Schenk Halbleiterbauelemente

September 2, 2017 | Author: quantumflight | Category: Mechanics, Materials Science, Chemistry, Mechanical Engineering, Physical Quantities

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Halbleiterbauelemente Physikalische Grundlagen und Simulation Privat-Dozent Dr. rer. nat. Andreas Schenk Integrated Systems Laboratory, ETH Zurich October 23, 2003

Contents 1

Quanten-Transport 1.1 Quanten-Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Quanten-Transportgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 17

2

Boltzmann-Gleichung 2.1 “Ableitung” . . . . . . . . . . . . 2.2 Methoden der direkten Lösung . . 2.2.1 Relaxationszeit-Näherung 2.2.2 Monte-Carlo-Methode . .

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22 22 25 25 26

3

Momenten-Methode 3.1 Hydrodynamische Transportgleichungen, Drift-Diffusions-Modell . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Thermodynamisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 31 42

4

Numerische Methoden 4.1 Skalierte Gleichungen und Lösungsprozedur . . . . 4.1.1 Die Physikalischen Gleichungen . . . . . . 4.1.2 Randwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Die skalierten (stationären) Gleichungen . . 4.1.4 Wahl der Variablen . . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Die Lösungsprozedur . . . . . . . . . . . . 4.2 Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Allgemeine Diskretisierungsverfahren . . . 4.2.2 Anforderung an Diskretisierung . . . . . . 4.2.3 Diskretisierung der Poissongleichung . . . 4.2.4 Diskretisierung der Kontinuitätsgleichungen 4.2.5 Die Diskretisierten Gleichungen . . . . . . 4.3 Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Anforderungen an Gitter . . . . . . . . . . 4.3.2 Gitter Adaption . . . . . . . . . . . . . . .

5

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47 47 47 48 49 49 50 51 51 52 53 55 58 59 59 60

Silizium 5.1 Bandstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Zustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Fermi-Dirac-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 System mit konstanter Teilchenzahl (“kanonische Verteilung”) . . 5.3.2 System mit variabler Teilchenzahl (“grosskanonische Verteilung”) 5.3.3 Fermi-Dirac-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Ladungsträgerdichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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61 61 76 80 80 83 84 87

i

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Contents

1

6

Streuprozesse 92 6.1 Skk am Beispiel der Streuung an ionisierten Störstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.2 Die wichtigsten Streumechanismen in Silizium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.3 Die Matthiessen-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7

Beweglichkeit kalter und heisser Ladungsträger 7.1 µimp und µac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Modelle für die Beweglichkeit kalter Ladungsträger im bulk 7.3 Beweglichkeit im MOSFET-Kanal . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Beweglichkeit heisser Ladungsträger . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Sättigung der Driftgeschwindigkeit . . . . . . . . . 7.4.2 Empirische Modelle für Bauelemente-Simulation . .

8

9

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104 104 105 108 112 112 114

Strahlungslose Rekombination 8.1 Tiefe Störstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 8.2 Generations-Rekombinationsraten für Band-Band- und Band-Trap-Uberg¨ ange 8.3 Raten-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 SRH-Lebensdauern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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117 117 121 123 125

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Auger-Rekombination

10 Stossionisation 10.1 Ionisations-Schwellenenergien . . . . . . . . 10.2 Stossionisationsrate und -koeffizienten . . . . 10.3 Modelle für die Stossionisationskoeffizienten 10.4 Avalanche-Durchbruch . . . . . . . . . . . .

127 . . . .

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131 131 134 136 137

11 Metall-Halbleiter (MS)-Kontakt 11.1 Energieniveau-Schema vor Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichts 11.2 MS-Kontakt im Gleichgewicht, Schottky- und Bardeen-Modell . . . . . . . . . 11.3 MS-Kontakt im Nichtgleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Kontakt-Randbedingungen in der Bauelemente-Simulation . . . . . . . . . . .

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140 140 141 146 149

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12 Metall-Isolator-Halbleiter (MIS) Struktur 152 ¨ 12.1 Isolator-Halbleiter (IS)-Ubergang im Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 12.2 MIS-Struktur bei angelegter Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 12.3 Ladungstransport durch dünne Oxide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 ¨ 13 Hetero-Uberg¨ ange 13.1 Banddiskontinuitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Potentialverlauf nach Einstellung des Gleichgewichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Supergitter und Quantum Wells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162 162 163 165

1 Quanten-Transport 1.1 Quanten-Bauelemente Definition Transport: Bewegung von Ladungsträgern ( Ströme) in einem Bauelement oder einer Halbleiterstruktur infolge äusserer Felder. dissipativer Transport im bulk: Energieverlust hauptsächlich im Innern des Bauelements, mittlere freie Weglänge klein gegen Abmessungen des Bauelements. ballistischer Transport: Mittlere freie Weglänge für dissipative und elastische Streuung ist von der Grössenordnung der Abmessungen des Bauelements. quanten-ballistischer Transport: Zusätzlich Quantisierungseffekte durch “confinement” Interferenz-Effekte infolge verschiedener möglicher Wege.

und

kohärenter ballistischer Transport: Kohärenzlänge von derselben Grössenordnung wie die Struktur, Phase der Elektronenwelle bleibt erhalten. Quanten-Transport kann man auch nach möglichen Anwendungen in der Nanoelektronik klassifizieren, wobei jeweils typische Quanten-Effekte ausgenutzt werden: A) Interferenz-Effekte in niedrig-dimensionalen Strukturen, wie ResonantTunnel-Dioden (resonant tunnel diodes, RTDs) und Resonant-TunnelTransistoren (resonant tunnel transistors, RTTs) 2

1.1. QUANTEN-BAUELEMENTE

3

B) Coulomb-Blockade in Einzel-Elektron-Transistoren (single electron transistors, SETs) und Quanten-Punkten (quantum dots, QD) C) Mesoskopischer Transport in Quanten-Wellenleitern (quantum waveguides) A) Interferenz-Effekte single barriers

resonant double barrier

quantum well

superlattice interferencedevices.ID.epsi 99 72 mm

chirp superlattice

camel transistor

B) Quanten-Drähte und Quanten-Punkte epitaxial wire

modulation-doped deep-etched wire

split-gate wire

modulation-doped shallow-etched wire

confinementdevices.ID.epsi 107 60 mm

quantum dot

n-(Al,Ga)As GaAs

C) Quanten-Wellenleiter

quantum well

4

CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT interference ring device

tapered quantum waveguide

stub device

cross-talking

wires

waveguidedevices.ID.epsi 110 26 mm

Quantenmechanik (QM): Ultra-Short Course I In QM werden Observablen ( Messgrössen) A durch OperatorenAˆ beschrieben Hˆ Hamiltonoperator E p x

pˆ Impulsoperator xˆ Ortsoperator

und die Zustände eines Systems (die in der klassischen Mechanik durch Angabe der Koordinaten und Impulse aller Teilchen eindeutig bestimmt sind) durch Wellenfunktionen ψ x (mathematisch: Vektoren im Hilbertraum).

pˆ2 ∂ V xˆ pˆ i (1.1) 2m ∂x V xˆ ist der Operator der potentiellen Energie. Die fundamentale Gleichung zur Bestimmung von ψ x ist die Schrödinger-Gleichung: 1D : Hˆ

stationär : Hˆ ψ x zeitabhängig : i Beispiel: freies Elektron (V 0) In der klassischen Physik ist wegen F v

const

E ψ x

∂ Φ x t ∂t

p˙ E

Hˆ Φ x t

(1.2) (1.3)

0 m 2 v 2

in der QM dagegen muss man die Schrödinger-GleichungHˆ ψ E ψ lösen. Einsetzen des Hamiltonoperators (es bleibt nur der Operator der kinetischen Energie in einer Dimension) ergibt die Eigenwertgleichung ∂2 ψ x 2m ∂x2

2

Eψ x

(1.4)

1.1. QUANTEN-BAUELEMENTE

5

oder, mit Einführung der sogenannten Wellenzahl k 2mE

∂2 ∂x2

k2 ψ x

0

(1.5)

Die allgemeine (von Null verschiedene) Lösung lautet

ψ x

A eikx

B e

ikx

(1.6)

und beschreibt eine ebene Welle. Der mathematische Formalismus der QM beschreibt die Wellennatur der Teilchen. Beispiel: Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden V(x)

well1.ID.epsi 45 40 mm

0

V x

∞ für x 0 x d

0 für x im Innern

V x d

x

Mit diesem Potential erhält man

ψ x ψ 0

A eikx ψ d

B e 0

ikx

im Innern

da das Elektron in die unendlich hohen Potentialwände nicht eindringen kann. Das Verschwinden der Wellenfunktion an den Rändern des Potentialtopfes führt auf zwei Bestimmungsgleichungen für die unbekannten Koeffizienten A und B A

B

0

A eikd

B e

ikd

0

und damit zur Quantisierungsbedingung für die Wellenzahl k: sin(kd) = 0 kn En

nπ n 1 2 d 2 2 2 2 kn π n2 2m 2md 2

quantisierter Impuls quantisierte Energie

6

CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT

Wegen B und k kn haben die Wellenfunktionen die Form ψn x A C sin nπx d . Die Konstante C wird so spezifiziert, dass die (gebundenen) Zustände auf Eins normiert sind, also d 0

dx ψn x 2

1

Die Grösse ψn x 2 heisst Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens im Zustand mit der Quantenzahl n. Die Normierungsbedingung bedeutet damit nichts weiter, als dass sich das Teilchen mit Sicherheit innerhalb des Potentialtopfes befindet. Die Auswertung der Normierungsbedingung ergibt für die Wellenfunktionen

ψn x

2 nπ sin x d d

stehende Wellen!

(1.7)

E n=3

diskretes Energiespektrum! 2d Wellenlänge λn n

well2.ID.epsi 43 42 mm

n=2 n=1

0

d

x

Was passiert im Falle a) endlich hoher und b) endlich hoher und endlich dicker Potentialwände? a) Es gibt nur noch eine endliche Anzahl von gebundenen Zuständen. Wird der Potentialtopf zu flach, kann u.U. überhaupt kein Teilchen mehr gebunden werden (im Falle asymmetrischer Potentialtöpfe). b) Das Teilchen kann mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit aus dem Potentialtopf heraustunneln, d.h. die Lebensdauer des gebundenen Zustandes wird endlich. Wegen der Heisenbergschen Unscha¨ rferelation ∆t ∆E 2 werden die (für unendlich dicke Potentialwände) diskreten Energieniveaus En zu Resonanzen mit endlicher Linienbreite “verschmiert” (LebensdauerVerbreiterung). Die Maxima der Resonanzen verschieben sich gegenüber den En zu niedrigeren Energien.

1.1. QUANTEN-BAUELEMENTE

7

a)

b)

well3.ID.epsi 110 34 mm

Bei den Resonanzenergien wird die Durchdringungswahrscheinlichkeit für die Doppel-Barriere gross. Je asymmetrischer die Doppel-Barriere, um so mehr wird die Resonanz gedämpft. osungen der Sind die stationären Zustände ψ n x bekannt, kann man sofort die L¨ zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung angeben:

e

Φn x t

i En t

ψn x

Einsetzen Probe!

Die zeitabhängigen Wellenfunktionen oszillieren mit der Frequenz ωn En . Damit sich eine stehende Welle (bzw. scharfe Resonanz) ausbilden kann, muss die entsprechende Zeitkonstante tn En klein gegenüber einer charakteristischen mittleren Streuzeit τn sein. Zahlenbeispiel: E1 66 meV, 6 6 10 16 eVs tn 10 14 s Typisches τn bei Raumtemperatur ist τn 2 10 14 s (für Streuung von Elektronen an Phononen, den Quanten der Gitterschwingungen). Interferenz-Bauelemente funktionieren nur bei genügend tiefen Temperaturen! (“genügend” ist dabei natürlich relativ und hängt von der Stärke der erreichbaren Energie-Quantisierung ab)

Im folgenden werden die Bauelemente-Gruppen A) und B) an den wichtigsten Beispielen praktisch erläutert.

8

CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT

A) Resonant-Tunnel-Diode (RTD) and Resonant-Tunnel-Transistor (RTT)

RTDbandscheme.epsi 124 103∆U mm

Band-Schema einer RTD. Die Potentialbarrieren werden durch Sprünge der Leitungsbandkante zwischen dem breitlückigeren Halbleiter AlAs und dem schmallückigeren Halbleiter GaAs erzeugt. Die Energie der Zustände im Potentialtopf ist quantisiert. Elektronen aus der hochdotierten Quelle, die alle Energieniveaus zwischen der Leitungsbandkante und dem Fermi-Niveau besetzen, können nur dann durch die Doppel-Barriere tunneln, wenn ihre Energien mit der der Resonanzniveaus übereinstimmen. Dazu muss an der Quelle eine Spannung angelegt werden. Die notwendige Energie für das Hinzufügen eines (N+1)-ten Elektrons setzt sich aus zwei Anteilen zusammen: der Additionsenergie A und der Anregungsenergie ∆ε. A wird gebraucht, um die elektrostatische Abstossung zwischen dem (N+1)-ten und den N Elektronen zu überwinden, die sich bereits im Quantentopf befinden. A ist propor tional zum inversen mittleren Abstand 1 r der Elektronen im Quantentopf, wogegen ∆ε 1 d 2 (siehe Rechnung zum Potentialtopf). Senkrecht zur Quantisierungsrichtung können sich die Elektronen frei ausbreiten, was zu einem relativ grossen r und daher zu einem kleinen A führt. Für eine RTD gilt also A ∆ε. (Im Bild ist A übertrieben gross dargestellt.)

1.1. QUANTEN-BAUELEMENTE

9

RTDoperation.ps 105 139 mm

a) Schematischer Querschnitt einer RTD. b) Bei zu kleiner Source-Drain-Spannung kann kein resonanter Tunnelstrom in der RTD fliessen (“off-state”). Es fliesst lediglich ein Leckstrom, verursacht von thermisch angeregten Elektronen in der Quelle (um so grösser, je höher die Betriebstemperatur). c) Resonanz-Situation (“on-state”) . Es fliesst ein resonanter Tunnelstrom, dessen Stärke von der Durchdringungswahrscheinlichkeit der Doppelbarriere abhängt, d.h. von der Linienbreite der Resonanz.

10

CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT

RTDkennlinie.ps 101 64 mm

A

a) Band-Schema einer RTD bei steigender Source-Drain-Spannung. b) Strom-Spannungs-Charakteristik. Der Abstand der Peaks entspricht grob der Anregungsenergie ∆ε. Allerdings ist ∆ε selbst eine Funktion der Source-Drain-Spannung, da sich die Form des Potentials der Struktur ständig ändert. U.U. kann kein zweiter Peak auftreten, wenn der deformierte Potentialtopf keinen zweiten gebundenen Zustand mehr erzeugt.

B) Quanten-Punkt (QD) und Einzel-Elektron-Transistor (SET) Quanten-Punkt: Dimensionalität ist in allen drei Richtungen reduziert. Elektronen sind völlig eingesperrt, d.h. sie haben keinen klassischen Freiheitsgrad mehr. Die elektronischen Zustände sind in allen drei Dimensionen quantisiert. Die Anregungsenergien ∆εx , ∆εy und ∆εz sind gross, ebenso die Additionsenergie A, da der mittlere Elektronenabstand r im Dot durch das einsperrende Potential klein gehalten wird. Die elektronische Struktur von Quanten-Punkten kann ¨ starke Ahnlichkeiten mit der von Atomen aufweisen, daher spricht man auch von künstlichen Atomen. Insbesondere liefern die Austausch-Wechselwirkung und die Elektron-Elektron-Korrelation starke Beiträge zur Gesamtenergie. Die Anregungsenergien representieren keine Einteilchen-Zustände mehr, sondern Vielteilchenzustände der N Elektronen im Dot.

Einzel-Elektron-Transistor: 3-Terminal-Bauelement analog zum gewöhnlichen MOSFET. Dimensionalität ist in keiner Richtung (wesentlich) reduziert. Die zentrale Insel des SETs enthält typischerweise Millionen von Elektronen. Am weitesten verbreitet sind SETs mit metallischen Inseln. Da der Quantisierungseffekt schwach ist oder gar nicht existiert, gilt für den SET: A ∆ε. Diesen Grenzfall nennt man Coulomb-Blockade, ein rein klassischer Effekt der elektrostatischen Abstossung der Elektronen untereinander, der verhindert, dass bei zu kleiner

1.1. QUANTEN-BAUELEMENTE

11

RTToperation.ps 101 141 mm

a) Schematischer Querschnitt eines Resonant-Tunnel-Transistors (lateraler Typ). b) Das Band-Schema ist ähnlich dem der RTD. c) Im Unterschied zur RTD existiert eine dritte Elektrode (Gate), mit der man die Lage der Energie-Niveaus relativ zum Fermi-Niveau in der Quelle verändern kann. Insbeson¨ dere kann man bei fester Source-Drain-Spannung durch kontinuierliche Anderung der Gate-Spannung die Energie-Niveaus des Quantentopfes in Resonanz mit den besetzten Zuständen in der Quelle bringen. Allerdings werden auch die Potentialbarrieren von der Gate-Spannung beeinflusst.

12

CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT

QDgate.epsi 98 43 mm

GaAs

1

AlGaAs

QD auf der Basis einer GaAs/AlGaAs Heterostruktur. Das einsperrende Potential wird durch planare metallische Gates erzeugt (Stanford University).

QDox.epsi 90 49 mm

QD auf der Basis einer Silicon-On-Insulator (SOI) Heterostruktur. Das einsperrende Potential wurde durch “pattern-dependent oxidation” eines Silizium-Quantendrahts erzeugt (Princeton University).

Source-Drain-Spannung ein zusätzliches Elektron auf die Insel tunneln kann (daher der Begriff “Blockade”). Ein Strom kann erst einsetzen, wenn die SourceDrain-Spannung die Additionsenergie erreicht. Den Spannungsbereich, wo kein Strom fliessen kann, nennt man Coulomb gap. Die Tunnel-Barrieren verhindern, dass sich Elektronen gleichzeitig über Source, Drain und Insel ausbreiten können. Deshalb ist der Tunnelprozess immer sequentiell: Ein Elektron muss aus der Insel ins Drain tunneln, bevor das nächste von der Source auf die Insel tunneln kann. Man spricht von (räumlich) korreliertem Tunneln. Dieser Vorgang wiederholt sich millionenmal pro Sekunde, so dass ein messbarer Strom durch die Insel fliesst. Bleibt die Source-Drain-Spannung kleiner als die Additionsenergie, spricht man vom Coulomb-Blockade-Regime. Durch Anlegen einer Spannung am Gate kann man die Coulomb-Blockade aufheben und die Zahl der Elektronen auf der Insel ändern, z.B. von N-1 zu N. Dies geschieht bei bestimmten kritischen Werten

1.1. QUANTEN-BAUELEMENTE

13

Gate

QDflash.epsi 99 58 mm

Dot

Channel Drain Source

Oxide

QD flash memory: Das Speicher-Gate besteht aus einer poly-Si-Insel. (a) I e 2CΣ

V e 2CΣ

PSfrag replacements (b)

I

V e 2CΣ

3e 2CΣ

5e 2CΣ

a) “Coulomb gap” und I-V-Kennlinie eines SETs mit symmetrischen Tunnel-Barrieren. Für Source-Drain-Spannungen betragsmässig kleiner als die halbe Additionsenergie e2 2CΣ kann kein Strom fliessen. b) Schematische “Coulomb staircase”, die I-V-Kennlinie eines SETs mit stark asymmetrischen Tunnel-Barrieren bei T=0 K. Der Abstand der Stufen ist gleich der Additionsenergie e2 CΣ .

der Gate-Spannung, wo sich gleichzeitig N-1 oder N Elektronen auf der Insel befinden dürfen (Entartungspunkte) und bewirkt einen plötzlichen Strom

14

CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT

von Source nach Drain, der bei weiterer Erhöhung der Gate-Spannung aber sofort wieder verschwindet (wegen der Coulomb-Blockade!). Die Elektronenzahl hat sich dabei auf den Wert N stabilisiert. Der Source-Drain-Strom wird ¨ also durch kleinste Anderungen der Gate-Ladung ein- und ausgeschaltet. Die ¨ dazu nötige Anderung der Gate-Ladung kann eine einzige, ja selbst nur einen Bruchteil der Elementarladung ausmachen, worauf der Name “Einzel-ElektronTransistor” zurückgeht. Da der Strom auf einzelne Gate-Ladungen reagiert, kann der Verstärkungsfaktor (gain) des SETs extrem gross sein!

ivg.epsi 96 48 mm

I-Vg -Kennlinie eines SETs im Coulomb-Blockade-Regime bei T 0 K. Bei den GateN 1 2 e Cg treten Strom-Peaks auf, da die Coulomb-Blockade Spannungen Vg aufgehoben ist. Die Peaks sind umso schärfer, je tiefer die Temperatur ist. Ihr Abstand ist gleich e Cg . Die Höhe hängt von der Source-Drain-Spannung und dem Widerstand der Tunnel-Barrieren ab.

Physik des SETs: Ultra-Short Course Um die Form der Kennlinien eines SETs besser zu verstehen, betrachten wir die charakteristischen Energien im einfachsten physikalischen Modell (dem sogenannten orthodoxen Modell). In diesem Modell werden sowohl Quantisierungseffekte als auch die Vielteilcheneffekte der Austausch-Wechselwirkung und Korrelation vernachlässigt. Ein System aus N Elektronen hat die Coulomb-Energie

Ucoul N

0

eN

dQ Φ Q

(1.8)

wobei Φ Q das elektrostatische Potential der Insel mit der Ladung Q unter dem Einfluss externer Gates ist: Q Cg Φ Q Vg (1.9) CΣ CΣ

1.1. QUANTEN-BAUELEMENTE

15

CΣ ist die Summe aus Gate-Kapazität und Insel-Kapazität C Σ Einsetzen erhält man

Ucoul N

eN 2 2CΣ

eN

Cg Vg CΣ

Cisland

Cg . Nach

(1.10)

Im thermodynamischen Sinne ist Ucoul N gleich der freien (Gibbs) Energie F N (im hier betrachteten orthodoxen Modell); der erste Term ist die elektrostatische Energie der Insel, der zweite Term ist die Arbeit, die die Spannungsquelle am Gate verrichtet. Die Differenz

F N

1

F N

µ N

(1.11)

heisst chemisches Potential und ist gleich der Energie, die aufgebracht werden muss, um dem (N-1)-Elektronen-System ein weiteres Elektron zuzuführen. Man erhält

1 2

e2 N CΣ

µ N

e

Cg Vg CΣ

(1.12)

¨ Die Anderung des chemischen Potentials mit der Elektronenzahl haben wir oben als Additionsenergie A bezeichnet

µ N

1

µN

e2 CΣ

A

(1.13)

Die Coulomb-Staircase der I-V-Kennlinie und die Strom-Peaks der I-V g Kennlinie kann man nun folgendermassen verstehen: I-V-Kennlinie eines SETs mit stark asymmetrischen Tunnel-Barrieren (EinzelElektron-Box): Generell kann es nur dann zum Strom kommen (Ladungsträger-Austausch zwischen Insel und Source/Drain), wenn die Wahrscheinlichkeit, dass die Insel N Elektronen enthält, gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass sie N - 1 Elektronen enthält. Die Elektronenzahl fluktuiert dann zwischen N und N - 1. Die Gleichheit dieser Wahrscheinlichkeiten führt auf die Bedingung

µ N

EF

(1.14)

wobei EF das Fermi-Niveau in Source/Drain ist. Sei EF drain 0, dann ist EF source eV . Die Gate-Spannung sei Null. Aus Eq. (1.12) und Eq. (1.14) erhält man

V N

e N CΣ

1 2

(1.15)

16

CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT

als diejenigen Spannungen, bei denen sich die Zahl der nicht-kompensierten Elektronen auf der Insel um 1 ändert. N = 1 definiert das Coulomb gap. Die Zeitkonstante des korrelierten Tunnelns wird mit steigender Spannung V V(1) kontinuierlich kleiner, was zu einem kontinuierlichen Anstieg des Stroms in diesem Spannungsbereich führt. Der Anstieg wird vom Widerstand der dicken Tunnel-Barriere bestimmt. I-Vg -Kennlinie eines SETs bei verschwindend kleiner Source-Drain-Spannung: In diesem Fall ist EF drain EF source 0 (wegen der Wahl des EnergieNullpunkts) und Eq. (1.12), Eq. (1.14) ergeben

Vg N

e N Cg

1 2

(1.16)

als diejenigen Spannungen, bei denen ein Strom-Peak auftritt. Prinzipielle und praktische Hindernisse in der Nanoelektronik - Präzision und Uniformität der Strukturen (Tunnel-Barrieren, Inseln) auf einer Skala von wenigen Nanometern für zuverlässiges und gleichartiges Verhalten einer riesigen Zahl von Bauelementen. Besonders kritisch ist die exponentielle Sensivität des Tunnelstroms bzgl. Dickenvariationen der Tunnel-Barrieren. - Hintergrund-Ladungen akkumulieren sich bevorzugt in der Nähe von QDs und SETs und können ihre Funktion völlig ausschalten. - Auswahl des Halbleiter-Materials: III-V-Heterostrukturen haben glatte und saubere Grenzflächen, aber schwache Potential-Barrieren. Die Oberflächen lassen sich nicht passivieren und sind deshalb Träger von Ladungen hoher Dichte, die die Stabilität der Bauelemente stark beeinträchtigen. SiO 2 als natürlicher Isolator auf Silizium ist eine hervorragende Barriere gegen Leckströme, ist jedoch amorph und hat deshalb eine hohe Defektdichte. - Betriebstemperatur: Für eine Anwendung von Si SETs bei Raumtemperatur müssen die Inseln Abmessungen von höchstens 10 nm haben. Heutige Quanten-Bauelemente funktionieren deshalb nur bei sehr tiefen Temperaturen. - Betriebsspannungs-Schwankungen können leicht dazu führen, dass SETs aus der “Resonanz” geraten und so unbeabsichtigt vom “on-state” in den “off-state” umschalten.

1.2. QUANTEN-TRANSPORTGLEICHUNGEN

1.2 Quanten-Transportgleichungen

17

Beispiel: Wigner-Boltzmann-Gleichung Die allgemeinste Beschreibung eines quantenmechanischen Systems erfolgt mit Hilfe der sogenannten Dichtematrix ρˆ

ψ ψ

ψ sei die Wellenfunktion eines abgeschlossenen Systems. (Zustände eines Systems, die durch Wellenfunktionen beschrieben werden können, heissen reine Zustände. Die Formulierung mittels Dichtematrix erlaubt auch die Beschreibung von gemischten Zuständen. Hier seien nur reine Zustände betrachtet.) Die triviale Zeitabhängigkeit der Wellenfunktionen gemäss Eq. (1.3) wird der Kürze halber nicht mitgeschrieben. Wendet man die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung auf die Dichtematrix an, erhält man ihre Bewegungsgleichung ∂ ρˆ ∂t

i

Hˆ ρˆ

Dabei ist a b ab ba der Kommutator. Zur sogenannten Ortsdarstellung gelangt man nach folgender Vorschrift: r2 ρˆ r1

r2 ψ ψ r1

def

ψ r 2 ψ r1

¨ Durch Ubergang zu Schwerpunktskoordinaten

r1

R

r 2

r2

R

r 2

und anschliessende Fouriertransformation bzgl. r entsteht die Wigner-Funktion (Wigner, 1932)

1 2π

fW p R t Eigenschaften:

d rψ R 3

3

r r exp ψ R 2 2

i

p r

(1.17)

1) fW ist reell fW fW , aber nicht positiv (eine Konsequenz der Heisenbergschen Unschärferelation, Wigner 1967). 2)

d pf

p R t sraum (Dichte). 3

W

ψ R t 2 ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Ort-

18

CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT

3)

d Rf 3

W 1 2π 1 2π

p R t 3 d 3 r d 3 R ψ R

r ψ R r exp 2 2

i

p r

1

2

d r d r ψ r ψ r exp p r r ψ p t ψ p t ψ p t ist die Wahrscheinlichkeitsdichte im Im

3

3

3

1

2

2

i

1

2

pulsraum. Ableitung der Bewegungsgleichung:

Wir setzen abkürzend ψ ψ R r 2 und ψ Zeitableitung der Wigner-Funktion ergibt

∂ fW p R t ∂t

1 2π

∂ψ ψ ∂t

3

d r

3

ψ R

∂ψ ψ ∂t

r 2 . Die explizite

exp

i

p r

Die Zeitableitungen auf der rechten Seite werden durch die jeweilige zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ausgedrückt, d.h.

∂ψ ∂t ∂ψ ∂t

1 i 1 i

2

2m

2

2m

∇2R ∇2R

r 2 ψ

V R

r 2 ψ

V R

Nach dem Einsetzen wird die Ableitung bzgl. R auf eine Ableitung bzgl. r umgewälzt, z.B.

∇2R ψ ψ

4 ∇2r ψ ψ und eine partielle Integration nach r durchgeführt. Dabei verschwinden die Terme im Unendlichen wegen der Annahme, dass die Wellenfunktionen dort Null sind und es bleibt i ∂ 1 2i 3 fW p R t ∇r ψ ∇r ψ e p r d r 3 ∂t 2π m i i 2i i ∇r ψ ∇r ψ e p r V V ψ ψ e p r m

Werden nun die Ableitungen bzgl. r ausgeführt und kehrt man danach wieder zur Ableitung nach R zurück, folgt

∂ fW p R t ∂t

p ∇R fW p R t m i 1 d 3 r V V 3 2π

ψ ψ e

i

p r

1.2. QUANTEN-TRANSPORTGLEICHUNGEN

19

Um den letzten Term durch die Wigner-Funktion selbst ausdrücken zu können, wird das Potential V R r 2 in eine Taylor-Reihe bzgl. r entwickelt:

r 2

V R

λ λ λ R r1 1 r2 2 r3 3 ∂Rλ1 ∂Rλ2 ∂Rλ3 λ1 !λ2 !λ3 !

∂ λ1

∑ λ

λ2 λ3 V

1

2

1 2

3

λ1 λ2 λ3

(1.18)

V in der Bewegungsgleichung bleiben nur Glieder Wegen der Differenz V übrig, für die 1λ λ2 λ 3 ungerade ist. Beschr¨ ankt man sich auf die ersten beiden Terme, also auf λ1 λ2 λ3 1 und λ1 λ2 λ3 3, folgt

V

V

∇ RV

R r

1 4λ

1

∑

λ2 λ3 3

λ λ λ R r1 1 r2 2 r3 3 ∂Rλ1 ∂Rλ2 ∂Rλ3 λ1 !λ2 !λ3 !

∂ λ1

λ2 λ3 V

1

2

3

Nach Einsetzen in die Bewegungsgleichung und Generierung der Komponenten von r durch partielle Ableitung nach den Komponenten des Impulses p entsteht die endgültige Form der Wigner-Boltzmann-Gleichung mit erstem nichtverschwindenden Quanten-Korrekturterm:

∂ ∂t

2

4

p ∇R m

∇RV R ∇p fW p R t

∂3V R

∑

λ1 λ2 λ3 λ1 λ2 λ3 3 ∂R1 ∂R2 ∂R3

(1.19)

1 ∂3 fW p R t λ1 !λ2 !λ3 ! ∂pλ1 ∂pλ2 ∂pλ3 1 2 3

0

Die niedrigste Quantenkorrektur ist 2 und verschwindet für Potentiale, die höchstens quadratisch von den Koordinaten abhängen (harmonische Potentiale). In diesem Fall reproduziert sich die klassische, stossfreie Liouville-Gleichung. Symbolisch schreibt man dafür

∂ ∂t

v

∂R∂ F ∂p∂

f

0

(1.20)

Der zweite Term beschreibt Diffusionsprozesse, der dritte Driftprozesse. Die rechte Seite ist Null wegen der Voraussetzung der Stossfreiheit (abgeschlossenes System). Das Auftreten eines Terms mit dritter Ableitung nach den Koordinaten in der Wigner-Boltzmann-Gleichung ist Ausdruck der Nicht-Lokalität der Quantenmechanik.

20

CHAPTER 1. QUANTEN-TRANSPORT

PSfrag replacements Free energy F Charge Q Gate voltage Vg Vg

N

Vg

N

Vg

N

Vg

N

1 Ceg 3 e 4 Cg 1 e 2 Cg 1 e 4 Cg

N

1e Ne 0 EF µN

EF

e

Freie Energie als Funktion der Ladung auf der Insel für vier verschiedene GateSpannungen (oben). Bei Vg N 1 2 e Cg existieren zum selben Wert der freien Energie zwei Ladungszustände (Entartung). Es kann ein Strom fliessen. In dieser Situation ist das chemische Potential µ N gleich dem äusseren Fermi-Niveau (unten).

1.2. QUANTEN-TRANSPORTGLEICHUNGEN

21

(a)

vertdotall.epsi 133 111 mm

(c)

a) Schematische Darstellung eines vertikalen QDs mit unterschiedlichen Barrieren. b) Energie-Quantisierung und Vielteilcheneffekte bestimmen wesentlich die Kennlinien. Man erkennt an der I-Vg -Kennlinie die Schalenstruktur des Energiespektrums, ¨ die Ahnlichkeit mit der eines zweidimensionalen harmonischen Oszillators aufweist. Gefüllte Schalen gibt es zu den Elektronenzahlen N 2 6 12. c) Coulomb staircase (I-V-Kennlinie).

2 Boltzmann-Gleichung 2.1 “Ableitung”

dz

out

in dx x

dy x + dx

Streuung streuung.epsi 114 89 mm

dvz dvx

vz

dvy

v

v’ vy

vx

Ziel ist die Aufstellung einer Bilanzgleichung im Phasenraum (drei Ortskoordinaten x, y und z, drei Geschwindigkeitskoordinaten vx , vy und vz ) für die Zahl der Elektronen (Löcher, allgemein: Teilchen), die sich zur Zeit t im Raumelement d3 r am Ort r und im Geschwindigkeitselement d 3 v zur Geschwindigkeit v befinden. 22

2.1. “ABLEITUNG”

23

Diese Zahl bezeichnen wir mit

f r v t d 3r d 3 v

(2.1)

f r v t ist die klassische Verteilungsfunktion, d.h. Ort und Impuls sind gleichzeitig scharf messbar. Die Teilchen bewegen sich auf klassischen Trajektorien. Bilanz im Ortsraum: Die Zahl der Elektronen, die in den infinitesimalen Würfel mit den Kantenlängen dx, dy, dz in x-Richtung an der Stelle x im Zeitintervall dt hineinfliegen (“in”) und an der Stelle x dx in diesem Zeitintervall wieder herausfliegen (“out”), ist

f r v t d 3 v vx dt dy dz

in :

f x

out :

dx y z v t d v vx dt dy dz

3

weil sie in dt die Strecke dx vx dt zurücklegen. Der Netto-Zuwachs an Elektronen am Ort r ist dann gleich in out, d.h.

vx f x dx y z v t ∂f vx d 3 v d 3 r dt ∂x v ∇r f d 3 v d 3 r dt

oder in 3D :

f r v t d 3 v dy dz dt

(2.2)

In analoger Weise betrachtet man die Bilanz im Geschwindigkeitsraum: Man erhält einen Netto-Zuwachs an Elektronen mit der Geschwindigkeit v

oder in 3D :

v˙x f r vx dvx vy vz t ∂f 3 3 v˙x d v d r dt ∂vx v˙ ∇v f d 3 v d 3 r dt

f r v t d 3 r dvy dvz dt

(2.3)

Die Elektronen werden im Zeitintervall dt unter dem Einfluss eines äusseren Feldes beschleunigt und ändern ihre Geschwindigkeit von v nach v dv. Nach Newton gilt v˙

F0 m

eE m

(2.4)

wobei F0 die einwirkende Kraft ist, die im Falle eines elektrischen Feldes E den Wert eE hat. Die Zahl der Elektronen mit der Geschwindigkeit v am Ort r kann aber auch auf andere Art geändert werden. Die Elektronen werden gestreut und

24

CHAPTER 2. BOLTZMANN-GLEICHUNG

ändern dadurch ihre Geschwindigkeit am Ort r von v nach v (wenn sie aus dem Geschwindigkeitswürfel bei v herausgestreut werden), bzw. von v nach v (wenn sie hineingestreut werden). Man erhält in :

∑ S v v v

∑ S v v

out :

v

f r v t d 3 r d 3 v dt

(2.5)

f r v t d 3 r d 3 v dt

(2.6)

¨ für die Anderung der Elektronenzahl im Zeitintervall dt infolge von Stössen. v (DimenDabei ist S v v die Streuwahrscheinlichkeit für die Streuung v sion: s 1 ). S ist also ein Mass für die Häufigkeit der Streuung. Alles zusammen, d.h. die Ausdrücke (2.2), (2.3), (2.5) und (2.6), ergeben die ¨ explizite zeitliche Anderung der Elektronenzahl im Phasenraumelement d 3 r d 3 v während des Zeitintervalls dt, also ∂t∂ f r v t d 3 r d 3 v dt

∂ ∂t

v ∇r

F0 ∇v f r v t m ∑ S v v f r v t v

S v v f r v t

(2.7)

(Ludwig Boltzmann, 1872). Die Boltzmann-Gleichung (BG) ist eine komplizierte Integro-Differentialgleichung. Die “Ableitung” zeigt, dass man implizit räumliche und zeitliche Lokalität annimmt. Zeitliche Lokalität bedeutet, dass die Stösse instantan sind, räumliche Lokalität bedeutet, dass die Stösse auf einer Ausdehnung der Länge Null stattfinden. In sehr grossen elektrischen Feldern ( 107 V cm) sind diese Annahmen nicht mehr gerechtfertigt (intra-collisional field effect). In der Bauelemente-Modellierung werden folgende Erweiterungen gemacht:

∇k E k

- Die Geschwindigkeit wird als Gruppengeschwindigkeit v standen.

ver-

- E k ist durch die realistische Bandstruktur des Halbleiters gegeben.

- Für die Streuwahrscheinlichkeiten S v v der einzelnen Streuprozesse wer¨ den die quantenmechanischen Ubergangswahrscheinlichkeiten pro Zeiteinheit verwendet.

- Im Stossterm der BG (rechte Seite) wird f r v t 1 f r v t f r v t und f r v t 1 f r v t f r v t ersetzt. Damit wird das PauliPrinzip berücksichtigt, d.h. die Endzustände dürfen beim Stossprozess nicht besetzt sein (Fermi-Statistik).

¨ 2.2. METHODEN DER DIREKTEN LOSUNG

25

2.2 Methoden der direkten L¨ osung 2.2.1 Relaxationszeit-Näherung - Die Streuwahrscheinlichkeit in allen S sei gerade GeschwindigkeitsS v v S v v S v v . (Gilt nicht komponenten: S v v für alle Streuprozesse und für bestimmte nur näherungsweise.) - Man zerlegt die Verteilungsfunktion f in einen geraden Anteil f ungeraden Anteil f 1 f

0

f

f

1

mit

0

f f

1

v

0

f

v

f

1

v

v

∑ v

0

r v t

S v v f

0

S v v f

r v t

Der Term mit f 1 r v t verschwindet, weil f gerade Funktion in der Geschwindigkeit v ist.

1

und einen

- Einsetzen in den Stossterm der BG ergibt S v v f

0

1

r v t

eine ungerade und S eine

- Im thermodynamischen Gleichgewicht ist f 0 die GleichgewichtsVerteilungsfunktion (Maxwell-Boltzmann-Verteilung). Die eckige Klammer verschwindet dann wegen des Prinzips der detaillierten Balance (Zahl der herausgestreuten gleich Zahl der hineingestreuten Teilchen). - Definition totale (mikroskopische) Relaxationszeit:

1

τtot v

∑ S v v v

- Damit wird der Stossterm symbolisch

∂f 0 ∂t

f

coll

1

τtot v

Beispiel: Stationäre, homogene BG, linearisiert im elektrischen Feld E Ist das elektrische Feld E hinreichend schwach, kann man die BG in E lin 0 earisieren, d.h. f ist dann identisch mit der Gleichgewichts-Verteilung und

26

CHAPTER 2. BOLTZMANN-GLEICHUNG

f 1 hängt nur linear von E ab. Beschränkt man sich weiter auf den räumlich und zeitlich homogenen Fall, reduziert sich die BG auf

eE ∇v f m

0

f 1 v τtot v

v

(2.8)

Zur weiteren Vereinfachung ersetzen wir τtot v durch eine Konstante τtot und führen die Grösse Beweglichkeit µ eτ ur die Stromdichte der Elektot m ein. F¨ tronen folgt jn

ev

e ∑ f v v v

e∑ f v

1

v v

eµ ∑ v E ∇v f v

0

v

Nach partieller Integration erhält man eµ ∑ f v

jn

0

v E

eµ n E

σn E

(2.9)

also das Ohmsche Gesetz. Dazu wurde die Definition der Elektronendichte n ∑v f 0 v und der Leitfähigkeit σn eµ n benutzt. 2.2.2 Monte-Carlo-Methode - Man verfolgt Trajektorien der einzelnen Elektronen und lässt sie nach dem Zufallsprinzip streuen. - Alle zu betrachtenden Streumechanismen (Phononen, Störstellen, ...) werden durchindiziert. Die Streurate des α-ten Mechanismus ist

∑ Sα v v

def

v

1 τα v

- Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron bis zur Zeit t + dt nicht gestreut wurde, ist

Pt

dt

P t P dt

P t 1

dt ∑ S v v v

(dt ∑v S v v dt ∑α τα 1 v ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron im Zeitintervall dt gestreut wurde.)

¨ 2.2. METHODEN DER DIREKTEN LOSUNG

27

a)

x(t)

〈x〉

c)

y

trajectory

t trajectory.ID.epsi 111 78 mm

b)

v(t)

x

〈v〉 t

Schematische Darstellung der stochastischen Bewegung eines Elektrons im Falle reiner Diffusion (kein Feld). a) x t -Diagramm. b) v t -Diagramm: Nach jedem Stoss hat die Geschwindigkeit einen neuen, konstanten Wert. c) Trajektorie in der x-y-Ebene.

- Daraus folgt die Differentialgleichung

dP dt

P ∑ S v v v

mit der Lösung (man beachte, dass P(0) = 1)

P t

t

exp

dt 0

∑ S v v

im Intervall 0 t

v

(2.10)

Die Zeit t ist also gleich der freien Flugzeit t f vom Anfangszeitpunkt t 0 an gerechnet. P nimmt Werte zwischen 0 und 1 an, ist also eine echte Wahrscheinlichkeit. Sie kann durch Zufallszahlen r f zwischen 0 und 1 beschrieben werden. - Auf diese Weise kann die zufällige freie Flugzeit t f eines Elektrons aus tf

dt 0

1

τtot v t

ln r f

(2.11)

28

CHAPTER 2. BOLTZMANN-GLEICHUNG

berechnet werden. Die numerische Auflösung dieser Gleichung nach der oberen Integrationsgrenze t f verbietet sich jedoch geradezu wegen der kom plizierten Gestalt von τtot v t . Deshalb führt man eine fiktive Selbst Streuung

S f ict v v

Γ

S f ict v

Γ

δvv

∑ S v v v 1

τtot v

0

ein, die wegen δvv offenbar den Zustand des Elektrons nicht verändert (daher der merkwürdige Name “Selbst-Streuung”). Das Hinzufügen von Sf ict zur BG hat keine Wirkung, da sich in-scattering- und out-scattering-Term kompensieren. Der Sinn der Einführung von Sf ict wird sofort deutlich: Die 1 v S f ict v Γ const und GleGesamt-Streurate ist nun nämlich τtot ichung (2.11) für die freie Flugzeit vereinfacht sich zu ln r f Γ d.h. der numerische Aufwand reduziert sich auf die Berechnung des Logarithmus der Zufallszahl. In der Praxis nimmt man für Γ die obere Grenze der Streurate aller realen Prozesse. tf

- Nach der Zeit t f wird das Elektron gestreut. Es muss ein bestimmter Streumechanismus ausgewürfelt werden. Der α-te Mechanismus (inclusive der Selbst-Streuung) wird mit Hilfe der Zufallszahl rs über die Ungleichung

1 ∑ τj

α 1

rs Γ

j 1

α

1

∑ τj

bestimmt. Veranschaulichung: zB α

2 iv

wenn

(2.12)

j 1

1 τac

rs Γ

1 τac

1 τiv

Um so stärker ein bestimmter Streumechanismus, um so grösser 1 ατ und um so grösser die Wahrscheinlichkeit, dass er ausgewürfelt wird. Die ganze Physik wird also in die Wichtung gesteckt. - Der Endzustand nach der Streuung (v ) muss unter den Restriktionen der Energie- und Impulserhaltung für das Gesamtsystem der Stosspartner ausgewählt werden. Wenn eine Hyperfläche existiert, muss der konkrete vVektor ausgewürfelt werden, z.B. im Falle der elastischen Streuung ( v

¨ 2.2. METHODEN DER DIREKTEN LOSUNG j= Type =

1 ac

Rate =

τ ac

1

2 iv 1

29 3 imp

τ iv

1

streumech.ID.epsi τ imp 100 33 mm

4 ee

5 self-scatt.

1

Sfict

τ ee

Γ

0 rs Γ

v ) der Elektronen in Silizium ein bestimmtes Tal und ein bestimmter

Winkel:

v endzustand.ID.epsi 61 58 mm

v’

- Die makroskopischen Grössen, wie mittlere Driftgeschwindigkeit, Stromdichte, Elektronentemperatur, ... werden nach gewissen (Beobachtungs-) Zeitintervallen ∆t durch Ensemble-Mittelung bestimmt.

30

CHAPTER 2. BOLTZMANN-GLEICHUNG

mc-flow.epsi 132 162 mm

Fluss-Diagramm einer Monte-Carlo-Simulation für den Fall eines homogenen Halbleiters.

3

Momenten-Methode

3.1 Hydrodynamische Transportgleichungen, Drift-DiffusionsModell Ziel ist die Ableitung von kinetischen Gleichungen für Mittelwerte einer Funktion Φ v Φ

d v Φ v f r v t d v f r v t 3

1 n r t

3

d3v Φ v f r v t

(3.1)

aus der Boltzmann-Gleichung.1 Dabei geht ein beträchtlicher Teil an Information verloren (nämlich der über die Geschwindigkeiten der einzelnen Teilchen), aber die Gleichungen werden einfacher und numerisch schneller lösbar. Φ bleibt natürlich eine Funktion von r und t, was wir nicht explizit mitschreiben. Wir betrachten jetzt das Produkt aus Dichte n r t und dem Mittelwert Φ und leiten dieses Produkt explizit nach der Zeit ab:

∂ nΦ ∂t

∂ ∂t

d3v Φ v f r v t

d3v Φ v

∂ f r v t ∂t

Für ∂ f ∂t setzen wir die Boltzmann-Gleichung (2.7) ein, wobei wir den länglichen Stossterm mit der Bezeichnung ∂ f ∂t coll abkürzen: ∂ nΦ ∂t

d v Φ v 3

∇r

d3v Φ v v f

v ∇r f F0 m

F0 ∇v f m

d 3 v Φ v ∇v f

∂f ∂t ∂ ∂t

coll

d3v Φ f coll

Um alle Terme auf der rechten Seite wieder durch Mittelwerte ausdrücken zu können, darf keine Ableitung von f unter dem Integral stehen. Im zweiten Term 1 Diese

Ableitung folgt der von K. Bløtekjær (IEEE TED 17, 38 (1970)) vorgeschlagenen Methode.

31

32

CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE

muss daher eine partielle Integration durchgeführt werden

d 3 v Φ v ∇v f (man beachte, dass f für v des Mittelwerts (3.1), folgt ∂ nΦ ∂t

∇r

∞ verschwindet). Benutzt man jetzt die Definition

n vΦ

F0 n m

∇v Φ

was man in verallgemeinerter Form als ∂ nΦ ∂t

d 3 v ∇v Φ v f

∇r j Φ

nF Φ

∂ nΦ ∂t

∂ nΦ ∂t

(3.2)

coll

(3.3) coll

schreiben kann. Diese Gleichung ist eine Bilanzgleichung für die verallgemein¨ ist mit der Divergenz einer erte Dichte n Φ . Ihre explizite zeitliche Anderung n v Φ und dem Auftreten einer verallgeverallgemeinerten Stromdichte j Φ meinerten treibenden Kraft F Φ F0 ∇vΦ m verknüpft. Wählt man Φ v speziell als Potenz der Geschwindigkeit, d.h. vm , erhält man eine Hierarchie von Erhaltungssätzen für Teilchendichte (m=0), TeilchenStromdichte (m=1), Energiedichte (m=2) und Energie-Stromdichte (m=3). Man nennt n vm das m-te Moment von v und die entsprechende Gleichung dafür das m-te Moment der Boltzmann-Gleichung. Sprechen von jetzt ab wieder von Elektronen (Index n).

m=0 Φ

v0

1

j

Φ

n v

jn e

FΦ

0

Einsetzen in Gleichung (3.3) liefert den Erhaltungssatz für die Elektronendichte n (Kontinuitäts-Gleichung): ∂n ∂t

1 ∇r jn e

(jn ist die elektrische Stromdichte).

∂n ∂t

coll

(3.4)

3.1. HYDRODYNAMISCHE TRANSPORTGLEICHUNGEN, DRIFT-DIFFUSIONS-MODELL

33

m=1 Betrachten zunächst nur die x-Komponente von v.

Φ

v1x

vx

jΦ

n v vx

FΦ

F0 x mn

Um ∇r j Φ zu berechnen, zerlegen wir die Geschwindigkeit in die Summe aus Mittelwert und Abweichung vom Mittelwert:

v

v

δv

Offenbar gilt δv 0. Der erste Term ist die mittlere Driftgeschwindigkeit, der zweite Term beschreibt die zufälligen Fluktuationen der ElektronenGeschwindigkeit um diesen Wert herum. Man könnte auch sagen, δv ist ein Mass für die chaotische Bewegung. Die Zerlegung führt auf

jΦ

n v vx

n v vx

n

v

δv

n δv δvx

vx

δvx

(3.5)

Bei der Anwendung der Divergenz muss man beachten, dass sämtliche Mittelwerte Funktionen von r sind. Auf den ersten Term wird die Produktregel bzgl. der Faktoren n v und vx angewendet:

n v

∇r j Φ

vx ∇r

n v ∇r vx

∇r

n δvδv

x

Geht man jetzt zum Vektor v über, erhält man für das 1. Moment der BG ∂ nv ∂t F0 n mn

n v

v ∇r

∂ nv ∂t

n v ∇r v

∇r

n δv

δv

(3.6)

coll

Wir definieren jetzt die mittlere Elektronen-Temperatur (am Ort r) über die mittlere kinetische Energie der chaotischen Bewegung: 1 ˆ k B Tn 2

mn δv 2

δv

(3.7)

ˆ n ist der Temperatur-Tensor, kB die Boltzmann-Konstante. Multipliziert man T Gleichung (3.6) noch mit der Ladung des Elektrons (-e), folgt der Erhaltungssatz für die Elektronen-Stromdichte ∂ j ∂t n

v ∇r jn

j

n

∇ r

v

e ˆn ∇r nkB T mn

e2 E n mn

∂jn ∂t

coll

(3.8)

34

CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE

m=2 Berechnen zuerst den Mittelwert Φ für diesen Fall.

δv

v2 v

mn δv

δv ist der letzte Term

Wegen kB Tˆ n

Φ Φ

2

v

δv 2

2

v

2

2 v δv

δv 2

δv 2

1 Sp kB Tˆ n mn

wobei Sp die Spur des Tensors bedeutet (Summe der Diagonalelemente der “Matrix”). Die mittlere Energie der Elektronen wird als Summe aus einem Driftanteil und einem Wärmeanteil geschrieben: wn

mn v 2

2

1 Sp kB Tˆ n 2

(3.9)

Wir erhalten also für Φ im Falle m = 2:

Φ

2 wn mn

Für die verallgemeinerte Stromdichte ergibt sich jΦ

n v v2

n v

n

v

δv

v

2

2 v δv

v δv 2 2 v δv 2 mn 2 mn nv v δv 2 mn 2 2 2 1 nv wn Sp kB Tˆ n mn 2 3

n δv δv 2 2 nv wn mn

kB Tˆ n

δv

δv 2

δv δv 2

mn δv

δv

1 Sp kB Tˆ n 2

n δv δv 2

n δv δv 2

ˆ n kB T

(3.10)

Der letzte Term ist ein Term dritter Ordnung in der Geschwindigkeit, dessen Berechnung nur mit Hilfe des 3. Moments der BG erfolgen kann. Wir wollen die Hierarchie jedoch bei m = 2 abbrechen. Dazu muss der Term dritter Ordnung durch Grössen niedrigerer Ordnung ausgedrückt werden. Physikalisch beschreibt

3.1. HYDRODYNAMISCHE TRANSPORTGLEICHUNGEN, DRIFT-DIFFUSIONS-MODELL

35

dieser Term offenbar den chaotischen (diffusiven) Transport von Wärme. Man macht deshalb den phänomenologischen Ansatz Qn

mn n δv δv 2 2

!

κn ∇r Tn

(3.11)

und nennt Qn die konduktive Wärme-Stromdichte, sowie κn die thermische ˆ Leitfähigkeit der Elektronen. Dabei ist Tn Sp Tn 3. Man darf die thermische Leitfähigkeit der Elektronen nicht mit der thermischen Leitfähigkeit des Halbleiters verwechseln. Letztere tritt in der Wärmeleitungs-Gleichung für das Gitter auf und ist um Grössenordnungen grösser als κ n (d.h., das Elektronengas ist ein schlechter Wärmeleiter). Anwendung der Divergenz auf j Φ ergibt dann

∇r j Φ

2 ∇r mn

vu n

n kB Tˆ n v

Qn

mit der Definition für die Energiedichte un n wn . Das 2. Moment der BG kann man nun hinschreiben. Es liefert den Erhaltungssatz für die Energiedichte der Elektronen.

mit der Energie-Stromdichte Sn

v un

∂ un ∇r Sn ∂t

∂un ∂t

jn E

nkB Tˆ n v

(3.12)

coll

Qn

(3.13)

Sie setzt sich aus einem konduktiven Anteil (Qn ) und einem konvektiven Anteil zusammen. Letzteren erkennt man daran, dass er proportional zu n v ist, also zur elektrischen Stromdichte jn . Die Elektronen tragen bei ihrer gerichteten Bewegung Energie mit sich, und zwar ihre mittlere Energie wn und Wärme-Energie kB Tn . Der dritte Term auf der linken Seite von Gleichung (3.12) ist die bekannte Joulesche Wärme.

Behandlung der Stossterme Der Stossterm in seiner allgemeinen Form wird geschrieben als

∂ nΦ ∂t

coll

∂Φ n ∂t

coll

Φ

∂n ∂t

coll

(3.14)

Der erste Anteil beschreibt Stösse, bei denen die Elektronen in den Leitungsbändern verbleiben (Intra-Term), der zweite beschreibt Stösse, die ¨ zu einer expliziten Anderung der Elektronenzahl in den Leitungsbändern führen

36

CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE

(Inter-Term oder Generations-Rekombinations-Term). Die explizite zeitliche ¨ Anderung von n durch Stösse ist gleich der Netto-Generationsrate G R:

∂n ∂t

G

R

coll

Für den Intra-Term machen wir die Relaxationszeit-Näherung:

n

∂Φ ∂t

Φ

n

Φ

τΦ

coll

eq

Hier bezeichnet τ Φ eine makroskopische Relaxationszeit, die ein Mass dafür ist, wie schnell das System der Elektronen in den Gleichgewichts-Zustand Φ eq zurückkehrt, wenn es im Nichtgleichgewichts-Zustand Φ war. Das Ergebnis für die ersten drei Momente lautet:

m m

∂ nΦ G R ∂t coll ∂ v 1: n v G R nΦ ∂t τp n coll wn wn eq mn ∂ 2: nΦ n 2 ∂t τE n coll 0:

da v

m

da Φ

wn G

R

1

eq

0

τ p n heisst Impuls-Relaxationszeit (der Elektronen), τE n heisst EnergieRelaxationszeit (der Elektronen). Die mittlere Energie eines Elektrons im thermodynamischen Gleichgewicht ist natürlich wn eq 3kB TL 2 mit der Gittertemperatur TL . (Thermische Energie pro Freiheitsgrad kB TL 2.) Im Gleichgewicht sind die Elektronen thermalisiert und haben die Temperatur des Kristallgitters.

Hydrodynamisches Modell Die endgültige Form des hydrodynamischen Transport-Modells folgt unter Benutzung folgender Relationen. µn

e τp n mn

(3.15)

kB Tn µn e

(3.16)

µn ist die Beweglichkeit der Elektronen. Dn

3.1. HYDRODYNAMISCHE TRANSPORTGLEICHUNGEN, DRIFT-DIFFUSIONS-MODELL

37

heisst Einstein-Relation zwischen Diffusions-Koeffizient und Beweglichkeit.

E r

∇r ϕ r

(3.17)

ist die Beziehung zwischen elektrischer Feldstärke und elektrostatischem Potential ϕ r . Alle Ladungen im Bauelement erzeugen ein D-Feld, das Lösung der makroskopischen Maxwell-Gleichung

1 ρ r ε0

∇r D r

(3.18)

¨ ist. In dieser Gleichung ist ρ r die lokale Dichte sämtlicher “Uberschuss”ladungen, d.h.

ρ r

e n r

p r

ND r

NA r

(3.19)

ionisierter Donatoren ND r , und der mit der Löcherdichte p r , der Dichte Dichte ionisierter Akzeptoren NA r . Elektrisches Feld und D-Feld sind über die statische Dielektrizitätskonstante εs miteinander verknüpft:

D r

εs E r

(3.20)

wobei εs im allgemeinen Falle ein Tensor ist (wovon wir absehen wollen). Kombination der letzten drei Gleichungen führt auf die Poisson-Gleichung, die zu jedem Transport-Modell dazugehört:

∇r ε0 εs ∇r ϕ r

e n r

p r

ND r

NA r

(3.21)

Der Temperatur-Tensor Tˆ n wird noch wie folgt vereinfacht: ˆn T

Tn Iˆ

mit dem Einheits-Tensor Iˆ und der skalaren (ortsabhängigen) ElektronenTemperatur Tn . Wir setzen das 1. Moment des Stossterms in das 1. Moment der BG ein, gehen zur skalaren Temperatur Tn über und benutzen die Definition der Beweglichkeit. ∂ j ∂t n

v ∇r jn

j

n

∇ r

jn τp n

v

µn ∇r nkB Tn τp n

ev G

R

en

µn E τp n (3.22)

38

CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE

Nun ist ∂ e nv ∂t

∂ j ∂t n en

∂ v ∂t

e n

v

v ∇r jn

∂v ∂t

∂n ∂t

R

ev G

Im letzten Schritt wurde die Kontinuitäts-Gleichung (3.4) für ∂n ∂t eingesetzt. Man sieht, dass die beiden letzten Terme zwei identische Terme in (3.22) kompensieren. Es bleibt en

∂ v ∂t

j

n

∇

v

r

µn ∇r nkB Tn τp n

en

jn τp n

µn E τp n

Multipliziert man die letzte Gleichung mit τ p n , wendet die Produktregel bzgl. ∇r nkB Tn an, benutzt die Einstein-Relation im ∇r n-Term, ersetzt die Feldstärke durch den Gradienten des elektrostatischen Potentials und drückt v wieder durch jn aus, folgt

jn

∂ nτ p n ∂t

τp n j ∇r e n

jn n

jn n

kB Tn e

eµn n∇r ϕ

eDn ∇r n

(3.23) Zusammenfassend seien alle Gleichungen des hydrodynamischen TransportModells noch einmal aufgeführt:

∇r ε0 εs ∇r ϕ ∂n ∂t

∂ n wn ∇r Sn jn E ∂t τp n ∂ jn jn nτ p n j ∇r ∂t n e n

Sn

Qn

e n

G

R

τE n

jn n

(3.24) (3.25)

wn G

eµn n∇r ϕ

3kB TL 2

1 wn e

NA

ND

1 ∇r jn e wn n

p

kB Tn e

R

eDn ∇r n

(3.26)

(3.27) kB Tn jn

(3.28)

Da wir nur die Elektronen behandelt haben, kommen jetzt noch die entsprechenden Bilanz-Gleichungen für die Löcher hinzu. Man bekommt sie einfach durch die Ersetzungen n p, e e und Vertauschung der Indizes n p . Der Term, der

3.1. HYDRODYNAMISCHE TRANSPORTGLEICHUNGEN, DRIFT-DIFFUSIONS-MODELL

39

beide Teilchensorten am stärksten koppelt, ist der Generations-Rekombinations Term G R , aber auch die Beweglichkeiten µn , µ p sind von der ElektronLoch-Streuung beeinflusst. Dass man überhaupt separate Momentengleichungen für Elektronen einerseits und Löcher andererseits betrachten darf, setzt voraus, dass beide Ladungsträgersorten nur hinreichend schwach gekoppelt sein dürfen. Dazu muss die Relaxation innerhalb der Subsysteme viel schneller ablaufen als Interband-Prozesse. Unter “normalen” Betriebsbedingungen ist dies der Fall. Die Variablen des hydrodynamischen Transport-Modells sind ϕ, n, p, w n und w p . Alle sind Funktionen von r und t. Die Poisson-Gleichung ist stark nicht-linear, da die Dichten exponentiell vom elektrostatischen Potential ϕ abhängen. Die Gleichungen für jn p und Sn p nennt man konstituierende Gleichungen. Alle Gleichungen sind untereinander stark gekoppelt. Besondere numerische Probleme bereiten die Terme, die quadratisch in jn p sind. Die Gleichungen sind durch Randbedingungen zu komplettieren. Man unterscheidet künstliche und natürliche Randbedingungen. Erstere sind erforderlich, weil das Simulationsgebiet immer nur einen Teil des gesamten Bauelements umfasst. Sie müssen so formuliert werden, dass sie keinen Einfluss auf die berechneten Kennlinien haben. Natürliche Randbedingungen braucht man an äusseren und inneren Grenzflächen, an den Grenzen zu Metall-Kontakten und zu GateOxiden. Diese Randbedingungen werden selbst oft als physikalische Modelle formuliert. In den Gleichungen treten eine Reihe von Transport-Koeffizienten auf. Für diese braucht man physikalische Modelle als Funktion der Betriebsbedingungen (Temperatur, Dotierung, ...). Diese Modelle müssen die Physik möglichst gut beschreiben, andererseits aber auch analytisch möglichst einfach sein, um keine numerischen Probleme zu erzeugen. Konkret benötigt man Modelle für die Abhängigkeit der Dichten n und p vom Potential ϕ (Poisson-Gleichung), weil in diese Beziehung (direkt oder indirekt) die Energielücke eingeht. Die Energielücke hängt von der Gittertemperatur, der Dotierung und den Dichten selbst ab.

den Ionisationsgrad der Dotierung NA ND . Nicht alle elektrisch aktivierbaren (d.h. substitutionell eingebauten) Dotieratome sind auch ionisiert. Der Ionisationsgrad hängt von der Dotierungs-Konzentration und der Gittertemperatur ab. Er kann sogar eine explizite Funktion der Zeit sein (dynamische Umladungsprozesse). die Generations-Rekombinations-Raten. Beispiele sind die ShockleyRead-Hall-Rekombination, Stossionisation, Interband-Tunneln, AugerRekombination und defekt-assistiertes Tunneln. die Beweglichkeiten µn , µ p als die entscheidenden Transport-Parameter

40

CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE

für MOSFET-Kennlinien. Sie sind Funktionen der Gittertemperatur, der Dotierung, der Feldstärke in Stromrichtung und in MOSFETs auch Funktionen der Feldstärke senkrecht zur Si-SiO2 -Grenzfläche. die Impuls- und Energie-Relaxationszeiten. die thermischen Leitfähigkeiten der Elektronen und Löcher.

etemp-hyd.epsi 103 66 mm

T-e K +5.496e+03 +4.196e+03 +2.897e+03 +1.597e+03 +2.971e+02

Verteilung der Elektronen-Temperatur in einem 0.25µm-MOSFET bei 2 V SourceDrain-Spannung und 1.5 V Gate-Spannung. Simulation im Energie-Balance-Modell.

Energie-Balance-Modell Für praktische Anwendungen wird das hydrodynamische Transport-Modell weiter vereinfacht. Man macht folgende Näherungen: j nτ p n ∂t∂ nn 0

τp n e ∂ ∂t

jn ∇r

n wn

jn

n

0

0

mn 3 3 2 wn 2 v 2 kB Tn 2 kB Tn Damit reduziert sich das Transport-Modell zum sogenannten Energie-BalanceModell. Anstelle der Gleichungen (3.26), (3.27) und (3.28) erhält man 3nkB 3 k T G R ∇r Sn jn E Tn TL (3.29) B n 2τE n 2

3.1. HYDRODYNAMISCHE TRANSPORTGLEICHUNGEN, DRIFT-DIFFUSIONS-MODELL

41

kB Tn eDn ∇r n e 5kB Tn jn κn ∇r Tn 2e

eµn n∇r ϕ

jn

Sn

(3.30) (3.31)

Die System-Variablen sind ϕ, n, p, Tn und Tp . In allen Fällen, in denen man Effekte heisser Ladungsträger vernachlässigen kann, setzt man nT Tp TL , und Gleichung (3.30) reduziert sich auf die sogenannte Drift-Diffusions-Gleichung eµn n∇r ϕ

jn

eDn ∇r n

(3.32)

Zusammen mit Poisson- und Kontinuitäts-Gleichung ergibt (3.32) das DriftDiffusions-Modell. Der Name weist natürlich auf die beiden Bestandteile “Drift” und “Diffusion” in (3.32) hin. Die Näherungen, die vom hydrodynamischen Transport-Modell zum EnergieBalance-Modell führen, bedürfen noch einer physikalischen Interpretation. Die beiden vernachlässigten Terme in der Stromdichte-Gleichung muss man gegen jn selbst abschätzen (erster Term). Betrachtet man nur die Beträge und geht zu Differenzen über, folgt ∆ v ∆t

v

und

τp n

∆ v ∆r

1 τp n

(3.33)

¨ Die erste Bedingung bedeutet, dass von aussen induzierte zeitliche Anderungen von v klein sein müssen gegen die totale Streurate. (Die mittlere Driftgeschwindigkeit relaxiert sehr schnell auf einer Zeitskala, die z.B. durch Schaltvorgänge gegeben ist.) Ein typischer Wert von τp n ist 10 13 s. Damit wäre eine Picosekunde etwa die untere Grenze für die Zeitkonstante äusserer Störungen. ¨ Die zweite Bedingung bedeutet, dass die örtliche Anderung von v klein sein muss gegen die totale Streurate. Nimmt man für ∆ v die SättigungsDriftgeschwindigkeit der Elektronen in Silizium bei Raumtemperatur v n sat 107 cm s, ergibt sich als Bedingung ∆r 10 nm. Diese Bedingung ist in KurzKanal-MOSFETs bereits verletzt. Die Vernachlässigung der expliziten Zeitableitung der Energiedichte ist dann gerechtfertigt, wenn

∆un ∆t

un τE n

(3.34)

angenommen werden kann, d.h. die Energie-Relaxationszeit muss immer noch klein gegen die Zeitkonstante äusserer Störungen bleiben. Ein typischer Wert für

42

CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE

τE n ist 0.3 Picosekunden. Die Vernachlässigung des Driftanteils der mittleren Energie gegenüber der mittleren thermischen Energie kann ebenfalls über die Sättigungs0 3 m0 ergibt sich Driftgeschwindigkeit begründet werden. Mit mn 5 7 meV k Tn , d.h. selbst “kalte” Elektronen (bei 300 K Gittertemperatur) erfüllen nochB knapp die Voraussetzung. (Bei 77 K nicht mehr.)

3.2 Thermodynamisches Modell

Dieses Transport-Modell basiert auf den Prinzipien der irreversiblen Thermodynamik. Man sieht das Bauelement als thermodynamisches System aus Elektronen, Löchern und Gitter an. Die Subsysteme seien durch GleichgewichtsVariablen

Tn µcn

Tp µcp

TL

charakterisierbar. (µcn p sind die chemischen Potentiale.) Die Dichte der inneren Energie utot des Gesamt-Systems ist eine Erhaltungsgrösse, folglich gilt die Kontinuitäts-Gleichung

∂utot ∂t

∇r ju tot

0

(3.35)

mit der totalen Energie-Stromdichte ju tot . (Wir benutzen hier nicht das Symbol S, um Verwechslungen mit der Entropie S zu vermeiden.) Zur inneren Energie gehört auch das elektrostatische Potential ϕ r , das von der Ladungsdichte

ρ r

e n r

p r

ND r

NA r

¨ erzeugt wird. Die Anderung der Energiedichte des elektrischen Feldes ergibt sich wegen

d 3 r E δD Ω

zu

d 3 r ∇r ϕ δD Ω

E δD

ϕδρ

e dn

!

d 3 r δρ r ϕ

d 3 r ϕ∇r δD Ω

dp

dND

Ω

dNA

(3.36)

Der Beitrag der Donatoren und Akzeptoren wird im folgenden der Einfachheit halber weggelassen, womit lediglich das System auf die drei oben genannten

3.2. THERMODYNAMISCHES MODELL

43

¨ Subsysteme beschränkt bleibt. Die totaleAnderung der Entropiedichte aller drei Subsysteme ist dstot

dun Tn

du p Tp

EF n EF p dn dp Tn Tp

duL TL

(3.37)

Der Grund, warum hier anstelle der chemischen Potentiale die Grössen EF n und EF p auftreten, ist, dass wir wegen Gleichung (3.36) die elektrostatische Energie eϕ zu den chemischen Potentialen dazugeschlagen haben. Man nennt E F n p elektro-chemische Potentiale oder auch quasi-Fermi-Energien:

EF

np

r

µcn p r

eϕ r

(3.38)

Oft werden auch quasi-Fermi-Potentiale verwendet: φn p

EF

np

wobei das intrinsische Energieniveau Ei ni eff des Halbleiters definiert ist: Ei

0

Ec

0

e

0

Ei

0

e

(3.39)

über die effektive intrinsische Dichte

kB Tn ln

ni eff Nc

(3.40)

Im totalen Differential der Entropiedichte (3.37) ist das letzte Vorzeichen “ ”, weil “System plus Loch” äquivalent ist zu “System minus Elektron”. Aus (3.37) erhält man sofort die totale Entropie-Stromdichte js tot

1 1 j 1 j EF n j EF p j jnu Tn Tp pu TL Lu eTn n eTp p

(3.41)

die der Kontinuitäts-Gleichung Πs tot

∇r js tot

∂stot ∂t

(3.42)

44

CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE

genügt. Hier bezeichnet Πs tot die Erzeugungsrate der totalen Entropiedichte. Einsetzen von js tot und ∂stot ergibt

Πs tot

j

1 ∇r Tn

j

EF n ∇r eTn

j

1 ∇r Tp

pu

∇r

j

1 TL

Lu

EF p jp (3.43) eTp ∂u p 1 ∂un 1 ∂uL ∇r j pu ∇r jLu ∂t Tp ∂t TL ∂t EF p EF n ∂n EF p ∂p ∇r j p eTp Tn ∂t Tn ∂t n

1 ∇r jnu Tn EF n ∇r jn eTn

nu

∇r

Benutzt man den Erhaltungssatz der totalen Energie und die KontinuitätsGleichungen für n und p, folgt Πs tot

j

1 ∇r Tn

nu

j

1 ∇r Tp

j

EF n ∇ EF p ∇r jn r qTn EqTp 1 1 Fp Π pu Tp TL Tp

p

EF n Tn

pu

1 Tn

1 jLu TL 1 Πnu TL

G

R

∇r

(3.44)

mit den Energie-Erzeugungsraten Π n p u der Subsysteme der Elektronen und Löcher. Die letzte Gleichung kann man formal als

∑ ∇FX

Πs tot

X

j

(3.45)

X

schreiben, mit treibenden Kräften, oder Affinitäten ∇FX , und Flüssen jX . Die Grundannahme besteht nun darin, dass alle Flüsse jX von allen Affinitäten ∇F X getrieben werden und dass dies mittels des linearen Ansatzes jX

∂j

∑ ∂ ∇FXY

∇FY

IX

Y

∂IX

∑ ∂ ∆FY

∆FY

(3.46)

Y

ausgedrückt werden kann (linear response). Die Proportionalitätsfaktoren heissen kinetische Koeffizienten 1. Ordnung Lˆ XY

∂jX

∂ ∇FY

ˆ XY and Λ

∂IX

∂ ∆FY

(3.47)

3.2. THERMODYNAMISCHES MODELL

45

Sie sind Tensor-Funktionen der lokalen intensiven Parameter. Das OnsagerTheorem (L. Onsager, 1931) besagt, dass Lˆ XY Lˆ Y X , wenn kein Magnetfeld existiert. Für die fünf Stromdichten ergibt sich das Gleichungssystem

jn jp jnu j pu jLu

Lˆ 11 Lˆ 21 Lˆ 31 Lˆ 41 Lˆ 51

Lˆ 12 Lˆ 22 Lˆ 32 Lˆ 42 Lˆ 52

Lˆ 13 Lˆ 23 Lˆ 33 Lˆ 43 Lˆ 53

Lˆ 15 Lˆ 25 Lˆ 35 Lˆ 45 Lˆ 55

Lˆ 14 Lˆ 24 Lˆ 34 Lˆ 44 Lˆ 54

∇r EF n eTn ∇r EF p eTp ∇r 1 Tn ∇r 1 Tp ∇r 1 TL

(3.48)

Für praktische Zwecke ist es notwendig, die Matrix Lˆ XY zu reduzieren, indem bestimmte Elemente durch 0 ersetzt werden (“minimales Kopplungsschema”). Z.B. vernachlässigt man die KoeffizientenLˆ 12 (electron-hole drag) und Lˆ 15 (phonon drag). Um das Prinzip zu demonstrieren, betrachten wir jetzt nur dasjenige minimale Kopplungsschema für jn , bei dem die einzigen treibenden Kräfte die Gradienten von elektro-chemischem Potential EF n und inverser ElektronenTemperatur Tn sind. jn

EF n Lˆ 11 ∇r eTn

1 Lˆ 13 ∇r Tn

Vom Tensor-Charakter sei ebenfalls abgesehen, d.h Lˆ σn Tn σn Tn EF n e

L11 L13

(3.49)

ˆ Mit den Definitionen IL.

Pn Tn

(3.50) (3.51)

worin σn die elektrische Leitfähigkeit und Pn die absolute thermo-elektrische Kraft sind, ergibt sich für jn : jn

σn ∇r EF n e

Pn ∇r Tn

(3.52)

Das entsprechende minimale Kopplungsschema für jnu führt auf die Gleichung

L31 ∇r EF n eTn

jnu

Nutzt man das Onsager-Theorem aus (L31 jnu

Pn Tn

EF n e j n

κn Tn2

(3.53)

L13 ), kann man (3.53) auf die Form

σn Pn Tn Tn

bringen. Da die eckige Klammer gleich Leitfähigkeit der Elektronen), folgt L33

L33 ∇r 1 Tn EF n e

L33 ∇r Tn Tn2

2

κn sein muss (κn

σn Tn EF n e

Pn Tn

2

thermische (3.54)

46

CHAPTER 3. MOMENTEN-METHODE

Somit ergibt sich für die Energie-Stromdichte der Elektronen

κn ∇r Tn

jnu

EF n e

Pn Tn jn

(3.55)

bestehend aus einem konduktiven und einem konvektiven Term. Vergleich mit Drift-Diffusions-Modell Wenn ein nichtentarteter Halbleiter mit parabolischer Bandstruktur vorausgesetzt wird, sieht man durch direkte Berechnung von ∇r n EF n Tn , dass jTn D jDD n genau dann gilt, wenn Ei

0

0

sowie Pn

kB n ln e Nc

5 2

(3.56)

Die erste Bedingung entspricht einer speziellen Wahl des Energie-Nullpunkts, die zweite kann man als Modell der absoluten thermo-elektrischen Kraft auffassen. Vergleich mit Energie-Balance-Modell 3 Die Energie-Stromdichten werden gleich (jTnuD Sn ), wenn wn 2 kB Tn angenommen wird und im Energie-Balance-Modell die mittlere thermische Energie durch

wn

wn

Ec r

Ec

0

0

Ei

(3.57)

ersetzt wird. Neben der Verschiebung des Energie-Nullpunkts muss man im Energie-Balance-Modell auch noch die potentielle Energie addieren. Die zu (3.57) äquivalente Ersetzung der Energie-Stromdichte lautet Sn Sn Ei r jn e.

Numerische Methoden f¨ ur die Simulation von Bauelementen by Bernhard Schmithüsen

4

4.1 Skalierte Gleichungen und L¨ osungsprozedur 4.1.1 Die Physikalischen Gleichungen Die grundlegenden van Roosbroeck’s Gleichungen des Ladungsträgertransports in Halbleitern sind die Poisson-Gleichung und die beiden Kontinuitätsgleichungen (im folgenden wird die Netto-Rekombinationsrate R G einfach mit R bezeichnet):

∇ ε∇ϕ e p n C (4.1) ∂n e ∇jn eR (4.2) ∂t ∂p e ∇j p eR (4.3) ∂t vervollständigt durch die Stromgleichungen (unter Benutzung der Einstein Relation D UT µ) jn jp

eµn n∇φn eµn UT ∇n n∇ϕ eµ p p∇φ p eµ p UT ∇p p∇ϕ

(4.4) (4.5)

Für MOS-Bauelemente wird in Isolatoren (z.B. SiO2 ) die Poissongleichung (unter Vernachlässigung mobiler und fixer Ladungen) gelöst:

∇ ε∇ϕ

0

(4.6)

Die Metallregionen gehören nicht zum (elektrischen) Simulationsgebiet, auch wenn einfache Modelle integriert werden könnten. Die eigentliche Physik besteht 47

48

CHAPTER 4. NUMERISCHE METHODEN

in den Voraussetzungen der Gültigkeit der Gleichungen und steckt in den Parametern Beweglichkeit µ und Rekombination R:

µ x ∇ϕ 0 R x n p ∇ϕ

µ R

Mathematisch handelt es sich im stationären Fall um ein gekoppeltes System elliptischer Gleichungen. 4.1.2 Randwerte Versehen mit Anfangswerten und Randbedingungen ist das ein ”wohl gestelltes” Problem. Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung ist mathematisch unter restriktiven Anforderungen nachgewiesen. A Artifizielle Randwerte Diese treten an künstlich eingeführten Begrenzungen des Simulationsgebietes auf, und sollten so gewählt werden, dass sie das Modell nicht signifikant stören:

∇ϕ ν

jn ν

jp ν

0

B Physikalische Randwerte Physikalische Randwerte treten an Materialgrenzen und Kontakten auf. (a) Kontakte (i) Ohmsche Kontakte: Normalerweise werden p

n

np C

n2i 0

thermodynamisches Gleichgewicht Ladungs-Neutralität

für die Dichten, und verschwindender Strom im thermodynamischen Gleichgewicht gefordert, resultierend in DirichletRandwerten für alle Lösungsvariablen. (ii) Schottky Kontakte C Halbleiter-Isolator Grenzflächen Im allgemeinen fordert man εsemi ∇ϕsemi εins ∇ϕins jn ν j p ν 0

¨ 4.1. SKALIERTE GLEICHUNGEN UND LOSUNGSPROZEDUR

49

4.1.3 Die skalierten (stationären) Gleichungen Um dimensionslose Grössen zu erhalten und die Werte in numerisch behandelbare Grössenordnungen zu bringen skaliert man die Gleichungen (de Mari Skalierung):

∇ ε∇ϕ ∇jn ∇j p jn jp

p n R R

C

µn n∇φn µn ∇n n∇ϕ µ p p∇φ p µ p ∇p p∇ϕ

(4.7) (4.8) (4.9)

(4.10) (4.11)

4.1.4 Wahl der Variablen Die Wahl der Variablen bestimmt die Gestalt der Gleichungen und damit das numerische Verhalten: Potential und Dichten ϕ n p - n p 0 ist numerisch nicht zu erwarten während der Iteration - Kontinuitätsgleichungen linear in n p (falls Beweglichkeit unabhängig von den Dichten) Potential und Quasi-Fermi Potentiale ϕ φn φ p

- Dichten automatisch positiv (n exp ϕ φn ). - Nichtlinear in n p (auch für konstante Dichten). Potential und Slotboom-Variablen ϕ u v -

Dichten n u exp ϕ , p v exp ϕ nicht automatisch positiv. Konvektiver Term verschwindet. Stark variierende Diffusivität. Explizite Berechnung von exp ϕ erforderlich. mathematisch interessant, da Kontinuitätsgleichungen selbstadjungiert werden (ausgebaute Theorie).

50

CHAPTER 4. NUMERISCHE METHODEN

4.1.5 Die Lösungsprozedur A. Diskretisierung Das kontinuierliche Problem ist formuliert in (nicht-endlich-dimensionalen) Funktionenräumen. Diskretisierung heisst, das Problem endlich dimensional zu machen. Wir erhalten eine (nichtlineare) Gleichung in IRn :

Fϕ x Fn x Fp x

F x

0

B. Lösen der nichtlinearen diskreten Gleichung Nichtlineare Gleichungen können nur iterativ gelöst werden: Gummel-Iteration Dies ist das klassische Verfahren (kleine Computer). Iterativ löst man

Fϕ nk pk Fn ϕk 1 pk Fp ϕk 1 nk 1

ϕk nk pk

1

(4.12)

1 1

Es ist offensichtlich, dass ein solches Verfahren nur bei geringer Kopplung der Gleichungen konvergieren kann. Newton-ähnliche Verfahren Die bekannte Newton-Iteration:

F xn xn

xn

1

F xn

(4.13)

Man weiss, dass für hinreichend gute Anfangswerte x0 die Konvergenz quadratisch ist, falls F hinreichend glatt und die Nullstelle isoliert ist. Dies kann man in 1D leicht einsehen:

F xn

1

F xn

F xn xn

also

F xn 1

xn 1

xn

1

F xn

xn

O xn

O xn

xn 2

1

0

und xn

xn

1

1

O F xn

1

xn 2

F xn

O F xn 2

O xn

xn

1

2

In mehrerenen Dimensionen ist das nicht so einfach zu beweisen.

4.2. DISKRETISIERUNG

51

Multigrid-Verfahren Basiert auf der Idee, niedrig-frequente Anteile der Lösung auf groben Gittern und die hoch-frequenten Anteile auf feinen Gittern zu bestimmen. Die ineinander geschachtelten Strukturen werden auf der geometrischen (Gitter) oder algebraischen Ebene (Matrix) benutzt. C. Lösen der auftretenden linearen Gleichungen Ax

b

(4.14)

Es gibt eine riesige Literatur über die Numerik der linearen Gleichungen: Direkte Verfahren Basieren auf Gauss-Algorithmus. Iterative Verfahren Approximieren gegebene Matrix A durch einfacher zu invertierende Matrizen: A xn

1

M N (splitting) 1 M Nxn b 1 M 1 A xn M 1 b

Jacobi-Verfahren ( M diag A ) Gauss-Seidel-Verfahren ( M diag A loweroffdiag A ) Successive Overrelaxation (SOR) Krylow-Methoden (GMRES, CG, etc.) Memory-Bedarf klein, schnell, wenig robust, Konvergenz hängt stark von Eigenschaften der Matrizen ab.

4.2 Diskretisierung 4.2.1 Allgemeine Diskretisierungsverfahren Es gibt verschiedene allgemeine Verfahren. Die technisch relevanten erfordern ein Gitter auf dem Definitionsgebiet. - Finite Differenzen (FD): Substitution der Differentialoperatoren durch Differenzen: ui 1 ui 1 O h2 Du h e Einfach zu implementieren, RW technisch, schwierig in der Analyse des Konvergenzverhaltens.

52

CHAPTER 4. NUMERISCHE METHODEN

- Finite Elemente Methode (FEM): Basiert auf schwacher Formulierung des Problems: Sei ξ H01 D , dann ergibt Integration der Poissongleichung:

ε∇ϕ ∇ξ Ω

p

C ξ

n

Ω

ε∇ϕξν ∂ΩN

Vorteile: Ausgedehnte Theorie (Fehleranalyse, etc.) - Box Methode (BM): Basiert auf Divergenz-Form der Gleichungen: ∇F

g

4.2.2 Anforderung an Diskretisierung Um vernünftige Approximationen der kontinuierlichen Lösung zu erhalten, sollte das diskretisierte Problem wesentliche Eigenschaften des kontinuierlichen Problems aufweisen: Teilchen-Erhaltung Lokale Gültigkeit des Gausschen Satzes. Die BM erfüllt diese Bedingung automatisch. Strom-Erhaltung Der diskrete Strom durch eine Fläche sollte nur von der Fläche abhängen. Maximum-Eigenschaft der elliptischen Operatoren Das diskrete Maximumprinzip (genauer ”Comparison” Theoreme) elliptischer Operatoren ist die M-Matrix Eigenschaft: Definition 1 Eine reelle n

(i) Ai j 0 für alle i (ii) A ist invertierbar (iii) A 1 0 (d.h. A

n Matrix A heisst M-Matrix, falls

j

1

ij

0 für alle i, j )

Hinreichende (notwendige?) Bedingung für diskrete Comparison Theoreme und Stabilität. Positivit¨ at der lokalen Dissipation Das kontinuierliche System ist lokal dissipativ (z.B. für Auger und SRH Rekombination); die zu diskutierende SG-BM erhält diese Eigenschaft und zeichnet sich dadurch aus.

d ϕ n p

µn n ∇φn 2 Ω

µ p p ∇φ p 2

R log np dx

4.2. DISKRETISIERUNG

53

Weitere Anforderungen ergeben sich aus der Praxis: Konvergenz Aussagen über Diskretisierungsfehler sind wünschenswert (p Ordnung der Approximation) u

O hp

uh

Anzahl der Gitterpunkte sollte m¨ oglichst gering sein 2d-Gitter 10000 Punkte, 3d-Gitter erheblich grösser. Zwang zu iterativen Techniken. Verschlechterung der Kondition der Matrizen.

¨ besetzte” Matrizen (sparse matrices) ”dunn geringerer Lösungsaufwand. Physikaliche Modelle: nur lokale Abhängigkeiten erlaubt (typischerweise nur von nächsten Nachbarn im Gitter). Andererseits ”dichte” Matrizen oder keinen exakten Newton. 4.2.3 Diskretisierung der Poissongleichung Wir diskretisieren die Poissongleichung entsprechend der Box Methode auf dem dualen Voronoi-Gitter (mid-perpendicular box method), welche auf der lokalen Anwendung des Gauss’schen Satzes beruht. Das Voronoi-Gitter entsteht durch die Mittelsenkrechten (in 2D eine Linie, in 3D eine Ebene) jeder Kante (edge), deren Schnittpunkte die Voronoi-Zentren bilden; die Voronoi-Boxen B i werden durch die Mittelsenkrechten (Voronoi-Flächen) begrenzt. Notwendig und hinreichend für eine überlappungsfreie Konstruktion ist die sogenannte Delaunay Eigenschaft Der Umkreis eines jeden Gitter-Elementes entha¨ lt im Inneren keinen Gitterpunkt. In 2D kann man Delaunay-Gitter aus Dreiecken und Rechtecken konstruieren. In 3D können zum Beispiel Tetraeder, Quader, Prismen und Pyramiden verwendet werden. Die Poissongleichung ist vom Typ

∇ a x ∇u x

g x

0

Lokal auf jeder Box Bi integrieren wir und wenden den Gauss’schen Satz an: u j ui ∇ a x ∇u x dx a x ∇u x ν x dS x ai j ∑ x j x i si j Bi ∂Bi j i

Bi

g x dx

B i gi

54

CHAPTER 4. NUMERISCHE METHODEN

E

Bi E

Bi

}

E

si,j

ei,j

xi

xj

Figure 4.1: Gitter und duales Voronoi-Gitter

also erhalten wir für die Poissongleichung s Fϕ i ∑ εi j i j ϕi ϕ j Bi pi x j xi j i

ni

Ci

0

(4.15)

In 2D stimmen die Diskretisierungen der Standard-FE und Box-Methode für den Laplace-Operator überein; in 3D sind sie (ausser auf gleichseitigen Tetraedern, die aber den Raum nicht ausfüllen) verschieden. Stumpfe Winkel π Dreiecke mit stumpfen (obtuse) Winkeln (α 2 ) erfordern eine gewisse Aufmerksamkeit, da das Voronoi Zentrum ausserhalb des entsprechenden Elements liegt. Falls man, wie man das bei FEM tut, jedes Element einzeln betrachtet, erhält man

s˜Ei j1

sEi j1

0

, s˜Ei j2

sEi j1

sEi j2

Die Delaunay Eigenschaft garantiert eine positive Voronoifläche für jede Kante, d.h. si j

0

4.2. DISKRETISIERUNG

55

was auf jeden Fall gewünscht ist, da sich andererseits das Vorzeichen umkehrt. Um weiter elementweise assemblieren zu können, setzt man sEi j1

sEi j2

0 ,

sEi j2

Falls der stumpfe Winkel einer Interface-Kante gegenüberliegt, würden sich die Volumina der einzelnen Regionen verändern, folglich verlangt man ”constrained Delaunay” Gitter. xk E1

xi

E Bi 1 E Bi 2

E1

Bk

}

E

s i,j1

xj

} s i,jE

2

E2

Figure 4.2: Box method

4.2.4 Diskretisierung der Kontinuitätsgleichungen Die Kontinuitätsgleichungen sind Konvektions-Diffusions-ReaktionsGleichungen. Man weiss, dass auf nicht hinreichend feinen Gittern die standard FE Diskretisierung unstabil ist. Ausserdem können stumpfe Winkel in Delaunay Gittern die Stabilität bei nicht konstanter Diffusivität stören. Viele Diskretisierungen sind erfunden worden, um dieses Stabilitätsproblem zu reduzieren (Stichworte: upwinding, numerical and artificial diffusivity, SUPG, streamline diffusion, etc.). Die Scharfetter-Gummel Box Methoden Diskretisierung ist auf allen DelaunayGittern stabil !

56

CHAPTER 4. NUMERISCHE METHODEN

Die singuläre Störungsanalyse beschäftigt sich mit dem Fall, dass der Diffusionsterm gänzlich vernachlässigbar wird. Sie kann das Phänomen von ”Layern” (starke Variationen der Lösungen) erklären, indem sie das reduzierte Problem betrachtet, welches sich durch Streichen des Diffusionsterms ergibt. Ein einfaches Modelproblem

Wir demonstrieren die Instabilität der FD-Methode anhand eines Modellproblems, einer Vereinfachung der Kontinuitätsgleichung auf dem Interval 0 1 :

und nehmen an ϕ

ϕ n n 0 n 1

n

0 0 1

β sei konstant. Die exakte Lösung ist

exp βx exp β

n x

1 1

x

Einfache FD-Diskretisierung: Wir legen ein äquidistantes Gitter zugrunde (h ni ni Seien nun s Dann erhalten wir

ni h

1

2ni h2

1

ni

und s

1

ni

1

β ni

h

s

s h

β s 2

also s s

1 1

ni

0 1 xi ni

1

2h

1 1

xi ) und erhalten 0

die (approximierten) Dichtegradienten.

s

0

hβ 2 hβ 2

In Worten: Die Lösung oszilliert falls hβ

2!

Die Gleichung stellt also Anforderungen an das Gitter oder die Diskretisierung! Für die standard FEM erhalten wir die gleiche Diskretisierung. Die resultierende Matrix ist keine M-Matrix. Die charakteristische Grösse P 2 β heisst mesh peclet number.

4.2. DISKRETISIERUNG

57

1D Scharfetter-Gummel Diskretisierung

Wir betrachten nun ein Interval xi xi schreiben

mit der Stromdichte J.

Wir können

µ exp ϕ u

µnφ

J

1

φ die Slotboom-Variable ist. Also ist J u exp ϕ µ Unter der Annahme, dass µ, J konstant sind und ϕ linear ist folgt also wobei u

u xi

exp

1

u xi xi

1

xi

J exp µ J exp µ

J exp µ

ϕi

ϕi 1 ϕi dt xi 1 xi ϕi 1 ϕi xi xi 1 xi

xi

t

ϕi exp t

ϕi exp ϕi

ϕi

1

1

xi ϕi

1 1

xi ϕi

1 1

xi ϕi

xi ϕi

1

t xi

also haben wir für die konstante Stromdichte J auf dem Interval ϕi ϕi 1 exp ϕi µ u i 1 ui J xi 1 xi exp ϕi ϕi 1 1 µ ϕi ϕi 1 exp ϕi 1 ni 1 exp ϕi ni xi 1 xi exp ϕi exp ϕi ϕi 1 1 µ B ϕ i 1 ϕi n i 1 B ϕ i ϕi 1 n i xi 1 xi

xi

x wobei wir die Bernoulli function B x haben. exp x 1 benutzt Für unser Modellproblem erhalten wir (mit B B βh , B Matrix

tridiag

B B

B

B

B

βh ) die

und die Lösung des resultierenden diskreten Systems stimmt mit der exakten Lösung in den Gitterpunkten überein. Die Matrix ist eine M-Matrix, also eine stabile Diskretisierung unseres Modellproblems. Der Gewinn an Stabilit a¨ t wird mit einem Verlust an Konsistenz bezahlt, der sich in der Approximations-Ordnung auswirkt:

58

CHAPTER 4. NUMERISCHE METHODEN

Theorem 1 (Miller-Wang, Roos-Stynes-Tobiska) uh

uI MW

1

Ch 2

wobei die diskrete Norm vom Gitter abhängt. Die Konstante C hängt von dem singulären Parameter ε ab, das heisst, die Konvergenz ist nicht gleichm a¨ ssig. Neue Diskretisierung von Xu und Zikatanov (1999): FE-ähnliche Diskretisierung mit garantierter Stabilität, Delaunay-Eigenschaft wird durch andere Gittereigenschaft ersetzt (praktisch meshbar?). 4.2.5 Die Diskretisierten Gleichungen Zusammenfassend erhalten wir also die folgenden diskretisierten Gleichungen si j Fϕ i ∑ εi j di j ϕ j ϕi Bi pi ni Ci 0 j i si j Fn i ∑ µnij di j B ϕi ϕ j ni B ϕ j ϕi n j Bi Ri 0 j i p si j Fp i ∑ µi j di j B ϕ j ϕi pi B ϕi ϕ j p j Bi Ri 0 j i Bemerkungen: - Elementweise Assemblierung Zur Optimierung des Codes (Parallelisierung, Cache-Memory) will man elementweise assemblieren. D.h. man muss z.B. schreiben:

Fn

i

∑ ∑ E i j iE

sEij n µi j E di j

BEi REi

0

B ϕi

ϕ j ni

B ϕj

ϕi n j

Um die schönen Eigenschaften auch für Delaunay-Gitter zu behalten, ist es zwingend erforderlich, dass die Beweglichkeit µnij E nicht wirklich vom Element abhängt, sondern vorher gemittelt wird. Eine andere Möglichkeit ist die Voronoi-Kompensation vorher auszuführen (?). - Integration der Ladungen: Die Integration der Ladungen scheint zu ungenau (konstante Ladungsdichte per Box). Für die nichtlineare Poissongleichung (d.h. Quasi-Fermi-Potentiale konstant und nicht die LadugsträgererDichten) hat dies allerdings den Vorteil, dass die resultierende Matrix weiterhin M-Matrix bleibt.

4.3. GITTER

59

4.3 Gitter Häufig wird in Praxis der Einfluss des Gitters auf das Simulationsergebnis unterschätzt. Die Gittereigenschaften werden nicht nur durch technische und geometrische Anforderungen bestimmt, sondern vor allem durch die darauf zu lösenden Gleichungen und die benutzte Diskretisierung. 4.3.1 Anforderungen an Gitter Approximation des Gebietes Akurate Beschreibung der Geometrie (Ränder, Interfaces, etc.) leichter möglich, wenn Elemente beliebige Formen annehmen können. Element-Formen Tensorproduktgitter für FD, mixed-element meshes für FEM und BM Punktdichte Sollte möglichst gering sein (bestimmt nämlich Grösse der linearen Gleichungen), aber hinreichend in ”signifikanten” Teilen des Gebietes. Winkelbedingungen Mythos ”obtuse angle” in 2D. Aus der numerischen Analysis weiss man

Theorem 2 Für eine reguläre Familie von Simplex-Gittern Th h is der Diskretisierungsfehler (in der Energie-Norm) einer hinreichend regul a¨ ren Lösung von der Ordnung 1 u

uh

O h

Daraus leitet man in 2D ein Winkel-Kriterium ab, da die StabilitätsKonstante sich verbessert. Die technischen Anforderungen sagen noch nichts über die Qualität der Gitter. Erfahrungstatsachen: Langsame Variation der Punktdichte, gute Approximation der Ladungsdichte ρ und Rekombination R, Edges parallel und orthogonal zur Stromdichte. Gittergeneration ist eine schwierige Aufgabe, wenn man sowohl die technischen als auch die qualitativen Anforderungen erfüllen will: OCTREE 1D,2D und 3D. PARALLEL OFFSETTING Variante von Advancing Front. 2D.

60

CHAPTER 4. NUMERISCHE METHODEN

Figure 4.3: Octree und Normal-Offsetting Gitter mit Elektronen-Stromdichte

4.3.2 Gitter Adaption Die Gitter sollten im Idealfall von der Lösung des diskreten Problems abhängen. Gitter-Adaption ist daher generell wünschenswert, doch muss man sich klar machen, wozu diese dienen soll und was sie leisten kann. Goal

Equations

Discretization

Final Mesh

Grid Adaptation

Criteria

Strategy

Figure 4.4: Komponenten der Gitter-Adaption

Silizium

5

5.1 Bandstruktur Entstehung von Bändern qualitativ Die Atomrümpfe eines Kristalls kann man sich in erster Näherung als Potentialtöpfe vorstellen. Solange Potentialtöpfe hinreichend isoliert voneinander sind, hat jeder von ihnen eine Serie von diskreten Energie-Niveaus (sh. a)). Bei Annäherung wächst die Wahrscheinlichkeit, dass Elektronen von einem Topf in die benachbarten Töpfe tunneln können. Die diskreten Energie-Niveaus spalten auf, bei N Töpfen in N Niveaus (sh. b)). Bei sehr vielen Töpfen und weiterer a)

b) bandentstehung.ID.epsi 113 57 mm

c)

Annäherung wird der Abstand zwischen den aufgespaltenen Niveaus sehr klein es entstehen Bänder. Diese können zusammenwachsen (sh. c)), wie es bei Metallen der Fall ist. In Halbleitern, wie Silizium, entstehen jedoch Energielücken (“gaps”), weil es zwei Arten von Zuständen gibt - bindende und antibindende. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zwischen den Potentialtöpfen ist bei bindenden Zuständen besonders gross, während sie bei antibindenden Zuständen dort 61

62

CHAPTER 5. SILIZIUM

a)

Ψ

Ψ

gapentstehung.ID.epsi 110 42 mm

b)

Schematische Darstellung der Wellenfunktion Ψ zweier gekoppelter Potentialtöpfe. Links: antibindender Zustand, rechts: bindender Zustand.

sehr klein wird (Knoten der Wellenfunktion). Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit innerhalb der Töpfe ist jedoch in beiden Fällen ähnlich gross. Bindende Zustände sind für das Zusammenhalten der positiven Ionenrümpfe in Molekülen verantwortlich. Quantenmechanik: Ultra-Short Course II Quasiklassische Näherung Wird die de-Broglie-Wellenlänge klein gegenüber den Abmessungen des Problems, kann man die quasiklassische Näherung für die Wellenfunktion benutzen (WKB-Näherung, Wentzel-Kramers-Brillouin). Sie entspricht in der Optik dem ¨ Ubergang von der Wellenoptik zur geometrischen Optik. Sei ψ x Lösung der (hier ein-dimensional betrachteten) Schrödinger-Gleichung

2

2m

ψ x

E

V x ψ x

0

(ψ x bedeutet die zweite Ableitung nach x.) ψ x wird in der Form

ψ x

e σ x i

mit σ

σ0

σ1

2

σ2

(5.1)

geschrieben. Die Reihenentwicklung der Phase nach Potenzen von liefert sepa rate Gleichungen in jeder Ordnung von . Wegen ψ ψσ 2 2 iψσ geht die Schrödinger-Gleichung in σ

2

i σ

2m E

i

V x

i

(5.2)

5.1. BANDSTRUKTUR

63

über. In der nullten Ordnung verbleibt nur σ0

2

mit der Lösung

σ0 x

x

dx

V x

2m E

2m E

V x

x

dx p x

Dabei ist p der klassische Impuls, der mit dem -Zeichen vor der Wurzel definiert wird. Diese Näherung ist dann gut, wenn man den zweiten Term auf der linken Seite von Gleichung (5.2) gegen den ersten vernachlässigen kann, also wenn σ σ 2 1 gilt. Da in nullter Ordnung σ σ0 p x ist, bedeutet die Bedingung

dλ dx

p p2

1

wie man durch differenzieren von λ x λ x 2π p x sofort sieht. Die deBroglie-Wellenlänge darf sich also über Abmessungen von der Grössenordnung der Wellenlänge selbst nur wenig ändern. In der Ordnung 1 erhält man 1 2σ σ 2m i 0 1

i σ 2m 0 σ0 σ0 σ1 2

σ0 2σ0

Auflösung nach σ1 ergibt σ1 stante

σ1

Setzt man σ0

0 0

p 2p, so dass bis auf eine Kon-

1 ln p 2

σ1 i in den Ansatz (5.1) für die Wellenfunktion ein, folgt

ψ x

C1 i e p

x

p x dx

i C2 e p

x

p x dx

(5.3)

Das Auftreten von 1 p bedeutet, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ψ x 2 des Teilchens im Intervall x x dx umgekehrt proportional zum Impuls p x ist. Dies spiegelt das klassische Verhalten wieder, denn bei einer klassischen Bewegung ist die Zeit, die ein Teilchen in dx verbringt, umgekehrt proportional zu seiner Geschwindigkeit.

