Sec 11.2, Coordenadas y Vectores en El Espacio

11.22 Coordenadas y vectores en el espacio 11. Entender el sistema de coordenadas rectangulares tridimensional. Analizar vectores en el espacio. Utilizar vectores tridimensionales para resolver problemas de la vida real. Coordenadas en el espacio Hasta este punto del texto texto ha interesado principalmente el sistema de coordenadas bidimensional. En buena parte de lo que resta del estudio del cálculo se emplea el sistema de coordenadas tridimensional.

Sistema de coordenadas tridimensional

Figura 11.14  Antes de extender el concepto con cepto de vector a tres dimensiones, se debe poder identificar puntos pun tos en el sistema de coordenadas tridimensional. Se puede construir este sistema trazando en el origen un eje z perpendicular perpendicular al eje  x  al eje y . !a figura ""."# muestra la porci$n positiva de cada eje de coordenadas. %omados por pares, los ejes determinan tres planos coordenados& el plano  xy , el el plano  yz . Estos tres planos coordenados dividen el espacio tridimensional en plano  xz  el ocho octantes. El primer octante es en el que todas las coordenadas son positivas. En este sistema tridimensional, un punto P en el espacio está determinado por una terna ordenada ( x , y , z )  donde  x , y

  z

son&

 x =¿  distancia dirigida que va del plano

 yz

a P 

 y =¿  distancia dirigida que va del plano

 xz

a P 

 z =¿  distancia dirigida que va del plano

 xy

a P 

En la figura ""."' se muestran varios puntos.

!os puntos puntos en el sistem sistema a de coorden coordenada adas s tridim tridimens ension ional al se represe representa ntan n por medio medio de ternas ternas ordenadas

Figura 11.15 (n sistem sistema a de coorden coordenada adas s tridim tridimensi ensiona onall puede puede tener tener orient orientaci aci$n $n lev levógi ógira ra o detrógira. )ara determinar la orientaci$n de un sistema, se puede imaginar de pie en el origen, con los brazos apuntando en direcci$n de los ejes  x   y positivo  el eje  z apuntando hacia arriba, como se muestra en la figura ""."*. El sistema es dextr$giro o lev$giro dependiendo de qu+ mano queda apuntando a lo largo del eje  x . En este texto, se trabaja exclusivamente con el sistema dextr$giro.

Sistema dextr$giro

Sistema lev$giro

Figura 11.1! uchas uchas de las f$rmul f$rmulas as establ establecid ecidas as para para el sistem sistema a de coorden coordenadas adas bidime bidimensi nsiona onall pueden pueden extenderse a tres dimensiones. )or ejemplo, para encontrar la distancia entre dos puntos en el espacio, se usa dos veces el teorema pitag$rico, como se muestra en la figura ""."-. Haciendo esto,  x  x , y , z  x  x , y , z . se obtiene la f$rmula de la distancia entre los puntos ( 1 1 1 )   ( 2 2 2 ) d = √ ( x 2− x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2− z 1 )  Fórmulade  Fórmula de la distancia distancia 2

2

2

istancia entre dos puntos en el espacio

!os puntos puntos en el sistem sistema a de coorden coordenada adas s tridim tridimens ension ional al se represe representa ntan n por medio medio de ternas ternas ordenadas

Figura 11.15 (n sistem sistema a de coorden coordenada adas s tridim tridimensi ensiona onall puede puede tener tener orient orientaci aci$n $n lev levógi ógira ra o detrógira. )ara determinar la orientaci$n de un sistema, se puede imaginar de pie en el origen, con los brazos apuntando en direcci$n de los ejes  x   y positivo  el eje  z apuntando hacia arriba, como se muestra en la figura ""."*. El sistema es dextr$giro o lev$giro dependiendo de qu+ mano queda apuntando a lo largo del eje  x . En este texto, se trabaja exclusivamente con el sistema dextr$giro.

