Seccion 1.1.pdf

10

CAPÍTULO 1

O

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

EJERCICIOS 1.1

Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-1.

En los problemas 1 a 8 establezca el orden de la ecuación diferencial ordinaria dada. Determine si la ecuación es lineal o no lineal, comparando con la ecuación (6). 1.

(1

2.

x

3.

t 5y(4)

x)y

4xy

d3y dx3

y

t 3y

d 2u dr 2

5.

d 2y dx 2

6.

d 2R dt 2

7.

(sen )y

8.

x¨

du dr

cos x

4

dy dx

4.

5y 0

6y u

0 cos(r

dy dx

1 

u)

2

(cos )y . x2 . x 3

2

x

10.

12.

13. 14.

19.

dX dt

20.

2 xy dx 1 (x 2 2 y) dy 5 0;

u dv

(v

u

uv

(X

ue ) du

0; en v; en u




dP dt

P(1

P); P

22.

dy dx

2xy

1; y

24;

y

20y

6 5

6 e 5

8;

y

15.

(y

16.

y9 5 25 1 ; y 5 5 tan 5x y2

x

22 x 2 y 1 y 2 5 1

23.

d 2y dx2

4

24.

x3 y

25.

d 3y dx3 c1x

dy dx 2x2 1

x

et dt

4x

2

26.

c1e

x2

0




4y

c1e2x

0; y

d 2y dx2 c2 x

2

x2

x

dy dx

c3 x ln x

c2 xe2x

12x2;

y

4x2

Compruebe que la función definida en tramos





x2, x
x2, x

20t

En los problemas 15 a 18 compruebe que la función indicada y 5 f (x) es una solución explícita de la ecuación diferencial de primer orden dada. Proceda como en el ejemplo 2, considerando a f simplemente como una función, dando su dominio. Después considere a f como una solución de la ecuación diferencial, dando al menos un intervalo I de definición. y

t

x

e

y

y 0 2 6y9 1 13y 5 0; y 5 e 3x cos 2x y 0 1 y 5 tan x; y 5 2(cos x)ln(sec x 1 tan x)

x)y

1 1

c1et 1 c1et




2y9 1 y 5 0; y 5 e 2x/2 dy dt

2X X

2X);

ln

1)(1

21.

( y 2 2 1) dx 1 x dy 5 0; en y ; en x

En los problemas ll a 14, compruebe que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo I de definición adecuado para cada solución. 11.

En los problemas 19 y 20 compruebe que la expresión indicada es una solución implícita de la ecuación diferencial dada. Encuentre al menos una solución explícita y 5 f (x) en cada caso. Use alguna aplicación para trazar gráficas para obtener la gráfica de una solución explícita. Dé un intervalo I de definición de cada solución f .

0

En los problemas 9 y 10 establezca si la ecuación diferencial de primer orden dada es lineal en la variable dependiente comparándola con la primera ecuación dada en (7). 9.

18.

y9 5 2 xy 2; y 5 1 y(4 2 x 2) 2y9 5 y 3 cos x; y 5 (1 2 sen x)21/2

En los problemas 21 a 24 compruebe que la familia de funciones indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo I de definición adecuado para cada solución.

k R2

1

17.

0 0

es una solución de la ecuación diferencial xy9 2 2y 5 0 en (2`, `). En el ejemplo 3 vimos que y 5 f1(x) 5 125 2 x2 y y 5 f 2(x) 5 2 125 2 x2 son soluciones de dy ydx 5 2x yy en el intervalo (25, 5). Explique por qué la función definida en tramos y

25 25

x2 , x2,

5
0

x x

0 5

no es una solución de la ecuación diferencial en el inter-

valo (25, 5).

SECCIÓN 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

En los problemas 27 a 30 determine los valores de m tales que la función y 5 emx sea una solución de la ecuación diferencial dada. 27. 29.

y9 1 2y 5 0 y 0 2 5y9 1 6y 5 0

28. 30.