64

CHAPTER 5. SILIZIUM

V(x) klassischer Umkehrpunkt

E

x

x

umkehrpunkt.ID.epsi 0 63 56 mm

Die Näherungslösung (5.3) kann man auch in Gebieten anwenden, die klassisch verboten sind, d.h. in denen der Impuls rein imaginär wird. Der Punkt, der klassisch erlaubtes von klassisch verbotenem Gebiet trennt, heisst klassischer Umkehrpunkt. Im klassisch verbotenen Gebiet x x0 (genügend weit entfernt vom Umkehrpunkt x0 ) hat die Wellenfunktion die Gestalt

1

C

ψ x

2

p

e

x x0

p x dx

(5.4)

mit neuer Normierungskonstante C. Die quasiklassische Lösung im klassisch erlaubten Gebiet x x0 (genügend weit entfernt von x0 ) lautet (Kramers, 1926)

C

ψ x

2 p

cos

x0

1

x

π 4

p x dx

(5.5)

Kronig-Penney-Modell (1930) Wir betrachten jetzt ein ein-dimensionales, periodisches Modellpotential, das aus einer unendlichen Folge von Quantentöpfen der Breite d besteht, die durch Potential-Barrieren der Dicke b und der “Höhe” V0 getrennt sind. Wenn b genügend gross ist, sind die Wellenfunktionen in einem solchen Topf praktisch gleich denjenigen im Potentialtopf mit endlich hohen aber unendlich dicken Wänden (sh. Kapitel 1). Wegen der Periodizität des Potentials mit der Periode b d a können wir die gesuchte Wellenfunktion für die Bewegung eines Teilchens in diesem Potential als Fourier-Reihe n

ψk

x

∞

A

∑ eiklaψn x l ∞

la

(5.6)

5.1. BANDSTRUKTUR

65

darstellen. Der Index n kennzeichnet den n-ten Zustand des isolierten Quanten n n topfs. Offenbar gilt ψk x a exp ika ψk x , d.h. beim Durchgang durch eine Periode “sammelt” die Welle eine Phase ka “auf”. Wir schreiben die beiden

V(x) V0 periodpot.ID.epsi Ψ(x) 88 47 mm

-b

0

d

x

d+b

Schrödinger-Gleichungen n

ψk

E k 2m E ψ

2m

n

2

n

2

V x ψk

n

V x ψn

n

0

0

periodisches Potential isolierter Topf n

auf, multiplizieren die erste mit ψn , die zweite mit ψk , subtrahieren gliedweise und integrieren über x in den Grenzen von b 2 bis d b 2

d b 2

n

dx ψk

n

ψn

ψn ψk

b 2

2m

2

E k

n

E n ψk ψn

n

0

Nach partieller Integration erhält man

E

n

k

En

d b 2

n

dx ψk ψn b 2

2

2m

n

ψn ψk

ψk ψn n

d b 2

b 2

66

CHAPTER 5. SILIZIUM

Für das Integral auf der linken Seite folgt nach Einsetzen von (5.6)

n

d b 2

d b 2

∞

dx ψk ψn

∑ eikla l ∞

A

b 2

b 2

dx ψn x ψn x

δl0

A

la

(5.7)

¨ da die Uberlappungsbeitr¨ age von den nächsten Nachbarn verschwindend ger ing sind und ψn x normiert ist (die Beiträge zur Normierung ausserhalb des Intervalls b 2 d b 2 können ebenfalls vernachlässigt werden). Die Energiebänder En k , zu denen die diskreten Niveaus En verbreitern, nehmen damit die Form

En k

En

2

n

ψn ψk

2mA

ψk ψn n

d b 2

b 2

an. Bei x d b 2 tragen von der Summe (5.6) nur die Glieder mit l 0 und l 1 bei, d.h. ψn d b 2 und ψn b 2 exp ika , alle anderen sind verschwindend klein. Somit n

ψk

d

b 2

A ψn d

b 2

A ψn d

b 2 1

b 2 eika

eika

ψn

Das -Zeichen steht, wenn ψn symmetrisch ist, das -Zeichen für antisymb 2 tragen von der metrische Zustände des isolierten Potentialtopfes. Bei x Summe (5.6) nur die Glieder mit l 0 und l 1 bei, d.h. ψ b 2 und n ψn d b 2 exp ika , n

ψk

b 2

A ψn

A ψn

b 2

b 2 1

b 2 e ika

ψn d

e ika

Für die ersten Ableitungen erhält man n

ψk

d n

ψk

b 2

A ψn d

b 2

A ψn

b 2 1 b 2 1

eika e ika

5.1. BANDSTRUKTUR

67

(Statt steht jetzt , da bei Bildung der ersten Ableitung symmetrische Zustände in antisymmetrische Funktionen übergehen und umgekehrt.) Nach Einsetzen und Zusammenfassen aller Terme wird En k

2 2 ψn d b 2 ψn d b 2 cos ka (5.8) m Um für ψn die oben eingeführten quasiklassischen Näherungen (5.4) benutzen pn . Wir benötigen noch einen expliziten Ausdruck für zu dürfen, gelte b die Normierungskonstante C in (5.4). Da C auch in der quasiklassischen Lösung im Innern des Potentialtopfes auftritt, kann man diese zur Bestimmung von C verwenden: En k

En

d

1 0

dx ψn x

2

C

d

2

dx 0

1

i

pn x

cos

2

d

1

x

pn x dx i

π 4

Die Beiträge der exponentiell abklingenden Anteile in den Barrieren-Gebieten sind nach Voraussetzung klein gegen 1 und wurden vernachl¨ assigt. Ausserdem i muss für die quasiklassische Näherung im Innern np d 1 gelten, d.h. die i Wellenfunktion hat dort viele Knoten. Wegen der Konstanz von p n 2mEn folgt dann (cos2 kann durch den Mittelwert 1 2 ersetzt werden)

C2

1

i pn

d

i pn

dx cos2

d

0

x

π 4

C2

d i 2pn

also C 2pn d. Wir können nun die Werte von ψ und ψ in der Mitte der Barriere berechnen: i

ψn

d

ψn

d a

mit pn

b 2

i pn

a

2d pn a

b 2

pn

1

exp

ψn d

d b 2 a dx pn d

i pn

a

b 2

2d pn

a

bpn 2

exp

En . Einsetzen in (5.8) ergibt

2m V0

En k

En

En

i pn

a

bpn

exp

cos ka

dm 2 E1 En Dn cos ka π

(5.9)

68

CHAPTER 5. SILIZIUM

wobei E1 2 π2 2md 2 (sh. Kapitel 1) und der Durchgangskoeffizient für eine Rechteck-Barriere 2b

Dn

e

2m V0

En

benutzt wurde. Die Bandweite ist in dem betrachteten Modell der starken Lokalisation Wn Da nach Voraussetzung Dn

4 E1 En D n π

1 sein muss, sind die Bänder sehr schmal. In der E n (k) En cos-baender.ID.epsi 50 47 mm

π 2a

Nähe von k

E n-1

π 2a

0

k

0 kann man den cos entwickeln:

En k

En

1 Wn 2

Wn a2 2 k 4

Ersetzt man den Faktor vor k 2 durch 2 2m , erhält man eine Dispersionsrelation wie für freie Teilchen, mit dem Unterschied, dass die Masse m0 durch eine effektive Masse m

m

2 2 Wn a2

ersetzt ist. Dieser Relation kann man auch ablesen, dass die Bandweite umgekehrt proportional zum Quadrat der Periode des Potentials ist. In Halbleiter-Kristallen π π entspricht a der Gitterkonstanten, und das Intervall 2a 2a ist die (eindimensionale) Brillouin-Zone (BZ). Bandstruktur von Silizium Silizium kristallisiert in der Diamantstruktur. Die Atome befinden sich auf den

5.1. BANDSTRUKTUR

69

Plätzen zweier ineinander verschachtelter f.c.c.-Gitter (kubisch-flächenzentriert, face-centered cubic). Fasst man das Zentralatom der schwarz hervorgehobenen tetraedrischen Struktur (bestehend aus fünf Atomen) mit einem der anderen fünf Atome zusammen, erhält man die sogenannte Basis des Kristalls. Die Basis ist auf einem einfachen f.c.c.-Gitter periodisch fortgesetzt. In III-V-Halbleitern, die in derselben Struktur kristallisieren (“Zinkblende”), besteht die Basis aus

a=5.43 Å

diamond.ID.epsi 107 79 mm

.

zwei verschiedenartigen Atomen, z.B. in GaAs aus Ga und As. Den Würfel, der die schwarz hervorgehobene tetraedrische Struktur enthält, nennt man primitive Einheitszelle. Es gibt zwei Atome pro primitive Einheitszelle, da die vier äusseren Atome jeweils von vier Nachbar-Zellen “geteilt” werden. Jedes SiAtom steuert vier Valenz-Elektronen bei, d.h. es gibt 8 Valenz-Elektronen pro primitive Einheitszelle. Unter Berücksichtigung der Spin-Entartung ergeben sich also 4 Valenzbänder, die bei T 0 K vollständig besetzt sind und die aus bindenden Zuständen aufgebaut sind. Die antibindenden Zustände bilden 3die Leitungsbänder. Die untersten vier Leitungsbänder entstehen aus den sp Hybridorbitalen, die höher liegenden Leitungsbänder aus höheren Orbitalen. Der Kristall besteht also ganz allgemein aus einer Basis und dem sogenannten Bravais-Gitter, das im Falle von Silizium ein f.c.c.-Gitter mit der Gitterkonstanten ˚ ist. Das Bravais-Gitter ist eine Menge von Punkten Rl (Gittera 5 43 A Vektoren), die durch drei nicht-koplanare Translationen a1 , a2 und a3 erzeugt

70

CHAPTER 5. SILIZIUM

werden, welche Vektoren im drei-dimensionalen Raum sind Rl

l1 a 1

l2 a 2

l3 a3

mit ganzen Zahlen l j . Als a j kann man die primitiven Gittervektoren a 0 1 1 2

a1

a2

a 1 0 1 2

a3

a 1 1 0 2

wählen. Jede Translation Rl überführt den Kristall in sich selbst. Deshalb muss

x

abasisvect.ID.epsi 3 69 72 mm a2 a1 y

z

jede physikalische Grösse f r vor und nach der Translation dieselbe sein

f r

Rl

f r

(5.10)

d.h. f r ist eine auf dem Bravais-Gitter periodische Funktion. Wir können sie also in eine Fourier-Reihe entwickeln:

f r

∑ AKh eiKh Kh

r

mit AKh

1 Ω0

d 3 r f r e iKh r Ω0

Als Periodizitätsvolumen nehmen wir das Volumen der primitiven Einheitszelle Ω0 a1 a2 a3 . Man kann aber auch andere Zellen mit demselben Volumen verwenden. Als besonders günstig erweist sich die sogenannte Wigner-SeitzZelle, die dadurch erhalten wird, dass man alle nächsten Nachbaratome durch

5.1. BANDSTRUKTUR

71

Linien (a1 a1 a2 a2 ) verbindet und diese mittels senkrecht dazu ste hender Ebenen halbiert. Die geometrische Figur, die von allen diesen Ebenen begrenzt wird, heisst Wigner-Seitz-Zelle. Unter Benutzung der TranslationsInvarianz (5.10) folgt

f r

Rl

∑ AKh eiKh r

Rl

f r

Kh

und somit

eiKh Rl

1

Dies kann nur erfüllt werden, wenn Kh Rl 2π (ganze Zahl) gilt. Die Vektoren Kh , die diese Bedingung erfüllen, heissen reziproke Gittervektoren. Man kann sie in einer Basis b1 b2 b3 des reziproken Gitters darstellen: h1 b 1

Kh

h 2 b2

h 3 b3

Z.B. kann man reziproke primitive Gittervektoren (ai b j Basis nehmen b1

2π ¯ 1 1 1 a

b2

2π ¯ 1 1 1 a

b3

2πδi j ) als eine solche 2π 1 1 1¯ a

wobei der Strich einfach “minus” bedeutet. Die Menge aller K h erzeugt das sogenannte reziproke Kristall-Gitter, das zum Kristall-Gitter komplementär ist. Kubische Gitter haben reziproke kubische Gitter. Aber, man beachte, dass das reziproke Gitter eines f.c.c.-Gitters ein kubisch raum-zentriertes Gitter (b.c.c., body-centered cubic) ist. Auch im reziproken Gitter erweist es sich als günstig, die primitive Zelle als Wigner-Seitz-Zelle zu wählen. Die Konstruktionsvorschrift bleibt die gleiche. Man konstruiert also die Wigner-Seitz-Zelle des b.c.c.-Gitters, d.h. des zum f.c.c.-Gitter komplementären reziproken Gitters mit dem reziproken Gittervektor Kh 0 als Ursprung. Diese Zelle hat den Namen 1. Brillouin Zone (abgekürzt 1. BZ). Ihre geometrische Gestalt ist ein “gekappter” Oktaeder (sh. Abb.). Die praktische Bedeutung der 1. BZ folgt aus der Tat sache, dass in ihr alle Energiebänder Eν k stetige Funktionen sind. Nur an den Rändern können Unstetigkeiten auftreten. Die Ränder sind mit den sogenannten Braggschen Reflexionsebenen identisch. Um das einzusehen, betrachten wir das Kristall-Potential V r als Störung zur freien Bewegung der Elektronen. Da V r periodisch ist, kann man es in eine Fourier-Reihe entwickeln:

V r

∑ BKh eiKh r h

72

CHAPTER 5. SILIZIUM Kz

W

X U

K W L U Kx

Γ

brillzone.ID.epsi 93 85 mm

X W

K Ky

1. BZ des f.c.c.-Gitters mit symmetrischen Punkten. Der hervorgehobene Bereich ist der irreduzible Teil der BZ (1/48), der für die Berechnung der Bandstruktur relevant ist.

¨ Das Ubergangs-Matrixelement muss man mit ebenen Wellen bilden (die ungestörten Zustände, freie Elektronen!), so dass

k V r k

∑ B Kh δ k

k Kh

h

Es verschwindet, ausser für k

k

Kh

(5.11)

Die Stösse der leichten Elektronen mit dem schweren Kristall-Gitter sind elastisch: k k . Quadriert man (5.11), erhält man

2 k Kh

Kh 2

(5.12)

Das ist genau die Bedingung für Bragg-Reflexion. In den Lehrbüchern zur Halbleiter-Theorie wird üblicherweise die (entartete) Störungstheorie explizit durchgeführt und damit das Aufreissen von Energielücken an den Bragg-Ebenen demonstriert (sh. z.B. Enderlein/Schenk Seite 81 ff.). Wir haben stattdessen an obigem Beispiel die Entstehung von Bändern plausibel gemacht. In diesem

5.1. BANDSTRUKTUR

73

Beispiel sind die Energielücken von vornherein vorhanden, und zwar durch den Abstand der diskreten Energie-Niveaus des isolierten Potentialtopfes. Eine wichtige Folge der Translationssymmetrie des Kristalls ist die Periodizität der Energie

E k und der Wellenfunktionen

ψν k r

Kh

E k

ψν k

Kh

r

(5.13) (5.14)

Der Impuls der Elektronen ist im Kristall Erhaltungsgrösse, wie man Kkeine aus (5.11) ersieht. Aber alle Impulse k und damit alle Wellenfunktioh nen mit Wellenvektoren k Kh sind äquivalent. Deshalb kann man sich bei der Berechnung physikalischer Grössen auf die 1. BZ beschränken. Liegt k ausserhalb der 1. BZ, findet man immer einen reziproken Gittervektor Kh , der k in die 1. BZ verschiebt (“falten”). Man bezeichnet k auch als Quasiwellenvektor. Die Translationssymmetrie ist jedoch nicht die einzige Symmetrie des f.c.c.Gitters. Als Punktgruppe des Kristalls bezeichnet man die Menge aller geometrischen Operationen (Drehungen, Spiegelungen), die das direkte Gitter (und damit auch das reziproke Gitter) in sich selbst überführen. 48 solcher Operationen bilden einen Würfel in sich selbst ab. Die entsprechende Gruppe nennt man Oh . Ohne Inversion verbleiben 24 Operationen, die die Gruppe Td bilden (die Basis ist nur gegen diese Untergruppe invariant). Die k-Vektoren der 1. BZ kann man in Punkte in symmetrischer Lage und Punkte in allgemeiner Lage einteilen. k ist in symmetrischer Lage, wenn es ausser der Translation noch ein Element α der Punktgruppe Oh gibt, das k in ¨ einen dazu a¨ quivalenten Vektor überführt. Aquivalenz ( bedeutet Gleichheit bis auf einen additiven reziproken Gittervektor Kh .) Andernfalls ist k in allgemeiner Lage. Wendet man die Elemente der Punktgruppe auf einen Vektor k der 1. BZ an, dann bilden alle αk, die nicht äquivalent zu k sind, den sogenannten Stern von k. Ist k in allgemeiner Lage, hat der Stern soviel “Zacken”, wie die Punktgruppe Elemente hat. Ist k in symmetrischer Lage, so ist die Anzahl der Zacken nur ein Bruchteil der Ordnung der Punktgruppe. (Z.B. hat der Mittelpunkt der 1. BZ, der Punkt mit der höchsten Symmetrie überhaupt, nur noch eine Sternzacke.) Alle k-Vektoren, die die gleiche Symmetrie haben, also von den gleichen α invariant gelassen werden, bilden ein Symmetrieelement in der 1. BZ. Für die Diamantstruktur gibt es 4 Symmetriepunkte (Γ; X; L; W), 5 Symmetriegeraden und 2 Symmetrieebenen. Die Punktsymmetrie des Kristalls überträgt sich unmittelbar auf die Bandstruktur:

Eν k

Eν αk

(5.15)

74

CHAPTER 5. SILIZIUM

Diese Form der Entartung nennt man Sternentartung. Wegen der Sternentartung genügt die Kenntnis der Energieband-Funktionen Eν k in einem Ausschnitt der 1. BZ, der den Raum zwischen benachbarten Sternzacken ausfüllt (der in der Abb. hervorgehobene Bereich). Man bezeichnet einen solchen Ausschnitt als irreduziblen Bestandteil der 1. BZ. Alle inneren Punkte und die meisten Randpunkte sind k-Vektoren in allgemeiner Lage, also mit 48 Sternzacken. Deshalb ist dieses Gebiet 1/48 der 1. BZ. Die Energie-Eigenwerte über dem Rest der 1. BZ erhält man durch symmetrische Fortsetzung der Werte über dem irreduziblen Bestandteil mit Hilfe der Gleichung (5.15). Eine weitere Form der Entartung ist die symmetrie-bedingte Bandentartung. Gilt nämlich für bestimmte k-Vektoren, dass αk äquivalent 1ist und dass die zugehörigen Eigenfunktionen im Band ν, ψν k r und ψν k α r , linear unabhängig sind, so laufen an der Stelle k zwei Bänder zusammen. Für Punkte in allgemeiner Lage kann eine solche symmetrie-bedingte Bandentartung nicht auftreten. Den Grad möglicher Bandentartungen in Symmetriepunkten und auf Symmetriegeraden kann man mittels gruppentheoretischer Methoden bestimmen (was hier zu weit gehen würde). Nachstehend sind für die Punkte Γ, X und L die möglichen Entartungen aufgeführt. X-Punkt: L-Punkt: Γ-Punkt: 3-, 2-, 1-fache nur 2-fache 2-, 1-fache Γ15 Γ25 3-fach L3 L3 2-fach Γ2 1-fach L1 1-fach Eine nicht durch die Symmetrie bedingte, wie man sagt “zufällige” Entartung, ¨ ist die Bandüberlappung. Ein Beispiel ist die Uberschneidung der obersten drei Leitungsbänder auf der ∆-Geraden. Wie man der dargestellten Bandstruktur entnimmt, ist Silizium ein indirekter Halbleiter. Das Minimum des untersten Leitungsbandes in 100 -Richtung X) liegt bei 0 85 ΓX . Das Maximum der obersten Valenzbänder liegt (Γ bei Γ. Der Wert der indirekten Energielücke (das “fundamentale gap”) beträgt bei Raumtemperatur Eg 1 12 eV . Wegen der Spin-Bahn-Wechselwirkung wird die zweifache Entartung der beiden obersten Valenzbänder bei Γ in Wirklichkeit aufgehoben. Ein Band, das sogenannte split-off band, spaltet nach unten ab. Sein Extremum hat den Wert Eso Γ 0 044 eV . Deshalb wird es oft vernachlässigt und schweren Löcher, die bei Γ zusamund nur die beiden Bänder der leichten menlaufen, werden bei Berechnungen mit einbezogen. Für viele Anwendungen, bei denen nur kleine k in der Nähe der Bandextrema eine Rolle spielen, genügt es, Ec k und Elh hh k quadratisch zu entwickeln. Da der lineare Term an den Extrema natürlich verschwindet, erhält man eine Dispersionsrelation wie für freie Elektronen, mit dem Unterschied, dass man andere Massen, sogenannte effektive Massen einführen muss, um die Krümmung der Bänder in der Nähe der Extrema richtig zu reproduzieren. Die Wirkung des komplizierten periodischen Kristall-

5.1. BANDSTRUKTUR

|

|

|

6.0

75

L3

|

Γ2 Γ15

Γ15

|

2.0 L1 |

Γ25’

X1

Sibandst.ID.epsi 99 71 mm

Γ25’ |

0.0

|

L3’

-2.0

|

-4.0

|

|

Energy (eV)

Γ2’

|

4.0

X4 |

|

∆1

Λ

L

Γ

∆

X

Σ

K

Γ

Wave Vector k Bandstruktur von Silizium berechnet mit empirischem nicht-lokalen Pseudopotential (Chelikowsky und Cohen, 1974).

Ec = Eg +

Kz

h2 (k -k )2 + h2 (k -k )2 2m l 0 2m t 0⊥ ⊥ =

h2 k 2 2m lh,hh

=

E lh,hh = -

Kz

effmass.ID.epsi 121 63 mm Kx

Kx

Ky

Ky

.

Potentials ist dann nur noch über diese effektiven Massen parametrisiert. Die Bandstruktur E k kann man auch dadurch graphisch darstellen, dass ν man Flächen Eν k const im k-Raum, bzw. deren Schnittkurven mit bestimmten Ebenen konstruiert. In der Abbildung sind die Isoenergie-Flächen Ec k const (rechts) und Elh hh k const (links) in Effektivmassen-Näherung

76

CHAPTER 5. SILIZIUM

veranschaulicht. Für die Löcher ergeben sich in Wahrheit keine Kugeln, sondern (wegen der Spin-Bahn-Kopplung) “warped surfaces”. Die Kugeln sind also Approximationen mit richtungsgemittelten effektiven Massen. Man findet mhh 0 5 m0 und mlh 0 17 m0 . Die Isoenergie-Flächen der Elektronen sind Rotationsellipsoide. Man bezeichnet sie auch als Ta¨ ler. Wegen der Sternentartung der Symmetriegeraden ∆ sind auf allen sechs Zacken dieses Sterns Minima vorhanden, es gibt also sechs äquivalente Täler. Deshalb nennt man Silizium auch einen Vieltal-Halbleiter. Die sogenannte longitudinale effektive Masse (parallel zu den Hauptachsen) hat den Wert ml 0 92 m0 , während die soge Hauptachsen) den Wert nannte transversale effektive Masse (senkrecht zu den mt 0 19 m0 hat. Dies erscheint verwunderlich, denn Silizium muss als kubis cher Kristall eine isotrope (Ohmsche) Leitfähigkeit haben. Die Lösung ist, dass der Mittelwert über alle sechs Täler eine isotrope Leitf a¨ higkeitsmasse

1 mσ

1 3

1 ml

2 mt

ergibt.

5.2 Zustandsdichte Die stationären Wellenfunktionen der Kristall-Elektronen haben folgende Form (Bloch-Theorem, Beweis in Lehrbüchern): 1 ikr ψν k r e uν k r Bloch Funktionen (5.16) Ω Sie sind in einem Grundgebiet Ω normiert und stellen modulierte ebene Wellen dar. Der Modulationsfaktor heisst Bloch-Faktor und ist eine gitterperiodische Funktion: uν k r uν k r Rl . Wir stellen jetzt periodische Randbedingungen mit Ω als Periodizitätsvolumen (Born-von Karmansche Randbedingungen). Dazu wählen wir Ω G3 Ω0 , wobei Ω0 a1 a2 a3 das Volumen der primitiven Einheitszelle und G eine grosse ganze Zahl ist. Periodische Randbedingung bzgl. des Grundgebietes Ω bedeutet nun, dass sich eine Grösse nicht ändert, wenn man vom Punkt r zum Punkt r Ga j geht. Da ein Vektor im k-Raum mittels der reziproken Gittervektoren bm dargestellt werden kann (k ∑m km bm ), wird die periodische Randbedingung von den Bloch-Funktionen genau dann erfüllt, wenn 1 km lm m 1 2 3 lm ganze Zahl (5.17) G Wegen der Gitterperiodizität des Bloch-Faktors ist nämlich ψν k r ψν k r Ga j genau dann wenn eikGa j 1

5.2. ZUSTANDSDICHTE

77

Dass der Phasenfaktor tatsächlich 1 ist, kann man leicht überprüfen: ei ∑m km bm Ga j ei ∑m lm 2πδ jm

eikGa j

e i ∑ m lm b m a j ei2πl j 1

Die neuen Basisvektoren im k-Raum bm G, mit denen jeder k-Vektor als k ∑m lm bm G dargestellt wird (lm ganze Zahl), bilden ein feinmaschiges Gitter (sh. Abbildung). Durch die periodische Randbedingung wird der k-Raum also diskretisiert. Der Vorteil dieser Prozedur wird im folgenden klar werden.

b2

feinmasch.ID.epsi 69 51 mm

1 b G 2 1 b G 1

b1

Die Abzählung der erlaubten elektronischen Zustände kann nun dadurch erfolgen, dass man über alle Bänder ν und alle Maschen innerhalb der 1. BrillouinZone summiert. Hinzu kommt ein Faktor 2 von der Spin-Entartung (jeder Zustand kann zweifach besetzt werden, mit einem Elektron “spin-up” und einem Elektron “spin-down” .) Für die mittlere Elektronenzahl im Grundgebiet ergibt sich daher

2∑

N mit der Fermi-Dirac-Verteilung

fν k

fν k

∑

ν k 1 BZ

1

Eν k EF e kB T

(5.18)

1

(5.19)

Die totale Elektronen-Dichte erhält man durch Division mit dem Volumen Ω des Grundgebietes. Da das Volumen der 1. BZ gleich 8π3 Ω0 beträgt, ist das Volumen einer feinmaschigen Zelle gleich 8π3 Ω. Die Zahl G ist sehr gross, also darf

78

CHAPTER 5. SILIZIUM

man die Summation durch eine Integration ersetzen: 8π3 Ω ∑ k

d3k

(5.20)

¨ (man vergleiche z.B. den Ubergang von der Riemann-Summe zum RiemannIntegral in 1D: dx f x ∑l ∆x l f xl ). ntotal

2 fν k ∑ ∑ Ω ν k 1 BZ

N Ω

∞

d 3 k fν k

k 1 BZ

Schreibt man stattdessen ntotal

1 4π3 ∑ ν

∞

dE D E f E

(5.21)

(5.22)

dann definiert der Vergleich der letzten beiden Formeln die energetische Zustandsdichte D E :

1 4π3 ∑ ν

D E

d3k δ E

Eν

k

(5.23)

k 1 BZ

Ein Summand der ν-Summe heisst partielle Zustandsdichte des ν-ten Bandes. Beispiel: parabolisches, isotropes Leitungsband

Die Dispersionsrelation für diesen einfachsten Fall lautet Ec k 2k2 2mc und ist bis auf die effektive Masse mc identisch wie für freie Elektronen. Einsetzen in (5.23) ergibt

1 4π3

Dc E

d kδ E 3

2 k2

2mc

k 1 BZ

Da das Bandmodell nur für kleine Energien sinnvoll ist (zu denen kleine maximale k gehören), kann die δ-Funktion bereits für kleine k innerhalb der 1. BZ erfüllt werden. Dc E gilt am Ende natürlich nur für kleine E. Man kann dann die Integration ins Unendliche erstrecken und Dc E sofort ausrechnen:

Dc E

Dc E

1 π2

∞

dk k δ E 2

0

1 2π2

2mc

2

3 2

2 k2

2mc

E Θ E

1 2π2

2mc

3 2

∞

dε ε δ E

2

ε

0

(5.24)

5.2. ZUSTANDSDICHTE

79

Im Silizium ist folgende Modifikation zu machen:

3 2

mc

mt2 ml

1 2 def

3 2

mdn

für ein Tal

Nimmt man den Faktor 6 für die sechs äquivalenten Täler hinzu, dann 3 2

mdn

3 2 def 3 2 m˜ dn 62 3 mdn

für sechs Täler

Zahlenwerte: mdn 0 32 m0 und m˜ dn 1 06 m0 . Wie gut (bzw. schlecht) das Zustandsdichte (engl.: DOS, denZustandsdichte-Modell (5.24) die realistische sity of states) von Silizium beschreibt, kann der Abbildung entnommen werden.

alpha=0.5

0.04

3

DOS (1/(eV*A ))

0.05

0.03 full band

DOSnew.eps 91 71 mm

0.02

parabolic

0.01 0.00 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

Electron Energy (eV) Zustandsdichte von Silizium berechnet mit realistischer Bandstruktur (“full band”), in der parabolischen Näherung (5.24) mit mc mdn (“parabolic”) und in nichtparabolischer Näherung Ec k 1 αEc k 2 k2 2mdn mit α 0 5 eV.

80

5.3 Fermi-Dirac-Verteilung

CHAPTER 5. SILIZIUM

5.3.1 System mit konstanter Teilchenzahl (“kanonische Verteilung”)

Medium E’ dΓ’

Gesamtsystem

Körper bath.ID.epsi 85 53 mm

E dΓ

(0)

E dΓ (0) = dΓ’ dΓ

Wir betrachten ein abgeschlossenes System mit der Energie E 0 (Gesamtsystem). Das Gesamtsystem sei in zwei Teilsysteme aufgespalten: Ko¨ rper und Medium (oder “Bad”). Der Körper muss im Vergleich zum Gesamtsystem sehr klein aber immer noch makroskopisch gross sein. Die gesamte innere Energie 0 E ist die Summe aus Energie des Mediums E und Energie des Körpers E, da die Wechselwirkungs-Energie sehr klein gegenüber E ist. Letzteres folgt daraus, dass nur Teilchen in der Nähe der Oberfläche des Körpers mit dem Bad wechselwirken und deren relative Zahl im Vergleich zur Zahl aller Teilchen des Körpers sehr klein ist (Körper ist makroskopisch gross!). Natürlich ist andererseits die Wechselwirkung die Ursache und Bedingung dafür, dass Körper und Bad ins statistische Gleichgewicht kommen können.

dΓ 0 sei die Zahl der Quantenzustände des Gesamtsystems, die zu einem be 0 stimmten infinitesimalen Energie-Intervall dE gehören.

dw 0 sei die Wahrscheinlichkeit, das Gesamtsystem in irgendeinem der dΓ Zustände zu finden.

0

Diese Wahrscheinlichkeit ist proportional zur Zahl aller möglichen Zustände des Gesamtsystems dw 0

const δ E

E

E

0

const δ E

E

E

0

dΓ 0

dΓ dΓ

5.3. FERMI-DIRAC-VERTEILUNG

81

(dw 0 heisst mikrokanonische Verteilung). Die δ-Funktion drückt dabei die Energieerhaltung aus (Summe der Energien von Körper und Medium muss gleich der Gesamtenergie sein). Die Zahl der möglichen Zustände des Gesamtsystems ist natürlich gleich dem Produkt von Zahl der möglichen Zustände des Körpers und Zahl der möglichen Zustände des Bades. Diese statistische Unabhängigkeit folgt wiederum aus der begründeten Annahme der schwachen Wechselwirkung zwischen Körper und Bad. Man fragt nun nach der Wahrscheinlichkeit dwn für denjenigen Zustand des Gesamtsystems, bei dem sich der Körper in einem bestimmten (mikroskopischen) Quantenzustand mit der Energie En befindet (also muss dΓ 1 gesetzt werden):

const δ En

dwn

E

E

0

dΓ

Die totale Wahrscheinlichkeit für die Realisierung des Zustandes, in dem der Körper die Energie En hat, erhält man durch Integration über alle mikroskopischen Zustände des Bades dΓ, die die Energieerhaltung nicht verletzen: wn

const

E

E

0

E

E

0

δ En

const

δ En

dΓ

dΓ dE dE

!

w n En

(5.25)

Der nächste Schritt ist die Berechnung von dΓ dE . Dazu bezeichnen wir mit Γ E die Zahl der Quantenzustände des Mediums, deren Energie kleiner oder man die Zahl der Zustände des Mediums mit Energien gleich E ist. Dann kann zwischen E und E dE in der Form

dΓ E dE dE

dΓ

schreiben. Um nun die Wahrscheinlichkeit W E dE dafür zu erhalten, dass die dE Energie des Mediums im Intervall E E liegt, muss man die Wahrschein lichkeit w E für die Realisierung eines bestimmten Zustands des Mediums mit der Energie E mit der Zahl der Quantenzustände multiplizieren, deren Energie in diesem Intervall liegt:

W E dE

W E

dΓ E wE dE

dΓ E wE dE dE

w E dΓ

(5.26)

82

CHAPTER 5. SILIZIUM

W E hat ein extrem scharfes Maximum beim Mittelwert E wegen der riesengrossen Teilchenzahl im Bad. (Ganz allgemein gilt

E

2

E E

1 N

für die relative Fluktuation der Energie E . Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für eine relative Abweichung von 10 6 der Energie eines Hundertstel Mols irgen15 deines Gases beträgt 10 3 10 .) Die Verteilung W E ist normiert. Die Normierungsbedingung lautet

W E dE

1

Man ersetzt die Kurve W E durch ein Rechteck mit der Breite ∆E und der 1 W E gelten. Höhe W E . Wegen der Normierungsbedingung muss ∆E Anwendung auf (5.26) ergibt

W E ∆E

dΓ E ∆E w E dE

∆Γ w E

1

∆Γ ist die Zahl der Quantenzustände des Bades, die dem Energie-Intervall ∆E entspricht. Diese Grösse charakterisiert den “Grad der Verschmierung” des makroskopischen Zustandes des Mediums über seine mikroskopischen Zustände. Man sagt auch statistisches Gewicht des makroskopischen Zustandes dazu. Seinen Logarithmus nennt man Entropie kB ln ∆Γ

S

(5.27)

Wegen der ungeheuren Schärfe der Verteilung W E kann man dΓ dE

∆Γ ∆E

exp S E ∆E

kB

ersetzen. Nach Einsetzen in Gleichung (5.25) erhält man

w n En

const

δ En

E

exp S E 0 const ∆E E

E

0

En k B

E 0 En

exp S E ∆E

kB

dE

5.3. FERMI-DIRAC-VERTEILUNG

83

Da der Körper nach Voraussetzung klein gegen das Medium ist (also auch En E 0 ), kann man im Nenner En vernachlässigen und im Zähler die TaylorEntwicklung

En

S E0 anwenden. Somit ergibt sich

dS En dE 0

S E0

dS En (5.28) dE 0 kB An dieser Stelle wird die Thermodynamik ins Spiel gebracht. Aus ihr ist bekannt, dass w n En

dE

A exp

T dS

P dV

µc dN

(5.29)

gilt. Im hier vorliegenden Fall ist dV dN 0, also dS dE 1 T im Körper wie im Medium wegen der Voraussetzung des thermodynamischen Gleichgewichts. Damit erhält man endgültig die Gibbssche Verteilung (oder kanonische Verteilung) (Gibbs, 1901)

w n En

A exp

En kB T

(5.30)

Die Normierungskonstante folgt aus ∑n wn 1. Gleichung (5.30) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Körper die Energie E n hat, wenn er sich im thermodynamischen Gleichgewicht mit einem Medium befindet, das die Temperatur T hat. 5.3.2 System mit variabler Teilchenzahl (“grosskanonische Verteilung”)

N 0 sei die Zahl der Teilchen im Gesamtsystem, N die Zahl der Teilchen im Medium und N die Zahl der Teilchen im Körper. Zwischen Körper und Medium können Teilchen ausgetauscht werden. Die durch den Teilchen-Austausch bedingten Fluktuationen von N und N sind wegen der grossen Teilchenzahlen (makroskopische Systeme!) im selben Sinne klein wie die Fluktuationen der Energie (sh. (5.3.1)). Was ändert sich an der obigen Ableitung? Die Wahrscheinlichkeits-Verteilung wn verallgemeinert sich zu wn

wnN

const exp S E

0

EnN N

0

N

wnN ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Körper N Teilchen enthält und sich im n-ten Zustand befindet. Die Energien EnN des Körpers hängen jetzt natürlich von der Teilchenzahl N im Körper ab.

