Schrodinger Dan Sumur Potensial

MAKALAH FISIKA KUANTUM “PERSAMAAN SCHRODINGER DAN SUMUR POTENSIAL”

Disusun oleh:  Nama

: Tiara Veronica Veronica (A1E014013) (A1E014013) Avinda Tria Vandhita (A1E014024) Tommy Tommy Destrianto Destrian to (A1E01403)

!elom"o !elom"o# #

: V ($ima) ($ima)

%emester

: V& A

Dosen Dosen 'enam 'enam"u "u : Drs Drs Nyoma Nyoman n *oha *ohadi+ di+ ,%c ,%c

UNIVERSITAS BENGKULU FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PEDIDIKAN JURUSAN PENDIDIKAN PENDI DIKAN MATEMAT MATEMATIKA IKA DAN ILMU PENGETAHUAN P ENGETAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA 2017

BAB I PENDAHULUAN 1.1.

Lata B!"a#a$% Didalam -isi#a #uantum+ #ita telah menenal .er.aai macam sistem / 

sistem #uantum ,ulai dari yan sederhana hina yan rumit Ter#adan mes#i"un didalam .entu# yan sederhana .e.era"a oran a#an sulit untu#  mem.ayan#an dan mela#u#an "erhitunan yan ada didalam sistem #uantum terse.ut elom.an meru"a#an etaran yan meram.at %alah satu contoh elom.an

adalah

elom.an

schrodiner

elom.an

%chrodiner 

menam.ar#an #e.eradaan ele#tron "ada suatu "osisi dan a#tu elom.an %chrodiner da"at ditulis#an dalam suatu "ersamaan di-erensial  "arsial yan da"at dise.ut denan "ersamaan %chrodiner  'ersamaan %chrodiner terse.ut yan menyata#an "ada suatu "osisi satu dimensi dise.ut "ersamaan %chrodiner satu dimensi 'ada "ersamaan %chrodiner satu dimensi da"at di.entu# menadi "ersamaan %chrodiner   .e.as

a#tu

satu

dimensi yan

artinya

"ersamaan

%chrodiner 

tida# .erantun a#tu ntu# menentu#an solusi "ersamaan %chrodiner  satu

dimensi+

menuna#an

se"arasi

varia.el

atas

varia.el x dan t 

%elanutnya masinmasin dari varia.el a#an dicari solusinya denan  "ersamaan di--erensial .iasa 'ersamaan %chrodiner .e.as a#tu satu dimensi a#an dia"li#asi#an #e dalam sumur "otensial %umur "otensial adalah #ondisi dimana suatu "arti#el menalami dua #ali "eru.ahan .esar eneri "otensial 5leh #arena itu+ ma#alah ini a#an mem.ahas menenai "ersamaan %chrodiner dan sumur   "otensial 1.2. R&'&(a$ Ma(a"a) 1 6aaimana#ah .entu# "ersamaan %chrodiner7 2 6aaimana#ah yan dima#sud denan sumur "otensial7 3 6aaimana#ah "enunaan "ersamaan %chrodiner

dalam

sumur 

'otensial7 1.*. 1 2 3

T&+&a$ ntu# menetahui .entu# "ersamaan %chrodiner  ntu# menetahui .aaimana yan dima#sud denan sumur "otensial ntu# menetahui "ersamaan %chrodiner dalam %umur 'otensial

2

3

BAB II PEMBAHASAN 2.1 S!+aa) P!(a'aa$ S,)-/$%!

'ersamaan %chrodiner diau#an "ada tahun 1829 oleh -isi#aan Erin %chrodiner (1;181) 'ersamaan ini "ada aalnya meru"a#an aa.an dari dualitas "arti#elelom.an yan lahir dari aasan de 6rolie yan menuna#an "ersamaan #uantisasi cahaya 'lanc# dan "rinsi" -otolistri#  Einstein untu# mela#u#an #uantisasi "ada or.it ele#tron %elain %chrodiner  dua oran -isi#aan lainnya yan menau#an teorinya masinmasin adalah C 0+ > C $+ .esar V #onstan atau V C 0+ i#a demi#ian+ "ersamaan %chrodiner  #eadaan teta" (steady state) da"at ditulis#an

( )

d 2 ψ  2 m  + 2  Eψ =0 32.124 d x2 ħ i#a di"erlihat#an "ersamaan (212) seru"a denan "ersamaan era#  ayunan sederhana (sim"le harmonie motion) atau %=, yan solusinya adalah: y C A sin #> B 6 cos #>

√

denan # C

2mE

ћ2

5leh #arena itu solusi untu# "ersamaan %chrodiner #eadaan teta" adalah : 2mE 2mE x  B 6 cos x 2 2 G C A sin ћ ћ

