Secc 2.1 Curva Solucion Sin Una Solucion

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Capítulo 2

2.1 Curvas solución sin una solución 2.1.1 Campos direccionales 2.1.2 ED de primer orden autónomas 2.2 Variables separables 2.3 Ecuaciones lineales 2.4 Ecuaciones exactas 2.5 Soluciones por sustitución 2.6 Un método numérico REPASO DEL CAPÍTULO 2

La historia de las matemáticas tiene muchos relatos de personas que han dedicado gran parte de su vida a la solución de ecuaciones, al principio de ecuaciones algebraicas y después de ecuaciones diferenciales. En las secciones 2.2 a 2.5 estudiaremos algunos de los métodos analíticos más importantes para resolver ED de primer orden. Sin embargo, antes de que empecemos a resolverlas, debemos considerar dos hechos: es posible que una ecuación diferencial no tenga soluciones y que una ecuación diferencial tenga una solución que con los métodos existentes actuales no se puede determinar. En las secciones 2.1 y 2.6 no resolveremos ninguna ED pero mostraremos cómo obtener información directamente de la misma ecuación. En la sección 2.1 podemos ver cómo, a partir de la ED, obtenemos información cualitativa de la misma respecto a sus gráficas, lo que nos permite interpretar los dibujos de las curvas solución. En la sección 2.6 usamos ecuaciones diferenciales para construir un procedimiento numérico para soluciones aproximadas.

2.1 CURVAS SOLUCIÓN SIN UNA SOLUCIÓN REPASO DE MATERIAL ● La primera derivada como pendiente de una recta tangente. ● El signo algebraico de la primera derivada indica crecimiento o decrecimiento.

INTRODUCCIÓN Imaginemos por un momento que nos enfrentamos con una ecuación  diferencial de primer orden  , y que además no podemos encontrar ni inventar un método para resolverla analíticamente. Esto no es tan malo como se podría pensar, ya que la ecuación diferencial en sí misma a veces puede “decirnos” concretamente cómo se “comportan” sus soluciones.

=,

Iniciaremos nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden con dos formas cualitativas de analizar una ED. Estas dos formas nos permiten determinar, de una manera aproximada, cómo es una curva solución sin resolver realmente la ecuación.

2.1.1 CAMPOS DIRECCIONALES

 ,   , 



ALGUNAS PREGUNTAS FUNDAMENTALES En la sección 1.2 vimos que si y  satisfacen algunas condiciones de continuidad, se pueden responder preguntas cualitativas acerca de la existencia y unicidad de las soluciones. En esta sección veremos otras preguntas cualitativas acerca de las propiedades de las soluciones. ¿Cómo se comporta una solución cerca de un punto dado? ¿Cómo se comporta una solución cuando ? Con frecuencia, estas preguntas se pueden responder cuando la función depende sólo de la variable  Sin embargo, comenzaremos con un simple concepto de cálculo:

 

/

Una derivada  de una función derivable en puntos de su gráfica.

→∞

.

= da las pendientes de las rectas tangentes

= de una ecuación diferencial de primer orden  = ,, 1  es necesariamente una función derivable en su intervalo  de definición, debe también ser continua en .  Por tanto la curva solución correspondiente en  no tiene cortes y debe tener una recta tangente en cada punto ,.  La función   en la forma normal (1) se llama función pendiente o función razón. La pendiente de la recta tangente en , en una curva solución es el valor de la primera derivada / en este punto y sabemos de la ecuación (1) que es el valor de la función pendiente  , .  Ahora supongamos que , representa cualquier punto   ,  que la función   le de una región del plano  en la que está definida la función  . El valor  , asigna al punto representa la pendiente de una recta o que la visualizaremos como un segmento de recta llamado elemento lineal. Por ejemplo, considere la ecuación /=0.2, donde  , ,  =0.2. En el punto 2,3 la pendiente de un elemento lineal es  2,3 2, 3 =0.223 =1.2. La figura 2.1.1a muestra un segmento de recta con pendiente 1.2 que pasa por 2,3. Como se muestra en la figura 2.1.1b, si una curva solución también pasa por el punto 2,3, lo hace de tal PENDIENTE Debido a que una solución

forma que el segmento de recta es tangente a la curva; en otras palabras, el elemento lineal es una recta tangente miniatura en ese punto.

a)

elemento lineal en un punto. el punto.

b) el elemento lineal es tangente a la curva solución que pasa por

FIGURA 2.1.1 El elemento lineal es tangente a la curva solución en

2,3.

 

CAMPO DIRECCIONAL Si evaluamos sistemáticamente a en una malla rectangular de puntos en el plano y se dibuja un elemento lineal en cada punto de la malla con pendiente  entonces al conjunto de todos estos elementos lineales se le llama campo direccional o  campo de pendientes de la ecuación diferencial  . Visualmente, la dirección del campo indica el aspecto o forma de una familia de curvas solución de la ecuación diferencial dada y, en consecuencia, se pueden ver a simple vista aspectos cualitativos de la solución, por ejemplo, regiones en el plano en las que una solución presenta un comportamiento poco común. Una sola curva solución que pasa por un campo direccional debe seguir el patrón de flujo del campo: el elemento lineal es tangente a la curva cuando intercepta un punto de la malla. La figura  2.1.2 muestra un campo direccional generado por computadora de la ecuación diferencial   en una región del plano . Observe cómo las tres curvas solución que se muestran a colores siguen el flujo del campo.

 ,,



, =,

+

=



FIGURA 2.1.2 Las curvas solución siguen el flujo de un campo direccional. EJEMPLO 1 Campo direccional

 =0.2

El campo direccional para la ecuación diferencial  que se muestra en la figura 2.1.3a se obtuvo usando un paquete computacional en el que se definió una malla  con y enteros, haciendo  – 5 _ m  _ 5, _5 _ n  _ 5, y h  _ 1. Observe en la figura 2.1.3a que en cualquier punto del eje de las   y del eje   las pendientes son y , respectivamente, por lo que los elementos lineales son horizontales. Además observe que en el primer cuadrante para un valor fijo de los valores de aumentan conforme crece ; análogamente, para una los valores de aumentan conforme aumenta. Esto significa que conforme y crecen, los elementos lineales serán casi verticales y tendrán pendiente positiva   para . En el segundo cuadrante, aumenta conforme crecen y crecen, por lo que nuevamente los elementos lineales serán casi verticales pero esta vez tendrán pendiente negativa  para ). Leyendo de izquierda a derecha, imaginemos una curva solución que inicia en un punto del segundo cuadrante, se mueve abruptamente hacia abajo, se hace plana conforme pasa por el eje y después, conforme entra al primer cuadrante, se mueve abruptamente hacia arriba; en otras palabras, su forma sería cóncava hacia arriba y similar a una herradura. A partir de esto se podría inferir que   conforme   Ahora en el tercer y el cuarto cuadrantes, puesto que y   respectivamente, la situación se invierte: una curva solución crece y después decrece conforme nos movamos de izquierda a derecha. .  es una solución explícita de  Vimos en la ecuación (1) de la sección 1.1 que ;  usted debería comprobar que una familia uniparamétrica de soluciones de la misma ecuación .   Con objeto de comparar con la figura 2.1.3a, en la figura 2.1.3b se está dada por: muestran algunos miembros representativos de esta familia.

  = 0



  = 0,

5 × 5 ℎ,ℎ    ,0 = 0  0, = 0

 , =0.2   , =0.2    | , |  , =0.2>0 >0,>0 ||  , =0.2 0  , =0.20

/ < 0) para toda  en un intervalo , entonces una función derivable = es creciente (o decreciente) en . COMENTARIOS Dibujar a mano un campo direccional es directo pero tardado; por eso es probable que en la vida solo una o dos veces se realice esta tarea, pero generalmente es más eficiente realizarlo usando un paquete computacional. Antes de las calculadoras, de las computadoras personales y de los programas se utilizaba el método de las isoclinas para facilitar el dibujo a mano de un campo direccional. Para la ED   cualquier miembro de la familia de curvas donde es una constante, se llama isoclina. Se dibujan elementos lineales que pasen por los puntos en una isoclina dada, digamos,   todos con la misma pendiente . En el problema 15 de los ejercicios 2.1 tiene dos oportunidades para dibujar un campo direccional a mano.

 , = , 

/ =  ,,



 , = 

2.1.2 ED DE PRIMER ORDEN AUTÓNOMAS ED DE PRIMER ORDEN AUTÓNOMAS En la sección 1.1 dividimos la clase de las ecuaciones diferenciales ordinarias en dos tipos: lineales y no lineales. Ahora consideraremos brevemente otra clase de clasificación de las ecuaciones diferenciales ordinarias, una clasificación que es de particular importancia en la investigación cualitativa de las ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial ordinaria en la que la variable independiente no aparece explícitamente se llama autónoma. Si el símbolo  denota a la variable independiente, entonces se puede escribir  una ecuación diferencial autónoma de primer orden como  o en la forma normal como



 ,  = 0  =  2  Supondremos que la función   en la ecuación (2) y su derivada  ′ son funciones continuas de  en algún intervalo . Las ecuaciones de primer orden  = 1 +  



 =0.2 

son respectivamente autónoma y no autónoma. Muchas ecuaciones diferenciales que se encuentran en aplicaciones o ecuaciones que modelan leyes físicas que no cambian en el tiempo son autónomas. Como ya hemos visto en la sección 1.3, en un contexto aplicado, se usan comúnmente otros símbolos diferentes de y de para representar las variables dependientes e independientes. Por ejemplo, si representa el tiempo entonces al examinar a







 =,  =  + 1  ,  =   ,  = 6  1  ,     100 donde , y  son constantes, se encuentra que cada ecuación es independiente del tiempo. Realmente, todas las ecuaciones diferenciales de primer orden introducidas en la sección 1.3 son independientes del tiempo y por tanto son autónomas.

 

PUNTOS CRÍTICOS Las raíces de la función en la ecuación (2) son de especial importancia. Decimos que un número real es un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma (2) si es una raíz de  es decir,  Un punto crítico también se llama punto de equilibrio o punto

 ,

   = 0.

 =  en la ecuación (2),

estacionario. Ahora observe que si sustituimos la función constante entonces ambos lados de la ecuación son iguales a cero. Esto significa que:



Si   es un punto crítico de la ecuación (2), entonces ecuación diferencial autónoma.

 =   es una solución constante de la

   = 

Una solución constante se llama solución de equilibrio; las soluciones de equilibrio son las únicas soluciones constantes de la ecuación (2).

 =    es 

 ,  = 1,2,3,

ya sea positiva o negativa en una subregión    una solución   es estrictamente monótona, es decir,   está creciendo o decreciendo en la subregión    Por tanto   no puede oscilar, ni puede tener un extremo relativo (máximo o mínimo). Véase el problema 33 de los ejercicios 2.1. • Puesto que

 .





 está acotada por arriba con un punto crítico  (como en la subregión  donde 0   =    =>0   La ecuación diferencial  =   en el ejemplo 2 es autónoma y tiene un número infinito de puntos críticos, ya que   = 0 en = , con  entero. Además, sabemos que debido a que la solución   pasa por 0,3/2  está acotada por arriba y por debajo por dos puntos críticos consecutivos  <  < 0 y decrece (   0  0. Aquí    denota el número de gramos del nuevo componente al tiempo . a) Utilice un esquema de fase de la ecuación diferencial para predecir el comportamiento de   conforme →∞. b) Considere el caso en que  =  . Utilice un esquema de fase de la ecuación diferencial para predecir el comportamiento de    conforme  → ∞ cuando  0 <  . Cuando  0 > . c) Compruebe que una solución explícita de la ED en el caso en que = 1 y  =  es   =   1/+. Determine una solución que satisfaga que  0 =/2. Después determine una solución que satisfaga que  0 = 2. Trace la gráfica de estas dos soluciones. ¿El comportamiento de las soluciones conforme  → ∞ concuerdan con sus respuestas del inciso b)? Solución: