ENGENHARIA CIVIL – ANÁLISE DE ESTRUTURAS 2 Método dos Deslocamentos
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
Paulo Xavier Candeias
[email protected] [email protected] http://pwp.net.ipl.pt/dec.isel/pcandeias/ http://pwp.net.ipl.pt/dec.isel/pcandeias/
Bibliografia “Structural Analysis–A unified classical and matrix approach”, A. Ghali, A. M. Neville
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Descrição do método 1. Introdução das restrições cinemáticas e definição das incógnitas hipercinemáticas (Di) e dos efeitos a determinar (Ai); 2. Determinação das forças de fixação (F) e efeitos (Ari) devidos às acções na estrutura restringida (forças aplicadas e/ou deslocamentos impostos); 3. Aplicação alternada das incógnitas hipercinemáticas com valores unitários para determinação das rigidezes (Sij) e efeitos (Aui) na estrutura restringida; 4. Resolução das equações de equilíbrio para obtenção das incógnitas hipercinemáticas, [S]{D}=-{F}; 5. Sobreposição dos efeitos a determinar, [A]=[Ar]+[Au]x{D}.
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Exemplo: determinar os diagramas de momentos flectores em toda a estrutura (desprezar a deformabilidade axial das barras)
D 1 Introdução das restrições e definição de incógnitas hipercinemáticas: {D} = D 2 D 3
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M1 M 2 M Efeitos a determinar: {A} = 3 M4 M5 M6
Determinação das forças e efeitos (fase 0): − 0,5 {F} = P × − l , 0,125l
− 1 1 Pl − 1 {Ar} = × 8 1 0 0
Determinação da matriz de rigidez e efeitos (fases 1, 2 e 3): 108 l2 EI 6 [S] = × − l l − 24 l
6 − l 8 2
24 − l
2 , 12
6 − l 6 − l EI 0 [Au] = × l 0 24 − l − 24 l
2 0 4 4 2 0 0
0 2 4 8 4
Resolução da equação do método dos deslocamentos:
−1
{D} = [S]
0,0087l Pl2 × {− F} = × 0,1355 EI − 0,0156
Determinação dos momentos flectores por sobreposição de efeitos: 0,09 0,61 0,39 {A} = {Ar} + [Au] × {D} = Pl × 0 , 33 − 0,33 − 0,27
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Exemplo: determinar os diagramas de momentos flectores em toda a estrutura devido à acção distinta (1) das cargas ilustradas, (2) de um assentamento vertical δD no apoio D. Considerar EI=constante e desprezar a deformabilidade axial das barras.
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Formulação matricial do Método dos Deslocamentos Forças de extremidade (eixos locais)
s(1) s(2) s(3) {S}n = s( 4) s(5) s(6)n
Deslocamentos de extremidade (eixos locais)
u(1) u(2) u(3) {U}n = u ( 4 ) u(5) u(6)n
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Matriz de rigidez elementar Sem deformação por esforço transverso EA L 0 0 [Km]n = EA − L 0 0
0
0
12EI
6EI
3
−
−
L 4EI L
0
0
0
0
−
2
L 6EI L2 12EI L3 6EI L2
EA L
12EI 3
L 6EI − 2 L
0
6EI L2 2EI L
−
EA L
0 12EI L3 6EI − 2 L
0 0
0 6EI
L 2EI L 0 6EI − 2 L 4EI L n 2
Com deformação por esforço transverso EA L 0 0 [Km]n = − EA L 0 0
EA L
0
0
12EI
6EI
L3 (1 + β ) 6EI L2 (1 + β )
L2 (1 + β ) (4 + β)EI L(1 + β )
0
0
0
EA L
12EI 6EI − 2 L (1 + β ) L (1 + β ) (2 − β)EI 6EI L(1 + β ) L2 (1 + β )
−
3
−
0
0 0
12EI 6EI − L3 (1 + β ) L2 (1 + β) 6EI (2 − β)EI − 2 12EI L(1 + β) L (1 + β ) ,β= 2 GA L c 0 0 12EI 6EI − L3 (1 + β ) L2 (1 + β ) (4 + β)EI 6EI − 2 L(1 + β) n L (1 + β ) 0
0
Equação elementar
{S}n = [Km ]n × {U}n + S n
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Forças de extremidade (eixos globais)
Deslocamentos de extremidade (eixos globais)
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