5y9 5 2y 2y 0 1 7y9 2 4y 5 0

En los problemas 31 y 32 determine los valores de m tales que la función y 5 xm sea una solución de la ecuación diferencial dada. 31.

xy0 1 2y9 5 0

32.

x2y0 2 7xy9 1 15y 5 0

En los problemas 33 a 36 use el concepto de que y 5 c, 2` , x , `, es una función constante si y solo si y9 5 0 para determinar si la ecuación diferencial tiene soluciones constantes. 33.

3xy9 1 5y 5 10

34.

y9 5 y 2 1 2y 2 3

35.

( y 2 1) y9 5 1

36.

y 0 1 4y9 1 6y 5 10

En los problemas 37 y 38 compruebe que el par de funciones indicado es una solución del sistema dado de ecuaciones diferenciales en el intervalo (2`, `). 37.

dx x 3y dt dy 5x 3y; dt x e 2t 3e6t, y

e

2t

38.

5e6t

d 2x 4y et dt 2 d 2y 4x et; dt 2 x cos 2t sen 2 t y

43.

cos 2t

sen 2 t

44.

O

11

Dado que y 5 sen x es una solución explícita de la ecuación diferencial de primer orden dy 5 11 2 y2 , encuentre dx un intervalo de definición I. [Sugerencia: I no es el intervalo (2`, `).] Analice por qué intuitivamente se supone que la ecuación diferencial lineal y 0 1 2y9 1 4y 5 5 sen t tiene una solución de la forma y 5 A sen t 1 B cos t, donde A y B son constantes. Después determine las constantes específicas A y B tales que y 5 A sen t 1 B cos t es una solución particular de la ED.

En los problemas 45 y 46 la figura dada representa la gráfica de una solución implícita G(x, y) 5 0 de una ecuación diferencial dyydx 5 f (x, y). En cada caso la relación G(x, y) 5 0 implícitamente define varias soluciones de la ED. Reproduzca cuidadosamente cada figura en una hoja. Use lápices de diferentes colores para señalar los tramos o partes, de cada gráfica que corresponda a las gráficas de las soluciones. Recuerde que una solución f debe ser una función y derivable. Utilice la curva solución para estimar un intervalo de definición I de cada solución f. 45.








1 5

FIGURA 1.1.5 Gráfica del problema 45.

et, 1 5

et 46.



Problemas para analizar 

39.

40.

41.

42.

Construya una ecuación diferencial que no tenga ninguna solución real. Construya una ecuación diferencial que usted asegure tenga sólo la solución trivial y 5 0. Explique su razonamiento. ¿Qué función conoce de cálculo tal que su primera derivada sea ella misma? ¿Que su primera derivada sea un múltiplo constante k de ella misma? Escriba cada respuesta en la forma de una ecuación diferencial de primer orden con una solución. ¿Qué función (o funciones) conoce de cálculo tal que su segunda derivada sea ella misma? ¿Que su segunda derivada sea el negativo de ella misma? Escriba cada respuesta en la forma de una ecuación diferencial de segundo orden con una solución.





FIGURA 1.1.6 Gráfica del problema 46.

47.

Las gráficas de los miembros de una familia uni-paramétrica x31 y3 5 3cxy se llaman folium de Descartes. Compruebe que esta familia es una solución implícita de la ecuación diferencial de primer orden dy dx

y(y3 2x3) . x(2y3 x3)

12

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

O

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

La gráfica de la figura 1.1.6 es el miembro de la familia del folium del problema 47 correspondiente a c 5 1. Analice: ¿cómo puede la ED del problema 47 ayudar a determinar los puntos de la gráfica de x3 1 y3 5 3xy donde la recta tangente es vertical? ¿Cómo saber dónde una recta tangente que es vertical ayuda a determinar un intervalo I de definición de una solución f de la ED? Lleve a cabo sus ideas y compare con sus estimaciones de los intervalos en el problema 46. En el ejemplo 3, el intervalo I más grande sobre el cual las soluciones explícitas y 5 f 1(x) y y 5 f 2(x) se encuentran definidas en el intervalo abierto (25, 5). ¿Por qué I no puede ser el intervalo cerrado I definido por [25, 5]?

56.

57.

