Scharnitzky Viktor - Matematikai feladatok.pdf

Matematika a műszaki főiskolák számára

Matematikai feladatok

Matematika a műszaki főiskolák számára

Matematikai feladatok

Szerkesztette

Scharnitzky Viktor

Nemzeti Tknkönyvkiadó, Budapest

FŐISKOLAI SEGÉDKÖNYV

A kötet G y . Bartha G yöngyike főiskolai adjunktus (5., 9. fejezet) D r . E lbert Á rpádné főiskolai adjunktus (8., 13. fejezet) D r . H adnagy A ndrásné főiskolai adjunktus (3., 4. fejezet) L óránt L ászló főiskolai adjunktus (11., 12. fejezet) R iborics G yörgy főiskolai adjunktus (6., 7. fejezet) D r . Scharnitzky V iktor főiskolai tan ár (1., 2., 10., 14. fejezet) m unkája

Lektorálta D r . R eim a n I s t v á n n é

főiskolai docens

Fedélterv VÁMOS Judit

A mű más kiadványban való részleges vagy teljes felhasználása, utánközlése, illetve sokszorosítása a Kiadó engedélye nélkül tilos!

ISBN 963 18 7424 9 Gy. Bartha Gyöngyike, Dr. Elbert Árpádné, Dr. Hadnagy Andrásné, Lóránt László, Riborics György, Dr. Scharnitzky Viktor, Budapest,-1989

TARTALOMJEGYZÉK

ELŐSZÓ ........................................................................................................................ FELADATOK 1. Halmazok .................................................................. 2. Vektorgeometria .......................................... ........... 3. Lineáris algebra ........................................................ 4. Komplex szám ok...................................................... 5. Sorozatok .................................................................. 6. Egyváltozós függvények ........................................... 7. Egyváltozós függvények differenciálszámítása........ 8. Egyváltozós függvények integrálszámítása.............. 9. S o ro k .......................................................................... 10. Differenciálegyenletek .............................................. 11. Valószínűségszámítás .............................................. 12. Matematikai statisztika............................................ 13. Többváltozós függvények......................................... 14. Vektorfüggvények ....................................................

7 13 31 40 45 62 76 90 118 136 158 172 182 197

EREDMÉNYÉK 215 219 231 239 242 259 276 298 323 342 370 378 381 391

ELŐSZÓ

A kötet, amelyet az Olvasó a kezében tart, azokból a feladatokból tartalmaz egy gyűjteményt, amelyeket a 4. oldalon felsorolt főiskolai oktatók munkájuk során az utóbbi években felhasználtak. Ebből következik, hogy a feladatok között vannak többé-kevésbé ismertek is, hiszen kár lett volna lemondani néhány frappáns feladatról csak azért, mert ezek már valahol megjelentek. Vannak ismert témájúak, melyek adataikban eredetiek, és vannak szép számmal eredeti feladatok is. A gyűjtemény összeállítása során arra törekedtünk, hogy minden témakörben lehetőleg minél változatosabb feladatokat, ugyanakkor egy változaton belül több hasonló feladatot is nyújtsunk át az Olvasónak annak érdekében, hogy mind a gondolkodásra, mind a begyakorlásra alkalma legyen. A feladatok egy-egy témán belül általában (az általunk elképzelt) fokozódó nehéz­ ségi sorrendben követik egymást, de mivel egy-egy fejezeten belül több téma is szerepel, ezért a feladat sorszáma a feladat nehézségi fokára nem ad egyértelmű eligazítást. Annak ellenére, hogy az Eredmények című részben a legtöbb feladatnak csak a végeredményét közöljük avégből, hogy az Olvasó ellenőrizhesse munkájának az eredményét, és megoldást vagy megoldásokat alig adtunk, mégis arra biztatjuk az Olvasót, hogy a már egyszer jól megoldott feladatot kísérelje meg megoldani rövideb­ ben, másképpen, más eszközökkel, próbálja meg a feladatot egyszerűsíteni, átalakíta­ ni, esetleg általánosítani. Számos feladatban ez a lehetőség, az önálló alkotás lehetősé­ ge is megvan és nagyon örülnénk, ha ezzel minél többen élni tudnának. Tudjuk, hogy sok ember időt rabló, aprólékos és gondos munkája ellenére a feladatgyűjteménynek számos fogyatékossága van. Kérjük ezért a t. Olvasót, hogy a kötet felfedezett hibáin ne bosszankodjon, hanem ezeket vagy más megjegyzéseit velünk közölni szíveskedjék; minden észrevételt köszönettel fogadunk. Végül köszönetét mondunk mindazoknak, akiknek lelkiismeretes közreműködése nélkül e könyv nem születhetett volna meg. Budapest, 1987. november

A szerzők

1. HALMAZOK

A feladatgyűjteményben itt és a továbbiakban a szokásos halmazjelöléseket alkal­ mazzuk. Ezek a következők: N = {a természetes számok}, Z = {az egész számok}, R = {a valós számok}, C = (a komplex számok}. 1.1. Melyek halmazok az alábbi összességek közül? a) A •■={páratlan számok}; b) B ■■={az x ^ - \ = 0 egyenlet gyökei}; c) C =={1, 2, í,tg 6 0 °, ^ } ; d) D {a. főiskola jelenlegi hallgatói}; e) £ ■-{■&. főiskola első évfolyamának leány hallgatói}; f ) F ■■={a főiskola magas hallgatói}; g) G •■={az angolul beszélő magyar állampolgárok}; h) H ■■={az angol nyelvvizsgával rendelkező magyar állampolgárok}; i) I ■■={a 35 évnél idősebb nappali tagozatos hallgatók}. 1 .2 .írja fel elemeikkel a következő halmazokat: a) A ■■={a 25-nél kisebb pozitív páratlan számok}; b) B •■={24 valódi osztói}; c) C == {18 összes osztói}; d) D ■= {a 6-tal osztható páratlan természetes számok}.

1.3. Hány eleme van az alábbi halmazoknak? a) A ■■={az x ^ - 4 = 0 egyenlet valós gyökei}; b) B •■={az x^ —4 = 0 egyenlet egész gyökei}; c) C ■■={az x^ —4 = 0 egyenlet pozitív gyökei}; d) D •■={az x ^ - 4 = 0 egyenlet irracionális gyökei}; e) E ■■={az x ^ - 4 = 0 egyenlet gyökeinek halmaza}.

1.4. Hány eleme van az alábbi halmazoknak? a) A ■■={az x ^ - % x + 15 ^ 0 egyenlőtlenség valós megoldásai}; b) B ■■={az —8x + 15 ^ 0 egyenlőtlenség egész megoldásai}; c) C == {az x ^ - 8x + 15 ^ 0 egyenlőtlenség racionális megoldásai}; d) Z) := {az x ^ - 8x + 15 ^ 0 egyenlőtlenség negativ megoldásai}. 1.5. Hány eleme van a következő halmazoknak? a) A ~ {az x^ + x —56 ^ 0 egyenlőtlenség egész megoldásai}; b) 5 == {az x^ + x - 5 6 ^ 0 egyenlőtlenség pozitív egész megoldásai}; c) C ~ {az x^ + x - 5 6 ^ 0 egyenlőtlenség negatív egész megoldásai}; d) D ■■={az x^ + x —56 ^ 0 egyenlőtlenség páros megoldásai}; e) E ■■={az x^ + x —56 ^ 0 egyenlőtlenség 7-nél nem kisebb megoldásai}. 1.6. Van-e az alábbi halmazok között egyenlő? a) A == {2, 3, 4, 6}; b) B ~ {a hattal osztható természetes számok}; c) C == {a 10-nél nagyobb és 20-nál kisebb páros számok}; d) D ■■={\2 valódi pozitív osztói}; e) E-= {«^-15n3 + S0n2-180n+144 = 0, neN }; f ) F== {a hárommal osztható páros számok}. 1.7. Legyen A = {a. budapesti jármüvek}; B = {a budapesti autóbuszok}; C = {a budapesti villamosok}; D = {a budapesti csuklós járművek}. Mit jelentenek az alábbi halmazok: a) BnC; b) B kjC\ c) Br\D; d) Cr\D; e) B ^ D ; f ) C \Z ); g) A \ C . 1.8 . Legyen A = | —4, 2, -j-, 5 = {« e N : « < 5}. Sorolja fel az alábbi halmazok elemeit: A(I7; - 8; - 1 ) csúcspontú paralelogramma átlóinak hajlásszögét és M metszéspontjának koordiná­ táit! 2.41. Egy háromszög csúcspontjainak a koordinátái: v4(7; —2; 1), jS (-2; —5; —8), C(4; 7; 10). Legyenek az A^ és A 2 pontok a CB oldal harmadoló pontjai, F pedig a CB oldal felezőpontja. Egyenlő szárú-e az AA^A 2 háromszög? Mekkora az AFA 2 szög? 2.42. Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái: A{ —3;4;0), B{—9; 11;42), C(1; 2; 4). Mekkora a háromszög kerülete? Mekkora a háromszög A csúcsánál fekvő szöge?

