SED Chapitre 3

Chapitre 3 Les réseaux de Petri Étude comportementale – Aspect dynamique Année Universitaire 2012 / 2013 Année Universitaire 2012 / 2013

1

Chapitre III

Formalisation • L'un des intérêts de ce formalisme, c'est la possibilité de vérifier formellement des propriétés • Nécessite le recours à la formalisation (matrice d'incidence, séquence de franchissement, franchissement vecteur caractéristique, caractéristique équation d'état) • Propriétés structurelles (structure du comportementales (évolution du réseau)

M. F. Karoui

réseau)

et/ou

2

Chapitre III

Formalisation Réseau de Petri: R = {P, T, Pre, Post} • P = ensemble de places (P = {P1, P2, .., Pm} ) • T = ensemble de transitions (T= {T1, T2, .., Tn}) • Pre = PxT → N

places précédentes

Pre(p, t) = nombre de jeton nécessaire dans la place p pour le franchissement de la transition t

• Post = PxT → N places suivantes Post(p, t) = nombre de jeton produits dans la place p lors du franchissement d lla transition de t iti t

⇒ C = Post (Pi, Tj) – Pré (Pi, Tj) (W+) – (W-) W+ : matrice d’incidence arrière W- : Matrice d’incidence avant M. F. Karoui

matrice d'incidence

3

Chapitre III

Formalisation

2 P0 T0

M. F. Karoui

4

Chapitre III

Formalisation • Exercice – P? – T? – Pré P é (Pi (Pi, Tj) ? – Post (Pi, Tj) ?

T1 2 5

T2

1

P1

3

P2

6 1

M. F. Karoui

7

T3

4

5

Chapitre III

Formalisation Réseau de Petri: R = {P, T, Pre, Post} => Représentation matricielle

T1

2

7 5

T2

1

P1

3

P2

6 1

Pré : M. F. Karoui

T3

4

Post : 6

Chapitre III

Formalisation Réseau marqué: N = {R,M} Le marquage d'un RdP R=(P, T, Pre, Post) est son état. Formellement, un marquage est une application M:P→N donnant pour chaque place le nombre de jetons qu qu'elle elle contient. contient Le marquage initial est généralement noté M0. M0= {1,0}

Notation matricielle: – Transitions en colonnes – Places Pl en lignes li – Marquage = vecteur colonne

M. F. Karoui

7

Chapitre III

Formalisation • Exercice Notation matricielle Pré? P ? Post? C? M0?

M. F. Karoui

8

Chapitre III

Formalisation

M. F. Karoui

9

Chapitre III

Formalisation

M. F. Karoui

10

Chapitre III

Formalisation

C= C = 

C = 

M. F. Karoui

11

Chapitre III

Formalisation

C= C = 

Une colonne de cette matrice correspond à la modification du marquage apportée par le franchissement de la transition correspondante. Par exemple la première colonne indique que le franchissement de de la transition T1 consiste à retirer un jeton dans la place P1 et ajouter ajo ter unn jeton ans P2 M. F. Karoui

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Chapitre III

Formalisation : Propriétés dynamique Dynamique (sémantique) d'un RdP – Transition T franchissable • une transition T est franchissable ssi, pour toute place p, M(p) > Pre(p, t)

– Franchissement d'une transition t • Si une transition T est franchissable à partir du marquage M, M alors le nouveau marquage de toute place p est M'(p) = M(p) - Pre(p, t) + Post(p, t) = M(p) + C(p, t) avec C = Post - Pre (matrice d'incidence) M. F. Karoui

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Chapitre III

Formalisation : Propriétés dynamique Dynamique (sémantique) dd'un un RdP – Exemple • T1 est franchissable car Pré (P1 (P1, t1) < M0

• Après le franchissement de T1 M = M0 - Pré(., ( T1)) + Post(., ( t1)) 2 = 3 ‐

=

M. F. Karoui

2 0

1 6

0 4

1 0 + 0

5 7

0 3

1 0

1 0 0

2 2 5 5 ‐ + = 3 0 7 10

14

Chapitre III

Formalisation : Propriétés dynamique Dynamique (sémantique) d'un RdP – Exemple • calcul direct avec la matrice dd'incidence incidence M = M0 + C(., t1) 2 = 3 +

3 7

‐1 ‐3

1 ‐4

1 0 = 5 10 0

donne (heureusement) le même résultat

M. F. Karoui

15

Chapitre III

Formalisation • Exercice i – A partir du marquage initiale i ii l , calculez les marquage suivant: M1 après tir de T1 , ppuis M2 après p tir de T3 puis M3 après tir de T3 puis M5 après tir i de d T2 puis i M6 après tir de T1 M. F. Karoui

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Chapitre III

Formalisation T1

T2

T3

T3

T2

M. F. Karoui

T1 T2 T3 T4 est une séquence de transitions franchissables

17

Chapitre III

Formalisation :propriétés dynamiques Dynamique (sémantique) d'un RdP : séquence de transitions Soit un RdP R=(P, T, Pre, Post) de marquage initial M0 Soit t1 t2 ... tn des transitions de T telles que

M0 /t1→ M1 /t2→ M2 … /tn→ Mn

alors, t1 t2 ... tn est appelée séquence de transitions franchissables (successivement) De plus

M n = M + C . VsT

où Vs est le vecteur caractéristique de la séquence de transitions

s = t1 t2 ... tn

tel que Vs(t) donne le nombre d'occurrences de la transition t dans s On note :

M /s→ Mn

M. F. Karoui

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Chapitre III

Formalisation :propriétés dynamiques Equation i d'état 'é

Mf = M + C . VsT

Remarque : s = s11 . s22 Vs1 = Vs2 M. F. Karoui

=> =>

Vs = Vs1 + Vs2 M + C . Vs1T = M + C . Vs2T même si s1≠s2 19

Chapitre III

Formalisation :propriétés dynamiques Dynamique (sémantique) dd'un un RdP : séquence de transitions E Exemple l :

T = {T1, T2, T3, T4} VT2T3T4T1T3 = ((1,, 1,, 2,, 1)) M. F. Karoui

20

Chapitre III

Formalisation :propriétés dynamiques Remarques importantes : – ATTENTION ! Le vecteur caractéristique ne fait que compter le nombre d'apparition des transitions. Il ne donne pas, comme la séquence, l'ordre ordre dans lequel celles-ci ont lieu. T = {T1, T2, T3}

V = (1, 2, 1)

Le vecteur V ci-dessus est le vecteur de comptage de toutes les séquences de franchissement suivantes : , , , , , …

M. F. Karoui

21

Chapitre III

Formalisation :propriétés dynamiques Remarques importantes : – ATTENTION ! L'équation d'état permet de calculer le marquage atteint après franchissement d d'une une séquence de transitions. transitions Elle ne permet pas de dire que la séquence est franchissable !! T1 P1

T2 P2

T3 P3

T4 P4

P5

La séquence est franchissable, L séquences Les é 0

M. F. Karoui

71

Chapitre III

Composantes non stationnaires S={T0,T1} Vs=[1 Vs [1 1] C. VsT>0 S est une composante co pos e non o stationnaire • Le L RDP estt non borné • • • •

M. F. Karoui

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Chapitre III

Composantes conservatives • Définition : Vp= Vecteur colonne de pondération des places • K K=V VpT.Mi représente une combinaison linéaire des places • Equation d’état : VpT.Mf = VpT.M + VpT.C . VsT • S’il existe Vp tel que: VpT.C =0 alors : VpT.Mf = VpT.M ⇒L L'ensemble ensemble des places contient toujours le même nb de jetons. • Définition : on appelle composantes conservatives ( invariants de places) les solutions en Vp de l'équation : VpT.C =0 M. F. Karoui

73

Chapitre III

Composantes conservatives 1 invariant de places: • • • • •

Attente FabricationX FabricationY XAVendre YAVendre

Toutes les places sont couvertes par des pp-invariants. p Le réseau est borné M. F. Karoui

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Chapitre III

Composantes conservatives Exemples E l d'interprétations: d'i t ét ti • Si une composante conservative est telle que K0 = 0 : – aucune de ces places nn’est est marquée dans M0. M0 – elles restent vides quelque soit le marquage. ֜C'est anormal

• Si une composante conservative i est telle ll que K0 = 1 : – il y a toujours une de ces places marquées d’un jeton, et pas plus d'un jeton. j ֜L'interprétation de ces places doit donc être booléenne

• Si un RdP est tel que toutes ses places appartiennent à des invariants de place de constantes = 11, il est sauf ! ֜L'interprétation du réseau doit donc être complètement booléenne M. F. Karoui

75

Chapitre III

Composantes conservatives Exemple P1

d1

d2

P5

P2

P=

P3

f f1

P1

-1

1

0

0

P2

1

-1

0

0

0

0

-1

1

P4

0

0

1

-11

P5

-1

1

-1

1

P3

C=

T= (d1,

f1, d2, f2)

P4

f f2

⇒Composantes conservatrices positives ? M. F. Karoui

76

Chapitre III

Composantes conservatives VpT.C C => >

VpT.C =0

M2 – M1 – M5 = 0 M1 – M2 + M5 = 0

VpT = (M1, M2, M3, M4, M5) (M1, M2, M3, M4, M5)

