segmentos proporcionais teorema de tales.docx

Prefeitura Municipal de Paracambi Escola Municipal Hortência Phirro do Valle Professora: Renata Ramalho Aluno(a):__________________ Aluno(a):___________________ _ n°: ______

3. FEIXE DE RETAS PARALELAS: PARALELAS: ⇒ Chama-se feixe de paralelas o conjunto de três ou mais

1. RAZÃO ENTRE SEGMENTOS: Sejam os segmentos  AB e CD :

retas paralelas de um plano. Se uma reta intercepta essas paralelas, ela se chama Transversal.

⇒

A

B

C

 AB e

CD será:

d

2cm

 AB

ou seja



5cm

CD e

♣  A razão entre CD

2

CD

5

♣  PROPRIEDADE:

será:

AB

CD

ou seja

2cm

transversal



5cm 

 AB

a b c

5 cm

♣  A razão entre

CD

r

D

2 cm

 AB

Turma:_____ 9° ano

Quando um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, então determinará segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.

5 

 AB

2

4. TEOREMA DE TALES: Definição: dois segmentos é o quociente entre as ⇒ A razão entre dois suas medidas, tomadas na mesma unidade.

⇒ Quando três retas paralelas são cortadas por duas retas

2. SEGMENTOS PROPORCIONAIS: Sejam os segmentos da figura:

☞

transversais, os segmentos determinados numa das retas transversais são proporcionais aos segmentos determinados na outra.

⇒

A

B

E

Veja a prova dessa dessa afirmação: s t A

F

2 cm

u

4 cm

C

D

G

u B u

H

3 cm

6 cm

a

v v E

b

v v F C

 2cm  AB    razão : CD  3cm CD

 AB

 4cm   EF     razão : GH   6cm GH 

 EF 

2

☞ Como

D v

U C u

Temos:

a // b // c

 AB

4 

3

6

; então

 EF  

CD

GH 

2 3

⇒ 4 6

é uma Proporção.

Medindo os segmentos  AB e temos:

 2u   AB  Então :     BC   BC   3u   BC   BC   AB

BC  na unidade

2 3

u,

1

⇒ Pelos pontos de divisão dos segmentos  AB e

BC  ,

traçamos paralelas às retas do feixe. Essas paralelas ☎ Lembrando: Numa proporção, o produto dos extremos

é igual ao produto dos meios. ☎ 

Assim:

2 3

4

e

26

6 

formam uma proporção, pois 3 4

 12

.

dividem  DE  e  DE   2v 

EF 

em segmentos congruentes .  DE 

    Então :  EF   3v   EF  ⇒ Comparando

1 e 2 , temos:

2 3

2

 AB

b)

 DE  

 BC 

 EF 

Exemplo 1: Calcular x, sabendo que

a // b // c .

2x  – 2

a

4

b

3x + 1

7 c

a 3

x b

12

c)

16

a

c x

9 b

Solução: 3

 x



12



12. x



3  16



12 x



x+2

48

12

16

c

48  x 



 x 

4

12

d) Exemplo 2: Calcular x, sabendo que a

b

a

b

a // b // c .

c x

6

c

1, 8

24 18

4

9 x e)

a

Solução: 9

10

18 

 x

b



18. x



9  24



18 x



c 6

216

24

x 4

216  x 



 x 

12

18

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. (FRANCO) Calcule x, sabendo que a) a x 3

a // b // c :

f) a x

5

b

8

4

b 7, 5

c

6 c

g)

Podemos concluir que :

☞

a

 AD

3

 AE  

 DB

6

x

 EC 

b

6

Exemplo 1: Calcule x, sabendo que

c

A

Solução:

2

X

2

 x



h)

E

a

4

F

4

b x

4. x



12 

 x 

c

a) 2. (FRANCO) Calcule x, y e z sabendo que b

c

A

a // b // c // d  :

8

20

10

E

d

F x

x 25

6

y

5

16

B

C

Resp: b)

A x

b)

a 9

x 4

12

2 y

c

4

d

5

E

3 b

z

F

x+4

7

B

C

Resp: c)

B 6

5. TEOREMA DE TALES NOS TRIÂNGULOS: ⇒

☞ 

E

Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo determina, sobre os outros dois lados, segmentos proporcionais.

4 A

Veja:

10

F

x

C

Resp: A

d)

4x + 1 A

D

E

3x 2 C

F

3 C

E B

3

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. (FRANCO) Calcule x, sabendo que

a

26

C

6

a)



6

B

10



6

4 x

8

 BC  // EF  :

B

 BC  // EF  :

Resp:

e)

B

C x

5. (FRANCO) Na figura, as retas a, b e c são paralelas. Então, o valor de x é: a b c a) 8 b) 10 8 6 c) 11 d) 12 4 x

2 E 2

F 1

1

4

A

1 2

Resp: TESTES 1. (FRANCO) Na figura  DE  // BC  . O valor de x é: A x

5

D

c) 12

d)

4x+1

3

2

2

a) 5 b) 6 c) d)

P 2

r

8

x

5

s 15

b)  AC  d)  AQ

5 10





 AB



15m ,  AD



6

8. (FRANCO) Na figura abaixo, o valor de x é:

10

 BC  e

5m e

 AE 

a) b) 6m . A c) d)

DE  são 

medida do segmento CE  é, em metros :

4 5 6 7

r // s x-3

x

A

s // t x+2

D

t



3 10

x-2

E

B C 4. (FRANCO) Na figura      , Quanto vale x ?

c)

5

C

paralelos,

a) 10 b) 5

1

2

4

3. (FRANCO) Na figura, os segmentos

6 10 12 18

1

15

Q

B

a) b) c) d)

3x

12

3



3

c

comprimentos dos segmentos de transversais são indicados na figura. Então x é igual a:

15

2. (FRANCO) Nos triângulos abaixo,  PQ // BC . Assim podemos afirmar que: A



b

xé:

7. (FRANCO)  As retas r, s e t são paralelas e os

C b) 10

a)  AQ c)  AC 

a // b // c , o valor de

7

B a) 9

a) 1 b) 2 c) 3 d)

E

x+4

6. (FRANCO) Na figura, sendo a

2 x

9. (FRANCO) Na figura, o valor de x é: a) b) c) d)

14 16 18 20

15 10

d)

10  

3

3

 

X 5

12