√

√

'erhati#an lai syarat .atas untu# > C 0 dan > C$ >C0 →   cos

√ 2 mE / ħ 2

→ G C 0 ntu# 

 > C cos 0 C 1+ hasil ini tida# memenuhi syarat

 .atas 5leh se.a. itu solusinya menadi

10

: ; A (/$

√ 2 mE / ћ 2

 <

32.1*4

%e.a. sin 0C0 untu# > C 0 ntu# > C $ 2 mE 2 mE  > C A sin ħ ћ2 $

√

√

n C 1+2+3+4+ 

&ni .erarti .aha eneri E mem"unyai harahara tertentu yan dalam -isi#a #uantum dise.ut eien values (nilainilai eien) yan menyata#an tin#attin#at eneri suatu sistem Tin#at Eneri "arti#el dalam sumur   "otensial menurut eien values da"at dirumus#an se.aai .eri#ut: 2 mE 2  $ C n ћ

√

 ( nπħ )2  En= 2 2mL

denan n C 1+2+3+ !emudian "em.ahasan dilanut#an "ada -unsi elom.an denan tin#at eneri En Hunsi elom.an yan dima#sud ditulis#an se.aai  .eri#ut : G C A sin

√

2 m En

>

ћ2 1 2

C A sin

√

ħ 2

(

2

n π  ћ  L

2

2

)¿

) >

n π 

( ) x ; A (/$  L

32.154

Dalam "ersamaan terse.ut #arena En adalah eneri eien values ma#a -unsi elom.an G dise.ut eien -unctions atau -unsi-unsi eien  Nilai O GnO2 ua harus tertentu "ada seluruh ruan sumur "ada .atas >C0 dan >C$ &nteral (dari .atas 0 sam"ai .atas $) dari nilai -unsi terse.ut di"eroleh:  L

¿ ψ n∨¿ dx =∫ ¿ ψ n∨¿ dx 2

2

0

¿

∞

∫¿ −∞

11

 L

∫ sin ( n Lπx ) dx 2

2

CA

0

 L 2

C A  ( 2 )

¿ Ψ n∨¿ 2 %esuai denan #emun#inan menemu#an "arti#el (')+ ma#a C ' ¿ Denan demi#ian+ ∞

¿ ψ n∨¿ dx = ∫ Pdx =1 2

−∞

∞

∫¿

−∞

¿ ψ n∨¿2 dx = A 2

( )=  L 2

1

∞

∫¿

−∞

%elanutnya -unsi elom.an G untu# "arti#el dalam sumur (#ota#)  "otensial ditulis#an dalam .entu# :

ψ   ; $

√

 2

( )  (/$ 3  L

nπx  L 4

32.164

'ada am.ar () dilu#is#an #emun#inan teradinya "ola elom.an denan "eru.ahan "anan elom.an sesuai denan harahara n

am.ar 22 !emun#inan "anan elom.an untu# G sesuai L -L L hara -L hara n dan normalisasinya .. C-$t-) (-a" a$ =!'a)a(a$ 1 6u#ti#an .aha "ersamaan %chrodiner adalah mem.u#ti#an

ψ =a 1 ψ 1 ( x , t ) + a 2 ψ 2 ( x , t )

12

linier

denan

Dimana

ψ 1   dan

ψ 2   adalah -unsi elom.an solusi "ersamaan

%chrodiner  'enyelesaian:

ψ =a 1 ψ 1 ( x , t ) + a 2 ψ 2 ( x , t )

−ℏ ∂ 2 ∂ i ℏ  ψ = ψ + Uψ  2 m ∂ x2 ∂ t  iℏ

∂ ∂  ψ =i ℏ  ( a1 ψ 1 ( x , t )+ a2 ψ 2 ( x , t ) ) ∂ t  ∂ t 

iℏ

∂ ∂ ∂  ψ =a1 i ℏ  ψ 1 ( x , t ) + a2 ℏ  ψ 2 ( x , t ) ∂ t  ∂t  ∂ t 

(

) (

2

2

−ℏ ∂ −ℏ ∂ ∂ i ℏ  ψ =a1  ψ 1 ( x , t )+ U ψ 1 ( x , t ) + a2  ψ 2 ( x , t ) + U ψ 2 ( x , t ) 2 2 2m ∂x 2m ∂ x ∂ t  2

−ℏ ∂ ∂ i ℏ  ψ = ( a1 ψ 1 ( x ,t ) + a 2 ψ 2 ( x , t ) ) +U (a1 ψ 1 ( x ,t ) + a2 ψ 2 ( x ,t  )) 2 ∂ t  2m ∂ x −ℏ ∂ 2 ∂ i ℏ  ψ = ψ + Uψ  2 m ∂ x2 ∂ t  2 %e.uah ele#tron #ondu#si .erada dalam #ota# eneri "otensial yan #edalamannya ta# hina i#a le.ar #ota# terse.ut se.esar 2  + tentu#anlah: a Eneri untu# tin#at #e : 1 sam"ai 9  . 'anan elom.an untu# tin#at #e 1 sam"ai 9 c Hunsi elom.an untu# tin#at #e 1 sam"ai #e 9 d am.ar .entu# elom.an untu# -unsi elom.an #e 1 sam"ai #e 9 'enyelesaian:

n 2 h2  En= 2 a Denan menuna#an "ersamaan 8mL 2

h =  E 1 2 ntu# tin#at "ertaman+ n C 1+ ma#a 8mL ntu# tin#at "ertaman+ n C 2+ ma#a

ntu# tin#at "ertaman+ n C 3+ ma#a

13

 E2=  E3=

4h

2 2

8mL 9h

2 2

8mL

)

2

 E4 =

ntu# tin#at "ertaman+ n C 4+ ma#a

 2 h

m L2 25 h

2

= ntu# tin#at "ertaman+ n C 9+ ma#a  E5 8 m L2 2 L =  λ n  . Denan menuna#an "ersamaan n 1

 λ1= 2 L  atau  L=  λ1 ntu# n C 1+ ma#a 2 ntu# n C 2+ ma#a

 λ2= L  atau  L= λ

ntu# n C 3+ ma#a

 λ3 =

2 L 3

 atau

2

 L=1,5 λ3

 L =  L=2 λ 4  λ 4 ntu# n C 4+ ma#a 2  atau ntu# n C 9+ ma#a

 λ5 =

2 L 5

 atau

 L=2,5 λ5 nπx  L

(¿)

c Denan menuna#an "ersamaan

ψ n ( x )=

√

 2

 L

sin ¿

 π  = sin  x ψ    x ( ) n ntu# n C 1+ ma#a 2 ntu# n C 2+ ma#a

ψ n ( x )= sin π x

ntu# n C 3+ ma#a

ψ n ( x )= sin

ntu# n C 4+ ma#a

ψ n ( x )= sin2 π x

ntu# n C 9+ ma#a

ψ n ( x )= sin2,5 π x

 3 π  2

 x

d am.ar .entu# elom.an .erdasar#an hasil data di atas:

14

15

BAB III PENUTUP *.1 K!(/'=&"a$ 1 'ersamaan %chrodiner menelas#an hu.unan ruan dan a#tu  "ada

sistem me#ani#a #uantum 'ersamaan ini meru"a#an hal "entin dalam teori me#ani#a #uantum+ se.aaimana halnya hu#um #edua Neton "ada me#ani#a #lasi# 2 6entu# 'ersamaan %chrodiner: A 6entu# 'ersamaan %chrodiner .erantun a#tu untu# 1 dimensi:

( )

2 2 dψ  ℏ  d ψ   + V ψ  i ℏ =− 2 m d x2 dt 

6 6entu# 'ersamaan %chrodiner .erantun a#tu untu# 3 dimensi:

( )(

)

2 ℏ dψ  d2 ψ  d 2 ψ  d 2 ψ   +  + 2 + V ψ  i ℏ =− 2 m d x 2 dy 2 dt  dz

P 6entu# 'ersamaan %chrodiner ta# .erantun a#tu untu# 1 dimensi:

d 2 ψ   + dx 2

( )( 2m 2

ℏ

 E −V ) ψ =0

D 6entu# 'ersamaan %chrodiner ta# .erantun a#tu untu# 3 dimensi :

( )(

d 2 ψ  d 2 ψ  d 2 ψ   +  + + dx 2 dy 2 dz 2

2m ℏ

2

 E −V ) ψ =0

E Hunsi elom.an G untu# "arti#el dalam sumur (#ota#) "otensial ditulis#an dalam .entu# :

ψ   ; $

16

√

 2

( )  (/$ 3  L

nπx  L 4

DAFTAR PUSTAKA

6eiser+ Arthur and The =ou $ion 1880  Konsep Fisika Modern.a#arta: Erlana !husnul@ PersamaanSchrodingerkhusnull.weebl.com!uploads!"!"!#!#!""##$%& #!cd'fismod'(adi.docx (Dia#ses tanal 3 ,aret 201;) *ohadi+Nyoman201;  )asar*)asar Fisika Kuantum6en#ulu: niversitas 6en#ulu %eray+ *aymond A+ d## 188  Modern Phsics. Hlorida: =arcourt 6race ovanovich

17