Sem05_ecuacion de La Parabóla

COMPLEMENTO MATEMÁTICO

LA PARÁBOLA

CASO APLICATIVO APLICATIVO Cuál es la distancia que separa el centro de un túnel con forma de arco parabólico y altura máxima de 18 mts. Con respecto del túnel de sujeción de una señal colocada a una altura de 10 mts. El túnel tiene una luz total de 24 mts.

LOGRO DE SESIÓN Al fina finali lizzar la sesi sesión ón el estu estudi dian antte iden identi tifi ficca y graf grafic ica a los los comp compon onen ente tess de la par parábol ábola a así así como como plan plante tea a y resue esuelv lve e prob proble lema mass de cont contex exto to real real rela relaci cion onad ados os a su espe especi cial alid idad ad haciendo uso de la teoría de la ecuación de la parábola.

Saberes Previos



Ecuaciones



Ecuaciones de segundo grado

TEMARIO 

DEFINICION DE LA PARABOLA



ECUACIONES: 

ECUACIÓN CANÓNICA Sobre el eje “x” Sobre el eje “y”



ECUACIÓN ORDINARIA Sobre el eje “x” Sobre el eje “y”



ECUACIÓN GENERAL

LA PARABOLA Definición:  Una parábola es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija l   llamada  directriz , situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo F

llamado foco y que no pertenece a la recta.

ELEMENTOS DE LA PARABOLA

LA PARABOLA

Ecuación Canónica con eje vertical (arriba) 

La ecuación de una Parábola con sobre el y en el punto  x

    

2



4 py,

p

Abre hacia arriba Vértice: (0, 0) Foco: (0, ) Longitud del Lado Recto:   = |4| Ecuación de la Directriz:  = – 

en el con 

0

, es:

GRÁFICA:

L(–2p, p)

F(0, p)  LR



R(2p, p)

4p

V(0, 0)

 y

 

p

Ejemplo: Hallar la ecuación de la parábola con V(0; 0) y foco F(0;2) y bosqueje su gráfica.

Solución: puesto que el foco es F(0;2), se concluye que p = 2 (y por lo tanto, la directriz es y = -2) Así, la ecuación de la parábola es   = 4   = 2  = 4 2    = 8 Puesto que p=2 > 0, la parábola abre hacia arriba. Y su grafica quedaría así:

Ejemplo: Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es F(0 , 3/2) y cuya directriz es la recta  l  : 2y + 3 = 0.

Ecuación Canónica con eje vertical (abajo) 

La ecuación de una Parábola con sobre el y en el punto  x

    

2



4 py,

Abre hacia abajo Vértice: (0, 0) Foco: (0, ) Longitud del Lado Recto:   = |4| Ecuación de la Directriz:  = – 

en el con p



0

, es:

GRÁFICA:  y

 

p

V(0, 0)

L(2p, p)

F(0, p)  LR



4p

R(–2p, p)

Ejemplo: Encuentre el foco y la directriz de la parábola y = −  y bosqueje su gráfica.

Solución: Para hallar el foco y la directriz, se escribe en forma estándar la ecuación   = −. Comparando esto con la ecuación general   = 4, se puede observar que 4 = −1, por lo tanto  = −1/4. Así, el foco es F(0, -1/4) y la directriz es y=1/4. La grafica de la parábola, junto con el foco y la directriz son:

Ecuación Canónica con eje horizontal (derecha) 

La ecuación de una Parábola con sobre el y en el punto  y

    

2



4 px,

p

Abre a la derecha Vértice: (0, 0) Foco: (, 0) Longitud del Lado Recto:   = |4| Ecuación de la Directriz:  = – 

en el con 

0

, es:

GRÁFICA:  x

 

L(p, 2p)

p

V(0, 0)

F(p, 0)  LR



R(p, –2p)

4p

Ejemplo: Encuentre la ecuación de la parábola con vértice V(0; 0) y foco F(5; 0) y bosqueje su gráfica.

Solución: Puesto que el foco es F(5;0), se concluye que p = 5 (y por lo tanto, la directriz es x =  –5 ) Así, la ecuación de la parábola es   = 4   = 5  = 4 5    = 20 Puesto que p=5 > 0, la parábola abre hacia la derecha. Y su grafica quedaría así:

Ejemplo: En cierta parábola la distancia del vértice al foco F es 1. P es un punto de la parábola que dista 5 unidades del foco. Q es la proyección de P sobre la directriz. R es la intersección de la directriz con el eje x. Hallar  el área del cuadrilátero PQRF.

Ecuación Canónica sobre “y” (izquierda) 

La ecuación de una Parábola con sobre el y en el punto  y

 

2



4 px,

p

Abre a la izquierda Vértice: (0, 0)

   Foco: (, 0)  

Longitud del Lado Recto:   = |4| Ecuación de la Directriz:  = – 

en el con 

0

, es:

GRÁFICA: L(p, –2p)

F(p, 0)  LR



4p

R(p, 2p)

 x

V(0, 0)



p

Ejemplo: Hallar la ecuación de la parábola con V 0,0 y foco F  2, 0

Ecuación Ordinaria de la Parábola (Vertical)

 x



h

2 

4p

y



k 

 >     

Abre hacia arriba Vértice: (ℎ, ) Foco: (ℎ, + ) Directriz:  = –  + 

 <     

Abre hacia abajo Vértice: (ℎ, ) Foco: (ℎ, + ) Directriz:  = –  + 

Ejemplo: Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola:

( x 1) 

2



4( y 4) 

Ejemplo: Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola: ( + 2) = 8( − 4)

Ejemplo: Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola: ( − 1) = −2( − 2)

Ecuación Ordinaria de la Parábola (Horizontal)

 y



k

2 

4p

x



h

 > 

 < 

 Abre a la derecha

 Abre a la izquierda

 Vértice: (ℎ,)

 Vértice:

 Foco: (

+ ℎ,)  Directriz:  = –  + ℎ

(ℎ, )  Foco: ( + ℎ,)  Directriz:  = –  + ℎ

Ejemplo: Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola:

( y 2)2 

8( x 1)

 



Ejemplo: Hallar la ecuación de la parábola, si se dan el foco F(5 , 2) y la directriz l: x -3 = 0.

Forma General de la Ecuación de la Parábola. Eje HORIZONTAL:  y Eje VERTICAL:

 x

2

2





 Dx   Ey  F   0

 Dx   Ey  F   0

Ejemplo: Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola:  x

2



6x



4y



5



0

Ejemplo: Dada la ecuación de la parábola: : hallar todos sus elementos y esbozar su gráfica.

3  − 30 + 24 + 43 = 0,

Ejemplo: Hallar los elementos de la parábola de eje horizontal que pasa por los puntos A(3 , 3), B(6 , 5) y C(6 , -3). Esbozar su gráfica.

 Aplicación de la Ecuación de la Parábola. Las parábolas tienen una propiedad importante que las hace útiles como  reflectores para lámparas y telescopios. La luz de una fuente colocada en el foco de una superficie   con sección transversal parabólica se   reflejará   de tal forma que viaja paralela al eje de la parábola. Así, un espejo parabólico  refleja  la luz en un haz de rayos paralelos. Por el contrario, la luz que se aproxima al   reflector   en rayos paralelos a su eje de simetría es concentrada al foco. Esta propiedad de   reflexión, que se puede demostrar por medio de cálculo, se emplea en la construcción de telescopios  reflectores.

Ejemplo: Hallar el punto focal de un reflector   proyector. Un proyector tiene un reflector parabólico que forma un “tazón” que mide 12 pulgadas de ancho de  borde a borde y 8 pulgadas de profundidad, como se ilustra en la figura. Si el filamento del bombillo se localiza en el foco, ¿Qué tan lejos del vértice del reflector está? Solución: Se introduce un sistema de coordenadas y se coloca una sección transversal parabólica del reflector de modo que su vértice esté en el origen y su eje sea vertical. Entonces la ecuación de esta parábola tiene la forma   = 4. Considerar  que el punto (6; 8) se encuentra sobre la parábola y la empleamos  para hallar p. El punto (6; 8) satisface la ecuación   = 4 6 = 4(8) 36 = 32 9 = 8 El foco es F(0; 9/8), de modo que la distancia entre el vértice y el 







foco es  = 1  pulg. Debido a que el filamento está colocado en 

el foco, se localiza a 1  pulgadas del vértice del reflector.

Ejemplo: Las dos torres de suspensión de un puente colgante distan entre sí 300 m. y se extienden 80m por encima de la calzada. Si el cable (que tiene la forma de una parábola) es tangente a la calzada en el centro del puente, determinar la altura del cable por encima de la pista a 50m y también a 100m del centro del puente. (Asumir que la pista es horizontal)

Solución: