Sebenta Alga

August 23, 2017 | Author: Patríciaa Barros | Category: Determinant, Matrix (Mathematics), Matrix Theory, Functions And Mappings, Mathematical Objects

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Cap´ıtulo 1 Sistemas de Equa¸ co ˜es Lineares e Matrizes Os sistemas de equa¸cões lineares tem uma grande aplica¸caõ a diferentes a´reas, tais como à Economia, às Engenharias, à F´ısica, . . .. De facto, muitos problemas nestas áreas levam à necessidade de resolver sistemas de equa¸co˜es lineares com um determinado n´ umero de equa¸cões e incógnitas. Salienta-se que existem programas como o Mathematica e o MatLab que permitem resolver eficazmente estes sistemas quando o n´ umero de equa¸co˜es e incógnitas é bastante elevado. Por esta razão apresentaremos apenas exemplos de dimensão pequena.

1.1

Generalidades

Defini¸c˜ ao 1.1.1 Uma equa¸cão linear nas incógnitas x1 , x2 , . . . , xn é uma equa¸cão do tipo a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b, (1.1) ´ habitual designar-se b segundo onde a1 , a2 , . . . , an , b são n´ umeros reais. E membro ou termo independente da equa¸cão (1.1) e a1 , a2 , . . . , an coeficientes das incógnitas. Diz-se que o n-´ uplo (α1 , α2 , . . . , αn ) é solu¸cão de (1.1) se a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn = b. A conjun¸caõ de equa¸co˜es lineares do tipo (1.1) designa-se sistema de equa¸cões lineares. 1

˜ 2 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES LINEARES E MATRIZES Defini¸c˜ ao 1.1.2 Um sistema constitu´ıdo por m equa¸cões lineares nas n incógnitas x1 , x2 , . . . , xn , pode representar-se da seguinte forma:   a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1    a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 (1.2) .. ..  . .    a x + a x + ... + a x = b . m1 1 m2 2 mn n m A resolu¸cão de um sistema de equa¸cões lineares consiste em determinar todas as suas solu¸co˜es (caso existam). Deste modo, um sistema de equa¸co˜es lineares diz-se: 1. Poss´ıvel quando tem solu¸cão; 1.i Determinado quando a solu¸cão é u ńica; 1.ii Indeterminado quando tem mais do que uma solu¸caõ; Designa-se grau de indetermina¸cão do sistema ao n´ umero de incógnitas livres, isto é, incógnitas que podem tomar valores arbitrários. 2. Imposs´ıvel quando não tem solu¸caõ. No caso do sistema de equa¸co˜es lineares (1.2) ser poss´ıvel, o n-´ uplo (α1 , α2 , . . . , αn ) é solu¸cão do sistema se as substitui¸co˜es xi = αi ; i = 1, 2, . . . , n, transformam todas as equa¸co˜es do sistema em identidades verdadeiras. Defini¸c˜ ao 1.1.3 Dois sistemas de equa¸cões lineares com o mesmo n´ umero de equa¸cões e de incógnitas dizem-se equivalentes se o conjunto solu¸cão for igual. Defini¸c˜ ao 1.1.4 Um sistema de equa¸cões lineares cujos termos independentes são todos nulos designa-se de sistema homogéneo. Este tipo de sistema será sempre poss´ıvel, pois possui sempre, pelo menos, a solu¸cão nula. De modo a ilustrar a aplica¸caõ do método de elimina¸cão de Gauss-Jordan na resolu¸cão de sistemas de equa¸cões lineares, introduzir-se-à alguma terminologia, nomeadamente, tabelas de dupla entrada designadas de matrizes.

1.1. GENERALIDADES

3

As matrizes denotam-se habitualmente por letras mai´ usculas. Alguns exemplos de matrizes são: A=

2 3 5 1 −3 6



 1 4 B =  0 −3  , 2 7

,



 1 3 5 C =  1 −3 6  5 8 3

As matrizes consistem de linhas e colunas. Por exemplo, considerando a matriz 2 3 5 A= , 1 −3 6 As linhas são

2 3 5 , linha 1

1 −3 6 , linha 2

e as colunas são

2 1 , coluna 1

3 −3 , coluna 2

5 6 . coluna 3

Defini¸c˜ ao 1.1.5 As matrizes consistem em tabelas de dupla entrada, em que a localiza¸cão de um elemento na matriz é descrita indicando a linha e a coluna na qual o elemento se encontra. Assim, o elemento que se encontra na linha i, coluna j da matriz A denota-se por aij . Deste modo podemos visualizar uma matriz arbitrária m × n do seguinte modo:    A= 

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

. . . a1n . . . a2n . . . . ..

   . 

am1 am2 . . . amn Cada uma das m filas horizontais de A designa-se por linha de A enquanto cada uma das n filas verticais se designa por coluna de A. Uma matriz com m linhas e n colunas de n´ umeros reais diz-se uma matriz de ordem ou tipo m × n sobre R.

˜ 4 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES LINEARES E MATRIZES O conjunto de todas as matrizes do tipo m × n sobre R representa-se por Mm×n . A ordem de uma matriz é descrita especificando o n´ umero de linhas e de colunas da matriz. Por exemplo, uma matriz com duas linhas e três colunas diz-se uma matriz de ordem 2 × 3, o primeiro n´ umero indica o n´ umero de linhas e o segundo o n´ umero de colunas. Quando o n´ umero de linhas é igual ao n´ umero de colunas (m = n), diz-se que a matriz é quadrada e escreve-se A ∈ Mn , caso contrário diz-se que a matriz é rectangular. No caso ` da matriz ser quadrada, os elementos diagonais de A são a11 , a22 , . . . , ann . A sequência ordenada constitu´ıda por estes elementos (a11 , a22 , . . . , ann ) chamase diagonal principal de A. A sequência ordenada constitu´ıda pelos elementos (a1n , a2,n−1 , . . .,an1 ) designa-se diagonal secundária. Uma matriz composta por uma linha diz-se matriz linha e uma matriz composta por uma coluna diz-se matriz coluna. Por exemplo, 





2 1 3  1 −1 0 matriz 2×3 , matriz rectangular 



3 1 2  −3 0 1  2 1 −8 matriz 3×3 , matriz quadrada    



h

i

5 3 1 matriz 1×3 matriz linha



5  3  1 matriz 3×1 matriz coluna    

Continuar-se-á, agora, o tema inicial desta seçcaõ. Existem duas matrizes associadas a um sistema de equa¸co˜es lineares: a matriz dos coeficientes constitu´ıda pelos coeficientes das variáveis do sistema e a matriz ampliada constitu´ıda pela matriz dos coeficientes, juntamente com os termos independentes. A matriz dos coeficientes denota-se habitualmente por A e a matriz ampliada por [A|B]. Por exemplo, a matriz dos coeficientes e a matriz ampliada associada ao sistema de equa¸cões lineares seguinte é:     1 −1 2 1 −1 2 1   2 0 2   2 0 2 1   x − y + 2z = 1 1 −3 5 1 −3 5 3 , 2x + 2z =1  x − 3y + 5z = 3. matriz dos coeficientes matriz ampliada respectivamente. As transforma¸co˜es designadas transforma¸cões elementares, aplicam-se ao sistema inicial de modo a obter um sistema mais simples e equivalente ao primeiro. Assim, dado um sistema de equa¸cões lineares, S, obtém-se um sistema equivalente a S, quando:

1.1. GENERALIDADES

5

1. Se troca a ordem das equa¸co˜es; 2. Se multiplicam ambos os membros de uma dada equa¸caõ por uma constante diferente de zero; 3. A uma equa¸cão se soma uma outra, eventualmente multiplicada por uma constante arbitrária. As transforma¸cões anteriores podem representar-se simbolicamente do seguinte modo: 1. Ei ↔ Ej ; 2. Ei ← αEi ,

α 6= 0;

3. Ei ← Ei + βEj . A troca da ordem das incógnitas permite também obter sistemas equivalentes entre si. Utilizam-se transforma¸co˜es análogas, designadas opera¸cões elementares, na resolu¸caõ de sistemas de equa¸cões lineares recorrendo ao método matricial, nomedadamente 1. Troca entre si de duas linhas da matriz; 2. Multiplica¸cão de uma linha da matriz por um n´ umero diferente de zero; 3. Substitui¸cão de uma linha da matriz pela sua soma com um m´ ultiplo de outra, e podem representar-se simbolicamente da forma seguinte: 1. Li ↔ Lj ; 2. Li ← αLi , α 6= 0; 3. Li ← Li + βLj . Para cada uma das três opera¸co˜es elementares anteriores existem opera¸co˜es análogas correspondente a`s colunas, que se podem escrever simbolicamente do seguinte modo:

˜ 6 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES LINEARES E MATRIZES 1. Ci ↔ Cj ; 2. Ci ← αCi , α 6= 0; 3. Ci ← Ci + βCj . No método de elimina¸caõ de Gauss-Jordan as transforma¸cões elementares são utilizadas para eliminar de um modo sistemático variáveis. O objectivo final deste método é o de se obter um sistema cujas solu¸co˜es são dadas de modo imediato. Ilustrar-se-à, no exemplo seguinte, o modo de funcionamento deste método quer através das equa¸co˜es quer recorrendo às matrizes. O leitor deverá observar no modo como as variáveis são eliminadas nas equa¸cões e como isto se processa em termos matriciais onde são colocados zeros em determinadas posi¸cões. Exemplo. Resolva o sistema de equa¸co˜es   x − y + 2z 2x + 2z  x − 3y + 5z

lineares =1 =1 = 3.

Solu¸c˜ ao. Pretende-se eliminar os coeficientes de x na 2a e 3a equa¸co˜es, para tal substituem-se estas equa¸co˜es pela sua soma com o produto de −2 e −1 vezes a 1a equa¸caõ, respectivamente. No segundo passo para eliminar o coeficiente de y na 3a equa¸caõ basta adicionar a esta equa¸caõ a 2a equa¸caõ. Isto é,    x −y +2z = 1  x −y +2z = 1 ⇐⇒ 2x +2z = 1 2y −2z = −1 E2 ←E2 −2E1   E ←E −E 3 3 1 x −3y +5z = 3 −2y +3z = 2   x −y +2z = 1 2y −2z = −1 ⇐⇒E3 ←E3 +E2  z = 1. Para obter a solu¸cão do sistema prossegue-se utilizando a substitui¸cão inversa. Assim, o conjunto solu¸caõ deste sistema é {(− 21 , 12 , 1)}, ou seja, é poss´ıvel e determinado. No método matricial, à matriz ampliada associada ao sistema, [A|B], efectuam-se as mesmas sequências de opera¸co˜es elementares sobre linhas que

´ ˜ DE GAUSS 1.2. METODO DE ELIMINAC ¸ AO

7

se executaram anteriormente. Neste caso,     1 −1 2 | 1 1 −1 2 | 1 −→ [A|B] =  2 0 2 | 1  L2 ←L2 −2L1  0 2 −2 | −1  L3 ←L3 −L1 1 −3 5 | 3 0 −2 3 | 2   1 −1 2 | 1 −−−−−−−−−→  L3 ← L3 + L2 0 2 −2 | −1  . 0 0 1 | 1 Au ´ltima matriz representa o sistema   x −y +2z = 1 2y −2z = −1  z = 1, que pode ser resolvido por substitui¸cão inversa dando origem ao mesmo conjunto solu¸caõ já anteriormente obtido.

1.2

M´ etodo de elimina¸ c˜ ao de Gauss

Na se¸caõ anterior, ilustrou-se o método de elimina¸caõ de Gauss num sistema de equa¸co˜es lineares em que o n´ umero de equa¸cões e incógnitas era igual. De seguida, explica-se o funcionamento deste método no caso geral. Primeiro, introduz-se o conceito de matriz em escada de linha. Defini¸c˜ ao 1.2.1 Diz–se que uma matriz A de ordem Mm×n está em forma de escada de linhas se satisfizer as condi¸cões seguintes: 1. Se r < m e a linha r é nula, então a linha r + 1 também é nula; 2. Se s < m, a linha s é não nula e ast é a sua primeira entrada não nula (designada “pivot”), então para todo o j ∈ {1, . . . , t}, as+1j = 0. Assim, uma matriz está em forma de escada de linhas se as entradas debaixo do “pivot” são iguais a zero. Exemplo. A matriz A de ordem  0  0  A=  0  0 0

5×6 1 0 0 0 0

2 0 0 0 0

 0 2 4 3 −1 0   0 −1 5   0 0 0  0 0 0

˜ 8 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES LINEARES E MATRIZES está em forma de escada de linhas. No entanto, a matriz B de ordem 4 × 6   0 1 2 0 0 4  0 0 1 1 0 0   B=  0 0 1 0 1 5  0 0 0 0 0 0 não está em forma de escada de linhas. O método de elimina¸cão de Gauss aplica-se à matriz ampliada de um dado sistema de equa¸co˜es lineares com o objectivo de a colocar na forma em escada de linhas. Assim, em cada passo do método identifica-se o “pivot” e eliminam-se os coeficientes dos termos correspondentes que se situam abaixo dele. Na prática usa-se uma variante do método de elimina¸cão de Gauss que se pode sintetizar no algoritmo seguinte: Para i = 1, . . . , m 1. Seja t o menor elemento de {1, . . . , n}, tal que ait 6= 0 (ait é candidato a “pivot” no passo corrente). 2. Seja r o menor elemento de {1, . . . , t − 1} tal que akr 6= 0, k ∈ {i + 1, . . . , m}. i. Caso não exista este elemento ait é o “pivot”; ii. Caso exista este elemento troca-se a k-ésima pela i-ésima equa¸cão e air é o “pivot”. 3. Seja l a coluna onde se situa o “pivot”. Para cada s ∈ {i + 1, . . . , m}, substitui-se a s-ésima equa¸cão pela sua soma com o produto de − aaslil pela i-ésima equa¸cão. Após terminar o processo de elimina¸caõ de Gauss, a resolu¸cão do sistema prossegue através da substitui¸caõ inversa, isto é, substituindo da u ´ltima para a primeira equa¸cão os valores entretanto determinados. Observe-se, no entanto, que na resolu¸caõ de sistemas de equa¸co˜es lineares não é poss´ıvel utilizar opera¸co˜es elementares sobre colunas, com excep¸caõ da troca de colunas aplicada à matriz dos coeficientes. No caso de uma matriz não estar na forma de escada de linhas, a elimina¸caõ de Gauss permite obter a partir desta matriz, e efectuando um n´ umero

´ ˜ DE GAUSS 1.2. METODO DE ELIMINAC ¸ AO

9

finito de opera¸cões elementares sobre linhas e/ou colunas, uma nova matriz na forma de escada de linhas. Exemplo.Utilize o método de elimina¸cão de Gauss para encontrar uma matriz em escada de linha a partir da matriz A.   0 0 0 0 0  0 9 6 −6 3   A=  0 4 5 −3 −4  0 2 2 −2 −2 Solu¸c˜ ao.  A

=

→L1 → 1

2

→L3 →L3 −4L1

→L3 →L3 +3L2

0  0   0 0  0  0   0 0  0  0   0 0  0  0   0 0

0 9 4 2 1 9 4 0 1 0 0 0 1 0 0 0

   0 0 0 0 2 2 −2 −2   6 −6 3   →L1 ↔L5  0 9 6 −6 3   0 4 5 −3 −4  5 −3 −4  2 −2 −2 0 0 0 0 0    1 −1 −1 0 1 1 −1 −1   6 −6 3   →L2 →L2 −9L1  0 0 −3 3 12   0 4 5 −3 −4  5 −3 −4  0 0 0 0 0 0 0 0    1 −1 −1 0 1 1 −1 −1  −3 3 12  1 0   →L2 ↔L3  0 0 1   0 0 −3 3 12  1 1 0  0 0 0 0 0 0 0 0  1 −1 −1 1 1 0  . 0 6 12  0 0 0

Aplicando o método de elimina¸caõ de Gauss transformou-se a matriz A numa matriz em escada de linhas.

Exemplo. Resolva o sistema de equa¸co˜es lineares untilizando o método de elimina¸caõ de Gauss:  =4  x + 2y − z + 3w 2x + 4y − 2z + 7w = 10  −x − 2y + z − 4w = −6.

˜ 10CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES LINEARES E MATRIZES Solu¸c˜ ao. Aplicando o método  1 2 −1 3 |  2 4 −2 7 | [A|B] = −1 −2 1 −4 |  1 2 −1 −→  0 0 0 L1 ←L1 −3L2 L3 ←L3 +L2 0 0 0

de elimina¸caõ de Gauss-Jordan, obtém-se    4 1 2 −1 3 | 4 −→ 10  L2 ←L2 −2L1  0 0 0 1 | 2  L3 ←L3 +L1 −6 0 0 0 −1 | −2  3 | 4 1 | 2 . 0 | 0

Au ´ltima matriz representa o sistema x + 2y − z = −2 w = 2 A primeira equa¸caõ pode-se escrever da forma x = −2y + z − 2 e, portanto, a solu¸cão geral é x = −2y + z − 2 e w = 2. Este sistema é poss´ıvel e indeterminado, por isso para se obterem solu¸cões particulares para este sistema podem obter-se atribuindo a y e z diversos valores.

