Scilab - Análisis de Estabilidad

 

Universidad Tecnológica Nacional

Asignatura: Control Automático de Procesos

Facultad Regional Mendoza

 

Tema: Análisis de estabilidad

Departamento de Ingeniería Química 

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD INTRODUCCIÓN  En el presente texto se hará una discusión del uso de Scilab para realizar el análisis en frecuencia de un lazo de control. Fundamentalmente se verán las herramientas necesarias para obtener los diagramas de Bode, Nyquist y Lugar de Raíces, además de discutir el análisis de cada uno de los gráficos, con el objeto de determinar los parámetros que se utilizarán en el ajuste del controlador. Se parte de la base de que el lector tiene un dominio básico del modo consola de Scilab y los métodos para confeccionar gráficos vistos apuntes anteriores. Si el lector no se siente suficientemente capacitado en estos temas, se le solicita que tenga a mano los apuntes correspondientes a los efectos de realizar las consultas que estime conveniente en el momento que lo necesite.

LAZO DE CONTROL Sea el siguiente lazo de control retroalimentado:

En donde las distintas funciones de transferencia son:

 =   = 2 5+1  = 50 2+ 1  = 0.1 1 + 1  

 

 

 

Para realizar el estudio de la respuesta en frecuencia se debe obtener la función de transferencia de lazo abierto (FTLA), que se calcula de la siguiente manera:

 = . . .   = . 2 5+1 . 50 2+ 1 . 0.1 1 + 1  

 

Naturalmente, para poder trabajar con Scilab, se le debe dar un valor a la ganancia del controlador, por lo que se 1. trabajará con K cc  =   Las instrucciones necesarias para poder obtener la FTLA son: -->s=poly(0,'s','roots'); -->Kc=1; -->Gv=5/(2*s+1); -->Gp=2/(50*s+1); Ing. Juan E. Núñez Mc Leod

Página 1 de 12

 

Universidad Tecnológica Nacional

Asignatura: Control Automático de Procesos

Facultad Regional Mendoza

 

Tema: Análisis de estabilidad

Departamento de Ingeniería Química 

-->Gh=1/(0.1*s+1); -->Gv=syslin('c',Gv); -->Gp=syslin('c',Gp); -->Gh=syslin('c',Gh); -->G=Kc*Gv*Gp*Gh;

DIAGRAMA DE BODE Para realizar un diagrama de bode se utiliza la siguiente instrucción:  bode(sl,[fmin,fmax][,’ in,fmax][,’rad’]) rad’])  bode(sl,[fm

Donde los argumentos encerrados entre corchetes con opcionales. sl: Función de transferencia de lazo abierto. -3 fmin: frecuencia mínima para el análisis, expresada en Hz. Si no se especifica el valor por defecto es 10  Hz. 3 fmax: frecuencia máxima para el análisis, expresada en Hz. Si no se especifica el valor por defecto es 10  Hz. rad’: Indica que las frecuencias serán representadas con rad/s en el diagrama (frecuencia angular). ’

Se recuerda que si f es una frecuencia expresada en Hz (1/s), T es el período expresado en s y ω es la frecuencia angular expresada en rad/s, las relaciones que las vinculan son:

 = 1  = 2   = 2  

 

 

 =    

Para realizar el estudio en frecuencia se utiliza la función senoidal , en donde ω es la frecuencia angular, por este motivo, para que haya una equivalencia directa con el diagrama de Bode, se trabajará con dicho parámetro, cuya unidad de medida es rad/s. 1

La instrucción básica para obtener el diagrama es la siguiente : -->bode(G,'rad')

Tras lo cual, Scilab muestra una ventana gráfica, que se observa en la figura 1, donde se despliegan los diagramas de amplitud y fase. Como se sabe, el desfasaje para bajas frecuencias tiende a 0 grados. Analizando el diagrama de fase claramente se aprecia que la curva se inicia con un valor cercano a -20º. Con el objeto de visualizar en forma completa el comportamiento del lazo, se propone reducir la frecuencia mínima según la siguiente instrucción: -->clf -->bode(G,1d-4,1d3,'rad')

1

 Para observar mejor los detalles del gráfico se sugiere aumentar el tamaño en vertical de la ventana gráfica todo lo posible.  Ing. Juan E. Núñez Mc Leod

Página 2 de 12

 

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Mendoza

 

Departamento de Ingeniería Química 

Asignatura: Control Automático de Procesos Tema: Análisis de estabilidad

La instrucción clf  se utiliza para borrar el diagrama anterior, ya que de lo contrario se solaparían los distintos -4 3 gráficos. Se aprecia que la frecuencia mínima se establece en 10  Hz, mientras que la máxima se ubica en 10   Hz. El resultado se observa en la figura 2.

Fig. 1. Diagrama con frecuencias por defecto.

Fig. 2. Diagrama con la frecuencia mínima ajustada.

DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE INTERÉS INT ERÉS Se desean conocer los márgenes de ganancia y de fase, la ganancia y la frecuencia últimas. Los dos primeros parámetros se pueden determinar analíticamente mediante las siguientes instrucciones de Scilab: -->g_margin(G) ans = 34.761207 -->p_margin(G) ans = 74.623474

Siendo el primer cálculo el correspondiente al margen de ganancia y el segundo al de fase. Sin embargo, interesa obtener estos valores interpretando los gráficos correspondientes.

Determinación gráfica del margen de ganancia (MG) Para obtener este parámetro se recordará que para medir el margen de ganancia se debe determinar la longitud del segmento desde la curva de amplitud hasta el valor 0 (correspondiente a una relación de amplitud unitaria, ya que el eje de ordenadas se encuentra expresado en decibeles), cuando el desfasaje es de -180º. Se hará uso de los datatips de la ventana gráfica para ubicar la abscisa correspondiente a un desfasaje cercano a -180º, tal como se observa en la figura 3. Esta aproximación grosera se debe a problemas de escala. En un segundo paso, se hace un acercamiento (zoom) de la zona de interés, para finalmente ajustar mejor el datatip, como se ve en la figura 4.

Ing. Juan E. Núñez Mc Leod

Página 3 de 12

 

Universidad Tecnológica Nacional

Asignatura: Control Automático de Procesos

Facultad Regional Mendoza

 

Departamento de Ingeniería Química 

Tema: Análisis de estabilidad

A continuación, conociendo dicha frecuencia (frecuencia última), se procede a leer al ordenada en la curva de amplitud, como se observa en la figura 5. De la misma manera, se debe proceder a un ajuste fino mediante el uso de la herramienta de acercamiento (zoom), como se muestra en la figura 6.

Fig. 3. Determinación aproximada de la frecuencia última en el diagrama de fase.

Fig. 4. Determinación más precisa de la frecuencia última mediante un acercamiento.

Fig. 5. Determinación aproximada del margen de ganancia en el diagrama de amplitud.

Fig. 6. Determinación más precisa del margen de ganancia mediante un acercamiento.

Los valores medidos son: ωu= 2.296 rad/s

MG= 34.79 Se debe hacer una aclaración importante: según la instrucción dada a Scilab, para generar los diagramas, se indicó que las frecuencias debían medirse en rad/s. De hecho esto es así; sin embargo, la etiqueta del datatip indica erróneamente “Hz” como unidad de medida. Por otro lado, la diferencia con el valor analítico obtenido previamente se debe al error inherente de los métodos gráficos.

Determinación gráfica del margen de fase (MF) El margen de fase es el ángulo que falta para llegar a los -180º de desfasaje cuando la relación de amplitud de la respuesta es unitaria. De manera similar a lo hecho con el margen de ganancia, se ubica un datatip en el diagrama de amplitud para determinar la frecuencia donde la curva corta la ordenada de 0 dB (correspondiente a la relación de amplitud unitaria). Esto se hace en dos pasos, primero en forma grosera y luego, mediante un acercamiento de manera fina, tal como se grafica en las figuras 7 y 8. Posteriormente, en el diagrama de fase, se lee el desfasaje correspondiente a la frecuencia mencionada, siguiendo el mismo procedimiento mencionado anteriormente, mostrado en las figuras 9 y 10.

Ing. Juan E. Núñez Mc Leod

Página 4 de 12

 

Univ Univer ersi sida da Tecnológica Nacional

Asignatura: Control Automático de Procesos

Facultad Regional Mendoza

 

Departam nto de Ingeniería Química 

Fig. 7. 7. Determina Determinación ción a aproxim proximada ada d la frecuencia para RA=1 en el diagrama de amplit d. 

Tema: Análisis de estabilidad

Fig. 8. Determinación más pr cisa de la frecuencia para RA=1 mediante un acercami nto. 

  Fig. 9. Determinación aproximada del diagrama de fase. 

argen de fase en el

Fig. 10. Determina Determinación ción má precisa del margen de fase mediante un acercamiento. 

Los valores medidos son: ω = 0.1863 rad/s

MF= 180º + (-105.4º) = 74.6º Valen  las mismas consideraciones encionadas para el caso anterior, respecto de las unidades “Hz” en lugar de “rad/s” en el datatip, y la diferencia respecto del valor analítico.

Cálculo de la ganancia última La relación de amplitud (RA) y el desfasaje (ϕ) se se de dete term rmiina nan n ana analí líti tica came me te mediante las siguientes expresiones:

 = | | | =   

 

Siendo



 la frecuencia angular a la cual se desean evaluar la relación de amplitud y el desfasaje.

Si para el cálculo de la RA se utiliza la frecuencia última, entonces el resultado será:

 = | |

 

Si se recuerda lo discutido con ant rioridad, la función G(s)  consid sidera era una gan gananci ancia de controlador proporcional G(s) con unitaria; es decir:

.   .   .      

   1 

  =    .   .    





Ing. Juan E. Núñez Mc Leod

 

(1) Página 5 de 12

 

Universidad Tecnológica Nacional

Asignatura: Control Automático de Procesos

Facultad Regional Mendoza

 

Tema: Análisis de estabilidad

Departamento de Ingeniería Química 

Por otro lado, si esta ganancia se aumenta, la RA aumenta también. En algún momento RA será igual a 1. Como se está trabajando con la frecuencia última, al alcanzar la condición RA=1, significa que se llegó a la condición de oscilación permanente del lazo, por lo que la ganancia que se dio al controlador es la ganancia última; o sea:

   

. . . 

   

(2)

1 = | | = .  .  .    =  .  .   1 .  .  .  

Dividiendo miembro a miembro 1 por 2, se tiene:

 

Operando

 =   .  .    1 .  .  .  

 

Simplificando y despejando

 = 1 →  = 1  1   = 20 lologg  

 

Según lo visto, el diagrama de Bode expresa la relación de amplitud en decibeles, según la siguiente expresión:  

De esta manera, si se conoce el margen de ganancia en decibeles, se puede calcular la relación de amplitud 2 mediante :

=10 

 

Y conociendo RA se puede calcular la ganancia última del controlador:

 = 1

 

Comprobación de la ganancia última Según lo calculado para el lazo de control del ejemplo, los parámetros del mismo son: ωu= 2.296 rad/s

MG= 34.79 Por lo tanto la ganancia última es:

=10    → 10 . =0.0182180 1 =54.890767  = 1   →  = 0.0182180  

 

2

 El signo negativo se debe a que el m argen de ganancia (MG) es positivo, pero el valor en decibeles es negativo.  Ing. Juan E. Núñez Mc Leod

Página 6 de 12

 

Univ Univer ersi sida da Tecnológica Nacional

Asignatura: Control Automático de Procesos

Facultad Regional Mendoza Departam nto de Ingeniería Química 

 

Tema: Análisis de estabilidad

Para hacer un cálculo cálculo analítico analítico de l ganancia última, se puede escribir: -->Kcu=kpure(G) Kcu = 54.7092

nanc ncia ia de dell c con ontr tro olad lador de dell laz lazo, o, pa para ra qu que e coi coi cida con la ganancia última A continuación se modificará la g na ca calc lcul ulad ada a gráf gráfic icam amen ente te,, y se se o obt bten en rá el diagrama de Bode correspondiente, tras lo cual se comprobará el nuevo margen de ganancia. -->G=54.890767*G; -->bode(G,1d-4,1d3,'rad') -->g_margin(G) ans = - 0.0287787 -->10^(0.0287787/20) ans = 1.003318765228 3

lo q que ue se puede puede veri verific fic r también en las figuras 11 a Como se observa el nuevo MG es prácticamente unitario , lo 14 que que se dan a continu nua ación ión, en d nde el margen de ganancia es de -0.02442, por lo que: 

   1 0     →



10

 . 

1.0028154  

  Dando un valor consistente con el calculado analíticamente.

Fig 1 11 1. Valor grosero de la frec encia última.

Fig. 12. Valor fino e la frecuencia última.

Fig. 13. 13. Valor Valor grosero grosero del ma marge rge de gan gananc ancia. ia.

Fig Fig.. 14. Valor Valor fino fino d l margen de ganancia.

3

 Debi Debido do al cá cálc lcul ulo o de la ex expo pone nenc nciial al,, e ell res res ltado es muy sensible a los ca cambios mbios en el valor de MG, MG, por lo que si se desea una m ayor precisión se de precisión debe be trabajar trabajar con may mayor or númer de decimales, algo que se deja como inquietud al lector.   Ing. Juan E. Núñez Mc Leod

Página 7 de 12

 

Univ Univer ersi sida da Tecnológica Nacional Facultad Regional Mendoza

 

Departam nto de Ingeniería Química 

Asignatura: Control Automático de Procesos Tema: Análisis de estabilidad

Asíntotas Para representar representar las asíntot asíntotas as en en un diagrama de Bode, se procederá a graficar nuevamente el mismo mediante las siguientes instrucciones: -->clf -->bode(G,1d-4,1d3,'rad')

Es importante destacar que para visualizar correctamente las asíntotas, el diagrama se debe realizar con las frecuencias medidas en rad/s. El result resultado ado obten obtenido ido se observ observ figura 15.

en la

Una vez vis visual ualizad izado o el gráfic gráfic , para in inco corp rpor orar ar la las s as asín ínto tota tas s en el mi mis smo, se debe introducir la siguiente inst ucción, si sien endo do el re resu sult ltad ado o obte obteni nido do el indi indi ado en la figura 16. -->bode_asymp(G)

Se ve como en el diagrama de a plitud, las asín asíntota totas s se confun confunden den con con l curva. Por este motivo, para poder visu lizarlas se debe debe pro procede cederr a rreal ealizar izar un zoo zoom de la imagen.

Fig. 15. Diagrama de Bode. 

Por fas ma los así

otro lado, en el diagrama de presenta una curva en color enta, indicando claramente puntos de corte de las totas.

Ubi ando tres datatips en los tra os verticales, se pueden leer las frecuencias de menor a ma or: 0.02, 0.5 y 10. Tal cual se observa en la figura 17. Las inversas de estos valores se corresponden con las constantes de tiempo de las funciones de transferencia: 50, 2 y 0.1 res ectivamente.

  .

Fig. 16. Asíntotas en un diagrama de Bode.  

Ing. Juan E. Núñez Mc Leod

Página 8 de 12

 

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Mendoza

 

Departamento de Ingeniería Química 

Asignatura: Control Automático de Procesos Tema: Análisis de estabilidad

Fig. 17. Frecuencias de corte. 

DIAGRAMA DE NYQUIST Se desarrollará una discusión similar a la vista para el diagrama de Bode. Con el objeto de evitar problemas, se sugiere al lector definir nuevamente la función de transferencia de lazo abierto original, mediante la siguiente instrucción: -->G=Kc*Gv*Gp*Gh;

Para obtener el diagrama de Nyquist se utiliza la siguiente instrucción: nyquist(sl,[fmin,fmax][,symmetry])

Donde los argumentos encerrados entre corchetes con opcionales. sl: Función de transferencia de lazo abierto. -3 fmin: frecuencia mínima para el análisis, expresada en Hz. Si no se especifica el valor por defecto es 10  Hz. 3 fmax: frecuencia máxima para el análisis, expresada en Hz. Si no se especifica el valor por defecto es 10  Hz. symmetry : Indica si se dibujarán las dos ramas del diagrama (%t) o sólo una (%f). -4

Para aplicar esto al ejemplo visto se tendrá en cuenta que la frecuencia mínima es de 10  Hz, mientras que la 3 máxima se mantiene en 10  Hz. Por otro lado, para simplificar la interpretación del gráfico, sólo se graficará una de escribirán las ramas.las Con el objetoinstrucciones: de plasmar estas indicaciones, y no olvidando borrar cualquier gráfico preexistente, se siguientes -->clf -->nyquist(G,1d-4,1d3,%f)