16

2.43. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái: J(2; 4; —2), B(30; 44; - 16)’ C( —2; —4; 0). Legyen a CB oldalt negyedelő, a C csúcshoz legközelebb eső pont. Tompaszögű-e A A háromszög? 2.44. Határozza meg az a(2; - 5; 1) vektornak a b(3; 0; 4) vektor egyenesére eső merőleges vetületének a hosszát! 2.45. Adott négy pont: A(l; - 2 ; 3), B ( - 4 ; 2 ; 1), C(3;2; 1), Z )(-4; - 2 ; 5). Ha­ tározza meg az vektornak a vektorra eső vetületi vektorát! 2.46. Az adott a vektorhoz határozza meg mindazokat a b vektorokat, amelyek­ nek az a-ra vett merőleges vetülete ugyanakkora, mint az a-nak a b-re vett merőleges vetülete! (a^^O). 2.47. Bontsa fel az a(3; —6; 9) vektort a b(2; —2; 1) vektorral párhuzamos p, és a b-re merőleges m összetevőre! 2.48. Számítsa ki az ^ ( - 1; 1; - 3), B{2; - 2; 3), C(4; 0; 0) csúcspontú háromszög leghosszabb oldalához tartozó magassága T talppontjának a koordinátáit! 2.49. Számitsa ki az A(4; 5; - 12), B(3; - 4 ; 5), C (- 7; 14; 1) csúcspontú három­ szög A csúcsából induló súlyvonal és a vele szemközti oldal F metszéspontjának koordinátáit és a BCA szöget! 2.50. Számitsa ki az A(2-, - 1; 1), B(16; 1; 3), C(6 ; - 1; - 2) csúcspontú három­ szög AC oldalához tartozó magasság T talppontjának a koordinátáit és a magasság hosszát! 2.51. Egy háromszög csúcspontjainak a koordinátái: A(l ; —3; 4), B(5; l ; - 2 ) , C(6 ; - 4 ; 1). Számitsa ki a C csúcspontból induló magasság T talppontjának az AB oldal F felezőpontjától mért távolságát! 2.52. Legyen az A ( - l ; 0 ; 2 ) , B(3;7; -2 ) , C(l; - 1 ; 0 ) csúcspontú háromszög súlypontja S, az AB oldalához tartozó magasságának talppontja T. Számitsa ki az S T szakasz hosszát! Vektoriális szorzat 2.53. Végezze el a kijelölt műveleteket a következő kifejezésekben: aj (a-F b )x (a-2 b ); 6; (3 a -b )x (b -f3 a ); c) (a + 2b)x(2a + b) + (a -2 b )x (2 a -b ). 2.54. Adottak az a(2; - 3 ; 1), b(4; 2; -1 ), c(l; 0; - 3 ) vektorok. Számítsa ki a V = (a Xb) Xc vektor koordinátáit! 2 Matematikai feladatok

17

2.55. Egy kocka egyik csúcsából kiinduló két élvektora a és b. Fejezzük ki ezek segítségével a csúcsból kiinduló harmadik élvektort! 2.56. Egy kockát kifeszítő három vektor közül kettőt ismerünk: a(6; 2; —3), b ( - 3 ; 6; -2 ). Határozza meg a harmadik vektort! 2.57. Egy paralelepipedon egyik csúcsa az origó, ebből kiinduló két élvektora a(—1; 0 ; 2), b ( l ; l ; 0), a harmadik él merőleges az a és b síkjára és hossza 9 egység. Számítsa ki a feltételeknek eleget tevő egyik paralelepipedon csúcsainak a koordinátáit! 2.58. Egy téglatest egyik csúcsa az origó, az innen kiinduló testátlóvektora d(9; 5; 5), két élvektora a(4; - 3; 1) és b(0; 2; 6). Adja meg a harmadik élvektort! 2.59. Adjon meg olyan x vektort, amely merőleges az a(2; - 3; 1) és a b (l; - 2; 3) vektorra és a c ( l; 2; - 7) vektorral vett skaláris szorzata cx= 10. 2.60. Mekkora szöget zárnak be egymással az ABCD tetraéder ABC és ACD lapsikjai, ha a csúcsok koordinátái: ^ (2 ;3 ;1 ), ő ( 4 ; l ; - 2 ) , C(6;3;7), D { - 5 - - 4 ; 8)? 2.61. Számítsa ki annak a paralelogrammának a területét, amelyet az a( —9; 0; 9) és b(7; 2; —5) vektorok feszítenek ki! 2.62. Számítsa ki az ABC háromszög területét, ha a j^ ( 0 ;0 ;0 ) , ő (-l;4 ;7 ), C (5 ;2 ;l); b) A{\-,Q-2), 5(4; 3; 8), C (0 ;-4 ;6 ); c) A ( 4 ; - l ; - 3 ) , fi( 3 ;l;-2 ), C (l;5 ;0 ); dJA(0;2;3), B(l;0;2), C ( 3 ;- l ;0 ) . 2.63. Bizonyítsa be, hogy az A ( l ; —1), B(5; 1), C(7; 7), Z>(3; 5) csúcspontú négy­ szög paralelogramma, és számítsa ki a területét! 2.64. Ha az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe í, akkor mekkora a 2a + 3b és a 4a —2b vektorok által kifeszített paralelogramma területe? 2.65. Számítsa ki az A(1; - 1; 2), B(5; - 6; 2), C(1; 3; - 1) csúcspontú háromszög B csúcsához tartozó magasságának a hosszát! 2.G6. Az háromszög három oldalfelező pontja: ^ i(2 ; 3; 1), B^{-2; - 1; 2), C i( - 1; 0; 3). Számítsa ki az ABC háromszög kerületét és területét! 2.01. Az ^(2; 1; - 3), 5(1 ;0; 2), C(6;2; - 1 ) csúcspontú háromszöget vetítse 18

merőlegesen a P(1; 0; 1), g(2; - 1; 3), i? (- 4; 2; - 1) pontok síkjára! Számítsa ki a vetületi háromszög területét! 2.68. Bizonyítsa be, hogy tetszőleges a és b vektorra (axb)^ + (ab)^ = a^b^! 2.69. Bizonyítsa be, hogy ha a + b + c = 0, akkor a x b = b x c = cxa!

Vegyesszorzat

2.70. Döntse el, hogy az alábbi vektorhármasok komplanárisak-e: a ;(2 ;3 ;l), ( 1 ;- 1 ;3 ) , (1 ;9 ;- 1 1 ) ; é ;(3 ;-2 ;l), (2;1;2), (3 ;-l;-2 ); c ;(2 ;-l;2 ), (l;2 ;-3 ), ( 3 ; - 4 ; 7). 2.71. Állapítsa meg, hogy az a = i —2j —3k, b = —5i + 4j + 7k, c = 6i + 7j + 8k vektorok jobb- vagy balsodrású rendszert alkotiiak-e. 2.72. Döntse el, hogy a következő pontnégyesek egy síkban vannak-e: a ; ( l ; 2; - l ) , (0;1;5), ( - 1; 2; 1), (2;1;3); bj (0;1;1), (3; 5 ; - 4 ) , ( - 4 ; - 2 ; 6); c j(l;5 ;4 ), (-2 ;l;-6 ), (0 ;2 ;-l), (2;3;4)! 2.73. Válassza meg z értékét úgy, hogy az a (4 ;—1;2), b (l;2 ;3 ), c(3;3;z) vektorok komplanárisak legyenek! 2.74. Van-e olyan, a 0-tól különböző vektor, amely merőleges az a(4;2; —1), b (l;2 ; - 2 ) és a c(5; - 2 ; 4) vektorok mindegyikére? Ha van ilyen vektor, akkor egyet adjon is meg! 2.75. Egy síkon vannak-e az ^ ( - 2 ; 2 ; - 2 ) , D(9; - 6 ; - 15) pontok? Számítsa ki az ABD háromszög területét!