Sistema dextr$giro

Sistema lev$giro

Figura 11.1! uchas uchas de las f$rmul f$rmulas as establ establecid ecidas as para para el sistem sistema a de coorden coordenadas adas bidime bidimensi nsiona onall pueden pueden extenderse a tres dimensiones. )or ejemplo, para encontrar la distancia entre dos puntos en el espacio, se usa dos veces el teorema pitag$rico, como se muestra en la figura ""."-. Haciendo esto,  x  x , y , z  x  x , y , z . se obtiene la f$rmula de la distancia entre los puntos ( 1 1 1 )   ( 2 2 2 ) d = √ ( x 2− x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2− z 1 )  Fórmulade  Fórmula de la distancia distancia 2

2

2

istancia entre dos puntos en el espacio

Figura 11.1" EJEMPLO 1 #istancia entre dos puntos en el espacio

( 2,−1, 3 )

!a distancia entre los puntos



( 1,0,−2 )  es

d = √ ( 1−2 ) + ( 0 + 1 ) + ( 2 −3 )  Fórmulade  Fórmula de la distancia 2

2

2

¿ √ 1 + 1 +25 27 ¿ √ 27

¿ 3 √ 3

(na es$era con centro en

( x x

0

, y 0 , z0 )

  radio r está definida definida como el conjunto de todos los puntos

 x 0 , y 0 , z0 ) ( x , y , z )  tales que la distancia entre ( x , y , z )  ( x  es r . Se puede usar la f$rmula de la distancia para encontrar la ecuación ecuación canónica o est%ndar est%ndar de una es$era de radio r , con centro  x , y , z . en ( 0 0 0 )  Si ( x , y , z ) es un punto arbitrario en la esfera, la ecuaci$n de la esfera es 2

2

2

2

( x x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) =r  Ecuaciónde la esfera. 0

0

0

como se muestra en la figura ""."/. El punto medio del segmento de recta que une a los puntos ( x x 1 , y 1 , z 1 )   ( x x 2 , y 2 , z2 )  tiene coordenadas

(

)

 x1 + x 2  y 1 + y 2  z1 + z 2 , ,  Regla  Regla del punto medio. medio . 2

2

2

Figura 11.1&

EJEMPLO 2 Ecuación de una es$era Hallar la ecuaci$n can$nica o estándar de la esfera que tiene los puntos

( 5, – 2, 3)  (0,4, – 3 )

como extremos de un diámetro.

'olución Seg0n la regla del punto medio, el centro de la esfera es

(+

5 0 −2 + 4 3 −3 , , 2 2 2

)=(

)

5 , 1, 0  Regladel  Regla del puntomedio . 2

Seg0n la f$rmula de la distancia, el radio es r=

√( ) + ( − ) + (− − ) = √ 5 0− 2

2

4

1

2

3

0

2

97 √ 97 97 = 4 2

)or consiguiente, la ecuaci$n can$nica o estándar de la esfera es

( ) 5  x  x − 2

2

2

97 4

+ ( y −1 ) + z 2=   Ecuaci Ecuación ón dela esfe esfera ra .

(ectores (ect ores en el espacio En el espacio los vectores se denotan mediante ternas ordenadas denota por

0 =⟨ 0,0,0 ⟩ .

 (sando los vectores unitarios

v =⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩ .

i=⟨ 1,0,0 ⟩ , j =⟨ 0,1,0 ⟩



 El vector cero se k =⟨ 0,0,1 ⟩  en la

direcci$n direcci$n del eje positivo z , la notación empleando los vectores unitarios canónicos o est%ndar  para v es v =v 1 i + v 2  j + v 3 k 

!os vectores unitarios can$nicos o estándar en el espacio

Figura 11.1)

como se muestra en la figura ""."1. Si v se representa por el segmento de recta dirigido de  P ( p 1 , p2 , p3 ) Q ( 1 , 2 , 3 ) a como se muestra en la figura "".23, las componentes de v se obtienen restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final, como sigue v =⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩= ⟨  1− p1 , 2− p2 , 3 − p 3 ⟩

Figura 11.2* (EC+,-E' E E/ E'0AC, Sean

u= ⟨ u1 , u2 ,u3 ⟩

 

v =⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩

 vectores en el espacio  sea

1. Igualdad de vectores: u= v si  s$lo si u1= v 1 , u2= v 2 ,  

c

u3= v 3

un escalar. .

2. Expresión mediante las componentes: Si v se representa por el segmento de recta dirigido de  P ( p 1 , p2 , p3 )

 a

Q ( 1 , 2 , 3 )

 entonces

v =⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩= ⟨  1− p1 , 2− p2 , 3 − p 3 ⟩

2 2 2 . Longitud: ‖v‖= √ v 1+ v 2+ v 3

4. Vector unitario en la dirección de v:

( )

v 1 = ⟨v ,v ,v ⟩, v!0 ‖v‖ ‖v‖ 1 2 3

5. Suma de vectores: v + u =⟨ v 1 + u1 , v 2+ u2 , v 3+ u 3 ⟩ !. Multiplicación por un escalar: c v = ⟨ c v 1 , c v 2 , cv 3 ⟩

,+A !as propiedades de la suma de vectores  de la multiplicaci$n por un escalar dadas en el teorema ""." son tambi+n válidas para vectores en el espacio.

EJEMPLO 3 3allar las componentes de un vector en el espacio Hallar las componentes  la longitud del vector v que tiene punto inicial

(−2,3,1)    punto final

( 0,− 4, 4 ) .  espu+s, hallar un vector unitario en la direcci$n de v. 'olución El vector v dado mediante sus componentes es v =⟨ 1− p1 , 2− p 2 , 3 − p3 ⟩ =⟨ 0− (−2 ) ,− 4 −3, 4 −1 ⟩

¿ ⟨ 2, −7,3 ⟩ lo cual implica que su longitud es

‖v‖= √ 22 +(−7 )2 +32= √ 62 . El vector unitario en la direcci$n de v es u=

⟨

v 1 = ⟨ 2, −7,3 ⟩= 2 ,  − 7 , 3 ‖v‖ √ 62 √ 62 √ 62 √ 62

⟩

4ecordar que en la definici$n de la multiplicaci$n por un escalar se vio que m0ltiplos escalares positivos de un vector v distinto de cero tienen la misma direcci$n que v, mientras que m0ltiplos negativos tienen direcci$n opuesta a la de v. En general, dos vectores distintos de cero u  v son si existe alg0n escalar c tal que u= c v .

paralelos

#EFC #E (EC+,-E' 0A-A/E/,' os vectores distintos de cero u  v son paralelos si ha alg0n escalar c tal que

u= c v

5ectores paralelos

Figura 11.21 )or ejemplo, en la figura "".2", los vectores u, v   son paralelos porque

u=2 v

 

" =−v

EJEMPLO 4 (ectores paralelos El vector  tiene punto inicial

( 2,−1, 3 )   punto final (−4,7,5 )  67uál de los vectores siguientes

es paralelo a 8 a ¿ u= ⟨ 3,− 4,−1 ⟩ # ¿ v =⟨ 12,−16, 4 ⟩

'olución Empezar expresando  mediante sus componentes. " =⟨ −4 −2,7 −(−1 ) , 5 −3 ⟩ = ⟨−6,8,2 ⟩

a6 7omo

u= ⟨ 3,− 4,−1 ⟩ =

−1 ⟨ 2

−6,8,2 ⟩ =

−1 2

",

b6 En este caso, se quiere encontrar un escalar

⟨ 12, −16,4 ⟩=c ⟨−6,8,2 ⟩ 12=−6 c $ c =−2

−16 =8 c $ c =−2

se puede concluir que u es paralelo a . c

tal que

4 =2 c $c = 2

7omo no ha un

c

para el cual la ecuaci$n tenga soluci$n, los vectores no son paralelos.

EJEMPLO 5 Uso de vectores para determinar puntos colineales eterminar si los puntos  P (1, −2,3 ) , Q ( 2,1,0)    R ( 4,7,− 6 )  son colineales.

'olución !os componentes de  PQ    PR  son  PQ =⟨ 2− 1, 1−(−2 ) , 0 −3 ⟩ = ⟨ 1,3, −3 ⟩

⃗

9  PR= ⟨ 4 −1, 7 −(−2 ) ,− 6−3 ⟩ =⟨ 3,9,− 9 ⟩

⃗

Estos dos vectores tienen un punto inicial com0n. )or tanto, P , Q  4 están en la misma recta si  s$lo si  PQ   PR   son paralelos.  PQ   PR   son paralelos a que  PR =3 PQ  como se muestra en la figura "".22.

!os puntos P , Q  R están en la misma recta

Figura 11.22 EJEMPLO 6 otación empleando los vectores unitarios canónicos a6 Expresar el vector

v =4 i−5 k   por medio de sus componentes.

b6 Hallar el punto final del vector

v =7 i − j + 3 k 

'olución a6 7omo falta  7, su componente es 3  v = 4 i −5 k = ⟨ 4,0,−5 ⟩ .

dado que el punto inicial es  P (−2,3,5 ) .

Q ⟨  1 , 2 , 3 ⟩

b6 Se necesita encontrar

3 −5=3

1 −(−2 ) =7, 2−3 =−1,



3 =8

( 5,2,8 ) .

 )or tanto, Q es

v = PQ =7 i− j + 3 k 

tal que

Esto implica que

!a soluci$n de estas tres ecuaciones es

1 =5,  2=2



Aplicación EJEMPLO 7 8agnitud de una $uerza (na cámara de televisi$n de "23 libras está colocada en un tr:pode, como se muestra en la figura "".2;. 4epresentar la fuerza ejercida en cada pata del tr:pode como un vector.

Figura 11.2 'olución Sean los vectores  F 1 , F 2   F 3  las fuerzas ejercidas en las tres patas. A partir de la figura "".2;, se puede determinar que las direcciones de

 F 1 , F 2

 F 3

 

 son las siguientes.

 PQ1 =⟨ 0 −0,−1 −0, 0− 4 ⟩ = ⟨ 0,−1, −4 ⟩

⃗ ⟨ √  −

 PQ2 =

3 2

0,

⃗ ⟨ −√  −

 PQ3 =

3

2

0,

1 − 0,0 −4 2

1 2

⟩⟨

 √ 3 1

⟩⟨

−√ 3

=

−0, 0 −4 =

2

2

, , −4 2

,

1 2

⟩

,− 4

⟩

7omo cada pata tiene la misma longitud,  la fuerza total se distribue igualmente entre las tres  F  =  F  =  F  . patas, se sabe que ‖ 1‖ ‖ 2‖ ‖ 3‖  )or tanto, existe una constante c tal que

 F 1= c ⟨ 0,−1, −4 ⟩ , F 2= c

⟨

 √ 3 1 2

⟩

, , −4  y F 3 =c 2

⟨

 −√ 3 2

1

, , −4 2

⟩

Sea la fuerza total ejercida por el objeto la dada por

 F =⟨ 0,0,− 120 ⟩  Entonces, usando el hecho que

 F = F 1 + F 2+ F 3

se puede concluir que implica que

 F 1 , F 2

c (− 40 )=−40





 F 3

tienen todas una componente vertical de

c =10.   )or tanto, las fuerzas ejercidas sobre las patas pueden

representarse por   F 1= ⟨ 0, −10,−40 ⟩  F 2 =⟨ 5 √ 3 , 5, −40 ⟩

 F 3 =⟨−5 √ 3 , 5, −40 ⟩

11. 2 E7ercicios En los e7ercicios 1 y 29 aproimar las coordenadas de los puntos.

Soluci$n&

Soluci$n&

−40.   Esto

En los e7ercicios  a !9 representar los puntos en el mismo sistema de coordenadas tridimensional. 3. a ¿ (2,1,3 ) # ¿(−1,2,1)

Soluci$n&

3 4. a ¿ ( 3,−2, 5 ) # ¿( , 4, −2 ) 2

Soluci$n&

5. a ¿ ( 5, − 2,2 ) # ¿( 5, − 2,−2 )

Soluci$n&

6. a ¿ ( 0,4,−5 ) # ¿( 4,0,5 )

Soluci$n&

En los e7ercicios " a 1*9 :allar las coordenadas del punto. ". El punto se localiza tres unidades detrás del plano  yz ,  cuatro unidades a la derecha del plano  xz

 cinco unidades arriba del plano  xy .

Soluci$n&

&. El punto se localiza siete unidades delante del plano  xz

 una unidad debajo del plano

 yz ,

 dos unidades a la izquierda del plano

 xy.

Soluci$n&

). El punto se localiza en el eje  x , 12  unidades delante del plano  yz . Soluci$n&

1*. El punto se localiza en el plano  yz ,  tres unidades a la derecha del plano  xz  dos unidades arriba del plano  xy . Soluci$n&

11. Para pensar 67uál es la coordenada  z de todo punto en el plano  xy 8 Soluci$n&

12. Para pensar 67uál es la coordenada  x de todo punto en el plano  yz 8 Soluci$n&

En los e7ercicios 1 a 249 determinar la localización de un punto condición 4

Soluci$n&

21 . xy > 0, z =−3

Soluci$n

22. xy < 0, z = 4

Soluci$n&

23. xy z < 0

Soluci$n&

24. xy z > 0

Soluci$n&

En los e7ercicios 25 a 2&9 :allar la distancia entre los puntos. 25. ( 0,0,0 ) , (−4,2,7 )