84

CHAPTER 5. SILIZIUM

Die Taylor-Entwicklung der Entropie bzgl. der kleinen Grössen EnN und N ergibt jetzt S E

0

EnN N

0

N

0

S E

EnN T

N0

µc N T

Dabei fallen die chemischen Potentiale (wie die Temperaturen) des Körpers und des Mediums wegen der Gleichgewichtsbedingungen zusammen. Damit erhält man die grosskanonische Verteilung

wnN

A exp

µc N En kB T

Die Normierungskonstante folgt aus ∑ wnN

(5.31)

1.

nN

5.3.3 Fermi-Dirac-Verteilung Teilchenzahl N und Energie EnN des Körpers werden in der sogenannten Besetzungszahl-Darstellung aufgeschrieben: ∞

nN

∞

∑ nl

N

nN

∑ nl

EnN

l 0

nN

εl

l 0

nl gibt die Zahl der Teilchen an, die einen Einteilchen-Zustand ψl mit der Energie εl besetzen. Der Wertevorrat der Besetzungszahlen unterscheidet Fermionen von Bosonen Bosonen :

nl

Fermionen :

nl

nN

nN

0 1 2 3 0 1

Fermionen haben halbzahligen Spin, Bosonen ganzzahligen. Die VielteilchenWellenfunktion der Fermionen ändert ihr Vorzeichen, wenn zwei Teilchen vertauscht werden, die der Bosonen nicht. Unter Verwendung der grosskanonischen Verteilung (5.31) erhält man für die mittlere Zahl von Teilchen im Körper N

∑ wnN N nN

∞

∑ ∑ wnN nl

l 0 nN

nN

∞

∑ nl

l 0

Der letzte Schritt, d.h. die Einführung der mittleren Besetzungszahl ¯ ln, ist nichttrivial, bedeutet er doch, dass jetzt u.U. ein einziges Teilchen die Rolle des Körpers übernimmt. Bei der Ableitung der Gibbs-Verteilung wurde gefordert,

5.3. FERMI-DIRAC-VERTEILUNG

85

dass der Körper immer noch makroskopisch gross sein muss, um zu garantieren, dass die Wechselwirkung zwischen Körper und Bad vernachlässigbar ist (QuasiAbgeschlossenheit des Körpers). Die Quasi-Abgeschlossenheit eines einzelnen Teilchens ergibt sich hier aus der Voraussetzung, dass die direkte dynamische Wechselwirkung zwischen den Teilchen vernachlässigbar klein gegen die Einteilchen-Energien εl ist. Die Ausnahme ist die Austausch-Wechselwirkung, die bei höheren Dichten zu einer anderen Statistik (Fermi-Statistik) führt. Sie ist jedoch nur für Teilchen in ein und demselben Zustand wichtig. Nur wenn die direkte dynamische Wechselwirkung vernachlässigbar bleibt, ist die Energie EnN die einfache Summe der Einteilchen-Energien. Gase, bei denen die Wechselwirkung zwischen den Molekülen vernachlässigt werden kann, nennt man ideale Gase. Wir betrachten also hier ideale (Quanten-) Gase. (Wie im Falle makroskopischer Körper darf natürlich die Wechselwirkung nicht völlig fehlen, da sich sonst kein Gleichgewicht zwischen den Teilchen einstellen könnte.) Die mittlere Besetzungszahl wird explizit

nl

∑ wnN nl

nN

∑ nl

nN

∑ nl

∞

∑

exp

∑ exp

l 0

∑ nnN l

nN

µc N E n kB T

µc ε l nnN l kB T

∞

l 0

µc N E n kB T

exp

nN

nN

∑ exp

nN

nN

nN

µc ε l kB T

∑ nl

nN

nN

∏ e

µc ε k kB T

nN

nk

k

∑∏ e

µc ε k kB T

nN

nk

nN k

Den Nenner nennt man grosse Zustandssumme Z , aus der man n l generieren kann:

¯ nl

Z

∑ nl

1

nN

e

µc ε l kB T

nN

Z

1

Z

1

nl

nN

∏

∂ Z ∂εl

e

µc ε k kB T

nN

nk

k l

µ εk ∂ kB T e kB T ∑ ∏ ∂εl nN k

kB T

c

kB T

nN

nk

∂ ln Z ∂εl

(5.32)

86

CHAPTER 5. SILIZIUM

Für Elektronen und Löcher ist 1

∑ nN

nN

n1

∑

nN

n2

0

wegen des Pauli-Prinzips. Die grosse Zustandssumme wird dann

Z

∑∏

µc ε k kB T

e

nN

nk

∑ ∏ B nk

nN

nN k

nN k

1

nN n1

∞

∏ ln Z

k ∞

∑

nN n2

1

∑ ln

∏ B nk

nN

0 k

∞

Bk 1

∏ e

µc ε k kB T

1

1

e

B1 1

µc ε k kB T

B2

1

Bl

k

(5.33)

k 0

und schliesslich mit (5.32) (Fermi, Dirac, 1926) nl

1

1

e

ε l µc kB T

(5.34)

nl kann nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen, wie es wegen des Pauli-Prinzips sein muss. 1, geht die Fermi-Dirac-Verteilung in die Im Falle der Nichtentartung, nl Boltzmann-Verteilung über. Dazu muss offenbar εl µc und εl µc kB T gelten.

nl

e

µc ε l kB T

wenn nl

1

In der Bauelemente-Physik benutzt man folgende Bezeichnungen: ε l f E , µc EF und nennt EF Fermi-Niveau.

f E

1

1 e

E EF kB T

(5.35) E, nl

(5.36)

¨ 5.4. LADUNGSTRAGERDICHTEN

87

distribution function

1.5 T=1K T=77K T=300K T=700K Boltzmann 300K

1.0

fermifunc.eps 86 72 mm

0.5

0.0 −0.2

−0.1

0.0 0.1 energy E − EF (eV)

0.2

Die linierten Kurven zeigen die Fermi-Dirac-Verteilung für vier verschiedene Temperaturen als Funktion von E EF . Zum Vergleich ist die Boltzmann-Verteilung bei 300 K dargestellt. Der Unterschied zur Fermi-Verteilung verschwindet mit wachsender Energie und ist bei E EF 2kB T bereits vernachlässigbar.

5.4 Ladungstr¨ agerdichten A) Intrinsisches Silizium Wir definieren Ev k 0 als Energie-Nullpunkt. Eg ist die Energie des indirekten gaps. Nach den Vorbereitungen der vorangegangenen Abschnitte können wir jetzt die Gleichgewichts-Dichten der Elektronen und Löcher hinschreiben: n

p 3 2

mit m˜ d p

1 2π2 3 2

m˜ d lh

3 2 ∞

2m˜ dn

1 2π2

dE

2

Eg

Eg E EF e kB T

1

3 2 0

2m˜ d p

E

dE

2

3 2

∞

1

E

EF E e kB T

Elektronendichte

(5.37)

Löcherdichte

(5.38)

m˜ d hh . Beide Ausdrücke enthalten ein Fermi-Integral F1 F1

2

η

2 π

∞

0

dx x e

x1 2 η 1

2

(5.39)

88

CHAPTER 5. SILIZIUM

Deshalb kann man die Dichten auch in der Form E E F g n Nc F1 2 p Nv F1 kB T

EF kB T

2

(5.40)

schreiben. Die Vorfaktoren nennt man effektive Zustandsdichten des Leitungsund Valenzbandes:

Nc v

m˜ dn p kB T 2 2π 2

3 2

2 541

10

19

m˜ dn p m0

3 2

T 300

3 2

cm

3

Im Falle der “Nichtentartung”, d.h. wenn E g EF kB T für Elektronen und EF kB T für Löcher gilt, wird η e Boltzmann Näherung F1 2 η

und die Dichten nehmen die Form E E F g n Nc exp kB T

p

Nv exp

EF kB T

an. Im intrinsischen Silizium lautet die Neutralitätsbedingung n Dotierung). Andererseits ist np

def 2 ni

p (keine

Eg

Nc Nv e kB T

Diese Beziehung kann man als Massenwirkungsgesetz einer “chemischen Reaktion”

C T Nc Nv

np

auffassen. n und p spielen dabei die Rolle der Endprodukte (freie Ladungsträger), während Nc v die Rolle der Ausgangsprodukte spielen (gebundene Elektronen und Löcher). C T ist die Massenwirkungskonstante (thermodynamisch betrachtet ist Eg die Summe der freien Enthalpien von Elektron und Loch). Man erhält also als Eigenleitungsdichte n p ni . Auflösung nach dem entsprechenden FermiNiveau ergibt, da

n

EF

EF Eg kB T

Nc exp

EF i 1 Eg 2

ni Eg kB T ln m˜ Nc 3 dp kB T ln 4 m˜ dn

ni

Nc Nv e

Eg 2kB T

1 kB T Nv Eg ln 2 2 Nc (5.41)

¨ 5.4. LADUNGSTRAGERDICHTEN

89

Die Zustandsdichte-Massen sind allerdings selbst temperaturabhängig (m˜ dn 300 K 1 090 m 0 m˜ d p 300 K 1 152 m0). Wegen des geringen Massen Unterschieds ist EF i 300 K Eg 2 1 meV ! Bei Raumtemperatur liegt das Eigenleitungs-Niveau also praktisch in der Mitte der Energielücke (“midgap”). Die intrinsische Dichte9 ni ist3 schwierig zu messen. Der momentan beste Wert ist ni 300 K 9 97 10 cm . B) Dotiertes Silizium Wir betrachten n-dotiertes Silizium und setzen voraus, dass die Donatoren genau einen gebundenen Zustand mit dem Energieniveau ED erzeugen und das dieses Niveau auch nur einfach besetzbar ist. Das Einbringen von Elementen der 5. Hauptgruppe des PSE, wie Phosphor oder Arsen, auf reguläre Plätze des SiliziumKristallgitters führt dazu, dass das “überschüssige” fünfte Valenzelektron nur noch schwach an den Donator gebunden ist und leicht thermisch ins Leitungsband aktiviert werden kann. Die Bindungsenergie im Grundzustand, d.h. E g ED , ist nur von der Grössenordnung 50 meV . Die Statistik für solche an sogenannten flachen Störstellen gebundene Elektronen unterscheidet sich etwas von der Statistik der freien Ladungsträger. Das gebundene Elektron kann sich in zwei Zuständen befinden: “spin-up” oder “spin-down”, wir bezeichnen diese Zustände mit D , D . Der einfach besetzte Zustand hat also zwei Realisierungsmöglichkeiten, der unbesetzte nur eine! nD bezeichne die Besetzungszahl (also hier 0 oder 1). Man führt Gewichtsfaktoren gnD ein (also hier g0 1, g1 2), so dass die verallgemeinerte Besetzungswahrscheinlichkeit des Niveaus ED :

fD

∑ gnD nD exp

nD 0 1

µc E D nD kB T

µc E D nD kB T

∑ gnD exp nD 0 1

fD

1 g0 g1

exp

E D µc kB T

1

(5.42)

Der Unterschied zu den freien Ladungsträgern besteht also im Auftreten eines Faktors g0 g1 vor der e-Funktion. Dieser Faktor ist 1 2 für Donatoren und 2 für Akzeptoren. Die physikalische Ursache liegt in der vorausgesetzten Beschränkung der nur einfachen Besetzbarkeit von ED . Ein zweites Elektron kann nicht gebunden werden, da die starke Coulomb-Wechselwirkung in der Umgebung des Donators (Bohr-Radius!) dies verhindert. Im Gegensatz dazu sind die Elektronen in den Bändern relativ weit voneinander entfernt, jedes EnergieNiveau kann dort zweifach besetzt werden (Spin-Entartung).

90

CHAPTER 5. SILIZIUM

Die Neutralitätsbedingung für (homogen) dotiertes Silizium lautet

n

Man beachte, dass N

D

Niveaus ist.

p

n2i n

ND

die Dichte der ionisierten Donatoren, also der unbesetzten

ND

ND

fD

ND 1

ND

1

2 exp

mit 1 Nc exp 2

n1

def

EF ED kB T

Eg ED kB T

ND

n

n1 n1

(5.43)

Setzt man dies in die Neutralitätsbedingung ein, folgt n2i ND n1 n 0 n n n1 n2 n n 1 n n1 n2i

n n1 ND

0

(5.44)

Man hat also bereits eine kubische Gleichung in n erhalten. Die kann man zwar noch lösen, wir betrachten hier aber nur den wichtigen Fall ND ni . Unter dieser Voraussetzung ist auch n ni und der mittlere Term in (5.44) kann vernachlässigt werden. Dann

n2 n

n n1 1 n1 2

n1 ND 4ND n1

0 1

1

(5.45)

ND n1 (nicht zu hohe Dotierung, ausreichend hohe Temperaturen, das FermiNiveau liegt noch einige kB T unterhalb von ED ) n ND , vollständige Ionisation

EF

Eg

kB T ln

ND Nc

ND n1 (sehr hohe Dotierung, tiefe Temperaturen) n n1 ND ND , Ausfrieren der freien Ladungsträger an den

¨ 5.4. LADUNGSTRAGERDICHTEN

Störstellen EF Eg

kB T 2 ln 1 2 Eg

ND 2N c

91

1 2

ED

Eg

EF T 0 ED , d.h. das Fermi-Niveau kommt genau in der Mitte zwischen Donator-Niveau und Bandkante zu liegen. Alle diese Betrachtungen sind stark vereinfacht. Mit steigender Dichte wird das Coulomb-Potential der ionisierten Störstellen abgeschirmt. Die Bindungsenergie wird eine Funktion der Dichte: ED ED n . Bei etwa n 2 1018 cm 3 können in Si überhaupt keine Elektronen mehr an den Donatoren gebunden werden und ¨ der Ionisationsgrad wird 1. Diese Situation nennt man Mott-Ubergang. Eine Folge der immer höheren Dotierung ist, dass die diskreten Störstellen-Niveaus ED zu einem schmalen Störstellen-Band verbreitern, das schliesslich mit dem Leitungsband verschmilzt. Ein weiterer wichtiger Effekt hängt mit der Vielteilchen-Wechselwirkung zusammen. Werden die Bänder stark besetzt, wie das bei hohen Dotierungen der Fall ist, verändert sich die Bandstruktur: Die Energielücke schrumpft (band gap narrowing) und Eg Eg ND n . Der Grund sind Energie-Beiträge der Austausch- und Korrelations-Wechselwirkung. Die Stärke des Effektes kann man der Abbildung entnehmen.

Band Gap Narrowing ∆Eg [eV]

del Alamo et al. Ghannam Mertens et al. Neugroschel et al. Possin et al. Slotboom et al. Swirhun et al. Wieder Schenk model (n−type) Schenk model (p−type) CompElKlaassNEW.eps Klaassen (unified)

0.15

0.10

72

70 mm

0.05

0.00

16

17

18

19

20 −3

Log( Density [cm ] )

21

6 Streuprozesse ¨ 6.1 Ubergangswahrscheinlichkeit am Beispiel der Streuung an ionisierten St¨ orstellen Vorbetrachtung ¨ Uberlagert man dem Potential des idealen Kristalls ein konstantes elektrisches Feld E, wächst der Elektronen-Impuls linear an: kt

k0

e

Et

(6.1)

Dabei wurde die Anfangsbedingung k t 0 k0 angenommen und die Newtonsche Bewegungsgleichung gel¨ ost. F¨ ur symmetrische Feldrichtungen gibt es einen Zeitpunkt t T E , an dem der Vektor kT K T mit dem Vektor kt 0 zum Zeitpunkt 0 erstmalig wieder zusammenfällt. Das bedeutet, dass der BlochZustand zum Zeitpunkt T in den Bloch-Zustand zum Zeitpunkt 0 zurückkehrt. Für ganzzahlige Vielfache von T gilt das gleiche. Die Bewegung von BlochZuständen im elektrischen Feld ist also periodisch. Man nennt diese Bewegung Bloch-Zener-Oszillationen. Die Periode T dieser Oszillationen ergibt sich aus Gleichung (6.1):

T

K e E

Für E 104 V cm und primitive reziproke Gittervektoren K b j ist T etwa 10 10 s. Kehren wir zu den Bändern zurück, wie wir sie im letzten Kapitel für das 1D-Modellpotential erhalten hatten: E k E0 cos ka . Berechnet man daraus die Gruppengeschwindigkeit

vg

1 dE dk

aE0

92

sin ka

¨ 6.1. SKK AM BEISPIEL DER STREUUNG AN IONISIERTEN STORSTELLEN

93

und setzt für k die Beziehung (6.1) ein, so ergibt sich

aE0

vg

aeEt

sin k0 a

Die Gruppengeschwindigkeit oszilliert also in den Grenzen aE0 mit der Frequenz f aeE h, die genau dem Kehrwert von T im eindimensionalen Fall entspricht. Da die Stromdichte j envg ist, sieht man also, dass ein Gleichfeld E einen Wechselstrom j generiert. Das zeitliche Mittel ist Null, d.h. es fliesst kein Gleichstrom. Dass man trotzdem einen Gleichstrom misst, liegt an der Streuung. Nach Zeiten von etwa 10 13 s werden die Bloch-Elektronen durch Stösse mit Phononen und Störstellen aus der Bahn geworfen, so dass sie niemals einen Impulszuwachs von K während der periode T schaffen können. Die Streuung sorgt also bei Bloch-Elektronen nicht wie bei völlig freien Elektronen dafür, dass ein sonst unendlich grosser stationärer Strom endlich bleibt, sondern dafür, dass ein sonst verschwindender Strom nicht Null wird! Bloch-Zener-Oszillationen wurden vor einigen Jahren erstmals an Supergittern, die eine viel grössere Gitterperiode als a haben, anhand der emittierten Terra-Hertz-Strahlung nachgewiesen. Quantenmechanik: Ultra-Short Course III Goldene Fermi-Regel der QM

Wir betrachten einen zeitabhängigen Störoperator der Form

0

Wt.ID.epsi 53 13 mm

V t

W t 0

0 t sonst

τ

wobei die Ortsabhängigkeit von W t nicht

t

explizit mitgeschrieben wird. Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung i

Hˆ

∂ Ψ t ∂t

0

V t Ψ t

hat keine stationären Lösungen im Zeitintervall 0 τ . Wir entwickeln Ψ t nach den stationären Zuständen nφ von Hˆ 0 . Die zugehörigen Eigenenergien sind En . (Eine solche Entwicklung ist möglich, da die φn eine orthonormierte Basis im Hilbert-Raum bilden.)

Ψ t

∑ an t n

φn exp

i

En t

(6.2)

τ

94

CHAPTER 6. STREUPROZESSE

Zu Zeitpunkten t 0 hat sich das System in einem Eigenzustand von Hˆ 0 befunden, z.B. φi (“i” steht für “initial”). Daher muss Ψa

φi exp

i

Ei t

für t

0

δni für t 0. Nachdem die Störung sein. Daraus folgt an t vorbei ist, d.h. für t τ, haben die Koeffizienten wieder konstante Werte ani τ . Sie hängen vom Anfangszustand (deshalb der Index i) und von der Dauer der Störung τ ab. Für Zeiten t τ lautet also die Wellenfunktion

∑ ani τ

Ψe

φn exp

n

i

En t

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System nun in einem bestimmten Zustand f (“ f ” steht für “final”) befindet, wird durch das Betragsquadrat

2 Bez

a f i τ

M f i τ

(6.3)

¨ gegeben. M f i heisst Ubergangswahrscheinlichkeit (von i nach f ). Ziel ist die Berechnung von M f i . Dazu setzt man die Entwicklung (6.2) in die SchrödingerGleichung ein und erhält im Zeitintervall 0 τ

∂an t φn exp i ∑ ∂t n

En t

i

W t

∑ an t φn exp n

i

En t

Um eine Gleichung für die Entwicklungskoeffizienten an t zu erhalten, multipliziert man diese Gleichung mit φ f und integriert über den IR3 :

∂an t i ∑ φ f φn exp ∂t n

a˙ f t mit

δfn

1 i

∑ n

i

En t

∑ an t n

φ f W t φn exp

f W t n an t eiω f nt

φ f W t φn

def

f W t n

i

En t

(6.4)

d 3 r φn r φ f r W t

¨ ωfn E f En nennt man Ubergangsfrequenz. Gleichung (6.4) ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung in der Zeit mit der Anfangsbedingung a f 0 δ f i ,

¨ 6.1. SKK AM BEISPIEL DER STREUUNG AN IONISIERTEN STORSTELLEN

95

wie man durch Einsetzen in (6.2) sofort sieht. Wir nehmen nun an, dass W t nur eine “kleine Störung” ist, bzw. dass die Dauer τ der Störung nicht zu lang ist. Dann kann man (6.4) iterativ lösen und im ersten Schritt Anfangsbedingung die 0 in die rechte Seite anstelle von an t einsetzen, also an t δni :

1 f W t i eiω f i t i Integration im Intervall 0 τ unter Beachtung, dass die Zustände f und i verschieden sein sollen, liefert 1 τ 1 a f i τ dt f W t i eiω f i t i 0 ¨ Damit erhält man für die Ubergangswahrscheinlichkeit in 1. Ordnung Störungstheorie a˙ f i t 1

1 Mfi

τ

1 afi

2

τ

τ

1

2

dt f W t i eiω f i t

2 0

(6.5)

Wir betrachten jetzt zwei wichtige Fälle für die Zeitabh¨ angigkeit des Störoperators W t :

1.)

W t

W0

W0 r

f W0 i 2

M f i τ 1

keine Zeitabhängigkeit

f W0

π 2

e

2 ω2 fi

iω f i τ

2

1

ω f iτ 4 sin 2

i 2

2

2 ω2 fi

ωfi 2 τ ωfi 2 τ 2

sin2

f W0 i τ 2

π τ

∞

δ

(6.6)

ωfi 2

Der letzte Schritt folgt aus einer der möglichen Darstellungen der δFunktion: 1 sin2 xε 0 πε x ε 2

lim

ε

δ x

96

CHAPTER 6. STREUPROZESSE

¨ Wir definieren die Ubergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit als Sfi

lim

1 Mfi

τ

τ

2π

τ

∞

Ei

f W0 i 2 δ E f

(6.7)

Man nennt sie oft “Fermi’s Goldene Regel der Quantenmechanik”. Sie ist die wohl wichtigste Formel für Anwendungen der QM. Man bedenke, dass mit ihr die Berechnung von (mikroskopischen) Streuraten auf die Berech¨ nung eines einzigen Ubergangs-Matrixelements, gebildet mit Zuständen des ungestörten Systems, reduziert wird. 2.)

W0 eiω0 t e iω0 t

W t

periodische Störung z.B. Phonon, Photon, ...

Die Rechnung ist analog. Es treten lediglich Frequenzverschiebungen ω f i ω0 auf und man erhält 2π

Sfi

f W0 i 2 δ E f

Ei

ω0

δ Ef

Ei

ω0

Die erste δ-Funktion beschreibt die Emission eines Quants der Energie ω 0 , die zweite die Absorption eines solchen Quants. Wir betrachten jetzt zwei wichtige Fälle für die Ortsabhängigkeit des Störoperators W0 . Anfangs- und Endzustände seien Bloch-Funktionen der Kristall-Elektronen. 1 ik r 1 i f e uk ν r e ik r ukν r Ω Ω Wir fragen also nach der Wahrscheinlichkeit für die Streuung aus einem Zustand mit dem Wellenzahlvektor k aus der 1. BZ in einen Zustand mit dem Wellenzahlvektor k aus der 1. BZ. Da in der QM der Zusammenhang p k zwischen Impuls und Wellenzahlvektor gilt, ist die Frage gleichbedeutend mit der Frage nach den zu erwartenden Impulsänderungen p p. 1.)

W0 r

f W0 i

const

W0 3 ir k d re Ω Ω W0 δνν δkk

k u r u r kν kν

¨ 6.1. SKK AM BEISPIEL DER STREUUNG AN IONISIERTEN STORSTELLEN

97

wegen der Orthonormierung der Bloch-Funktionen. Das Matrixelement liefert also nur von Null verschiedene Beiträge, wenn k k gilt, d.h. eine räumlich konstante Störung ändert den Impuls eines Elektrons nicht. 2.)

W0 r beliebig. Fourierzerlegung: W0 r

f W0 i

1 W0 q ∑ Ω q

Ω

d 3 re ir k

k

∑ W0 q

eiq r

q

q u r u r kν kν

Wenn q klein ist, dann gilt die Orthonormiertheit wenigstens noch näherungsweise. Im Rahmen der Effektivmassen-Näherung werden die Bloch-Faktoren von vornherein durch 1 ersetzt. Dann erhält man f W0 i

∑ W0 q δk q

k q δνν

!

δνν W0 k

k

Die Fouriertransformation des Potentials W0 r führt also direkt auf das Matrixelement. Bemerkung: Die Goldene Regel zeichnet sich durch eine grosse Allgemeingültigkeit aus. Dies obwohl ein offensichtlicher Widerspruch besteht. Um die δ-Funktion zu ∞ nehmen. Bei bestimmten Wechselerhalten, musste man den Limes τ wirkungsprozessen wirkt jedoch die Störung nur während sehr kurzer Zeiten. Für Stosszeiten von der Grössenordnung 10 14 s und kleiner kann der Ausdruck (6.6) typischerweise nicht mehr in eine δ-Funktion übergehen, die Energie-Erhaltung wird verletzt. Dies ist eine Konsequenz der Heisenbergschen Unschärferelation. Zu kurze Wechselwirkungen, d.h. mit zu grosser Zeitschärfe, sind unweigerlich mit einer gewissen Energie-Unschärfe verbunden. Die im folgenden betrachteten Streuprozesse der Elektronen in Silizium-Bauelementen sind jedoch derart, dass die Goldene Regel mit grosser Genauigkeit gilt. A) Anwendung auf Streuung an ionisierten Störstellen Die ionisierten Dotieratome erzeugen ein Coulomb-Potential, das dem eines Protons sehr ähnlich ist. Die Einbettung der Ionen-Rümpfe im Silizium hat jedoch zwei Konsequenzen: 1.) Wegen des relativ grossen Bohrschen Radius “spürt” das gebundene Elektron ein Gebiet des Kristalls vom Volumen mehrerer hundert Wigner-Seitz-Zellen. Die Polarisierbarkeit der Silizium-Atomrümpfe führt dazu,

98

CHAPTER 6. STREUPROZESSE

dass das Orbital nur den εs -ten Teil des “nackten” Coulomb-Potentials spürt. ε s ist die statische Dielektrizitätskonstante (εs 11 7 in Silizium). 2.) Die frei be weglichen Ladungsträger reagieren auf die zusätzliche Ionen-Ladung durch eine gewisse Umordnung. Resultat dieser Umordnung ist ein zusätzliches Potential, das jedes Elektron im System spürt, also auch das an der Störstelle gebundene. In einfachster Näherung kann man diesen Effekt mittels einer q-abhängigen dielektrischen Funktion der Gestalt

ε q

1

q2s q2

beschreiben (der Index “s” steht für “screening”). Die Wellenzahl q s ist umgekehrt proportional zur sogenannten Abschirmla¨ nge Ls : Ls 2π qs . Man findet in 1. Ordnung Störungstheorie 0.0

Potential (eV)

Screening Length (nm)

1000

100 lambda.eps 63 55 mm

10

1 14 10

10

15

10

16

10

17

18

10

10

19

−0.1

−0.2

20

10

yukawa.eps 62 57 mm

0

5

−3

Density (cm )

14

10 16 10 18 10 20 10 10

15

Distance (nm)

Realistisch berechnete Abschirmlänge als Funktion der Elektronendichte in n-Silizium bei 300 K (links). Yukawa-Potential bei verschiedenen Elektronendichten (rechts).

q2s

4πe2 n p εs kB T

d.h. die Abschirmlänge ist 1 n p. Je grösser die Dichten der frei beweglichen Ladungsträger, um so stärker wird das Coulomb-Potential abgeschirmt. Dies geht soweit, dass ab einer bestimmten Dichte überhaupt kein Elektron mehr an der Störstelle gebunden werden kann. Dies ist der bereits ¨ im vorangegangenen Kapitel erwähnte Mott-Ubergang. Er findet in Silizium bei 18 3 Dichten von etwa 2 10 cm statt. Darüber sind alle Dotieratome ionisiert. Das effektive Potential, das von den ionisierten Dotieratomen erzeugt wird, nimmt nach dem oben Diskutierten die Form des sogenannten Yukawa-Potentials

¨ 6.1. SKK AM BEISPIEL DER STREUUNG AN IONISIERTEN STORSTELLEN

99

an

e2 e r Ls εs r

W0 r

(6.8)

¨ an. Um die Ubergangswahrscheinlichkeit für Streuungen an diesem Potential zu finden, müssen wir also nur die Fourier-Transformierte berechnen:

1 Ω

W0 q

Ω

d 3 r e iq rW0 r

¨ Dies sollte man als Ubung tun (Kugelkoordinaten!), das Ergebnis ist

4π e2 Ω εs q2 Ls 2

W0 q

¨ Damit erhält man alsUbergangswahrscheinlichkeit Skk für die Streuung an einer ionisierten Störstelle

Skk

2π

Ω εs

4πe2

k2

k

Ls

2

δ Ek

2

Ek

(6.9)

Wir betrachten ionisierte Donatoren mit einer mittleren Dichte ND . Nach Prozess-Schritten wie Implantation, Eindiffusion und Ausheilung sind die Donatoren regellos auf dem Kristall-Gitter verteilt. Ist der Abschirmradius kleiner als der halbe mittlere Abstand zwischen den Donatoren, kann man die Streuung an verschiedenen Donatoren als unabhängig voneinander ansehen. Dies ist für Dotierungskonzentrationen (und damit Dichten), die die Beweglichkeit der Ladungsträger tatsächlich beeinflussen, gut erfüllt. Da wir alle Berechnungen auf das Grundgebiet Ω beziehen wollen, ist der letzte Ausdruck noch mit der Zahl der Donatoren im Grundgebiet ΩND zu multiplizieren, um zur totalen Streurate zu kommen (wegen der vorausgesetzten Unabhängigkeit der Donatoren) Skk

2π 4πe2 Ω ε2s

2

ND

k

k 2

Ls 2

δ Ek 2

Ek

(6.10)

(Brooks, Herring, 1951). Der Fall geringer Dotierungskonzentrationen, bei dem der Abschirmradius grösser als der halbe mittlere Abstand zwischen den Donatoren werden kann, erfordert eine gesonderte Behandlung der dabei auftretenden Mehrfach-Streuung (Conwell, Weisskopf).

100

CHAPTER 6. STREUPROZESSE

B) Impuls-Streurate Gemäss Gleichung (3.15) ist die Beweglichkeit direkt proportional zur makroskopischen Impuls-Relaxationszeit: µn eτ p n mn . Das 1. Moment der Boltzmann-Gleichung liefert den Zusammenhang zwischen τ p n und dem Stossterm der BG ∂v v n n (6.11) ∂t coll τp n

(sh. Kap.3). Wir schreiben beide Seiten explizit aus, wobei nach (5.20) kSummation durch k-Integration ersetzt wird.

n

∂v ∂t

coll

n

v

d 3 k ∑ Sk k 1 k

fk fk

Skk 1

f k f k v

Ω k d 3 k d 3 k Skk fk fk 3 8π mn Ω d 3 k fk d 3 k Skk k k mn 8π3 1 d 3 k f k k mn τp n

τp n

Dabei wurde ein einfaches, parabolisches Leitungsband Ec k 2k2 2mn angenommen, was ausreicht, weil nur kleine k in der Umgebung des Band¨ minimums zur Ubergangswahrscheinlichkeit beitragen. Um (6.11) nach 1 τ p n auflösen zu können, betrachten wir o.B.d.A. die z-Komponente der Geschwindigkeit und erhalten Ω 8π3

1 τp n

d kf d k S d kf k 3

3

k

3

kk

kz k z

k z

Für die k-Integration wird kz als Polarachse benutzt. Da die Stösse elastisch sind, haben die Vektoren k und k die gleiche Länge, so das kz kz cos Θ mit dem Streuwinkel Θ. Dies führt auf

d k f k τ k d kf k 3

1 τp n

1 k z pn 3 k z

mit der Impuls-Streurate

τ p 1n k

Ω 8π3

d 3 k Skk 1

cos Θ

(6.12)

6.2. DIE WICHTIGSTEN STREUMECHANISMEN IN SILIZIUM

101

Vergleicht man den letzten Ausdruck mit der totalen (mikroskopischen) Streurate aus Kap.2, die dort für symmetrische (“randomizing”) ¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten Skk S k k Sk k S k k definiert wurde, so tritt hier ein Faktor 1 cos Θ auf, der Streuungen mit Θ 0, die zu keinerlei ¨ Impulsänderung führen, herausfiltert. DieUbergangswahrscheinlichkeit Skk wird für Θ 0 maximal, da

k

k 2

k2

k

2

2kk cos Θ

cos Θ

2k2 1

4k2 sin2

Θ 2

in dem Fall verschwindet. Die Streuung an ionisierten Störstellen ist also nicht “randomizing”, sondern führt bevorzugt zur Vorwärts-Streuung. Setzt man den Ausdruck (6.10) für Skk in die Impuls-Streurate ein und nutzt die δ-Funktion aus, ergibt sich 1 τ p n als Funktion nur der Energie:

τ p 1n

Ek

πe4 ND Φ η 3 2

2mn ε2s Ek

mit

Φ η

ln 1

η

1

η η

und η

8mn Ek 2Ls 2

(Brooks, Herring, 1951). Mit wachsender Energie nimmt die Impuls-Streurate sehr schnell ab, was nachträglich nochmal die Verwendung der EffektivmassenApproximation rechtfertigt.

6.2 Die wichtigsten Streumechanismen in Silizium Der wichtigste Streumechanismus ist die Streuung an Phononen, den Quanten der Gitterschwingungen. Während die Streuung an ionisierten Störstellen elastisch ist, liefert die Phononstreuung einen Energieverlust-Mechanismus (Emission von optischen Phononen). Die Beweglichkeit der Ladungsträger in Silizium (und damit auch die Temperaturabhängigkeit der Beweglichkeit) ist für N dop 1016 cm 3 völlig von der Phononstreuung dominiert. Der Störoperator ist das sogenannte Deformationspotential. Man erhält es, wenn man die Energie¨ ¨ Anderung infolge der Gitterdeformation (Anderung der Gitterkonstanten a) störungstheoretisch berechnet. Eine relativ einfache Darstellung findet sich im Buch von Hess (S. 89 ff.). Wir geben hier nur die Impuls-Streuraten der wichtigsten Prozesse als Funktion der Energie an, wobei wieder eine parabolische Dispersion der Bänder vorausgesetzt wurde.

102

CHAPTER 6. STREUPROZESSE

I NNERTAL -S TREUUNG AN

AKUSTISCHEN

¨ P HONONEN ( ELASTISCHE N AHERUNG )

D2ac 2 mt2 ml kB T π 4 c2l ρ

1

τac p n E

E

(Dac - Deformationspotential-Konstante, ρ - Massen-Dichte, cl - longitudinale Schall-Geschwindigkeit). Der Ausdruck für die Löcher ist ähnlich, Deformationspotential-Konstante und effektive Massen sind anders. Z WISCHENTAL -S TREUUNG (E LEKTRONEN )

1

τivp n E

AN AKUSTISCHEN UND NICHT- POLAR OPTISCHEN

∑

α Täler

fB α

ΘE

1 2

1 2

2 f E ωα Zα mt2 ml Div α 1 f E 2π 3 ωα ρ

1

ωα

P HONONEN

E

ωα

(ωα - effektive Phonon-Frequenz, Div α - effektive DeformationspotentialKonstante, f E - Fermi-Dirac-Verteilung, fB α - Bose-Einstein-Verteilung fB α exp ωα kB T 1 1 , Θ - Stufenfunktion).

S TREUUNG

1 nop τp p

¨ P HONONEN (L OCHER )

AN NICHT- POLAR OPTISCHEN

3 2

E

D2nop md p

2ρω0 π

f E

3f

E

f E

ω0 f B 0

1

ω0 f B 0 E

E

ω0 Θ E

ω0

ω0

(Dnop - nicht-polar optische Deformationspotential-Konstante, ω 0 - effektive Phonon-Frequenz, f B 0 - Bose-Einstein-Verteilung f B 0 exp ω0 kB T 1 1 ).

S TREUUNG

AN IONISIERTEN

¨ S T ORSTELLEN (B EISPIEL

1

τp n E imp

EINFACHE

D ONATOREN )

πe4 ND Φ η 2mn ε2s E 3 2

Mit geänderter effektiver Masse gilt dieser Ausdruck auch für Löcher. Allerdings versagt die 1. Ordnung Störungstheorie bei diesem Streumechanismus relativ schnell.

6.3. DIE MATTHIESSEN-REGEL

103

Man entnimmt diesen Formeln folgende allgemeine Charakteristika: Die Phonon-Streuraten sind proportional zur Zustandsdichte E und zu den Phonon-Besetzungswahrscheinlichkeiten f B . Sie sind ausserdem monoton wachsende Funktionen der Temperatur T , denn im Fall ω kB T geht

1

fB

ω

e kB T

kB T ω

1

6.3 Die Matthiessen-Regel Wenn man voraussetzt, dass die einzelnen Streuprozesse unabhängig voneinander sind, dann ist die totale Streurate die Summe der partiellen Streuraten 1

1

∑ τα k

τtot k

α

¨ wegen der Additivität der quantenmechanischenUbergangswahrscheinlichkeiten. Die partiellen Beweglichkeiten ergeben sich durch gewisse Mittelwerte über die mikroskopischen Relaxationszeiten (sh. nächstes Kap.) τα

µα

Näherungsweise gilt 1 µtot

1

∑ µα

Matthiessen-Regel

α

(6.13)

(Additivität der Teilwiderstände). Diese Regel ist deshalb eine Näherung, weil 1 µtot

1 τtot

1

∑ τ1α α

1

∑ α

1 τα

1

∑ µα α

Nur wenn alle τα 1 dieselbe Energieabhängigkeit haben, gilt die MatthiessenRegel exakt, wie man leicht überprüfen kann. Andersherum, je unterschiedlicher die Energieabhängigkeit τα 1 E s der einzelnen Impuls-Streuraten, desto grösser der Fehler. In der Bauelemente-Simulation verwendet man oft empirische Modelle für die einzelnen partiellen Beweglichkeiten µα . Dann ist die MatthiessenRegel die einzige Möglichkeit, daraus eine totale Beweglichkeit zu konstruieren.

7

Beweglichkeit kalter und heisser Ladungstr¨ ager

7.1 Partielle Beweglichkeiten f¨ ur Streuung an ionisierten St¨ orstellen und an akustischen Phononen Mit den Impuls-Streuraten aus dem letzten Kapitel kann man die partiellen Beweglichkeiten leicht berechnen:

e d 3 k f k kz mn d 3 k fk kz τ p 1n Ek

µn

Würde man hier die Gleichgewichtsverteilung f0 k einsetzen, so würde ein Aus 1 druck Null/Null entstehen. Deshalb benutzen wir f k von Gleichung (2.8) als Abweichung vom Gleichgewicht in niedrigster Ordnung f

1

k

τ p n Ek

eE

∇ f E k 0

k

und erhalten unter Auszeichnung der z-Richtung µn

∂ 3 e d k kz τ p n Ek ∂kz f0 Ek mn d 3 k k z ∂ f 0 Ek

2 e 3 mn

∂kz ∂ f0 3 2 dE ∂E E τ p n

dE

E f0 E

E

Partielle Beweglichkeit für Streuung an ionisierten Störstellen Setzt man die Impuls-Relaxationszeit aus dem letzten Kapitel

τimp p n E

2mn ε2s E 3 2 πe4 ND Φ η 104

¨ DIE BEWEGLICHKEIT KALTER LADUNGSTRAGER ¨ 7.2. MODELLE FUR IM BULK 105

hier ein, beschränkt sich auf Maxwell-Boltzmann-Statistik, benutzt ∞

dx e x

xx

Γ n

n

0

3 2

und zieht η E am Maximum des restlichen Integranden (Emax Integral, folgt

8 2ε2s kB T 3 2 e3 π3 2 mn ND Φ η

µimp n

24mn kB T 2Ls 2

η

mit

3 kB T ) aus dem

(7.1)

Partielle Beweglichkeit für Streuung an akustischen Phononen Setzt man die Impuls-Relaxationszeit in elastischer Näherung aus dem letzten Kapitel τac pn

E

π 4 c2l ρ mt2 ml kB T

D2ac 2

E

ein, so folgt mit Maxwell-Boltzmann-Statistik µac n

2 e 2π 4 c2l ρ 3 D2 mn5 2 kB T 3 ac

2

(7.2)

Für die effektive mn hat man in (7.1) und (7.2) jeweils die Zustandsdichte 2Masse 1 3 Masse mdn mt ml zu benutzen.

7.2 Modelle f¨ ur die Beweglichkeit kalter Ladungstr¨ ager im bulk Dotierung bis 1019 cm

3

Empirisches Grundmodell (Caughey, Thomas, 1967):

µ Nimp T

µmin

µL T

1

µmin N

Nimp re f

α

(7.3)

µL T ist “lattice mobility” mit empirischer Temperaturabh¨ angigkeit, z.B. für Elektronen µL n T 1417 T 300 2 5 cm2 V s Nimp

0

µ Nimp T

µL T

¨ CHAPTER 7. BEWEGLICHKEIT KALTER UND HEISSER LADUNGSTRAGER

106

5

2

Mobility (cm /Vs)

10

inter−valley

4

10

munTfull.eps 72 72 mm Norton et al. Long Rauch et al. Logan et al. power law (Dessis) Schenk model

3

10

2

ac

10

20 30

50 100 200 Temperature (K)

500

1000

Temperaturabhängigkeit der bulk-Beweglichkeit thermalisierter (kalter) Elektronen in Silizium. Die relativen Anteile von Zwischental-Streuung an nicht-polar optischen und akustischen Phononen (inter-valley) und Innertal-Streuung an akustischen Phononen (ac) sind als gestrichelte Kurven dargestellt. 500

1.4

Mobility (cm /Vs)

400

1.0

3

2

2

Mobility (10 cm /Vs)

1.2

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

impn.eps 63 59 mm

theory (Fermi) theory (Boltzmann) data Masetti et al.

300 200

impp.eps 64 64 mm

100

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 −3

Log(Nimp (cm ))

0

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 −3

Log(Nimp (cm ))

Abhängigkeit der bulk-Beweglichkeit thermalisierter (kalter) Elektronen (links) und Löcher (rechts) von der Dotierungskonzentration. Experimentelle Kurven sind mit offenen Kreisen dargestellt, die theoretischen Ergebnisse in Bornscher Näherung mit durchgezogenen Kurven (Fermi-Dirac-Statistik) und gepunkteten Kurven (MaxwellBoltzmann-Statistik).

¨ DIE BEWEGLICHKEIT KALTER LADUNGSTRAGER ¨ 7.2. MODELLE FUR IM BULK 107

Nimp µmin

Nre f 50 70 cm2 V s

µ Nimp T

µmin

const, z.B. für Elektronen

zwei empirische Parameter, mit denen die Position und die Steilheit der Flanke eingestellt wird, z.B. für Elektronen Nre f 9 7 1016 cm 3 und α 07

Starke Dotierung 1019 cm

bis 1021 cm

3

3

Modifiziertes Caughey-Thomas-Modell (Masetti, 1983):

µ Nimp T

µmin

µL T

1

µmin

Nimp Nre f 1

α1

1

µ1

Nre f 2 α2 Nimp

(7.4)

Anpassung des “second drop” mit drei zusätzlichen Parametern

700

500 Dziewior and Silber Tang et al. Swirhun et al. 1986 Swirhun et al. 1988 Leu and Neugroschel majority carrier mob. nminority.eps 63 67 mm

500 400 300

2

600

Hole Minority Mobility [cm /Vs]

2

Electron Minority Mobility [cm /Vs]

Unterschied zwischen Minoritäts- und Majoritätsladungsträger-Beweglichkeit

200 100 0

17

18

19 −3

Log(NA [cm ])

20

Dziewior and Silber Burk et al. Mertens et al. del Alamo et al. Wang et al. Wang and Neugroschel majority carrier mob. pminority.eps 63 67 mm

400 300 200 100 0

17

18

19

20

−3

Log(ND [cm ])

Symbole zeigen gemessene Minoritätsladungsträger-Beweglichkeiten, Elektronen in pSi (links) und Löcher in n-Si (rechts). Zum Vergleich sind mit den durchgezogenen Kurven die Majoritätsladungsträger-Beweglichkeiten dargestellt.

Messungen deuten darauf hin, dass Minoritätsladungsträger-Beweglichkeit grösser als Majoritätsladungsträger-Beweglichkeit ab Dotierung von etwa 1017 cm 3

108

¨ CHAPTER 7. BEWEGLICHKEIT KALTER UND HEISSER LADUNGSTRAGER

Erklärung über Versagen der Störungstheorie 1. Ordnung (Bornsche Näherung) repulsive Streuung schwächer als attraktive

7.3 Beweglichkeit im MOSFET-Kanal Was ändert sich physikalisch für die Ladungsträger im Kanal eines MOSFETs? Streuung an den Mikro-Rauhigkeiten der Si-SiO2 -Grenzfläche (“surface roughness scattering”) SiO2 L ∆ roughness.ID.epsi 83 39 mm

silicon

Mikro-Rauhigkeiten der Si-SiO2 -Grenzfläche führen zu lateralen Fluktuationen des Oberflächenpotentials, an denen die Ladungsträger gestreut werden. Zwei empirische Parameter dienen zur Modellierung: eine Korrelationslänge L und eine mittlere Rauhigkeit ∆.

Streuung an geladenen Grenzflächen-Zuständen und festen Oxid-Ladungen (“fixed oxide charges”) zusätzlich zur Streuung an den ionisierten Störstellen im Silizium. Im Inversionsfall ist jedoch jede Coulomb-Streuung wegen der grossen Ladungsträgerdichte im Kanal so stark abgeschirmt, dass die Oberflächenstreuung überwiegt. Modifikation der Phonon-Streuung durch Oberflächen-Phononen 2D-Quantisierungseffekte

Zustandsdichte und Streuraten ändern sich.

Welche Mechanismen dominieren, hängt vor allem von der Feldstärke E senkrecht zur Grenzfläche ab.

7.3. BEWEGLICHKEIT IM MOSFET-KANAL

109 starke Inversion

nahe Gleichgewicht

NA besetzte Grenzflächenzustände

oxidecharges.ID.epsi 84 63 mm positive Oxidladungen

Coulomb-Streuung und Phonon-Streuung

surface roughness und Phonon-Streuung

Im subthreshold-Bereich des MOSFETs dominiert neben der Phonon-Streuung die Coulomb-Streuung an geladenen Grenzflächen-Zuständen, an festen Oxid-Ladungen und an den ionisierten Störstellen im Silizium. Bei starker Inversion sind die CoulombStreuzentren abgeschirmt, und es überwiegt neben der Phonon-Streuung die Streuung an den Mikro-Rauhigkeiten der Si-SiO2 -Grenzfläche. ϕ

0

ϕ

1

0.1

1

energy (eV)

E F,Si E F,g

mosfigures.ID.epsi 129 51 mm

0

ϕ’ ϕ’

0

E’1 E’0 E1 E0 E F,Si

0.002 0.003 0.004 distance (µm)

5 nm

Quantisierung im MOSFET-Kanal senkrecht zur Si-SiO2 -Grenzfläche. Links: Bandverbiegung in einer nMOS-Struktur mit 2 nm Oxiddicke (Vg 0 4V ). Die Leitungsbandkante rutscht unter das Si-Ferminiveau. Mitte: Die untersten vier Energieniveaus in Relation zum Si-Ferminiveau. Ungestrichene Energien beziehen sich auf die quantisierten Zustände mit longitudinaler effektiver Masse (2-fach entartet), die gestrichenen auf Zustände mit transversaler effektiver Masse (4-fach entartet). Numerische Rechnungen zeigen, dass das Ferminiveau unabhängig von der Gate-Spannung zwischen den untersten beiden Niveaus liegt. Deshalb ist die thermische Besetzung der höheren Subbänder schwach und die Verwendung der Effektivmassen-Approximation gerechtfertigt. Rechts: z-Komponente der Wellenfunktionen der untersten vier Zustände.

110

¨ CHAPTER 7. BEWEGLICHKEIT KALTER UND HEISSER LADUNGSTRAGER

Beispiel eines physikalisch motivierten empirischen Modells (Schwarz, Russek, 1983) 1 µtot

1 µL T

32

10 9 p z

T 300

1 2

bulk

(7.5)

Kanal Effekte

Dies ist ein Beispiel für die Verwendung der Matthiessen-Regel: 1 µtot 1 µbulk 1 µsur f . Im Kanal-Term bedeutet z die Ausdehnung des Kanals in Richtung senkrecht zur Si-SiO2 -Grenzfläche. Der Faktor p ist der sogenannte Fuchs-Streufaktor. Die Herkunft des Kanal-Terms kann folgendermassen motiviert werden: e e l µsur f τ p sur f m m vth Hier ist die Impuls-Relaxationszeit τ p sur f durch das Verhältnis einer Streulänge l und der mittleren thermischen Geschwindigkeit vth 3kB T m ausgedrückt worden. Die Streulänge wird mit der Ausdehnung des Kanals in Richtung senkrecht zur Si-SiO2 -Grenzfläche identifiziert. Damit erhält man 1 sur µf T z. Der Ausdruck für z lautet in diesem Modell

0 039 E av

z

T 300

1 24

E

10

1 3 av

5

(7.6)

E av ist die mittlere Feldstärke senkrecht zur Si-SiO2 -Grenzfläche gebildet mit der Ladungsdichte n z :

zp 1 dz E z n z av ninv 0 ninv ist die 2D Inversionsladungsdichte und z p der Rand des neutralen Gebietes. Die Form (7.6) für z erklärt sich wie folgt. z wird als Summe aus klassischer und quantenmechanischer Kanalweite angesetzt. Klassischer Term: Nach dem Virialtheorem gilt für eine beschränkte Bewegung T V , d.h. der Mittelwert der kinetischen Energie ist gleich dem Mittelwert der potentiellen Energie. Deshalb ist

E

m 2 v 2 th

3 kB T 2 zkl

!

eE

3kB T 2eE av

av zkl

7.3. BEWEGLICHKEIT IM MOSFET-KANAL

111

Quantenmechanischer Term: Nach der Heisenbergschen Unschärferelation ist p z altheorem

1 2 p 2m

eE

und nach dem Viri-

av zqm

zqm

2em

3 2 1 3E 1 3 av

In Abhängigkeit von der Feldstärke E av , d.h. von der angelegten GateSpannung, dominiert entweder der klassische Term (subthreshold-Bereich) oder der quantenmechanische Term (starke Inversion). Der Fuchs-Streufaktor p beschreibt den Anteil an diffuser Streuung, denn der reflexive Anteil trägt nicht zur Impuls-Streurate bei. Oberflächenstreuung: Das wird linear in der mittleren Fluktuation ∆ entwickelt: V x y z Potential V x y z0 ∆ ∂V ∂z z z0 und der letzte Term als Störoperator genommen. Das ¨ Quadrat des Ubergangsmatrixelements (Goldene Regel!) wird dann ∆2 E 2 . Bemerkungen:

Zur Anpassung der einzelner Parameter muss MOSFET unter solchen Bedingungen betrieben werden, bei denen ein bestimmter Streumechanismus dominiert. Modell als Funktion der mittleren Feldstärke E Simulation.

av

zu aufwendig für BE-

In Simulatoren oft Modelle als Funktion der lokalen Feldstärke E , z.B. 1 µtot

(Lombardi et al., 1988)

1 µL T

BT E

T C Nimp E

N λ

1 3

0

E2 δ

112

¨ CHAPTER 7. BEWEGLICHKEIT KALTER UND HEISSER LADUNGSTRAGER 10

3

−0.96

2

Effective Mobility [cm /Vs]

~ Eav

ohne300K.eps 80 68 mm

theoretical experimental

10

2 5

6

10

10 Effective field [V/cm]

Effektive Beweglichkeit als Funktion der mittleren Feldstärke im Dotierungsbereich 1015 cm 3 bis 1019 cm 3 und für verschiedene Oxiddicken zwischen 3 nm und 13 nm. Man erhält eine “universelle” Kurve, solange Streuung an geladenen Störstellen vernachlässigbar ist.

7.4 Beweglichkeit heisser Ladungstr¨ ager 7.4.1 Sättigung der Driftgeschwindigkeit Betrachten homogenes n-Si. Vom hydrodynamischen Transportmodell (3.26) erhält man, wenn man die räumlichen Gradienten weglässt ∂ wn ∂t Setzt man wn

1 j E n n

wn

3kB TL 2

τE n

3kB Tn 2 wie im Energie-Balance-Modell, folgt ∂ Tn ∂t

2 j E 3kB n n

Im stationären Zustand ist demnach Tn

TL

τE n

Tn TL τE n

2 j E 3kB n n

(7.7)

Die Elektronentemperatur steigt unter dem Einfluss des elektrischen Feldes E an, man spricht von heissen Elektronen. Effekte heisser Elektronen werden

¨ 7.4. BEWEGLICHKEIT HEISSER LADUNGSTRAGER

113

bei höheren Feldern merklich, wo man die Diffusion gegenüber der Drift vernachlässigen kann. Deshalb setzen wir jn eµn n E in Gleichung (7.7) ein: Tn

2e τE n µ n E E 2 3kB

TL

(7.8)

A) “Warme” Elektronen Für nicht zu grosse Feldstärken kann man zeigen, dass die EnergieRelaxationszeit und die Beweglichkeit in folgender Form von der Temperatur der Elektronen abhängen: τE n µn

4

10

TL Tn

µ0

12

Tn s TL

Tn TL

const

Einsetzen in (7.8) ergibt Tn

TL

2e µ0 E 2 3kB

const

d.h. Tn

E2

Die Elektronentemperatur steigt mit dem Quadrat der Feldstärke an. Setzt man andererseits Tn in den Ausdruck für die Beweglichkeit ein, so folgt µn 1

µ0 const 3k2e µ0 E 2 B TL

B) “Sehr heisse” Elektronen Für sehr grosse Feldstärken kann man annehmen, dass τE n µn

const vsat n E

d.h die Driftgeschwindigkeit der Elektronen vD µn E sättigt beim Wert der Sättigungs-Driftgeschwindigkeit vsat n . Einsetzen in (7.8) ergibt dann Tn

TL

const

2e vsat n E 3kB

d.h. Tn

E

¨ CHAPTER 7. BEWEGLICHKEIT KALTER UND HEISSER LADUNGSTRAGER

114 4.0

4.0

3.8 3.6 3.4 3.2

TnofF1.eps 59 62 mm

3.0

3.4 3.2

2.8

2.6

2.6 3.5

4.0

4.5

TpofF.eps 61 62 mm

3.0

2.8

2.4 3.0

Monte Carlo analytical

3.6

Log(Tp [K])

Log(Tn [K])

3.8

Monte Carlo analytical

2.4 3.0

5.0

3.5

4.0

Log(E [V/cm])

4.5

5.0

5.5

Log(E [V/cm])

Abhängigkeit der Ladungsträger-Temperatur von der Feldstärke, Elektronen (links) und Löcher (rechts).

Die Elektronentemperatur steigt linear mit der Feldstärke an. Für die Driftgeschwindigkeit der Elektronen ergibt sich A)

vD

1

B)

vD

vsat n

µ0 E µ0 E 2 const 3k2e B TL

7.4.2 Empirische Modelle für Bauelemente-Simulation Mit A) und Ersetzen der Konstanten durch const eine feldabhängige Beweglichkeit der Form µlow µ E

1

µlow E vsat

3kB TL µ0 2ev2sat n erhält man

2 1 2

Diese wird zum Fit-Modell verallgemeinert (Caughey, Thomas, 1967)

µ E

µlow

1

µlow E vsat

β 1 β

(7.9)

¨ 7.4. BEWEGLICHKEIT HEISSER LADUNGSTRAGER

Log( Hole Drift Velocity [cm/s] )

Log( Electr. Drift Velocity [cm/s] )

7.6 7.4 7.2 7.0 6.8 vsat.eps 62 59 mm

6.6 6.4

T=100K T=200K T=300K T=400K T=450K

6.2 6.0 5.8 5.6

7.0 6.8 6.6 6.4

4 5 Log( Field Strength [V/cm] )

6

vsatpdop.eps 62 60 mm

6.2 6.0 5.8 5.6 5.4

3

115

3

4

pure 16 −3 10 cm 17 −3 10 cm 18 −3 10 cm 19 −3 10 cm

5

Log( Field Strength [V/cm] )

Sättigung der Driftgeschwindigkeit bei verschiedenen Gitter-Temperaturen (Elektronen, links) und bei verschiedenen Dotierungskonzentrationen (Löcher, rechts).

Im Energie-Balance-Modell verwendet man auch Modelle als Funktion der Ladungsträger-Temperatur. Aus (7.9) erhält man sofort ein temperaturabhängiges Modell, wenn man die Feldstärke durch Tn TL ausdrückt, z.B. für “sehr heisse” Elektronen: E

3kB Tn TL 2e τE n vsat n

116

¨ CHAPTER 7. BEWEGLICHKEIT KALTER UND HEISSER LADUNGSTRAGER

drift velocity (arb. units)

Veranschaulichung “velocity overshoot”

overshoot.ID.epsi 85 61 mm

time (arb. units) Veranschaulichung “velocity overshoot”. Die zufälligen Geschwindigkeiten der Elektronen sind durch die Pfeile symbolisiert. Zur Zeit t 0 wird ein starkes elektrisches Feld eingeschaltet. Die Elektronen werden beschleunigt und für eine kurze Zeit so gut wie nicht gestreut (Tn TL ). Deshalb bleiben die zufälligen Geschwindigkeiten klein. Da alle Elektronen in dieselbe Richtung fliegen, kann jedoch eine grosse mittlere Driftgeschwindigkeit erreicht werden. Nachdem die Streuung einsetzt, werden Impulse und Energien immer mehr zufällig verteilt und die mittlere Driftgeschwindigkeit nimmt ab. Gleichzeitig wachsen die zufälligen Geschwindigkeiten immer weiter an, d.h. Tn TL . Die Zeitskala ist typischerweise in Picosekunden, die maximale Driftgeschwindigkeit beträgt einige 107 cm s bis 108 cm s.

8

Strahlungslose Rekombination 8.1 Tiefe St¨ orstellen Quantenmechanik: Ultra-Short Course IV Energieniveau einer tiefen Störstelle

Punktförmige Defekte wie Vakanzen, Si-Atome auf Zwischengitterplatz oder Metallatome auf Gitterplatz bezeichnet man als tiefe Sto¨ rstellen. Das Störpotential solcher Zentren ist stark lokalisiert (“δ-förmig”) und führt zu gebundenen Zuständen, die ebenfalls in einem Gebiet weniger Elementarzellen lokalisiert sind. Wir bezeichnen den Operator des Störpotentials mit U r . Die Lösung der Schrödinger-Gleichung

Hˆ 0

U r Φ r

E Φ r

wobei Hˆ 0 der Kristall-Hamiltonoperator ist, liefert die Eigenenergien, d.h. die Bindungsenergien der an solchen Störstellen gebundenen Elektronen oder Löcher. Wir stellen die gesuchten Wellenfunktionen in der Basis der BlochZustände dar (den Eigenfunktionen vonHˆ 0 ):

Φ r

∑

kν

k ν Φ ψν k r

mit

k ν Φ

d 3 r ψν k r Φ r

(8.1)

Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung ergibt zunächst

∑

kν

k ν Φ

E k E ψ ν

ν k

r U r ∑ k ν Φ ψ r ν k

kν

117

0

118

CHAPTER 8. STRAHLUNGSLOSE REKOMBINATION

Nach Multiplikation mit ψν k r und räumlicher Integration folgt

∑

kν

E

ν

k ν Φ k

E k E

kν k ν

ν

E kν Φ

∑

kν

δkk

δνν

k ν Φ kν U r k ν

∑

kν

k ν Φ kν U r k ν

0

0

Zur Vereinfachung beschränken wir uns auf ein Band (ν ν ν0 , EinbandNäherung) und approximieren das Matrixelement mit U r durch eine Konstante U0 :

kν0 U r k ν0

U0

Dies ist für sehr stark lokalisierte Störpotentiale gerechtfertigt, weil in dem Fall alle k-Vektoren aus der 1. BZ gleichermassen beitragen. Die Eigenwertgleichung vereinfacht sich damit zu kν0 Φ

∑ kν0 Φ

U0 Eν0 k

E

∑E

k

k

∑ k ν0 Φ

k

U0 Eν0 k

∑ k ν0 Φ k

In der letzten Zeile wurde über alle k summiert. Wenn Φ ein Eigenzustand zur Eigenenergie E ist, dann ist Φ 0 und man darf durch die linke Seite dividieren. Das Ergebnis ist eine Säkulargleichung für das Energieniveau E der tiefen Störstelle:

1 U0

∑E k

1 Eν0 k

(8.2) 0

Sei ν0 v (Valenzband) und der Energie-Nullpunkt Ev 0. Die graphische 0 Et . Lösung der Gleichung (8.2) für E E v liefert einen Schnittpunkt bei E Das “tiefe Niveau” liegt um so tiefer im Gap, je grösser U0 ist (siehe Abb.). Allerdings ist die Einband-Näherung meist nicht gerechtfertigt, da das Potential tiefer Störstellen die Bänder koppelt.

¨ 8.1. TIEFE STORSTELLEN

119

inverse energy

Σk E

1 E v (k)

1 U0

deeplev.ID.epsi 65 47 mm

0

Et

Eg

E

Graphische Lösung der Säkulargleichung (8.2).

Vakanz in Silizium

anti-bindende Zustände

vakanz.ID.epsi 117 82 mm

V0-

T2 sp3 bindende Zustände

+

V2+

Dehybridisierung

(bindende Linearkombinationen von sp3 Hybridorbitalen)

V+0

(Aufhebung der Linearkombination)

V+0

A1

Gitterrelaxation + Elektron-Elektron-WW

vor der Ionisation nach der Ionisation

Tiefe Störstellen spielen entscheidende Rolle für die Rekombination in Halbleitern. Einfang eines Elektrons und eines Lochs = Rekombination

genrecschema.ID.epsi 40 22 mm

Erzeugung eines Elektrons und eines Lochs = Generation

120

CHAPTER 8. STRAHLUNGSLOSE REKOMBINATION

Wo bleibt die bei der Rekombination freiwerdende Energie? - Strahlung: Emission eines Photons (im indirekten Halbleiter Silizium jedoch geringe Wahrscheinlichkeit) - Anregung eines zweiten Elektrons oder Lochs (Auger-Rekombination, nur bei grossen Ladungsträgerdichten) - Phononen (Wärme) - andere (z.B. Defekt-Reaktionen) Bei Umwandlung in Wärme ergibt sich folgendes Problem: Et Eg 2 0 56 eV aber (!!) ω ph 0 06 eV . Die Rekombination eines Elektron Loch-Paares kann nur unter gleichzeitiger Emission vieler Phononen erfolgen. Man spricht von Multiphonon-Rekombination.

total energy

Ec confcoord.ID.epsi 109 72 mm

Et

hωph Ev |

|

|

Qc,p

Qt

0

Qc,n

configuration coordinate

Multiphonon-Rekombination im Konfigurations-Koordinaten-Diagramm. Im linken Teil ist der elektronische Anteil der Gesamtenergie dargestellt, rechts die totale Energie (elektronischer Anteil plus potentielle Energie des harmonischen Oszillators). Die Gitterschwingungen sind durch eine representative Auslenkung Q des Oszillators und eine effektive Phononenergie ω ph beschrieben. Ein Elektron rekombiniert mit einem ¨ Loch durch den Ubergang c t v. Dabei relaxiert das Gitter, was mit einer Verschiebung der Gleichgewichtslage des Oszillators einhergeht: 0 Qt 0. Infolge der ¨ starken Elektron-Phonon-Kopplung sind Uberg¨ ange an den Schnittpunkten Qc n und Qc p der Potentialparabeln möglich. In der Nähe der Schnittpunkte befindet sich das System in einem vibronisch hochangeregten Zustand und relaxiert unter Emission vieler Phononen.

¨ BAND-BAND- UND 8.2. GENERATIONS-REKOMBINATIONSRATEN FUR ¨ ¨ BAND-TRAP-UBERG ANGE

121

8.2 Generations-Rekombinationsraten fu¨r Band-Band- und Band¨ Trap-Uberg¨ ange Die Rate kann mit dem 0. Moment des Stossterms der Boltzmann-Gleichung berechnet werden. Das Nichtgleichgewicht wird durch ortsabhängige QuasiFermi-Niveaus für Elektronen und Löcher beschrieben. Dahinter steckt die Annahme, dass sich die Ladungsträger in ihren jeweiligen Bändern untereinander (lokal) im thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Solange die ImpulsRelaxationszeiten der Intra-Prozesse klein gegen die Zeitkonstanten der Generation/Rekombination bleiben, ist diese Annahme gerechtfertigt. Sie ist im übrigen die Voraussetzung dafür, dass man separate Transportgleichungen für Elektronen und Löcher aufschreiben darf. ¨ Band-Band-Uberg¨ ange Da die Anfangs- und Endzustände in den Bändern liegen, lautet der Stossterm

∂n ∂t

coll

d 3 k ∑ Sk k f v k k

1

fc k

Skk fc k 1

fv k

Unter Benutzung parabolischer Bänder kann man von der k-Integration zur Energie-Integration übergehen. Dabei entstehen Zustandsdichte-Faktoren (vgl. (5.24)), allerdings ohne den Faktor 2 vom Spin, da der Spin erhalten bleibt. Man erhält

∂n ∂t

∞

Ev

0

dEc coll Ec

0

∞

f v Ev 1

Rekombinationsterm:

R S˜

n p S˜

f c Ec

f c Ec 1

f v Ev

G

R

mit

dE dE S˜ D D f 1 dE dE D D f 1

c

dEv S˜ Ec Ev Dc Ec Dv Ev

c

v

v

c

c

fv

v c

fv

v c

Wir betrachten im folgenden Maxwell-Boltzmann-Statistik, d.h. f c Ec 1 und 1 fv Ev 1. Dann kürzen sich im Ausdruck für S˜ alle ExponentialFunktionen, die von den Quasi-Fermienergien EF n und EF p abhängen, heraus. S˜ ist deshalb eine dichte-unabhängige Konstante.

Generationsterm:

G

const , denn f v Ev 1

f c Ec

1.

122

CHAPTER 8. STRAHLUNGSLOSE REKOMBINATION

Im Gleichgewicht gilt G G

R. Daraus kann man die Konstante bestimmen:

n2i e f f S˜

Req

n2i e f f im thermodyn. Gleichgewicht.

da n p

Die Netto-Rate für Band-Band-Rekombination wird damit R

np

G

n2i e f f S˜

(8.3)

Die konkrete Form von S˜ hängt vom jeweiligen Rekombinations-Mechanismus ab (strahlende Rekombination, Band-Band-Auger-Rekombination, ...).

¨ Band-Trap-Uberg¨ ange Betrachten identische, nicht wechselwirkende tiefe Störstellen mit einem Energieniveau Et . Die Dichte der besetzten Traps ist nt Nt ft , wobei Nt die TrapDichte und ft die Besetzungswahrscheinlichkeit ist. Die Zustandsdichte der Traps hat die Form Dt E Nt δ E Et . (Es existiert nur ein diskretes Energieniveau, das besetzt werden kann.) Wegen der δ-Funktion kann ein Energie-Integral aus¨ gewertet werden. Für Uberg¨ ange zwischen Leitungsband und Trapniveau erhält man Rekombinationsterm: ∞

R

Ec

0

ft

bzw.

R

Nt 1

S˜

cn

dEc S˜ Ec Et Dc Ec fc Ec 1

Nt

def

ft n S˜ mit ∞ ˜ 0 dEc S Ec Et Dc Ec f c Ec

Ec

∞ 0 Ec

dEc Dc Ec fc Ec

cn heisst Einfang-Koeffizient (für Elektronen), Masseinheit ist cm3 s. Generationsterm: ∞

G

Nt Ec

0

G

dEc S˜ Et Ec Dc Ec 1

Nt ft const Et Nt ft en

f c E c ft

für Maxwell-Boltzmann-Statistik (8.4)

8.3. RATEN-GLEICHUNGEN

123

en heisst Emissionsrate (für Elektronen), Masseinheit ist 1 s. Im Gleichgewicht gilt G R. Daraus kann man en bestimmen: R

Nt 1

G eq

en

ft0 n0 cn

Nt ft0 en

cn n1 mit n1

def

n0

0 1

ft0 ft0

Die Netto-Rate für Trapping (von Elektronen) wird damit R

G

Nt

nt n cn

nt n1 cn

(8.5)

Der Ausdruck für das Trapping von Löchern ist analog.

8.3 Raten-Gleichungen f¨ ur Trapping und Shockley-Read-Hall (SRH)-Rekombination ¨ Die totale zeitliche Anderung der Dichte besetzter Traps ist ∂ nt ∂t

R n

G n

R p

G p

(8.6)

Die ersten beiden Terme beschreiben den Einfang und die Emission von Elektronen (Trapping-Rate für Elektronen), die letzten beiden Terme den Einfang und die Emission von Löchern (Trapping-Rate für Löcher). Trapping Sind die Traps Elektronen-Traps, d.h. cn (8.6) auf ∂ nt ∂t

Nt

c p , en

nt n cn

e p , reduziert sich Gleichung

nt en

Diese Gleichung ist zusätzlich zu und selbstkonsistent mit den TransportGleichungen des benutzten Transport-Modells zu lösen. Die neue (zusätzliche) Variable ist nt (oder äquivalent dazu ft ). Solange die von aussen induzierten ¨ zeitlichen Anderungen viel langsamer sind als n cn 1 bzw. en 1 , kann man ∂nt ∂t vernachlässigen (stationärer Fall) und t fexplizit angeben: 1 ft 1 necnn

124

CHAPTER 8. STRAHLUNGSLOSE REKOMBINATION

Die Rekombinationsrate wird damit im stationären Fall

R n

Nt en 1 necnn

ft n c n

Nt 1

mit der Lebensdauer

τn

1 Nt cn

n n 1

τn n

n1

Shockley-Read-Hall-Rekombination Handelt es sich bei den tiefen Störstellen um sogenannte Rekombinationszentren, d.h. gilt cn c p und en e p , erhält man im stationären Fall aus Gleichung (8.6) 1 ft en c p p 1 e p cn n

Da im Gleichgewicht auch die Netto-Rate für Löcher Null sein muss, hat man zusätzlich eine Beziehung zwischen ep und c p ep

c p p0

ft0 1 ft0

c p p1 mit p1

def

p0

ft0 1 ft0

Die Elektronen-Netto-Rekombinationsrate im stationären Fall wird

R n

G n stat

cn

n

Nt cn c p np n1 c p p p1

n 1 p1

Wegen n1 p1 n0 p0 n2i e f f und mit Einführung von Minoritätsladungsträger Lebensdauern τn p Nt cn p 1 wird daraus

R n

G n stat

(Shockley, Read, Hall, 1952).

τp

n

np n1

n2i e f f

τn p

p1

(8.7)

8.4. SRH-LEBENSDAUERN

125

Spezialfälle:

A) schwaches Nichtgleichgewicht: n n0 δn, p Silizium (n0 p0 ) wird dann (R G R)

δp. Für p-dotiertes

n0 δn p0 δp n0 p0 τ p n 0 n 1 τn p 0 p 1 δn p0δn τn p 0 p 1 τn

R

p0

n0 δp p0 δn τ p n 0 n 1 τn p 0 p 1

Die Lebensdauern der Minoritäten bestimmen die Rekombination-

srate! n2i in Raumladungszone. Sei τn

¨ B) gesperrter pn-Ubergang: np dann (R G G)

τp

τ,

n2i

G

τ n1

n2

C) Elektron-Loch-Plasma: n p R

τp

p1

δn

n τn

τp

τn

ni falls Et 2τ n2i

für δn

Eg 2

n0 (Hoch-Injektion.)

8.4 SRH-Lebensdauern Dotierungsabhängigkeit Die SRH-Lebensdauern τn p sind technologie-abhängige Parameter. Sie hängen insbesondere von der Defektdichte Nt ab, die räumlich variiert. Dies folgt aus der Definition τn p Nt cn p 1 . Für die Bauelemente-Simulation bedeutet dies, dass es eigentlich keine “default-Werte” der Lebensdauern gibt. Man findet jedoch empirisch eine Korrelation zwischen Dotierung (flache Störstellen!) und SRH-Lebensdauern (tiefe Störstellen). Grund ist, dass Technologie-Schritte wie Implantation oder Eindiffusion immer auch zu einer Erhöhung der Dichte von Punktdefekten führen. Eine einfache empirische Beziehung, die diesen Effekt wiedergibt, lautet τn0 τn NA 1 NANAre f mit z.B. τn0

3

10

5s

und NA re f

1017 cm 3 .

126

CHAPTER 8. STRAHLUNGSLOSE REKOMBINATION

Feldabhängigkeit: “trap-assisted tunneling” Die SRH-Rekombination ist besonders effektiv in Raumladungszonen, in denen die elektrische Feldstärke gross werden kann. Dann führt der Tunnel¨ effekt zu einer Erhöhung der Ubergangswahrscheinlichkeit. Die Rekombination/Generation ist nicht mehr lokal, sondern kann im Limes sehr hoher Felder sogar zum resonanten Tunneln über das tiefe Niveau “entarten” (sh. Abb.). Solange der thermische Einfang (bzw. die thermische Emission) gegenüber dem electric field

tat.ID.epsi 82 38 mm

trap-assisted tunneling

E=0

resonant tunneling

Tunneleffekt dominiert, ist das Konzept von field-enhancement-Faktoren sinnvoll, d.h.

1 γν E τν0

τν 1 E

ν

n p

|

|

|

|

|

|

|

||

10-4

|

wobei E die lokale Feldstärke ist.

|

10-10

|

|

|

10-9

| | |

|

10-8

lifetimevsfield.epsi 62 50 mm

defect-assisted tunneling break.epsi

65

50 mm

|

|

10-7

|

10-6

|

0.2

|

0.4

|

0.6

|

0.8

|

1.0

|

1.2

|

|

|

Electron Lifetime τn [s]

Si:Au 10-5

1.4

Electric Field [MV/cm]

Links: Abhängigkeit der Lebensdauer von der Feldstärke am Beispiel der GoldStörstelle in Silizium. Rechts: Simulierte Dioden-Kennlinien. Der Avalanche-Durchbruch bei etwa 9 V setzt nicht abrupt ein, sondern der Sperrstrom steigt wegen des trapassistierten Tunnelns stetig an.

Auger-Rekombination

9

Elektron-Elektron-Stösse (bzw. Loch-Loch-Stösse) induzieren Rekombination von Elektron-Loch-Paaren. Die bei der Rekombination freiwerdende Energie wird nicht direkt, wie im Fall der SRH-Rekombination, in Wärme umgewandelt, sondern zur Anregung eines Elektrons oder Lochs in einen Zustand hoher Energie verbraucht. Auger-Rekombination ist ein Drei-Teilchen-Prozess, entweder “eeh” oder “hhe”. Die Rate wird vom Produkt aus allen drei Besetzungswahrscheinlichkeiten bestimmt. ¨ Die Zahl der möglichen Uberg¨ ange wird durch die Restriktionen der Energie- und Impulserhaltung stark eingeschränkt. Für eine direkte, parabolische Bandstruktur können die Ladungsträger wegen der Impulserhaltung nicht aus der energetisch tiefsten Lage an der Bandkante heraus rekombinieren. Es ist eine zus¨ atzliche Aktivierungsenergie erforderlich, die für den eeh-Prozess Ea mc mc mv Eg beträgt. In indirekten Halbleitern, wie Silizium, erhöht sich die Zahl der möglichen ¨ Uberg¨ ange. Infolge des hohen Impulsaustausches sind jedoch die quanten¨ mechanischen Ubergangswahrscheinlichkeiten um ca. 5 Grössenordnungen kleiner als in direkten Halbleitern. In Silizium verschwindet die Aktivierungsenergie für den eeh-Prozess wegen der besonderen Leitungsbandstruktur. Auger-Rekombination kann ein reiner Band-Band-Prozess sein, unter Beteiligung von Phononen ablaufen, oder auch über Zwischenzustände, die an tiefen Störstellen lokalisiert sind (trap-assisted Auger recombination). 127

128

CHAPTER 9. AUGER-REKOMBINATION E

E

E

2’

1

2 augertransitions.ID.epsi 2’ 56 mm 121 1’

2

k 1’

2’

k

1

1

eeh (n-type)

2

k

1’

hhe (n-type)

hhe (p-type)

¨ Auger-Uberg¨ ange bei direkter, parabolischer Bandstruktur. Links: Stoss zweier Leitungsband-Elektronen (1 und 2), Anregung von 2 nach 2’ und gleichzeitige Rekombination von 1 mit dem Loch 1’. Mitte: Stoss eines Leitungsband-Elektrons 2 mit einem energetisch tiefliegenden Valenzelektron 1, das angeregt wird. Rechts: Loch-LochStoss mit Anregung eines heissen Lochs.

In n-dotiertem Material sind die Rekombinationsraten proportional zum Produkt der Dichten der drei beteiligten Teilchensorten, also Cn p n2

Reeh n

Rhhe n

C p p2 n

mit Auger-Koeffizienten Cn p . Die Gesamtrate wird damit Auger type

Rn

Cn p n2

C p p2 n

(9.1)

Bei phonon-assistierter Auger-Rekombination starke Aufhebung der Beschränkungen bzgl. Energie- und Impulserhaltung, aber dafür Vier¨ Teilchen-Prozess (Ubergangswahrscheinlichkeit 2. Ordnung).

phonassauger.ID.epsi 74 38 mm

Bei ausreichender Dichte von Rekombinationszentren konkurriert die trapassistierte Auger-Rekombination mit der SRH-Rekombination.

129

Die Auger-Koeffizienten Cn p sind nur solange als unabhängig von den Ladungsträgerdichten anzusehen, wie die Coulomb-Wechselwirkung zwischen Elektronen und Löchern vernachlässigt werden kann. In ElektronLoch-Plasmen, wie z.B. bei starker Injektion in Bipolar-Transistoren, beobachtet man ein excitonic enhancement der Auger-Rekombination. Die physikalische Ursache ist eine durch die Anziehung von Elektron und Loch bedingte Lokalisation der Wellenfunktionen, die zu einer Erhöhung der ¨ quantenmechanischen Ubergangswahrscheinlichkeiten führt. Auger-Lebensdauern Minoritätsladungsträger-Lebensdauern: τn

type

τp

type

δp RAu δn RAu

δp Cn p n2 δn C p p2 n

1 bei Hoch-Injektion Cn n2 1 bei Hoch-Injektion C p p2

Ambipolare Lebensdauern: n

p im Plasma

RAu

Cn

C p n3

Ca n3

1 Ca n2

τa

da im Plasma natürlich die Hoch-Injektions-Bedingung gilt. Gemessene Werte für die Auger-Koeffizienten Cn p kann man der Tabelle entnehmen. Die AbTable 9.1: Auger-Koeffizienten bei verschiedenen Temperaturen (Dziewior und Schmid, 1977). T Cn cm6 s C p cm6 s

1 1

2 3 7 8

77 K 10 10

31 32

300 K 2 8 10 9 9 10

31 32

400 K 2 8 10 1 2 10

31 31

bildung zeigt gemessene ambipolare Auger-Koeffizienten Ca als Funktion der Dichte der freien Ladungsträger. Die Kurve deutet das erwartete Verhalten aufgrund des excitonic enhancement an.

CHAPTER 9. AUGER-REKOMBINATION

Ambipolar Auger coefficient [ cm 6 s -1 ]

130

1x10-29 2 17 16 15 19 14 10

-30

8

11

1x10

5

13 4

18

7

3

1

auger-mess.epsi 89 79 mm

12 6 9

room temperature 1x10-31

15

10

16

10

17

10

18

10

19

10

10

20

Injection density [ cm- 3 ] Messungen des ambipolaren Auger-Koeffizienten als Funktion der Plasma-Dichte.

Stossionisation

10

10.1 Ionisations-Schwellenenergien E

E

E i (k i ) impact.ID.epsi E (k ) c 3 102 53 mm

E c(k2 )

k

E v(k1 ) k

vor dem Stoss

nach dem Stoss

Stossionisation initiiert durch ein “heisses” Elektron der Energie E i ki . Beim Stoss wird ein Valenzelektron herausgeschlagen und ins Leitungsband gehoben, wodurch ein Loch im Valenzband zurückbleibt. Das initiierende Elektron verliert dabei die Ionisations-Schwellenenergie. Nach dem Stoss verbleiben zwei “kalte” Elektronen und ein “kaltes” Loch.

Energie-Bilanz: E i ki

E c k3

E c k2

E v k1

∑aj

ω ph q j

j

Impuls-Bilanz: ki k3

k2

k1

∑aj qj

a j ganze Zahlen, auch Null

j

Die Ionisations-Schwellenenergie ergibt sich durch Minimierung von E i ki . Dabei genügt es, Phonon-Absorption zu betrachten, d.h. aj 0 für alle j. 131

132

CHAPTER 10. STOSSIONISATION

dki dEi

0

0

dk1

dk3

dk2

∑ a j dq j

dk1 ∇k1 Ev k1

j

dk3 ∇k3 Ec k3

∇

∑ a j dq j j

dk1 v1

dk3 v3

dk2 v2

dk2 ∇k2 Ec k2 qj

ω ph q j

Benutzt man die Definition der Gruppengeschwindigkeit vg w j ∇q ω ph q j , wird aus der letzten Gleichung 0

(10.1)

∑ a j dq j j

w

j

(10.2)

1∇

kE

k und

Setzt man hier für dk1 die Gleichung (10.1) ein, so erhält man 0

dk3 v3

v1

dk2 v2

v1

w

∑ a j dq j j

j

v1

Wegen der linearen Unabhängigkeit von dk2 , dk3 und dq j folgt v1

v2

v3

w j für alle j.

(10.3)

Alle resultierenden Teilchen müssen dieselbe Gruppengeschwindigkeit haben! Prozesse mit Phononen-Beteiligung sind stark erschwert, da die w j klein sind und die Elektronen bzw. Löcher daher auf eine kleine Umgebung der Bandextrema eingeschränkt werden. Wir betrachten im folgenden nur Stossionisation ohne Phononen-Beteiligung. Die Bedingung (10.3), die dann v1 v2 v3 lautet, ist jedoch noch nicht hinreichend. Sie sichert die Existenz einer minimalen Energie Emin ki , die aber nicht automatisch eine erlaubte Energie in irgendeinem Leitungsband zu sein braucht! Beispiel: Zwei direkte, parabolische Bänder mit effektiven Massen mc und mv kv mv

kc2 mc

kc3 mc

Bez

kc mc

da v1

1

∇ k Ev k

oder kv

γ kc

mit γ

mv mc

kv mv

10.1. IONISATIONS-SCHWELLENENERGIEN

133

An der Ionisationsschwelle ist dann wegen des Energie- und Impulserhaltungssatzes (mit dem Energie-Nullpunkt Ec k 0 0) ki

2 kc

kv

Emin ki

Eg

kc 2 γ 2kc2 2 γ 2mc

Emin ki muss ein erlaubter Energiewert im Leitungsband sein

E c ki

Aus der Bedingung Emin ki

2 k2 i

2mc

2 k2 c

2mc

2 2 γ

(10.4)

Ec ki erhält man kc : 2 k2 c

Eg 2 γ 1 γ

2mc

Einsetzen in (10.4) ergibt die Schwellenenergie Eth n für den elektroneninduzierten Prozess:

Eth n

2 γ Eg 1 γ

(10.5)

Bei gleichen Massen (γ 1) ergibt sich Eth n 3Eg 2. Für den l¨ ocher-induzierten Prozess hat man γ durch 1 γ zu ersetzen und erhält Eth p Eg 1 2γ 1 γ . Unabhängig von γ ist Eth n Eth p 3Eg . Table 10.1: Schwellenenergien (in eV) in Silizium für Stossionisation ohne PhononenBeteiligung, berechnet für verschiedene kristallographische Richtungen auf der Basis einer realistischen Bandstruktur (Anderson, Crowell, 1972). N - Normal-Prozess, U - Umklapp-Prozess, - initialisierendes Teilchen kommt aus einem höheren Band.

electrons holes

100 1 1 U 1 5 N 1 6 U 1 8 N 2 1 N

111 3 1 U 3 3 U 3 5 U 2 9 N 4 4 N 4 7 N

110 2 1 U 4 0 N 4 2 U 1 8 N 4 0 N 4 1 N

134

CHAPTER 10. STOSSIONISATION

10.2 Stossionisationsrate und -koeffizienten Für die Stossionisationsrate macht man folgenden heuristischen Ansatz: αn n v n

GII

αp p vp

(10.6)

(“II” steht dabei für “Impact Ionization”.) Die Koeffizienten α n p heissen Stossionisations-Koeffizienten (Masseinheit: 1 cm). Anschaulich interpretiert man sie als reziproke mittlere freie Weglängen zwischen zwei Stössen, die zur Generation eines Elektron-Loch-Paars führen. Die mikroskopische Definition der Streurate (1 s) lautet für den elektroneninduzierten Prozess 1 τII n

1 n

∞

dE Eth n

1

τII n E

Dc E f c E

womit man αn gemäss αn 1 τII n vn berechnen kann. Dazu braucht man neben der Schwellenenergie Eth n die Energie-Abhängigkeit der Streurate 1 τII n E und die korrekte Nichtgleichgewichts-Verteilungsfunktion f c E . Dabei ist die “Vorgeschichte” der Elektronen, bevor sie die Schwellenenergie Eth n erreichen, entscheidend, denn diese bestimmt den hochenergetischen Ausläufer der Verteilungsfunktion.

Modelle für die Energie-Abhängigkeit von II τ 1 E :

τII 1 E

τII 1 E 1

τII E

τII 1 Eth Θ E Eth E Eth 1 B τII Eth Eth

3

∑Θ E

i

Eth P

i

Stufenfunktion p

(Keldysh, 1960)

i 1

E

i Eth i Eth

2

(Cartier et al., 1993)

mit folgenden Parametern für Silizium: Eth 1 2 eV 1 8 eV 3 45 eV ; P 6 25 1010 s 1 3 0 1012 s 1 6 8 1014 s 1 .

i

i

10.2. STOSSIONISATIONSRATE UND -KOEFFIZIENTEN

135

15

10 IONIZATION RATE (s -1)

14

10

quyield.epsi 65 71 mm

13

10

12

10

11

10

rate.ID.epsi///PS 53 51 mm

10

10

9

10

1

2

3

4

5

KINETIC ENERGY (eV)

Links: Stossionisationsrate nach dem Modell von Cartier. Rechts: Mit der Technik der Ladungsträger-Separation gemessener quantum yield für Elektronen ( = Zahl der generierten Elektronen pro Zahl der Initial-Elektronen).

Ansätze für die Verteilungsfunktion cf E : αi

αi

const

exp

E

2

(Wolff, 1954) Heated Maxwellian für fc E , aber Annahme, dass Energie-Relaxation nur durch Stossionisation erfolgt (τII τ ph ).

(Shockley, 1961) “Lucky Electron”-Modell. Ge genteilige Annahme, d.h. zu f c E tragen nur const exp solche Elektronen wesentlich bei, die nicht mit E Phononen gestossen haben (“lucky”), die also E th ballistisch erreichen. Physikalische Erläuterung des “Lucky Electron”-Modells Die Beschleunigungsstrecke LI , die gebraucht wird, um Eth ballistisch zu erreichen, ergibt sich aus

LI

Eth

0

dx F x

F x ist die auf das Elektron einwirkende elektrische Kraft. Im konstanten elektrischen Feld ist dann LI Eth F. Die tatsächliche freie Weglänge LI ist grösser, da Elektron-Phonon-Stösse die Ladungsträger ständig wieder zurückwerfen: LI LI P, wobei P die Wahrscheinlichkeit ist, dass auf der

136

CHAPTER 10. STOSSIONISATION

Strecke LI kein Stoss passiert. P ist in Gleichung (2.10) (Monte-Carlo worden: Methode) schon einmal angegeben

t

P t

exp

dt 0

1 ph τtot

k

Mit der Transformation dt dE ; dE dt dE dt

dE ˙ F k vg vg F dk da nach Newtonschem Grundgesetz k˙ F und ausserdem dE dk gilt, folgt Eth

P

exp

dE E0

1 1 ph F vg τtot E

vg

Shockley benutzte E0 0 und eine konstante mittlere freie Weglänge für ph Stösse mit optischen Phononen lo p vg τtot , so dass

P

exp

Eth F lop

Zur Startzeit des ballistischen Fluges t 0 ist jedoch k k0 , da k t k0 F t . Daher nimmt man besser an, dass die Teilchen mit einer mittleren thermischen Energie E0 3kB Tc 2 starten. Setzt man weiterhin das elektrische Feld als räumlich konstant voraus, erhält man für den Stossionisations-Koeffizienten 1 P F Eth 3kB Tc 2 α (10.7) exp LI LI Eth F lop

10.3 Modelle f¨ ur die Stossionisationskoeffizienten Lokal-Feld-Modell Das am meisten benutzte Modell (Chynoweth-Modell) ist die aus Gleichung (10.7) abgeleitete Fitformel b

α

α∞ e

E

(10.8)

(Chynoweth, 1958). Parameter für den elektronen-induzierten Prozess: α∞ n 7 105 cm 1 , bn 1 23 106 V cm.

10.4. AVALANCHE-DURCHBRUCH

137

Lokal-Temperatur-Modell Ersetzt man das lokale elektrische Feld durch die lokale Temperatur der Ladungsträger, erhält man mit (7.8) für “sehr heisse” Elektronen Tcrit Tn TL

α∞ n e

αn

Die Modellierung der Stossionisationsrate mit der phänomenologischen Relation (10.6) und lokalen Modellen für α ist nur bedingt tauglich. Literatur-Parameter stammen meist von Dioden mit weiten Raumladungszonen. In KurzkanalMOSFETs sind die Feldstärke-Peaks beim Drain so scharf, dass trotz des grossen Wertes der Feldstärke die Beschleunigungsstrecke zu kurz sein kann (der sogenannte “dark space”-Effekt). Dann wird die Rate in der Simulation überschätzt und der Substratstrom kann u.U. um Grössenordnungen zu gross herauskommen.

10.4 Avalanche-Durchbruch Betrachten 1D Kontinuitätsgleichungen für Elektronen und Löcher mit Stossionisationsrate als einziger Generationsrate: dJn αn α p Jn α p J ; dx J Jn J p const

dJ p dx

α p Jp

αn

αn J

Die formale Lösung lautet (Beweis durch Differentiation)

Jn x

Jn0 e

Jp x

J p0

e

x 0 dx x W

αn

αp

dx αn

αp

x

J

0

dx α p e

J

n

mit den Randbedingungen Jn 0 Jn0 und J p W Raumladungszone wird der Gesamtstrom

J 0

J W

Jn0 J p0

e

0 W

Jn0 e

W 0

J p0

dx αn

dx αn

αp αp

W

J

x x dx

dx α e

W x

W 0

αp

αn

αp

αn

J p0 . An den Rändern der dx α e n

0

J

x x dx

dx α p e

0 x dx W x

αn

dx αn

αp αp

In der Nähe des Durchbruchs kann man in der 1. Gleichung den (thermisch generierten) Sperrstrom J p0 gegen den (stark vervielfachten) Elektronenstrom Jn0 vernachlässigen, in der 2. Gleichung den (thermisch generierten) Sperrstrom Jn0

138

CHAPTER 10. STOSSIONISATION

p

RLZ avalanche.ID.epsi 91 52 mm

n

0

W

x

gegenüber dem (stark vervielfachten) Löcherstrom pJ0 . Man definiert Multiplikationsfaktoren J Jn0

Mn

so dass 1 1

W

1 Mn 1 Mp

0 W 0

J J p0

Mp

dx αn e dx α p e

x 0

αp

dx αn

W x

αp

dx αn

(10.9) (10.10)

Der Avalanche-Durchbruch ist durch den Limes Mn p ∞ definiert. Aus den Gleichungen (10.9) und (10.10) folgt die Durchbruch-Bedingung 1 Falls αn

γ α p mit γ

W

1

ln αn α p

0

αp

dx αn

const, wird daraus γ 1 ln γ

W 0

dx α p

1

Diese Bedingung bedeutet im wesentlichen, dass α 1 W , d.h. die mittlere freie Weglänge zwischen zwei ionisierenden Stössen muss kleiner sein als die Weite der Raumladungszone.

10.4. AVALANCHE-DURCHBRUCH

1e−02

139

x

x

4

3

1e−04

current (A)

1e−06 1e−08 1e−10 1e−12

durchbr.eps 74 67 mm

1e−14 1e−16

x 2

1e−18 1e−20 −20

1 x

−15

−10

−5

0

voltage (V)

Strom-Spannungs-Kennlinie einer pn-Diode mit Avalanche-Durchbruch.

1e+20

12 4

band edge energy (eV)

−3

density (cm )

10

3

1e+15

electrons holes

1e+10

1e+05

densities.eps 62 56 mm 2 1

1e+00

4

8 6

3

4 2

2

bandedges.eps 57 57 mm

0 −2

1

−4 1e−05 0.1

0.2

position (µm)

0.3

−6 0.1

0.2

0.3

position (µm)

Links: Elektronen- und Löcherverteilung für die in obigem Bild markierten Spannungen. Rechts: Verlauf der Bandkanten bei diesen Spannungen.

11 Metall-Halbleiter (MS)-Kontakt 11.1 Energieniveau-Schema vor Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichts M

a)

HL E0

χ Φ

b)

HL E0

E FM

Ec E FS

ΦB

M

Ec E FS

E FM Ev

Ev 0 c)

M

x

0

MSequ.ID.epsi 124 88 mm

HL E0

d)

M

x HL E0 Ec

Ec E FM ΦB

E FS Ev

E FS Ev 0

E FM

0

x

x

Räumlicher Verlauf der Fermi-Niveaus von Metall und Halbleiter sowie der Bandkanten ¨ des Halbleiters in einem Metall-Halbleiter-Ubergang unmittelbar nach seiner Herstellung, also vor der Einstellung des Gleichgewichts. Fall a): n-Halbleiter mit E FS EFM , Fall b): n-Halbleiter mit EFS EFM , Fall c): p-Halbleiter mit EFS EFM , Fall d): p-Halbleiter mit EFS EFM . χ ist die Elektronen-Affinität, Φ die Austrittsarbeit der Elektronen im Metall. 140

11.2. MS-KONTAKT IM GLEICHGEWICHT, SCHOTTKY- UND BARDEEN-MODELL 141

EFM

¨ EFS ist der typische Fall für Metall-n-HL-Ubergang (Fall a))

EFM

¨ EFS ist der typische Fall für Metall-p-HL-Ubergang (Fall c))

ΦB

Φ

χ heisst Schottky-Barriere

11.2 MS-Kontakt im Gleichgewicht, Schottky- und BardeenModell Energieniveau-Schema (Potentialverlauf) Zur Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichts müssen Elektronen (Löcher) aus dem Halbleiter ins Metall (und umgekehrt) diffundieren. An der Grenzfläche entsteht eine Raumladung und damit ein veränderliches elektrostatisches Potential ϕ x . ρ(x) M

HL x rhox.ID.epsi 79 50 mm

Wie gross ist die Ausdehnung der Raumladungsschicht im Metall? Eine Abschätzung liefert die Abschirmlänge L s , die in Kap. 6 im Zusammenhang mit der Abschirmung des Coulomb-Potentials flacher Störstellen diskutiert wurde. Man erhält Ls

π aB e f f 2 kF

0 5 A˚

mit dem effektiven Bohrradius aB e f f und dem Fermi-Impuls kF im Metall. (Dazu muss man den Thomas-Fermi-Ausdruck Ls 2

4πe2 d n εs d EFM

142

CHAPTER 11. METALL-HALBLEITER (MS)-KONTAKT

für die Abschirmung und die Dichteformel im Grenzfall vollständiger Entartung der Elektronen n

1 3π2

2m

2

E

FM

3 2

benutzen.) Die Eindringtiefe der Raumladung ins Metall ist also extrem klein, so dass man das Potential ϕ x im Metall praktisch als konstant ansehen kann. Wenn sich an der Grenzfläche eine Dipolschicht ausbildet, dann erleidet das Potential dort einen Sprung ϕ 0 ϕ 0 . Wir nehmen zunächst an, dass keine Dipolschicht existiert. In diesem Fall bleibt die Höhe der SchottkyBarriere Φ B Φ χ unverändert, weil EFM und Ec um denselben Energiebetrag eϕ 0 angehoben werden. Die Konsequenz daraus, dass bei x 0 der energetische Abstand E FM Ec “festgepinnt” bleibt, ist die Ausbildung einer Potentialbarriere im Halbleiter. EFS EFM e. Es entsteht eine Kontaktspannung UK Wie gross ist die Ausdehnung der Raumladungsschicht im Halbleiter? Der Potentialverlauf kann leicht berechnet werden, wenn die Schottky-Näherung eUK kB T (depletion approximation) gilt, was wir hier annehmen wollen. Für einen n-Halbleiter lautet die zu lösende Poisson-Gleichung (n p 0 in der Verarmungsschicht, d.h. im Intervall x 0 xB mit xB als Rand der Barriere)

ε0 εs mit der Lösung

ϕ x

d2ϕ dx2

eND

e ND x2 C1 x C2 2ε0 εs

Die Randbedingungen im Unendlichen lauten ϕ ∞ 0 und C2 UK . dϕ x dx x ∞ 0. Weil UK ϕ ∞ ϕ 0 ist, folgt ϕ 0 Das Verschwinden der ersten Ableitung von ϕ am Rand der Barriere ergibt die zweite Integrationskonstante: C1 eND xB ε0 εs . Führt man noch eine quadratische Ergänzung durch, folgt für das Potential im Intervall x 0 xB :

ϕ x

UK

e ND x 2ε0 εs

xB

2

e N x2 2ε0 εs D B

11.2. MS-KONTAKT IM GLEICHGEWICHT, SCHOTTKY- UND BARDEEN-MODELL 143 E 0 - e ϕ(x) M

a)

HL

b)

E 0 - e ϕ(x) Φ

E c - e ϕ(x)

ΦB

M

E c - e ϕ(x)

EF

HL

EF

E v - e ϕ(x) E v - e ϕ(x) 0

x

0

MSnonequ.ID.epsi 115 98 mm

x

E 0 - e ϕ(x) c)

E c - e ϕ(x)

M

d)

M

HL E 0 - e ϕ(x)

HL

E c - e ϕ(x)

EF ΦB

E v - e ϕ(x)

0

EF

E v - e ϕ(x) 0

x

x

Räumlicher Verlauf der Bandkanten des Halbleiters und des Vakuum-Niveaus in einem ¨ Metall-Halbleiter-Ubergang nach Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichts. Die Fälle a) und c) bezeichnet man als Schottky-Kontakt, die Fälle b) und d) als Ohmschen Kontakt.

Das Verschwinden des Potentials am Rand der Barriere ergibt den Zusammenhang zwischen Kontaktpotential und Barrierenweite: UK

e ND x2B 2ε0 εs

Die charakteristische Längenskale des Problems ist die sogenannte DebyeLänge LD

ε0 εsUT eND

Mit ihrer Hilfe kann man den Ausdruck für das elektrostatische Potential

144

CHAPTER 11. METALL-HALBLEITER (MS)-KONTAKT

kompakt in der Form

UT x 2L2D

ϕ x

xB

2

2LD

xB

UK UT

schreiben. Weil die Schottky-Approximation muss auch xB LD sein.

UK UT

(11.1) 1 gelten muss,

Schottky- und Bardeen-Modell des MS-Kontakts 1.0 Pt

barrier height (eV)

0.8

Pb

0.6

Pd Ag Au Al W Mo

Cu

0.4

Mg

Ni

phiBvsPhi.eps 69 68 mm

0.2

0.0

3

4

5

6

metal work function (eV)

Barrierenhöhe als Funktion der Austrittsarbeit für verschiedene Metall-n-Si-Kontakte. Die Gerade entspricht der Mott’schen Beziehung ΦB Φ χ mit dem Wert der Elektronen-Affinität in Si (χ 4 05 eV ).

In der Abbildung ist die Barrierenhöhe ΦB als Funktion der Austrittsarbeit im Metall für verschiedene Metall-n-Si-Kontakte dargestellt. Die Gerade entspricht der Mott’schen Beziehung ΦB Φ χ mit dem Wert der Elektronen-Affinität in Si (χ 4 05 eV ). Das Schottky-Modell des MS-Kontaktes ist also so gut wie nicht erfüllt, eher ist ΦB noch unabhängig von Φ (etwa gleich 0.6 - 0.8 eV für die meisten Metalle). Um dieses Verhalten zu verstehen, lassen wir jetzt einen Potentialsprung and der Grenzfläche zu, dann ändert sich die Barrierenhöhe um diesen Sprung, d.h. ΦB Φ χ e ϕ 0 ϕ 0 . Ursache dafür ist eine Dipolschicht, die von geladenen Grenzflächen-Zuständen herrührt. Wir nehmen an, dass die Dichte dieser Grenzflächen-Zuständen so gross ist, dass praktisch alle Elektronen

11.2. MS-KONTAKT IM GLEICHGEWICHT, SCHOTTKY- UND BARDEEN-MODELL 145

aufgenommen werden können. Als Modell benutzen wir eine δ-Funktion, wie sie auch schon bei den tiefen Störstellen verwendet wurde,

Dit E

D0it δ E

Es

die Zustände sind also bei der Energie E Es in der Energielücke des Halbleiters konzentriert. Für die Elektronendichte in diesen Zuständen folgt dann n

0

∞

∞

dE Dit E f E

D0it f Es

In Wirklichkeit ist die δ-Funktion zu einer Glockenkurve verbreitert. Die Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichts im MS-Kontakt zerlegen wir in Gedanken in zwei Teilschritte, erstens die Einstellung des Gleichgewichts im Halbleiter, nachdem die glockenförmige Grenzflächen-Zustandsdichte “eingeschaltet” wurde, zweitens die Einstellung des Gleichgewichts über die Grenzfläche M

E FM

∆E S

HL

bardeen.ID.epsi 72 57 mm

E S ≈ E FS

x

hinweg zwischen Metall und Halbleiter, nachdem beide in Kontakt gebracht wurden. Im ersten Teilschritt gehen Elektronen aus dem Innern des Halbleiters in die Grenzflächen-Niveaus über, wobei diese von unten her bis zu einer gewissen Energiegrenze aufgefüllt werden. Diese Grenze ist per definitionem gleich dem Fermi-Niveau im Halbleiter (bei T 0). Nach obiger Voraussetzung (weil praktisch alle Elektronen aufgenommen werden können), fällt diese Grenze letztendlich mit dem Niveau Es zusammen. Eine Vergrösserung oder Verkleinerung ¨ der Elektronenkonzentration im Halbleiter durch Anderung der Dotierung erhöht oder verkleinert zwar die Zahl der Elektronen in den Grenzflächen-Niveaus, wegen der grossen Zustandsdichte bleibt aber die Lage des Fermi-Niveaus praktisch unverändert (pinning des Fermi-Niveaus). Im zweiten Teilschritt werden Elektronen über die Grenzfläche hinweg, zwischen den Grenzflächen-Zuständen des Halbleiters und einer dünnen Randschicht des Metalls, ausgetauscht. Dadurch entsteht an der Grenzfläche eine

146

CHAPTER 11. METALL-HALBLEITER (MS)-KONTAKT

Dipolschicht, die einen Potentialsprung ϕ 0 ϕ 0 zwischen Metall und Halbleiter erzeugt, der im Gleichgewicht gerade so gross ist, dass das FermiNiveau des Metalls auf das des Halbleiters angehoben oder abgesenkt wird. Es gilt also EFM

eϕ

Es

Damit wird die Barrierenhöhe Φ

ΦB

χ

0

ϕ

EFM

0

Es

(11.2)

Wir beziehen jetzt alle Energien auf die Valenzbandkante des Halbleiters. Wegen E0 χ Eg Ev und Es Ev ∆Es (sh. Abb.) ist (man eliminiere Ev ) χ

Es

Eg

∆Es

E0

was nach Einsetzen in Gl. (11.2) auf den Zusammenhang

führt, weil ja Φ

ΦB EFM

Φ

EFM

Eg

E0

∆Es

!

Eg

∆Es

E0 ist. Also ΦB

Eg

∆Es

(11.3)

(Bardeen’sches Modell). ΦB ist im Bardeen’schen Modell unabhängig von der Austrittsarbeit im Metall! Dieses Modell trifft für Silizium besser zu als das Schottky-Modell. Man kann nun beide Modelle zu einem verallgemeinerten Modell kombinieren. Mit zwei Parametern, S und Φ0 , schreibt man ΦB

S Φ

EFS

E0

Φ0

Der Grenzfall des Schottky-Modells ergibt sich mit S 1 und Φ0 0, da E0 Ec χ EFS χ für einen n-Halbleiter. Der Grenzfall des Bardeen-Modells ergibt sich mit S 0 und Φ0 Eg ∆Es . Der Abbildung kann man entnehmen, dass S mit steigender Elektronegativitätsdifferenz des Halbleiters wächst. Bei den kovalenten Halbleitern dominieren die Grenzflächen-Eigenschaften (S sehr klein).

11.3 MS-Kontakt im Nichtgleichgewicht ¨ Betrachten Schottky-Ubergang im n-Halbleiter. Legt man eine Spannung U an, UK U , und damit z.B. die so verändert sich das Kontaktpotential gemäss U K

11.3. MS-KONTAKT IM NICHTGLEICHGEWICHT

147

S

1.1 AlN ZnO SrTiO 3 1.0 ZnS SiO2 Al2O3 0.9 GaS KTaO 3 0.8 0.7 CdS 0.6 GaSe SvsAff.ID.epsi ZnSe 0.5 77 67 mm 0.4 SiC GaTe CdSe 0.3 CdTe GaP 0.2 Ge GaAs 0.1 Si InSbInP 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 electronegativity difference (eV)

Weite der Barriere: xB 2LD UK U UT . Der Strom im Bahngebiet des Halbleiters wird durch die Majoritätsladungsträger getragen (hier Elektronen). Die Netto-Stromdichte über die Schottky-Barriere hinweg ist

jn U

jMS U

jSM U

mit der Konvention “MS” = Metall HL, “SM” = HL Metall. Es gilt jMS U jMS 0 , weil für alle Spannungen U die Schottky-Barriere thermisch überwunden werden muss. Also

jn U

jMS 0

jSM U

Berechnen zuerst jMS 0 . Nach der Definition des 1. Moments der BoltzmannGleichung kann man schreiben:

jMS 0

2e 2π 3

1 BZ

d 3 k Θ kx

1 ∂ Ec k f M Ec k ∂kx

(11.4)

In dieser Gleichung berücksichtigt der Faktor 2 die Spin-Entartung und die Theta-Funktion den Umstand, dass nur Elektronen, die vom Metall in den Halbleiter fliessen, gezählt werden dürfen. Die restlichen Faktoren sind die Gruppengeschwindigkeit und die Fermi-Dirac-Verteilung der Elektronen im Metall. Letztere bestimmt die Zahl der vorhandenen Elektronen, die über die Barriere hinweg in den Halbleiter übertreten können. Die Integrationsgrenzen kann man ins Unendliche verschieben. Als Energie-Nullpunkt wählen wir die Energie des Vakuum-Niveaus: E0 0. Dann ist EFM Φ. Wegen Ec k Φ kB T kann

148

CHAPTER 11. METALL-HALBLEITER (MS)-KONTAKT a) U = 0 M

n-HL

ΦB

Ec

E FM

E FS

xB

0

x

MSvsU.ID.epsi 123 93 mm

c) U < 0

b) U > 0 M

M

n-HL

ΦB x

E FM

0

x

x

n-HL

ΦB

Ec E FS

x x x

E FM

xB

x

x

x

x

x

x x x

0

x

Ec E FS

x

xB

x

¨ Veranschaulichung des Stromflusses in einem Schottky-Ubergang. a) ohne Spannung, b) Durchlassrichtung, c) Sperrrichtung. Die Kreuze in b) und c) deuten an, dass das Fermi-Niveau im Raumladungsgebiet nicht definiert ist.

man Boltzmann-Statistik benutzen,

f M Ec k

e

Φ kB T

e

Ec k kB T

In Effektivmassen-Näherung für E alt man dann c k erh¨

jMS 0

e e 4π3

Φ Ec kB T

0

∞

∞

∞

dky

∞

∞

dkz

0

0

dkx

kx e mc

2 k2 2m c kB T

χ, also ist Φ

0

Aufgrund der Wahl des Energie-Nullpunkts ist Ec Ec Φ χ ΦB gleich der Schottky-Barriere. Die Berechnung der Integrale ist trivial, man erhält endgültig

jMS 0

e vth n Nc e 4

ΦB kB T

(11.5)

11.4. KONTAKT-RANDBEDINGUNGEN IN DER BAUELEMENTE-SIMULATION

149

mit der mittleren thermischen Geschwindigkeit vth n 8kB T πmc der Elektronen und der Leitungsbandkanten-Zustandsdichte N . Die berechnete c Stromdichte jMS 0 kann benutzt werden, um auf jSM U zu schliessen. Im Gle 0 ichgewicht gilt jMS 0 jSM 0 . Legt man eine Spannung U an, geht Ec in die 0 eU über, also jSM U jSM 0 exp U UT . Damit ergibt sich neue Lage Ec für die Netto-Stromdichte

jn U

jMS 0

U

1

e UT

Der Schottky-Kontakt wirkt demnach, genau wie die Diode, als Gleichrichter. Wegen des Faktors exp ΦB kB T kann die Sperrwirkung jedoch grösser sein, nämlich dann, wenn die Barrierenhöhe Φ osser ist als die built-in-Spannung B gr¨ der Diode. Noch zwei abschliessende Bemerkungen: Da in der Raumladungszone praktisch keine Elektronen vorhanden sind, müssen sie aus dem Bahngebiet (bulk) kommen. Ungehinderte Emission kann nur stattfinden, wenn sie beim Durchfliegen der Raumladungszone keine Stösse erleiden. Deshalb muss die mittlere freie Weglänge l grösser als die Barrierenweite Bx sein. l xB bedeutet aber, das sich in der Raumladungszone kein auch nur angenähertes thermodynamisches Gleichgewicht ausbilden kann. Deshalb ist ein Fermi-Niveau auch nicht mehr im lokalen Sinne definiert. Der Fall l xB kann mit der sogenannten Diffusionsthe¨ orie behandelt werden (sh. Ubungen zu den Bipolar-Bauelementen) und liefert qualitativ dasselbe. Wird die Potential-Barriere sehr schmal, kann sie durchtunnelt werden. Dann hat man einen Ohmschen Kontakt. In der Mikroelektronik werden Ohmsche Kontakte durch eine hohe Dotierung des Siliziums im Kontaktgebiet erreicht.

