Schaum Cálculo 5ta Edición - Frank Ayres

 

 

SCHAUM  Problem.«

u I Resuelto

Cálculo

Quinta edición

■ Más de mil problemas resueltos ■ Explicaciones conci concisas sas de todos lo loss conce ptos d el cálculo ■ C onsejo on sejoss sobre sobr e el uso d e graPicadore graPicadoress

Frank Ayres, Ayres, Jr. • E llio tt Mendelson

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Quinta edición Frank Ayres Jr. Ex profesor y director del departamento de m a t e m á t i c a s de de l D i c k i n s o n C o l l e g e

Elliot Mendelson P r o f e s o r d e m a t e m á t i c a s d e l Qu e e n s C o l l e g e

Traducción  Ye  Y e lk a M a r í a G a rc í a Profesional en Lenguas Modernas Especialización en traducción Universidad de los Andes

Revisión técnica  V  Vee ró ni ca C ó rd o b a M o r a l e s Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey ( i t e s m )

Me Graw  MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK SAN JUAN • SANTIAGO • SÄO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL  NUEVA DELHI DELH I • SAN FRAN CISCO • S SINGA INGAPUR PUR • ST. LOUIS • SID NEY • TORONT TORONTO O

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Prefacio El propósito de este libro es ayud ar a los estudiantes a com prender y utilizar el cálculo. Todo se ha hecho con el fin de facilitar la comprensión del mismo, especialmente a los estudiantes con antecedentes limitados en matem áticas o para aquellos que han olvidado su entrenam iento en matemáticas. Los tem as incluyen todos los los materiales de los cursos estándar en cálculo e lemental e intermedio. La exposición directa y concisa típicas de las Series de Schaum se han ampliado en un gran número de ejemplos, seguidos por muchos problem as resueltos resueltos cuidadosamente. Al seleccionar estos problemas problemas se ha intentado anticipar las dificultades dificultades que norm almen te afronta el principiante. principiante. Adem ás, cada cap ítulo concluye con un grupo de ejercicios complem entarios con sus soluciones. soluciones. En esta quinta edición se han increm entado el número de los problemas resueltos y de los complem entarios. Adem ás, se ha hecho un gran esfuerzo por tratar puntos delicados del álgebra y de la ttrigonom rigonom etría que pueden confundir al estudiante. El autor considera que un a gran parte de los errores que los estudiantes cometen en el curso de cálculo no se deb en a una deficiencia en la com prensión de los principios del cálculo sino a su debilidad en el álgebra o en la geo metría que estudiaron en bachillerato. Se recom ienda a los estudiantes a que no pasen al siguiente capítulo sino hasta estar seguros de dom inar los temas del capítulo que están estudiando. Una buena prueba para determinar ese dominio es resolver adecuadamente los problemas complementarios. El autor agradec e a todas las personas que le han escrito para enviarle correcciones y sugerencias, en particular a Danielle CingMars, Lawren ce Collins, L. D. De Jonge, Konrad Duch, Stephanie, Happ s Lindsey Oh y Stephen T. B. Soffer. También se agradece a l edit editor, or, Charles Wall, por su apoyo y pacienc ia en la elaboración de esta edición.  E llllio io t M en de ls o n

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Índice de contenido 1

Siste mas de coord enad as lineales. lineales. Valo r absolu to. Desigualdades

01

Un sistema de coordenadas lineales / Intervalos finit finitos os / Intervalos Intervalos infinitos / Desigualdades Problema s resuelt resueltos os Problemas complementarios

2

Sistema de coordenadas rectangulares

09

Ejes de coordenadas / C oordenada s / C uadrantes / F órmu la de la distancia / Fórmulas del punto medio / Demostraciones o pruebas de los teoremas geométricos Problemas resueltos Problemas complementarios

3

Rectas

18

Inclinación de una recta / El signo de la pendiente / Pendiente e inclinación / Ecuaciones de rectas / La ecuación puntopendien te / Ecuación  pun  p un to int i nt er se cc ió n / R ec tas ta s p ar al el elas as / R ec ta s pe rp en di cu la re s Problemas resueltos Problemas complementarios

4

Círculos

29

Ecuac iones de los círculos / Ecua ción estándar de un círculo círculo Problemas resueltos Problemas complementarios

5

Ecuac iones y sus gráficas gráficas

37

La gráfica de una ecuación / Parábolas / E lipses / Hipérbolas / Secciones cónicas Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

6

Funcion es

49

Problemas resueltos Problemas complementarios

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Contenido

7

Límites

56

Lím ite de una función / Lím ites por la derecha y por la izquierda / Teoremas sobre límites / Infinito Problema s resueltos resueltos Problemas complementarios

8

Continuidad

65

Función continua Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

9

72

La derivada  N ot ac ió n de lta lt a / L a de riva ri va da / N ot ac ió n pa ra de riv ad as / D ife re nc ia bi lid ad Problema s resueltos resueltos Problemas complementarios

10

Reglas para derivar func ione s

78

Derivación / Funciones compuestas. La regla de la cadena / Form ulación alternativa alternativa de la la regla de la cadena / Funciones inversas / Derivadas superiores Problema s resueltos resueltos Problemas complementarios

11

Derivación implícita

89

Funciones implícitas / Derivadas de orden superior Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

12

Rectas tangen tes y normales

92

Ángulos de intersección intersección Problema s resueltos resueltos Problemas complementarios

13

Teorema del del valor medio. Fun cion es crecie ntes y decrecie ntes

97

M áximo y mínim o relati relativos vos / Funciones crecientes y decrecientes Problema s resueltos resueltos Problemas complementarios

14

Valores máximos y mínimos  N úm er os cr íti co s / C rite ri te rio ri o de la se gu nd a de riva ri va da p ar a ex tre m os re la tiv os / C ri rite te ri rioo de la  pr im er a de riva ri va da / M áx im o y m ín im o ab so lu to s / M ét od o ta bu la r p ar a h al la r el m áx im o y el mínimo absolutos Problema s resueltos resueltos Problemas complementarios

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Contenido

15

Trazo de curvas. Conc avidad . Simetría

11 118 8

Conc avidad / Puntos de inflexión / Asíntotas verticales / Asíntotas horizontales / Simetría / Funciones invers inversaa y ssimetría imetría / Funciones pares e  y   = f x ) impares / Sugerencias para trazar el gráfico de de y Problemas resueltos Problemas complementarios

16

Repaso de trigonomet ría

129

Medida del ángulo / Ángulos dirigidos / Funciones seno y coseno Problemas resueltos Problemas complementarios

17 Derivación de funciones trigonomét ricas

138

Continuidad de cos  x  y sen x sen  x   / Gráfica de sen  x   / Gráfica de cos  x   / Otras funciones trigonométricas / Derivadas / Otras relaciones / G ráfica de de y  y  = tan x tan  x   / Gráfica de de y  y  = sec  x   / Ángulos entre curvas Problemas resueltos Problemas complementarios

18 Funcione s trigonomé tricas inversa inversass

151 151

L a deriva da de sen sen11 x   / Función coseno inversa / Función tangente inversa Problemas resueltos Problemas complementarios

19 Movimie ntos rectilíneo y circular

160

Movimiento rectilíneo / Movimiento bajo la influencia de la gravedad / Movimiento circular  Problemas resueltos Problemas complementarios

20

Razones

16 6

Problemas resueltos Problemas complementarios

21

17 2

Diferenciales . Mé todo de Newton La difer diferencial encial / Método de Newton Problemas resueltos Problemas complementarios

22

 

Antiderivadas Leyes d e las antiderivadas Problemas resueltos Problemas complementarios

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Contenido

23

La integral definida. Área bajo una curva

18 187 7

 N ot ac ió n sig m a / Á re a b aj o u na cu rv a / P ro pi ed ad es de la in te tegr gr al de fin id idaa Problema s resueltos resueltos Problemas complementarios complementarios

24

Teorema fundamental del del cálculo

19 5

Teorema del valor med io para integrales integrales / Valor prome dio de una función en uunn intervalo cerrado / Teorema fundamental del cálculo / Cambio de variable en una integral definida Problema s resueltos resueltos Problemas complementarios

25

20 2

El logaritm o natural El logaritmo natural / Propiedades del logaritmo natural natural Problema s resueltos resueltos Problemas complementarios

26

Funciones exponenciales exponenciales y logarítmicas

210

Propiedades de ex / Función exponencial general / Funciones logarítmicas generales Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

27

2 18

Regla de L’Hôpital Regla de L’hôpital L’hôpital / Tipo indet indeterminado erminado 0 ■^ / T ipo indeterminado indeterminado ^  ^ / Tipos indeterminados indet erminados 00, ^ 0 y 1“ Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

28

Crecimie nto y decrecimiento exponencial exponencial

226

Vida media Problemas Problemas resueltos complementarios complementarios

29

Aplic acio nes de integr ación I: I: Área y longitud de arco

23 1

Área entre una curva y el eje y / Área entre curvas / Lon gitud de arco arco Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

30

Aplicacion es de de integración II: II: volumen Fórmula del disco / Método de washer / Método de capas cilindricas / Diferencia de la fórmu la de capas / Fórm ula de llaa sección transversal transversal (fórmula de llas as rebanadas) rebanadas) Problema s resueltos resueltos Problemas complementarios

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Contenido

31

Técnicas de integr ación I: integra ción por partes

25 5

Problemas resueltos Problemas complementarios

32

Técnicas de integr ación II: II: integrandos trigonométricos y sustituciones trigonométricas

26 2

Integrandos trigonométricos / Sustituciones trigonométricas Problemas resueltos Problemas complementarios

33

Técnicas de integr ación III: III: integr ación por frac cion es parciales parciales

27 5

Método de fracciones parciales Problemas resueltos Problemas complementarios

34

Técnicas de integr ación IV: susti tucion es misceláneas

28 4

Problemas resueltos Problemas complementarios

35

Integrales impropias

289

Límites de integración infinitos infinitos / Discontinuidades del integrando integrando Problemas resueltos Problemas complementarios

36

Apli cac ione s de la integrac ión III III:: área de una superficie de revolución

29 7

Problemas resueltos Problemas complementarios

37

Representación paramétrica de curvas

30 3

Ecuaciones paramétr paramétricas icas / Longitud de arco para una ccurva urva par paramétrica amétrica Problemas resueltos Problemas complementarios

38

Curvatura

30 8

Derivada de la longitud de un arco / Curvatura / El radio de curvatura / El círculo de curvatura / El centro de curvatura / La evoluta Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

39

317

Ve ctor es en un plano Escalares y vectores / Sum a y diferencia de dos vectores / Com ponentes de un vector / Producto escalar (o producto punto) / Proyecciones escalar y vectorial / Derivación de funciones vectoriales Problema s resuelt resueltos os Problemas complementarios

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Contenido

40

Movim iento curvilín curvilíneo eo

32 8

Velocidad en el mov imiento curvilíneo / Aceleración en el movim iento curvilíneo / Com ponentes tangencial y norm al de la aceleración Problema s resueltos resueltos Problemas complementarios

41

Coord enad as polares

335

Coorden adas polares y rectangulares / Algunas curvas polares típicas típicas / Ángu lo de inclinación / Puntos de intersección / Ángulo de intersección / La derivada de la longitud de arco / Curvatura Problema s resueltos resueltos Problemas complementarios

42

34 8

Sucesiones infinitas infinitas Sucesiones infinitas / Límite de una sucesión / Sucesiones monótonas Problema s resueltos resueltos Problemas complementarios

43

Series infinitas

356

Series geométricas Problema s resueltos resueltos Problemas complementarios

44

Series con térm inos positivos. Criter io de de la integral. Criterios de comparación

36 2

Series con térm inos positi positivos vos Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

45

Series alternadas. alternadas. Convergencia absoluta absoluta y condicional. Criterio del razón

37 371 1

Series alternadas Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

46

3 79

Serie de potencias Serie de potencias / Convergencia uniforme Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

47

Series de Taylor y de Maclaurin. Fórmula de Taylor con residuo Series de Taylor y de Maclaurin / Aplicaciones de la fórmula de Taylor con residuo residuo Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