Soluci$n&

26. (−2,3,2 ) , ( 2, −5,−2 )

Soluci$n&

27. (1, −2, 4 ) , ( 6, −2,−2 )

Soluci$n&

28. (2,2,3 ) , ( 4, −5,6 )

Soluci$n&

En los e7ercicios 2) a 29 :allar las longitudes de los lados del tri%ngulo con los v=rtices ;ue se indican9 y determinar si el tri%ngulo es un tri%ngulo rect%ngulo9 un tri%ngulo isósceles9 o ninguna de ambas cosas.

29. ( 0,0,4 ) , ( 2,6,7 ) , ( 6,4,− 8 )

Soluci$n&

30. ( 3,4,1 ) , ( 0,6,2 ) , ( 3,5,6 )

Soluci$n&

31. ( −1,0,−2 ) , ( −1,5,2 ) , (−3,−1, 1 )

Soluci$n&

32. ( 4,−1, −1 ) , ( 2,0,− 4 ) , (3,5,−1 )

Soluci$n&

. Para pensar El triángulo del ejercicio 21 se traslada cinco unidades hacia arriba a lo largo del eje  z .  eterminar las coordenadas del triángulo trasladado. Soluci$n&

4. Para pensar El triángulo del ejercicio ;3 se traslada tres unidades a la derecha a lo largo del eje  y .

 eterminar las coordenadas del triángulo trasladado

Soluci$n&

En los e7ercicios 5 y !9 :allar las coordenadas del punto medio del segmento de recta ;ue une los puntos. 35. ( 5, −9, 7 ) , (−2,3,3 )

Soluci$n&

36. ( 4,0,−6 ) , ( 8,8,20 )

Soluci$n&

En los e7ercicios " a 4*9 :allar la ecuación est%ndar de la es$era. ". 7entro& (0,2,5)

4adio& 2

Soluci$n&

&. 7entro& (4, −1,1 ) Soluci$n&

4adio& '

). )untos terminales de un diámetro& ( 2,0,0 ) , (0,6,0 ) Soluci$n&

4*. 7entro& (−3,2,4 ),  tangente al plano  yz Soluci$n&

En los e7ercicios 41 a 449 completar el cuadrado para dar la ecuación de la es$era en $orma canónica o est%ndar. 3allar el centro y el radio 41. x

2

+ y 2 + z 2−2 x + 6 y + 8 z + 1 =0

Soluci$n&

42. x

2

+ y 2 + z 2 + 9 x −2 y + 10 z +19 =0

Soluci$n&

43.9 x

2

+ 9  y 2+ 9 z 2−6 x +18 y +1=0

Soluci$n&

44.4 x

2

+ 4  y 2+ 4 z 2−24 x −4 y + 8 z −23 =0

Soluci$n&

En los e7ercicios 45 a 4&9 describir el sólido ;ue satis$ace la condición. 45. x

2

+ y 2 + z 2 % 36

Soluci$n&

46. x

2

+ y 2 + z 2 >4

Soluci$n&

47. x

2

+ y 2 + z 2 < 4 x −6 y + 8 z −13

Soluci$n&

48. x

2

+ y 2 + z 2 >−4 x + 6 y − 8 z − 13

Soluci$n&

En los e7ercicios 4) a 529 a6 encontrar las componentes del vector v9 b6 escribir el vector  utilizando la notación del vector unitario est%ndar y c 6 dibu7ar el vector con su punto inicial en el origen.

Soluci$n&

Soluci$n&

Soluci$n&

Soluci$n&

En los e7ercicios 5 a 5!9 :allar las componentes y la magnitud del vector v9 dados sus puntos inicial y $inal. #espu=s :allar un vector unitario en la dirección de v. Punto inicial

Punto inal 

53. ( 3,2,0 ) ( 4,1,6 )

Soluci$n&

54. ( 4,−5, 2 ) (−1,7,−3 )

Soluci$n&

55. ( −4,3,1 ) (−5,3,0 )

Soluci$n&

56. ( 1, −2, 4 ) ( 2,4, −2 )

