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SEMINARIO MAGISTRAL DE MATEMÁTICA BÁSICA Inecuaciones cuadráticas 1. Una compañía de bienes raíces es propietario del conjunto de departamentos Parklane, el cual consiste en 96 departamentos, cada uno de los cuales puede ser rentado en $550 mensual. Sim embargo, por cada $25 mensuales de aumento en la renta, se tendrán tres departamentos desocupados sin posibilidad que se renten. La compañía quiere recibir ingresos mensuales superior $54 600. a) Exprese el ingreso que dependa del precio de renta de cada departamento. b) ¿Cuál debe ser el precio de renta mensual de cada departamento? Solución: Sea x: número de incrementos de $25 sobre el precio de renta actual. Por inducción, observe el cuadro adjunto. Precio (p)

Actual Mas $1 de incremento Mas $2 de incremento 

Nuevo

Nùmero de departamentos 96

$ 550 550  25(1) 550  25(2)

96  3(1) 96  3(2)



$ (550  25x)



(96  3x)

a) Ingreso=(Precio de renta ).(Número de departamentos)

I  (550  25x)(96  3x) Precio de renta de cada departamento = p  (550  25 x) 

x

p  550 … (1) 25

Usando (1) y sustituyendo en la ecuación de ingreso:

p  550 )) 25  2400  3 p  1650  I  p  25    4050  3 p  I  p  25   El ingreso depende del precio de renta de cada departamento I  p (96  3(

b) ¿Cuál debe ser el precio de renta mensual de cada departamento? Si compañía quiere recibir ingresos mensuales superior $54600. Nos piden que I  54 600

 4050  3 p   I  p   54 600 25  



 3 p 2  4050 p  1365000   3 p 2  4050 p  1365000  0



p 2  1350 p  455000  0  ( p  650)( p  700)  0

Respuesta: Así, la renta por cada departamento debe ser $675. 2. http://www.youtube.com/watch?v=gLhVlNd_4IA 3. Una agencia de e viaje local organiza un vuelo chárter a un centro vacacional bien conocido. El agente cotizó un precio de $300 si 100 personas o menos contratan el vuelo. Por cada persona por encima de la 100, el precio para todos bajará $2.50. Suponga que x equivale al número de personas por encima de los 100. Si cada unidad tiene un costo de $/. 200 entonces: a) Exprese la utilidad que dependa del precio de venta. b) ¿Cuál sería el nivel de precio de venta de modo que se obtenga ganancia?

Solución: Sea x el número de incrementos de personas por encima de los 100. Observar el cuadro adjunto.

Actual Nuevo

p  precio 

q cantidad 

$ 300 $ 300  2.5x

100

El nuevo precio está dado por p  300  2.5 x

100  x

 x  120 

2 p 5

Nos pide hallar la ganancia que dependa del nuevo precio, es decir U  I  C

 U  pq  200q  U  ( p  200)q  U  ( p  200)(100  x)

 U  ( p  200)[100  (120   U  ( p  200)(220 

2 p)] 5

2 p) 5

2  U  ( p  200)( p  220) 5 a) Por tanto la ganancia que depende del precio está dado por la igualdad

2 U  ( p  200)( p  220) 5

b) Nos piden ganancia. Es decir: U  0

2  ( p  200)( p  220)  0 5

2 ( p  200)( p  220)  0 5  p  200  p  550

+ –

– 200

+ 550

+

CS   200 , 550  El nuevo precio fijado deberá ser mayor $200 y menor de $550, para obtener utilidad. 4. http://www.youtube.com/watch?v=5u_wOYoQRUQ&list=PLGdNPv_jMmaJ8bl4Q_jJ12h140k8SaBO

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 5. Es posible medir la concentración de alcohol en la sangre. Investigaciones médicas recientes sugieren que el riesgo R (dado como un porcentaje) de tener un accidente automovilístico se modela mediante la ecuación :

Donde x es la concentración variable de alcohol en la sangre y k una constante. a) Suponga que una concentración de alcohol en la sangre de 0.04 produce un riesgo del 10% de sufrir un accidente. Determine la constante k de la ecuación. b) Utilice el valor de k e indique cual es el riesgo si la concentración es de 0.17 c) Con el mismo valor de k encuentre la concentración de alcohol correspondiente a un riesgo del 100%. d) Si la ley establece que las personas con riesgo de sufrir un accidente del 20% o mayor no deben manejar. ¿Con cuál concentración de alcohol en la sangre un conductor debe ser arrestado y multado? Solución: a) Para una concentración de alcohol en la sangre de 0.04 y un riesgo del 10% Haga x=0.04 y R=10 en la ecuación y resuelva para k:

b) Con k=12.77 y x=0.17 en la ecuación determinamos que el riesgo es:

c) Con k=12.77 y R =100 en la ecuación: determinamos la concentración de alcohol x en la sangre: (