C (2 ;-2 ;2 ),

2.76. Mekkora az a(2; 3; 4), b(2; 3; 1), c (l; 2; 3) vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata? 2.77. Mekkora az ABCD tetraéder térfogata, ha csúcspontjai: a) A ( l ; - 2 ; 3 ) , ö (-4 ;2 ;l), C (3;0;2), Z )(0 ;-2 ;5 ); b) A { 3 - , - l ; - l ) , 5 ( 5 ; - 2 ; 3), C (4 ;0 ;- 2 ), /)(5;0;1). 2.78. Az ABCD tetraéder térfogata 5 egység. Mik a D csúcs koordinátái, ha D az y tengelyen van és a többi csúcs koordinátái: A(2; 1; - 1), 5(3; 0; 1), C(2; - 1; 3)? 2*

19

2.79. Egy tetraéder csúcspontjai A ( 3 ; —l;2), B{4;2; —3), C ( 2 ; l ; —2) és D(2; 8; 5). Számítsa ki a BCD laphoz tartozó testnlagasság hosszát! 2.80. Egy tetraéder csúcspontjai: ^ (2 ;3 ;1 ), 5(4; 1 ; —2), C(6;3;7), D ( - 5; - 4; 8). Számitsa ki a tetraéder D csúcsából húzható magasságának a hosszát! 2.81. Az a, b, c vektorok egy síkban vannak. Komplanárisak-e a Vj = 2a + 3b, Vj = 3b —4c, V3 = 2a+5c vektorok? 2.82. Az a, b, c vektorok nincsenek egy síkban. Egy síkban van-e a következő három vektor: Vj = 2a + 3b, Vj = 5b —4c, V3 = c —a? 2.83. Egy paralelepipedon egy csúcsából kiinduló lapátlói egy újabb paralelepipedont feszítenek ki. Hányszorosa ennek térfogata az eredeti paralelepipedon térfogatá­ nak? 2.84. A = 2a + 3b + 4c, V2 = a - b + c, V3 = 2a + 4 b - c vektorok által kifeszí­ tett tetraéder térfogata hányszorosa az a, b, c vektorok által kifeszített tetraéder V térfogatának? Az egyenes 2.85. írja fel a P a; P ( - l ; 3 ; 7 ) , b) P (0 - 1 ; 2 ) , c; p{9 8 ; - 3 ) , d) p{i - 2 ; 5),

ponton áthaladó, v irányvektorú egyenes egyenletrendszerét, ha v ( - 4 ;2 ;6 ) ; v (l;7 ;-9 ); v (6 ;0 ;2 ); v (4 ;3 ;-2 ).

2 .86 . írja fel a következő pontpárokat összekötő egyenesek egyenletrendszerét: a ;P (-2 ;5 ;6 ), 0 ( 7 ; - 1 ; 3); b) P(5;l;2), ö (-5 ;l;3 ); c jP ( 0 ; 0 ; 0), ö (9 ;ii;-i); d) P { i ; V , - 2 ) , 2 ( 3 ; - 1 ;0 ) . 2.87. Egy egyenesre illeszkednek-e a következő pontok? a; ^ ( - 2 ; 5; 3), ő (l;2 ;4 ), C (3 ;-7 ;7 ); b ) A ( l; 2 ; 4 ) , 5 ( - 2 ;5 ;3 ) , C (1 0 ;-7 ;7 ).

2 . 88 . írja fel annak az egyenesnek a vektoregyenletét, amely illeszkedik a P ( - 3 ; 2 ; - 1) pontra és párhuzamos az x = 3 + 2í, = 8 + í, z = 1 -7 ? egyenessel! 2.89. Adja meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely illeszkedik a P (—1;2;0) pontra és merőleges az x = —2 + 3 t , y = 5 + t, z —3 és az x = 8 + í, y = - t , z=3t egyenesekre! 20

2.90. írja fel annak az egyenesnek a vektoregyenletét, amely illeszkedik a P(2 ; 1; 0) pontra, merőleges az ----- = - - = z egyenesre és párhuzamos az x + y = - z D síkkal! 2.91. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely illeszkedik a P(0; 5; 2) pontra ésazx = \ — —2 + /, z = 2í egyenest merőlegesen metszi! 2.92. írja fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely illeszkedik a P(3; 1; 1) pontra, az x - 2 j + 3 z -4 = 0 sikra és merőleges az x = 3 + 2/, >^ = 1+ /, z = —1 egyenesre! 2.93. Mutassa meg, hogy a 3 —3x = 6 y = 4z+8 és az í, y = 5 + í, z = 16 + 5í egyenesek metszik egymást! Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletrendsze­ rét, amelynek mind a két adott egyenessel van közös pontja és merőleges mind a két adott egyenesre! 2.94. Adja meg a p paraméter értékét úgy, hogy az alábbi két egyenes messe egymást: x +2 y z —1 x —3 y —\ z— 1 ^ ~p~~ ~4~~ ~Y~' 2.95. Határozza meg annak az egyenesnek a vektoregyenletét, amely illeszkedik 2 x —1 a P(\; - 1; 5) pontra, párhuzamos az x + 3 y - z = 4 síkkal és merőleges a —- — = = l + y = - egyenesre! 2.96. írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik a 2 x —y+ 5 = 0 síkra, ennek P(2;9; 1) pontjára és merőleges az x — 1 + í, y = l —t, z = 2 + 3t egyenesre! 2.97. írja fel az x+ 9 y +2 — —= ----- = z - 4 , -5 3

y-2 z+4 x - 3 = -------= -----5 - 3

metsző egyenesek szögfelezőinek az egyenletrendszerét! 2.98. Határozza meg az alábbi síkpárok metszésvonalának az egyenletrendszerét; a) 2x+ 5y—3z + S = 0, x —2 y + z —5 = 0; b) x - 2 y + 3 z - 4 = 0, 3 x + 2 j - 5 z - 4 = 0; c) 2x —y + 3z—6 = 0, x + y —2z —9 = 0. 21

2.99. írja fel a P (l;3 ;2 ) pontra illeszkedő és a —2x + j + 3 z = 1 és x - y —z + 2 = 0 síkok metszésvonalával párhuzamos egyenes vektoregyenletét! 2.100. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely párhuza­ mos a 2 x —y + 6 z — 7 és x + y —z —4 = 0 síkokkal és illeszkedik a P( —2; 1; 2) pont­ ra. Igaz-e, hogy ez az egyenes az első síkra illeszkedik? 2.101. Határozza meg a 2x —3y —6 z = 32 sík és a 2(x —2) = —2y~2 = z + 3 egyenes közös pontjában a síkra merőlegesen állított egyenes vektoregyenletét! 2.102. Az S sík egyenlete 3x + 6;^ -z = 8. Az S sík két pontja A(l; I; 1) és 5(4; —1; —2). írja fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely illeszkedik a S síkra, az A pontra és merőleges az AB szakaszra! 2.103. írja fel az x = —7 + 3t,y = 4 —2 t,z = 4 + 3 t é s a z x = 1 + (,y = —8 + 2/, z = - 12+ / egyenesek normáltranszverzálisának az egyenletrendszerét! Számítsa ki a két kitérő egyenes távolságát! 2.104. Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely párhuza1 —2x z+ 1 mos az x —y = 1 síkkal, merőleges az —- — = j ^ egyenesre és illeszkedik a P(2; 1; 1) pontra! Mekkora a kapott egyenes és a sík távolsága? 2.105. Adott három pont: A(2; 3; —1), B( —2; 1; —1), C(4; —1; —3). írja fel az A, B, C pontoktól egyenlő távolságra levő pontok halmazának az egyenletét! A sík 2.106. Adott a sík a; n ( - 3 ; 2 ; l l ) , c ;n (l;0 ;l), ^ ;n ( 0 ;l;0 ) ,

n normálvektora és P pontja. írja fel a sík egyenletét! P (9 ;l;0 ); b) n(9;l;0), P (-3 ;2 ;ll); P(2;7;5); d) n(3;2;l), P (0 ;0 ;0 ); P ( 5 ;2 ;- 3 ) .

2.107. írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P(1; - 2; 3) pontra és párhuzamos a 3 x - 4 y + 5 z - 3 = 0 síkkal! 2.108. írja fel annak masokra: a ;^ (2 ;3 ;l), b) A ( 3 ; - l ; 2 ) , ej ^ ( 4 ; - 6 ; 7), dj A ( 2 ; - 6 ; - 5 ) , ^ ;^ ( 1 ;5 ;4 ) , 22

a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az alábbi ponthár­ B ( - l - 2 5), 5 ( 4 ; - 1 -1 ), B ( - 6 ; 4 -3 ), 5(5;10;2), B (-2;l;-6),

C (2 ;-l;0 ); C (2;0;2); C (-l;8 ;8 ); C (-7 ;0 ;1 0 ); C ( 0 ;2 ;- l) .