Soluci$n&

En los e7ercicios 5" y 5& se indican los puntos inicial y $inal de un vector v. a6 #ibu7ar el segmento de recta dirigido9 b6 encontrar las componentes del vector9 c 6 escribir el vector  usando la notación del vector unitario est%ndar y d 6 dibu7ar el vector con su punto inicial en el origen. 5". )unto inicial& Soluci$n&

(−1,2,3 )

)unto final&

(3,3,4 )

5&. )unto inicial& ( 2,−1, −2)

)unto final&

(−4,3,7 )

Soluci$n&

En los e7ercicios 5) y !*9 se dan el vector v y su punto inicial. Encontrar el punto $inal. 59. v = ⟨ 3,−5, 6 ⟩

)unto inicial&

(0,6,2)

Soluci$n&

⟨

2 1 60. v = 1,−  , 3 2

Soluci$n&

⟩

5

)unto inicial&

(0,2, ) 2

En los e7ercicios !1 y !29 :allar cada uno de los m>ltiplos escalares de v y representar su gr%$ica. 61. v = ⟨ 1,2,2 ⟩

a ¿ 2 v # ¿− v c ¿

 3 v d ¿0v 2

Soluci$n&

62. v = ⟨ 2,−2, 1 ⟩

a ¿−v # ¿ 2 v c ¿

Soluci$n&

 1 5 v d ¿  v 2 2

En los e7ercicios ! a !&9 encontrar el vector z9 dado ;ue u= ⟨ 1,2,3 ⟩ , v = ⟨ 2,2, −1 ⟩  y " =⟨ 4,0, −4 ⟩ 63. z =u− v

Soluci$n&

64. z =u− v + 2 "

Soluci$n&

65. z =2 u + 4 v −"

Soluci$n&

1 66. z =5 u −3 v −  " 2

Soluci$n&

67.2 z −3 u ="

Soluci$n&

68.2 u + v − " + 3 z =0

Soluci$n&

En los e7ercicios !) a "29 determinar cu%les de los vectores son paralelos a z. Usar una :erramienta de gra$icación para con$irmar sus resultados. 69. z =⟨ 3,2,−5 ⟩

⟨

4 3

a ¿ ⟨ −6,− 4,10 ⟩ # ¿ 2,  , −

⟩

10 c ¿ ⟨ 6, 4,10 ⟩ d ¿ ⟨ 1,−4, 2 ⟩ 3

Soluci$n&

1 2 3 70. z = i − j +  k  2 3 4

a ¿ 6 i −4 j + 9 k # ¿−i +

4 3  3 9 j− k c ¿ 12 i + 9 k d ¿  i − j +  k  3 2 4 8

Soluci$n&

"1.  z tiene el punto inicial (1,−1, 3 )   el punto final (−2,3,5 )

a ¿ 6 i −4 j + 9 k 

# ¿ 4 j + 2 k 

Soluci$n&

"2.

 z

tiene el punto inicial

( 5,4,1 )   el punto final (−2,−4, 4 )

a ¿ ⟨ 7,6,2 ⟩ # ¿ ⟨ 14,16,−6 ⟩

Soluci$n&

En los e7ercicios " a "!9 usar vectores para determinar si los puntos son colineales. 73. ( 0, −2,−5 ) , ( 3,4,4 ) , ( 2,2,1)

Soluci$n&

74. ( 4,−2, 7 ) , (−2,0,3 ) , ( 7,−3, 9 )

Soluci$n&

75. ( 1,2,4 ) , ( 2,5,0 ) , ( 0,1,5 )

Soluci$n&

7 6. ( 0,0,0 ) , ( 1,3, −2 ) , ( 2,−6, 4 )

Soluci$n&

En los e7ercicios "" y "&9 usar vectores para demostrar ;ue los puntos son v=rtices de un paralelogramo. 77. ( 2,9,1 ) , ( 3,11,4 ) , ( 0,10,2 ) , ( 1,12,5)

Soluci$n&

78. ( 1,1,3 ) , ( 9, −1,−2 ) , ( 11,2, −9 ) , ( 3,4, −4 )

Soluci$n&

En los e7ercicios ") a &49 :allar la longitud de v. 79. v = ⟨ 0,0,0 ⟩

Soluci$n&

80. v = ⟨ 1,0,3 ⟩

Soluci$n&

81. v =3  j −5 k 

Soluci$n&

82. v =2 i + 5  j − k 

Soluci$n&

83. v =i− 2  j −3 k 

Soluci$n&

84. v =−4 i + 3 j+ 7 k 

Soluci$n&

En los e7ercicios &5 a &&9 :allar un vector unitario a6 en la dirección de v y b6 en la dirección opuesta a u. 85. v = ⟨ 2,−1, 2 ⟩