Se obtiene como resultado el gráfico representado en la figura 18, se debe tener en cuenta que se han ajustado ambos ejes para que pasen por el origen de coordenadas. El diagrama de Nyquist no trabaja en decibeles, por lo que se puede leer la relación de amplitud en forma directa; sin embargo, se deben realizar acercamientos importantes, debido a los grandes cambios de escala que se producen (motivo por el cual en el diagrama de Bode se usan decibeles). En el gráfico de Nyquist el margen de ganancia se lee sobre el semieje negativo de abscisas, ya que corresponde con la condición de desfasaje de -180º. Como se debe visualizar el cruce de la curva sobre dicho eje es necesario realizar un aumento de la zona de manera importante. Una vez lograda la visualización de corte curva  – eje, haciendo uso del datatip se buscar el punto en el cual la parte imaginaria (se debe recordar que se está trabajando en el plano complejo) sea lo más pequeña posible, en teoría se debería anular. En este momento la Ing. Juan E. Núñez Mc Leod

Página 9 de 12

 

Univ Univer ersi sida da Tecnológica Nacional Facultad Regional Mendoza

 

Departam nto de Ingeniería Química 

Asignatura: Control Automático de Procesos Tema: Análisis de estabilidad

mplitud que corresponde a la frecuencia última, por lo que su parte real indica indica en for forma ma directa directa l relación de ampl inversa invers a es la ga ganancia nancia última de laz lazo de control. Esto se puede observar en la figura 19.

Fig 18. Diagrama de Nyquist representando una sola rama.

 

Fig. 19. Lectura de la relación e amplitud correspondiente a la frecuencia última en el diagrama de Nyquist.

Ing. Juan E. Núñez Mc Leod

Página 10 de 12

 

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Mendoza

 

Departamento de Ingeniería Química 

Asignatura: Control Automático de Procesos Tema: Análisis de estabilidad

En el cuadro del datatip se leen los siguientes valores:

  |−

0.00178 17877 +  5.5511 10| ≅0.01787   =0.3722 

 

 

En el diagrama de Nyquist de Scilab las frecuencias están expresadas en Hz, por lo que para convertirlas a frecuencias angulares se las debe multiplicar por  como se muestra a continuación:

2

 = 2  = 2 . 0.33722 722== 2.3386 3386010166

 

La frecuencia angular última es similar a la obtenida en el diagrama de Bode (no se debe olvidar que son métodos gráficos, por lo que los resultados no son exactamente iguales). Por otro lado, la ganancia última da como resultado:

1 =55.959709  = 1 →  = 0.01787

 

Resultado similar al obtenido a través del diagrama de Bode. Se deja al lector la inquietud de verificar que si se utiliza esta ganancia última en el lazo de control, la curva del diagrama de Nyquist pasará muy cerca de la abscisa -1 (teóricamente debería pasar sobre dicho valor de abscisa).

LUGAR DE RAÍCES Se desarrollará una discusión similar a las vistas anteriormente. Nuevamente se sugiere al lector definir la función de transferencia de lazo abierto original, mediante la siguiente instrucción: -->G=Kc*Gv*Gp*Gh;

Para obtener el diagrama de lugar de raíces, denominado también diagrama de Evans, se utiliza la siguiente instrucción: evans(s1 [,kmax])

Donde los argumentos encerrados entre corchetes con opcionales. sl: Función de transferencia de lazo abierto. kmax: Indica la máxima ganancia utilizada para las curvas del diagrama.

Para aplicar esto al ejemplo visto, y no olvidando borrar cualquier gráfico preexistente, se escribirán las siguientes instrucciones: -->clf -->evans(G)

Se obtiene como resultado el gráfico representado en la figura 20, se debe tener en cuenta que se han ajustado ambos ejes para que pasen por el origen de coordenadas. Para poder determinar los parámetros de ganancia última (K  ( K ccu  u ) y frecuencia última ( ω  u ), se procede a realizar un acercamiento para colocar un datatip en el lugar de corte de la curva con el eje de ordenadas. El resultado obtenido es:

 =54.69

 = 2.282 282 / /

 

 

Ing. Juan E. Núñez Mc Leod

Página 11 de 12

 

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Mendoza

 

Departamento de Ingeniería Química 

Asignatura: Control Automático de Procesos Tema: Análisis de estabilidad

Datos extraídos directamente del diagrama que se observa en la figura 21.

Fig. 20. Diagrama del lugar de raíces con c on sus respectivas asíntotas.

Fig. 21. Acercamiento del lugar de raíces para determinar los parámetros últimos del lazo de control. c ontrol.

Ing. Juan E. Núñez Mc Leod

Página 12 de 12