Sears-Mecanica-Calor-y-Sonido (1-100) PDF
March 16, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Pág.
ix
1-1. Fiiena. p&g. 3. 3.-1-1-2. 2. Unidades y 3. 3.-1 -1-3. -3. El kilo gra mo.~ 4. 1-4 1-4.. Represent aci6n'p >ifica de las fiienn s. Vectores. Vectores. 5.-1 5.-1-5 -5.. Compone ntes de .iin vector. 6.-16.-1-6. 6. Comoo sición dc fiierzas. 9. 9.-1-1-7. 7. Comno sici6ii de fuerzas mmliantc siis componenf cs rrctangiilares. 12.--1-8 1-8.. Res ult int e de iin siste ma de fuerzas no conciirrentes. 13.-1 13.-1-9. -9. \'rctor difere ncia. 14.-Problc~mas. 14.-Problc~mas. 15. CAP. '11.-ESTATICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-1. Introduccióii, pag. 16. 16.-2-2-2. 2. Primer a ley d e Newton, 16. 16.-2-2-3. 3. Tercera ley dr Newton, 18.--2-4. 2-4. Estrii ctiiras sencillas, 19 19.-2-9. .-2-9. Otros ejcniplos de eqiiilibrio, 21 21..-22-6. 6. Rozamiento , 24. 24.-2-2-7. 7. Coefi ciente de rozamienlo, 24. 24. Problemas, 28.
16
pdq. 32-3-2. 3-1.una Introdiicción. de cuerpo longitiid, hlomento de fii fiierm, erm, 33.-3-Unidades 3: ~~ iiv ilpatrones ib r ioe iin sometido a rotaciiin, 35.3-4. Euuilibrio estable e inestable. inestable. 3 36. 6.--3-5 3-5.. Hesiiltan te de iin iin conjunto de fue rza s' para lelas , 37.-3 37.-3-6. -6. Cen tró de gra ved ad. 39.-3-7. 39.-3-7. .Pare s. 4-¡¡-P -Problcmas. 48.
....................
CAP. 1V.-MOVIMIENTO R E C T I L ~ N E O 4-1. hlovimiento pdo. .M.+ .M.+-E -E.. Vector veloc idad media y velocidad media sobre In tragect tragectbria. bria. 51 .4 -3 . \'eelocid locidad ad ins tan thea , 56.4 -4 . Aceler Aceleraci acien en media. media. 58. 4- 5. Aceler Aceleraci ación ón instantfinw 5 9 - 4 6 . h hlovi lovimien miento to rcctili rcctilineo neo tin tinifor iformemen memente te ac aceler elerado, ado, 60 .4 -7 . %lo\-ihiento iini iiniform forme, e, 63 .4 -8 . Caidi libre de los cuerpos, cuerpos, 63 .4 -9 . Movimiento con aceleración aceleración variable, variable, 67.4-10 4-10.. Metodos Metodos grAficos, grAficos, 69 .4 -1 1. Componentes de la velocidad. velocidad. Velocidad Velocidad relativ a, 70.-Problemas 70.-Problemas.. 72.
54
77
5-1. Introdiiccf6n, pág. 77.77.-5-2. 5-2. Nasa , 77.--5-3. 5-3. Segii nda ley de Newt on, 78. 5-4. Sistemas de unidades, 81. 81.-5 -5-5 -5.. Peso y masa . 83. 83.-5-5-6. 6. Princ ipio de DS.4 DS.41em1embert . 90. 90.-5-5-7. 7. oblemas. Densidad. 91.-55-8. 8. anblisis, 92.-Pr 92.-Problema s. 94.91.-
Balanz a de brazos iguales iguales utiliza da . en . -. -- - - -
6-1. Proyectiles, pdg. 100.-6-2.
Movimiento de un cuerpo lanzado horizonhorizontalmente, 100 .-6-3. Cuerpo lanzado formando un Bngiilo con la horizontal. horizontal. 103. Problemas, 107. 7-1. Centro
de masa. paig. 111. 111.-7-2 -7-2.. Coor denad as del centro de masa, 112.4-3. Aceleración Aceleración del cen tro de masa, 116.116.-7-4 7-4.. Aceleración en una traslación piira, 121 -Problemas. 124.
II1.-TRABAJO Y E N E R G ~ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S-l. Conser\.acidn de la energia pag. 129 129..-5-2 5-2.. Trabajo; 13 1. 4- 3. Energia 133. 3.--8-4 8-4.. ~n id ad es 'd e enerpia. Dimensiones, 136.4-5. Valores y trabajo, 13 absolutos d e las energias potencial y cinetica. 134. 134.-8-6 -8-6.. Energia potencial de '
un resor te alarga do 138. 138.-S -S-; -;.. y disipativas. Trab ajo contr141.4-9. a las fuerzas de rozamiento, 140 . 5-8. Fiierzas conse;vativas Principio de los trabajos virtiiales, virtiia les, 14 5. 4- 10 . Potencia, 146. 146.-8 -8-1 -11. 1. Potencia y velocidad. 147.-Problemas. 148.
129
-
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Í N D I C EGENERAL E GENERAL
XIV C AP AP . 1 X . - ~ ~ P U L S I ~ N
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...............
C A h'T iD A O D E M OV I M I E N T O
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154'
9-1. Impulsi6n y cantidad de movimiento movimiento,, pan. 154. 154.-9 -9-2 -2.. Co ns e~ ac i6 n e la caiilidnd de nio\-irnienlo, nio\-irnienlo, 157.1 9-3. Tcrcera lcv de Newton, 158. 158.-94. -94. Choqiir: cl6slico s e incl:isticos. Coeficiriite' de r6stitiición. 159.-9 159.-9-5. -5. P6ndiilo b;ilislico, 161.-94; 161.-94;.. Srprindn Ic Icv v de h'ewton, 163 163..-9-7 9-7.. blnsn y cncrgia. 164. 9-S. I:irndariieiiloc dc In propiilsióii a cliorro, 167.-Problemns, 169. CAP. X . - > ~ O V I > I I E K T O C I R C U L A R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-1. Introdiirción. l)rccesi¿)ii,235.-12 235.-12-7. -7. 1 3 giroscopio , 240.-P 240.-Problemn roblemns. s. 212.
c .\l..
X 11 1.- E L A ST I C I D A D
22-1. Ley de Rovle, pág. 416.-22-2. I.eey y de Gay- Lus sac, 418.418.-22-3. 22-3. Ecii acio n de estado de un gas perfecto, 420. 420.--2222-4. 4. Energia in terna d e un gas, 423 423..22-5 22-5.. Calores especilicox especilicox de un gas, 4 425. 25.-22 -22-6. -6. Energía int erna y calor. 429.22-7. lemas.rocesos rocesos 34. adia bfiti cos, 430.-2 430.-22-8 2-8.. Compres ibilida d de un gas, 433.-Pro433.-Pro-
13-l . Inlrodiiccion, p a n . 250.-13-2 250.-13-2.. Esfi ierzo . 250.-13-3. 250.-13-3. Defo rniac ion, 2.52. i : l - - l . 3lodiilo el:istico, el:istico, '33. '33.-13-5. -13-5. Coeficiciite ~.liiiicioiirs,2-0 I>~.liiiicioiirs,2-0..-1414-4. 4. Eciincioiies del niovimieiito armSn ico simple. il;i .--1.--1-1-5. 1-5. Relncionrs rnerp eticns en cl mox-iniiciito arm6nic.o. 279. 279.-14-14-6. 6. 1'~~ii~11ili~ iiintai; en el inferior inferior la fuerza resu ltante forma un Angulo de 690 30 por encima d e La horizontal, mientras que el ángulo 9 de la escalera es sólo de 530. escalera se han trasladado. trasladado. En'h figura 3-17 A (e) las fuerzas qu e actúan sobre la escalera corno en la figura 1-15, par a determ inar su resultante. E l lector puede verificar f4c f4cililmente que las lineas de acción de las tres fuerzas pasan por un mismo punto y que su resultante es nula, según debe suceder para que haya equilibrio.
3-7. Par Pares. es.-Un -Un caso imp orta nte, relacionado con las fuerzas paralelas, se presenta cuando un cuerpo esta sometido a dos fuerzas de igual intensidad, pero de sentido opuesto, y cuyas lineas de acción son paralelas. Tales fuerzas constituyen un par (Fig. 3-18). Si tratamos de determinar
-
-
la resultante de estas fuerzas parale-
las por los métodos utilizados en la seccí6n 3-3, encontramos:
C
?