Soluci$n&

86. v = ⟨ 6,0,8 ⟩

Soluci$n&

87. v = ⟨ 3,2,−5 ⟩

Soluci$n&

88. v = ⟨ 8,0,0 ⟩

Soluci$n&

&). Programación Se dan las componentes de los vectores u  v. Escribir un programa para una herramienta de graficaci$n donde el resultado es a< las componentes de u + v !< ‖u + v‖ c <

‖u‖   d < ‖v‖. e< Ejecutar el programa para los vectores

u= ⟨− 1,3,4 ⟩  

v =⟨ 5,4.5,− 6 ⟩

Soluci$n&

0ara discusión )*. 7onsiderar dos vectores distintos de cero u  v,  sean s  t n0meros reales. escribir la figura s u +t v . geom+trica generada por los puntos finales de los tres vectores t v, u + t v  Soluci$n&

En los e7ercicios )1 y )29 determinar los valores de c ;ue satis$acen la ecuación. 'ea u=i + 2 j + 3 k   y v =2 i + 2  j − k . 91.‖c v‖=7

Soluci$n&

92.‖c u‖= 4

Soluci$n&

En los e7ercicios ) a )!9 encontrar el vector v con la magnitud dada y en dirección de u. Magnitud

Dirección

93.10 u =⟨ 0,3,3 ⟩

Soluci$n&

94.3 u =⟨ 1,1,1 ⟩

Soluci$n&

95.

3 2

u= ⟨ 2,−2, 1 ⟩

Soluci$n&

96.7 u= ⟨ −4,6,2 ⟩

Soluci$n&

En los e7ercicios )" y )&9 dibu7ar el vector v y dar sus componentes. )". v está en el plano  yz ,  tiene magnitud 2  forma un ángulo de ;3= con el eje y positivo. Soluci$n&

)&. v está en el plano  xz ,  tiene magnitud '  forma un ángulo de #'= con el eje z positivo. Soluci$n&

En los e7ercicios )) y 1**9 usar vectores para encontrar el punto ;ue se encuentra a dos tercios del camino de P a Q . 99. P ( 4,3,0 ) , Q ( 1,−3, 3 )

Soluci$n&

100. P ( 1,2,5 ) , Q ( 6,8,2 )

Soluci$n&

1*1. Sean u=i +  j  " =a u + # v . a< ibujar u  v. !< Si " =0, demostrar que tanto a como ! deben ser cero. c < Hallar a  b tales que

" =i + 2 j + k .

d < )robar que ninguna elecci$n de a  b da

" =i+ 2  j + 3 k .

Soluci$n&

1*2. Redacción !os puntos inicial  final del vector v son ( x 1 , y 1 , z 1 ) conjunto de todos los puntos ( x , y , z )  tales que ‖v‖= 4.



( x , y , z ) .   escribir el

Soluci$n&

#esarrollo de conceptos 1*. (n punto en el sistema de coordenadas tridimensional tiene las coordenadas

( x

escribir qu+ mide cada una de las coordenadas. Soluci$n&

1*4. ar la f$rmula para la distancia entre los puntos

( x

1

, y1 , z1 )

 

( x

2

, y 2 , z2 ) .

Soluci$n&

1*5. ar la ecuaci$n can$nica o estándar de una esfera de radio r , centrada en ( x 0 , y 0 , z0 ) . Soluci$n&

1*!. ar la definici$n de vectores paralelos.

0

, y 0 , z0 ) .

Soluci$n&

1*". Sean ", #  $ los v+rtices de un triángulo. Encontrar  &' + '( + (& . Soluci$n&

1*&. Sean r = ⟨ x , y , z ⟩   r 0= ⟨ x 0 , y 0 , z 0 ⟩ que

escribir el conjunto de todos los puntos

( x , y , z )   tales

‖r −r ‖=2. 0

Soluci$n&

1*). An!isis n"m#rico$ gr%ico & ana!'(ico !os focos en un auditorio son discos de 2# libras  "/ pulgadas de radio. 7ada disco está sostenido por tres cables igualmente espaciados de L pulgadas de longitud >ver la figura