vector  p = b ( a • c ) − c ( a • b ) es perpendicular con el vector a . 65. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -2; 2), B (1; 4; 0), C (-4; 1; 1) y D (-5; -5; 3). Demostrar que las diagonales AC y BD son perpendiculares entre sí. 66. Los vectores a y b forman 30° entre sí. Sabiendo que: a = 3 y b =1 Determine la medida

del ángulo que forman entre si los vectores ( a + b ) y ( a − b ) 67. Los vectores a y b forman 120° entre sí. Sabiendo que: a = 5 y b = 5 Determine la medida

del ángulo que forman entre si los vectores ( a + b ) y ( a − b ) 68. Los vectores a y b forman 60° entre sí. Sabiendo que: a = 5 y b = 3 Determina la medida del

ángulo que forman entre si los vectores ( a + b ) y ( a − b ) 69. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo isósceles. 70. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son directamente proporcionales a los números 3, 4 y 5. 71. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son directamente proporcionales a los números 5, 12 y 13. 72. Calcular la componente del vector  A = 5 i + 2 j + 5 k  sobre el eje del vector  B = 2 i − 1 j + 2 k  73. Calcularla proyección del vector  A =10 i + 5 j sobre el eje del vector  B = 3 i + 4 j 74. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del ángulo interno del vértice C. 75. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del ángulo interno del vértice B. 76. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -2; 4), B (-4; -2; 0) y C (3; -2; 1). Calcular la medida del ángulo interno del vértice A. 77. El vector de módulo a = 50 es colineal con el vector b = 6 i − 8 j − 7,5 k y forma un ángulo

agudo con el eje OZ. Determine las componentes cartesianas del vector a . 78. Determine las componentes cartesianas del vector a sabiendo que es colineal con el vector b = 2 i + 1 j − 1 k  y satisface la condición a • b = 3 . 79. Determinar el vector m , si se sabe que es perpendicular con los vectores:  A = 2 i + 3 j − 1 k  y  B = 1i − 2 j + 3 k  además satisface a la condición: m • (1i − 1 j + 1 k ) = −6

80. Se dan los vectores  A = 3 i − 1 j + 5 k  y  B = 1i + 2 j − 3 k . Determinar el vector  X  que es perpendicular al eje OZ y satisface a las condiciones:  X  • A = 9 y  X  • B = −4 81. Se dan los vectores  A = 2 i − 1 j + 3 k  ,  B = 1i − 3 j + 2 k  y C  = 3 i + 2 j − 3 k . Determinar el

vector  X  que satisface a las condiciones:  X  • A = −5 ,  X  • B = −11 y  X  • C  = 20 82. Determinar las componentes del vector S 4 i 3 j 2 k sobre s  obre el eje L que forma con los ejes cartesianos ángulos agudos iguales. 83. Dado los vectores A, B; C y D se cumple que:  A = 4 i + 3 j + 4 k  y  B = 2 i + 2 j − 1 k  además se sabe que C es paralelo a B y el vector D es ortogonal con B . Si A expresiones vectoriales de C y D .

C

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D determinar las

Página 14

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) 84. Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 30°. Sabiendo que a = 6  y b = 5 . Calcular: a ×b

85. Sabiendo que a =10  y b = 2 , además a • b = 12 . Calcular: a × b 86. Sabiendo que a = 3  y b = 26 , además a × b = 72 . Calcular: a • b 87. Sabiendo que a = 3  y b = 4 , además a • b = 0 . Calcular: ( a + b ) × ( a − b ) 88. Sabiendo que a = 3  y b = 4 , además a • b = 0 . Calcular: ( 3a − b ) × ( a − 2 b ) 89. Los vectores a y b forman 120° entre sí. Sabiendo que: a = 1 y b = 2 . Calcular: ( a × b ) 2 90. Los vectores a y b forman 120° entre sí. Sabiendo que: a = 1 y b = 2 . Calcular:

( 2a + b ) × ( a + 2b ) 



2

91. Los vectores a y b forman 120° entre sí. Sabiendo que: a = 1 y b = 2 . Calcular:

( a + 3b ) × (3a − 2b )

