Secc

 

Unidad 2 Función Sección 1 Función lineal  lineal  Clase 1 Significado de la función lineal (1) (1)   P 

María tiene una pila en su casa que contiene 3 litros de agua. Al abrir el chorro, deja fluir a ritmo constante 2 litros de agua por minuto. La tabla muestra la variación de los litros de agua en la pila a medida que transcurre el tiempo. tiempo.   Si el tiempo es x y la cantidad de agua en la pila es y, responda las siguientes preguntas. Tiempo (minutos)  Cantidad de agua (litros) 

S 

0 3

1 5

2 7

3

4

5

…  … 

a.  Complete los espacios vacíos.  vacíos.   b.  ¿Qué cantidad de agua contendrá la pila después de  minutos?  minutos?   c.  Escriba una ecuación donde  esté en términos de .  a.  Como cada minuto aumenta 2L más que el minuto anterior, entonces completando la tabla se tiene: 0 1 2 3 4 5 Tiempo (minutos)  Cantidad de 3 3 + 2 = 5  5 + 2 = 7  7 + 2 = 9  9 + 2 = 11  11 + 2 = 13  agua (litros)  

…  … 

 b.  Se puede observar que la cantidad de agua en la pila, es igual a la cantidad que tenía al inicio (3 L), más 2 L por cada minuto transcurrido. Como  son los minutos transcurridos, entonces después de  minutos se tendrá 3 + 2, y es lo mismo que 2 + 3.  c.  Como  es la cantidad de litros de agua en determinado momento, al inicio (minuto 0) la pila tenía 3 L de agua, lo que se puede expresar de la siguiente forma:  =2×0+3 =3 Después de cada minuto transcurrido tendrá:  tendrá:   =2×1+3 =5  =2×2+3 =7 .  .  .  Entonces, la cantidad de agua en la pila ( ) después de  minutos será:  será:   = 2 2  + 3  C 

Cuando hay dos variables  y  se expresa de la forma  =  +  ; se dice que  es una función lineal de , donde a es la constante y no es igual a 0. Si   toma el valor de cero, la función lineal coincide con la proporcionalidad

E 

directa y se expresa como que = corresponden  .  1. las ecuaciones a una función lineal.  lineal.    Indique a.   = 2 2 + 1 



b.  =   

c.  =  + 3 

d.  =  

2.  Una pecera contiene agua hasta 1 cm de altura y comienza a llenarse a un ritmo constante de 3 cm por minuto. La tabla muestra la variación de la altura en relación al tiempo que transcurre. Si el tiempo es x y la altura de agua es resuelva.   y, resuelva.  a.  Complete los espacios en blanco de la tabla con el número que corresponde. 0 1 2 3 4 5 6 Tiempo (minutos)  4 7 Altura del agua (cm)  1  b.  ¿Cuál es la altura del agua después de 6 minutos? c.  Determine la altura del agua en  minutos.  minutos.   d.  Escriba una ecuación en donde  esté en términos de . 

…  … 

 

Unidad 2 Función  Sección 1 Función lineal  lineal  Clase 2 Significado de la función lineal (2) (2)   P 

Se enciende una candela de 100 milímetros (mm) de largo, por cada minuto transcurrido se queman uniformemente uniformemente 5 mm. Si el tiempo es x y la longitud de la candela es y, responda las siguientes preguntas.  preguntas. 

0 Tiempo (minutos)  Longitud de la candela (mm)  100

S 

1 95

2 90

3

4

…  … 

a.  ¿Qué longitud tendrá la candela después de 4 minutos?  minutos?   b.  ¿Qué longitud tendrá la candela después de  minutos?  minutos?   c.  Escriba una ecuación donde  esté en términos de .  a.  Como se quema 5 mm por minuto, entonces al completar la tabla se obtiene: 1 2 3 Tiempo (minutos)  0 Longitud de la 100 100  5 = 95  95  5 = 90  90  5 = 85  candela (mm)  Después de 4 minutos, la candela tendrá 80 mm de longitud.

4

85  5 = 80 

…  … 

 b.  De acuerdo al inciso anterior, después de  minutos se quema 5 mm. Entonces, la longitud de la candela después de  minutos será los 100 mm que tenía al inicio menos 5 mm. 100  5  c.  La candela tenía 100 mm de longitud al inicio (minuto 0) y como  es la longitud, se puede expresar  de la siguiente forma:  = 5 × 0 + 100 = 100 Después de cada minuto transcurrido tendrá  tendrá 

 = 5 × 1 + 100 = 95  = 5 × 2 + 100 = 90 .  .  .  Entonces, la longitud de la candela () después de  minutos transcurridos será:  = 5 + 100  C 

La expresión  =    +  , para  < 0, a medida que  aumenta,  disminuye. Este es un caso de función lineal.

E 

Resuelva.  Resuelva.  Un globo aerostático tiene una temperatura de 20°C cuando está en el suelo, al ascender la temperatura del aire disminuye 6°C por cada kilómetro que sube. Si la altura es x y la temperatura del aire es y.  Altura (km)  Temperatura del aire (°C) 

0 20

1 14

2

3

4

a.  ¿Qué temperatura tendrá el aire dentro del globo después de 3 km?  km?   b.  ¿Qué temperatura tendrá el aire dentro del globo después de  km?  km?   c.  Escriba una ecuación donde  esté en términos de . 

…  … 

 

Unidad 2 Función Sección 1 Función lineal  lineal  Clase 3 Significado de la razón de cambio (1)  (1)  P 

S 

Luisa tiene un salón de belleza en donde paga a diario una cuota fija de 10 quetzales de luz, más 3 quetzales por cada hora trabajada. Algunos ejemplos de esta relación se muestran en la siguiente tabla. Si el tiempo es  x y el pago es y, responda las siguientes preguntas.  preguntas.  Tiempo (hora) 

0

1

2

3

4

Pago (quetzales) 

10

13

16

19

22

a.  Exprese  como una función lineal de .  b.  Determine cómo cambian los valores de  a medida que los valores de  cambian. a.  Cada hora que se trabaja genera un costo de 3 quetzales, más los 10 quetzales que se deben pagar como cuota fija. Entonces, el total a pagar después de  horas trabajadas es  = 1 0 + 3 , ordenando de otra forma:  forma:   .   =3+10  b.  Para determinar cómo cambian cambian los valores, tomamos de la tabla dos valores de  y sus respectivos valores de . 

Cuando  aumenta 1 unidad,  aumenta 3 unidades. 

Si  = 1,  = 13.  Si  = 3,  = 1 9.  Variación en  = 3  1 = 2  Variación en  = 19  1 13 3 = 6 

Razón Raz ón de camb cambio io = C 

1913 31

=

6 2

= 3 

A la razón que se obtiene de comparar la variación en  respecto a la variación en , se le llama razón de cambio.    Razón Razó n de cambi cambio o = ó ó   

E 

Una pila tiene 5 litros de agua. Al abrir su llave, fluyen 2 litros de agua por minuto, la tabla muestra la cantidad de litros de agua en la pila, después de transcurridos ciertos minutos. Si el tiempo es x y la cantidad de agua en la pila es  y, resuelva.  resuelva.  0  1  2  Tiempo (minutos)  Cantidad de 5  7  9  agua (litros)  a.  Exprese  como función lineal de .   b.  Determine la razón de cambio de  respecto a . 

3 

4 

5 

11 11  

13 13  

15 15  

 

Unidad 2 Función Sección 1 Función lineal  lineal  Clase 4 Significado de la razón de cambio (2)  (2)  P 

Observe los datos en la siguiente tabla. 0   15  

1 13

2 11

3 9

a.  Exprese  como función lineal de .  b.  Calcule la razón de cambio de  respecto a .

 

c. S 

Compare concluye? la concluye?   razón de cambio con el valor de  en la función lineal  =  +   obtenido en el inciso a. ¿Qué a.  Al observar los datos en la tabla, cada vez que  aumenta una unidad,  disminuye 2. Entonces, al expresar  en función de  se tiene  tiene   = 15  2, lo cual equivale a ó     Razón de cambio = ó    = 2 + 15.

 b.  Se toman dos valores y se determina el cambio en las dos variables. variables.   0 1   15 13   Si  = 1,  = 1 3  Si  = 3,  = 9 

2 11

3 9

Variación en  : 3  1 = 2  Variación en : 9  1 13 3 = 4 

Razón Razó n de cambi cambio o=

− 

= 2 

c.  Al comparar la función  = 2 + 15 1 5 con la forma de la función lineal  =    +  , se tiene que  =  2, y de acuerdo al inciso b, sabemos que la razón de cambio es 2. Por tanto, se puede concluir que la razón de cambio es igual al valor de . 

C 

En la función lineal  =    +  , la razón de cambio es constante y es equivalente al valor de , es decir:

Razón Razó n de cambi cambio o= E 

variación en  variación en 

=  

1.  Observe los datos en la siguiente tabla. 0 1 2 3   18 14 10 6   a.  Exprese  como función lineal de .  b.  Calcule la razón de cambio de  respecto a . c.  Compare la razón de cambio con el valor de  en la función lineal  =    +   obtenido en el inciso a. 2.  Identifique la razón de cambio  cambio  para para cada una de las las siguientes funciones. a.   = 2  3  b.   =  + 4  

c.   =  + 1 

d.   = 3 3  5 

 

 

Unidad 2 Función Sección 2 Gráfica de la función Clase 1 Características de la función  =  +   P  Un grupo de estudiantes realiza un experimento en el que se calentó el agua 2°C por cada minuto transcurrido. Inicialmente el agua que se utilizó para el experimento tenía una temperatura de 5°C. Los datos del experimento se  presentan a continuación. continuación. Si el tiempo es x y la temperatura es y, responda las siguientes preguntas.  preguntas.  Tiempo (minutos) (minutos)  Temperatura (°C)  

0 5  

1 7  

2 9  

3 

4 

a.   b.  c.  d.  S 

Complete la tabla con los valores que hacen falta.  falta.  Exprese  como una función lineal de .  Grafique los pares ordenados (,) en el plano cartesiano.  cartesiano.  Estime otros valores para  tomando, por ejemplo,  = 0.5,  = 1.5,  = 2.5,  = 3.5. Grafique los pares ordenados de los valores estimados. a. Analizando los datos que existen, completar la tabla. tabla.   Para graficar los pares ordenados en el plano cartesiano: El valor de x se sitúa sobre la recta horizontal o eje x  y a partir de ahí se cuentan las unidades de y desplazándose hacia arriba si es positivo positivo o hacia abajo si es negativo.

 b.  Al analizar la variación de los valores de  con respecto a , se observa que cada vez que  aumenta 1,  aumenta 2, tal como se muestra en la tabla anterior. Por tanto, la razón de cambio  es 2. El valor de  es el valor  cuando  es 0 en este caso es 5. De acuerdo con estos datos se puede obtener que  = 2 + 5 . Los puntos van quedando cada vez d. Calculando otros pares c.  Graficando los pares ordenados ordenados y graficándolos: más juntos hasta formar una línea de la tabla del inciso a (0,5),  recta:      (   (0.5,6), (1.5,8), (2.5,10),  (1,7), (2,9), (3,11), 4,13) (3.5,12)

C 

La gráfica de la función  =   +  es una línea recta.  recta. 

E 

Complete la tabla siguiendo la secuencia planteada y realice lo que se le indica. 0  1  2  3  4  5   x  2  5  8   a.    Grafique los pares ordenados (,) en el plano cartesiano.  b.  Estime otros valores para  asignándole otros valores a la variable . c.  Elabore la gráfica de la función.  función. 

 

Unidad 2 Función Sección 2 Gráfica de la función Clase 2 Intercepto en una función  =  +   P 

S 

Resuelva las siguientes preguntas.  preguntas.  a.  Grafique en el mismo plano cartesiano las siguientes funciones:  = ,  =  + 2.  b.  Identifique el punto donde la gráfica interseca al eje .  c.  ¿Qué diferencia existe entre las dos gráficas?  gráficas?  a. Encontrando algunos valores de  y  de las funciones lineales mostradas en las tablas:  tablas:   ℓ:

=

    m:

2  2 

1  1 

0 0

1 1

2 2

1  1 

0 2

1 3

2 4

 =  + 2 

   

2  0 

 b. La función ℓ:  =  interseca al eje  en  = 0. Las coordenadas del punto son (0. 0).  0).  La función m:  =  + 2 interseca al eje  en  = 2. Las coordenadas del punto son (0,2). 

C 

E 

c. La diferencia entre la dos funciones es el punto donde sus rectas intersecan al eje  tal como se observa en el  el  inciso a. La gráfica de la función  =    +   pasa por el punto (0,) y es paralela a la gráfica de la función  = .  La gráfica de  =    +   corresponde a la gráfica de  =  desplazada  unidades sobre el eje . La constante  es el valor de  cuando  = 0 al  se le llama intercepto con el eje  de la función lineal.  lineal.   En el caso de las funciones de la forma  =  donde  = 0, el intercepto corresponde al origen del sistema de coordenadas. 1.  A partir de la gráfica    = 3 , grafique en el mismo plano cartesiano las siguientes funciones, y realice lo que se indica a continuación.

 = 3 3  + 1 

 = 3  1

a.  Identifique el intercepto con el eje .   b.  ¿Qué diferencia encuentra entre las funciones? 2.  Determine el intercepto con el eje  de las siguientes s iguientes gráficas. gráficas.

 

 

Unidad 2 Función Sección 2 Gráfica de la función Clase 3 Razón de cambio ( > 0)  P 

Observe la gráfica de cada función lineal de la derecha, y realice:  realice: 

Gráfica 2 1  =  + 1  2

Gráfica 1  = 2 2  + 1 

a.  Determine la razón de cambio.  b.  ¿Qué diferencias encuentra en ambas gráficas?   gráficas?

S 

a.  Gráfica 1

Gráfica 2

Cuando  aumenta 1 unidad,  aumenta 2.

Cuando  aumenta 2 unidades,  aumenta 1.

Razón de cambio de  = 2 2  + 1  es:

Razón de cambio de  =  + 1 es:

 

Razón Razó n de cambi cambio o= Es decir,  = 2 

 

= 2 



Razón Razó n de cambi cambio o=   



Es decir,  =   

 b.  La gráfica con razón de cambio 2 está más inclinada con respecto a la horizontal que la gráfica con razón de 

cambio .  

C 

La inclinación de la gráfica de una función lineal  =  + , depende del valor de la razón de cambio. Cada vez que  aumenta, también aumenta la inclinación de la recta y viceversa. Al valor  se le llama pendiente de la gráfica de la función lineal.  lineal. 

 

E 

Identifique la función de la forma  =  gráficas     +   que corresponde a cada una de las gráficas  a.   = 2 2  1   b.   = 3 3  1  

c.   =   1  

 

 

Unidad 2 Función Sección 2 Gráfica de la función Clase 4 Razón d dee cam cambio bio ( < 0)  P 

Observe la gráfica de cada función lineal. Gráfica 1

 = 2 + 1 

Gráfica 2 

 =   + 2  

a.  ¿Qué sucede con el valor de  cuando el valor de  aumenta 1 unidad?  b.  Determine la razón de cambio.

S 

a.  Analizando qué sucede con los valores de  cuando  aumenta una unidad  unidad  Gráfica 1 Gráfica 2 

Cuando  aumenta 1 unidad,  disminuye 2.   b. 

E 

1

1 =   2 2 Cuando la variable  aumenta, la variable  disminuye, entonces, la razón de cambio es negativa.  negativa.  Por tanto, para una función  =    + : Si  > 0, al aumentar 1 unidad en  , se aumenta  unidades en .  Si  < 0, al aumentar 1 unidad en , se disminuye  unidades en .  Observe la gráfica de cada función lineal y responda a.  ¿Qué sucede con el valor de   cuando el valor de   aumenta una unidad?   unidad? Razón Razó n de cambi cambio o=

C 

−

Cuando  aumenta 2 unidades,  disminuye 1 unidad. 

 

 b.



= 2 

Determine la razón de cambio.  cambio. 

Razón Razó n de cambi cambio o=

 

Unidad 2 Función  Sección 2 Gráfica de la función Clase 5 Pendiente de la gráfica de la función lineal  lineal  P 

Observe la gráfica de la función lineal  = 3 resuelva.  3   2 , y resuelva.  a.   b.  c.  d. 

A

S 

Determine la pendiente de la gráfica. Determine la variación de los valores de  y  usando las coordenadas de los puntos A y B. Calcule la razón de cambio.  cambio.  Compare el resultado de la pendiente de la gráfica y la razón de cambio, ¿qué concluye? concluye?

a.  Como es la función lineal  = 3 3.  3   2 , la pendiente es 3.   b.  Para calcular la variación entre los valores de las coordenadas en  y , se restan las coordenadas de los dos  puntos A y B. Varia ariaci ción ón en  = valor alor de  en el pun punto to B  va valo lorr de de  en en el pu punt nto oA=72=6 Varia ariaci ción ón en  = valor alor de  en el pun puntto B  valor alor de  en el p pun unto to A = 3  1 = 2 c.  Para calcular la razón de cambio: ó   ó  

C 



=  = 3. Es decir, la razón de cambio es 3.

d.  La pendiente es 3, la razón de cambio es 3. Es decir que los resultados son iguales. En la función lineal  =  +  , la razón de cambio coincide con la pendiente. variación en  Pendi Pendient ente e = ra razon zon de camb cambio io = =   variacion en  La constante  en la función lineal  =  +   corresponde a la pendiente de la de la gráfica de la función lineal. lineal.  

E  1. Para la gráfica de la función lineal  =   2 , determine la pendiente de la ecuación:  ecuación: 

Pendi Pendient ente e=

ó   ó  

 

2. Realice según la siguiente siguiente gráfica. a.  Determine cuántas unidades se desplaza  cuando  avanza una unidad.  b.  Calcule la razón de cambio en  y   considerando las coordenadas de los puntos indicados.

 

c.

Calcule lineal. la pendiente de la gráfica de la función

 

 

Unidad 2 Función Sección 2 Gráfica de la función Clase 6 Pendiente de la gráfica de la función lineal e intercepto con el eje   P 

Para cada una de las funciones: funciones:  

 = 2  2  

 =    + 1 

a.  Determine la pendiente.  pendiente. 

 

 b. S 

a.  Para determinar la pendiente de la gráfica de cada función, únicamente se identifica el valor de  en la ecuación de la función.  función.  En la función  = 2 2.   2   2 , el valor de  = 2, entonces la pendiente es 2.  En la función  =    + 1 , el valor de  =  1, entonces la pendiente es 1.   b. 

C 

Determine el intercepto con el eje .

El valor de  corresponde al intercepto con el eje . Entonces:  Entonces:  En la función  = 2 intercepto con el eje  es el valor de  =  2   2 , el intercepto 2 2. En la función  =    + 1 , el intercepto con el eje  es el valor de  = 1.

Dada la función  =  +   Pendiente

E 

Intercepto con el eje  

Identifique la pendiente y el intercepto con el eje  en cada una de las funciones siguientes.  siguientes.  a.   = 2 + 1   b.  =  + 3   c.  =  + 4  d.  =    e.  =   1  f.  =   5  g.  = 2 h.  = 4  6