2.109. Egy síkra illeszkedik-e a következő négy pont? A(2;3;4), 5(0; 2; - 1), C (-2 ; 1 ; - 6), Z)(l;5;4). 2.110. írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P( - 3; 2; 5) pontra és az X tengelyre! 2.111. írja fel a P{2; - 1 ;3 ) pontra illeszkedő és a Vi(l; —2; 4), V2(4 ; —3;0) vektorokkal párhuzamos sík egyenletét! 2.112. írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az ^(3; 4; —5) pontra és párhuzamos az a(3; 1; - 1) és b( - 1; 2; —1) vektorokkal! 2.113. írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az x = 2 + 3í, y = - 1+ 2í, z = 3 - 2í és az X = 1 + 3í, = 2 + 2í, z = - 3 - 2í párhuzamos egye­ nesekre ! 2.114. írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az A(2; - 3; 1) és B{3; —1; 2) pontokra és párhuzamos az x = 2 + 1 , y = - 2 —3í, 2z = 5? egyenessel! 2.115. Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P(3; —2; 5) pontra és párhuzamos az x = \ —2 t , y —\ = —2z és az x = í, j = 1 + /, z = 2 —í egyenessel! 2.116. Határozza meg a P (5;2;4) pontra és az x = í + 3, y = - 2 t —2, z = 6 egyenesre illeszkedő sík egyenletét! 2.117. Adott két pont: ^(0; —1; 3) és B{ \; 3; 5). írja fel az A ponton áthaladó és az AB egyenesre merőleges sík egyenletét! 2.118. Az Ax +3y —5z+ 1 = 0 sík egyenletében hogyan kell az A értékét megvá­ lasztani, hogy a sík párhuzamos legyen a z x = A t + \ , y = 3t~2, z = t egyenessel? 2.119. Illeszkedik-e az 4x + >' —z + 3 = 0 síkra?

x ~ \ + 2t,

y = —3 —t,

z = —2 + 5t

egyenes

a

2.120. írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az x = 1 + 3/, 2j = í, z = \ —t egyenesre és merőleges az 5x — = 0 síkra! 2 .121 . Írjafelannakasíknakazegyenletét, amely merőleges a z x —2j;+3z —2 = 0 síkra és illeszkedik a Pi( - 1; 2 ; 0) és “ 2 ; 2) pontokra! 2 .122 . írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P (l; 1; —1) és ö(2; - 3 ; 1) pontokra és merőleges a. 3x + y - z - l = 0 síkra!

23

2.123. Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az A(3; —1; 0) és 5( —1; 2; 1) pontokra és merőleges a l x —y + z — 5 síkra! 2.124. írja fel a /*(—1;2;3) pontra illeszkedő és az x + 2y —3z+l = 0, x + 3 y - z + 6 = 0 síkokra merőleges sík egyenletét! 2.125. Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P(1; 4; 7) pontra és merőleges a 2 x - y + z = 3 é s x + j - 3 z - I = 0 egyenletű síkokra! 2.126. Mutassa meg, hogy a 3 x - 9 = y - S = 3t, z = 3>+ 4t és a 9~y 9~z 4 —X = ^ egyenes ugyanarra a síkra illeszkedik! írja fel e sík egyenletét! 2.127. íija fel az

x —3

j+ 1

2 —2

és

X—8 — =

6 —z

egyenesekre illeszkedő sík egyenletét!

x —3 v+1 z~2 = = és az x = 2 + 2t, y = —l ~ 3 t , z = l + t, 2 6 4 egyenesekre illeszkedő sík egyenletét! 2.128. Iqa fel a z

2.129. Mutassa meg, hogy az jc—3 = 3(1- j ) = - ( z + 1 ) ; 4 - x = 3y + 6 = z egyenesek és a P(5; —1; —2) pont ugyanarra a síkra illeszkednek! írja fel a sík egyenletét! 2.130. íija fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az x+ 1 = 3—y = 4 - 2 z egyenesre és párhuzamos az ^ ( - 6 ; 7; 5) és 5(1; - 5 ; - 6) pontokat összekötő szakasszal! 2.131. Határozza meg a P (l;3 ; 1) pontra illeszkedő és az x = 2t, y = - 1 , z = 3 —t é s x —3 = y —2 = —z egyenesekkel párhuzamos sík egyenletét! 2.132. Döntse el, hogy egy síkban van-e a következő három egyenes: x = - 5 + 3í, y = 3 — t, z = — \ — t\ X = —6 — 3t, y = 3 + 1, z = l + í; x = l —6í , y = 2t, z = 2 + 2t. 2.133. írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az ^ ( - 3 ; 2 ; 1) pontra, párhuzamos az x = 3 + 2/, y = t, z = - l + 4í egyenessel és merőleges az x —2y+5z—3 = 0 síkra! 2.134. íqa fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az x = l + 3í, 24

y = 3 + 2t, z = —1 —t egyenesre és párhuzamos x + 2 y - z - 5 = 0 síkok metszésvonalával!

a

2 x —y + z —3 = 0

és

2.135. írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P( - 2; 1; 3) pontra és az x —y + 3 z — 8 = 0 és 2 x + y —z + 2 = 0 síkok metszésvonalára! 2.136. Állapítsa meg annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az z+i . . . y ----- = = ------ egyenesre es párhuzamos a z x + 3 = - = z —1 egyenessel! 2.137. Mutassa meg, hogy az x - 3 y + 4 z - 5 = 0 sík merőleges az y - x + z = 1 síkra! írja fel annak a síknak az egyenletét, amely merőleges az adott síkokra és illeszkedik a P(2; 0; - 5 ) pontra! 2.138. Határozza meg a 4x —2 j + 3 z + 13 = 0, 6x-4>' - 5z + 11 = 0 síkok közös pontjának koordinátáit!

4y—5x + 2z—12 = 0,

2.139. Van-e a következő négy síknak közös pontja: 5x —z + 3 = 0, 2x —y —4z+5 = 0, 3>’+ 2z—1 = 0, 3x + Ay + 5z—3 = 0? 2.140. írja fel a 2 x - 3 j + z = 28 és 2 jc -3 j + z = 0 síkokkal párhuzamos, tőlük egyenlő távolságra levő sík egyenletét! 2.141. Elválasztja-e a 2x + 2y —z —2 = 0 sík az A(2; 1; 1) és a B(2; 1; 3) ponto­ kat? 2.142. íija fel az AB szakasz felezőmerőleges síkjának az egyenletét, ha ^(3; 5; -4 ) , 5(1; - 3 ; 2)! 2.143. Határozza meg annak a síknak az egyenletét, amely a 4x + 2y —z + 5 = 0 és 4x + 2>’- z - 1 = 0 párhuzamos síkoktól egyenlő távolságra van! 2.144. írja fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik az yl(6;0;0) és B(0; 4; 0) pontokra, továbbá a koordinátasíkokkal együtt 8 egység térfogatú tetra­ édert határol! Egyenes és sík 2.145. Mely pontokban metszi a z = 4 - 2 t , y = 3 + 3t,z = 1 - í egyenes a koor­ dinátasíkokat? 2.146. Adja meg a P( —6 ; 6; —5) és Q{12; —6 ; 1) pontokat összekötő egyenesek­ nek a koordinátasíkokkal való metszéspontját! 25

2.147. Mely pontban döfi az x = \ + 2t, y — ?>t, z = —\ + t egyenes a 2 x + hy + z — 0 síkot? 2.148. Határozza meg a Pj (2; 3; - 3),/*2(3; 2 ; - 2),P 3(4 ; 5; - 6) pontokra illesz4 —X y+ 3 4z + 6 , kedő sík és a ------= -------= -------- egyenes D döféspontjának a koordinátáit! 3 4 5 2.149. Egy háromszög csúcspontjai: ^ (-2 ;0 ;-l), C(l; —5; 3). Állítson a háromszög A csúcsában a háromszög síkjára merőleges egyenest! Melyik pontban döfi ez az egyenes az x —y + z = 0 síkot? 2.150. Határozza meg az origót a P(8; - 2; - 6) ponttal összekötő egyenesnek és a 3 x - 2 y + 6 z + 4 = 0 síknak az M metszéspontját! 2.151. A p paraméter mely értékére lesz a z x = - 2 + 3í, egyenes párhuzamos az x —3j + 6z + 7 = 0 síkkal?

-2+pt, z = 3 -2 t

2.152. Mekkora területű háromszöget metszenek ki a koordinátasíkok a 6 x —I0y+ 5z = 30 síkból? 2.153. Mekkora térfogatú derékszögű tetraédert metsz ki a 3x —4 j + 6z —12 = 0 sík a koordinátasíkokból? 2.154. Adottak az ^ = (0; - 6; -3 ), - 6), C(5;9; 12), P(7;0; -7 ), Q(l; 12; - 7 ) és i? ( - 5 ;6 ; 11) pontok. Metszi-e az ABC háromszög síkja a PQR háromszög síkját? Ha igen, írja fel a metszésvonal egyenletrendszerét! 2.155. Tükrözze a /*( —2 ;3 ;3 ) pontot az x = 3 + 4í, j = 12 + 5í, z = —2 + 3/ egyenesre! Határozza meg a tükörkép koordinátáit! 2.156. Tükrözze a P( —1; 2; 3) pontot az x + 1 = 3>> = 3z egyenesre! Határozza meg a tükörkép koordinátáit! 2.157. Határozza meg a/*(3; 2; 1) pont 2x + 5 z + 12 = 0 síkra vett tükörképé­ nek a koordinátáit! 2.158. Tükrözze a P ( - 3 ;4 ;7 ) pontot az ^ (3 ;8 ;0 ), C(5; - 1; 10) pontok síkjára! írja fel a tükörkép koordinátáit!

5 (-l;-l;-2 ),

2.159. Tükrözze a z x - j - z +8 = 0 síkot a P(5; 8; 2) pontra! írja fel a tükörkép egyenletét! 2.160. A dottá —4x = 2(y—1) = 1—2zegyenes, azx + 2>>—z = 12 sík, valamint a P(3; 1; 5) pont. Tükrözze a P pontot az adott síkra! írja fel a tükörképpontra illeszkedő, az adott egyenessel párhuzamos és az adott síkra merőleges sík egyenletét! 26

2.161. Tükrözze az x = - 3, j = 3 - 3í, z = - \ + t egyenest az ABC síkra, ahol ^ ( —5 ; - 2 ; 5), fi(3;5;0) és C ( - 2 ;l ;3 ) . Határozza meg a tükörkép egyenlet­ rendszerét! 2.162. Tükrözze az x = \ + 2t,y = l - 2 t , z = \ - t egyenest a 3x + Mekkora szöget zár be az adott egyenes a tükörképével?

= 1 síkra!

2.163. Tükrözze a 5x —8 y + 3z —6 = 0 síkot az 5x —8 j+ 3 z + 4 = 0 síkra és írja fel a tükörkép egyenletét! 2.164. Adja meg az ^(5; 2; - 1 ) pont merőleges vetületét a I x - y + 'iz = 23 sí­ kon! 2.165. Vetítse merőlegesen az ^ ( l ; - 2 ; - l ) , ~ 2 ) és C ( - 2 ; 6 ; - 6 ) pontok síkjára az x —3 = y+ 3 = —6z —48 egyenest! írja fel a vetület egyenlet­ rendszerét ! 2.166. Adott az X = 4 + 1 , y = \ —2t, —z = t egyenes és a 2x —2z = —23 —3y sík. írja fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely párhuzamos az adott egyenesnek az adott síkra eső merőleges vetületével és illeszkedik a P(7; 1; 2) pontra. Az így kapott egyenes illeszkedik-e a 4 x + 6;^ —4z —26 = 0 síkra? 2.167. Adott az e i ' . x = —2 + 4t, y = 2t, z = —2 + í és az e2 '.x = 2 —t, y = \ + 1 , z = —1 + 2? egyenes. írja fel annak az S síknak az egyenletét, amely tartalmazza az egyenest és párhuzamos az 6 2 egyenessel! Vetítse az 6 2 egyenest merőlegesen az S síkra! Határozza meg a vetület egyenletrendszerét! 2.168. Számítsa ki az alábbi egyenesek hajlásszögét; a; 2 x - 6 = - 2 0 + 2) = és 2x + 4 = 2 y -6 = |/2(z + 5); í > J x = —2 + 3í, j = 0, z = 3 —í és x = —l + 2í, ;^ = 0, z = —3 + í; c ^ x = 4 + í, j ; = 5 í , z = 3 —í és x = 1 7 + 2/, j = 3í, z = 9+17í; d) X = 1 + 3/, = 2,5t\ z = - I -3 ? és x = t, y = —3>+ 2t, z = - 5. 2.169. Határozza meg a következő sík és egyenes hajlásszögét: a) x —y —z = 1 és 2 x = 1—4í, ;^= 3,z = —2í; b) x + 9y + 4z = —7 és x = —3 + 4 t, y = 6 , z —9t; c) x + 2y + 2z = 3 és x = 5 —3í, j = 4 + 6í, z= —2; d) 2x + y —z = 3 és x = 5 —t, —y = 2t, z = 3 —t. 2.170. Határozza meg a következő két-két sík hajlásszögét: a) l x - 3 y + z - l 9 = 0, x + 2 y - z + 4 = 0; b) x —y —z —l = 0 , 2 x + y —z —5 = 0 ; c) x + 2y + 2 z - 3 = 0, 1 6 x + 1 2 j- 1 5 z - 1 = 0; d) X—2 j + 2z —8 = 0, x + z —6 = 0. 27

3 —z y + 1 z 1 : ----- = -------= - - - és az 6 2 '. x = - 1, Z ó ^ Zr = - 3 - 5í, z = 4 + 4? egyenes. A P pont és az egyenes síkot határoz meg. Az 6 2 egyenes ezzel a síkkal vagy az egyenessel zár be nagyobb szöget? 2.171. Adott a P(2; - 1; 1) pont, az

2.172. Mekkora távolságra van a P(2; 4; - 6 ) p o n t a 3 x - 6 = 2 ( j+ l) = 9z egye­ nestől? 2.173. Mekkora az x = 2+3í, y=t, z = 1 + 3? és az x = —2 + 3t, y = 1+ í, z = - 4 + 3í párhuzamos egyenesek távolsága? 2.174. Mekkora távolságra van az ^4(4; —3; 2) pont a 6 x —;^+ 18z= 19 síktól? 2.175. Határozza meg az x + 2y~3z = 1 sík és az x = l - l t , y = 2t, z = l - t egyenes távolságát! 2.176. Mekkora távolságra van egymástól az alábbi két párhuzamos sík: 2 x -3 y + 6 z -1 4 = 0, 4 x -6 j+ 1 2 z + 21 = 0? X—1 y + 2 z —5 2.177. Számítsa ki a z ----- = -------= ------ és x = 7 + 3/, j = 2 + 2í, z = 1 -2 ? 2 -3 4 egyenesek metszéspontjainak a 2x - 16j - 13z + 31 = 0 síktól mért távolságát! 2.178. Hogyan kell megválasztani A és B értékét, hogy a 2x —j + 32—1 = 0, x + 2 y - z + B = 0, x + A y - 6 z+ 10 = Csikóknak aj egy közös pontja legyen; egy egyenesre illeszkedjenek; c) három párhuzamos egyenesben messék egymást? 2.179. Határozza meg az x + j —2z—1 = 0 és az x + j^ —2z + 3 = 0 síkoktól egyenlő távolságra fekvő sík egyenletét! 2.180. Az X = - 5 + 3í, y = 2t, z = 1 + í egyenesnek mely pontja van egyenlő távolságra az ^(2; —4; 7) és 5(0; —6; 5) pontoktól? 2.181. Adja meg egy olyan egyenes egyenletrendszerét, amely az x - 8 j + 4z = 9 síktól 4 egységnyire, a 4x + 20y —5z = 42 síktól pedig 3 egységnyire van! 2.182. írja fel annak a síknak az egyenletét, amely az x + y - z + l = 0 síktól kétszer olyan távolságra van, mint az x + y - z - l = 0 síktól és nem helyezkedik el közöttük! 2.183. Határozza meg a z tengelyen azt a pontot, amely egyenlő távolságra van a 12x + 9>’—20z—19 = 0 és a 16x—I2y+ 15z —9 = 0 síkoktól!