1.3

Caracter´ıstica de uma matriz

Nesta se¸caõ, apresenta-se a no¸cão de caracter´ıstica de uma matriz pois permite classificar um sistema de equa¸cões lineares sem o resolver previamente. Defini¸c˜ ao 1.3.1 A caracter´ıstica de uma matriz A, car(A), de ordem m × n é igual ao n´ umero de “pivots” de uma matriz em forma de escada de linhas obtida a partir de A. Sejam A, B, C matrizes de ordem m × n tais que B e C são matrizes em forma de escada de linhas que se obtêm de A efectuando um n´ umero finito de opera¸cões elementares. Então B e C têm a mesma caracter´ıstica.. Teorema 1 (Teorema de Rouché) Considere-se um sistema de equa¸cões lineares com coeficientes e termos independentes reais, representado pela matriz ampliada [A|B]. Este sistema é poss´ıvel se e só se a caracter´ıstica da matriz simples do sistema, A, for igual à caracter´ıstica da matriz ampliada do sistema [A|B]

1.3. CARACTERÍSTICA DE UMA MATRIZ

11

Deste modo, um sistema diz-se 1. Poss´ıvel Determinado quando car(A) = car(A|B) = n´ umero de incógnitas; 2. Poss´ıvel Indeterminado quando car(A) = car(A|B) < n´ umero de incógnitas. O grau de indetermina¸caõ = n´ umero de incógnitas − car(A); 3. Imposs´ıvel quando car(A) < car(A|B). Exemplo. Classifique o sistema seguinte para os diferentes valores reais de k.   3x + 4y + 2z = k 2x + 3y − z = 1  x + y + kz = 2. Solu¸c˜ ao: A matriz ampliada deste sistema é 

  3 4 2 | k 1 1 −→  2 3 [A|B] =  2 3 −1 | 1  L1 ↔ L3 1 1 k | 2 3 4    1 1 k | 2 −−−−−−−−→  0 1 −1 − 2k | −3  − L3 ← L3 − L2  0 1 2 − 3k | k − 6

 k | 2 −1 | 1  2 | k

−→ L2 ←L2 −2L1 L3 ←L3 −3L1

 1 1 k | 2 0 1 −1 − 2k | −3  . 0 0 3−k | k−3

Se k = 3 obtém-se 

 1 1 3 | 2  0 1 −7 | −3  . 0 0 0 | 0 Então, car(A) = car(A|B) = 2 < 3 =n´ umero de incógnitas e o grau de indetermina¸caõ é igual ao n´ umero de incógnitas menos car(A) = 3 − 2 = 1. Logo, o sistema é poss´ıvel e indeterminado com grau de indetermina¸cão 1. No caso de k ∈ R\{3}, car(A) = car(A|B) = 3 = n´ umero de incógnitas. Como tal, o sistema é poss´ıvel e determinado.

˜ 12CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES LINEARES E MATRIZES

1.4

Propriedades alg´ ebricas das matrizes

Defini¸c˜ ao 1.4.1 Duas matrizes C = [cij ] e D = [dij ] dizem-se iguais quando C e D são matrizes com a mesma ordem satisfazendo cij = dij , para cada i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n. A defini¸caõ anterior aplica-se em particular a matrizes do tipo   1  u = [1 2 3] e v = 2  . 3 Apesar de u e v representarem o mesmo ponto em R3 , não se pode considerar que estas matrizes são iguais, uma vez que têm ordens diferentes. Defini¸c˜ ao 1.4.2 Sejam A, B ∈ Mm×n . A soma de A e B é a matriz A + B ∈ Mm×n que se obtém adicionando as entradas homólogas de A e B, i.e., A + B = [aij + bij ] ∈ Mm×n . Exemplo. 

     1 −1 x 0 −2 1 1 −3 x + 1  2 0 1 + 3 1 1 = 5 1 2 . 3 5 y 3 4 1 6 9 y+1

Defini¸c˜ ao 1.4.3 Sejam α um escalar e A = [aij ] ∈ Mm×n . Chama-se produto do escalar α pela matriz A, e denota-se por αA, à matriz que se obtém multiplicando todas as entradas de A por α, i.e, αA = [αaij ]. A matriz −A é a matriz que se obtém de A multiplicando cada um dos elementos de A por −1. Assim, se A = [aij ], então −A = [−aij ]. Como tal, pode-se definir subtraçcão de matrizes em termos da adi¸cãoe da multiplica¸cão escalar. Dadas duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] com a mesma ordem, a diferen¸ca entre A e B é definida como sendo a matriz A − B = A + (−B). Deste modo, A − B = [aij − bij ].

´ 1.4. PROPRIEDADES ALGEBRICAS DAS MATRIZES

13

Defini¸c˜ ao 1.4.4 Seja A = [aij ] ∈ Mm×n e B = [bij ] ∈ Mn×p . O produto entre A e B, AB, é a matriz do tipo m × p cujo elemento (i, j) é ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj . Assim, " n # X AB = aik bkj ∈ Mm×p . k=1

Como se pode constatar pela defini¸caõ, o produto da matriz A pela matriz B, AB, apenas está definido se o n´ umero de colunas de A for igual ao n´ umero de linhas de B. Neste caso, o n´ umero de linhas da matriz AB é igual ao n´ umero de linhas de A e o n´ umero de colunas é igual ao n´ umero de colunas de B. Exemplo. Sejam 

 3 0 1 A =  1 −1 2  2 4 3



e

 1 0 B =  −1 3  . 2 −2

Então 

 3 × 1 + 0 × (−1) + 1 × 2 3 × 0 + 0 × 3 + 1 × (−2) AB =  1 × 1 + (−1) × (−1) + 2 × 2 1 × 0 + (−1) × 3 + 2 × (−2)  2 × 1 + 4 × (−1) + 3 × 2 2 × 0 + 4 × 3 + 3 × (−2)   5 −2  6 −7  . = 4 6

Considerem-se as matrizes A e B do exemplo anterior. A matriz AB tem ordem 3 × 2, enquanto a matriz BA tem ordem 2 × 3. Assim, pode concluirse que o produto de matrizes n˜ ao goza da propriedade comutativa. No entanto, embora o produto de matrizes não seja comutativo, há matrizes A, B ∈ Mn tais que AB = BA. Neste caso diz-se que A e B comutam. Defini¸c˜ ao 1.4.5 A matriz nula é uma matriz em que todas as entradas são iguais a zero. Uma matriz diz-se triangular superior se todas as entradas abaixo da diagonal principal são nulas. Uma matriz diz-se triangular inferior se todas as entradas abaixo da diagonal principal são nulas. Uma matriz

˜ 14CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES LINEARES E MATRIZES diagonal é uma matriz quadrada nos quais todos os elementos excepto a diagonal principal são iguais a zero. A matriz identidade é uma matriz diagonal, em que as entradas diagonais são todas iguais a zero. Assim, 

 a11 a12 . . . a1n  0 a22 . . . a2n    A =  .. .. . . ..   . . .  . 0 0 . . . ann matriz triangular superior

e



0m×n

0 0 .. .

0 ...  0 ...  = .. . .  . . 0 0 ... matriz nula



 a11 0 . . . 0  a21 a22 . . . 0    B =  .. .. . . ..  .  . . .  . an1 an2 . . . ann matriz triangular inferior 0 0 .. .

    

0





a11 0 . . . 0  0 a22 . . . 0  C =  .. .. . . .  . . .. . 0 0 . . . ann matriz diagonal

 0 ... 0  1 ... 0    In =  .. . . ..   . .  . 0 0 ... 1 matriz identidade 1 0 .. .

As matrizes nulas têm um papel na teoria das matrizes semelhante ao zero dos n´ umeros reais, enquanto que as matrizes identidades têm um pape análogo ao n´ umero 1. Estes papeis encontram-se descritos no teorema seguinte. Teorema 2 Seja A ∈ Mm×n e 0m×n a matriz nula de ordem m × n. Seja B ∈ Mn uma matriz quadrada n×n e sejam On e In a matriz nula e a matriz identidade de ordem n × n. Então 1. A + 0m×n = 0m×n = 0m×n + A; 2. B0n = 0n B = 0n 3. BIn = In B = B. Teorema 3 Sejam A, B e C matrizes e α e β escalares. Suponhamos que a ordem das matrizes é tal que as opera¸cões seguintes podem ser realizadas. De seguida, apresentam-se algumas propriedades para a adi¸cão de matrizes e para o produto escalar 1. A + B = B + A, (propriedade comutativa);

   . 

´ 1.4. PROPRIEDADES ALGEBRICAS DAS MATRIZES

15

2. (A + B) + C = A + (B + C), (propriedade associativa); 3. A + 0m×n = 0m×n + A = A, (existência de elemento neutro para a adi¸cão); 4. A + (−A) = (−A) + A = 0m×n , (existência de elemento simétrico). 5. (αβ)A = α(βA), (propriedade associativa); 6. α(A + B) = αA + αB, (propriedade distributiva); 7. (α + β)A = αA + βA, (propriedade distributiva); 8. 1A = A, (elemento neutro). 9. A0 = 0 e 0A = 0, AIn = Im A = A, (elemento absorvente e elemento neutro, respectivamente); 10. (AB)C = A(BC), (propriedade associativa); 11. A(B+C) = AB+AC, (A+B)C = AC+BC, (propriedade distributiva); 12. α(AB) = (αA)B = A(αB). Considerem-se as matrizes 1 0 0 0 A= , B= , −1 0 1 0

C=

1 0 2 2

e

0

C =

1 0 1 2

.

Então, AB =

0 0 0 0

e

AC =

1 0 −1 0

= AC 0 .

Assim, pode concluir-se que 13. AB = 0 não implica que A = 0 ou B = 0; 14. (AC = AC 0 e A 6= 0) não implica que C = C 0 . Defini¸c˜ ao 1.4.6 Sejam A ∈ Mn e k ∈ N0 . Define-se potência de expoente k de A da forma: ( In se k = 0 Ak = se k ∈ N. AA . . . A} | {z k vezes

˜ 16CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES LINEARES E MATRIZES Note-se que Ai+j = Ai Aj e Aij = (Ai )j , para i, j ∈ N0 . No entanto, como o produto de matrizes não é comutativo, não se verifica (AB)i = Ai B i , i ∈ N. Com efeito, para as matrizes 1 2 1 0 A= e B= 1 1 1 0 obtém-se 2

2

AB =

3 4 2 3

1 2 1 1

1 0 1 0

1 0 1 0

2

e 2

(AB) =

=

7 0 5 0

=

9 0 6 0

.

e, para este exemplo, (AB)2 6= A2 B 2 .

1.5

Matrizes sim´ etricas

Defini¸c˜ ao 1.5.1 Seja A = [aij ] do tipo m × n. A matriz transposta de A é a matriz AT = [aji ] ∈ Mn×m . Recorrendo a` defini¸cão anterior, verifica-se que as colunas de AT são as linhas de A e as linhas são as colunas de A. Teorema 4 Sejam A e B matrizes de tal forma que as somas e os produtos estejam bem definidos. Então, 1. (AT )T = A; 2. (A + B)T = AT + B T ; 3. (αA)T = α AT , para α ∈ R; 4. (AB)T = B T AT ; 5. (Ak )T = (AT )k . Defini¸c˜ ao 1.5.2 Seja A uma matriz quadrada, tal que AT = A, então A diz-se simétrica. No caso de AT = −A a matriz A diz-se anti-simétrica. Se A é uma matriz quadrada que satisfaz a condi¸cão AAT = In , então diz-se que A é ortogonal.

´ 1.5. MATRIZES SIMETRICAS

17

Se A é uma matriz simétrica, então os elementos situados em posi¸co˜es simétricas relativamente à diagonal principal são iguais. Se A é uma matriz anti-simétrica, então os elementos diagonais da matriz são iguais a zero e os elementos situados em posi¸cões simétricas relativamente a` diagonal principal são simétricos. Exemplo. A transposta de 1 2 −1 A= 0 3 4 é



 1 0 AT =  2 3  . −1 4 A matriz



 3 2 5 B= 2 1 7  5 7 9

é simétrica, isto é, B = B T e a matriz   0 2 5 C =  −2 0 7  −5 −7 0 é anti-simétrica, ou seja, C = −C T . Introduz-se, de seguida, um n´ umero que se associa a toda a matriz quadrada designado de tra¸co da matriz . Defini¸c˜ ao 1.5.3 Seja A ∈ Mn . O tra¸co de A, denotado de Tr (A), é a soma dos elementos da diagonal principal de A, isto é, Tr (A) = a11 + a22 + . . . + ann Exemplo: Determine o tra¸co da matriz   4 1 −2 A =  2 −5 6  . 7 3 0

˜ 18CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES LINEARES E MATRIZES Solu¸caõ. Obtém-se Tr (A) = 4 + (−5) + 0 = −1. O tra¸co de matriz desempenha um papel muito importante na teoria das matrizes por causa das suas propriedades muito simples. Este conceito é utilizado em a´reas tais como a mecânica estat´ıstica, na relatividade geral na mecânica quântica, uma vez que tem um significado f´ısico. No teorema seguinte apresentam-se alguns resultados sobre o tra¸co. Teorema 5 Sejam A, C matrizes e c um escalar. Suponhamos que as matrizes têm ordem que permitem as opera¸cões seguintes: (a) Tr (A + B) = Tr (A) + Tr (B) (b) Tr (AB) = Tr (BA) (c) Tr (cA) = cTr (A) (d) Tr (AT ) = Tr (A) Demonstra¸c˜ ao. Prova-se apenas a al´ınea (a), as demonstra¸caõ das restantes al´ıneas são deixadas a cargo do leitor. Como os elementos da diagonal principal de A + B são (a11 + b11 ), (a22 + b22 ), . . . , (a22 + b22 ), obtém-se Tr (A + B) = (a11 + b11 ) + (a22 + b22 ) + . . . + (ann + bnn ) = (a11 + a22 + . . . + ann ) + (b11 + b22 + . . . + bnn ) = Tr (A) + Tr (B).

Para finalizar esta se¸caõ, abordar-se-á o tema sobre matrizes com entradas complexas. Um n´ umero complexo é um n´ umero da forma z = a + b i. onde √ a, b são n´ umeros reais e i = −1. a designa-se parte real e b designa-se parte imaginária de z. O conjunto constitu´ıdo pelos n´ umeros complexos denota-se por C Descrevem-se de seguida, a regras da aritmética para n´ umeros complexos. Sejam z1 = a + b i e z2 = c + d i n´ umeros complexos. Então 1. z1 = z2 se e só se a = c e b = d; 2. z1 + z2 = (a + c) + (b + d) i

´ 1.5. MATRIZES SIMETRICAS

19

3. z1 − z2 = (a − c) + (b − d) i 4. z1 z2 = (a + b i)(c + d i) = a(c + d i) + b i(c + d i) = ac + ad i + bc i + bdi2 = ac + bdi2 + (ad + bc) i = (ac − bd) + (ad + bc) i O conjugado de um n´ umero complexo z = a + b i define-se e denota-se por z = a − b i. Exemplo. Considere os n´ umeros complexos z1 = 2 + 3 i e z2 = 1 − 2 i. Calcule z1 + z2 , z1 z2 e z1 . Solu¸caõ. Usando as defini¸co˜es anteriores, obtém-se z1 + z2 = (2 + 3 i) + (1 − 2 i) = (2 + 1) + (3 − 2) i = 3 + i z1 z2 = (2 + 3 i)(1 − 2 i) = 2(1 − 2 i) + 3 i(1 − 2 i) = 2 − 4 i + 3 i − 6 i2 = 8 − i z1 = 2 − 3 i

As opera¸cões matriciais em matrizes com entradas complexas são exactamente iguais ao caso de matrizes com entradas reais, Exemplo. Sejam 2 + i 3 − 2i 3 2i A= eB= . 4 5i 1 + i 2 + 3i Calcule A + B, 2A e AB. Solu¸caõ. Obtém-se 2 + i 3 − 2i 3 2i A+B = + 4 5i 1 + i 2 + 3i 2 + i + 3 3 − 2i + 2i 5+ i 3 = = 4 + 1 + i 5i + 2 + 3i 5+ i 2+8

2A = 2

2 + i 3 − 2i 4 5i

=

4 + 2i 6 − 4i 8 10 i

˜ 20CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES LINEARES E MATRIZES

AB =

2 + i 3 − 2i 4 5i

3 2i 1 + i 2 + 3i

3(2 + i) + (3 − 2 i)(1 + i) (2 + i)(2 i) + (3 − 2 i)(2 + 3 i) = 4 × 3 + (5 i)(1 + i) 4(2 i) + (5 i)(2 + 3 i) 11 + 4 i 10 + 9 i = . 7 + 5 i −15 + 8 i

A conjugada da matriz A denota-se por A e obtém-se de A fazendo a conjugada de cada uma das entradas de A. A matriz transconjugada de A T 2 + 3 i 1 − 4 i escreve-se e define-se por A∗ = A . Por exemplo, se A = , 6 7i então T 2 − 3i 1 + 4i 2 − 3i 6 ∗ A= e A =A = . 6 −7 i 1 + 4 i −7 i ∗ Uma matriz quadrada diz-se herm´ıtica se A = A. 2 3 − 4i Por exemplo, a matriz C = é herm´ıtica. De facto, 3 + 4 i −7 i

C=

2 3 + 4i 3 − 4i 6

e

∗

T

C =C =

2 3 − 4i 3 + 4 i −7 i

= C.

As propriedades da transconjugada são semelhantes a`s propriedades da transposta, como se pode constatar no teorema que se segue. Teorema 6 Sejam A, B matrizes com entradas complexas e seja z um n´ umero complexo. Então (a) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ ; (b) (z A)∗ = z A∗ ; (c) (AB)∗ = B ∗ A∗ (d) (A∗ )∗ = A

1.6. INVERSA DE UMA MATRIZ

1.6

21

Inversa de uma matriz

Dado um escalar não nulo α, então para cada escalar β a equa¸cão αx = β tem uma u ńica solu¸caõ dada por x = α−1 β. Será poss´ıvel efectuar um racioc´ınio semelhante no caso dos sistemas de equa¸co˜es lineares da forma AX = B, isto é, será poss´ıvel encontrar uma matriz “A−1 ” de modo que X = A−1 B? A resposta a esta questão é afirmativa no caso da matriz A ser quadrada. Defini¸c˜ ao 1.6.1 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Diz-se que A é invert´ıvel (ou regular ou não singular) se existir uma matriz quadrada B de ordem n, tal que AB = BA = In . Note-se que existe apenas uma matriz quadrada B satisfazendo as igualdades anteriores. A matriz B denomina-se inversa da matriz A e denota-se por A−1 . Teorema 7 Sejam A, B ∈ Mn invert´ıveis. Então 1. AB é invert´ıvel e (AB)−1 = B −1 A−1 ; −1 −1 −1 2. Ak é invert´ıvel e (Ak )−1 = A | A {z. . . A }, k ∈ N; k vezes

3. AT é invert´ıvel e (AT )−1 = (A−1 )T ; 4. A−1 é invert´ıvel e (A−1 )−1 = A; 5. (αA)−1 = α1 A−1 , α 6= 0; 6. In−1 = In . Demonstra¸c˜ ao: 1. Note-se que B −1 A−1 é inversa de AB se e só se (AB)(B −1 A−1 ) = (B −1 A−1 )(AB) = In . Dado que as matrizes A e B são invert´ıveis e que o produto de matrizes é associativo, vem (AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AIn A−1 = AA−1 = In e (B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B = B −1 In B = B −1 B = In .