En el problema 21 se da una familia uni-paramétrica de soluciones de la ED P9 5 P(12P). ¿Cualquier curva solución pasa por el punto (0, 3)? ¿Y por el punto (0, 1)? Analice y muestre con ejemplos cómo resolver ecuaciones diferenciales de las formas dyydx 5 f (x) y d 2yydx 2 5 f (x). La ecuación diferencial x(y9)2 2 4y9 2 12x3 5 0 tiene la forma dada en la ecuación (4). Determine si la ecuación se puede poner en su forma normal dyydx 5 f (x, y). La forma normal (5) de una ecuación diferencial de n-ésimo orden es equivalente a la ecuación (4) si las dos formas tienen exactamente las mismas soluciones. Forme una ecuación diferencial de primer orden para la que F(x, y, y9) 5 0 no sea equivalente a la forma normal dyydx 5 f (x, y).

58.

Determine una ecuación diferencial de segundo orden

F(x, y, y9, y 0 ) 5 0 para la que y 5 c1x 1 c 2x 2 sea una fami-

lia de soluciones de dos parámetros. Asegúrese de que su ecuación esté libre de los parámetros arbitrarios c1 y c2.

55.

Información cualitativa respecto a una solución y 5 f (x) de una ecuación diferencial con frecuencia puede obtenerse de la misma ecuación. Antes de trabajar con los problemas 55 a 58, recuerde el significado geométrico de las derivadas dyydx y d 2yydx 2. 2 = e−x . Considere la ecuación diferencial dy dx a)

b)

Explique por qué una solución de la ED debe ser una función creciente en cualquier intervalo del eje de las x. lím dy dx y lím dy dx . ¿Qué ¿A qué son iguales x  x le sugiere esto respecto a una curva solución conforme : 6`? Determine un intervalo sobre el cual una curva solución sea cóncava hacia abajo y un intervalo sobre el que la curva sea cóncava hacia arriba. Trace la gráfica de una solución y 5 f (x) de la ecuación diferencial cuya forma se sugiere en los incisos a) a c).

d)

Considere la ecuación diferencial dyydx 5 y(a – by), donde a y b son constantes positivas. a) Ya sea por inspección o por los métodos sugeridos en los problemas 33 a 36, determine dos soluciones constantes de la ED. b) Usando sólo la ecuación diferencial, determine los intervalos en el eje y en los que una solución no constante y 5 f(x) es creciente. Determine los intervalos en los que y 5 f(x) es decreciente. c) Utilizando sólo la ecuación diferencial, explique por qué y 5 ay2b es la coordenada y de un punto de inflexión de la gráfica de una solución no constante y 5 f(x). d) En los mismos ejes coordenados, trace las gráficas de las dos soluciones constantes en el inciso a). Estas soluciones constantes parten el plano xy en tres regiones. En cada región, trace la gráfica de una solución no constante y 5 f (x) cuya forma se sugiere por los resultados de los incisos b) y c). Considere la ecuación diferencial y9 5 y2 1 4. a) Explique por qué no existen soluciones constantes de la ecuación diferencial. b) Describa la gráfica de una solución y 5 f(x). Por ejemplo, ¿puede una curva solución tener un extremo relativo? c) Explique por qué y 5 0 es la coordenada y de un punto de inflexión de una curva solución. d) Trace la gráfica de una solución y 5 f(x) de la ecuación diferencial cuya forma se sugiere en los incisos a) a c).

Tarea para el laboratorio de computación

En los problemas 59 y 60 use un CAS (por sus siglas en inglés, Sistema Algebraico Computacional) para calcular todas las derivadas y realice las simplificaciones necesarias para comprobar que la función indicada es una solución particular de la ecuación diferencial.



c)

Considere la ecuación diferencial dyydx 5 5 – y. Ya sea por inspección o por el método sugerido en los problemas 33 a 36, encuentre una solución constante de la ED. b) Utilizando sólo la ecuación diferencial, determine los intervalos en el eje y en los que una solución constante y 5 f(x) sea creciente. Determine los intervalos en el eje y en los cuales y 5 f(x) es decreciente. a)

59.

y 2 20y 9992 1 158y 0 2 580y9 1 841y 5 0; (4)

y

5 xe

cos 2 x

3 

60.

5x



- 1 2 2 0 1 20 9 2 78 5 0; cos(5 ln ) sen(5 ln ) 5 20 23