2.184. Határozza meg az x + y + z - 2 = 0 és x + 2 y - z - l = 0 síkok metszésvo­ nalán azt a pontot, amely egyenlő távolságra van az x + 2 y + z + l = 0 és x + 2 y + z —3 = 0 síkoktól!

az

2.185. írja fel annak a síknak az egyenletét, amely felezi az x + 2 y - z - l = 0 és x + 2 y + z+ 1 = 0 síkok hajlásszögét és illeszkedik a /*(1; 1; - 1) pontra! 2.186. Határozza meg az x —y = z és x —1 = 0, y —2 = 0 egyenesek távolságát! 2.187. Számítsa ki az

X—3

y x +2 = - - = - ( z + 2) és — — = y - 2 = z - 4 egyenesek

távolságát! 2.188. Határozza meg a következő síkpárok metszésvonalainak a távolságát: x + y - z —1 = 0és2x + y —z —2 = 0, illetve x + 2y - z —2 = 0 ésx + 2y + 2z+4 = 0. 2.189. Határozza meg az x = —4 + 2 t , y = —2 + í, z = 2 + 3í és az x = 4 + 2í, y = l - 5 í , z = 12- 4 í egyenesek normáltranszverzálisának egyenletrendszerét! 2.190. Adott az egyenes az £’i(2; 4; 5) pontjával és Vi(—1; 3; 1) irányvektorá­ val és az É>2 egyenes az E 2 (S; 9; 7) pontjával és ¥2(1; 3; 3) irányvektorával. írja fel e két egyenes normáltranszverzálisának egyenletrendszerét, a normáltranszverzális és a két egyenes metszéspontjainak a koordinátáit és a metszéspontok távolságát! 2.191. Határozza meg a 2x-t-5y- 3z-I-8 = 0 és az x-2_y-l-z-5 = 0 síkok met­ szésvonalának vektoregyenletét! írja fel annak az egyenesnek a vektoregyenletét, amely párhuzamos az előbbi metszésvonallal és illeszkedik a P(2; 1; 6) pontra. Álla­ pítsa meg a két párhuzamos egyenes távolságát! 2.192. Egy tetraéder csúcspontjai: ^ ( - 2 ; 1 ; 3 ) , 5 ( 0 ; - 4 ; 6), C ( - 5 ; - 3 ; 5 ) , Z)(15; - 3 ; 3). írja fel annak a síknak az egyenletét, amely párhuzamos a tetraéder ABC lapjával és illeszkedik a D csúcspontra! Mekkora a tetraéder D csúcsából kiinduló magassága? 2.193. Egy háromszög csúcspontjai: A(l; - 2 ; 0), B ( - 2 ; 4; 6), C(2; 0; 2). A há­ romszög BC oldalának felezőpontja F, az AB oldalához tartozó magasság talppont­ ja T. Számítsa ki az FT távolságot és írja fel az FT egyenes vektoregyenletét! 2.194. Határozza meg annak a tetraédernek a térfogatát, amelyet a 3x-l->’- 2 z = 17 és az x-l-2y = 9 síkok egységnyi hosszúságú normálvektorai és a síkok metszésvonalának^egységnyi hosszúságú irányvektora feszít ki! 2.195. Mutassa meg, hogy az x = 1-?,' y = ~ 4 - 4 t , z = - 3 + 1 és r(t) = (t+ 2)i + (2t —2)j + (2t—1)k egyenesek egy síkban vannak! Vetítse merőlegesen

e síkra az x = í + 3, j = - 2í + 2, z = 6 egyenest! írja fel a vetület egyenletrendszerét! Mekkora szöget zár be az egyenes a vetületével? 2.196. Az x + 3y + 4z —9 = 0; y —2 = 0; x + 4y + 5z—ll = 0; y + 2z —4 = 0 sí­ kok egy tetraédert határoznak meg. Számítsa ki a tetraéder térfogatát és felszínét! 2.197. Az .4(1;0;2), 5 ( - l ; 2 ; 1), C(3;2;0), D ( - 2 ;2 ; 1) pontok egy tetraéder csúcspontjai. írja fel a tetraéder lapjainak egyenletét! Mekkora a tetraéder A csúcsá­ ból kiinduló magassága? 2.198. Mekkorának kell a p paramétert megválasztani, hogy az ri(í) = (1 -

+

+ (2 - ?)j - (1 + 3/)k és az T2 = ( - 1 + pt)i + ( 3 - - n j + k egyenesek egy síkot hatá4 ^ rozzanak meg? írja fel a sík egyenletét! Mekkora távolságra van ez a sík az origótól? 2.199. Határozza meg az r(í) = (3í-t-l)i + (5 í+ l)j-(2 í-t-l)k egyenesen azt a P pontot, amely a 2x —2 j + z —6 = 0 és a 4x —4y + 2z + 24 = 0 síkoktól egyenlő távolságra van! Mekkora ez a távolság? 2.200. Határozza meg az x + 4 y - 2 z = 0 és az 5 x - j + 6z = 9 síkokkal párhuza­ mos, a P(1; - 2; 3) pontra illeszkedő egyenes egyenletrendszerét! Bizonyítsa be, hogy 19 ez az egyenes és az x = 3t + 6 , y = 2 í - 14, z = t — — egyenes egy síkot határoznak meg! írja fel a sík egyenletét! Mekkora távolságra van a P pont az első adott síktól?

3. LINEÁRIS ALGEBRA

Determinánsok 3.1. Számítsa ki a következő determinánsok értékét! a) D =

b) D =

1

1

1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2

2

2

^-i 3 3

c) D = d)

f)

1 2 1 -/ 2 1 2 - /

2

_

_

1;

j k -1 4 , ahol i,j, k tetszőleges valós számok; 0 2

3 1 -1 1 3 -5 Z) = 0 1 2 1 -5 3 -4 2 0 Z) = -1 0

, ahol í

-1 3 -3 -1 -4

2 0 0 0 -2

2 -4 -1 -3

e) 9

-1 1 D = -1 0

2 3 4 5

5 4 3 2

4 5 2 3

3 1 4 -1 5 3 1 -1 -1 - 2

3.2. Igazolja, hogy X x +d x +2 d y y + d y + 2 d = 0. z z +d z +2 d 31

3.3. Határozza meg x értékét, úgy, hogy teljesüljenek a következő egyenlőségek: a) x^ 4 9 X 2 3 = 0; 1 1 I c)

0 0 0 X 0 - 729; 0 0 X X

b)

1 1 1 = 0; 1 X

X

1 1

X

d) x^ X 0

3 2 - 1 1 = 0. 1 4

3.4. Igazolja, hogy sin 2 x sin X cos X

—cos 2 x —cos X sin X

1 cos x = 0 sin x

minden valós x-re!

Mátrixok 3.5. Legyen

'1 í A= 3 4 5 6

■-3 1 B= 4

és

- 2

-5 3

Határozza meg az A + B mátrixot! 3.6. Adott két mátrix; A=

4 3 6‘ 5 0 1

és

4 3‘ B= 5 0 6 1

Vizsgálja meg, melyik igaz az alábbi állítások közül: a) A = B; b) AB = E, ahol E az egységmátrix;

c) A* = B;

d) A = B*.

3.7. Legyen A=

'1 2i

1 -/' 4/ ; B= 4 3 _

\ +2 Í 3-i

Határozza meg az lA —2B + 3C mátrixot, ha

32

és C = = —1!

■ -2/ _ 1

1 l + í_

3.8. Egy A mátrix transzponáltja: A* =

1 2 4 3 1 0

továbbá

B = [1, 1, 1],

Igaz-e, hogy AB = [7, 4]? 3.9. Legyen A=

cos a sin a sin a cos a

Számitsa ki A négyzetét! 3.10. Számítsa ki az A^ mátrixot, ha 1

-2

A = -3 2

2 0

-6

9 3

Létezik-e (A^) 3.11. Adott két mátrix: A=

"1 2 A 3 1 0

'1 2 B= 2 3 4 0

és

Vizsgálja meg, hogy az AB mátrix egyenlő-e a BA mátrixszal! 3.12. Számítsa ki a B = AA* + 2A*A mátrixot, ha A=

1 2

-2 -1

3.13. Legyen ' 1 - 1 r A = -3 2 - 1 -2 1 c

és

’l 2 3‘ B= 2 4 6 1 2 3

Válassza meg c értékét úgy, hogy az AB szimmetrikus mátrix legyen! 3.14. Határozza meg az AB mátrixot, ha A=

b)

A=

1

2

1'

4 0 2

,

1 4 - 3 ' 2 0 1 - 1 3 - 5

3 Matematikai feladatok

B=

3 1 -2

-A 5 2

B= 33

C)

d)

'2 A= 3 1

r -2 0^

■4 A= 3 2

2 -7 4

B=

-1 1 -3

■5 1 0 2

- 2 3' 3 1

2 3' -3 0 B= 1 5 3 1

2

-8 1

3.15. Igazolja, hogy (A + B)^ = A^ + BA + AB + B^, ha A=

■5 - 3 ' 2 1_

és

B=

’l _2

4 -3_

3.16. Igazolja a mátrixok szorzásának asszociativitását, azaz az (AB)C = A(BC) összefüggést, ha 2‘ ■ 3 1 0' és C = -4 A = [2, - 5 ,4 ] , B = -2 2 5 7 4 1 -3 3.17. Legyen