˜ 22CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES LINEARES E MATRIZES 2. Uma vez que (A−1 )m é inversa de Am se e só se Am (A−1 )m = (A−1 )m Am = In e que A é invert´ıvel e o produto de matrizes é associativo, tem-se Am (A−1 )m = (A . . . AAA) (A−1 A−1 A−1 . . . A−1 ) | {z }| {z } m vezes m vezes = (A . . . AA)(AA−1 ) (A−1 A−1 . . . A−1 ) {z } | | {z } m−1 vezes m−1 vezes = (A . . . AA) In (A−1 A−1 . . . A−1 ) | {z } | {z } m−1 vezes m−1 vezes = (A . . . AA) (A−1 A−1 . . . A−1 ) {z } | {z } | m−1 vezes m−1 vezes = ··· = In . 3. Dado que (A−1 )T é inversa de AT se e só se (A−1 )T AT = (AT A−1 )T = In e que A é invert´ıvel e o produto de matrizes é associativo, tem-se (A−1 )T AT = (A A−1 )T = In e (AT A−1 )T = (A−1 A)T = In . As demonstra¸co˜es de 4. e 5. são análogas às anteriores e deixam-se a cargo do leitor. A demonstra¸caõ de 6. é imediata. Defini¸c˜ ao 1.6.2 Uma matriz A é ortogonal se e só se a sua inversa coincidir com a sua transposta, i.e., A−1 = AT . Seja A ∈ Mn uma matriz invert´ıvel. A matriz inversa de A pode ser determinada usando o algoritmo de Gauss-Jordan, que consiste nos seguintes passos: 1. Aplicar a` matriz [A|In ], de ordem n × 2n, o método de elimina¸caõ de Gauss descendente. 2. Quando a matriz estiver na forma de escada, se o n´ umero de linhas não nulas for menor que n, então a matriz A não é invert´ıvel. Caso contrário,

1.6. INVERSA DE UMA MATRIZ

23

2.i come¸cando pela u ´ltima linha e utilizando opera¸co˜es elementares, anulam-se os elementos que se encontram acima da diagonal principal da matriz a` esquerda. 2.ii Depois de transformada a matriz a` esquerda na forma diagonal dividem-se todas as linhas pelos respectivos elementos diagonais da matriz a` esquerda. No final deste processo obtém-se a matriz [I|A−1 ]. A partir do método anterior, pode-se concluir que A ∈ Mn é invert´ıvel se e só se a sua caracter´ıstica é igual a n. Exemplo. Averig´ ue se a seguinte matriz é invert´ıvel e em caso afirmativo determine a sua inversa.   1 1 4 A =  2 5 4 . 1 4 −2 Solu¸c˜ ao. Come¸ca-se por aplicar dente à matriz  1  [A|I] = 2 1

o método de elimina¸caõ de Gauss descen 1 4 | 1 0 0 5 4 | 0 1 0 . 4 −2 | 0 0 1

O primeiro passo consiste em adicionar à segunda e à terceira linhas de [A|I] a primeira linha multiplicada por −2 e −1, respectivamente. Na matriz obtida adiciona-se à terceira linha a segunda multiplicada por −1:     1 1 4 | 1 0 0 1 1 4 | 1 0 0 −→ [A|I] =  2 5 4 | 0 1 0  L2 ←L2 −2L1  0 3 −4 | −2 1 0  L3 ←L3 −L1 1 4 −2 | 0 0 1 0 3 −6 | −1 0 1   1 1 4 | 1 0 0 −→  0 3 −4 | −2 1 0  . L3 ← L3 − L2 0 0 −2 | 1 −1 1 Como se pode observar a matriz A é invert´ıvel, dado que o n´ umero de linhas não nulas da matriz em escada a` esquerda é 3. Inicia-se, agora, a elimina¸caõ de Gauss ascendente. Usa-se o elemento −2 que se encontra na posi¸caõ (3, 3) para anular os restantes elementos da terceira coluna (adiciona-se à segunda e primeira linhas a terceira multiplicada por −2 e 2, respectivamente). Na

˜ 24CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES LINEARES E MATRIZES nova − 13 :  1  0 0

matriz obtida, adiciona-se a` primeira linha a segunda multiplicada por    1 0 | 3 −2 2 1 0 0 | 13 −3 38 3 −→  0 3 0 | −4 3 −2  . 3 0 | −4 3 −2  L1 ← L1 − 13 L2 0 −2 | 1 −1 1 0 0 −2 | 1 −1 1

Do lado esquerdo obteve-se uma matriz diagonal. Resta dividir a segunda linha por 3 e a terceira por −2:   −3 83 1 0 0 | 13 3 [I|A−1 ] =  0 1 0 | − 34 1 − 23  . 0 0 1 | − 21 12 − 21 Conclu´ı-se que A é invert´ıvel e a sua inversa é  13  8 −3 3 3 A−1 =  − 43 1 − 23  . − 12 21 − 12 Considere o seguinte sistema de equa¸co˜es lineares   a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1    a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 . ..  .    a x + a x + ... + a x = b . m1 1 m2 2 mn n m ´ poss´ıvel escrever este sistema usando nota¸caõ matricial. E    a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn b1  a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn   b2      =  .. ..    . . am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn . bm

De facto,     

A matriz da esquerda pode ser escrita como o produto da matriz dos coeficientes A e a matriz coluna das variáveis. Seja AB a matriz coluna dos termos independentes, isto é, A   X   B  a11 a12 . . . a1n x1 b1  a21 a22 . . . a2n   x2  =  b2        ..  ..  .. ..   ..   .     . ... . . .  am1 am2 . . . amn xn bm

1.6. INVERSA DE UMA MATRIZ

25

Teorema 8 Se A ∈ Mn é invert´ıvel, então verifica-se facilmente que a solu¸cão do sistema AX = B é dada por X = A−1 B. Demonstra¸caõ: A invertibilidade de A implica que AX = B seja equivalente a A−1 (AX) = A−1 B o que, conjuntamente com a associatividade do produto matricial, permite escrever a equa¸caõ anterior da forma In X = A−1 B, ou seja, X = A−1 B. Exemplo. Seja  =1  x + y + 4z 2x + 5y + 4z = 1  x + 4y − 2z = 0. Este sistema pode representar-se matricialmente como AX = B, onde       1 1 4 x 1 A =  2 5 4 , X =  y  e B =  1 . 1 4 −2 z 0 Pelo exerc´ıcio anterior tem-se  −3 83 1 − 23  . A−1 =  1 − 12 2  13    4  −3 38 1 3 3 4 2  −1  1  =  − 13 . Assim, o conjunto Logo, X = A B = − 3 1 − 3 − 12 12 − 12 0 0 solu¸caõ do sistema é {( 34 , − 13 , 0)}. 

13 3 − 43 − 12

˜ 26CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAC ¸ OES LINEARES E MATRIZES

7236(&5(7 %\(YHUXVDW

Cap´ıtulo 2 Determinantes e Valores/Vectores Pr´ oprios Como se constatou no Cap´ıtulo 1, nem sempre uma matriz quadrada é invert´ıvel. Recorde-se que A ∈ Mn é invert´ıvel se e só se car(A) = n.

(2.1)

Neste cap´ıtulo, mostra-se que é poss´ıvel associar a cada matriz A ∈ Mn um n´ umero, dependendo exclusivamente das entradas da matriz, que permite decidir acerca da invertibilidade de A. Este n´ umero designa-se determinante de A e denota-se por det (A) ou |A|.

2.1

Determinantes - Defini¸ c˜ oes e Propriedades

O caso 1 × 1 é trivial. De facto, uma matriz A = [a11 ] ∈ M1 é invert´ıvel se e só se a11 6= 0, isto é, car(A) = 1. Analise-se, agora, o caso 2 × 2. Considere-se a matriz a11 a12 A= a21 a22 e comece-se por supor que a11 6= 0. Assim, # " a a 11 12 −→ a a a11 a12 11 12 a22 a11 − a21 a12 , = A= 0 a22 − aa21 a12 0 a21 a22 L2 → L2 − aa21 L1 11 11 a11 27

´ 28CAPÍTULO 2. DETERMINANTES E VALORES/VECTORES PROPRIOS o que, juntamente com (2.1), permite concluir que A é invert´ıvel se e só se a22 a11 − a21 a12 6= 0. Se a11 = 0, então −→ 0 a12 a21 a22 A= a21 a22 L2 ↔ L1 0 a12 e A é invert´ıvel quando a21 6= 0 e a12 6= 0, isto é quando a21 a12 6= 0. Deste modo, construiu-se, a partir das entradas da matriz, o n´ umero a22 a11 −a21 a12 , que indica se a matriz A é ou não invert´ıvel. Em termos práticos, o determinante de uma matriz de ordem 2, A = [aij ] , pode calcular-se utilizando uma regra, habitualmente designada Regra dos Produtos Cruzados, que consiste em subtrair o produto dos elementos da diagonal secundária ao produto dos elementos da diagonal principal, isto é, Defini¸c˜ ao 2.1.1 O determinante de uma matriz 2 × 2 denota-se por |A| ou det (A) e é dado por a11 a12 a21 a22 = a22 a11 − a21 a12 Exemplo. Considere-se a matriz 1 2 A= ∈ M2 , 3 4 então det (A) = 1 × 4 − 3 × 2 = −2. No caso de A ∈ M3 mostra-se, de  a11 A =  a21 a31

forma semelhante, que  a12 a13 a22 a23  a32 a33

é invert´ıvel se e só se a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 − a31 a22 a13 − a11 a32 a23 − a21 a12 a33 6= 0. Tal como no caso 2 × 2, o determinante de uma matriz de ordem 3 pode obter-se usando uma regra prática designada Regra de Sarrus. A utiliza¸cão desta regra pode resumir-se do seguinte modo:

˜ 2.1. DETERMINANTES - DEFINIC ¸ OES E PROPRIEDADES

29

1. Reproduzem-se as duas primeiras linhas, após a terceira linha de A. 2. Considera-se a diagonal principal de A, (a11 , a22 , a33 ), e as sequências (a21 , a32 , a13 ) e (a31 , a12 , a23 ), bem como a diagonal secundária, (a31 , a22 , a13 ), e as sequências (a11 , a32 , a23 ) e (a21 , a12 , a33 ). O determinante de A obtém-se multiplicando os elementos que constituem cada uma das sequências, somando, depois, as parcelas correspondentes à diagonal principal e a`s duas sequências que lhe estão associadas e subtraindo as parcelas relativas a` diagonal secundária e às outras duas sequências que lhe correspondem. Defini¸c˜ ao a11 |A| = a21 a31

2.1.2 O determinante de uma matriz A ∈ M3 é dado por a12 a13 a22 a23 = a11 a22 a33 +a21 a32 a13 +a31 a12 a23 −a31 a22 a13 −a11 a32 a23 −a21 a12 a33 . a32 a33

Exemplo. Seja 

 1 2 3 A =  4 5 6  ∈ M3 , 1 1 −1 então det (A) = 1 × 5 × (−1) + 4 × 1 × 3 + 1 × 2 × 6 − 1 × 5 × 3 − 1 × 1 × 6 − 4 × 2 × (−1) = 6. Apresentam-se de seguida algumas propriedades imediatas associadas ao determinante de uma matriz 2 × 2: 1. Seja A = [aij ] ∈ M2 , então det

a11 + a011 a12 + a012 a21 a22

= det

a11 a12 a21 a22

+ det

a011 a012 a21 a22

.

Esta propriedade admite uma versão análoga no caso da soma ocorrer na segunda linha da matriz.

´ 30CAPÍTULO 2. DETERMINANTES E VALORES/VECTORES PROPRIOS 2. Seja A = [aij ] ∈ M2 e α ∈ R, então α a11 α a12 a11 a12 det = α det . a21 a22 a21 a22 Esta propriedade ainda é válida no caso de α estar multiplicado pela segunda linha. 3. Seja A = [aij ] ∈ M2 , então a11 a12 a21 a22 det = −det . a21 a22 a11 a12 4. det (I2 ) = 1. As propriedades anteriores continuam a ser válidas para o caso de matrizes de ordem 3 e as demonstra¸cões deixam-se a cargo do leitor. Defini¸c˜ ao 2.1.3 O determinante de uma matriz A ∈ Mn como sendo a fun¸cão det : Mn → R A ,→ det (A), que a cada matriz quadrada A de ordem n faz corresponder um n´ umero real, det (A), de tal modo que as seguintes condi¸cões sejam satisfeitas: P1. det (L1 , . . . , Li + L0i , . . . , Ln ) = det (L1 , . . . , Li , . . . , Ln )+det (L1 , . . . , L0i , . . . , Ln ) ; P2. det (L1 , . . . , αLi , . . . , Ln ) = α det (L1 , . . . , Li , . . . , Ln ) ; P3. det (L1 , . . . , Li , . . . , Lj , . . . , Ln ) = −det (L1 , . . . , Lj , . . . , Li , . . . , Ln ) ; P4. det (In ) = 1, onde Li representa a i−ésima linha da matriz A. Da Propriedade 1 conclui-se que, em geral, dadas A, B ∈ Mn , det (A + B) 6= det (A) + det (B).

˜ 2.1. DETERMINANTES - DEFINIC ¸ OES E PROPRIEDADES

31

Exemplo. Considerem-se as matrizes de ordem 2 0 0 1 0 A= e B= . 0 0 0 −1 Então, A+B =

1 0 0 −1

e det (A + B) = −1.

Como det (A) = det (B) = 0, vem que det (A) + det (B) 6= det (A + B). Teorema 9 O determinante de uma matriz com, pelo menos, duas linhas iguais é nulo. O teorema anterior prova-se facilmente recorrendo à Propriedade 3. De facto, P3. permite concluir que trocando duas linhas iguais o sinal do determinante altera-se, mas, por outro lado, a matriz mantém-se igual e, como tal, o seu determinante também se mantém. Assim, det (A) = −det (A) e, por isso, o determinante é nulo. O próximo teorema generaliza o Teorema 9. Teorema 10 Seja A ∈ Mn . Então, tem-se: (a) Se existirem na matriz A ∈ Mn duas linhas m´ ultiplas uma da outra, então det (A) = 0. Em particular, det (A) = 0 se A tiver uma linha nula. (b) Se a j-ésima linha de A ∈ Mn se escrever da forma Lj = Σnk=1,k6=j αk Lk , sendo αk escalares, então det (A) = 0. Demonstra¸c˜ ao: Considere-se que Lk , k = 1, . . . , n, representam as linhas de A e seja Lj = αLi , com α escalar. Aplicando a Propriedade 2 e o Teorema 9, vem det (L1 , . . . , Li , . . . , αLi , . . . , Ln ) = α det (L1 , . . . , Li , . . . , Li , . . . , Ln ) = α 0 = 0. O caso particular de uma linha nula resulta de se considerar Lj = 0Li . Deste modo, provou-se a al´ınea (a).

´ 32CAPÍTULO 2. DETERMINANTES E VALORES/VECTORES PROPRIOS Considere-se agora Lj = Σnk=1,k6=j αk Lk . Então, aplicando a Propriedade 1 e a al´ınea (a), obtém-se: ! n n X X det L1 , . . . , Lk , . . . , αk L k , . . . , L n = det (L1 , . . . , Lk , . . . , αk Lk , . . . , Ln ) k=1,k6=j

=

k=1,k6=j n X

0 = 0,

k=1,k6=j

obtendo-se assim a al´ınea (b).

A demonstra¸caõ do teorema seguinte é trivial, uma vez que as propriedades decorrem imediatamente da defini¸cão de fun¸cão determinante. Teorema 11 Seja A ∈ Mn . Então, tem-se: (a) O determinante não se altera se a uma linha de A for adicionado um m´ ultiplo de outra linha de A. (b) Multiplicando os elementos de n linhas de uma matriz A, pelos escalares não nulos α1 , . . . , αn , obtém-se uma matriz B, satisfazendo det (B) = α1 × · · · × αn det (A). (c) O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta, isto é, det (A) = det (AT ). (d) O determinante de uma matriz triangular A é o produto dos elementos da diagonal principal. (e) Se B ∈ Mn , então det (AB) = det (A)det (B). Como consequência do Teorema 11 (c), as propriedades apresentadas em termos de linhas de uma matriz, também, são válidas em termos de colunas. Exemplo. 1. Seja A ∈ Mn . Mostre que det (2A) = 2n det (A).

˜ 2.1. DETERMINANTES - DEFINIC ¸ OES E PROPRIEDADES

33

2. Considere-se A = (L1 , L2 , L3 ), onde Li , i = 1, 2, 3, representam as linhas de A. Sabendo que det (A) = −2, calcule det (B), com B = (−2L1 + 4L2 , 5L3 , 3L2 + L3 ). Solu¸c˜ ao: 1. Considere-se A = (L1 , . . . , Ln ), onde Li , i = 1, . . . , n, representam as linhas de A. Então, det (2A) = det (2L1 , 2L2 , . . . , 2Ln ) = 2det (L1 , 2L2 , . . . , 2Ln ) = 22 det (L1 , L2 , . . . , 2Ln ) = . . . = 2n det (L1 , L2 , · · · , Ln ) = 2n det (A). 2. Utilizando a Propriedade 1, tem-se det (B) = det (−2L1 + 4L2 , 5L3 , 3L2 + L3 ) = det (−2L1 + 4L2 , 5L3 , 3L2 ) + det (−2L1 + 4L2 , 5L3 , L3 ) . O segundo determinante é nulo, visto que a segunda linha é m´ ultipla da terceira. Utilizando novamente a Propriedade 1, obtém-se det (B) = det (−2L1 + 4L2 , 5L3 , 3L2 ) = det (−2L1 , 5L3 , 3L2 ) + det (4L2 , 5L3 , 3L2 ) . Mais uma vez, o segundo determinante é nulo, dado que a primeira linha é m´ ultipla da terceira. Logo, utilizando as Propriedades 2 e 3, tem-se det (B) = −2 × 5 × 3 det (L1 , L3 , L2 ) = −30 (−det (L1 , L2 , L3 )) . Dado que det (A) = −2, conclui-se que det (B) = 30 det (A) = −60. ´ sempre poss´ıvel utilizar o algoritmo de elimina¸cão de Gauss para calE cular o determinante de uma matriz A ∈ Mn , transformando-a numa matriz triangular. No entanto, é necessário não esquecer que: 1. A troca de linhas (colunas), entre si, altera o sinal do determinante. 2. Multiplicando os elementos de uma linha (coluna) da matriz A por um escalar, não nulo, α obtém-se uma matriz B tal que det (B) = α det (A). 3. A soma de uma linha (coluna) com outra multiplicada por um escalar não altera o valor do determinante.

´ 34CAPÍTULO 2. DETERMINANTES E VALORES/VECTORES PROPRIOS Exemplo. 1 2 −1 −1 0 −1 −1 −2 1 2 1 0 1 0 − 0 1 2 0 0 0

−1 1 = 2 −1 L2 →L2 +L1 0 1 L →L +L 4 4 1 2 −1 1 −1 0 1 = − −1 L3 →L3 −L2 0 0 1

1 0 0 0 2 1 0 0

2 −1 1 1 1 0 = 1 −1 2 C3 ↔C4 0 1 0 1 −1 0 1 = −(1 × 1 × 2 × 1) = −2. 2 −2 0 1

Utilizando o procedimento descrito anteriormente, conclui-se, facilmente, que det (A) = 0 se e só se a caracter´ıstica da matriz A ∈ Mn é inferior a n. Logo, det (A) 6= 0 se e só se a caracter´ıstica da matriz A é igual a n. Assim, pode dizer-se que: Teorema 12 Seja A ∈ Mn . Então A ∈ Mn é invert´ıvel se e só se det (A) 6= 0. Se uma matriz A ∈ Mn é invert´ıvel então A A−1 = In . Deste modo, det (A A−1 ) = det (In ) que, pelo Teorema 11 (e), ainda se pode escrever, de forma equivalente, como det (A)det (A−1 ) = 1. Obtém-se, assim, a propriedade seguinte Teorema 13 Seja A ∈ Mn invert´ıvel . Então det (A−1 ) =

1 . det (A)

Considere-se A ∈ Mn . Para cada n ∈ N existe uma u ńica fun¸caõ determinante. De seguida apresenta-se uma fórmula, definida por recorrência, que permite escrever o determinante de uma matriz de ordem n como combina¸cão linear de determinantes de ordem n − 1. Primeiro introduzem-se os conceitos de menor e complemento algébrico de uma matriz.

˜ 2.1. DETERMINANTES - DEFINIC ¸ OES E PROPRIEDADES

35

Defini¸c˜ ao 2.1.4 Seja Aij a submatriz de A = [aij ] ∈ Mn obtida por supressão da linha i e da coluna j. Chama-se menor e complemento algébrico (co-factor) de ´ındices i e j de A a det(Aij ) e (−1)i+j det(Aij ), respectivamente.

Exemplo.Considere-se 

 1 2 3 A =  4 5 6  ∈ M3 . 7 8 9 1 2 O menor de ´ındices 2 e 3 de A é det (A23 ) = 7 8 2+3 ´ındices 2 e 3 de A é (−1) det (A23 ) = 6.

= −6 e o co-factor de

Comece-se, agora, por analisar a fórmula que permite calcular o determinante no caso de A = [aij ] ∈ M3 . Pela regra de Sarrus, obtém-se det (A) = a11 a22 a33 +a13 a21 a32 +a31 a12 a23 −(a13 a22 a31 +a11 a23 a32 +a12 a21 a33 ). Agrupando as parcelas que contêm a11 , as que contêm a12 e as que contêm a13 pode escrever-se a expressão anterior na forma det (A) = a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a12 (a21 a33 − a23 a31 ) + a13 (a21 a32 − a22 a31 ) ou seja, a a det (A) = a11 22 23 a32 a33

− a12 a21 a23 a31 a33

+ a13 a21 a22 a31 a32

.

Provou-se, assim, que para o caso 3×3 o determinante de A se obtém multiplicando os elementos da primeira linha de A pelos respectivos complementos algébricos. Mostra-se, facilmente, que se em vez da primeira linha tivesse sido utilizada qualquer uma das outras linhas/colunas de A o resultado seria análogo. Esta fórmula pode ser generalizada para matrizes de ordem n obtendo-se o seguinte resultado, conhecido como Teorema de Laplace:

´ 36CAPÍTULO 2. DETERMINANTES E VALORES/VECTORES PROPRIOS Teorema 14 Seja A = [aij ] ∈ Mn . Então, o determinante de A é igual ` a soma dos produtos dos elementos de uma linha/coluna arbitrária de A pelos respectivos complementos algébricos, isto é, fixando uma linha, n X det(A) = aij (−1)i+j det(Aij ), i = 1, . . . , n; j=1

ou, fixando uma coluna, det(A) =

n X

aij (−1)i+j det(Aij ), j = 1, . . . , n.

i=1

Esta fórmula é particularmente u ´til se uma das linhas ou das colunas da matriz tiver muitos zeros. Exemplo. Efectuando o da matriz A, obtém-se 1 1 1 1 1 0 2 1 det (A) = 3 0 1 1 1 1 2 1

desenvolvimento de Laplace ao longo da 2a coluna = 1 × (−1)1+2 det (A12 ) + 0 × (−1)2+2 det (A22 ) +

+ 0 × (−1)3+2 det (A32 ) + 1 × (−1)4+2 det (A42 ) = 1 2 1 1 1 1 = − 3 1 1 + 1 2 1 = −2. 1 2 1 3 1 1 Na prática é habitual utilizar-se um método h´ıbrido para o cálculo de determinantes, que consiste em aplicar o algoritmo de elimina¸caõ de Gauss a uma linha (coluna) que contiver mais zeros, efectuando depois o desenvolvimento de Laplace ao longo dessa linha (coluna). Exemplo. Considerando a opera¸cão elementar que se segue desenvolvimento de Laplace ao longo da 2a coluna, obtém-se 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 2 1 =L4 →L4 −L1 1 0 2 1 = 1 × (−1)1+2 3 1 3 0 1 1 3 0 1 1 0 1 1 1 2 1 0 0 1 0

e efectuando o

1 1 0

= −2.

˜ 2.2. ALGUMAS APLICAC ¸ OES DOS DETERMINANTES

2.2

37

Algumas aplica¸ co ˜es dos determinantes

Nesta seçcão, apresenta-se algumas aplica¸cões da teoria dos determinantes, nomeadamente ao cálculo da matriz inversa de uma matriz e à resolu¸caõ de sistemas de equa¸co˜es lineares. Seja A = [aij ] ∈ Mn uma matriz invert´ıvel. A matriz inversa de A pode ser obtida utilizando a teoria dos determinantes. Para tal: 1. Constrói-se a matriz dos complementos algébricos ou a matriz dos cofactores de A, Cof(A) = (−1)i+j det (Aij ) ∈ Mn , que se obtém substituindo cada componente aij da matriz A pelo seu complemento algébrico; 2. Transpõe-se a matriz dos complementos algébricos, obtendo-se a matriz adjunta de A, Adj (A), isto é, Adj (A) = (Cof (A))T ; 3. A matriz inversa de A obtém-se multiplicando a matriz adjunta de A por det1(A) , isto é, 1 × Adj (A). (2.2) A−1 = det (A) Exemplo. 1. Determine a inversa da matriz   1 −1 0 A =  −1 0 1  ∈ M3 . 2 1 1 2. Seja A ∈ Mn invert´ıvel. Mostre que A.Adj (A) = Adj (A).A = det (A).In .

´ 38CAPÍTULO 2. DETERMINANTES E VALORES/VECTORES PROPRIOS Solu¸c˜ ao: 1. Como det (A) = −4 6= 0, A é invert´ıvel e a matriz adjunta de A é dada por  T (−1)2 det (A11 ) (−1)3 det (A12 ) (−1)4 det (A13 ) Adj(A) = (Cof(A))T =  (−1)3 det (A21 ) (−1)4 det (A22 ) (−1)5 det (A23 )  (−1)4 det (A31 ) (−1)5 det (A32 ) (−1)6 det (A33 ) T  2 0 1 3 −1 1 4 −1 0 (−1) (−1) (−1) 2 1    1 1 2 1    3 −1 0 4 1 0 5 1 −1  =  (−1) (−1) (−1)    1 1 2 1 2 1   −1 0 0 −1  5 1 6 1 (−1) (−1) (−1)4 −1 1 −1 0 0 1  T   −1 3 −1 −1 1 −1 1 −3  =  3 1 −1  . =  1 −1 −1 −1 −1 −3 −1 Assim,  A−1 =

1 4

1 Adj(A) =  − 34 det (A) 1 4

− 14 − 14 3 4

1 4 1 4 1 4

 .

2. Dado que A é invert´ıvel, verifica-se (2.2) e, como tal, Adj(A) = det (A).A−1 . Assim, usando a igualdade anterior e a associatividade do produto matricial, pode escrever-se A.Adj (A) = A. det (A).A−1 = det (A). A.A−1 = det (A).I. Analogamente, Adj (A).A = det (A).A−1 .A = det (A). A−1 .A = det (A).I.

A utiliza¸cão de (2.2) para o cálculo da inversa é por vezes u ´til para alguns tipos especiais de matrizes. No entanto, em geral, não é a melhor escolha como processo de cálculo da inversa de uma matriz, porque requer, por exemplo, mais cálculos do que o método de Gauss-Jordan. Tal como já foi referido anteriormente, o determinante de uma matriz A permite decidir se essa matriz é ou não invert´ıvel e, consequentemente, se o

˜ 2.2. ALGUMAS APLICAC ¸ OES DOS DETERMINANTES

39

sistema linear AX = B tem solu¸cão u ńica. De seguida, apresenta-se uma fórmula para obter a solu¸caõ de um sistema AX = B, no caso de A ∈ Mn ser invert´ıvel. A um sistema nestas condi¸cões dá-se o nome de sistema de Cramer e a fórmula utilizada para obter a sua solu¸caõ, habitualmente designada por Regra de Cramer, é apresentada de seguida.

Teorema 15 Sejam A ∈ Mn e X, B ∈ Mn×1 . Se det (A) 6= 0, então o sistema AX = B tem uma u ńica solu¸cão xi =

|A0i | , i = 1, . . . , n; |A|

sendo A0i a matriz que se obtém de A substituindo a i-ésima coluna de A pelo vector dos termos independentes B. Demonstra¸c˜ ao: Como det (A) 6= 0 a solu¸caõ do sistema AX = B é u ńica e é dada por X = A−1 B 1 = Adj(A)B |A| o elemento xi de X é dado por 1 [ linha i de Adj(A)] × B |A|   b1  b2  1   = [C1i C2i . . . Cni ]  ..  |A|  .  bn 1 = (b1 C1i + b2 C2i + . . . + bn Cni ). |A|

xi =

A expressão em parentesis é a expansão do co-factor de |A0i | em fun¸caõ da coluna i. Assim, |A0 | xi = i . |A|

´ 40CAPÍTULO 2. DETERMINANTES E VALORES/VECTORES PROPRIOS Exemplo. Considere-se  1 1 A= 1 2 1 2

o sistema definido por      1 x 2 1 , X =  y  e B =  1 . 3 z 3

Uma vez que det (A) = 2 6= 0, o sistema é de Cramer, sendo por isso poss´ıvel e determinado, isto é, tendo apenas uma solu¸caõ. Assim, usando a regra de Cramer, obtém-se 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2 3 = 2, y = = −1 e z = = 1. x= det (A) det (A) det (A) Logo, o conjunto solu¸cão do sistema é {(2, −1, 1)}. Note-se que, como o cálculo de determinantes de matrizes de grandes dimensões é moroso, não se aconselha a utiliza¸cão da Regra de Cramer para resolver sistemas de Cramer com um grande n´ umero de incógnitas. Defini¸c˜ ao 2.2.1 Considere-se a matriz A ∈ Mn . Um vector próprio de A é um vector X ∈ Rn \{0}, tal que AX = λX, para algum escalar λ. O escalar λ designa-se valor próprio de A e o vector X diz-se vector próprio associado ao valor próprio λ.

Note-se que, embora seja poss´ıvel que um valor próprio seja nulo, o vector nulo nunca poderá ser vector próprio. Na verdade, A ter um valor próprio nulo significa que A não é invert´ıvel. Para mostrar a veracidade desta afirma¸caõ basta notar que se 0 é valor próprio de A, então o sistema AX = 0 tem mais do que uma solu¸cão (não é um sistema de Cramer). Logo, det (A) = 0 e, como tal, A não é invert´ıvel. Deste modo, os valores próprios de A ∈ Mn são todos os escalares λ que são solu¸caõ da equa¸caõ det (A − λI) = 0.

˜ 2.2. ALGUMAS APLICAC ¸ OES DOS DETERMINANTES

41

A esta equa¸caõ dá-se o nome de equa¸cão caracter´ıstica de A e a det (A − λI) dá-se o nome de polinómio caracter´ıstico de A e representa-se por pA (λ). Dado λ uma raiz da equa¸caõ caracter´ıstica de A, designa-se de multiplicidade algébrica do valor próprio λ a multiplicidade de λ como raiz da equa¸caõ caracter´ıstica de A. Note-se que, o coeficiente do termo de grau n do polinómio caracter´ıstico de A é (−1)n e o termo independente é det (A). Assim, pA (λ) = (−1)n λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + det (A). Para um dado valor próprio de A, λ, os vectores próprios de A associados a λ são os vectores que pertencem ao seguinte conjunto VA (λ) = {X ∈ Rn \{0} : (A − λI)X = 0} . Exemplo. Considere-se a matriz 1 −2 A= ∈ M2 . 0 1 O escalar λ é valor próprio de A se e só se det (A − λI) = 0. Assim, 1 − λ −2 = 0 ⇔ (1 − λ)2 = 0 ⇔ λ = 1. 0 1−λ Como tal, 1 é valor póprio de A com multiplicidade algébrica 2. O conjunto dos vectores próprios de A associados ao valor próprio 1 é VA (1) = X = (x, y) ∈ R2 \{(0, 0)} : (A − I)X = 0 . Como (A − I)X = 0 ⇔

0 −2 0 0

x y

=

0 0

⇔ (y = 0 ∧ x ∈ R),

vem que VA (1) = (x, y) ∈ R2 \{(0, 0)} : y = 0 = {(x, 0) : x ∈ R\{0}} .

Observe-se que a cada valor próprio está associado mais do que um vector próprio, mas a cada vector próprio está associado um e um só valor próprio.

´ 42CAPÍTULO 2. DETERMINANTES E VALORES/VECTORES PROPRIOS Teorema 16 Seja A ∈ Mn . Então: 1. Se X é um vector próprio de A associado ao valor próprio λ, então αX, α 6= 0, também é vector próprio de A associado a λ. 2. As matrizes A e AT têm os mesmos valores próprios. 3. Se A é triangular, então os seus valores próprios são os elementos da diagonal principal de A. Demonstra¸c˜ ao: 1. Supondo que X é um vector próprio de A associado a λ, vem que A(αX) = α(AX) = α(λX) = λ(αX), X 6= 0. Logo, αX também é vector próprio de A associado ao valor próprio λ. 2. Aplicando o Teorema 11 (c), obtém-se det (A − λI) = 0 ⇔ det ((A − λI)T ) = 0, que ainda se pode escrever como det (AT − λI) = 0. Assim, as matrizes A e AT têm os mesmos valores próprios.

3. Seja A = [aij ] ∈ Mn triangular superior. O escalar λ é valor próprio de A se e só se det (A − λI) = 0. Assim, a11 − λ a . . . a 12 1n 0 a22 − λ . . . a2n det (A − λI) = 0 ⇐⇒ = 0. .. .. .. .. . . . . 0 0 . . . ann − λ Aplicando o Teorema 11 (d), obtém-se det (A − λI) = 0 ⇐⇒ (a11 − λ)(a22 − λ) . . . (ann − λ) = 0, que ainda é equivalente a λ = a11 ∨ λ = a22 ∨ . . . ∨ λ = ann . Como tal, os valores próprios de A são os elementos da sua diagonal principal. No caso de A triangular inferior a demonstra¸cão é análoga.

Cap´ıtulo 3 Espa¸ cos e Subespa¸ cos Vectoriais Denote-se por R3 o espa¸co tridimensional. Neste espa¸co é poss´ıvel construir uma correspondência entre pontos e vectores, desde que se considere um determinado ponto, O, como sendo a origem. Com efeito, a qualquer →

ponto P de R3 pode fazer-se corresponder o vector OP , com origem em O e extremidade em P . Neste conjunto, é poss´ıvel considerar as opera¸co˜es usuais de adi¸caõ entre vectores e multiplica¸caõ de um escalar real por um vector. Estas opera¸co˜es satisfazem as propriedades usuais de associatividade, comutatividade, distributividade, existência de oposto, etc. A no¸caõ de espa¸co vectorial que se introduz neste cap´ıtulo generaliza este conceito e engloba, por exemplo, espa¸cos vectoriais n-dimensionais, entre outros.

3.1

Defini¸c˜ ao e propriedades

Toda a fun¸caõ f : A × A → A, onde A é um conjunto, não vazio, designase opera¸cão binária em A. Alguns exemplos de opera¸co˜es binárias são: a adi¸caõ usual de dois n´ umeros reais, visto que é uma opera¸caõ que transforma o par de n´ umero reais (a, b) no n´ umero real a + b, a multiplica¸caõ usual de dois n´ umeros naturais, porque transforma o par de n´ umeros naturais (a, b) no n´ umero natural ab, . . .. Defini¸c˜ ao 3.1.1 Seja K um conjunto no qual estejam definidas duas opera¸cões: uma opera¸cão binária, designada por “adi¸cão” e uma opera¸cão “multiplica¸cão 43

CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS

44

escalar”, representadas pela simbologia usual. Diz-se que K, com essas opera¸c˜ oes, constitui um corpo se se verificam as condi¸cões seguintes: (a) Propriedades da adi¸cão: (i) K é fechado para a adi¸cão 1 ; (ii) Propriedade Comutativa: α + β = β + α, α, β ∈ K; (iii) Propriedade Associativa: (α + β) + γ = α + (β + γ), α, β, γ ∈ K; (iv) Existência de Elemento neutro: ∃0K ∈ K, tal que 0K + α = α, α ∈ K; (v) Existência de oposto: ∀α ∈ K, ∃ − α ∈ K, tal que α + (−α) = 0K ; (b) Propriedades da multiplica¸cão: (i) K é fechado para a multiplica¸cão escalar 2 ; (ii) Propriedade Comutativa: α · β = β · α, α, β ∈ K; (iii) Propriedade Associativa: (α · β) · γ = α · (β · γ), α, β, γ ∈ K; (iv) Existência de Elemento neutro: ∃1K ∈ K, tal que 1K · α = α, α ∈ K; (v) Existência de oposto: ∀α ∈ K\{0K }, ∃1/α ∈ K, tal que α·(1/α) = 1K ; (vi) Propriedade distributiva da multiplica¸cão sobre a adi¸cão (α + β) · γ = α · γ + β · γ Entre os exemplos mais habituais de corpos contam-se o conjunto dos n´ umeros reais, R, com as opera¸cões habituais; o conjunto dos n´ umeros racionais, Q, com as opera¸co˜es habituais; o conjunto dos n´ umeros complexos, C, com as opera¸co˜es habituais 3 . 1

Este conceito ser´ a definido a seguir Este conceito ser´ a definido a seguir 3 Os n´ umeros complexos apareceram como uma extensão dos n´ umeros reais, o seu conjunto representa-se por C e define-se como sendo C = {z = a + i b : a, b ∈ R e i2 = −1}. Dados os n´ umeros complexos z = a + b i e z 0 = a0 + i b0 define-se a adi¸c˜ ao como sendo o complexo z + z 0 = (a + a0 ) + i (b + b0 ) e a multiplica¸c˜ ao de um n´ umero complexo z = a + i b por outro n´ umero complexo α = α1 + i α2 , como α · z = (α1 a − α2 b) + (α1 b + α2 a)i. 2

˜ E PROPRIEDADES 3.1. DEFINIC ¸ AO

45

Defini¸c˜ ao 3.1.2 Seja K o corpo dos n´ umeros reais ou dos n´ umeros complexos. Um espa¸co vectorial é um conjunto V, não vazio, satisfazendo certas propriedades (descritas abaixo), e onde estão definidas duas opera¸cões: “adi¸cão” e “multiplica¸cão escalar”, representadas pela simbologia usual e definidas do modo seguinte: + : V ×V −→ V (3.1) (u, v) ,→ u + v e ·: K×V −→ V . (3.2) (α, v) ,→ α · v Diz-se que V é fechado para a adi¸cão e fechado para a multiplica¸cão escalar se satisfizer (3.1) e (3.2), respectivamente. Assim, (V, +, ·) é um espa¸co vectorial sobre o corpo K se forem válidas as seguintes propriedades: (a) Propriedades da adi¸cão: (i) V é fechado para a adi¸cão; (ii) Propriedade comutativa: u + v = v + u, u, v ∈ V ; (iii) Propriedade associativa: (u + v) + w = u + (v + w), u, v, w ∈ V ; (iv) Existência de elemento neutro, ∃0V ∈ V , tal que u + 0V = u, u∈V. (v) Existência de oposto: ∀u ∈ V , ∃ − u ∈ V , tal que u + (−u) = 0V ; (b) Propriedades da multiplica¸cão: (i) V é fechado para a multiplica¸cão escalar; (ii) α · (u + v) = α · u + α · v, α ∈ K e u, v ∈ V ; (iii) (α + β) · u = α · u + β · u; α, β ∈ K e u ∈ V ; (iv) (α · β) · u = α · (β · u), α, β ∈ K e u ∈ V ; (v) 1K · u = u, u ∈ V , onde 1K é o elemento neutro para a multiplica¸cão em K. Os elementos de K são designados escalares e os elementos de V vectores. Se K = R ou K = C, então V diz-se um espa¸co vectorial real ou um espa¸co vectorial complexo, respectivamente. Quando as opera¸co˜es “adi¸cão”

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CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS

e “multiplica¸caõ escalar” estiverem subentendidas, para simplificar a linguagem, dir-se-á ”seja V um espa¸co vectorial sobre K“ em vez de ”seja V um espa¸co vectorial definido por (V, +, ·)“. Doravante, representa-se por 0V e 0 o elemento neutro para a adi¸cão no espa¸co vectorial V e o elemento neutro para a adi¸cão em K, respectivamente. As demonstra¸co˜es dos próximos exemplos deixam-se a cargo do leitor. Exemplo. 1. Seja n ∈ N. Mostra-se que (Kn , +, ·) é um espa¸co vectorial sobre K, onde Kn representa o conjunto dos n-´ uplos com elementos em K, i.e., Kn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 , x2 , . . . , xn ∈ K}. As opera¸cões usuais são definidas por (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) e α · (x1 , x2 , . . . , xn ) = (αx1 , αx2 . . . , αxn ). 2. Seja n ∈ N. Mostra-se que (Rn [x], +, ·) é um espa¸co vectorial sobre K, onde Rn [x] representa o conjunto dos polinómios, na variável x, com coeficientes em K e que têm grau menor ou igual a n, i.e., Rn [x] = {an xn + . . . + a1 x + a0 : a0 , a1 , . . . , an ∈ K}. Neste caso, as opera¸co˜es usuais são definidas por: (an xn +. . .+a1 x+a0 )+(bn xn +. . .+b1 x+b0 ) = (an +bn )xn +. . .+(a1 +b1 )x+(a0 +b0 ) e α(an xn + . . . + a1 x + a0 ) = (αan )xn + . . . + (αa1 )x + (αa0 ). 3. Mostra-se que (R[x], +, ·) é um espa¸co vectorial sobre K, onde R[x] representa o conjunto dos polinómios de qualquer grau, na variável x, com coeficientes em K. As opera¸co˜es usuais neste conjunto são idênticas às definidas no conjunto Rn [x]. 4. Sejam m, n ∈ N. Prova-se que (Mm×n (K), +, ·) é um espa¸co vectorial sobre K, onde Mm×n (K) representa o conjunto constitu´ıdo pelas matrizes com m linhas e n colunas e coeficientes definidos em K.

˜ E PROPRIEDADES 3.1. DEFINIC ¸ AO

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Dadas A = [aij ], B = [bij ] ∈ Mm×n e α ∈ K, a adi¸caõ e a multiplica¸cão escalar são definidas por A + B = [aij ] + [bij ] = [aij + bij ] e α · A = α[aij ] = [αaij ], respectivamente. 4.1 Se m = 2 e n = 1, o conjunto M2×1 (K) é definido do seguinte modo: a M2×1 (K) = : a, b ∈ K . b Neste caso, a adi¸caõ e a multiplica¸caõ escalar são definidas por: a c a+c A+B = + = b d b+d e

α·A=α

a b

=

αa αb

,

respectivamente. 4.2 Se m = 1 e n = 2, o conjunto M1×2 (K) é definido do seguinte modo: a b : a, b ∈ K , M1×2 (K) = sendo a adi¸cão e a multiplica¸cão escalar definidas da seguinte forma: A+B = a b + c d = a+c b+d e α·A=α

a b

=

αa αb

,

respectivamente. Teorema 17 Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K. Então, (a) 0 · u = 0V , u ∈ V ; (b) α · 0V = 0V , α ∈ K; (c) Se α · u = 0V , então α = 0 ou u = 0V ;

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CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS

(d) (α − β) · u = α · u − β · u, α, β ∈ K e u ∈ V ; Demonstra¸c˜ ao. A t´ıtulo exemplificativo, prova-se a al´ınea (a). Note-se que 0 · u + 0 · u + (−(0 · u)) = 0 · u + (−(0 · u)), onde −(0 · u) é o oposto de 0 · u relativamente a` opera¸caõ adi¸caõ de vectores. Visto que 0 · u + (−(0 · u)) = 0V , obtém-se 0 · u + 0V = 0V , donde resulta o pretendido. Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K. Doravante, para simplificar a nota¸caõ, escrever-se-á α u, em vez de α · u, para α ∈ K e u ∈ V . Defini¸c˜ ao 3.1.3 Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K. Diz-se que V 0 ⊆ V é um subespa¸co vectorial de V se e só se verifica as seguintes condi¸cões: S1 . V 0 6= ∅; S2 . u + v ∈ V 0 , u, v ∈ V 0 ; S3 . αu ∈ V 0 , α ∈ K e u ∈ V 0 . Da defini¸caõ anterior, conclui-se facilmente que V 0 ⊆ V é um subespa¸co vectorial de V se e só se verifica as seguintes condi¸cões: S4 . V 0 6= ∅; S5 . α u + β v ∈ V 0 , α, β ∈ K e u, v ∈ V 0 . De facto, se V 0 satisfaz S2 e S3 , então também satisfaz S5 . Considere-se, então, u, v ∈ V 0 . Sabendo que V 0 é fechado para o produto escalar (S2 ), vem que α u, β v ∈ V 0 , para α, β ∈ K. Por outro lado, uma vez que V 0 é fechado para a adi¸cão (S1 ), tem-se que α u + β v ∈ V 0 , como se queria demonstrar. ´ curioso referir que se V é um espa¸co vectorial sobre um corpo K e V 0 um E subconjunto de V que é ainda espa¸co vectorial, considerando as opera¸co˜es de adi¸caõ e multiplica¸caõ escalar que definem V como espa¸co vectorial, então V 0 é um subespa¸co vectorial de V . (Demonstra¸caõ deixada a cargo do leitor). Os

˜ E PROPRIEDADES 3.1. DEFINIC ¸ AO

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subconjuntos de V , {0V } e V designam-se subespa¸cos triviais de V , enquanto que todos os outros subespa¸cos designam-se subespa¸cos próprios. Exemplo. 1. Mostra-se que A = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} é um subespa¸co vectorial real de R3 . De facto: 1. A 6= ∅, uma vez que (0, 0, 0) ∈ A, (0 + 0 + 0 = 0). 2. sejam u = (x, y, z) e v = (x0 , y 0 , z 0 ) elementos arbitrários de A e α, β ∈ R. Então, α u + β v ∈ A, visto que α u + β v = α (x, y, z) + β (x0 , y 0 , z 0 ) = (α x + β x0 , α y + β y 0 , α z + β z 0 ) ∈ A. Como u, v ∈ A, vem que x + y + z = 0 e x0 + y 0 + z 0 = 0. Logo, α(x + y + z) = 0 e β(x0 + y 0 + z 0 ) = 0, para quaisquer α, β ∈ K. Assim, (α x + β x0 ) + (α y + β y 0 ) + (α z + β z 0 ) = α(x + y + z) + β(x0 + y 0 + z 0 ) = 0. 2. Prova-se, agora, que a b S= : a + d = 0, a, b, c, d ∈ R c d é um subespa¸co vectorial real de M3 . De facto: 1. S = 6 ∅, uma vez que 0 0 ∈ S, (a + d = 0 + 0 = 0). 0 0 2. sejam A=

a b c d

e B=

a0 b 0 c0 d 0

elementos arbitrários de S e α, β ∈ R. Então, α A + β B ∈ S, visto que 0 0 a b a b α a + β a 0 α b + β b0 αA+βB = α +β = . c d c0 d 0 α c + β c 0 α d + β d0

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CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS

Como A, B ∈ S, vem que a + d = 0 e a0 + d0 = 0. Logo, α(a + d) = 0 e β(a0 + b0 ) = 0, para quaisquer α, β ∈ K. Assim, (α a + β a0 ) + (α d + β d0 ) = α(a + d) + β(a0 + d0 ) = 0.

Por vezes torna-se fácil verificar que um dado conjunto, não vazio, não é um subespa¸co vectorial. Na verdade, se V 0 é um subespa¸co vectorial de um espa¸co vectorial V sobre um corpo K, então 0V ∈ V 0 . Efectivamente, seja u ∈ V 0 . Pela defini¸caõ de subespa¸co vectorial (S2 e S3 ), tem-se 0V = u − u ∈ V 0 ,

u ∈ V 0.

Deste modo, se 0V ∈ / V 0 , então V 0 não é um subespa¸co vectorial de V . Notese, no entanto, que o rec´ıproco não é verdadeiro, isto é, 0V ∈ V 0 não é garantia de que V 0 seja um subespa¸co vectorial de V . Exemplo. 1. Seja A = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 1}. Note-se que (0, 0, 0) ∈ / A. Deste modo, pode-se concluir que A não é um subespa¸co vectorial de R3 . De facto, (1, 0, 0) e (0, 1, 0) são dois elementos de A, mas (1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0) ∈ / A, uma vez que 1 + 1 + 0 = 2 6= 1. 2. Seja B = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∧ y ≥ 0}. Note-se que, apesar de (0, 0) ∈ B, B não é um subespa¸co vectorial real de R2 . Por exemplo, considere-se u = (1, 2) ∈ B e α = −2 ∈ R. Então α u ∈ / B, dado que α u = −2(1, 2) = (−2, −4) e −2 0 e −4 0. Relembram-se, agora, os conceitos de interseçcão e reunião de conjuntos e introduz-se o conceito de soma de conjuntos, visto que serão usados ao longo deste cap´ıtulo.

ˆ ˆ 3.2. DEPENDENCIA/ INDEPENDENCIA LINEAR

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Defini¸c˜ ao 3.1.4 Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K e sejam F e G dois subespa¸cos vectoriais de V , então F ∩ G = {u ∈ V : u ∈ F ∧ u ∈ G} F ∪ G = {u ∈ V : u ∈ F ∨ u ∈ G} F + G = {u ∈ V : ∃a ∈ F, ∃b ∈ G : u = a + b}. Além disso, deixa-se a cargo do leitor a demonstra¸caõ do resultado seguinte: Teorema 18 Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K e sejam F e G dois subespa¸cos vectoriais de V , então 1. F ∩ G é um subespa¸co vectorial de V , designado subespa¸co interseçcão. 2. F + G é um subespa¸co vectorial de V , designado subespa¸co soma. 3. F ∪ G é um subespa¸co vectorial se e só se F ⊆ G ou G ⊆ F . Exemplo.Considere-se F = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0} e G = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0}. Prova-se que F e G são subespa¸cos vectoriais de R3 . No entanto, F ∪ G não é um subespa¸co vectorial de R3 . Efectivamente, F * G e G * F , porque, por exemplo, (0, 1, 2) ∈ F , mas (0, 1, 2) ∈ / G e (1, 2, 0) ∈ G, no entanto (1, 2, 0) ∈ / F. O conjunto F ∪ G = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0 ∨ z = 0}, não é subespa¸co vectorial de R3 , porque, por exemplo (0, 1, 2), (1, 2, 0) ∈ F ∪ G, contudo, (0, 1, 2) + (1, 2, 0) = (1, 3, 2) ∈ / F ∪ G.

3.2

Dependˆ encia/ independˆ encia linear

Defini¸c˜ ao 3.2.1 Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K e considerese os elementos u1 , u2 , . . . , un ∈ V . Um elemento v ∈ V diz-se uma combina¸cão linear de u1 , u2 . . . , un se existirem escalares α1 , α2 , . . . , αn ∈ K, tal que v = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un .

CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS

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Exemplo.O vector (1, 2) de R2 é combina¸cão linear dos vectores (1, −1) e (0, 1), dado que (1, 2) = 1(1, −1) + 3(0, 1).

