Sem_1_CD_2016-1_ERO__27956__

CALCULO DIFERENCIAL

Ing. Enrique Romero Osorio

FUNCION Dados dos conjuntos A y B, no vacios:  A= { x1, x2, x3, x4, …} y B= { y1, y2, y3, y4,….. } Una función “f” de A en B, f: A B , es el conjunto de pares ordenados (x,y) tales que a cada elemento “x” -que pertenece a A- , le corresponderá uno y solo un elemento “y” -que pertenece a B- a través de la condición “f”. Nota: En una función, no puede haber pares ordenados donde se repita el valor de “x”, salvo que se trate del mismo par NOTACION:

f: A  B

f = { (x, y) / x ∈ A 

y∈B}

Dominio de una Función: ( Df)

Es el conjunto de los primeros elementos “x” de los pares ordenados de la función

Rango de una Función: ( Rf)

Es el conjunto de los segundos elementos “y” de los pares ordenados de la función. Ejemplo: Dados los conjuntos: A= {1, 3, 4, 5, 6} y B= {2, 5, 8, 10, 11} Hallar la función f: A B, tal que: f = {(x, y) / y=2x} Solución:

A

B f

1 3 4 5 6

f = { (1,2), (4,8), (5,10) } 2 5 8 10 11

Dominio y Rango de “f”: Df = {1, 4, 5 } Rf = { 2, 8, 10 }

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Ing. Enrique Romero Osorio

Ejercicios: Determinar cual o cuales de los siguientes conjuntos de pares ordenados (x,y) pertenecen a una función. A = { (1,5), (-1,1), (125,253), (4,11), (3/8,30/8), (-2/5,13/15) } B = { (1,5), (4,11), (125,253), (1,8), (3/8,30/8), (-2/5,13/15) } C = { (1,5), (-1,1), (0,3), (4,11), (3/8,30/8), (-2/5,13/15) } D = { (1,5), (5,13), (13,29), (29,61), (61,125), (125,253) } FUNCION REAL DE VARIABLE REAL Una Función Real de variable Real es una correspondencia “f” que asocia números reales con números reales (f: R R). NOTACION:

f: R  R

f = {(x, y) / x ∈ R

R

 y ∈ R}

R

f Conjunto de partida (Dominio)

Conjunto de llegada (Codominio)

“ f ” es una función real de variable real, porque su conjunto inicial es Real y su conjunto final también es Real. En general, cuando tengamos una función “f(x)”, esquemáticamente lo que tenemos es:

f x Variable Independiente

y=f(x)

Imagen de “x”

Variable dependiente

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Ing. Enrique Romero Osorio

Todos los puntos (pares ordenados) que pertenezcan a la grafica de la función son de la forma:

( x, y ) = ( x, f(x) ) Tener en cuenta las siguientes consideraciones:  El Dominio “Df” estará dado por todos los valores admisibles de “x” (valores tales que y= f(x) exista). Recordar dos aspectos importantes:  La división entre cero no existe  La “raíz de índice par” de números negativos no está definida como un valor real.  El Rango “Rf” estará dado por todos los valores de “y” (y = f(x)) evaluados en el Dominio de la función.

FUNCIONES ESPECIALES: Funciones Polinómicas: f(x)=anxn+an-1xn-1 +...+a1x+a0



Df = x ∈ R

El Dominio será todos los reales, dado que no hay ninguna restricción para “x” 

f(x) = 3x+1

=>

Df = x ∈ R



f(x) = 5x2+3x-1

=>

Df = x ∈ R

Funciones Racionales: f(x)=

p ( x) q( x)

Donde p(x) y q(x) son polinomios

Df = Todo “x” donde p(x) y q(x) estén definidas a la vez y q(x) 



x4 => x5 x2 f(x) = 2 => x  9 x  20

f(x) =

x-5

0

 0 , x  5 => Df = x ∈ R - 5

x 2  9 x  20  0 , (x-4) (x-5)

x-4  0 ,

x-5  0

 0 => x  4 y 5 Df = x ∈ R -  4;5  Pág. 3

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Ing. Enrique Romero Osorio

Funciones Irracionales: f(x) =



f(x) =



f(x) =



f(x) =



f(x) =

n

x6 x7 x  11 3

n: Impar  Df = Todo “x” donde p(x) este definida n: Par  Df = Todo “x” donde p(x) este definida y p(x) > 0

p ( x)

x 8

x7 5 x3

=> x-6 > 0 ,

x>6

=> Df = x ∈ 6,

=> x-11 > 0 ,

x > 11

=> Df = x ∈ 11,

no hay restricción para x x-3

=> Df = x ∈ R

 0 , x  3 => Df = x ∈ R - 3

También las funciones suelen expresar información de distintos temas, como: Físicos, Económicos, Geométricos, Demográficos, Sociales, etc.  Recorrido de un móvil en función del tiempo: E (t )  5t 2  15t  1 q  100  Ecuación de Demanda: P(q)  6  (Monopolio para más de 100 5 artículos) 3 2  Área de un triangulo equilátero de lado “L”: A( L)  L 4 2  Incremento de población en una ciudad en “t” años: P(t )  3.1  (0.1)t  Nivel de Monóxido de Carbono (CO2 ) en partes por millón (ppm) en una ciudad con “p” miles de habitantes: C ( p) 

p2  17 2

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Ing. Enrique Romero Osorio

PROBLEMAS: Funciones, Dominio y Rango Problema 1: Si “f” representa una función, encontrar los valores de “m” y “n” : f = {(3, 2m+3n), (-1,6), (m+n,3), (3,4), (2,2m-n), (2,-4)} Problema 2: El volumen de una caja cerrada de base rectangular es de 10 m3 , además el largo de la base es el doble de su ancho. Expresar el Área total de la caja en función del ancho de la base. Problema 3: Los lados no paralelos y la base menor de un trapecio isósceles miden 10 cm cada uno, encontrar el área del trapecio en función del cuarto lado “x”. Problema 4 Hallar el Dominio ( Df ) y Rango ( Rf ) de de las siguientes funciones: 4.1) f(x) =

x4 x5

4.3) f(x) =

x2 +

4.5) f(x) =

x2 x2

9  x2

4.2) f(x) =

3 x

4.4) f(x) =

16  x 

4.6) f(x) =

x2  x 1 x 2  2 x  24

2

Problema 5: Si; f(x) =

x2 x2  4

encontrar:: ( Rf - Df )

Problema 6: Una playa de estacionamiento en la Av. Arequipa cobra S/. 2 por la primera hora y S/. 1.5 por cada hora adicional. Encontrar el costo del estacionamiento como una función del número de horas estacionadas. Problema 7: Junto a un largo muro de ladrillo, se construirá un jardín rectangular que estará circundado por los otros tres lados por una cerca. Si el perímetro de la cerca es de 100 metros, expresar el Área del jardín como una función de la longitud “x” del lado sobre la pared de ladrillo. Determinar también su Dominio y Rango.

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Ing. Enrique Romero Osorio

FUNCIONES ESPECIALES 1)

Función Constante:

f(x) = C

Ejem. 1: f(x) = 2

(C= Constante) Ejem. 2: f(x) = - 2 y

y 2

x -

2

x Df = R Rf = {2}

2)

Df = R Rf = {- 2 }

Función Signo: f ( x )  Sgn ( x )  1  f ( x )  Sgn( x )   0  1 

si si si

x0 x0 x0

3) Función escalón unitario 1 f ( x )  Ua ( x )  U( x  a )   0

y

xa xa

y

1

1 0 -1

Df = R Rf = {-1, 0, 1}

si si

x

a

x

Df = R Rf = {0, 1}

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4)

Ing. Enrique Romero Osorio

Función Identidad:

x -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x)= x -2 -1 0 1 2 3 4 5

5)

f(x) = x 6 5

f(x)= x

4 3

Df = R Rf = R

2 1 0 -3

-2

-1 -1 0

1

2

3

4

5

6

-2

Función Lineal:

f(x) = mx m: Pendiente de la Recta y  y1 m 2 x 2  x1 Si: m>0 => La función es creciente Si: m La función es decreciente

f(x) = mx

y

P 2 (x 2 , y 2 ) P 1 (x 1 , y 1 )

Df = R ,

Rf = R

x Ejem 1. x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Graficar: f(x)=2 x -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

f(x) = 2x

(m= 2)

12 10

f(x)= 2x

8

Df = R Rf = R

6

4 2

0 -3

-2

-1 -2 0

1

2

3

4

5

6

-4

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6)

Ing. Enrique Romero Osorio

Función Lineal Afín:

y

f(x) = mx + b

m: Pendiente de la Recta b : Intercepto de la Recta con el eje “y”

f(x) = mx + b

Df = R ,

Rf = R

b x Ejem. 1.

Graficar:

x f(x)= 2x+1 -3 -5 -1 -1 -2 -3 0 1 1 3 2 5 3 7 4 9

f(x) = 2x + 1

(m=2, b=1)

11

f(x)= 2x+1

9

7

Df = R Rf = R

5

3 1 -4

-3

-2

-1

-1

0

1

2

3

4

5

-3

-5

Ejem.2

Graficar:

x f(x)= -x+3 -2 5 -1 4 2 1 0 3 1 2 2 1 3 0 4 -1

f(x) = - x + 3

(m= -1 , b=3)

6

f(x)= - x+3

5 4

Df = R Rf = R

3

2 1 0 -3

-2

-1

-1 0

1

2

3

4

5

-2

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Ejem.3

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Graficar:

{

-x+1 , x > 1 3x , 0< x 0 -x , x 0

Si: a < 0

La Parábola se abre hacia arriba (Cóncava)

La Parábola se abre hacia abajo (Convexa)

Ejem.1

Graficar: f(x) = x2+4x-2

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Ing. Enrique Romero Osorio

f(x) = ax2+bx+c

Análisis de la función cuadrática:

Las coordenadas del vértice de la parábola están dadas por:

b x 2a

,

(b 2  4ac) y  f ( x)   4a

Nota: (x,y)

y

a>0

, y = f(x) es el valor mínimo de la función

a0 y diferente de 1)

Ejem: f(x) = 2x x -3 -2 -1 0 1 1.5 2 3

4.50 4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0.00

f(x) = 2x 0.13 0.25 0.50 1.00 2.00 2.83 4.00 8.00 -4

-3

-2

-1

f ( x)  2 x Df = R Rf = 0, La función tiene una asíntota en: y=0 0

1

2

3

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Ing. Enrique Romero Osorio

Ejemplo de crecimiento exponencial Algunos tipos de bacterias se reproducen por "mitosis", esto significa que la célula se divide en dos cada intervalos de tiempo muy pequeños, en algunos casos cada 15 minutos. ¿Cuántas bacterias habrán en estos casos, a partir de una, en un día? 296 = 7,9 · 1028 Caso particular: e = 2.718281828…,  f(x) = ex 12

x -2 -1 0 1 1.5 2 3

x

11

f(x) = e 0.14 0.37 1.00 2.72 4.48 7.39 20.09

10 9

f (x)  ex

8

Df = R Rf = 0,

7 6 5

4

La función tiene una asíntota en: y=0

3 2 1 0

-3

11)

-2

-1

0

1

2

3

4

f(x) = Ln x, en donde x >0

Función Logaritmo Natural (Neperiano):

y= Ln x  ey = x x 0.01 0.10 0.15 0.20 0.25 0.5 1 2 2.72 4 8 16 32

f(x) = Ln x -4.61 -2.30 -1.90 -1.61 -1.39 -0.69 0.00 0.69 1.00 1.39 2.08 2.77 3.47