2 0 7‘ A= -1 4 5 3 1 2

Számítsa ki az Aadj A és az (adjA)A szorzatot! 3.18. Szorozza meg az 0 -2 A= 3 8 1 -4

5‘ -1 6

mátrixot a

'1 0 0' C = 0 c 0 0 0 1

mátrixszal balról, majd jobbról (c tetszőleges valós szám)! 3.19. Szorozza meg az 1 A = -3 1

8 5 -2

0‘ -1 2

mátrixot a

mátrixszal balról, majd jobbról is! Mit tapasztal? 3.20. Legyen

'6 A= 4 7

Elvégezhető-e az AA ^ művelet? 34

-1 4 1 2 -2 5

'0 1 0' P = 1 0 0 0 0 1

3.21. Legyen A=

-3 0 -2

-2

0' 3 2 0 1

Számítsa ki a megadott mátrix inverzét, és ellenőrizze is a kapott eredményt! 3.22. Legyen A egy négyzetes mátrix. Mikor igaz, hogy AadjA = E? 3.23. Adott az I 6 9 A= 0 - 1 - 8 0 0 - 1 mátrix. Fennáll-e a következő egyenlőség = A(adjA) = A ^A. 3.24. Vizsgálja meg, hogy teljesül-e az AB = BA egyenlőség, ha 2 1 A = -2 4 1 3

0 1 B= 1 3 2 2

- 2" 4 , 3

- r 5 1

Létezik-e (AB —BA) 3.25. Háromféle nyersanyagból (N) kétféle félkész terméket (F), majd ezekből háromféle végterméket (V) állítanak elő. Az egyes folyamatok anyagszükségletét az alábbi táblázatok mutatják: a)

N, N, N, 1 F. 2 0 1 4 0 Fi

b) N, N, N,

F, 2 0 2

Vi 2 1

V, 0 1

F, Vi 0 V2 3 V, 2

F2 2 0 1

Fi Fi

F, 3 3 1

F3 4 0 .

Határozza meg a teljes folyamat termelési mátrixát (az egyes végtermékek nyers­ anyagszükségletét) ! 3.26. Egy üzem kétféle nyersanyagból (A^i; N 2 ) háromféle félkész terméket (F i; F2 ; F3), ezekből pedig kétféle végterméket ( F i; V2 ) állít elő. Az anyagszükséglet: Fi F2 Fs 5 4 Fi 1 3 3 1 ^2 N2 Mekkora az egyes végtermékek nyersanyagszükséglete és a teljes nyersanyagszük­ séglet, ha Fi-bői 1000 db, Fj-ből 1200 db készül? 3* 35 F, 1 2

F2 4 3

F3 5 6

?

3.27. Egy üzemben négyféle alapanyagból (A^; A 2 ; A 3 ; A 4 ,) háromféle félkész terméket (F^; F2 ; F^), ezekből pedig négyféle készterméket ( ^ 1; K 2 , K^ ', állítanak elő. Az anyagszükséglet a következő: F, F2 F,

Ar A 2 ^3 A , 1 5 2 3 2 0 4 3 4 1 4 0

K, K2 Ks K,

,

F, 3 3 2 3

F2 2 2 0 3

^3 2 4 5 1

Melyik késztermék tartalmazza a legtöbbet az Aj alapanyagból, illetve melyik a legkevesebbet az ^ 2‘ből? 3.28. Egy üzemben négyféle alapanyagból; Ai-; A 2 -', A y ; A^-ből háromféle fél­ kész terméket; Fi-et; F2 -t; F^-at, ezekből pedig négyféle készterméket; K 2 -t; A^j-at; ^ 4-et állítanak elő. Az anyagszükséglet a következő; F, Fi F3

A, A 2 A, A 4 2 1 3 4 4 1 1 0 3 5 0 3

Fi 2

,

K2 K, K,

3 1 2

Fz Fs 4 2 5 0 1 6 2 3

Melyik késztermék tartalmazza a legtöbbet az A^ alapanyagból, illetve melyik a legkevesebbet az J 3-ból? 3.29. Egy üzemben négyféle alapanyagból (Ai; A 2 ', A^; A J háromféle félkész terméket (F j; F2 ; F^), ezekből pedig négyféle készterméket \,K2 ',K^\ K J állítanak elő. Az anyagszükséglet a következő; F, F2 F,

Ai 4 1 2

A 2 A, A^ 1 0 2 3 4 2 6 1 5

K, K2 K3 ^4

,

3 0 4 2

F2 3 4 0 3

F, 1 2 2 1

Melyik késztermék tartalmazza a legtöbbet az A^ alapanyagból és melyik a legkeve­ sebbet az /í 4-b ő l? 3.30. Határozza meg a következő mátrixok rangját! a)

36

1 2 3’ A = -1 0 2 : 0 1 0

b)

0 2 3‘ B = 0 4 6 0 6 9

Cj

y 5 \ C = 4

d)

3

"1 1 D = 0 0

3

-3

-2 -1 2 -1 1

-2

3

1 1 3

-1 1

r 2

2 -1 1 -2

Lineáris egyenletrendszerek 3.31. Oldja meg a Cramer-szabály felhasználásával a következő lineáris egyenlet­ rendszereket a valós számok halmazán: á)

Xi + 4 x2 + 2x 3 =

b)

5,

—3xj + 2 X2 ■^3 = ~ 15 4 x i - X2 ~ X3 = 2 ; c)

e)

x —ly+TíZ —Av = 3x+ y - z+ V = - x + 4y+3z-2v = 5 x -2 y - z-3v = 5xi + 3x2 + 4x4 = 5X2 + -^3 + 6X4 = Xi+ X2 + X4 = 4xi + 2x2 + 3x4 =

14,

0, 20, 4;

dj

x+ y — z = —2 , x —2y + 3 z = 5, x + 3;^ + 4z = 6; 2

x+ y - 5 z+ u = 8, x-3y -6m= 9, 2 y z + 2 u = - 5, x +4 y - lz +6 u= 0;

7, 30, 7, 10.

3.32. Oldja meg a természetes számok halmazán az alábbi egyenletrendszereket; a)

b)

2 x - y + 3z = 3, 3x + y - 5 z = 0, 4 x - y + z = 3;

2 x -4 y + 3 z - l = 0, x - 2 j + 4 z -3 = 0, 3 x - y + 5 z - 2 = 0.

3.33. Oldja meg az alábbi egyenletrendszert az egész számok halmazán: 2x+3y+5z x + 2y + 4z 2x+ y+3z x+ y+ z 3x + 2y+ z

= = = = =

13, 10, II, 3, 5.

3.34. Oldja meg a racionális számok halmazán az Xi~ X2 - 2 X3 + X4 x i+ X2 + X3 - X i ~2X2 +X4 3xi —2x2 + 2x3 - X4 2

= 1, = 2, = - I, = 4

egyenletrendszert! 37

3.35. Oldja meg a következő homogén lineáris egyenletrendszereket a valós szá­ mok halmazán; a)

c)

x + ;;+ z = 0, X - y + 3z = 0, z = 0; 2 x - 3yX2 + X3 = 0, X i + X2 + 3 x 3 = 0, X i - 3X2 ~ ^ 3 = 0; X i-

í’J

d)

6 x — 4z == 0, 4x + 2 z = = 0, I x - l y ^ 5z == 0;

X 1 _ z + 0, 2 3 4” X z 0, 3~ 4 2 ~ X 3z — A — U. 6 ~ 12 ’ T -

3.36. Rangvizsgálattal döntse el, megoldhatók-e a következő lineáris egyenlet­ rendszerek : a)

c)

X i - 2x 2 + ^3 = 2, 3x i + 8x2 —6x3 = —5, 6x1 + 10x2 + 3 x 3 = 4;

b)

X3 - X4 = 4 , X3 + X4 = 8, 3X1 + X2 + 3X3 + X4 = 16 ; Xi + X2 + X1 —X 2 +

12 x i + 11x 2 5x3 + 5x4 8, - 4x i + 3x 2 + 3x4 = - 1 , 8x1 + 6x2 + 3X3 + 2x4 = 5, 4 X 2 + X3 + 4X4 = 2.