2

92. Dado los vectores  A = 3 i − 1 j − 2 k  y  B = 1i + 2 j − 1 k  determinar las componentes vectoriales

de: a × b 93. Dado los vectores  A = 3 i − 1 j − 2 k  y  B = 1i + 2 j − 1 k  determinar las componentes vectoriales

de: ( a + b ) × b 94. Dado los vectores  A = 3 i − 1 j − 2 k  y  B = 1i + 2 j − 1 k  determinar las componentes vectoriales

de: ( 2a − b ) × ( 2a + b ) 95. Dado los vectores  A = 3 i − 1 j − 2 k  y  B = 1i + 2 j − 1 k  determinar las componentes vectoriales

de: ( 2a − 3b ) × ( 3a + 2b ) 96. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las componentes vectoriales de: AB BC 97. Se conocen los vértices de un triángulo: A (2; -1; 2), B (1; 2; -1) y C (3; 2; 1), determinar las componentes vectoriales de: BC 2.CA

CB

98. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; 2), B (7; 6) y C (9; 2), calcular la longitud de la altura bajada desde el vértice B al lado AC. 99. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; -1; 2), B (5; -6; 2) y C (1; 3; -1), calcular la longitud de la altura bajada desde el vértice B al lado AC. 100. La fuerza F 3 i 2 j 4 k está e  stá aplicada al punto A (2; -1; -2). Determinar el torque τ  de esta fuerza respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que τ  r F donde r OA es el vector posición. 101. La fuerza F 2 i 4 j 5 k está e  stá aplicada al punto A (4; -2; 3). Determinar el torque τ  de esta

fuerza respecto del punto B (3; 2; -1). Sabiendo que τ  102.

La fuerza F

3i

2j

r F donde r

BA es el vector posición.

e  stá aplicada al punto A (2; -1; 1). Determinar el torque τ  de 2 k está

esta fuerza respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que τ  r F donde r OA es el vector posición. 103. Dado los vectores  A = 2 i − 1 j − 2 k  y  B = 3 i + 2 j − 2 k  , determinar los cosenos directores de A B Lic., WALTER PEREZ TERREL/ [email protected]/997089931

Página 15

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) 104.

Se dan las fuerzas F1

cosenos directores de F1 105.

2 i 1 j 3 k ,  F2 F2

Se dan las fuerzas F1

cosenos directores de F1 106.

cosenos directores de F1

2 j 1k y  F3

4 i 1 j 3 k ,  determinar los

3i

2 j 1k y  F3

4 i 1 j 3 k ,  determinar los

3i

2 j 1k y  F3

4 i 1 j 3 k ,  determinar los

F3

2 i 1 j 3 k ,  F2 F2

Se dan las fuerzas F1

3i

F3

2 i 1 j 3 k ,  F2 F2

F3

F2

107. Las fuerzas F1 2 i 1j 3 k ,  F2 3 i 2 j 1k y  F3 aplicadas en el 4 i 1 j 3 k están   punto A (2;-1;-2). Determinar el torque que produce la fuerza resultante respecto del origen de coordenadas. 108. Las fuerzas F1 2 i 1j 3 k ,  F2 3 i 2 j 1k y  F3 aplicadas en el 4 i 1 j 3 k están   punto A (-1; 4; -2). Determinar el torque que produce la fuerza resultante respecto del punto B (2; 3; -1). 109. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; 2; 0), B (3; 0; -3) y C (5; 2; 6). Calcular el área de la región triangular. 110. El vector F3 de módulo 26 es perpendicular a los vectores F1 4 i 2 j 3 k y  F2 1j 3 k ,  

además forma con el eje OY un ángulo obtuso. Determinar las componentes rectangulares de F3 . 111. El vector  F 3 de módulo 39 es perpendicular a los vectores F1 4 i 2 j 3 k y  F2 1j 3 k ,   además forma con el eje OY un ángulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de F3 . 112. El vector m de módulo 51 es perpendicular al eje OZ y al vector Q 8 i 15 j 3 k  y, y, además forma con el eje OX un ángulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de m . 113. Determina las componentes rectangulares del vector m , sabiendo que es perpendicular a los vectores F1 m

1i

2 j 7k

2i

3 j 1k y   F2

115. a

116. b

b

satisface a la condición: 2 j 3 k además  

10

114. Se dan los vectores a a

1i

2i

3 j 1k ,  b

3i 1j

2k y   c

1i

2 j 3 k ,  calcular:

2i

3 j 1k ,  b

3 i 1j

2k y   c

1i

2 j 3 k ,  calcular:

2i

3 j 1k ,  b

3 i 1j

2k y   c

1i

2 j 3 k ,  calcular:

2i

2 j 1k ,  b

1i 1k  y c

c

Se dan los vectores a b c

Se dan los vectores a a c

117. Se dan los vectores a

1 i 1j

4 k .  Determinar el vector

unitario uˆ contenido en el plano formado por los vectores a y b además que sea perpendicular al vector c . 118.