4

Df = 0, Rf =  ,

f (x)  Ln x

3

2 1 0 -1

0

-2

1

2

3

4

5

6

7

e

-3

La función tiene su asíntota en: x=0

-4 -5

Nota: Ln Ax = x (Ln A),

Ln e = 1 

Ejem. Resolver:

ex-3 = 2 Pág. 13

CALCULO DIFERENCIAL

Ing. Enrique Romero Osorio

PROBLEMAS: En los siguientes problemas, Graficar la función “f” , determinar su Dominio y Rango 1)

f(x) = 3x + 2, x ∈  2,2

Para los problemas de este tipo, seguir el siguiente método práctico: a) Reemplazar los valores extremos de “x” en: f(x) Como: x ∈  2,2 e, y= f(x) = 3x + 2, tendremos:

Con, x= -2,  Con, x= 2, 

y= f(-2)= 3(-2)+2= -4 y= f(2)= 3(2)+2 = 8

b) Las parejas de valores encontrados serán los puntos (x,y) extremos de la función: (-2,-4) y (2, 8) ¡?=)(/&&%$# c) El grafico dependerá del tipo de ecuación dada

para la función En este ejemplo, la ecuación presentada es: Una Recta (cruza al eje vertical en: y=2).

2)

si x  0  2x  1  f ( x)   2 si 0  x  4   0.5 x  3 si x  4 

3)

 2 x  f ( x)   x 2  2 2 x  1 

si

x  2

si si

2 x3 x3

Para los problemas con Valor Absoluto, seguir el siguiente método práctico: a) b) c)

Igualar a Cero (0) lo contenido dentro de los Valores Absolutos para encontrar los valores críticos (V.C.) de “x” Representar los V.C. de “x” en la Recta numérica y evaluar la función “f(x)” en cada intervalo. Lo encontrado en cada intervalo equivale a f(x) f(x) = x  2 + x  1 -2x

4)

f(x) = x  2 + x  3

6)

Encontrar: a, b, c, d, Df y Rf , en la siguiente función “f”:

5)

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 ax  b c  f ( x)    2 x  d  f (4)

si si si si

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x  1 1  x  1 1 x  4 x4

Además:  f(-1) = 1/2 y f(1/2) = 1/2  f(x) intercepta al eje “x” en: x = -2 y x = 5/4

6) Los biólogos han determinado que en condiciones ideales el numero de bacterias “y” en un determinado cultivo, crece exponencialmente de acuerdo al siguiente modelo: y = Aekt, donde “t” es el tiempo transcurrido en minutos. Si al principio hubo 2000 bacterias y 20 minutos después hay 6000, Cuantas bacterias habrán al final de una hora? 7) La depreciación de una maquina es tal que luego de “t” años, su valor esta dado por la siguiente función: D (t) = Do e-0.04t, donde Do es el valor inicial. Luego de 20 años, la maquina tiene un valor de US$ 8,986.58. Cuál fue su valor inicial? 8) El número de personas que visitaran un museo de aquí a “x” años esta á dado por la función: f(x) = 30x2-120x+3000. Cuando se registrara el menor número de visitantes y cuantos serán? 9)

El ingreso y Costo totales por la venta de un producto está dado por: It = 10x – 0.5 x2 y Ct = 10 + x respectivamente. Para que valor de “x” se obtiene la máxima ganancia? 10) a)

Determinar si las siguientes funciones son: Par, Impar o ninguna de ellas: 4

2

f(x) = 3x - 2x + 5

b)

5

f(x) = x - 3x

3

c)

f(x) =

x2 1 x 2

11) f(x) La acidez de un producto se representa por la función cuadrática “ f(x)” adjunta, donde “x” es el tiempo en meses desde el día en que se envasó el producto. Encontrar la función f(x), su Dominio y cuando tendrá su máxima acidez.

4

1 2

3

x

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