Defini¸c˜ ao 3.2.2 Os elementos u1 , u2 , . . . , un ∈ V dizem-se linearmente independentes se a u ńica combina¸cão linear nula de u1 , u2 . . . , un é a trivialmente nula, ou seja, α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un = 0V ⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0. Caso contrário, u1 , u2 . . . , un dizem-se linearmente dependentes, isto é, se existem escalares αi , i = 1, 2, . . . , n, não todos nulos, tais que α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un = 0V . Exemplo. 1. Os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) de R3 são linearmente independentes. Note-se que α1 (1, 1, 1) + α2 (1, 1, 0) + α3 (1, 0, 0) = (0, 0, 0) se e só se (α1 + α2 + α3 , α1 + α2 , α1 ) = (0, 0, 0). Obtém-se, assim, o seguinte sistema   α1 + α2 + α3 = 0 α1 + α2 = 0  α1 = 0 cuja solu¸cão é α1 = α2 = α3 = 0. Deste modo, conclui-se que os vectores são linearmente independentes. 2. Os vectores (1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, −1, 1) de R3 são linearmente dependentes, uma vez que α1 (1, 1, 1) + α2 (1, 0, 2) + α3 (0, −1, 1) = (0, 0, 0) se e só se (α1 + α2 , α1 − α3 , α1 + 2α2 + α3 ) = (0, 0, 0),

ˆ ˆ 3.2. DEPENDENCIA/ INDEPENDENCIA LINEAR

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de onde se obtém o seguinte sistema  = 0  α1 + α2 α1 − α3 = 0 .  α1 + 2α2 + α3 = 0 A matriz ampliada deste sistema é     1 1 0 | 0 1 1 0 | 0 [A|B] =  1 0 −1 | 0  −→ L2 ←L2 −L1  0 −1 −1 | 0  L3 ←L3 −L1 1 2 1 | 0 0 1 1 | 0   1 1 0 | 0 −−−−−−−−−−→  L3 ← L3 + L2 0 −1 −1 | 0  . 0 0 0 | 0 Como car(A) = car(A|B) = 2 < 3 = n´ umero de incógnitas, o sistema é poss´ıvel e indeterminado. Deste modo, conclui-se que os vectores são linearmente dependentes, dado que o vector nulo não é o u ńico vector que se pode escrever como uma combina¸caõ linear de (1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, −1, 1). Teorema 19 Sejam u1 , . . . , un , n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V sobre um corpo K. Então os n elementos são linearmente dependentes se e só se for poss´ıvel escrever um dos elementos como combina¸cão linear dos restantes. Demonstra¸c˜ ao. (⇒) Se u1 , . . . , un são linearmente dependentes, existem escalares αi , i = 1, . . . , n, não todos nulos, tais que α1 u1 + . . . + αi ui + . . . + αn un = 0V . Sem perda de generalidade, suponha-se que αi 6= 0. Assim, αi ui = −α1 u1 − . . . − αi−1 ui−1 − αi+1 ui+1 . . . − αn un ⇔ αi−1 αi+1 αn α1 ui−1 − ui+1 − . . . − un ⇔ ui = − u1 − . . . − αi αi αi αi e, como tal, ui escreve-se como combina¸caõ linear dos restantes elementos. (⇐) Suponha-se, sem perda de generalidade, que o elemento ui se escreve como combina¸caõ linear dos restantes, então, existem escalares, não todos nulos α1 , . . . , αi−1 , αi+1 , . . . , αn , tais que ui = −α1 u1 − . . . − αi−1 ui−1 − αi+1 ui+1 . . . − αn un ,

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CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS

isto é, α1 u1 + . . . + αi−1 ui−1 + ui + αi+1 ui+1 . . . + αn un = 0V , e, por conseguinte, os elementos u1 , . . . , un são linearmente dependentes. Exemplo. (⇐) Considerem-se os vectores (1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, −1, 1) de R3 . Como (0, −1, 1) se escreve como combina¸cão linear de (1, 1, 1) e (1, 0, 2), dado que (0, −1, 1) = (1, 0, 2) − (1, 1, 1), conclui-se, pelo Teorema 19, que os três vectores são linearmente dependentes (como também se pode comprovar pelo exemplo anterior). (⇒) Considerem-se, agora, os vectores (1, 1, 1), (−1, −1, −1) e (0, 0, 1). Apesar dos vectores serem linearmente dependentes (demonstra¸cão a cargo do leitor), o vector (0, 0, 1) não se pode escrever como combina¸caõ linear de (1, 1, 1) e de (−1, −1, −1). Na verdade, se (0, 0, 1) = α1 (1, 1, 1) + α2 (−1, −1, −1), então o sistema

α1 , α2 ∈ R,

  α1 − α2 = 0 α1 − α2 = 0  α1 − α2 = 1

seria imposs´ıvel, dado que a primeira e a terceira condi¸caõ não se podem verificar simultaneamente. Note-se, no entanto, que os vectores (1, 1, 1) e (−1, −1, −1) podem-se escrever como combina¸cão linear dos restantes, dado que (1, 1, 1) = −1(−1, −1, −1) + 0(0, 0, 1) e (−1, −1, −1) = −1(1, 1, 1) + 0(0, 0, 1).

Teorema 20 Sejam u1 , . . . , un , n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V sobre um corpo K. Então se uj = k ui , i 6= j, i, j ∈ {1, . . . , n} e k ∈ K, então os elementos u1 , . . . , un são linearmente dependentes. Demonstra¸c˜ ao. Considere-se, em primeiro lugar, k = 0. Neste caso, uj = 0V , e, portanto, existe αj 6= 0, tal que 0 u1 + . . . + αj 0V + . . . + 0 un = 0V ,

ˆ ˆ 3.2. DEPENDENCIA/ INDEPENDENCIA LINEAR

55

concluindo-se, assim, que os elementos u1 , . . . , un são linearmente dependentes. Suponha-se, agora, que k 6= 0. Então existe um escalar αj ∈ K, não nulo, tal que 0u1 + . . . − k αj ui + k αj ui + . . . + 0un = 0V , e, por conseguinte, os elementos são u1 , . . . , un são linearmente dependentes. Exemplo. 1. Os vectores (1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, 0, 0) de R3 são linearmente dependentes, uma vez que 0(1, 1, 1) + 0(1, 0, 2) + 5(0, 0, 0) = (0, 0, 0), e, por isso, existe uma combina¸caõ linear nula de (1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, 0, 0) que não é a trivialmente nula. 2. Os vectores (1, 1, 1), (2, 2, 2), (0, 2, 1) de R3 são linearmente dependentes, uma vez que −2(1, 1, 1) + (2, 2, 2) + 0(0, 2, 1) = (0, 0, 0).

Teorema 21 Sejam u1 , . . . , un , n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V sobre um corpo K. Se u1 , . . . , un são linearmente independentes e se u1 , . . . , un , v são linearmente dependentes, para um dado v ∈ V , então v escreve-se como combina¸cão linear de u1 , . . . , un . Demonstra¸c˜ ao. Considere-se, então, que u1 , . . . , un são linearmente independentes e que u1 , . . . , un , v são linearmente dependentes. Suponha-se, agora, por redu¸caõ ao absurdo, que v não se escreve como combina¸caõ linear de u1 , . . . , un . Deste modo, pelo Teorema 19, existe i = 1, . . . , n tal que ui = α1 u1 + . . . + αi−1 ui−1 + αi+1 ui+1 + . . . + αn un + αn+1 v, isto é, α1 u1 + . . . + αi−1 ui−1 − ui + αi+1 ui+1 + . . . + αn un + αn+1 v = 0V . Se αn+1 = 0, então α1 u1 + . . . + αi−1 ui−1 − ui + αi+1 ui+1 + . . . + αn un = 0V

CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS

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e o i-ésimo escalar é αi = −1. Como tal, é poss´ıvel escrever 0V como uma combina¸cão linear não trivialmente nula de u1 , . . . , un , o que contraria a hipótese destes elementos serem linearmente independentes. No caso de αn+1 6= 0, vem v=−

αi−1 1 αi+1 αn α1 u1 − . . . − ui−1 + ui − ui+1 − . . . − un αn+1 αn+1 αn+1 αn+1 αn+1

o que é um absurdo, pois está-se a supor que v não se escreve como combina¸caõ linear de u1 , . . . , un . Por conseguinte, v terá de ser combina¸caõ linear de u1 , . . . , un . Exemplo.Considerem-se os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) de R3 , que se sabe serem linearmente independentes e o vector (1, 3, 4) de R3 . Verificase, facilmente, que o vector (1, 3, 4) é combina¸caõ linear dos três vectores restantes. De facto, existem escalares α1 , α2 , α3 ∈ R, não todos nulos, tais que (1, 3, 4) = α1 (1, 1, 1) + α2 (1, 1, 0) + α3 (1, 0, 0). Da igualdade anterior, obtém-se o seguinte sistema   α1 + α2 + α3 = 1 α1 + α2 = 3 .  α1 = 4 A solu¸cão deste sistema é α1 = 4, α2 = −1 e α3 = −2. Deste modo, (1, 3, 4) = 4(1, 1, 1) − 1(1, 1, 0) − 2(1, 0, 0), isto é, (1, 3, 4) é combina¸cão linear de (1, 1, 1), (1, 1, 0) e (1, 0, 0). Teorema 22 Sejam u1 , . . . , un , n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V sobre um corpo K. Sejam u1 , . . . , up elementos linearmente dependentes de V . Então, os elementos que perten¸cam a qualquer subconjunto finito de V que contenha u1 , . . . , up também são linearmente dependentes. Demonstra¸c˜ ao. Sem perda de generalidade, considere-se o conjunto constitu´ıdo por u1 , . . . , up , up+1 , . . . , un . Como por hipótese u1 , . . . , up são linearmente dependentes, existem escalares não todos nulos αi , i = 1, . . . , p, tais que α1 u1 + . . . + αp up = 0V .

ˆ ˆ 3.2. DEPENDENCIA/ INDEPENDENCIA LINEAR

57

A igualdade anterior pode escrever-se de forma equivalente do seguinte modo α1 u1 + . . . + αp up + 0up+1 + . . . + 0un = 0V . Assim, existe uma combina¸caõ linear nula de u1 , . . . , un que não é a trivialmente nula e, portanto, os elementos u1 , . . . , up são linearmente dependentes. Exemplo. Considere-se os vectores (1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, −1, 1) de R3 , que se sabe serem linearmente dependentes. Mostra-se que os vectores (1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, −1, 1), (1, 2, 3) ainda são linearmente dependentes. De facto, (0, −1, 1) = (1, 0, 2) − (1, 1, 1) + 0(1, 2, 3), e, por isso, o vector (0, −1, 1) é combina¸caõ linear dos restantes vectores. Então, pelo Teorema 19, conclui-se que os vectores (1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, −1, 1), (1, 2, 3) são linearmente dependentes. Teorema 23 Sejam u1 , . . . , un , n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V sobre um corpo K linearmente independentes. Então quaisquer 1 < p < n elementos distintos escolhidos arbitrariamente entre eles ainda são linearmente independentes. Demonstra¸c˜ ao. Considere-se, sem perda de generalidade, que u1 , u2 , . . . , up são elementos distintos escolhidos aleatoriamente de u1 , u2 , . . . , un e suponhase que são linearmente dependentes. Então, pelo Teorema 19, existe um elemento que se escreve como combina¸caõ linear dos restantes. Pode supor-se, sem perda de generalidade, que esse elemento é u1 . Então, existem escalares β2 , . . . , βp ∈ K, não todos nulos, tais que u1 = β2 u2 + . . . + βp up . Deste modo, tem-se que u1 − β2 u2 − . . . − βp up + 0up+1 + . . . + 0un = 0V . O que é um absurdo pois, por hipótese, u1 , u2 , . . . , un são linearmente independentes. Assim, conclui-se que os elementos u1 , u2 , . . . , up são linearmente independentes.

58

CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS

Exemplo. Considere-se os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) de R3 , que se sabe serem linearmente independentes. Os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0) ainda são linearmente independentes. De facto, da igualdade α1 (1, 1, 1) + α2 (1, 1, 0) = (0, 0, 0), obtém-se o sistema

  α1 + α2 = 0 α1 + α2 = 0 ,  α1 = 0

cuja solu¸caõ é α1 = α2 = 0.

Teorema 24 Sejam u1 , . . . , un , n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V sobre um corpo K. Os elementos u1 , . . . , un são linearmente independentes se e só se qualquer combina¸cão linear de u1 , . . . , un tem coeficientes u ńicos, isto é, α1 u1 + . . . + αn un = β1 u1 + . . . + βn un ⇒ αi = βi ,

i = 1, . . . , n

Demonstra¸c˜ ao. (⇒) Suponha-se que u1 , . . . , un são linearmente independentes e que existe uma combina¸caõ linear de u1 , . . . , un que não tem coeficientes u ńicos. Seja u ∈ V , tal que existem escalares αi 6= βi , i = 1, . . . , n, tais que α1 u1 + . . . + αn un = u e β1 u1 . . . + βn un = u. Das igualdades anteriores, vem α1 u1 + . . . + αn un = β1 u1 + . . . + βn un , o que é equivalente, (α1 − β1 )u1 + . . . + (αn − βn )un = 0V . Uma vez que u1 , . . . , un são linearmente independentes, conclui-se que αi = βi , i = 1, . . . , n, o que é um absurdo, pois partiu-se do pressuposto que estes coeficientes não eram u ńicos.

ˆ ˆ 3.2. DEPENDENCIA/ INDEPENDENCIA LINEAR

59

(⇐) Demonstra-se, agora, o contra-rec´ıproco. Suponha-se que u1 , . . . , un são linearmente dependentes. Então existem escalares αi , i = 1, . . . , n, não todos nulos, tais que α1 u1 + . . . + αn un = 0V . No entanto, é imediato que 0u1 + . . . + 0un = 0V , logo existem duas formas distintas de escrever 0V como combina¸caõ linear de u1 , . . . , un . De seguida, mostra-se que o estudo da independência/dependência de vectores em Rn se pode efectuar com base na resolu¸caõ de sistemas de equa¸cões lineares. Na verdade,

Teorema 25 Sejam u1 , . . . , un , n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V sobre um corpo K. Os vectores u1 , . . . , up ∈ Rn são linearmente independentes se e só se o sistema de equa¸cões lineares Au = 0, onde A ∈ Mn×p é a matriz cujas colunas são os vectores u1 , . . . , up , é poss´ıvel e determinado. Note-se que Au = 0 é equivalente a α1 u1 + . . . + αp up = 0, com u = (α1 , . . . , αp ), αi ∈ R, i = 1, . . . , p. Logo, os vectores u1 , . . . , up ∈ Rn são linearmente independentes se e só se a u ńica solu¸cão de Au = 0 é a solu¸cão nula. Assim, o sistema é poss´ıvel e determinado. Teorema 26 Sejam u1 , . . . , un , n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V sobre um corpo K. Então qualquer conjunto de p vectores em Rn , com p > n, é linearmente dependente. Considere-se a matriz A ∈ Mn×p cujas colunas são os p vectores referidos no Teorema 25. Esta propriedade garante que estes vectores são linearmente independentes se e só se o sistema de equa¸co˜es lineares Au = 0 é poss´ıvel e determinado. Assim, ter-se-ia car(A) = car(A|B) = n´ umero de incógnitas. Por outro lado, como o n´ umero de incógnitas é p, car(A) também teria de ser p, o que significa que a matriz em escada de linhas teria p “pivots”, o que é um absurdo uma vez que o n´ umero de linhas é n < p.

60

CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS

Exemplo. 1. Considere-se os vectores de R3 (1, 1, 1), (1, 1, 0). Então, a matriz A ∈ M3×2 definida no Teorema 25 é dada por   1 1 A =  1 1 . 1 0 Do sistema Au = 0, obtém-se     1 1 | 0 1 1 | 0 [A|B] =  1 1 | 0  −→ L2 ←L2 −L1  0 0 | 0  . L3 ←L3 −L1 1 0 | 0 0 −1 | 0 Como car(A) = car(A|B) = 2 = n´ umero de incógnitas, o sistema é poss´ıvel e determinado. Logo, os vectores são linearmente independentes. 2. Considere-se, agora, os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 3, 4) de 3 R . Então, como o n´ umero de vectores é 4,o Teorema 26 permite concluir que os vectores anteriores são linearmente dependentes. Com base nos Teoremas 25 e 26, prova-se que (ver [4]) para matrizes m × n em escada de linhas se tem: Teorema 27 Sejam u1 , . . . , un , n ≥ 2, elementos de um espa¸co vectorial V sobre um corpo K. Então (a) As colunas que contêm “pivots” são linearmente independentes em Rn . (b) As linhas não nulas são linearmente independentes em Rn . (c) O n´ umero de linhas independentes e o n´ umero de colunas independentes são ambos iguais à caracter´ıstica da matriz. Exemplo. Considere-se os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 3, 4) de R3 . Colocando os vectores anteriores por coluna numa matriz A e efectuando a elimina¸caõ de Gauss, verifica-se que (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) são vectores linearmente independentes. Na verdade,   1 1 1 1 A =  1 1 0 3 . 1 0 0 4

3.3. SISTEMAS DE GERADORES E BASES

61

Então,  A=

     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 0 3  −→ L2 ←L2 −L1  0 0 −1 2  −→L2 ↔L3  0 −1 −1 3  . L3 ←L3 −L1 1 0 0 4 0 −1 −1 3 0 0 −1 2

Deste modo, car(A) = 3. Logo, existem 3 linhas/colunas independentes (Teorema 27 (c)). Assim, existem 3 vectores linearmente independentes que correspondem às colunas que contém “pivots” (Teorema 27 (a)).

3.3

Sistemas de Geradores e Bases

Teorema 28 Seja G um subconjunto, não vazio, de um espa¸co vectorial V sobre um corpo K. Diz-se que G é um conjunto constitu´ıdo por geradores de V ou que G gera V , e denota-se por V = hGi, se qualquer elemento de V se escreve como combina¸cão linear dos elementos de G. No caso de G ser um conjunto finito, G = {u1 , . . . , uk }, então escreve-se V = hGi = hu1 , . . . , uk i e diz-se que V é um espa¸co vectorial finitamente gerado. Exemplo. Mostra-se, de seguida, que h(1, 0, 2), (1, 0, 0)i = {(x, y, z) ∈ R3 : y = 0}. Efectivamente, seja (x, y, z) um elemento genérico de R3 . Então, existem escalares α1 , α2 ∈ R, tais que (x, y, z) = α1 (1, 0, 2) + α2 (1, 0, 0), o que é equivalente a   α1 + α2 = x 0 = y ,  2α1 = z cuja solu¸caõ é α1 = z/2, α2 = x − z/2, quando y = 0. Provou-se, assim, que só existem escalares α1 , α2 ∈ R, tais que (x, y, z) = α1 (1, 0, 2) + α2 (1, 0, 0), se y = 0.

62

CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS

Teorema 29 Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K, tal que V = hu1 , . . . , un i. Se ui é linearmente dependente dos restantes, então u1 , . . . , ui−1 , ui+1 , . . . , un é ainda um sistema de geradores de V . Demonstra¸c˜ ao. Seja v ∈ V . Como u1 , . . . , un geram V , existem escalares α1 , . . . , αn ∈ K, tais que v = α1 u1 + . . . + αi ui + . . . + αn un .

(3.3)

Por outro lado, por hipótese, ui escreve-se como combina¸cão linear dos restantes elementos. Logo, existem escalares β1 , . . . , βi−1 , βi+1 , . . . , βn , tais que ui = β1 u1 + . . . + βi−1 ui−1 + βi+1 ui+1 + . . . + βn un .