)

d) Con k=12.77 y R=20 determinamos el valor de x:

(

)

Un conductor que presente una concentración de alcohol en la sangre a un nivel de 0.094 debe ser arrestado y multado. 6. http://www.youtube.com/watch?v=2lbDHoi5aDA 7. Un trabajador sin experiencia revisa 270 unidades por hora, de un producto; después de 6 meses de experiencia revisa 420 unidades por hora. Si se considera que puede alcanzar un tope de 600 unidades y el número de unidades por hora en términos del tiempo de experiencia en meses Q está dado por Q  B  A e  kt . Halle Q y con base en esa ecuación ¿Cuántas unidades por horas revisa al completar un año de experiencia? Solución: Un trabajador sin experiencia revisa 270 unidades por hora. Es decir, t=0 y Q= 270; entonces se tiene:

270  B  Ae k (0)  270  B  A

……………………. (1)

“ …después de 6 meses de experiencia revisa 420 unidades por hora”. Es decir, t=6 y Q= 420; entonces se tiene:

420  B  Ae6k

……………………. (2)

“ Si se considera que puede alcanzar un tope de 600 unidades …”. Es decir, Q=600 no importa el tiempo de experiencia que tenga el trabajador pues nunca superara esa

cantidad. Esto quiere decir que el término Ae kt 

A  0 (tiende a ser cero), por lo tanto ekt

se tiene:

600  B

……………………. (3)

Reemplazar (3) en (1) y se tiene:

A  330

……………………. (4)

Reemplazar (3) y (4) en (2):

420  600  330 e6k 330 e6k  180 6 11 6  11

e6 k  e6 k

Por lo tanto, la ecuación es:

Q  B  Ae kt



Q  600  330 e6 k



t 6

t

 6 6 Q  600  330    11  Finalmente el número de unidades revisadas por un trabajador con un año de experiencias es: 12

 6 6 Q  600  330    11  6 Q  600  330    11  5520 Q  502 11

2

8. http://www.youtube.com/watch?v=JW6rrsfK3F4

Sistema de ecuaciones lineales

9. Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:  El primero de 20 gr de oro, 30 gr de plata y 40 gr de cobre.  El segundo de 30 gr de oro, 40 gr de plata y 50 gr de cobre.  El tercero de 40 gr de oro, 50 gr de plata y 90 gr de cobre. ¿Qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 34 gr de oro, 46 gr de plata y 65 gr de cobre? Solución:   

x y y

Peso del primer lingote Peso del segundo lingote Peso del tercer lingote

F2  3F1  4F2 20 30 40 x  120 y  180 z  34  90  30 40 50  90 x  120 y  180 z  46  40 x  50 y  90 z  65 120 180  90



8 x  9 y  8 z  1224  8 9 8 1224       6 6 5 828  6 x  6 y  5 z  828 16 x  15 y  18 z  2340    16 15 18 2340 

F3  2F1  F3  8 9 8 1224   8 9 8 1224        0 3 4 360    0 3 4 360   x  39, y  64, z  42  0 3 2 108   0 0 6 252      F3  F2  F3

10. http://www.youtube.com/watch?v=EaUwVjTttjM 11. El dueño de una tienda comercial ha comprado camisas, pantalones y casacas por importe de 500 € (sin impuestos). El valor de la casaca es 60 € menos que el de las camisas y de los pantalones conjuntamente. Teniendo en cuenta que las camisas deben pagar un IVA del 6%, por los pantalones del 12% y por la casaca del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de 592.4 €, calcular la cantidad invert ida en cada tipo de ropa. Solución: x = Importe en € de las camisas. y = Importe en € de los pantalones. z = Importe en € de las casacas.

x=120 €

y=160 €

z=220 €

12. http://www.youtube.com/watch?v=EaUwVjTttjM

Aplicaciones de las relaciones binarias 13.Un paciente requiere una dieta estricta a través de dos alimentos: A y B. Se sabe que cada unidad de del alimento A contiene 120 calorías y 2 gramos de proteínas; la unidad del alimento B contiene 100 calorías y 5 gramos de proteínas. La dieta requiere como mínimo 1000 calorías y 30 gramos de proteínas. Si el precio de cada unidad del alimento A es de S/. 60 y de cada unidad del alimento B es de S/. 80, ¿Cuántas unidades de cada alimento debe contener la dieta; para que el costo sea el mínimo? Solución:

Sea “x” el número de unidades de A Sea “y” el número de unidades de B Objetivo: Maximizar el costo C( x, y)  60x  80y Restricciones Según los datos del problema se construye la siguiente tabla de doble entrada

Calorías Gramos de proteínas

ALIMENTOS A B 120 100 2 5

DIETA REQUIERE Mínimo 1000 Calorías Mínimo 30 gramos de proteínas

Luego, las restricciones son: 120x  100y  1000 6 x  5 y  50    2 x  5 y  30 2 x  5 y  30 x  ; y  0 x  ; y  0  

Graficando cada restricción en el primer cuadrante se tiene el siguiente gráfico.

Y

10

x 0 25/3 y 10 0

C

6

4

x 0 15 y 6 0 B

Los vértices son A 0

5

25/3

X

15

Luego, evaluando los vértices en la ecuación costo se tiene

C( ;0 10 )  ( )60(0 ) 80 10  800 C( 15 ; )0  ( 60 ) 15 ( )  80 0  900 C( ;5 )4  ( )60( 5)  80 4  620 La dieta debe contener 5 unidades del alimento A y de 4 unidades del alimentos B; para obtener el costo mínimo de S/. 620.

14.http://www.youtube.com/watch?v=EnL7pkxwBPY&list=PLGdNPv_jMmaJZVpcZvtcPWbFv9z qkPjQI

15.Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad que dedica a los coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son de 540 € por vagón de coches y 360 € por vagón de motocicletas, calcular cómo se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea máximo y cuánto vale dicho beneficio. Solución: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

x : númerodevagones paratransportar coches. y : númerodevagones paratransportar motocicletas. Objetivo maximizar el beneficio B( ;x )y  540x  360y Sean

Las restricciones vienen dadas por:

 x  y  27   x  12 R x  y 2   x; y  0 DESARROLLO DEL PROBLEMA: A. Región factible: Dibujamos las rectas auxiliares en el primer cuadrante, ya que tienen que ser valores positivos: 1) x  y  27 Región parte inferior. 2) x  12 Región parte derecha. 3) y 

x equivalente x  2y 2

Región parte superior. Por tanto la. región factible es lo relleno de rosado en el dibujo (ver figura abajo) B Vértices de la región factible:

A( 12 ; : )6 [Punto de intersección de las recta 2y=x; x =12] B( 18 ; :)9 [Punto de intersección de las rectas 2y =x; x+y=27] C( 12 ; 15 :) [Punto de intersección de las rectas x +y =27; x=12]

Evaluación: sustituir los vértices en el beneficio.

B( 12 ; )6 (540 ) 12( ) 360 6  8640 B( 18 ; )9 (540 ) 18( ) 360 9  12960 B( 12 ; 15 ) (540 ) 12( ) 360 15  11880

Luego se tiene que usar x  18; y  9 vagones para coches y motocicletas respectivamente

; )9  12960 euros. para que la compañía ferroviaria obtenga el máximo beneficio de B( 18 16.http://www.youtube.com/watch?v=yTrf7NKaZMQ&list=PLGdNPv_jMmaJZVpcZvtcPWbFv9z qkPjQI

Relaciones lineales y cuadráticas 17.Una empresa que se dedica a la producción de cierto artículo tiene costo fijo mensual de S/300 y un costo variable por unidad producida de S/10. Además, se sabe que su ingreso está dado por la siguiente expresión: I ( x)  0.1x 2  100 x, donde x es el número de artículos que se produce y vende la empresa mensualmente. a) Determine el costo total de la empresa en función de trazar la gráfica b) Determine la utilidad mensual de la empresa en función de x. c) Halle la utilidad que obtendrá la empresa si se produce y vende 200 artículos. d) Halle el número de artículos que debe producir y vender la empresa para obtener la máxima utilidad, y calcule la máxima utilidad. Solución: a) Costo total C en soles de producir x unidades al mes es: C= costos variables + costos fijos C= 10x+300

b)

La utilidad U está dada entonces por la diferencia entre el ingreso y el costo U= I-C

U ( x)  0.1x 2  100 x  (10 x  300)  0.1x 2  90 x  300 c)

U (200)  0.1(200) 2  90(200)  30  13700

Si se produce y vende 200 artículos, la utilidad será de S/13700. d)

Utilidad total U es una función cuadrática a=-0.1 b=90 c=-300

La gráfica de U es una parábola que se abre hacia abajo dado que a