M4 – M3 – M5 = 0 M3 – M4 + M5 =0

C=

-1

1

0

0

1

-1

0

0

0

0

-1

1

(1    , 1    , 0   ,  0   , 0    )

0

0

1

-1

(0    , 1    , 0   ,  0   , 1    )

-1

1

-1

1

(0    , 0    , 1   ,  1   , 0    )

VpT = (M1, M2, M3, M4, M5)

(0    , 0    , 0   ,  1   , 1    ) (0    , 1    , 0   ,  1   , 1    )

M. F. Karoui

77

Chapitre III

Composantes conservatives P1

P3

d1 P5

P2 f1

P4

1

0

0

1

-1

0

0

0

0

-1

1

0

0

1

-1

-1

1

-1

1

f2

1 1

V1=

C=

d2

-1

0

(P1 + P2)

V2=

0

0

0

1

1

0

1

0

0

(P3 + P4)

V3=

1

+ P4 + P5)

•V1’.M0=1 et V1’.C= 0 =>V1’.Mi=1 => Mi(P1)+Mi(P2)=1 •V2’.M0=1 et V2’.C= 0 =>V2’.Mi=1 => Mi(P3)+Mi(P4)=1 •V3’.M0=1 et V3’.C= 0 =>V3’.Mi=1 => Mi(P2)+Mi(P4)+Mi(P5)=1 M. F. Karoui

M0=

0 1 0 1

(P2

0 1

1

Il est toujours j possible de trouver d’autres invariant s en additionnant les invariants minimaux 78

Chapitre III

Composantes conservatives P3 c2 P1 c1

P4 f2

P6

P2

P5

f1 P7

t2

• Invariants de marquage minimaux? M. F. Karoui

79

Chapitre III

Composantes conservatives P3 P1 c1 P2

m1 + m2 = 1

P4

P’’ = {{P3, P4, P5} ⇒

m3 + m4 + m5 = 1

f2

P ’’’ = {P6, P7}

⇒

m6 + m7 = 1

P5 P7

• •

P’ = {P1, P2 } ⇒

P6

f1

•

c2

t2

Les ensembles P’, P’’, P ’’’, sont des composantes conservatives. A partir de cet ensemble de relations, nous pouvons construite l’invariant l invariant suivant: m1 + m2 + m3+ m4 + m5+ m6 + m7 = 3 Dans cet invariant nous pouvons trouver toutes les places du RdP RDP conservatif

M. F. Karoui

80

Chapitre III

Analyse Globale •RDP RDP A non bloqué •RDP B non bloqué •RDP A et RDP B bloqués

• L'analyse des "sous-RdP" pris séparément est correcte. • Mais leur interaction est bloquantes !! • ֜Nécessité d'une analyse globale

M. F. Karoui

81

Chapitre III

Transformation des RDP • G Graphe h ddes marquages : vérification é ifi ti de d propriétés iété de d façon f exhaustive. • Problème = complexité p du GM ppour les systèmes y complexes. p • Solution : réduction du RdP grâce à des transformations conservant les propriétés comportementales comportementales. • Inconvénient : ppas de conservation de la signification g pphysique y q du RdP=> difficile de remonter à la cause de l'erreur lorsqu'il y en a. ֜C'est l'Analyse par réduction

M. F. Karoui

82

Chapitre III

Transformation de Boussin: R1 • Suppression d'une transition isolée.

M. F. Karoui

83

Chapitre III

Transformation de Boussin: R2 • Suppression d'une place isolée.

M. F. Karoui

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Chapitre III

Transformation de Boussin: R3 • Suppression d'une transition isolée bouclée.

M. F. Karoui

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Chapitre III

Transformation de Boussin: R4 • Suppression d'une place isolée bouclée.

M. F. Karoui

86

Chapitre III

Transformation de Boussin: R5 • Fusion de plusieurs transitions isolées

M. F. Karoui

87

Chapitre III

Transformation de Boussin: R6 • Fusion de plusieurs places isolées

M. F. Karoui

88

Chapitre III

Transformations simples Notion de résidu : • RESIDU = RdP sur lequel on ne peut plus appliquer de t transformation. f ti • Il n’est pas unique. Il dépend de l’ordre des transformations.

M. F. Karoui

89

Chapitre III

Transformations simples

M. F. Karoui

90

Chapitre III

Exercice Après Réduction

M. F. Karoui

91

Chapitre III

Exercice Après Réduction

M. F. Karoui

92

Chapitre III

Exercice Après Réduction

M. F. Karoui

93

Chapitre III

Exercice Après Réduction

M. F. Karoui

94

Chapitre III

Exercice Après Réduction

M. F. Karoui

95