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Contenido

48

40 401 1

Derivadas parciales Funciones de varias variables / Lím ites / Continuidad / D erivadas parciales / D erivadas  pa rc ia iale le s de or de n su pe rior ri or Problemas resueltos Problemas complementarios

49

Diferencial total. Diferencia bilidad / Reglas de de la la cadena

41 0

Diferencial total / Diferenciabilidad / Reglas de la cadena / Derivación implícita Problema s resuelt resueltos os Problemas complementarios

50

4 22

Vec tore s en el espacio Cosenos directores de un vector / Determinantes / Vector perpendicular a dos vectores / Producto vectorial de dos vectores / Triple producto escalar / Triple producto vectorial / Líne a recta / El plano Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

51 Supe rficie s y curvas en el espacio

437

Planos / Esferas / Superficies cilíndricas cilíndricas / Elipsoide / Paraboloide elíptico elíptico / C ono elíptico elípti co / Paraboloide hiperbólico / Hiperboloide de una hoja / Hiperboloide de dos hojas / Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio / Plano tangente y recta norm al a una superficie / Superficie de revolución Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

52 Derivadas Derivadas direccionales. Valores máximos y mínimos

448

Derivadas direccionales direccionales / Valores máx imos y m ínimos relativos relativos / Valores má ximo s y mínimos absolutos Problemas resueltos Problemas complementarios

53 Derivación e integr ación de vectore s

456

Derivación vectorial / Curvas en el espacio / Superficies / El operador V / Divergencia y rotacional / Integración / Integrales de línea ((curvilí curvilíneas) neas) Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

54 Integrales dobles e iteradas La integral doble / La integral iterada Problemas resueltos Problemas complementarios

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Contenido

55

Centr oides y mom ento s de de inercia de áreas planas planas

4 77

Área plana por integración doble / Centroides / Momentos de inercia Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

56

Integ ración doble aplicada al volume n bajo bajo una superficie    y al ár ea de un a su p e rf ic ie cu rv a

485

Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

57

49 4

Integrales triple Coordenadas cilíndricas y esféricas / La integral triple / Cálculo de integrales triples / Centroides y momentos de inercia Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

58

Masas de densidad variable variable

50 6

Problemas resueltos Problemas complementarios complementarios

59

Ecuacio nes diferenciales diferenciales de primer y segundo orden orden

51 2

Ecuaciones diferenciales separables / Funciones homogéneas / Factores de integración / Ecuaciones de segundo orden Problema s resueltos resueltos Problemas complementarios

 A  Ap p é n d ic e s

52 3

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Sist emas de coord Sistemas coordena enadas das lin linea eales les..   Vaa l o r a b s o l u t o . De  V Desi sigu guaa l da dad des Un sistema de coordenadas lineales Un sistema de coordenadas lineales es una representación gráfica de los números reales (R) como puntos en una línea recta. A cada número le corresponde uno y sólo un punto, y a cada punto le corresponde uno y sólo un número. Para establecer un sistema de coo rdenadas lineales en una recta es necesario: 1. seleccionar seleccionar cualquier punto de la recta como el origen origen y  y asignar a ese pu nto el núm ero 0 ; 2. determ inar una dirección positiva en la recta e indicarla mediante una flecha; 3. tomar una distancia fija com o unidad de medida. Si Si x  x  es un nú mero positivo, positivo, el punto correspondiente a x a  x  se obtiene avanzando una distancia de x de  x  unidades a partir del origen en dirección  po sit iva. iv a. Si  x   es negativo, el punto correspondiente a  x  se halla desplazándose una distancia de x unid unidades ades desde el origen en dirección negativa (fi (fig. g. 1.1 1.1.) .) Por ejemplo, si si x  x  = 2, entonces x = 2 y el punto correspondiente queda a 2 unidades de l origen en dirección negativa negativa..