*f i #9
Puesto que la intensidad de la resulnula, no hay ningiin punto en
tante es
superior es horizontal, estando representada por H; n la figura. La fuerza sobre el extremo inferior es desconocida en dkpción y wgni tud; sean sean Hl y VI us componentes horizontal y vertical. Se tiene: -'': &. -.
-
r9
-
- .-
LX = Hp Cso
=
-.
-
(H2
. .
..
-
1-
O;
4,s)
-
.
40 x 1,8) = O.
De la segunda ecuación, resulta: V I = 40 Kg.
-
--
Oa
:S, aralelas y de sentido opuesto, forman un par.
*
.-
fuerzas dadas. Dicho de otro modo: es imposible producir con una sola --fuerza elmismo efecto que -con -con un par,-e'inversamente, par,-e'inversamente, no--hay-ning no--hay-ninguna una fuerza que pueda ser sustituida por un par. El único efecto de un par es producir una rotacih, y un par puede equilibrarse Únicamente por otro par del mismo momento y sentido opuesto. de un par se calcula como sigue: Tomando momentos El momento respecto a un eje que pase por O y sea perpendicular al plano del dibujo (Fig. 3-18), encontramos:
De la tercera: H2
r i ~
1
C9
=
Hi
40 x 1,s
-
4.8
15 Kg.
1t e. 15 Kg.
Pero, dado que F i
F z ienen la misma intensidad,
---
1 +.
a un &calar es asim asimismo ismo un-vector, y su dirección y sentido senti do son-los son-los d del el
v e r esplazamiento. Sea & el instant e en el cual eell cuerpo se encuentra en el punt o a (Fig. 4 1 ) y t el instante en el que pasa por el punto b. El tiempo transcurrido es t-fo. y el valor del vector velocidad media es, por consiguiente.
/
I
.-
CAPITULO IV
MOVIMIENTO RECTlLINEO
-
x-m
u =-
Movimiento.-A Movimient o.-All comienzo del capitul o prime primero ro se dijo que la mecanica estudia las relaci relaciones ones entre fuerza, materia y movimien movimiento. to. En los capítulos precedentes nos hemos ocupado de las fuerzas, y nos disponemos ahora a estudiar los métodos gráficos y analíticos que describen el movimiento. Esta parte de la mecanica se denomina cinemática. El movimiento puede definir definirse se como un cambio continuo de posición. posición. Reduciremos en este capítulo la discusión al movimiento a lo largo de 41.
1I 1 1
11 l 1
fi, c
-
f-kl
[4-11
(El trazo colocado sobre el símbolo que representa una magnitud significa valor medio de la misma.) Sí la posición final del cuerpo esta a la derecha de su posición inicial, el desplazamiento x - a s positivo, y si la posición final está a la izquierd a de la inicial, inicial, el el desplazamiento es negativo. El tiempo transcurr ido, 1 - o, es siempre positivo. Por tanto, el signo algébrico de la velocidad
-
1 1 I
media es el rnismo rnismo que el del desplazamiento ; una velocidad media positiva indica un desplazamiento hacia la derecha, y viceversa. La velocidad media sobre la trayectoria de un cuerpo móvil se define por la razón de la longitud de la trayectoria recorrida al tiempo transcurrido:
una Enea recta, o movimiento reetilineo. Con objeto de determinar la posición de un cuerpo móvil a lo largo de una recta, se elige como origen sobre la misma algún punto de referencia fijo. La distancia del origen al cuerpo se denomina abscisa de éste. La abscisa se considera, ordinariamente, como positiva cuando el cuerpo cuer po e s a a la derecha derecha del on01 6 a
>.\
\v.?
1 '
Velocidad media sobre la trayectoria (escalar) =
'
gen, y negativa cuando está a la izquierda. Supongamos un cuerpo que en un cierto instante se encuentra en FG&l.-El veetor d e s ~ l m l e n t o s2,. e1 punto a de la recta OX de la dirigido de a a b. figura 41, y en un instante posterior en el punto b. El origen está en O, la abscisa del punto a es a, la abscisa del punto b es z. El desplazamiento plazami ento de dell cuerpo está definido definido por el vecto r dirigid dirigido o de a a b, cuya magnitud es, evidentemente, x - a. l desplazamiento es el mismo, cualquiera que sea el movimiento realizado por el cuerpo; p p.. ej., ej., si eell _cuerpo se mueve desde desde .ah ast a c y retrocede hasta b, s u desplazamiento i
-
--
sigue estando definido por definido el vector dirigido dirig ido de$ de a b; esto es: al el final. desplazamiento es siempre-el vector dirigido desde el$ punto inicial El espacio espacio tot l ecorrido por el cuerpo, o sea, la suma d e los seg segmenmentos ac y cb, se llama longitud recorrida, y se considera un escalar, no un vector.
Velocidad media (vector)
1 i.
ongitud de la trayectoria (escalar) tiempo transcurrido (escalar)
La velocidad media sobre la trayectoria es la razón de un escalar a 'otro escalar, y, por tanto, es también un escalar. Puesto que la longitud de la trayectoria recorrida no puede expresarse por la diferencia entre las . abscisas inicial y final, no puede escribirse para la velocidad media sobre la trayectoria una expresión análoga a la Ec. [41]. Excepto en casos especiales, el desplazamiento y la longitud de la trayectoria recorrida no tienen el mismo valor numérico. Por co nsiguiente, en general, la velocidad media sobre la trayectoria y el vector velocidad media difieren numénca--mente --me nte.. s i n - e b o , los dos se han defin definido ido com como o coc cocient ientee de una una longi longi-tud y se expresan, tanto, en la a un tiempo, I el segundo. Un Todos los sistemas emplean por como unidad demisma tiempounidad. segundo (en rigor, un segundo solar medio) se define d efine como 1186400 del dia solar medio. Un día solar medio es el tiempo medio que tarda la Tierra en dar una vuelta sobre su eje, con relación al Sol. La cifra 86400 proviene de dividir el dia en 24 horas y la hora en 3600 seg (24 x 3600 = = 86400). No hay ningún patrón material de tiempo que pueda conipararse a los patrones de longitud o fuerza, excepto si considera~rios dicho patrón formado por el Sol y la Tierra. La unidad de velocidad en los sistemas tkcnico y mks es el metro poi segundo (mlseg), y en el sistema cgs, el centímetro por segundo (cmlseg). . Frecuentemente se utilizan otras muchas unidades, tales como el kilóme-
desplazamiento (vector)
= tiempo transcurrido (es&)
La velocidad media es un vector, puesto que la razón de un vector
.-
/,
i ,
,b i 1 A
1;
i 1
k 1
La--Ec. [41-] puede escribirse en la forma
--
.
-
-
x =a
+ vt.
1
VELOCIDAD INSTANTÁNEA
57
--
o sea, que el desplazamiento es igual al producto del vector velocidad media por el tiempo transcurrido. Se acostumb ra escribir -la Ec. [4[4-21 21 en llaa form formaa í4-31 encuenenSi el tiempo se cuenta partir del instante en q ue el cuerpo se encu
Si el punto esth en el origen, a = O, y la Ec. 14-41 se simplifica aun a
SEC-
--
v = Axl A f .
-
mente
+
es
pequeños, es la velocidad pequeños, velocidad inst antáne a Por tanto,
dz dl.
u,
y el valor límite de h / A f
-
; i
mas, reduciéndose a .
II
-
La
14-51
x = vt.
,
-
Velocidad instantánea.-la
-
-
abr
Ax
(o & ) . Por tanto, si
el co conv nven enio io hhabitua abituall de signo signos, s, uuna na ve velo loci cida dadd po posit sitiva iva indi indica ca E~EMP LO.-La abscisa de un cuerpo móvil sobre el eje
X viene dada por
en la cual z se mide en centfmetros y 1 en segundo s. Calcúlese la velocidad media del cuerpo durante los intervalos de tiempo: a) de 2 2,l seg: b) de 2 a 2,001 eg; c) dc 2 a 2,00Q01 seg; d) ~c u4 l s la velocidad instantanea instantanea precisamente a los 2 seg? a f El Liempo Liempo al comenza r el primer intervalo considera do es 10 = 2 seg. La abscisa -r -- Currespo~rdi~nte, , s: - --
zo = 10 x 22 = 40 m.
2
ae, y después media el desplazamiento del cuerpo, primero durante durante los desplazamientos suCe.sivoss cada vez menores ad, ac y ab. .sivo Umite de la raz6n d c ~ esplazamiento al tiempo transcurrido. Cuanto menor sea el desplazamiento, t ant o menos difiere la velo velocida cidadd media, durante dicho desplazamiento, de la velocidad instantánea correspondiente al punto a. La velocidad insíantánea en un punto puede definirse, por tanto, como la velocidad media duranie un desplazamienlo O1l
duce que u tiene el mismo signo algébrico que
:&amos
velocidad de un cuerpo móvil en un cierto instante, o en algún punto de su trayectoria, se denomina velocidad ins anfanea. La velocidad instantánea es un concepto que requiere una definición cuidadosa. La velocidad es la razón de un desplazamiento a un intervalo de tiempo, pero.un instante.no tiene duración y, en consecuencia, un cuerpo no puede realizar ningiin desplazamiento en un ins-tante. Esta--difi Esta--dificultad cultad lógi lógica ca se puede salvar-del.modoisiguiente._ Los puntos desig designad nados os por letras en la f i a r a 4-2 representan posii posiiioiones sucesivas de un cuerpo que se mueve hacia la derecha, a lo largo del eje X. Consideremos la velocidad 4-3.
Ec. [4-61 puede considerarse como definición de la velocidad ins;
Al taminar el primer intervalo, t = 2,l seg. y
e
Por tanto,
O)
Cuando 1 = 2,001 eg,
z
= 10
x (2,001)2= 40,04001 cm;
infinitamente pequeño que incluya al punto.
-
e)
-
Cuando l = 2.00001 .seg,
z = 10
. -
.
.
X (2,00001)2 = 40,000400001 cm;
.
-
i
-
-.
----
-
3'
aceleración es el metro por segundo, por segundo, o, abreviadamente, se utiliza en el sistema rnks. En el sistema sis tema cgs la unidad de aceleración es un centímetro por segundo, por segundo
i: ~n virtud de la Ec. [4-61,
.
.*
; -Y Para 1 = 2 seg,
..- n el sistematécnico de unidades, en el cual la unidad develocidad es & metro por segundo, y la unidad de tiempo, el segundo, la unidad de
mlseg2. La misma unid* unid* .
. .
De acuerdo con el convenio habitual de-signos, si u - 0 es una magnitud positiva, la aceleración es también positiva y dirigida hacia la derecha. (Véase problema 4-6.) 4-6.) Cuando disminuye el valor a bsoluto d e
kt velocidad de un cuerpo, esto es, cuando el cuerpo se va retardando en
-
Este ejemplo demuestra que la velocidad media se aproxima cada vez m& a le velocidad instantanea a medida que el intervalo de tiempo considerado se hace m h pequeño.
Acelaración ón media.-Excepto media.-Excepto en casos especiales, especial es, la velocidad 4-4. Acelaraci de un cuerpo móvil varia continuamente durante el movimiento. Cuando esto ocurre, se dice que el cuerpo se mueve con movimiento acelerado o que tiene aceleración. La figura 4 3 representa un cuerpo que se mueve hacia la derecha sobre el eje X. Supongamos que por los métodos explicados anteriormente hemos encontrado que su b 1 velocidad instantánea en el punto a a v. v tiene un valor vo, representado en la figura 4 3 por~ el ecto ectorr vo. AnAFXG.FXG. -3.-La aceleracidn media es la razdn del incremento de velocidad, al intervalo de Iogamentey a instantánea tiempo transcurrido. transcurrido. en el punto b se ha encontrado que es v. La aceleración media durante el intervalo en el cual el cuer cuerpo po se- raslada de a a b .se define por la razón
""*
-
""' EJEMPLO. a velocidad instantánea de un autombvil, 3 seg despues de su partida, es 3 mlseg, y aumenta hasta 12 mlseg a los 6 segundos de iniciado el movimiento. HBllese la aceleraci aceleracibn bn media. Se tiene: lo = 3 seg, uo = 3 mlseg, f = 6 seg, u = 12 mlseg. El incremento de velocidad es 12 - = 9 mlseg, y el intervalo de tiempo transcurrido es 6 3 = 3 seg:
e
.
... i
-
.
4-5.
aceleración instantánea de un
Aceleraci6n Acelera ci6n instantánea.-la
cuerpo, esto es, laseaceleración un cierto instante o enque un cierto punto de su trayectoria, define por en el mismo procedimiento la velocidad instantanea. Tomemos los puntos a y b de la figura 4 3 cada vez más próximos. Cuanto menor es la distancia entre ellos, tanto menos diferirA la aceleración media, calculada para esta distancia, de la aceleración instantánea correspondiente al punto a . De acuerdo con esta, se define la aceleración instaniúnea en un punto como la aceleración media correspon-
.
,
diente a un desplazamie nto infiniiamenle pequeño que contenga a dicho pun fo.
- Sea A v el incremento de velocidad durante un intervalo de tiempo
del incremenfo de velocidad al inierualo de tiempo transcurrido:
Af. La aceleración media durante este tiempo es: ~
,
3
i', >1
*L
1
u
'
-
-
Q
u-Q,
=-
f - i o
.-k,. iími&ede iími&e de la es aceleracibn media,instantánea media, cuando At ay, A hacenlimite infinitayv else valor mente pequeños, la aceleración de b j A f es dvldt. Por consiguiente,
(4-71
siendo 6 i los instantes correspondientes a las velocidades u0 y v . Puesto que v y vo son vectores, la magnitud (u - o) es su uecior diferencia, y ha de hdi ars e por los métodos explicados en. la sección 1-8. Sin embargo, como en el movimiento rectilíneo ambos vectores están situados sobre la misma recta, el módulo del vector diferencia en este caso especial es igual a la diferencia de los módulos de ambos vectores. En el capitulo X consideraremos el caso mAs general en que v y 90 no tienen la misma dirección.
;
Y* Puesto que u = dxldt,
,
Cualquiera de las dos Ecs. [ M ] [ 4 9 ] puede considerarse comd de. finición de la aceleración instantánea.
Puesto q ue la acel acelera eración ción es un incremento d e vel velocida ocidadd dividido dividido p orel iinterval ntervaloo de tiempo d uran te el cual ti tiene ene lugar dicho incremento. la aceleración media es la variación media de la velocidad, y la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecio al iiernpo. La aceleración instantánea desempeña un papel importante en las leyes de la mecanica, mientras que la aceler aceleración ación media se util utiliza iza me& frecuen temen te. En consecuenci consec uencia, a, cuand o en lo sucesivo se emplee el térm ino acel aceleraci eración, ón, se entenderá que nos referimos a la-aceleración insluntánea, a menos que se especifique otra cosa. La definición de aceleración que acabamos de dar, se aplica al movimiento s9bre una trayectoria de forma cualquiera, recta o curva. Cuando un cuerpo se mueve sobre una trayectoria curva, la dirección de su velo-
- f
-
m it .
alrar l a abscisa abscisa en función d e ti tiempo. empo. L a Ec. [4 [4-2 -211 expiesa expiesa qu e el -
x - f, = u (1 -
:
i
o),
siendo i a velocidad media. Si-la velocidad del cuerpo aumenta en proporción constante, es decir, si su aceleración es constante, su velocidad media durante un intervalo de tiempo cualquiera sera igual a la semisuma de las velocidades al comienzo y al final del intervalo. Esto es,
..
u=- v o + v
-
-
-
C
t t C
t
cida cidadd camb ia, y este cambio de direc dirección ción origina tambi én un a aceleración, según se explicara en el capitulo X. 4-6. Movimiento rectilíneo unifo rme men te acelerad acelerado.-E1 o.-E1 mo vimie nto acelerado mas sencillo es el de aceleración constante, esto es, aquel en el cual la velocidad del móvil varia uniformemente durante el movimiento. Naturalmente, en el movimiento acelerado la velocidad no es constante, y el decir que la aceleración es constante significa sencillamente que la velocidad aumenta (o disminuye) la misma cantidad en cada unidad de tiempo. Ahora bien: bien: el valor medio de una magnitud que no varía es sen sencil cillalamente el valor valor constante de di dicha cha magnitud. Por tan to, e n el movimiento
.
r
.,
-.
.
.
i4-131
2
. .