(3.4)

Substituindo (3.4) em (3.3), tem-se v = α1 u1 + . . . + αi (β1 u1 + . . . + βi−1 ui−1 + βi+1 ui+1 + . . . + βn un ) + . . . + αn un = (α1 + αi β1 )u1 + . . . + (αi−1 + αi βi−1 )ui−1 + (αi+1 + αi βi+1 )ui+1 + . . . + (αn + αi βn )un . Deste modo, v ∈ V é combina¸caõ linear de u1 , . . . , ui−1 , ui+1 , . . . , un , e, por conseguinte, u1 , . . . , ui−1 , ui+1 , . . . , un é ainda um sistema de geradores de V. Exemplo. Os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 3, 4) de R3 constituem um conjunto de geradores de R3 , uma vez que qualquer elemento de R3 se escreve como combina¸cão linear deste vectores. Seja (x, y, z) ∈ R3 , mostra-se que existem escalares α1 , α2 , α3 , α4 ∈ R, tais que (x, y, z) = α1 (1, 1, 1) + α2 (1, 1, 0) + α3 (1, 0, 0) + α4 (1, 3, 4). Obtém-se, assim, o seguinte sistema   α1 + α2 + α3 + α4 = x α1 + α2 + 3α4 = y .  α1 + 4α4 = z

3.3. SISTEMAS DE GERADORES E BASES

63

A matriz ampliada deste sistema é     1 1 1 1 | x 1 1 1 1 | x [A|B] =  1 1 0 3 | y  −→ L2 ←L2 −L1  0 0 −1 2 | y − x  L3 ←L3 −L1 1 0 0 4 | z 0 −1 −1 3 | z − x   1 1 1 1 | x −−−−−→  L3 ↔ L2 0 −1 −1 3 | z − x  . 0 0 −1 2 | y − x Então, car(A) = car(A|B) = 3 < 4 = n´ umero de incógnitas, logo o sistema é poss´ıvel e indeterminado. Por isso, existem escalares α1 , α2 , α3 , α4 ∈ R que satisfazem (x, y, z) = α1 (1, 1, 1) + α2 (1, 1, 0) + α3 (1, 0, 0) + α4 (1, 3, 4). Logo, R3 = h(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 3, 4)i. Sabe-se que o vector (1, 3, 4) é combina¸caõ linear de (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0). Então, prova-se de seguida que estes vectores ainda formam um conjunto de geradores de R3 . Seja (x, y, z) ∈ R3 , mostra-se que existem escalares α1 , α2 , α3 ∈ R, tais que (x, y, z) = α1 (1, 1, 1) + α2 (1, 1, 0) + α3 (1, 0, 0). De modo análogo ao anterior, obtém-se o   α1 + α2 + α3 α1 + α2  α1

seguinte sistema = x = y , = z

cuja solu¸caõ é (z, y − z, x − y). Logo, existem escalares α1 = z, α2 = y − z e α3 = x − y que satisfazem (x, y, z) = z(1, 1, 1) + (y − z)(1, 1, 0) + (x − y)(1, 0, 0) e, por isso, R3 = h(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)i. Defini¸c˜ ao 3.3.1 Considere-se V um espa¸co vectorial finitamente gerado sobre um corpo K. Chama-se base de V a qualquer sequência de elementos de V linearmente independentes e que geram V . O n´ umero de elementos de uma base de V designa-se dimensão de V e denota-se por dim V .

64

CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS

Note-se que qualquer espa¸co vectorial V sobre um corpo K pode ter um n´ umero infinito de bases, no entanto todas as bases têm o mesmo n´ umero de elementos. Além disso, como na defini¸cão de base é referida a no¸cão de sequência de elementos de V , a ordem pela qual os elementos aparecem na base é importante. As sequências ((1, 0), (0, 1)) e ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) designam-se base canónica de R2 e R3 , respectivamente. Mais geralmente, no caso de Rn a base canónica é ((1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)). Assim, as dimensões de R2 , R3 e Rn são 2, 3 e n, respectivamente. A dimensão do espa¸co vectorial dos polinómios de grau menor ou igual a n, Rn [x], é n + 1, uma vez que (1, x, x2 , . . . , xn−1 , xn ) é a sua base canónica. Exemplo. A sequência de vectores ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) constitui uma base de R3 , visto que já se mostrou anteriormente que os vectores são linearmente independentes e constituem um sistema de geradores de R3 . Alterando a ordem dos vectores anteriores obtém-se, por exemplo, ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)) que constitui uma nova base de R3 . Defini¸c˜ ao 3.3.2 Seja V um espa¸co vectorial de dimensão finita, n, sobre um corpo K. Então a sequência (u1 , . . . , un ) é uma base de V se e só se qualquer elemento de V se escreve de forma u ńica como combina¸cão linear de u1 , . . . , un . Assim sendo, existem escalares u ńicos α1 , . . . , αn ∈ K, tais que v = α1 u1 + . . . + αn un , v ∈ V. Os escalares α1 , . . . , αn designam-se coordenadas do vector v relativamente ` a base (u1 , . . . , un ).

Exemplo.Considere-se a sequência ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) que se sabe ser uma base de R3 . Seja (1, 2, 3) ∈ R3 . Então, as coordenadas de (1, 3, 4), relativamente à base ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) são 4,−1 e −2. Efectivamente, provou-se anteriormente que (1, 3, 4) = 4(1, 1, 1) − 1(1, 1, 0) − 2(1, 0, 0).

3.3. SISTEMAS DE GERADORES E BASES

65

No caso particular de V não ser um espa¸co vectorial finitamente gerado, diz-se que a dimensão de V é infinita. Se V coincide com o seu elemento neutro (V = {0V }), diz-se que V tem dimensão nula e, neste caso, V não tem base. Introduz-se, de seguida, o conceito de subespa¸co próprio associado a um valor próprio. Comece-se por recordar que no Cap´ıtulo 2 se introduziu o conceito de valor próprio de uma matriz A ∈ Mn e foi referido que para um dado valor próprio de A, λ, os vectores próprios de A associados a λ constituem o conjunto VA (λ) = {X ∈ Rn \{0} : (A − λI)X = 0} . A cada valor próprio de A, λ, está ainda associado um subespa¸co vectorial, designado subespa¸co próprio de A associado a λ e definido por SA (λ) = {X ∈ Rn : (A − λI)X = 0} . A dimensão deste subespa¸co é designada multiplicidade geométrica do valor próprio λ e esta multiplicidade é menor ou igual do que a multiplicidade algébrica do valor próprio λ. Exemplo. Considere-se a matriz 1 −2 A= ∈ M2 . 0 1 Mostrou-se no Cap´ıtulo 2 que 1 é valor próprio de A com multiplicidade algébrica 2 e que o conjunto dos vectores próprios de A associados ao valor próprio 1 é VA (1) = (x, y) ∈ R2 \{(0, 0)} : y = 0 = {(x, 0) : x ∈ R\{0}} . Deste modo, o subespa¸co próprio de A associado a 1 é SA (1) = (x, y) ∈ R2 : y = 0 = {x(1, 0) : x ∈ R} = h(1, 0)i. e a multiplicidade geométrica do valor próprio 1 é 1 (menor que a multiplicidade algébrica que é 2).

66

CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS

Apresentam-se, de seguida, duas propriedades associadas aos subespa¸cos soma e interseçcão que permitem determinar, de forma simples, a dimensão destes subespa¸cos. Com efeito, sejam F e G dois subespa¸cos vectoriais de V (espa¸co vectorial sobre um corpo K). Mostra-se que Teorema 30

(a) hF i + hGi = hF ∪ Gi.

(b) dim(F + G) = dimF + dimG − dim(F ∩ G).

Para finalizar, apresentam-se alguns resultados sobre sistemas de geradores de um espa¸co vectorial. Considere-se V um espa¸co vectorial de dimensão finita, n, sobre um corpo K e (u1 , . . . , un ) uma base de V . Então, são válidas os teoremas seguintes: Teorema 31 Quaisquer m elementos de V com m > n são linearmente dependentes. Exemplo.1. Sejam (2, 1), (1, 0) e (0, 1) vectores de R2 . Pelo Teorema 31, conclui-se que os vectores são linearmente dependentes, dado que a dimensão de R2 é 2 < 3 =n´ umero de vectores. 2. Os polinómios −2 + 3x + 3x2 − 4x3 , 2x3 , −2, 3x2 + 3x e 2x + 1 de R3 [x] são linearmente dependentes. De facto, a dimensão de R3 [x] = 4 < 5 = n´ umero de polinómios. Teorema 32 Qualquer subconjunto de V constitu´ıdo por n elementos linearmente independentes gera V . Exemplo.1. Aplicando o teorema anterior, conclui-se facilmente que R3 6= h(1, 1, 0), (0, 1, 1)i, porque apesar dos vectores (1, 1, 0) e (0, 1, 1) serem linearmente independentes, o n´ umero de vectores é 2 < 3 = dim(R3 ). Analogamente, apesar dos polinómios 1 + x, x2 , x3 de R3 [x] serem linearmente independentes, R3 [x] 6= h1 + x, x2 , x3 i, porque 3 < 4 = dim(R3 [x]). 2. Dado que os vectores u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (−1, 1, 1) são linearmente independentes e são 3 = dim(R3 ), conclui-se pelo Teorema 326 que R3 = h(1, 1, 0), (0, 1, 1), (−1, 1, 1)i. Teorema 33 Qualquer conjunto de geradores de V é linearmente independente se e só se tem n elementos;

3.3. SISTEMAS DE GERADORES E BASES

67

Exemplo. 1. Os vectores (0, −1, 2), (−1, 0, 2), (−1, −1, 4), (1, 0, 0) de R3 constituem um sistema de geradores de R3 , no entanto como são 4 vectores, pelo Teorema 33 conclui-se que os vectores são linearmente dependentes. 2. Sabe-se pelo exemplo anterior que R3 = h(1, 1, 0), (0, 1, 1), (−1, 1, 1)i. Deste modo, pode-se concluir que os vectores são linearmente independentes. Teorema 34 Um sistema de geradores de V tem no m´ınimo n elementos. Exemplo.Considere-se o espa¸co vectorial R3 . Dado um elemento arbitrário de R3 , (x, y, z), verifica-se que (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1). Assim, para gerar R3 são necessários no m´ınimo três vectores, (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Teorema 35 Qualquer conjunto finito de geradores de V , contém uma base de V . Exemplo.Recorrendo ao exemplo respeitante ao Teorema 32, pode-se inferir que (u1 , u2 , u3 ) e (u1 , u2 , u3 , u4 ), onde u4 é um vector arbitrário de R3 , são sistemas de geradores de R3 . No entanto, aplicando o Teorema 33, conclui-se que no segundo caso os vectores são linearmente dependentes, uma vez que 4 > 3 = dimR3 . Deste modo, {u1 , u2 , u3 , u4 }, contém uma base de R3 que é, por exemplo, (u1 , u2 , u3 ). Teorema 36 Qualquer subconjunto de V , que contenha um conjunto de geradores de V é ainda um conjunto de geradores de V . Exemplo.1. Os vectores u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), e u3 = (1, 0, 0) de R3 são linearmente independentes, e portanto pelo Teorema 32, constituem um sistema de geradores de R3 . Assim sendo, qualquer elemento w de R3 pode-se escrever como combina¸caõ linear de u1 , u2 , u3 , isto é, existem α1 , α2 , α3 ∈ R, tais que, w = α1 u1 + α2 u2 + α3 u3 . Se considerar o sistema (u1 , u2 , u3 , u4 ), onde u4 é um vector arbitrário de R3 , obviamente que este novo sistema também gera R3 . De facto, dado w ∈ R3 , tem-se w = α1 u1 + α2 u2 + α3 u3 + 0u4 .

68

CAPÍTULO 3. ESPAC ¸ OS E SUBESPAC ¸ OS VECTORIAIS

Teorema 37 Qualquer conjunto com m < n elementos linearmente independentes de V pode ser ampliado de modo a formar uma base de V . Exemplo. Mostra-se facilmente que os polinómios 1 + x, x2 de R2 [x] são linearmente independentes. Por outro lado, a sequência de polinómios (1 + x, x2 , 2) de R2 [x], é ainda linearmente independente e, por isso, aplicando o Teorema 32, constitui um sistema de geradores linearmente independente. Deste modo, ampliou-se o sistema independente (1 + x, x2 ) de modo a formar uma base de R2 [x].

Cap´ıtulo 4 Aplica¸ c˜ oes Lineares No Cap´ıtulo 3, apresentaram-se alguns exemplos que deram a ideia de que existem espa¸cos vectoriais que são “iguais”, na medida em que possuem as mesmas propriedades, embora os seus elementos apresentem formas distintas. ´ o caso dos espa¸cos vectoriais M2×1 e M1×2 , constitu´ıdos pelos vectores E coluna e pelos vectores linha com 2 componentes, respectivamente. Neste cap´ıtulo tornar-se-á esta ideia mais precisa, introduzindo, para isso, algumas no¸co˜es.

4.1

Defini¸c˜ ao e propriedades

Sejam U e V espa¸cos vectoriais sobre um corpo K. Uma aplica¸cão (transforma¸cão) linear de U em V é uma aplica¸caõ f : U → V que satisfaz as seguintes propriedades: f (u + v) = f (u) + f (v)

e

f (αu) = αf (u),

ou, de forma equivalente, f (αu + βv) = αf (u) + βf (v), para quaisquer u, v ∈ U e α, β ∈ K. Os espa¸cos vectoriais U e V designam-se espa¸co de partida e espa¸co de chegada, respectivamente. Exemplo. A aplica¸caõ f : R3 → R2 , definida por f (x, y, z) = (y + z, x) é linear. De facto, sejam u = (x, y, z) e v = (x0 , y 0 , z 0 ) elementos arbitrários de 69

˜ CAPÍTULO 4. APLICAC ¸ OES LINEARES

70 R3 e α, β ∈ R. Então, f (αu + βv) = = = = = =

f (α(x, y, z) + β(x0 , y 0 , z 0 )) f (αx + βx0 , αy + βy 0 , αz + βz 0 ) (αy + βy 0 + αz + βz 0 , αx + βx0 ) α (y + z, x) + β (y 0 + z 0 , x0 ) αf (x, y, z) + βf (x0 , y 0 , z 0 ) αf (u) + βf (v).

Verifica-se facilmente que a aplica¸cão f : U → V que associa a cada elemento do espa¸co vectorial U o elemento neutro do espa¸co vectorial V , é uma aplica¸cão linear, mais propriamente a aplica¸cão nula doravante denotada por 0f . De forma análoga, a aplica¸cão f : U → U que associa cada elemento de um espa¸co vectorial U em si próprio também é uma aplica¸cão linear, habitualmente designada aplica¸cão identidade e denotada por 1f . Como consequência da defini¸caõ de aplica¸caõ linear obtêm-se os resultados seguintes: Teorema 38 Sejam U e V espa¸cos vectoriais sobre um corpo K. Uma aplica¸cão f : U → V é linear se e só se ! n n X X f α i xi = αi f (xi ) , (4.1) i=1

i=1

para quaisquer xi ∈ U , αi ∈ K, i = 1, . . . , n, n > 1. Demonstra¸c˜ ao. (⇒) Considere-se xi ∈ U , αi ∈ K, i = 1, . . . , n. Aplicando a defini¸caõ de aplica¸caõ linear, obtém-se ! ! ! n n n X X X f αi xi = f α1 x1 + αi xi = α1 f (x1 ) + f αi xi i=1

i=2

= α1 f (x1 ) + f

i=2

α2 x2 +

n X i=3

! α i xi

˜ E PROPRIEDADES 4.1. DEFINIC ¸ AO

= α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) + f

71 n X

! α i xi

i=3

= ··· = α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) + . . . + αn f (xn ) n X = αi f (xi ) . i=1

(⇐) Se f satisfaz (4.1) para n > 1 então, no caso particular de n = 2, obtém-se f (α1 x1 + α2 x2 ) = α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ), para quaisquer x1 , x2 ∈ U e α1 , α2 ∈ R. Deste modo, conclui-se que f é linear. Teorema 39 Sejam U e V espa¸cos vectoriais sobre um corpo K. Se a aplica¸cão f : U → V é linear, então f (0U ) = 0V . Demonstra¸c˜ ao. Seja x um elemento arbitrário de U e −x o seu simétrico. Então, x + (−x) = 0U . Assim, dado que f é linear, f (0U ) = f (x + (−x)) = f (x) − f (x) = 0V .

Note-se que a partir do Teorema 39 obtém-se uma condi¸caõ necessária para que uma dada aplica¸caõ seja linear. Exemplo. A aplica¸caõ f : R → R2 tal que f (x) = (1, x) não é linear. De facto, como f (0R ) = f (0) = (1, 0) 6= (0, 0) = 0R2 , pela Propriedade 2, f não é linear. Relembre-se, agora, a defini¸caõ de soma, multiplica¸cão escalar e composta de aplica¸cões. Dados os conjuntos U , V e W e as aplica¸co˜es f, g : U → V e h : V → W define-se 1. f + g : U → V , por (f + g)(u) = f (u) + g(u), u ∈ U . 2. αf : U → V por (αf )(u) = α(f (u)), u ∈ U , α escalar.

72

˜ CAPÍTULO 4. APLICAC ¸ OES LINEARES 3. h ◦ g : U → W por (h ◦ g)(u) = (h(g(u)), u ∈ U .

No caso particular de U , V e W serem espa¸cos vectoriais sobre um corpo K e de f , g e h serem aplica¸co˜es lineares, as aplica¸co˜es 1, 2 e 3 também são lineares. Na verdade, considerando u, v ∈ U e α, β ∈ K arbitrários e utilizando a defini¸cão de soma de aplica¸co˜es, obtém-se (f + g)(αu + βv) = f (αu + βv) + g(αu + βv). Como f e g são lineares pode escrever-se (f + g)(αu + βv) = αf (u) + βf (v) + αg(u) + βg(v) = α(f (u) + g(u)) + β(f (v) + g(v)). Utilizando novamente a defini¸cão de soma de aplica¸cões, obtém-se que f + g é linear, dado que (f + g)(αu + βv) = α(f + g)(u) + β(f + g)(v). A linearidade das aplica¸co˜es αf e de h ◦ g mostra-se de forma análoga. ´ simples mosSejam U e V dois espa¸cos vectoriais sobre um corpo K. E trar que o conjunto de todas as aplica¸cões lineares de U em V , munido das opera¸co˜es adi¸cão e multiplica¸cão escalar definidas em 1 e 2 ainda é um espa¸co vectorial sobre K (ver [3]). Para caracterizar uma aplica¸cão de forma u ńica, em geral, é necessário uma grande quantidade de informa¸caõ. O caso das aplica¸co˜es lineares é especial, visto que quando o espa¸co de partida tem dimensão finita, qualquer aplica¸caõ linear fica determinada desde que sejam conhecidas as imagens de uma base desse espa¸co. Assim, sejam U e V espa¸cos vectoriais sobre um corpo K, f : U → V uma aplica¸caõ linear e B1 = (u1 , u2 , . . . , un ) uma base de U . Considerese, ainda, um vector arbitrário u ∈ U . Então, existem escalares u ńicos α1 , α2 , . . . , αn ∈ K, tais que u = α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un . A linearidade de f permite escrever f (u) = f (α1 u1 + α2 u2 + . . . + αn un ) = α1 f (u1 ) + α2 f (u2 ) + . . . + αn f (un ) .

(4.2)

˜ E PROPRIEDADES 4.1. DEFINIC ¸ AO

73

Assim, a imagem de cada vector u ∈ U fica determinada desde que se conhe¸cam as imagens dos vectores da base B, isto é, f (u1 ), f (u2 ), . . . , f (un ). Exemplo.Pretende-se caracterizar a aplica¸cão f : R2 → R3 , tal que f (1, 2) = (3, −1, 5) e f (0, 1) = (2, 1, −1). Dado que dim R2 = 2, quaisquer dois elementos de R2 linearmente independentes constituem uma sua base. Como 1 2 car = 2, 0 1 os vectores (1, 2) e (0, 1) são linearmente independentes e, assim sendo, B1 = ((1, 2), (0, 1)) é base de R2 . Deste modo, para todo o (x, y) ∈ R2 , existem escalares u ńicos α1 , α2 ∈ R, tais que (x, y) = α1 (1, 2) + α2 (0, 1). Da igualdade anterior obtém-se α1 =x 2α1 + α2 = y, cuja solu¸caõ é (x, y − 2x). Logo, (x, y) = x(1, 2) + (y − 2x)(0, 1).

(4.3)

Como f é linear, f (1, 2) = (3, −1, 5) e f (0, 1) = (2, 1, −1), de (4.3) vem f (x, y) = f (x(1, 2) + (y − 2x)(0, 1)) = xf (1, 2) + (y − 2x)f (0, 1) = x(3, −1, 5) + (y − 2x)(2, 1, −1) = (−x + 2y, −3x + y, 7x − y).

Sejam U e V dois espa¸cos vectoriais sobre um corpo K e sejam B1 = (u1 , u2 , . . . , un ) e B2 = (v1 , v2 , . . . , vm ) bases de U e V , respectivamente. Note-se que dada uma matriz A = [aij ] ∈ Mm×n arbitrária, esta define uma u ńica aplica¸cão linear f : U → V relativamente ao par de bases B1 e B2 . Para tal, basta considerar que a j-ésima coluna de A, [a1j a2j . . . amj ]T , representa

˜ CAPÍTULO 4. APLICAC ¸ OES LINEARES

74

o vector das coordenadas de f (uj ) na base B2 , j = 1, . . . , n. Como cada um dos n vectores de coordenadas é u ńico, cada f (uj ) pode ser escrito de forma u ńica como combina¸cão linear dos elementos da base B2 do seguinte modo: f (uj ) = a1j v1 + a2j v2 + . . . + amj vm , j = 1, . . . , n.

(4.4)

Assim, conhecidas as imagens de uma base do espa¸co de partida, qualquer aplica¸caõ linear f fica definida, basta para tal utilizar (4.2) juntamente com (4.4). A matriz A designa-se matriz da aplica¸cão linear f relativamente a`s bases B1 e B2 e denota-se por A = M(f ; B1 , B2 ). Exemplo. Seja f : R3 → R2 uma aplica¸caõ linear cuja matriz que representa f relativamente a`s bases B1 = ((−1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)) e B2 = ((0, 1), (1, 0)) é 1 2 3 M(f ; B1 , B2 ) = . 5 0 1 Note-se que as colunas de M(f ; B1 , B2 ) são os vectores das coordenadas das imagens dos vectores de B1 na base B2 . Deste modo, f (−1, 0, 0) = 1 × (0, 1) + 5 × (1, 0) = (5, 1) f (0, 0, 1) = 2 × (0, 1) + 0 × (1, 0) = (0, 2) f (0, 1, 0) = 3 × (0, 1) + 1 × (1, 0) = (1, 3). ´ fácil verificar que E (x, y, z) = −x(−1, 0, 0) + z(0, 0, 1) + y(0, 1, 0).

(4.5)

Utilizando (4.5) e a linearidade de f , vem f (x, y, z) = = = =

f (−x(−1, 0, 0) + z(0, 0, 1) + y(0, 1, 0)) −xf (−1, 0, 0) + zf (0, 0, 1) + yf (0, 1, 0) −x(5, 1) + z(0, 2) + y(1, 3) (−5x + y, −x + 2z + 3y).

Note-se ainda que, dada uma aplica¸caõ linear f : U → V e dadas B1 = (u1 , u2 , . . . , un ) e B2 = (v1 , v2 , . . . , vm ) bases de U e V , respectivamente, é sempre poss´ıvel construir uma u ńica matriz A que define f em rela¸cão a B1 e B2 . Para obter A basta, para cada j = 1, . . . , n,

˜ E PROPRIEDADES 4.1. DEFINIC ¸ AO

75

1. Calcular f (uj ); 2. Determinar o vector das coordenadas de f (uj ) na base B2 , (a1j , a2j , . . . , amj ) ;

(4.6)

3. Introduzir o vector (4.6) na j-ésima coluna de A. Exemplo.Considere-se a aplica¸caõ linear f : R3 → R2 , definida por f (x, y, z) = (−5x + y, −x + 3y + 2z) e as bases B1 = ((−1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)) e B2 = ((0, 1), (1, 0)). Para obter a matriz de f relativamente às bases B1 e B2 come¸ca-se por calcular as imagens dos elementos de B1 . Assim, f (−1, 0, 0) = (5, 1), f (0, 0, 1) = (0, 2) e f (0, 1, 0) = (1, 3). De seguida, determinam-se os vectores das coordenadas de cada uma das imagens na base B2 , (a1j , a2j ), j = 1, 2, 3. Para tal, resolvem-se as equa¸cões seguintes (5, 1) = a11 (0, 1) + a21 (1, 0) (0, 2) = a12 (0, 1) + a22 (1, 0) (1, 3) = a13 (0, 1) + a23 (1, 0), cujas solu¸co˜es são (a11 , a21 ) = (1, 5), (a12 , a22 ) = (2, 0) e (a13 , a23 ) = (3, 1), respectivamente. A matriz M(f ; B1 , B2 ) obtém-se introduzindo, ordenadamente por coluna, os vectores das coordenadas. Assim, 1 2 3 M(f ; B1 , B2 ) = . 5 0 1

Considere-se, novamente, a combina¸cão linear (4.2). A igualdade (4.4) permite escrever (4.2) da seguinte forma: f (u) = α1 (a11 v1 + . . . + am1 vm ) + α2 (a12 v1 + . . . + am2 vm ) + . . . + αn (a1n v1 + . . . + amn vm ) = (α1 a11 + . . . + αn a1n ) v1 + (α1 a21 + . . . + αn a2n ) v2 + . . . + (α1 am1 + . . . + αn amn ) vm .

(4.7)

76

˜ CAPÍTULO 4. APLICAC ¸ OES LINEARES

Note-se que os coeficientes dos vectores vi , i = 1, . . . , m, são as coordenadas de uma matriz produto, nomeadamente o produto da matriz M(f ; B1 , B2 ) pelo vector coluna constitu´ıdo pelas coordenadas de u na base B1 . Este produto matricial origina um vector coluna cujas componentes são as coordenadas de f (u) na base B2 . Assim, o cálculo da imagem de um vector por uma aplica¸caõ linear corresponde a multiplicar a matriz da aplica¸cão linear por um vector de coordenadas. Então, f (u), em (4.7), pode escrever-se sucintamente em termos matriciais como (f (u))B2 = M(f ; B1 , B2 )uB1 ,

(4.8)

onde uB denota o vector das coordenadas de um vector u numa base B. ´ simExemplo. Considere-se a aplica¸cão linear do exemplo anterior. E ples verificar que o vector das coordenadas do vector (1, 2, 3) na base B1 é T −1 3 2 . Assim, utilizando (4.8), obtém-se (f (1, 2, 3))B2 = M(f ; B1 , B2 )(1, 2, 3)B1 =

1 2 3 5 0 1



 −1 11  3 = . 3 2

Sejam U e V espa¸cos vectoriais sobre um corpo K e f : U → V uma aplica¸caõ linear. A Propriedade 2 garante a existência de, pelo menos, um elemento em U , 0U , cuja imagem é o elemento neutro de V , 0V . O conjunto formado por todos os elementos de U cuja imagem por f é o elemento neutro de V , isto é, N ucf = {u ∈ U : f (u) = 0V } , designa-se n´ ucleo de f e é um subespa¸co vectorial de U . Em contrapartida, o conjunto Imf = {v : v = f (u), para algum u ∈ U } designa-se conjunto imagem de f ou contradom´ınio de f e é um subespa¸co vectorial de V . Comece-se por mostrar que N ucf é subespa¸co vectorial de U . Pela Propriedade 2, f (0U ) = 0V , logo 0U ∈ N ucf 6= ∅. Considere-se, agora, u, v ∈ N ucf e α, β ∈ R arbitrários. Então, dado f ser linear, vem f (αu + βv) = αf (u) + βf (v) .

˜ E PROPRIEDADES 4.1. DEFINIC ¸ AO

77

Como u, v ∈ N ucf , obtém-se f (αu + βv) = α0V + β0V = 0V e, por conseguinte, αu + βv ∈ N ucf . Logo, N ucf é um subespa¸co vectorial de U . De seguida mostra-se que Imf é um subespa¸co vectorial de V . Pela Propriedade 2, f (0U ) = 0V , logo 0V ∈ Imf 6= ∅. Considere-se, agora, v1 , v2 ∈ Imf e α, β ∈ R arbitrários. Por defini¸caõ de Imf , existem u1 , u2 ∈ U , tais que f (u1 ) = v1 e f (u2 ) = v2 . Assim, dado que f é linear, vem αv1 + βv2 = αf (u1 ) + βf (u2 ) = f (αu1 + βu2 ) . Como U é espa¸co vectorial, αu1 + βu2 ∈ U e, deste modo, αv1 + βv2 = f (αu1 + βu2 ) ∈ Imf, sendo, por isso, Imf um subespa¸co vectorial de V . ` dimensões de Imf e N ucf chamam-se caracter´ıstica de f e nulidade As de f , respectivamente. Pode ainda mostrar-se (ver [2]) que é válida a seguinte igualdade dim N ucf + dim Imf = dim U. Note-se, ainda, que (4.2) permite concluir que Imf = hf (u1 ), f (u2 ), . . . , f (un )i . Exemplo. Considere-se a aplica¸caõ linear f : R3 → R2 , tal que f (x, y, z) = (−5x + y, −x + 3y + 2z). O n´ ucleo de f é o subespa¸co vectorial de R3 N ucf = (x, y, z) ∈ R3 : f (x, y, z) = (0, 0) = (x, y, z) ∈ R3 : (−5x + y, −x + 3y + 2z) = (0, 0) . Da igualdade anterior obtém-se −5x + y =0 −x + 3y + 2z = 0, cuja solu¸caõ é (x, 5x, −7x). Assim, N ucf = {(x, 5x, −7x) : x ∈ R} = h(1, 5, −7)i.

˜ CAPÍTULO 4. APLICAC ¸ OES LINEARES

78

A nulidade de f é 1, visto que um elemento não nulo é linearmente independente. A imagem de f é o subespa¸co vectorial de R2 Imf = {(−5x + y, −x + 3y + 2z) : x, y, z ∈ R} . Dado que (−5x + y, −x + 3y + 2z) = x(−5, −1) + y(1, 3) + z(0, 2), vem Imf = h(−5, −1), (1, 3), (0, 2)i = h(1, 3), (0, 2)i. Note-se que car

1 3 0 1

= 2,

por isso, estes dois vectores são linearmente independentes e, assim sendo, a caracter´ıstica de f é igual a 2. Observe-se que, efectivamente, dim N ucf + dim Imf = dim R3 , visto que 1 + 2 = 3. Tal como se referiu, no in´ıcio deste cap´ıtulo, alguns espa¸cos vectoriais aparentam ser “iguais”. Neste momento é poss´ıvel clarificar esta ideia, come¸case, por isso, por recordar algumas no¸co˜es. Dados dois conjuntos A e B e uma aplica¸cão f : A → B, diz-se que - a aplica¸caõ f é injectiva se e só se quaisquer dois elementos distintos de A não têm a mesma imagem, isto é, u1 6= u2 =⇒ f (u1 ) 6= f (u2 ),

u1 , u2 ∈ A.

- a aplica¸caõ f é sobrejectiva se e só se todo o elemento de B é imagem, por f , de algum elemento de A, isto é, ∃u ∈ A, tal que v = f (u),

v ∈ B.

- a aplica¸cão f é bijectiva se for simultaneamente injectiva e sobrejectiva. No caso particular de f : U → V ser uma aplica¸cão linear,

˜ E PROPRIEDADES 4.1. DEFINIC ¸ AO

79

- f é injectiva se e só se N ucf = {0U }. - f é sobrejectiva se e só se dim V = dim Imf . Comece-se por mostrar que f é injectiva se e só se N ucf = {0U }. (⇒) Do Teorema 39, obtém-se f (0U ) = 0V , o que, conjuntamente com o facto de f ser injectiva, permite concluir que N ucf = {0U }. (⇐) Utilizando a lei da conversão, pretende mostrar-se que se N ucf 6= {0U } então f não é injectiva. Efectivamente, pela Propriedade 2, vem que f (0U ) = 0V . Mas, como, por hipótese, N ucf 6= {0U } então existe x ∈ U , x 6= 0U , tal que f (x) = 0V . Logo, f não é injectiva. De seguida mostra-se que f é sobrejectiva se e só se dim V = dim Imf . Efectivamente, f é sobrejectiva se e só se ∃u ∈ U, tal que v = f (u),

v∈V

ou, de modo equivalente, se e só se V ≡ Imf . Como Imf ⊆ V , obtém-se V ≡ Imf se e só se dim V = dim Imf . Exemplo. A aplica¸cão linear f : R3 → R2 , tal que f (x, y, z) = (−5x + y, −x + 3y + 2z) não é bijectiva. De facto, f é bijectiva se e só se f é sobrejectiva e injectiva. A aplica¸caõ f é sobrejectiva, dado que dim R2 = 2 = dim Imf . No entanto, como N ucf 6= {(0, 0, 0)}, f não é injectiva e, como tal, também não é bijectiva. Existem aplica¸co˜es que transformam um espa¸co vectorial noutro preservando a sua estrutura. Estas aplica¸cões designam-se isomorfismos. Assim, dada uma aplica¸cão linear f : U → V , se - f é bijectiva, f diz-se um isomorfismo; - f é injectiva, f diz-se um monomorfismo; - f é sobrejectiva, f diz-se um epimorfismo. No caso particular de U = V , a aplica¸caõ linear f designa-se endomorfismo. A um isomorfismo em que U = V dá-se o nome de automorfismo. O exemplo seguinte mostra que, de facto, existem aplica¸co˜es que transformam um espa¸co vectorial noutro preservando a sua estrutura.

˜ CAPÍTULO 4. APLICAC ¸ OES LINEARES

80

Exemplo. Considerem-se os espa¸cos vectoriais M1×2 e M2×1 . A adi¸caõ em M1×2 1 −2 + −3 4 = −2 2 corresponde em M2×1 a

1 −2

+

−3 4

=

−2 2

.

Em contrapartida, a multiplica¸caõ escalar em M1×2 −9 −3 4 = 27 −36 corresponde em M2×1 a −9

−3 4

=

27 −36

.

Mais geralmente, sob a correspondência u1 u1 u2 ↔ u2 ambas as opera¸cões que se seguem preservam a estrutura dos elementos, isto é, elementos correspondentes adicionam-se ou multiplicam-se por um escalar de forma correspondente, u1 v1 u1 + v1 u1 u2 + v1 v2 = u1 + v1 u2 + v2 ←→ + = u2 v2 u2 + v2

α

u1 u2

=

αu1 αu2

←→ α

u1 u2

=

αu1 αu2

.

Assim, estes espa¸cos podem considerar-se “iguais” neste sentido.

Bibliografia ´ [1] Isabel Cabral, Cec´ılia Perdigão e Carlos Saiago, Algebra Linear, Teoria, Exerc´ıcios Resolvidos e Exerc´ıcios propostos com solu¸cões, Escolar Editora, 2008 ´ [2] Em´ılia Giraldes, Victor H. Fernandes e Maria Paula M. Smith,Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica, McGraw-Hill de Portugal, 1995. [3] Jim Hefferon, Linear Algebra, ftp://joshua.smcvt.edu/pub/hefferon/book/book.pdf. ´ [4] Luis T. Magalhães, Algebra Linear como introdu¸cão a matemática aplicada, Texto Editora, Lisboa, 1993. ´ [5] João F. Queiró e Ana Paula Santana, Introdu¸cão a` Algebra Linear, Trajectos da Ciência, Gradiva, 2010 [6] Gareth Williams, Linear Algebra with applications, Jones and Bartlett publishers, 2011

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Sebenta Alga

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