1----------------- 1------- 1 ---- 1 ---— I------------- H-------- 1 ---------    ► ---- 1 ------- 1 ------------ 1 ------------ 1 ------- 1 ------- 1 -4

-3 -5/2

-2 -3/2

-1

0

1/2 1/2

1 V2

2

3^

4

Fig. 1.1. El número asignado a un punto por un sistema de coordenadas se denomina coordenada coordenada de  de ese punto. En adelante, se hablará como si no hubiera distinción entre un punto y su coordenada. Así, al mencionar, por ejem  pl  plo, o, el “pu nt o 3” se en te nd er á el “p un to co n co or de na da 3” . El valor absoluto Ixl de un número x número  x  se define com o sigue sigue:: [ x si x es cero o un núm ero pos positi itivo vo x = | - x   si x es un número negati negativo vo Por ejem plo, I4I = 4, I3I = ( 3 ) = 3 y I0 I0l= l= 0. Observ e que si si x  x  es un núm ero negativo, negativo, entonces  x es positivo. positivo. Así, IxI > 0 par a tod o x. Las propiedades siguientes se cumplen para cualesquiera números  x  y y. (1 (1.1) .1)

IxI = IxI Cuando x Cuando  x  = 0, IxI = I0I = I0I = IxI.  x  > 0, Cuando x Cuando 0, x < 0 y IxI IxI = ( x ) =  x  = IxI. Cuando x Cuando  x  < 0, x > 0 y IxI = x = Ix IxII. (1.2) Ix  yI yI = Iyx I Esto se sigue de (1.1), ya que y que  y    x  =  ( x  y ).). (1.3)IxI (1.3) IxI = c im plica que x que x  = ±c. Por ejemp lo, si IxI = 2, entonc es  x  = ± 2. Pa ra la dem ostrac ión se supon e que IxI = c. c. Si Si x  x > 0,  x   = Ix IxII = c. Si x Si  x  < 0, 0,   x   = IxI = c; entonces x entonces  x  =  (  x ) =  c . (1 .4) .4 ) Ix IxI2 I2 = x2 Si x > 0, IxI IxI = x y IxI2 IxI2= = x2. x2.Si Si x < 0, IxI IxI =  x y IxI2 IxI2 = ( x )2 = x2. (1.5)IxyI (1.5) IxyI = x = x  • IyI Por (1.4), IxyI2 = (xy)2 = x2y2 = IxI2IyI2 = (IxI ■IyI)2. Como los valores absolutos son no negativos, al obtener la raíz cuadrada queda IxyI = IxI ■ Iy IyI. I.

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CAPÍTULO 1

o (1.6 ) v 7

Sistemas de coordenadas lineales

I—I = ¡4 si y *  o I y I lyl 7 Po r (1.5), lyl| lyl| x | = |y ■y | = lx lxl. l. Se div ide en tre ly lyl. l.

(1.7 )

lxl = lyl im plic a qu e  x = ± y Suponga que lxl = lyl. Si y = 0, lxl = lOl = 0 y por (1.3) se obtiene  x   = 0. Si y Si  y  ^ 0, entonces por (1.6) se tiene que  —  I = ■— I —  — = 1 I y I lyl 1

(1.8)

(1.9)

Así, por (1.3)  x/ y  = ±1. Por tanto, x tanto,  x   = ±y. Sea c > 0. Entonces, lxl < c si y sólo si c <  x  < c  (fig. 1.2). Suponga que  x  < 0; entonces lxl = x. Asimismo, puesto que c < 0, c < 0 < x. En consecuencia, lxl < c  si y sólo si c <  x  < c. Ahora suponga que  x  < 0. Entonces lxl = x. También,  x  < 0 < c. Además, x < c si y sólo si c < x. (Al multiplicar o dividir una desigualdad por un núm ero negativo se invierte la desigualdad.) Por ende, lxl < c si y sólo si c <  x  < c. Sea c >  0. Entonces lxl < c si y sólo si c <  x  < c (fig. 1.2). En este caso e l razonamiento es similar al de (1.8). |x |s c

\x\ 0, x 0,  x   = lxl. Si x Si x  < 0, lxl lxl = x y, po r tanto,  x  = lxl. (1.11) lx +  yl < lxl + lyl (desigualdad triangular) Por (1.8), lxl 0 2x > 3 x >!