11.4 Kontakt-Randbedingungen in der Bauelemente-Simulation Idealer Ohmscher Kontakt thermodynamisches Gleichgewicht: n p Zwei Annahmen:

Ladungsneutralität: n

p

NA

ND

n2i e f f C.

Die erste Bedingung entspricht einer unendlich grossen OberflächenRekombinationsgeschwindigkeit. Setzt man beide Bedingungen ineinander

150

CHAPTER 11. METALL-HALBLEITER (MS)-KONTAKT

ein, ergeben sich Dirichlet-Randbedingungen für die Dichten: 1 2 1 2

n p

C2

C2

4 n2i e f f

C C

4 n2i e f f

Schottky-Kontakt Die Formel (11.5) für die Netto-Stromdichte wird umgeschrieben. Es ist

Nc exp

ΦB kB T

Nc exp

U UT ΦB kB T

n xB

!

0

nx

neq xB

!

neq x

0

wegen der Voraussetzung der Emissionstheorie (keine Stösse in der RLZ). Als Strom-Randbedingung bei x 0 erhält man also

e vth n n 4

jn U

neq

x 0

Das Auftreten der mittleren thermischen Geschwindigkeit ist das Ergebnis der Emissionstheorie. In der Diffusionstheorie erhält man stattdessen

jn U

e vrec n n

oder allgemein in der Bauelemente-Simulation

neq

j n en

e vrec n n

1 2

C2

x 0

4 n2i e f f

C

wobei vrec n die Oberflächen-Rekombinationsgeschwindigkeit ist. Nicht-idealer MS-Kontakt Das Argument, dass dünne Potentialbarrieren durchtunnelt werden und Ohmsche Kontakte liefern, kann benutzt werden, um ein Modell des nichtidealen MS-Kontakts aufzustellen. Bei xT gilt: jDD

jtunnel

Der Bereich 0 xT wird in der BE-Simualtion zu Null “geschrumpft”.

11.4. KONTAKT-RANDBEDINGUNGEN IN DER BAUELEMENTE-SIMULATION

151

Die Wahl von xT erfolgt nach einem Tunnel-Kriterium. Die Gleichung jDD jtunnel x quasi-Fermi-Niveau bei xT .

xT

wird iteriert und liefert den Wert für das

Die Grenzfälle des Ohmschen und Schottky-Kontakts werden über die dotierungsabhängige Barrierenweite reproduziert. Hohe Dotierung 1018 cm 3 schmale Barriere = Ohmscher Kontakt. Schwache Dotierung 1016 cm 3 breite Barriere = Schottky-Kontakt. Anschluss-Punkt zwischen diffusivem und ballistischem Transport

E F,M

qUappl

xT.ID.epsi 97 46 mm

Ec

-q ϕn(x T) xT

xB

12 Metall-Isolator-Halbleiter (MIS) Struktur ¨ 12.1 Isolator-Halbleiter (IS)-Ubergang im Gleichgewicht a)

Isolator

HL

b)

Isolator

HL

E cI

E FI

EISequ.ID.epsi cS E120 FS 65 mm EF E vS

E cS E vS

E vI

Räumlicher Verlauf der Bandkanten und der Fermi-Niveaus an einem Isolator¨ Halbleiter-Ubergang vor (a) und nach (b) Einstellung des Gleichgewichts.

¨ ¨ Der in der Abbildung dargestellte IS-Ubergang entspricht einem pn-Ubergang aus zwei unterschiedlichen Materialien mit einer sehr kleinen AkzeptorKonzentration NAI im Isolator. Da EFS EFI ist, gehen Elektronen vom Halbleiter in den Isolator über, der sich dadurch negativ auflädt. Wegen des grossen Dotierungsunterschieds reichen bereits wenige Elektronen aus, um die Fermi-Niveaus anzugleichen. Die Raumladungszonenweite im Isolator wird sehr gross, während im Halbleiter die Raumladung vernachlässigbar bleibt. Ist der Isolator nicht dick genug, kann der Sprung des chemischen Potentials nicht vollständig elektrisch abgeschirmt werden (man erhält andere Randbedin152

¨ 12.1. ISOLATOR-HALBLEITER (IS)-UBERGANG IM GLEICHGEWICHT

153

gungen). Aufgrund der geringen Raumladung im Halbleiter ist die Feldstärke dort praktisch Null und EF EFS . Dies bedeutet, dass der Halbleiter vom Isolator praktisch überhaupt nicht beeinflusst wird. Auch das Feld im (hinreichend dicken) Isolator ist klein und kann vernachlässigt werden. Somit erhält man im ¨ Schottky-Modell des IS-Ubergangs einen horizontalen Bandkanten-Verlauf. In Wirklichkeit existieren jedoch Grenzflächenzustände. Ist die GrenzflächenLadungsdichte negativ (eingefangene Elektronen), entsteht im Halbleiter unter der Grenzfläche ein Verarmungsgebiet (positive Raumladung). In SchottkyNäherung ist wegen der Erhaltung der Elektronenzahl

ns

NDS xB

(ns Grenzflächen-Zustandsdichte cm 2 , xB Barrierendicke). Die Grenzflächen-Zustandsdichte ns ist mit einem Sprung der Feldstärke verbunden: e s εs E 0 ε I E 0 n ε0

Da man E 0 vernachlässigen kann, ergibt sich auf der Halbleiterseite der Grenzfläche e s Es n ε0 εs

Der Wert des Potentials an der Grenzfläche ist ϕ 0 Us . In völliger Analogie zum MS-Kontakt erhält man als Lösung der Poisson-Gleichung in SchottkyIsolator

HL

E cI

EF

ISinterface.ID.epsi 58 64 mm

E cS E vS

E vI

¨ Räumlicher Verlauf der Bandkanten an einem Isolator-Halbleiter-Ubergang im Gleichgewicht bei Vorhandensein von Grenzflächen-Zuständen.

154

CHAPTER 12. METALL-ISOLATOR-HALBLEITER (MIS) STRUKTUR

Näherung ϕ x

0

UT 2L2D

xB

x

2

in 0 xB sonst

mit xB Setzt man xB

2LD

Us

UT

ε0 εsUT eNDS

LD

ns NDS ein, folgt für die Grenzflächen-Zustandsdichte ns

2ε0 εs NDS U s e

(12.1)

und die Grenzflächen-Feldstärke Es wird e N xB ε0 εs DS

Es

2e N Us ε0 εs DS

Für eine Abschätzung der Grössen betrachten wir folgendes Zahlenbeispiel: e U s 1 eV , NDS 1016 cm 3 , εs 10. Dann wird 3 1011 cm 2 6 104 V cm 0 3 µm

ns Es xB

(12.2)

Damit es zum Fermi level pinning kommen kann, muss die GrenzflächenZustandsdichte grösser sein als das berechnete ns (etwa 1012 cm 2 ), was an der Si-SiO2 -Grenzfläche aber gerade nicht der Fall ist! Dies macht die Funktionsweise von MOSFETs möglich, denn wäre dem nicht so, könnte man durch Variation der Gate-Spannung die Lage des Fermi-Niveaus unter der Grenzfläche nicht ändern und damit auch nicht die Leitfähigkeit im Kanal. Die heutige Mikroelektronik basiert also im wesentlichen auf den guten Eigenschaften der Si-SiO 2 Grenzfläche.

12.2 MIS-Struktur bei angelegter Spannung Der Isolator sei bei x

ϕ ∞

ϕ

d kontaktiert, der Halbleiter bei x d

U

∞.

U = angelegte Spannung.

12.2. MIS-STRUKTUR BEI ANGELEGTER SPANNUNG

155

U0

p

n

Bildung von Verarmungs- bzw. Anreicherungsschichten an einem Isolator-Halbleiter¨ Ubergang bei angelegter Spannung.

Die Randbedingungen lauten: ϕ ∞ 0 und dϕ dx x ∞ 0. Im Halbleiter wird Ladung influenziert. Diesen Effekt nennt man Feldeffekt, der dem Transistor seinen Namen gibt (FET). Die influenzierte Ladungsmenge ist der ε I εs -te Teil der Ladungsmenge, die auf den Isolator aufgebracht werden muss (ε I ist die Dielektrizitätskonstante des Isolators). Voraussetzung für das Funktionieren des Feldeffekt-Transistors ist die Kleinheit der Grenzflächen-Zustandsdichte. Wir vernachlässigen sie im folgenden völlig und betrachten einen p-Halbleiter bei 0 U 0. Die Leitungsbandkante an der Grenzfläche zum Isolator Ec eϕ 0 wird heruntergezogen, bis sie bei einer bestimmten Spannung U0 das Fermi-Niveau trifft 1 0 U0 Ec EF e Erhöht man die Spannung U weiter (U U0 ), so ergibt sich ein Punkt xi , an dem gilt

Ec

0

eϕ xi

EF

(xi ist die Breite der Inversionsschicht). Die Elektronenkonzentration ist hier von

156

CHAPTER 12. METALL-ISOLATOR-HALBLEITER (MIS) STRUKTUR E

eU0 EF

inversion.ID.epsi eUs 105

0 xi

-d

xp

71 mm

x

der Grössenordnung der effektiven Zustandsdichte Nc (1019 cm 3 ). Wir wollen annehmen, dass die Dotierung des p-Halbleiters nicht zu gross ist, so dass noch Nc gilt. Im Inversionsgebiet wird die Verteilungsfunktion der Elektronen NAS als Stufenfunktion genähert:

f E

Θ EF

E

0

x

xi

Für das Gebiet zwischen xi und der Raumladungszonen-Grenze x p nehmen wir an, dass die Schottky-Näherung möglich ist, also eUs kB T gilt. Damit erhält man ein einfaches Modell für die Elektronendichte im Halbleiter. ∞ eϕ x E 0 x xi 0 dE Dc E Θ EF Ec n x 0 xi x ∞

Die Löcher werden in Schottky-Näherung behandelt:

p x

0 x xp x p x ∞ (vollständige Ionisation) .

0 NAS

Eine analytische Lösung der Poisson-Gleichung wird nur dann möglich, wenn man den Ausdruck f¨ ur n x noch weiter vereinfacht. Dazu wird die Zus tandsdichte Dc E durch einen Mittelwert Dc ersetzt, der im Energie-Intervall 0 s Ec eU EF gebildet wird:

Dc

1 2π2

2mc

2

γ

3 2

EF

0 E c

EF

eU s

Ec

0

eU s

dE E

Ec

0

eU s

12.2. MIS-STRUKTUR BEI ANGELEGTER SPANNUNG

(Mittlung bei x

0). Da eU0

de f

γ 3π2

Dc

Ec

0

157

EF ist, erhält man

2mc

3 2

eU s

2

eU0

(12.3)

Der Korrekturfaktor γ 1 berücksichtigt, dass das bei x 0 berechnete Dc zu ¨ einer Ubersch¨ atzung der mittleren Elektronenkonzentration in der gesamten Inversionsschicht führt. Benutzt man Gleichung (12.3) in n x , so folgt

Nc ϕ x U s U0

n x

U0

mit

γ 2mc eU s 3π2 2

Nc

3 2

eU0

Die Elektronenkonzentration nimmt also im Inversionsgebiet vom Wert N c auf den Wert 0 ab (da ϕ xi U0 ). Das Modell (12.3) führt zur Unterschätzung von n ¨ im linken Teil und zur Ubersch¨ atzung von n im rechten Teil der Inversionsschicht. Die Poisson-Gleichung vereinfacht sich zu d2ϕ dx2

e ε0 εs

0 Nc U s NAS 0

U0

1

ϕ x

U0

d

x

0

0 x xi xi x x p xp x ∞ .

Die Randbedingungen lauten ϕ ∞ ϕ d U und ϕ ∞ 0. Wegen der Wahl des Energie-Nullpunkts in der Form ϕ ∞ 0 folgt auch ϕ x p 0 und 0. Im Isolator ist die Feldstärke konstant EI ϕ d . Also hat man ϕ xp folgende Randbedingungen: ϕ

ϕ

d

d

U EI

ϕ xp ϕ xp

0 0

Man erhält als Lösung der Poisson-Gleichung

ϕ x

U EI x d U0 Lu E s sinh UT 2L2D

xp

x

mit

x Lu

U0 cosh

d x Lu

0

2

xi

L2u

Us

ε0 εs U s U0 eN c

L2D

ε0 εsUT eNAS

x x

x

0 xi xp

158

CHAPTER 12. METALL-ISOLATOR-HALBLEITER (MIS) STRUKTUR

Wegen ϕ 0 U s folgt U s Funktion von E s :

εI EI εs ist, wird U s folgende

EI d. Weil E s

U Us

εs s E d εI

U

Es bleiben drei Grössen zu bestimmen: xi , x p und E s .

1.) Aus der Stetigkeit von ϕ x bei x

xi folgt

xi Lu

E cosh

2.) Aus dem Wert von ϕ x bei x

xi (ϕ xi

Us

U0 Lu

sinh

U s U0 Lu E s

UT xi 2L2D

xp

U0 !) folgt xi Lu

3.) Aus dem Wert von ϕ x bei x U0

tanh

UT xi L2D

xi Lu

s

xi folgt

xp

2

xp

xi

2U0 UT

LD

1) und 2) sind implizite Gleichungen zur Bestimmung von xi und E s . Setzt man 2) in 1) ein, so folgt

cosh

U

xi Lu

s

U0

2

Lu E

s 2

UT E

s

Lu LD

2

xp

xi

Unter der Voraussetzung L2u L2D , d.h. NAS N c kann man die rechte Seite der letzten Gleichung näherungsweise Null setzen und erhält mit Us

Es

U0 Lu

eine implizite Gleichung für Es

Die in der Inversionsschicht gespeicherte Ladung wird wegen

n x

Nc ϕ x s U U0

U0

N c cosh

x Lu

(12.4)

Lu E s sinh U s U0

x Lu

¨ 12.3. LADUNGSTRANSPORT DURCH DUNNE OXIDE

gleich n

xi

s 0

dx n x

x Lu

N c Lu sinh

1

N c Lu N c Lu

cosh

159

tanh

1

xi Lu

xi cosh Lu

x Lu

xi 0

xi Lu

sinh

Einsetzen der expliziten Ausdrücke ergibt

n

s

γ 2mc eU s 3π2 2

eU0

also ns

U

εI Lu εs

U0

U U d

ε0 εs e

U0

α Us

Setzt man Gleichung (12.4) in U s E s s

1 2

3 2

5 4

Us

U0

(12.5)

εs E s d εI ein, so folgt Us

U

1

U0 εs d ε I Lu

Damit wird die gespeicherte Ladung als Funktion der äusseren Spannung U :

n U s

α

U

U0

1

εs d ε I Lu

5 4

Um die gespeicherte Ladung über U möglichst wirksam steuern zu können, muss ˚ (für Us U0 1V ), also muss d Lu sein. Lu ist von der Grössenordnung 500A gelten: d 50 nm!

12.3 Ladungstransport durch du¨nne Oxide Die Stromdichte für den Mechanismus des direkten Tunnelns durch dünne Oxide ¨ wird auf ähnliche Weise berechnet wie beim Metall-Halbleiter-Ubergang. Bei dünnen Oxiden (d 3 nm), die durchtunnelt werden, kann kein lokales quasiFermi-Niveau innerhalb der Oxidbarriere definiert werden. Im Falle extrem

160

CHAPTER 12. METALL-ISOLATOR-HALBLEITER (MIS) STRUKTUR Tunneling mechanisms Fowler-Nordheim

direct

(multi)phonon-assisted

resonant

"cavity" defects E (x ) t

Typical characteristics tunnelmech.ID.epsi 121 94 mm -10

single oxide, tox= 2.5 nm direct Fowler-Nordheim

Log [J (Acm )]

-15 -20

-2

–2

Log [J (Acm )]

0

single oxide, tox = 10 nm multiphonon-assisted resonant direct

–5

-25 -30 -35

–10

-40 0

2

4 6 8 gate voltage (V)

10

E FM

0

1

2 3 E (MV/cm)

4

x x x dirtun.ID.epsi x 74 x48xmm x

x

E FS x = -d

x=0

dünner Oxide (d 1 nm, “native oxides”) stellt sich zwischen Metall und Halbleiter ein näherungsweises thermodynamisches Gleichgewicht ein. Der MIS¨ Ubergang wird dann quasi-Ohmsch. Die Elektronen-Stromdichte kann nach der Formel

jn

emc kB T 2π2 3

∞ 0

dE T E ln

exp exp

k ET 0 E 0 E 0 E k T

EFS 0

1

c

1

B

EFM

B

c

¨ 12.3. LADUNGSTRANSPORT DURCH DUNNE OXIDE

161

berechnet werden. Dabei ist T E die Transmissionswahrscheinlichkeit (auch Durchgangskoeffizient genannt, sh. Kap.5) für die Oxidbarriere. Die Abbildung zeigt gemessene und simulierte Tunnelstrom-Kennlinien von MOS-Kapazitäten ˚ bzw. 30 A. ˚ mit SiO2 -Dicken von 15 A 1E0

Gate Currents of MOS capacitor

Cu r r en t (A )

1E-5

1E -10

1E -15

iv15-30-comp.ID.epsi 80 77 mm

ex p 15A ex p 30A sim 30A sim 15A

1E -20 -4

-2

0

Vo l t ag e (V)

2

4

¨ 13 Hetero-Uberg¨ ange 13.1 Banddiskontinuit¨ aten Material 1

Material 2 E c2

∆E c

E c1 E F1

E g1

E g2

hetero1.ID.epsi 81 55 mm

E v1

E F2

∆E v

E v2 x

0

Die Abbildung zeigt die Situation vor Einstellung des Gleichgewichts. Auch wenn keine freien Ladungsträger vorhanden sind, fliesst Valenzladung aus dem Material 1 mit der höher liegenden Valenzbandkante ins Material 2. Es bildet sich eine Dipolschicht aus. Wegen des damit verbundenen Potentialsprungs ergibt sich ¨ für die tatsächliche Lage der Valenzbandkanten am HeteroUbergang: Ev1

0

Ev1

eϕ ;

0

Ev2

Ev2

eϕ

Damit folgt für die Valenzband-Diskontinuität: ∆Ev

Ev1

Ev2

0

0

Ev1 Ev2 Volumenbeitrag 162

e ϕ ϕ Dipolbeitrag

13.2. POTENTIALVERLAUF NACH EINSTELLUNG DES GLEICHGEWICHTS

163

Der Dipolbeitrag hängt allerdings auch von den Eigenschaften der Grenzfläche ab. Für die Leitungsband-Diskontinuität erhält man: ∆Ec

Ec2

Ec1

Ev2

Eg2

Ev1

∆Ev

Eg1

∆Eg

∆Eg kann experimentell leicht bestimmt werden, ∆Ev ist dagegen schwierig zu messen.

13.2 Potentialverlauf nach Einstellung des Gleichgewichts E c2 E F2

a) E c1 E F1 b) hetero2.ID.epsi 84 72 mm

c)

-e ϕ(x)

Ec -e ϕ(x) EF x

0

¨ Verlauf der Leitungsbandkante an einem Hetero-Ubergang vom n-Typ vor Einstellung des Gleichgewichts a) und danach c). Der Verlauf des Potentials ist in b) dargestellt.

Wir beziehen jetzt auch die freien Ladungsträger mit in die Betrachtung ein. Durch Umverteilung an der Hetero-Grenze bildet sich eine Raumladungszone aus. Zum Zwecke einer vereinfachten Analyse beschränken wir uns auf das System GaAs-AlAs, für das Ec2 Ec1 gilt, und machen folgende Annahmen: Nc1 Nc2 , n-Dotierung mit p NA 0, gleiche Dielektrizitätskonstanten ε1 ε2 . Dann lautet die Poisson-Gleichung d2ϕ dx2

e ND x ε0 εs

n x

Nimmt man noch an, dass die n-Dotierung in beiden Materialien identisch ist, so gilt EF2 EF1 Ec2 Ec1 . Aufgrund der Voraussetzung Ec2 Ec1 muss

¨ ¨ CHAPTER 13. HETERO-UBERG ANGE

164

auch EF2 EF1 sein. Deshalb diffundieren Elektronen aus dem Material 2 in das Material 1. Es entsteht eine Anreicherungsschicht in Material 1 und eine Verarmungsschicht in Material 2. In Material 2 kann man die Schottky-Näherung anwenden, in Material 1 dagegen nicht. Nach dem Schottky-Modell des Kontakts muss die Differenz der FermiNiveaus gerade durch die Bandverbiegung kompensiert werden, d.h. 1 EF2 EF1 ϕ ∞ ϕ ∞ e In Material 1 kann man folgendermassen vorgehen: Die Elektronendichte ist

n x

Nc exp

Ec eϕ x kB T 0

EF

wenn man Boltzmann-Statistik voraussetzt. Führt man die GleichgewichtsKonzentration n01 im unendlichen Volumen des Materials 1 ein, folgt

ϕ x

ϕ ∞ n x n01 exp UT Die Poisson-Gleichung im Gebiet von Material 1 lautet dann

e ND x ε0 εs

d2ϕ dx2

n01

ϕ x exp

ϕ UT

∞

Das erste Integral kann mit der Randbedingung dϕ dx x ∞ 0 und für konND const exakt angegeben werden: stante Dotierung ND x

dϕ dx

2

2e ε0 εs

ND ϕ x

ϕ

∞

ϕx

UT n01 e

Uϕ T

∞

1

Im Sinne einer qualitativen Diskussion setzen wir ND 0 (bzw. machen die Annahme ND n in der Anreicherungsschicht). Der Potentialsprung ist von der Grössenordnung der Banddiskontinuität und wird durch ∆E c ersetzt. Mit e dϕ dx ∆Ec wA , wobei wA die Dicke der Anreicherungsschicht bezeichnet, erhält man LD ∆Ec 12 k∆ETc B wA e 2 kB T

LD ist die Debye-Länge in Material 1: LD ε0 εsUT e n01 . Hier ist also wA LD ! Mit ∆Ec 0 4 eV ist wA 0 14 LD . Die Debye-Länge beträgt für n01 1018 cm 3 und εs 12 etwa 0.2 µm, somit wird wA etwa 20 nm. Dieser Wert wird durch numerische Rechnungen bestätigt. Im Potentialtrichter bildet sich ein 2D-Elektronengas aus.

13.3. SUPERGITTER UND QUANTUM WELLS

165

13.3 Supergitter und Quantum Wells In Kap. 5 hatten wir zur Veranschaulichung der Entstehung von Bändern ein eindimensionales Modell aus einer unendlichen Abfolge von Quantentöpfen und Barrieren betrachtet (Kronig-Penney-Modell). In der Realität werden solche Systeme als Supergitter realisiert. Auf ein Substrat werden dazu epitaktisch Halbleiterschichten aus abwechselndem Material aufgewachsen. Mittels MBE oder MOCVD gelingt die Herstellung von nahezu idealen Hetero-Grenzflächen. Liegen die Schichtdicken im Nanometer-Bereich, ergeben sich neuartige elektronische Eigenschaften, die denen ähnlich sind, die durch die natürliche Kristallstruktur verursacht werden (Energie-Lücken, negative effektive Massen, etc.). Im folgenden wird die elektronische Struktur von Supergittern noch einmal a)

d d1 Substrat

b)

superlatt1.ID.epsi 64 mm

d2 92

Supergitter

y x

z

E c (z)

z

Halbleiter-Supergitter (a) und zugehöriger Verlauf der Leitungsbandkante (b).

genauer betrachtet, wobei eine etwas andere Methode als in Kap. 5 benutzt wird (hier jetzt das eigentliche “Kronig-Penney-Modell” ohne WKB-Näherung). Wir beschränken uns wieder auf die Elektronen im Leitungsband, die Löcher können analog behandelt werden. Die Schichtdicke von Material 1 (z.B. GaAs) sei d1 , die von Material 2 (z.B. Ga1 x Alx As sei d2 und die Gitterkonstante des Supergitters in z-Richtung (Wachstumsrichtung) sei d d1 d2 . Parallel zu den Schichten in x- und y-Richtung liegt die natürliche Gitterperiodizität vor. Die elektronische Struktur von Supergittern kann bereits mittels der EffektivmassenMethode recht gut beschrieben werden. Voraussetzung dafür ist insbesondere, dass die Leitungsband-Minima der beiden Materialien im selben Punkt des k-Raumes liegen. Bei der Kombination GaAs/Ga1 x Alx As ist das im direk Bandkanten liegen im ten Bereich der Legierung (x 0 42) der Fall, beide Punkt Γ. Die Gesamt-Wellenfunktion eines Elektrons im Supergitter wird in

¨ ¨ CHAPTER 13. HETERO-UBERG ANGE

166

der Effektivmassen-Näherung als Produkt aus einem Blochfaktor uc0 r und einer Enveloppen-Funktion Fc r dargestellt. Wir schreiben die Effektivmassen Gleichung für Fc r in den beiden Materialien einzeln auf:

2

2mc1

2

2mc2

∆

∆

Ec1 Fc r

r in Material 1

r in Material 2

E Fc r

Ec2 Fc r

E Fc r

Der Einfachheit halber seien die effektiven Massen gleich (mc1 mc2 mc ), was für das System GaAs/Ga1 x Alx As näherungsweise erfüllt ist. Durch Einführung einer ortsabhängigen Leitungsbandkante Ec z lassen sich beide Gleichungen zu einer zusammenfassen:

2

2mc mit

Ec z

0 ∆Ec

∆

Ec z Fc r

Ec2

Ec1

Ec1 Fc r

E

(13.1)

n d d1 z n 1 d

für n d z für n d d1

und n als Nummer der Supergitter-Einheitszelle ( ∞ n ∞). Die Funktion Ec z lässt sich als äusseres Potential interpretieren und Gleichung (13.1) als Schrödinger-Gleichung in diesem Potential. Ec z besitzt die Periodizität des Supergitters, d.h.

d

Ec z

Ec z

Da das Potential Ec z nur von z, aber nicht von x y abhängt, kann die Lösung der Schrödinger-Gleichung als Produkt aus einer parallel zu den Schichten laufenden ebenen Welle mit einem gewissen Wellenvektor k , und einer nur von z abhängigen Funktion χc z geschrieben werden:

Fc r

1 ik x χ z e c Ω1 3

Fck r

Für χc z ergibt sich die Schrödinger-Gleichung

2

d2 2mc dz2

E c z χc z

E χc z

mit E

E

Ec1

2

2mc

k2

(13.2)

Diese Gleichung gilt für alle z mit Ausnahme der Sprungstellen n d und n d d1 zwischen den beiden Materialien. Um die Grenzflächen zu überbrücken,

13.3. SUPERGITTER UND QUANTUM WELLS

167

benötigt man Anschlussbedingungen für χ c z und dχc z dz. Normalerweise sind Wellenfunktionen und deren erste Ableitung überall im Raum stetig. Bei χc z handelt es sich aber nicht um eine vollständige Wellenfunktion, sondern nur um deren langsam veränderliche Enveloppe, die noch mit dem Blochfaktor uc0 r multipliziert werden muss. Der Blochfaktor hängt vom Material ab und hat i.a. links und rechts von der Grenzfläche unterschiedliche Werte. Das gleiche gilt für die Ableitungen. Wir nehmen diese Grössen im Sinne einer Näherung als gleich an (gilt für GaAs/AlAs-Supergitter tatsächlich näherungsweise). Dann ist also

χc z

χc z

0

χc z

0

χc

z

0

für z

0

n d und z

nd

d1

(13.3)

Als weitere Bedingung fordern wir die Periodizität und Normierung von χc z bezüglich des 1-dimensionalen Grundgebietes Ω1 3 M d (M bezeichnet die Anzahl der Supergitter-Einheitszellen pro Grundgebiet). Gemäss Bloch-Theorem kann dann χc z als gitterperiodische modulierte ebene Welle

χc z

χck z

1 ikz e Uck z Ω1 6

geschrieben werden mit k als Komponente des Gesamtwellenvektors des Fck k r in z-Richtung und Uck z als SupergitterBloch-Zustandes Fck r Blochfaktor. Letzterer ist von den Blochfaktoren uc0 r der beiden Volumenkristalle zu unterscheiden. Das Auftreten von zwei verschiedenen BlochFaktoren spiegelt den Umstand wieder, dass bei einem Supergitter zwei verschiedene periodische Potentiale vorliegen, nämlich das der natürlichen Kristall¨ struktur und das der künstlichen Uberstruktur. Die Gesamtwellenfunktion ψc r ψck r enthält das Produkt der beiden Bloch-Faktoren. Sie lautet

ψck r

1 uc0 r Uck z ei k r Ω

Die z-Komponente k des Wellenvektors k muss von der Form 2π M d 0 1 2 sein, damit die geforderte Grundgebietsperiodizität vorliegt. Der Variationsbereich von k ist die (1-dimensionale) erste BZ des Supergitters zwischen π d und π d. Zur Lösung der Schrödinger-Gleichung (13.2) beschränken wir uns auf Energien 0 E ∆Ec , d.h. auf Energien, die unterhalb der niedrigsten erlaubten Energie eines Elektrons in Material 2 liegen. Der Blochfaktor Uck z der Wellenfunktion χck z wird in den beiden Materialschichten durch unterschiedliche Ausdrücke beschrieben. Für die Quantum Wells folgt aus der

¨ ¨ CHAPTER 13. HETERO-UBERG ANGE

168

Schrödinger-Gleichung

Uck z

k z b e i K 1

a 1 ei K

k z

0

z

d1

mit K als reeller Zahl, die mit der Energie E durch die Beziehung

E

2

2mc

K2

(13.4)

verknüpft ist, und a1 , b1 als noch zu bestimmenden Koeffizienten. In den Barrieren gilt dagegen

ik z b e 2

Uck z

a2 e κ

κ

ik z

d1

z

d

wobei κ2

2mc

2

∆Ec

E

(13.5)

gesetzt wurde. Für die vier Koeffizienten a1 , b1 , a2 , b2 ergibt sich aus den vier Anschlussbedingungen (13.3) das homogene Gleichungssystem

eiKd1 eikd iK eiKd1 iK eikd

e iKd1 e ikd iK e iKd1 iK e ikd

eκd1 eκd κ eκd1 κ eκd

e e κe κe

κd1 κd κd1 κd

a1 b1 a2 b2

0 0 0 0

Damit dieses Gleichungssystem eine nichttriviale Lösung besitzt, muss seine Determinante verschwinden. Die Bedingung dafür lautet

κ2 K 2 sin Kd1 sinh κd2 cos kd (13.6) 2κK Nur solche K und κ sind erlaubt, die dieser Beziehung genügen. Dabei sind K und κ aber nicht unabhängig voneinander, sondern durch die Energie E über Gleichungen (13.4) und (13.5) miteinander verknüpft. Die Gleichung (13.6) stellt also letztlich eine Bedingung für die Energie E dar. Sie ist identisch mit der des Kronig-Penney-Problems. Man erhält eine bestimmte Anzahl diskreter Energieeigenwerte En , die, wenn k variiert, zu Bändern En k auffächern, die durch Energielücken voneinander getrennt sind. Um die Energieeigenwerte 2 E des2 Su pergitters zu erhalten, muss gemäss (13.2) zu En k noch Ec1 2mc k addiert werden: cos Kd1 cosh κd2

En k

En k

Ec1

2

2mc

k2

13.3. SUPERGITTER UND QUANTUM WELLS

169

Im Unterschied zum Kronig-Penney-Problem besitzen die Energiebänder des Supergitters also eine zusätzliche Dispersion bzgl. der Wellenvektor-Komponente k parallel zu den Schichten. Die Bänder und Lücken, die sich bei festem k und Variation von k ergeben, bezeichnet man als Miniba¨ nder und Minilücken. Die bei festem k und variablem k entstehenden Bänder bezeichnet man als Subbänder. Die Subband-Dispersion resultiert aus der natürlichen Kristallstruktur, während ¨ die Miniband-Dispersion die Folge der künstlichen periodischenUberstruktur ist. In der Abbildung sind auch die Grenzfälle sehr dicker Barrieren (links) und sehr dünner Barrieren (rechts) dargestellt. Im ersten Fall dominieren die hyper bolischen Terme in (13.6) und der die Dispersion verursachende Term cos kd auf der rechten Seite kann vernachlässigt werden. Die Minibänder entarten zu den diskreten Niveaus des isolierten Quantentopfes. Das Supergitter zerfällt in einzelne Quantum Wells, die untereinander nicht gekoppelt sind (MultiQuantum-Well-Struktur). Im zweiten Fall liefert die Säkulargleichung (13.6) in nullter Näherung k K. Damit verschwinden die Minilücken überhaupt, und die ¨ Uberstruktur ist unwirksam.

π a superlatt2.ID.epsi 95 82 mm

k || π d

k

π d

z

Mini- und Subbänder eines Supergitters. Dargestellt sind auch die beiden Grenzfälle sehr dünner und sehr dicker Barrieren. Der untere Bildteil veranschaulicht die Wellenfunktionen.

Die bisherigen Betrachtungen gelten mit gewissen Modifikationen auch für Löcher. Die Löcher-Wells können sich im selben Material befinden wie die Elektronen-Wells, aber auch im andern Material. Im ersten Fall spricht man

¨ ¨ CHAPTER 13. HETERO-UBERG ANGE

170

von Typ-I-Supergittern, im zweiten Fall von Typ-II-Supergittern. In TypII-Supergittern halten sich Elektronen und Löcher in verschiedenen Materialschichten auf, sind also räumlich separiert, was zu ungewöhnlichen Eigenschaften führt. Es kommt sogar vor, dass die Löcher-Niveaus in dem einen Material höher liegen als die Elektronen-Niveaus in dem andern. Sie sind dann nicht mehr durch eine Energielücke voneinander getrennt, und das Supergitter ist ein Metall. Typ I

Typ II

Ec ∆Ec superlattTyp.ID.epsi 123 41 mm

E g1 Ev

E g2 ∆Ev

Supergitter vom Typ I und Typ II.

Schenk Halbleiterbauelemente

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