Se dan los vectores a

2i , b

119. Se dan los vectores a 3i , b 120. Se dan los vectores a

5i , b

4 k  y c

3 j . Determinar: a

4j y c

2 k . Determinar: c b

3j y c

b

4 k . Determinar: a c

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c a b

Página 16

ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) 121.

Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 30° además a = 6 y b = 3 Sabiendo que

el vector c de módulo 3 es perpendicular a a y b , calcular: a b 122. a

Se dan los vectores a 1i 1j 3 k ,  b b

123. c b

c

2i

2 j 1k y   c

3i

2 j 5k .  Determinar:

2i

2 j 1k y   c

3i

2 j 5k .  Determinar:

c

Se dan los vectores a 1i 1j 3 k ,  b a

124. Se dan los vectores a

2i

3 j 1k  , b

1i 1 j 3 k  y c

125. Se dan los vectores a 3 i

2 j 1k  , b

2i 1 j

1i

9 j 11k .  ¿Son coplanares

los vectores a , b  y c ? 2 k  y c

3i 1 j

2 k .  ¿Son coplanares

3i

7 k .  ¿Son coplanares

los vectores a , b  y c ? 126. Se dan los vectores a

2i 1 j

2 k ,  b

1i

2 j 3 k  y c

4j

los vectores a , b  y c ? 127. Se conocen los cuatro puntos: A (1; -2; 2), B (1; 4; 0), C (-4; 1; 1) y D (-5; -5; 3). ¿Son coplanares estos cuatro puntos? 128. Se conocen los cuatro puntos: A (1; 2; -1), B (0; 1; 5), C (-1; 2; 1) y D (2; 1; 3). ¿Son coplanares estos cuatro puntos? 129. Determinar el volumen de un tetraedro cuyos vértices están en los puntos A (2; -1; 1), B (5; 5; 4), C (3; 2; -1) y D (4; 1; 3). 130. Se tiene un tetraedro cuyos vértices son A (2; 3; 1), B (4; 1; -2), C (6; 3; 7) y D (-5; -4; 8). Calcular la longitud de la altura bajad desde el vértice D al plano ABC. 131. El volumen de un tetraedro es 5 unidades cubicas, tres de sus vértices están en los puntos: A (2; 1; -1), B (3; 0; 1), C (2; -1; 3). Determinar las coordenadas cartesianas del cuarto vértice, D, si se sabe que está contenida en el eje OY. 132. Determinar el volumen en unidades cubicas del paralelepípedo construido sobre los vectores concurrentes a 8i , b 2 i 8 j y c 1i 1 j 8 k   133. Determinar el volumen en unidades cubicas del paralelepípedo construido sobre los vectores concurrentes a 4i , b 4 j y c m. j 4 k , donde “m” es un número real. 134. Se tiene un plano P cuya ecuación es: 2 x + 2y - 3 z – 20 = 0. Determine el vector unitario perpendicular al plano. 135. Se tiene un plano P cuya ecuación es: 3x + 4y +12z – 20 = 0. Determine el vector unitario perpendicular al plano. 136. Descomponer el vector a 10 i 10 j 4 k  en dos componentes rectangulares en las direcciones perpendicular y paralela al plano P cuya ecuación es: 6x +3y +2z – 11= 0. 137. Una fuerza F 20 i 10 j 30 k  (en newtons) actúa sobre un bloque que logra desplazarlo desde la posición A (2; 3; -4) hasta B (6; 4; -1). Determine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza sobre el bloque cuando se desplaza desde A hasta B. El trabajo se calcula multiplicado escalarmente la fuerza por el desplazamiento: WAF B F d AB Las coordenadas estas expresadas en metros y el trabajo se mide en joules jou les (J). 138. Una fuerza F 50 i 20 j 30 k  (en newtons) actúa sobre un bloque que logra desplazarlo desde la posición A (2; 0; -4) hasta B (6; 4; 0). Determine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza sobre el bloque cuando se desplaza desde A hasta B. Las coordenadas estas expresadas en metros y el trabajo se mide en joules (J).

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ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) 139. Se muestra un cuadriculado de lados igual a la unidad. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación:

r

a) F

a

b) I

a

r

r

b

c

b

c

r

d

c

r

r r r a • b+ a • c +b • c c) S = r r r

Para el problema 139

a+b+c

d) Y a b c d b c r

f) A

a

b d

b

c d

r

c

d

r

g) Sabiendo que a h) Sabiendo que d

m.b

i) Sabiendo que c

r

n.c , donde m y n son números reales. Determine m

r.b

s.c , donde r y s son números reales. Determine r

p.b

q.d , donde p y q son números reales. Determine  p

140. Se muestra un cuadriculado de lados igual a la unidad. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación:

r

a)

a

b)

a

r

r

c) Ζ =

c

b

c

r

a

b

d

r

d

a+b+c

r

c

r

c d

r

a

r r r r a b a c a d e) ∆ r r r r r r b c b d c d r r r

f) α 

q

d

r r r r r

a b

a

b

c

n

s

a • b+ a • c +b • c

r

d) Ω

r

b

a

d

r r r r r r r r r r

a b a c a d

e) C

1

b

d

c

Para el problema 140

d

g) Sabiendo que a m.b n.c , donde m y n son números re ales. Determine m

n

h) Sabiendo que d r.b s.c , donde r y s son números reales. Determine r

s

i) Sabiendo que c p.b q.d , donde p y q son números reales. Determine  p

q

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ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) 141. Se muestra un cubo de arista igual a la unidad de medida. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación:

Z

b

r

a) α 

a

b) β 

a

r

b

c

b

c

r

b

r

r

b

r

a+b+c

c) δ = r r r r r r a • b+ a • c +b • c r r r d) Y a b c a

a

 Y

e) φ 

c

a b a c b c

r r r r r r

a a r

a

r

X

f)  µ 

r

b c compara con

a

b

c c

r

b a

Para el problema 141

g) El resultado de a

b b

r

c r

b

a r

c

c ¿son iguales?

142. Se muestra un cubo de arista igual a la unidad de medida.

r

a) Calcular: a

r

b) Calcular: a

r

b

c

Z

r

2b

3c

r

c) Determine el vector unitario de: a

r

d) Determine el vector unitario de: a

r

a

e) Reducir:

b

c

r r

a

r

a

f) Reducir:

r

b

r

a

c

b

a

r

c

b

b

r

b

 Y

c

r

c

b

r r

b

c

X

c

r

Para el problema 142

r

a−b+c g) Reducir: Ζ = r r r r r r a • b+ a • c −b • c

r

r

b

h)

r r r c b a r r r r r r

a

Ω

b

c

a a

i) ∆

r

 j) α 

b b

c c

r r r r c a c b r r r r r r

a b

b b

r

a

b

r

a

a a b

r r

b

c c

r

c

c

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ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) A

k) El resultado de a

b c compara con

a

b

c ¿son iguales?

143. Se muestra un sistema de vectores. a) Expresar el vector   AC  en función de los vectores   AB y AD .

b) Expresar el vector  AD en función de los vectores   AB y AC . c) Expresar el vector  AB en función de los vectores   AD y AC . D Taller Número 1 Pregunta Nº 1

C 2

B 3

Para el problema 143 Responde las siguientes preguntas, justificando su respuesta. a) Se tienen dos vectores A y B. ¿Es posible que el módulo de la suma de dichos vectores sea menor que el módulo de cualquiera de ellos? ¿Cómo? b) El módulo módulo de la suma suma de dos dos vectores vectores siemp siempre re es menor menor o igual igual a la suma suma de los módulos de dichos vectores. ¿Es esto correcto? c) La casa de las pastas vende una pizza de 8 pulgadas de diámetro a 20 soles. Si escoges un sector de ella que vale 5 soles, ¿cuánto mide la superficie del pedazo de pizza que escogiste (en cm2)? (Dato: 1pulgada = 2,54 cm) d) Un leopardo leopardo en carrera carrera puede puede alcanzar alcanzar una velocida velocidad d de 100 km/h. En contraste, contraste, un caracol puede alcanzar una velocidad de 1,8 mm/s. ¿Cuántas veces más rápido es el leopardo con respecto al caracol?

Pregunta N° 2 Se tienen los siguientes los vectores: a, b, x, y, z y u, y se sabe que en el paralelogramo OPSV se cumple que 2PQ = QR = 2RS y 2ST = TU = 2UV. a) Hallar (x + y) y (z + u) en función de a y b.  b) Hallar (x − z + y − u) en función de a y b. c) Hallar el módulo de ( x + y + z + u), sabiendo que los módulos de a y b son 10 y 6 unidades, respec respectiv tivame amente nte,, y que el ángulo ángulo obtuso obtuso del   par paral alel elog ogra ramo mo mide mide el dobl doblee de su ángu ángulo lo agudo. Pregunta Nº 3

El peso P de un cuerpo de masa m se puede calcular multiplicando la masa del cuerpo por el valor de la aceleración de la gravedad g, esto es: P = mg. En el Sistema Inglés la masa se mide en slug, la aceleración en pie/s 2 y el peso en libras (lb). En el Sistema Internacional la masa se mide en kg, la aceleración en m/s 2 y el peso en newtons (N). Además se sabe que en el Sistema Inglés se cumple que 1 lb = 1 slug x pie/s 2, mientras que en el Sistema Internacional se tiene que 1 N = 1 kg x m/s 2. La equivalencia entre las unidades de peso de los dos sistemas es: 1 lb = 4,448 N, y la equivalencia entre las unidades de longitud es: 1 pie pie = 0,30 0,3048 48 m. Cons Consid ider eran ando do que que la acel aceler erac ació ión n de la grav graved edad ad en el Sist Sistem ema a 2 Internacional es g = 9,81 m/s , determinar: a) La aceleración de la gravedad (en pie/s2). b) La equivalencia equivalencia entre las unidades unidades de masa masa de los dos sistemas. un tractor (de transporte transporte de cohetes) cohetes) cuyo cuyo peso es de 4,9 x 10 6 c) La masa (en slug) de un libras. d) ¿cuántos automóviles de 106 g de masa suman una masa total igual a la del tractor? Pregunta Nº 4 Dos motociclistas parten desde un mismo punto, recorriendo las siguientes rutas: El primero se dirige 8 km hacia el norte, luego gira 65° en sentido antihorario recorriendo 10 km, para finalmente girar 140° en sentido

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ANÁLISIS VECTORIAL (Coquito va a la Universidad) horario y recorrer 12 km. El segundo se dirige 9 km hacia el este y luego gira 45° en sentido antihorario recorriendo 7 km. a) ¿A qué qué distancia distancia se encuen encuentra tra cada cada uno uno del punto punto de partida partida??  b) ¿A qué distan distancia cia se encuen encuentran tran entre entre sí los los dos motociclist motociclistas? as? c) ¿Qué ángulo ángulo tendría tendría que girar girar el segundo segundo motociclis motociclista, ta, y en qué sentido sentido,, para alcanzar alcanzar al primer  primer  motociclista en un tercer tramo recto de recorrido?

Pregunta Nº 5 El goleador del equipo del Manchester necesita sólo de 3 toques para marcar un gol. El primer toque (desde el origen O) mueve la pelota 120 pies al norte, el segundo toque 60 pies al noreste (N 45º E) y el tercer toque 30 pies al noroeste(N 45º O). Determina la distancia que recorrería la pelota y el ángulo del lanzamiento con respecto a la horizontal para que el lanzamiento sea en un solo toque. Asume que el jugador patea desde el origen O y la pelota llega exactamente al mismo punto de ingreso al arco que en la jugada de 3 toques. Da tu respuesta en forma analítica y gráfica. Nota: 1 pie = 12 pulg y 1 pulg = 2,54 cm Pregunta Nº 6 A. Cuando una gota de aceite se esparce en una superficie de agua, la película de aceite que se forma es aproximadamente de una molécula de espesor. Una gota de aceite de 9,0×10 -7 kg de masa y de 918 kg/m 3 de densidad se esparce dentro de un círculo de 41,8 cm de radio sobre una superficie de agua. ¿Cuál es el tamaño de una molécula de aceite? ( La ( La densidad se define como la masa total dividida por el volumen )

B.

Una esfera sólida de 2,5 m de diámetro se encuentra sumergida a gran profundidad en el océano. Se sube a la superficie y su radio aumenta en 10% debido al cambio en la presión del agua. Considerando que 1  pulgada equivale a 2,54 cm, se pide determinar el volumen de la esfera en la superficie (en pulgadas cúbicas).

Pregunta Nº 7

Un niño está buscando un tesoro enterrado. Su mapa le indica empezar en  A y moverse rumbo a B, pero solo la mitad de la distancia entre los dos puntos. Después debe caminar hacia C, cubriendo solo un tercio de la distancia entre B y C. Luego debe dirigirse a D, recorriendo un cuarto de la distancia entre C y D. Por último debe moverse hacia E, cubriendo un quinto de la distancia entre D y E, detenerse y cavar. Si el lado de un cuadrito cuadrito de la cuadrícul cuadrícula a del mapa represen representa ta 10 m, ¿a qué distanc distancia ia del punto punto A se

encuentra enterrado el tesoro?

144.

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