( S u m a n d o 3) (Dividiendo entre 2)

Así, el el intervalo intervalo corr correspondiente espondiente es ( f , EJEMPLO EJEM PLO 1. 1.2. 2.

Re sue lva 5 < 3x + 10 < 16 16.. 5 < 3x + 10 < 16  5 < 3x < 6

(R es tan d o 1100)

 3 2

(R es tan d o 3) (D iivv id id ie ie nndd o en ttrre  2) 2)

(Observe que cuando se divide entre un número negativo la desigualdad se invierte.) Así, el intervalo correspondiente es (2, ^).

PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Describa y represe nte los intervalos siguientes y exprese su su notación de intervalos: intervalos: a) a)    3 < x < 5; b) b) 2  2 < x < 6; c)  4 < x < 0; d) x > 5; e) x e) x < 2; f 2; f 3x 3x    4 < 8; g) 1 < 5  3x < 11 11.. a)

Todos los números mayores que 3 y menores que 5; la notación de intervalos es (3, 5): ---------------- O------------------------- O------------------------ ► 3

1 

 S   i    s   t    e  m  a  s   d   e  c  o  or   d   e  n  a  d   a  s   l    i    n  e  a  l    e  s 

Desigualdades

EJEMP EJE MPLO LO 1.1 .

 C  A P  Í    T   U L   O

5

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CAPÍTULO 1

Sistemas de coordenadas lineales

b) Todos los números iguales o mayores que 2 y menores o iguales que 6: [2, 6]:

c) Todos los números mayores que  4 y menores o iguales iguales que 00:: (  4, 0]: 0]: O  4

d) Todos los números mayores que 5: (5, ^): O  5

e) Todos los núme ros meno res o iguales que 2: 2: ( ^ , 2] 2]:: 2

 f

3x   4 < 8 equivale a 3x < 12 yy,, por consiguiente, a x < 4. Así, se obtiene (  ^ , 4]: 4

g)

1 < 5  3x < 11  4 < 3 x < 6 (restan (restando do 5)  —2 <  x 3; c) Ix  3I < 1; d) Ix  2I < 8 > 0; e) Ix + 2I < 3; 3; f f))  0 < Ix  4I < 8 > 0. a) Por la propiedad (1.9), esto equivale a 2 < x < 2, que define el intervalo intervalo abierto ( 2, 2) 2).. O ----------------------- O 2

2

 b)  bien, Po rn,laxpr prop (1.8 ), ne IxI la < 3uni eequi quivale 3 3 eq uivale ------------ O--------------------O-------------------- ► 3

3

c) Por la propiedad (1.12), se dice que la distancia entre x y 3 es meno r que 1, lo lo que equivale a 2 < x < 4. Esto define el intervalo abierto (2, 4). O------------------O 2

4

Cabe tam bién observar qu e Ix  3I < 1 equivale a 1 < x 3 < 1. Al sum ar 3 se obtiene 2 < x < 4. 4. d) Esto indica que la distancia entre x y 2 es menor que 8 , o que 2  8 < x < 2 + 8, lo que define el intervalo intervalo abierto (2  8, 2 + 8). Este intervalo se denomina vecindad  8   8 de 2: O   1 1------------------------------- O—  2 - S   

2

2 + S 

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o e)

lx lx +  + 21 21 < 3 equivale a 3 < x + 2 < 3. Al restar 2 se obtiene  5 < x < 1, lo que define el intervalo abierto (5, 1):

1 

--------------o --------------- o --------------► 5

1

 f f))   La desigua ldad lx  4l < 8 determina el intervalo 4  8 < x < 4 + 8. La condición adicional 0 < lx lx  4l dice que x ^ 4. Por tanto, se obtiene la unión de los dos intervalos (4  8, 4) y (4, 4 + 8). El resultado se denomina vecindad  8   8 de 4:  — OO OO------------------O--- ► 4 - S   

3.

4

4+ 5

Describa y trace un diagram a de los intervalos determ inados por las desigualda des siguientes: siguientes: a) a) 1  155  xl < 3; b) l2x l2x  3l < 5; c) 11 4 xl < 2. a) Como l5  xl = lx  5l, 5l, se tiene que lx  5l < 3, equivalente a 3 < x 5 < 3. Sumando 5 se obtiene 2 < x < 8, que define el intervalo [2, 8]:

 b) l2x  3l < 5 eq uiv ale a  5 < 2x  3 < 5. Suma Su ma ndo 3 se s e o btie ne  2 < 2x < 8; en tonce ton ces, s, al divid di vidir ir en entre tre 2 resulta 1 < x < 4, lo que define el intervalo abierto (1, 4): o ------------------------------o  1

c)

4

Com o l1  4xl = l4x  1l, se tiene que 1144 x — 1 < 2 , que eq uiva le a — —11 < 4 x 4 x — 1 < 2. Al sumar 1 se obtiene 2 < 4 x < 3 . 3 . Dividiendo entre 4 se obtiene 1 < 0. a)  a)  Sea 18x  3x2= 3x(6  x) = 0; se obtiene x = 0 y x = 6. Hay que determ inar el signo signo de 18x  3x2en cada uno de los intervalos x < 0, 0 < x < 6 y x > 6 para establecer dónde 18x  3x2> 0. Observe q ue es negativo negativo cuando x < 0 (ya que x es negativo y 6  x es positivo). Se vuelve positivo cuando se pasa de izquierda a derecha por 0 ( puesto que x cambia de signo, pero 6  x sigue siendo positivo) y se vuelve negativo cuando pasa por 6 (ya que x que  x  sigue siendo positivo, positivo, pero 6   x  cambia a negativo). Por ende, es positivo cuando y sólo cuando 0 > x >  x  < 6. ------- O----------------------- O►

0

6

 b) Lo Loss ppun untos tos crí crítico tico s son x =  3 , x = 2 y x = 4. Ad vie rta que (x + 3)(x  2)(x  4) es neg negativo ativo par a x <  3 (pues cada uno de los factores es negativo) y que cambia de signo cuando pasa por cada uno de los puntos cruciales. Por tanto, tanto, es negativo para x para  x  < 3 y para 2 0 cuando y sólo cuando x cuando  x   3 > 0, es decir, para para x  x  > 3: O 3

 C  A P  Í    T   U L   O

 S   i    s   t    e  m  a  s   d   e  c  o  or   d   e  n  a  d   a  s   l    i    n  e  a  l    e  s 

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CAPÍTULO 1

o 5.

6.

7.

Sistemas de coordenadas lineales

Re suelv a Í3x  71 71 = 8. Por (1.3), Í3x  71 = 8 si y sólo si 3x  7 = ±8 . Entonces hay que resolv er 3x  7 = 8 y 3x  7 =  8. Se obtiene x = 5 o  x  = —3. 2x + 1 Resuelva -----------   > 3. x+3 Caso 1: x 1: x + 3 > 0. Al multiplicar por x + 3 se obtiene 2x + 1 > 3x + 9, lo que se reduce a  8 > x. Sin embargo, como x + 3 > 0, es probable que x > 3. Entonces este caso no tiene solución. Caso 2: x 2: x + 3 < 0. Al multiplicar por x + 3 se obtiene 2x + 1 > 3 + 9. (L a desigualdad se invierte porque se multiplicó por un número negativo.) negativo.) Esto resulta 8 < x. Puesto que x + 3 < 00,, se tiene que x < 3. Luego, las únicas soluciones son 8 < x < 3. Resuelva | 2    3| < 5. La de sigua ldad equiva le a —5 < 2 —3 < 5. Se sum a 3 para obte ner  2 < 2/x < 8, y se divide entre 2 para obtener 1 < 1/x 1/x < 44.. Caso 1: x 1: x > 0. Se multiplica por x para llegar a x < 1 < 44x. x. Entonces,  x > 4 y x > 1 ; estas dos desigualdades son equivalentes a una sola desigualdad:  x > 4 . Caso 2: x 2: x < 0. Se m ultiplica por x para obtener x > 1 > 4x 4x.. (O bserve que se invirtieron las desiguald ades al multiplicar por un número negativo x.) Entonces,  x  4 o x < 1 , la unión de dos intervalos intervalos infi infinitos nitos y (_ ^,  1).

8.

Re suelv a ÍÍ2x 2x  51 51 > 3. Se soluciona primero la negación Í2 x   5Í < 3, la cual equivale a 3 < 2 x   5 < 3. Se suma 5 para obtener  2 < 2x < 8 y se divide divide entre 2 para obte ner 1 < x < 4. Como ésta es la solución de la negación, la des igualdad original tiene la solución x < 1 o x > 4.

9.

Resuelva x2 < 3x + 10. 10. x2< 3x + 10 x2 3x  10 < 0 (x  5)(x + 2) < 0

(restando 3x + 10) 10)

Los números cruciales son 2 y 5. (x  5)(x + 22)) > 0 cuando x < 2 (ya que tanto tanto x  5 como x + 2 son son negativas);; resulta negativ negativas) negativaa cuando pasa p or 2 (ya que que x  x  + 2 cambia de signo) y luego se vuelve positiva cuando pasa po r 5 (ya que x  5 cambia de signo). Así, las soluciones son 2 < x < 5. 5.

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 10. Describa y trace la gráfica del conjunto determinado por cada una de llas as condiciones siguientes siguientes:: a )  5 1  Re spues sp ues tas :

b) x  < 0 d) x > 1  f   f )) ÍxÍ > 5 h )  x Í   3Í > 1  j ) 0 < ÍÍxx + 33ÍÍ < 1

e) 3 e)  3 < x < 3;  f) f ) x > 5 o bien, x < 5; g) | 1

c)

x  2 1

 f  )

0 o bien, x < 1 o bien, bien, 3 < x < 0;  f f)) x > 3 o bien, x bien,  x  < —|

12. Describa y trace la gráfica del conjunto determinado por cada una de llas as condiciones siguientes siguientes:: a)  a)  x(x  5) < 0 b)(x b)(x   2)(x 2)(x  6) > 0 c) (x + 1)(x  2) < 0 d ) d ) x(x  2)(x + 3) > 0 e) (x + 2)(x + 3)(x 3)(x+ + 4) < 0  f ) (x (x    1)(x 1)(x + +1)( 1)(xx  2)(x + 3) > 0  g) (x (x    1)2 1)2(x (x + 4) > 0 h) (x  (x  3)(x 3)(x + 5)(x 5)(x  4)2< 0 i) (x  (x   2) 2)3> 3> 0  j) (x (x +  + 1)3< 0 k) (x  (x   2)3 2)3(x (x +1) +1) < 0 l) (x  (x   1) 1)33(x +1)4 +1)4 < 0 m) (3x  1)(2x + 3) > 0 n) (x  (x   4)( 4)(2x 2x  3) < 0  Re sp ue stas st as :

a ) 0 2;  j) x < 1 ; k)  1 < x < 2; l) x < 1 y x ^  1 ; m) x m)  x >  3 o bien, x < —2; n) | < x < 4

13. Describa y trace la gráfica del conjunto determinado por cada una de llas as condiciones que sigu siguen: en: a)  b) c) d ) e)  f f)) g) h) i)  j)

x 2 < 4 x2 > 9 (x  2)2 < 1166 (2 x  + 1)2> 1  x 2+ 3 x   4 > 0 x 2 + 6x + 8 < 0 x2< 5x + 14 14 2x2> x + 6 6x2 6x2+ + 13x < 5 x3 + 3x2 > 10x

 Re spue sp ue sta s:

a)  a)  2 < x < 2; bb)) x > 3 o bien, x < 3; c) 2 < x < 6; d) x > 0 o bien, x < 1 ; e) x > 1 o bien, bien, x >  4; 4; f f))   4 < x < 2; 2; g)  g)    2 < x < 7; h) x > 2 o bien,  x < — || ; i) — 5 <  x <  3 3 ; j)  5 < x < 0 o x > 2

 C  A P  Í    T   U L   O 1 

 S   i    s   t    e  m  a  s   d   e  c  o  or   d   e  n  a  d   a  s   l    i    n  e  a  l    e  s