C
la aceleración aceleración es constan te. Ec. (4131, resulta:
r
e t
2
Ü puede reemplazarse de la yaceleración media por ia aceleración constante, constante a, la Ec. [4-71 se convierte en
-
.
La inclusión de este valor de ü en la Ec. [4-21 da:
- m = uo(f
- o)
+
l12
a(t -
[4-15
t
Si tomamos como origen de tiempos el instante correspondiente a uo, será 6 = O, y [4-161 x - -= vol + 112 ai2
Despejando el valor de v en la Ec. [+lo], se obtiene:
4
_.e-
Esta ecua ecuación ción puede- interpretarse del modo siguie siguiente: nte: la m agnitud a G el ccambio ambio de ve veloc locida idadd por un idad de-tiempq. La magn itud (t - o ) es la duración del intervalo de tiempo considerado. El prod ucto del camb io de velocidad por unidad de tiempo, por la duración del intervalo, o sea, el producto a (i - ) , es sencillamente sencillamente el cambio total de velocidad. C uando se añade a este cambio la velocidad inicial uo, la suma obtenida es la velocidad al final del intervalo. Si empezamos empezamos a contar el tiempo tiempo en el instan te en qu e la velocidad velocidad es vo, se tiene lo = O, y - .
b -.
Finalmente, si h posición in id al del cuer po -se encuentra en el ori-
-
---
gen, m = O, y
-
4
la Ec. [4 12 ] da la veloci velocidad dad en cualquier instante, y la Ec. [4-171 da la abscisa absci sa en función de dell tiempo. E s útil también disponer de una expresión que nos dé la velocidad correspondiente a cualquier abscisa, lo cual se consigue consi gue fáci fácilmente lmente despejando t en la Ec. ( 412 1 y sustituyendo su valor en la Ec. [4-161. El resultado es:
Después de deducir la expresión de la velocidad del cuerpo en un cualquiera, vamos a d e t er er m i n aarr a h o rraa o t r a e x p m i ó n q u e per-
14 1 4 r
instante
1
I
--62 lh
I
8 8
I
h
. . .
'
Si q
.O, O,
MOV~MIENTO RECTIL~NEO
esta liltima-se reduce-a -
-
-
[CAP.
--
-
-
4
'r -4-
.
,
- .
P
3-
SEC. :.
.
.-
-
4-31
Si v
.
=
C A ~ I I A I B R E I>E 1.0s y-.. :i
.:.
..
.-.~
FIG. -4.-P&ndulo ~ t i c o .
162
MOVIMIENTO
IMPULSION Y CANTIDAD DE
[CAP.
[
9
SEC.
m)V.
163
SEGUNDA LEY DE NEWTON mo,
de la bala. Por consiguiente, consiguiente,
-x2 -
*--
bloque se desvia se quepotenc su centr centro o de ha es elevad elevado unaElaltura que la hasta ener energia gia potencial ial en el el gravedad punto m issea lto igualo h tal, a la energia cinCtica en el mis bajo; esto es:
'5I... %
-.
1
Debe se trata un choque inelhstico energiadel demismo. la bala y que la antes del observarse choque no que es igual a ladeenergia cindtica del pendulo despues a liltima, calculada anteriormente, es de 4,9 julios. La energla cindtica de la bala era:
2
o bien:
9-61
I i; Esta cantidad de movimiento es igual a la inicial,
bala se ha detenido dentro del bloque, el conjunto tiene una velocidad c o m ~ nV. En virtud del principio de conservacidn de la cantidad de movirniento, mu = (M
-
1
1
2
2
Por tanto, s61o un 0,5 %, aproximadamente, de la energla cinetica de la bala se trans-
Vz = 2gh.
La altura h es de ordinario pequeiia, y se calcula indirectarnente midiendo el desplazamiento horizontal x. De la figura 9-4 se deduce que si L es la Iongitud del pCndulo:
:
(I =+
9-6. Segunda ley de a forrna que nosotros la c i p i a de Newton fueron
**L
d
Newton.-Newton n o enunci enunci66 s u segunda ley en hemos utilizado. utilizado. Un a traduc ci6n libre (1 (10s 0s P h escritos en latin) es la siguiente:
cambio movimiento proporcional a la fuerza aplicada, tienenEllugar en ladedirecci6n de laesfuerza de movi movimien miento toy ... La cantidad es proporcional a la vez a la masa y a la ve1ocidad.n a. De la definicidn de Newton de maui~iento, s evidente que atribuia a esta palabra el si signi gnifi ficado cado actual de ca ntidad de movimiento. Se deduce tambiCn claramente de sus escritos que la expresi6n c a mb i o significa derefieree a fuerza resultante. Po r consi consiguienguienriuada y q u e fuerza aplicada se refier te, el enunciado d e Newton utili utilizando zando la terminologia actu al es: [ . L . .: #L a derivada de la cantidad de movimiento es proporcional a la fuena resultante, y tiene la misrna direccidn que 6sta.a r 2. -.
0
-
sea:
'L
Si h es pequeii pequeiioo com parad o con xx,, pue de despre despreciars ciarsee h2y qu eda h = 2/2L. Si en la prictica, la masa m de la bala es despreciable despreciable com parad a con la del pCndulo. Entonces, rnv = M V ;
V
=
=- m
1/
2gh = x
d-;
dG
EJEMPLO.-Una bala de masa 20 g se dispara contra un pdndulo balIstico de rnasa 5 Kg. El centro de gravedad del pdndulo se eleva 10 cm despues del impacto. Caiclilese la velocidad inicial de la bala. La energfa potencial del pendulo en el punto m&s alto de su oscilaci6n es:
i
[
i 5
d df
- mu)
*
>.e.$
bien:
,:
F
-->-
F , .
Por consigulente, la cantidad de movimiento del pbndulo a1 comienzo de su oscilaci6n es:
=k
= km-
o<
F,
-(mu). dt
d
I
= k-ma,
que es la forma que hemos utiliz utilizado, ado, en la. cual k se ha1 hecho igual a 1, . . eligiendo adecuadamente las unidades. . . Si bien bien la masa de u n cuerpo puede conside considerars rarsee d e ordinario co consns-
168
IAIPULSION Y CANTIDAD DE MOVIMIESTO
[CAP. 9
En principio, un motor de propulsi6n a chorro es sirnplemente una cim ara de combustion en la cual se quema un combustible s6lido.o liq liquiuido, y que tiene una abertura para dirigir 10s productos gaseosos de la' combustibn en la direcci6 direcci6nn deseada deseada.. Para concretar, consid eraren~os l ~novimientode ~novimiento de nn cohete. Inicialmente, la cantidad de movimiento del cohete es cero. cero. Cuando se ha inflam ado su carga de combustible, la corriente de gases expulsados adquiere una cantidad de movirniento hacia abajo, y dado qu e esta rnagnitud rnagnitud se conserva, eell cohete adquirira una cantidad de movimiento del rnismo valor y de sentido opuesto. Descle el punto de vista de las fuerzas que entran en jueg juego, o, 10s gases en la camara de combustibn em pujan hacia ab ajo a 10s gases del del chorro, y ha cia arriba al cuerpo del cohete. Sin embargo, no hemos de considerar sblo el comienzo del movimiento. A1 iniciar su vuelo, mientras el cohete se mueve lentamente, el motor es un dispositivo muy poco eficaz, pues prdcticaniente toda la energla en esta e tapa se utiliza para comunicar energia energia cinetica a 10 10ss gases de salida salida que e mueven a gran gana velocidad velocidad, , y eld, cohete adqui adquiere m uyq ue poca energia Peros cuando el cohete velocidad, velocida 10s 10s gases de ere salida, sonenergia. espul-. sados con cierta velocidad respeclo a1 cohele, se mueven cada vez rnas lentamente respecto a tierra. Cuando el cohcte ha adquirido una velocidad respecto a tierra igual a la velocidad con la cual 10s gases son expulsados de el, esto s gases, gases, aa11 abandona r el cohete (o mejor, cu ando el collete collete 10s aban dona a ellos ellos), ), no tienen velocidad respec to a tierr a y, por consiguiente, su energia cinetica es nula. Por tanto, a esta velocidad, toda la energia desarrollada por el combustible se comunica a1 cohete. La energia que un cohete transporta en su carga de combuslible podrd, por consiguiente, utilizarse utilizarse con mayor eficacia eficacia si se le da inicialmente un ernpujdn por alghn dispositivo auuiliar. Debe observarse que un coliete no depende de la atm bsfera para conseguir su propulsi6n, y, en realidad, se moveria mejor en ausencia de aquella, a causa de que no existiria la resistencia del aire. Un helic6ptero es capaz de elevarse verticalmente s610 porque su hClice envia hacia abajo una corriente de aire. La fuerza ejercida sobre, sobre, el aire es igua l a la derivada de la cantidad de movimiento de la corriente de aire, y la reacci6n igual y cont raria a esta fuerza sostiene a1 helicoptero helicoptero.. Sin embargo , el motor del cohete em puja hacia abajo a 10s prop propios ios productos de la combustibn, y su elevaci6n no depende de la presencia de una atmosfera exterior. Aunque no se han revelado 10s detalles de 10s progresos mas recientes en la propulsibn a chorro de aviones, puede verse sin dificultad por q u C este tip0 de energia motora resulta especialrnente adecuado para vuelos estratosfiricos a ,granesvelodida velo didad. d. E nuna la hClice estratosfera, estratosfera, do nde la densidad del aire es pequeiia, dificil para ordinaria obtener la masa
PR OB LEMAS
169
1 rendimiento de la propulsion a chorro es maximo cuando la velocidad
cia adelante del motor es suficientemente grande para que iguale a la locidad (relativa) de expulsibn de 10s 10s gases de salida.
1
',
P R O B L E M A S
la a n t i d a d d e m oovv i-i9-1. a ) i ~ u a l s la miento de un ca~nibn ue pesa 10 ton, cuya velocidad es de 30 Km /h? ii..4 qu6 velocidad tendrl otro camibn de 5 ton: b) la misrna cantidad de movimiento;
en segundos, S o existe roza~Qu . 4 ist ist a n c i a re c o rre d e l seg? b ) &Cull era su veloci-
e 0,l m en un bloque tle madera que
i6n del choque. Comparese la resa la pregunta d) con la cantidad vimiento inicial del proyectil. Un a p e l o t a d e base-ball pesa a ) Si la velocidad de la pelota
9-7. Sobre una mesa sin rozamiento, un bloque de 3 Kg que se mueve hacia la derecha con velocidad de 4 mlseg choca contra otro bloquelde 8 I
2 g %s
2
5 . ;
m,
.2 A Z
~
xm0
E b
a-
a
L
o
a O
a
s
: E
$ V
h
o
:
d
j
a
2
;
Eh '
E
. 2
cm Z J mZ
o 0 y E 2C $ k 2
g E
EJ
p i 5a T
176
MOVI~IIENTO IRCULAR
[CAP. 10
Aunque ]as ecuaciones del movimiento angular toman su forma mas sencilla cuando las velocidades velocidades angulares se expresan en radianes por segundo, es mis corriente en la tCcnica expresarlas en revoluciones poi segundo (rps) o en revolucion revoluciones es por minut o (rpm). Pue sto qu e 2it radianes equivalen a una revoluci6n completa, el numero de radianes por segundo es igual a 25~ eces el nhmero de revoluciones por segundo e igual a 2x160 veces el numero de revoluciones por minuto. Hay dos metodos corrientes para medir velocidades angulares. En el primero, primero, se aplica un.cue~~tarrevolucione sn el extrerno del arb01 de rotacibn, y se anota el nlimero de revoluciones efectuadas durante un intervalo de tiempo conocido. De este mod0 se miden directamente el desplazamiento angular y el intervalo de tiempo, y su cociente da la velocidad angular media. E l segundo mCtodo ut utiliza iliza un tacb metro (vCase (vCase Sec. 10-lo), el cual indica directamente la velocidad angular instantinea, si bien la mayor
I
parradi te danes e 10s 10spor tac6metros calibradns en rrevol evolucion uciones esdepo10s y no en segundo.e Estin l cuentakil6metros corriente 10r sminuto, autom6viles .es .es un tacom etro c uyas lccturas son proporcionales proporcionales a la velocidad angular inst anti nea del irbo l motor aa11 que es ti conec conectado tado.. Puesto que la veloc velociidad lineal del coche es propo.rciona1 a la velocidad angular del arb01 motor, puede calibrarst el tac6metro para indicar kil6nletros por hora en lugar de revoluciones por minuto o radianes por segundo. Cuando un cuerpo gira con velocidad angular c o n s f a n f e , su velocidad angu lar insta ntine a es igual igual a su velo velocidad cidad angular media, cualquiera qu e sea la duracibn del intervalo intervalo conside considerado. rado. Es ta clase de movimiento es el que corresponde a1 rotor d e un moto r sincrono. sincrono. Si la velocidad angular es constante, podemos escribir: 0 0
SEC.
IM]
ACELERACIOS ASGULAR
(alfa), se define como la
tiempo franscurrido:
177
CONSTANTE
razdn de la variacidn d e la velocidad angular a1
Aceleracion angular media
=
-
en segundos, la aceleracion angular resulta en radianes por segundo, por segundo, o bien radlseg2. La aceleracidn angular insfanlanea, a, es la raz6n de la variacibn de la - velocidad angular a1 intervalo de tiempo transcurrido cuando este es inpequeiio, o bien, es la derioada de la velocidad velocidad ang ular respect respectoo = finitamen te pequeiio, - a1 tiempo: T
Ya que
d0
se puede escrihir tambikn:
o = -, dt
tes lecturas en el tac6metro de un motor de aeroplano: . 0 2 4 6 8 10 Tiempo (seg) . . \.'elocidad angular (rpm) .
...
.
12
14
16
18
o = --t -to '
siendo o a velocidad angular constante, y el intervalo intervalo de tiempo puede ser cualquiera. Por tanto, 0 .- 00 = - o); y si lo y 00 son nulos, 0 = of. La Ec. 110-11 es aniloga exactamente a la ecuaci6n
10-4. Aceleraci6n ang ula r constante.constante.-Cuando Cuando la velocid ad angu lar de un cuerpo experimenta varia variaciones ciones igi~ales durante intervalos d e tiempo iguales, la aceleracion angular es constante. En estas circunstancias, las acel-eraciones angulares media e instantinea son iguales, cualquiera que sea la duracibn del intervalo de tiempo. Se puede, pues, escribir:
.
I
.
para un cuerpo que'se mueve con movimiento rectilineo uniforme. angular.-Cuan .-Cuando do varia la velocidad angu lar de 10-3. Aceleracidn angular un cuerpo en rotacibn, se dice que el cuerpo posee aceleraci6n angular. velocidad dad Sea su velocidad angular ins tan tine a en el instante lo, y w su veloci angular en el instante L La aceleracidn angular media, representada por
0 o = oo
+ a (t -
o),
78
I
I
[CAP. 10
BlOVIMIENTO C I R C U L A R
\
SEC.
10-51
\TELOCIDAD Y ACELERACIOS
C O M O VECTORES
179
. Por tanto,
La Ec. [10-51 tiene precisanlente la misma forma que la Ec. [4-121 correspo~~dicnte1 movirniento rectilineo con aceleracibn constante, y se puede interpretar de forma analoga. El desplazamiento angular de un cuerpo en rotacion, rotacion, o el angulo girado por el cuerpo, correspolide a1 desplazamiento lineal de un cuerpo que se mueve sobre una recta. La expresion expresion del desplazamiento desplazamiento an gular puede obtenerse por medio de la velocidad angular media. Si la aceleracion angu ar en constante, a velocidad angular aumentara proporcionalmente a1 tienipo, y su valor medio medio du rante un interval0 cualquiera cualquiera s er i iigual gual a la semisr~m a media aritm dtica) de sus valores valores en 10 10ss extremos del intervalo; es decir:
-
oh
; .-
wo
y como, por definicion,
-
4" t
+
wo
0 =
m @
c rJ\
+ a (I 2
=
a
es constante, y
w = oo
para
1 =
0,
Por definicion definicion de velocidad angular: d0 d
En consecuencia:
t
:
i '
8-80 t-lo '
a
J
y si
d0 = w d f
o) ]
a1 igualar 10s seguudos nliembros de las Ecs. [to-(i] y 0- 0
:
(10-71,
resulta:
,
r: .--
( 1 - 0)z.
[ lo- 81
i
que tiene idCntica forma que la Ec. [4-171. La elimination de I entre las Ecs. [ l o - 5 ) y [lo-8) da:
y si 8 = 0 para L a Ec. de donde
i
J
0 = w0f
+
112
~9.
puede obtenerse mediante la sustituci6n
ad0 = wdw ~2
= 02
+ 2x8.
evidente la naturaleza vectorial de magnitudes tales como la fuerza y la Vector representatrvode , la velocidad angular 1 105.
Rot
[10-91
[10-91
= 0,
La velocidad y la aceleraci aceleracidn dn a w l a r e s como vec vector tores. es.-ES -ES
I
1
[4-191. clueLas corresponde ecuaciorlesa ladelEc. movi~niento ngular con aceleracion consiante se deducenn ficilmente por 10s ~ ~ ~ C t o d elo sc8lculo. De la definici6n de velodeduce
r
-
1
h veloc~dad
(6) vdoc idad angular puede reprcsentarse por (a)
FIG. 0-4.-La 0-4.-La
un
ngular
(el vector dirigldo a lo largo dcl eJe.
i --
1
-
-
180
MOVIMIENTO
CIRCUL.411
-.
Ic \P.
10
velocidad lineal, y parece natural representarlas vectores. Tambien es cierto, aunqu e no evidente, que la velocid cierto, velocidad ad arA,gula r la aceler aceleracibn acibn angular Jon magnitudes vectoriales, como la f v .erza y la velocidad lineal, y pusden representarse por flechas. El vecfGor q u e represents una velacid cidad ad angular angular (o una ae aeele elerac racibn ibn)) se se d i h ~ ' , ~ o largo del eje de rotacibn; su longitud, a cie rta sea seala la el qi da , repm ,,ta la magnitud de la velocidad vPor
(O (vbse .Fg. 10-4). Cualquier magnitud asociada a un eje puede representarse pr 5 tratar ',el el rnovimiento rnovim iento giroscb giroscbpico, pico, harenlos hare nlos uso dc ta les le s ver:to ver:tores res.. 10-6' Ve'ocidad gencia1. ia1.-El -El desplaza desp lazamien miento, to, la velocidad velocid ad y la acelerac i6q angulares angulares sor , genc aracteristicoss del cuerpo en conjunto, y vamos a aracteristico consid'erar desplazamiento, la velocidad y la aceler5eihn de uo punto' detemina'l o del cuerpo en centro rotacibn. eada pllnt pllntoo describedetemina'lo una cisrcunferencia cupo estaEnendicllo el eje,cuerpo, circunfey asi la rencia de la ',igura 10-5 ( a ) representa la Lrayectoria dc dicho punto. El
FIG. 0-%-El limite dcl cociente JzlAl er II vclocicl:kd tanyc~ici:~l nslantkaea.
desplazamienio del punto cuando se nlueve desde p hasta q, esta definido por el vector trazado de p a q, y la longilud de la frayectoria es la longitud del arco s. vex5 que estas definiciones son generalizaciones de las correspondientes a un cuerpo en inovimiento rectilineo, dadas cn la secci6n 4-2. El oecfor velocidad medio del punto se define como la raz6n de d e su des'Iplazamiento a1 inten~alo e tiempo transcurrido entre p y q. La velocidad media sobre la frayedoria es la razbn del arco de trayectoria recorrido a1 interval0 transcurrido:
y en el limite, para 41 -+ 0; hs
A0 1 lim imAt K AL-4 Af es la velocidad angular iastantioea A -o
Pero lirn A1+0
At
magnitud (m6dulo) de la velocidad tangencial
D T.
a,y
im
A h 0
As
At
v
s la
Por consiguiente,
desplazamiento (vector) I
tiempo transcurrido (escalar) Velocidad media sobre la trayectoria (escalar) = La velocidad tangencial de cualquier punto en el movimiento de rotacibn de un sblido es, por tanto, igual a1 pmducto de la velocidad angular del del di d o por la distanc distancia ia del punto al eje.
Irl
[CAP. 10
. IFi
La Ec. [lo-101 puede deducirse tarnbitin de la forma siguiente: por definition de medida de un angulo en radianes:
I* nF: '
s = RO.
1C
1
SEC.
.
10-71
ACELERACION DE UN PUNTO EX EL XTOVIMIENTO CIRCULAR --83
cia es Cl Cl mism o un vector, y puede hallarse po r cualquiera de 10s mktodos de sustraccibn de vectores explicados en la secci6n 1-9. En la figura 10-6 (b), 10 10ss vectores v y uo se han llevado pa ralelarnente a sus direccio direcciones nes
I*-
If'
es la
lr7 lf '; I
\f-'
IC) lli' I&
1Pt FIG. 0-6.-El 0-6.-El
lft
2x
\$I
-
60
lf 14
t
t *
(B 4 C'* 49 '>t
(44
10-7. Aceleraci6n de un punto en el movim iento circular.-La definicibn general de aceleracibn es corno derivada de la velocidad. Pero la velocidad es un vector en el que hay que considernr rnagnitud y dirccu11 cibn. rnovil variarb, por consiguiente, tanto si cambiaLalavelocidad magnituddecomopunto la direccion de su velocidad, o, por supuesto, si varian ambas simult~nearnente.Por simult~nearnente. Por consiguiente, un punto movil puede tener una aceleracioli producida, bien por un carnbio de magnitud o de direccibn de su velocidnd, o por ambas cosas a la vez. La circunferencia circunferencia de la figura 10-6 (a) representa representa la trayecto ria de un
vector u
-
o cs el
vector vnrinc vnrincidn idn dc la vclocidod.
en la figura 10-6 ( a ) , y la variaci6n de velocidad o vect or diferencia v-vo se ha determinado por el metodo del triangulo. La acelcracion media es: variacibn de velocidad (vector) . Aceleracion media (vector) = tiempo transcurrido (escalar) ' v - o (vector diferencia) n =
1-
o
to y f 10s tiempos corrcspondientes a 10s puntos p y q. La direc siendo de Ia aceleraci6n media es la misma que la del vector v - direccibn, o. cibn, L a aceleracidn inslanlrinea se encucntra suponiendo puntos cada vez mbs proximos corno en la figura ,l,lo-7 o-7 (a). Pa ra mayo r sencill sencillez, ez, consideconsideremos en primer lugar un caso especial especial en el cual la velocidad angular o es constante. El valor num6rico de la velocidad tang encial resu lta tambid11 tambid11 constante aunque su direccibn cambia continuarnente. La variacibn de velocidad, v - o o Av, se halla como en la iigura 10-7 ( b ) , en la cual 10s vectores vo y v tienen el misrno misrno origen. origen. Observese atenta rnen te que aunque el valor nur nurndr ndrico ico de la velocidad velocidad es constant e, y 10s vectores vo y u tie-
(564 1.6
nen la misma longitud, ha habido, sin embargo, una variacibn de velocidad a causa del carnbio de direccion del rnovimiento. L a aceleracion instantbnea en el punto p es el lirnite de la raz6n del vector variacibn de la velocidad a1 tiempo transcurrido:
'
)
tb 6
v
181
MOVIMIESTO
CIRCULAR
[CAP. 10
SEC.
10-71
A C E L E R A C I ~ N E UN
PUNTO
E N EL MOVIh.IIENT0 CIRCULAR
Es util relacionar esta aceleraci6n con la velocidad angular del cuerpo en rotacibn. Puesto que el ingulo A 8 en la figura 10-7 (b) es pequelio, su valor aprosimado en radianes es
I
Au A8 = -,
o sea, Av
U
=
vA 0 (aproximadamente).
Dividiendo 10s dos miembros de esta ecuaci6n por el inten-a10 de tiempo At se obtiene:
[rr'
r-
Au A1
Cuando A i - t
0,
A0 u - aproximadamente).
a aproximacibn resulta exacta, y
Pero al-u lim At es la aceleraci6a instant hnea, y puesto lim puesto que el Bng Bngulo ulo A0 en la figura 10-7 (b) es igual a1 angulo A0 en la figura 10-7 (a) (sus lados Ae son respectivamente perpendicula perpendiculares), res), la cspresi6n lim s la velocidad angular instantBnea Por consiguiente,
w.
a = UW.
Esto es, el valor numeric0 de la aceleracibn del punto es igual a1 pro-
(b) a) FIG. 0-8.--Componentcs angencia1 y normal dc la acclemcion.
vector u es mayor qu e el vector uo, y tiene ademis direccibn distinta. La variacibn de velocidad, encontrada por el mCtodo corriente, es el vector Av en la figura 1043 (b). Este vector puede descomponerse en las componentes AvR y A V T . La compon componente ente AvT corresponde exactamente a1 vector Av de la figura 10-7 (b). La componente AvT es igual a la diferencia de longilud de 10s vectores v y vo. Esto es, esta componente representa el cambio de velocidad producido por un cambio del valor nurne'rico de la
ducto de sus vclocidades tangcncial y angular. Como se ha indicado, la direcci6n de la aceleraci6n es la misma que la de la variacibn d e velocidad Au. Cuando el lngulo A0 disminuye, 10s vectores v y uo tienden cada vez mas a coincidir y el Qngulo formado por su direccibn conifin y la del vector Au tiende a ser un gngulo recto: En el limite, el vector Au (o du) forma exactamente un angulo recto con el vector u. Por consiguiente, la aceleracion instantlnea es perpendicular a la velocidad tangencial y esti dirigida hacia el centro, o sea, a lo largo
velocidad. tangencial, -rnientras que la componente A vR es la variaci6n originada por un cambio de direccidn. -t
A0 coincide uo se aproximan CuandoAuT 0, las en direcciones de ulay direccion cada vez mas. El vector el limite con de cualquiera de ellos y, por consiguiente, se encuentra sobre la tangente, y de ahi el subindice T. Los vectores AuT y AvR pueden considerarse como Ias componentes reclangulares de Av, descompuesto segun la tangente y el radio, en lugar de paralelamente a 10s ejes X e Y.
186
hIO\'IhfIESTO
CIRCULAR
rCZ\1$.
10
El limite dcl cocicnte cocicnte del vector A VTa1 VT a1 tiempo transcurrido es la aceleraci6n langencial insianianea. Para espresarla adccuadamente, procedamos con10 sigue: representcnios por wo y w las velocidades angulare s inicial y final en la figura 10-8 (a), correspondientes a las posiciones p y q. Las longitudes de 10s vectorcs uo y v son cntonces vo = Roo y v = R w . Puesto qoc AvT es la diferencia de longitud de estos vectores, Dividienclo el primcro y el ultimo mienibros por Ai, se obtiene, en el limite, I
I
El primer micmbro es, por definition, la aceleracibn tangencial, y lim Po es la aceleraci6n angular instantbea a. Por consiguientc, A 1 4
I I
I
At
acelcmcl6n de In gmvecind. g, 0-9.-La ptletlc dcscornponersc cn unn cornponcnte langenclal y ltna componentc nonnnl.
FIG.
La relaci61i entre las aceleraciones angular y tangencial se puede obtener tambiCn derivando respecto a i la ecuacibn
-
Pero duT/di es la dcrivada dc. dc. la veloci velocidncl dncl tangencial, cs de cir, la aceleraci6n tangencial, y dwldt es la accleraci6n angular. Por tnnto, a~ = Ra.
FIG. 0-10.
como un arc0 circular, y el radio de esta circunferencia se llama radio de curvaiura, p. Si es U T a velocidad del cuerpo en el punto p, se tiene:
RESUMEN
1.0 Cuando un pun to se mueve dacribiendo una circunferencia, la longitud de la trayectoria s, su vel veloci ocidad dad tangencial V T y su aceleraci6n tangencial a~ estan ligadas a su desplazamiento angular 8, su veloci velocidad dad angular w y su aceleraci6n angular a, por las ecuaciones:
Lo mismo que la aceIeraci6n normal, la aceleraci6n fangencial se ex-
s = Re; . I
L
.
-
UT
aT
= RIA; = Ra.
I I I I
I
f .:.:
Los conceptos de aceleraci6n tangcncial y acele aceleraci racibn bn norm al n o que- , I
@ I
(m,
r* t*)
dan restringidos restria1 ngidos a1 a1 movimiento sobre una curva circ circunfer unferencia encia,, sin0 qu e pueden , aplicarse movimiento a lo largo de una cualquiera. Consideremos, por ejcmplo ejcmplo,, la trayectoria parab6lica de un proy proyecti ectil.l. E n to dos 10s puntos de la trayectoria e valor nun16rico de la aceleraci6n es g, y su direcci6n es vertical y diri dirigida gida hacia hacia abajo. En cualquier punto, tal como el p .
6
*
2.0 La aceleraci6n normal es la derivada de la velocidad. correspondiente a un cambio de direcci6n de esta velocidad. Su direcci6n es la del radio y el sentido hacia el centro, estando ligada a las velocidades angular y tangencial por las relaciones: a~ =
;
= R02 =
--T ~ R
I
185
MOVIMIENTO CIRCULAR
[ CAP .
10
3.0 La aceleracion tangencial es la derivada de la velocidad, correspondiente a un cambio en el valo valorr numeric0 de esta velocidad. EstB ligada
a la aceleracibn angular por la relacibn:
a~ = Ra.
E J E ~ ~ P L O . isco - ~ ~ de radio 10 cm parte del reposo y c o n ~ i e n z aa girar olred e do do r d dee u n a e horizontal que pasa por su centro, con una aceleracidn :~ngular onstante de 2 rad/seg2. Un punto p del borde del disco se cncuentra, nl iniciarst. el nio\.irniento, en la misma vertical del centro y cnci ma de d l . Calcillcsc nl cabo de 1 seg: a) la posici6n del punto; b ) su aceleraci6n normal; c) su aceleraciln tal~gsllcial; l) su aceleraci6n resultante. a)
1 1 O=od+--d2=-x2x 2 2
12=1rad.
Por consiguiente, el punto esth en la p0sicid. p0sicid.n n que indica la figura 10-1 0. b)
a~ = R o 2
La relaci6n entre 10s aspectos rectilineo y angular del movimiento circular esta explicada en la fotografia de iluminaciones sucesivas de la figura 10-11. Una cuerda de cuyo extre extremo mo pende un peso peso esta arrollada en la periferia de un disco circular cuyo eje horizontal esta sostenido sobre cojinetes de bolas. Se ha nlarcado un radio en el disco, el cual se encuentra en posicibn horizontal a1 iniciarse el movimiento. Cuando se abando na el disco a si mismo, el pes pesoo se mueve hacia abajo con un a aceleraci6n leraci 6n lineal constan te, y el disco disco gira en sentido co ntrario a las agu jas de un reloj, con aceleracibn aceleracibn angular constante. (L a dinarnica dinarnica del pro blema se estud iari en el Cap. XI.) El Bngulo formado por do s pos posici iciones ones sucesi sucesivas vas del radio, dividido p or
P10-81
SEC.
FCVIlZAS C E N T I { ~ P I : T A \. CT:N.SH~FUCA
descrito por cualquier punto del borde del disco en el mismo intervalo. La velocidad y aceleracibn del peso son,. por consi,ou consi,ouient nu mt ri-y camente iguales a iente, la e,~elocidad aceleracion aceler acion tangenciales de un punto del borde del disco. disco. E s evidente que el peso se mueve con velocidad velocidad creciente, y medidas cuidadosas efectuadas demue stran q ue el increincremento de velocidad velocidad por unidad de tiempo es constante. Puesto que el desplazamiento, velocidad y aceleracion angulares pueden deducirse de medidas efectuadas en el disco, y el desplazamiento, velocidad _v aceler aceleracibn acibn tangenciale genci ales, s, de medidas eiectu adas en el cuerpo q ue desciende, y se canoce el radio del disco, disco, podem os com probar las relaciones 10-8. Fuerzas centripeta y centri trifuga fuga.-T .-Todo odo el mu nd o ha reaiireaiizado alguna alguna vez el esperime nto de atar una piedra o un peso a una cuerda, y dar vueltas haciendo haciendo que
la describa una circunferencia.piedra hlientras la piedra da vueltas se nota que la mano esti sometida a una fuerza hacia afuera, e inversamente la mano tiene que ejercer ejercer una fuerza hacia adentro sobre la piedra. Para reducir el problema a lo fundamental imaginemos una punta 0 lavada en una superficie ho-
I
--
-
el intervalo de tiempo entre dos iluminaciones sucesivas, es igual a la angular m edia d urante dicho intervalo. E videntem ente, 10s 10s BnBngdos se hacen progresivarnente mayores a medida que el movimiento
rizontal sin rozamiento como la de la figura 10-12. Un cuerpo pequefic de mass m esta unido a la Punts Par intermedio de una cuerda de iongitud R, y se pone en rotaci6n alre-
c o n t i medidas n u a r d cuidadosas ~ o s t r a n puede ~ < aelocidad aelocidad angular tuando dernostrarse quevaelaumentando. aumento de Efecvelocidad entre cada dos iluminacione~onsecutivases iluminacione~onsecutivas es el mismo, o, en otra s palabras, la aceleraci6n angular es La distancia recorrida por el peso durante cualquier int e r v a l ~ e t ie ie mpo e s l a mi sm smaa que de circunferencia
~ r c . 0-l1.-fo logn ri:l dc iluminacioncs la nccl~ncibn nngcncial y In aceleracibn
190
MOVIMIESTO
CIRCULAR
[CAP.
10
ejercer una fuerz fuerzaa sobre el cuerp cuerpoo par a producir esta aceleraci6n normal, y la direc direccion cion de esta fuerza tiene que ser la misma que la direc direcci6n ci6n de la aceleracion, es decir, seglin el radio y hacia el centro de la circunferencia. Por ello se denornina fuerza central o centripela (la expresion centripefa significa literalmente ((buscando un centroo). Puesto que F = ma. y a = vT2/R = u2R. el valor numeric0 de la fuerza centripeta es Esta fuerza dirigida hacia adentro la suministra la cuerdz. la cual esti evidentemente en tension y, por consiguiente, ejerce sobre la punta del centro una fuerza fuerza haci haciaa afuera, igual y opuesta a la centripeta, l lamada fuerza cenlrlfuga (la expresion cenlrifuga significa literalmente cque huye
I.
10-91 --
SEC.
-
EL PERALTE DE LAS CURVAS
191
derarlo punrual, el radio R en la Ec. [10-141 debe tomarse igual a1 radio de la c~rcunferencia n la qu e gira gira el centro de masa, y U T como la velo. cidad tangencial del centro de masa.
.., .. .
.~
El principio de D'Alembert (\.ease Sec. 5-6) puede aplicarse igual igual a un movim iento circular que a1 movimiento rectili neo. La ffigura igura 10-14 representa un cuerpo de ma-' ...- Ja rn que se mueve con velocidad tangencial u~ en una circunferencia de radio R y :? centro 0. El punto de vista newtoniano [Fig. 10-14 (a)] onsiste en suponer que la ....,. - varilla ejerce una fuerza result ante hacia adentro sobre el cuerpo, que es ig igual ual a1 proC I, ducto de la masa por la aceleracion normal, mu /R. S e g~inD'Alem D'Alembert bert [Fig. 10-14 (6)], . " .. y +* el cuerpo esth en equilibrio por la acci6n combinada de la fuerza I de la fuerza fic'63. ;#. ticia hacia afuer afuera a mu Tz /R. Cuando se utiliza el principio de D'Alembert, la fuerza ficti. ::.cia exterior se denomina fuerza cenlri/uga. Probablernente, el uso d e este tdrmino rr6nea a .&? cenlrifuga para designar una fuerza ficlicia hacia afuera es la causa de la idea eerr6ne :?(?' de que una fuerza real hacia a fuera actira sobre to do cuerpo en movimiento circular. A: .
.::.: ;
FIG. 10-13.-La f u e n a F es la Iuerza centripeta. La fuerza F , r ?cci6n a la l u c m F. es la
10-9. El peralte de l a s curv curvas.-L as.-Laa figura 10-1 10-155 es una vista front al del juego juego de ruedas de un coche de ferrocar ferrocarril, ril, de masa m, que se aproxima hacia el lector con la velocidad u, y describe una curva de radio R cuyo centro se encucntra a la derecha del dibujo. Para mantener el movimiento sobre una trayectoria curva, es necesario que se ejerza una fuerza centripeta, igual a mu2 mu2/R /R,, sobre las ruedas. La direccion de esta fuerza es hacia el centro de la circunferencia, o sea, en este caso, hacia la derecha. La fuerza centripeta es ejercida por el carril exterior que empuja hacia la derecha contra la pestafia de la rueda exterior, y esta representada por P en la figura 10-15 10-15 (a);'Las'otras fuerza fuerzass ejercidas sobre el ju juego ego de rueda s son: su peso, mg, y la reaccion vertical, N, ejercida por 10s railes. Para mayor simplicidad se han representado como si actuasen en el centro de gravedad. (Veanse 10s problemas 10-31 y 10-32 para una solucibn mas
detallada.) La fuerza resultante ejercida por 10s railes sobre el juego de ruedas esta representada por el vector de trazos. Si ahora 10s railes railes,, en lu gar de encontrarse s obre un plano horizon horizontal, tal, estin peralfados, como en la figura 10-15 ( b ) , de mod0 que su plano sea perpendicular a la fuerza tienen que,esejercer sobre el juegodede10 ruedas, esta fuerza re sulta normalque a ellos ellos, , y no necesaria l apresibn 10s s railes contra las pestarias de las ruedas para mantener el conjunto en movimiento de rotacibn. L a comp compone onenfe nfe verti vertical cal de la fuerz fuerzaa normal soport a ahora el peso del juego de ruedas y su,componente su,componente horizonlal nr nroporciona oporciona
192
M O V I M I E N T O CInCULAR
[CAP.
10
SEC.
10-101
EL
193
PENDULO COS I CO
8:
la fuerza cenlrfpefa. La resultante del sistema de todas las fuerzas es la misma, tant o en la figura 1010-15 15 (a) como como en en la 1010-15 15 (b), esto es, la fuerza
de trdfico sobre ellas, por lo que resultaran demasiado peraltadas para elocidades inferiores a la media, y viceversa.
..
,
.
centripeta P.
Las de mismas consideraciones determinan angulodebe correcto deque incli2.. nacion un avi6n que efectua un viraje. Elelangulo ser tal la $ resultante de la la sustentaci6n y de la fuerza centripe ta sea perpendicula perpendicularr . z7: a la superficie de las alas (Fig. 10-16).
Fuerza Fuerza rcsu ltantc ejercida sobre cl JUegO de ruedas
F,c '
3
10-10.
El p6nduIo c6ni c6nic. c.o. o.-L -Laa
figura 10-17 repres enta un cue rpo pe-
-$:- quefio de masa m que se mueve describiendo una circunferencia horizon5: tal, con la velocida velocidad d an gular c onstante o y en el extremo de una cuerda
5. igera de longitud L. Prescindiremos del interval0 durante el cual el cuerpo se pus0 en movirniento y consideraremos dnicamente la situacibn
%. despuCs que la masa se ha puesto en movimiento con las caracteristicas
.
-.,:;,indicadas. Si 0 es el 5ngulo constante que la cuerda forma con la vertical, z.... g el radio R de la circunferencia descrita es: .. .. .....,... . ~ ,." ,.. R = L sen 0. d
en cstc punto
1
.
(a,
.%:-
El Bngulo de inclinacibn o peralte 0 que la capa de balasto forma con la horizontal es igual a1 angulo 0 de la figura 10-15 (a). Por consiguiente,
Las fuerzas ejercidas sobre el cuerpo cuando se encuentra en la posi-
i: 6n indicada son: su peso, mg, la tensi6n T de la cuerda. cuerda. Ha y una gran g;,.i6n
?,,. tentacibn a afiadir una fuerza cenlrffuga hacia afuera en el diagrama; &: :3:-:pero, como hemos visto, no pertenece a1 conjunto de fuerzas aplicadas a1 :> cuerpo. Sabemos ademas que la aceleracibn est5 dirigida hacia el centro :j..e la circunferencia horizontal que describe. Por tanto, elijamos dos ejes, uno en esta direcci6n y otro perpendicular a ella, y descompongamos la . .:... tensi6n T en dos componentes, segfin se indica. La fuerza resultante en 2, . . .la direccibn del eje Y es T cos 8 - mg, y la fuerza resultante segun el '&,eje X es T sen 0. Entonces, de la segunda ley de Newton,
Puede verse en esta ecuaci6n que la tangente del Angulo de peralte es proporci proporcional onal a1 cuadrado de la velocidad, e inversamente proporcio nal a1 radio de la curva. Para un radio dado no hay ningun angulo que sea
#r,.
"
2Y = T cos 0 - mg = ma,; I
XX Pero a,
= 0, puesto
=
T sen 0
= ma,.
q ue la altur a del cuerpo no varia; varia;y y
a,
= v Z / R=
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