3.37. Legyen X - y + z = 0, —3x + 2y— z = Cj, —2 x+ y + CjZ = —1.

Határozza meg és C2 értékét úgy, hogy az egyenletrendszernek a) ne legyen megoldása; b) legyen megoldása! (Adjon is meg egy megoldást!) 3.38. Oldja meg az alábbi lineáris egyenletrendszert: tx+ y+ z = x + t y + z = t, x+ y + tz = (t valós paraméter)! Vizsgálja a megoldhatóság feltételét is! 3.39. Oldja meg inverz mátrix segítségével a következő egyenletrendszereket a valós számok halmazán: 38

a)

X - y + 2z = 6, 2x+ y - z = 5, —3x + 2 y + 5 z = 3;

b)

Xj + 5X2 + 6X3 = 10, Sxj — 2^2 + 3x3 = 29, 1 x i + A x 2 ~ 3 x ^ = -3;

c)

- 3 x + y + 2z = - 2, A x - 6 y - z = 17, 3x+ y - 6 z = - 14;

d)

4x -2_k + 3z = — 13, - 5 x + 4j + 2 z = 12, 6 x - 4 y - 5 z = -11;

e)

2x+3y-2z = -5, —3x + 2 y + 5 z = 5, 5x + 3 y -A z = - 6 ;

f)

3x + 2j — 4z = — 2, —2 x + 3y + 5z = —5, l x - 2 y - % z = 10.

3.40. Oldja meg bázistranszformációval a következő lineáris egyenletrendszereket a valós számok halmazán: a)

c)

x + 2 y + z = 4, x + y - z = 3, —x + z = 2; 3^1

X3+ 2x4 X2 + X3+ X4 + 2x4 2 x i -- X2 + 5x3 + 6x4 Xi —Xj + 2X2 "■2 x 3 - 3x4 -

= = = =

0, 4, 1, 16, = -5 ;

= 9, X2 = 14, 2x2 X2 + 3x3 + 4X4 10, X2 + 2X3 + 3X4 11;

b)

2 x j+ 3xj + Xi + 2 x j-

d)

x + 3y —3u = 1, x - 2 y + 3z-4u 4, r z+ u = —3, - l y + 3 z + M= - 3.

3.41. Határozza meg az adott lineáris transzformáció sajátértékeit, illetve saját­ vektorait : a)

A=

2 0 0 2 -3 3

-3 ‘ 3 ; -2

b)

'1 0 2' A= 0 1 0 0 0 2

39

4. KOMPLEX SZAMOK

4 .1 . Ábrázolja a komplex számsík azon z pontjainak halmazát, amelyekre teljesül: a) R éz > 2; c) Rez + Im z = 1;

b) —2 < I m z < 1; d) \ < \z\ < 2.

4 . 2 . írja fel trigonometrikus alakban a következő komplex számokat:

a) 1; g) - 3 - 3 / ;

b) - 8 ; h) j/S -/;

c) i; i ) 2 + i;

d) - 2 /; j) - 1 - 2 / ;

e) 1 + /; k) 3 + 4/;

f ) - 2 + 2/; l) - 2 + 5/.

4.3. írja fel exponenciális alakban a következő komplex számokat: a) A-

b ) 2 i;

c) -

1 0

;

d) - f 2 - ^ i ;

e) - i ;

4.4. Végezze el az alábbi komplex számokkal kijelölt műveleteket algebrai alak­ ban: a) (2 - /) + (5 -4 /); b) (3 + 40 + (3 -4 /); c) ( 2 - / ) - ( 5 - 4 0 ; d) (3 + 4 /)- (3 -4 /) ; e; (4 + /)(5 -2 /); f ) ( - l + 2/)(5 + /); 4+ / - 1 + 2/ 5 + 2/ J) /!«; Ar; (2 -3 /)3 ;m ; (l + / f ; ^(2-/ )^(-l +2/ ) , / 1 + 2/V n ) ------ z - — .------ ; o) - — : 3 - 4? \ 3- i 4.5. Legyen a; Z1Z2;

= 3 + 4/, Zj = - 2 + 5 / . Számítsa ki

b) — ^ 2

értékét algebrai alakban! 4.6. Oldja meg a következő egyenletrendszereket a komplex számok halmazán: a) (3 - / ) x + (4 + 2 /)>’ = 2 + 6/, b) (2 + í)x + ( 2 - í)y = 6, (4 + 2i)x - (2 + 3í> = 5 + 4/; (3 + 2i)x + (3 - 2i)y = 8; 40

c)

x + i y - 2 z = 10, x y + 2 iz = 20, ix+2>iy —{\ + í)z = 30. —

4.7. Milyen a Zj és Zj komplex szám egymáshoz viszonyított helyzete, ha a; Im(ziz2) = 0;

6; Re (zizj) = 0?

4.8. Oldja meg a komplex számok halmazán a

—z = 0 egyenletet!

4.9. Határozza meg a következő kifejezés értékét - ... 1 + / + / ^ + / ^ + . . . +1®

4.10. Számítsa ki a z = 2 + 3/ komplex szám ötödik hatványát algebrai alakban! 4.11. Végezze el az alábbi műveleteket a megadott komplex számok trigonometri­ kus alakjával: a) (3 + / ) ( - 2 + 20; b) (2 + 30(1 + 5/); ----2 + 5/ 5 + 4/

^ f) /r + ^ ;

------------------1/(1 + /) ( - 2 + 5/);

,/3 + / /zj ] / : ^ 2-4/

(2 + /)34.12. Végezze el a kijelölt műveleteket: ^ l + /tga , ^ , a + bi l- / tg a ’ ' ^ a-W ’ (1 + 0^ , (1 + /)" d) T,— _ ..„-2 (1-/)^’ ^ \ \ - i T

^ (l + 2/ ) ^ - ( l - 0^ (3 + 2/)3-(2 + /)^ ’ (n természetes szám)!

4.13. A (cos a + / sin a)^ kifejezést vizsgálva fejezze ki cos 3a-t és sin 3a-t cos a és sin a segítségével! 4.14. Legyen Zj = 8 - 8/; Z2 = |^(sin 225° + / cos 225°) és Z3 = -8(cos330°—/ sin 330°). Számítsa ki a következő értékeket: Zi aj z = — (Zi - Z 2) (algebrai alakban); Z2 41

b) Z2 (exponenciális alakban); 3

c) fTj, (trigonom etrikus alakban). 4.15. Legyen n természetes szám. Igazolja, hogy a)

(1 + 0 " = 2^ c o s ----- H / sin — 4 4

rí nn mi\ éj ( p —/)" = 2" cos------isin — ); V 6 6/ a / na noí\ c) (1 + cos a + i sin a)" = 2" cos" - 1 cos — + / sm — j .

4.16. Legyen z = 2 —2i. Adja meg z köbgyökeinek összegét! 4.17. Oldja meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán és a gyököket fejezze ki mind a három alakban: a ;z ^ + 4 = 0; í/;z ^ + l = 0;

* ;z ^ + 1 6 = 0; ej z ^ - 1 0 0 = 0 .

cJ z^ + 8 = 0;

4.18. Számítsa ki az a)z^-i = 0 ;

b)z*

+

\

=

0

egyenletek gyökeinek szorzatát! 4.19. Oldja meg a komplex számok halmazán a z^ + fí{ún 135° + /cos 135°) = 0 egyenletet! Adja meg az eredményt trigonometrikus alakban! 4.20. Oldja meg komplex számok halmazán a következő egyenleteket: a) z'^ + 4z^ + 8 = 0 (adja meg a gyököket algebrai alakban); b) z^ + 4z^ + 5 = 0 (a megoldást trigonometrikus alakban kérjük); c) z^ + 7z^ —8 = 0 (adja meg a megoldást exponenciális alakban). 4.21. Határozza meg a)T-, értékét!

b ){-\)'-

c)f-

d)f\-

e)f^i-

f)fi

4.22. Számitsa ki z értékét és az eredményt fejezze ki algebrai, trigonometrikus és exponenciális alakban: Z0Z1- Z 3 z = ----------- ,

ahol 42

a ; z o = l + /; b) zo =

]/2

Z i = - 1 + /;

+ i]f2 ;

Zi =

- ] / 2

Z2 = - l - i ; + iÍ2 ;

Zj =

5n .

4.23. Legyen z^ = 2 —2/; Zj Z3 = l'^ísin 135° + í c o s 135°) és Z4 = 2. Szá­ mítsa ki az alábbi kifejezéseket, és a végeredményt algebrai alakban adja meg: 1

öj z = -------- ; 1 , . —+ÍZi ^2

+ z,

é; z = ----------- . ^2^3

4.24. Oldja meg a ziz2z'^ —Z3 = z\ egyenletet a komplex számok halmazán, és az eredményt trigonometrikus alakban adja meg: Zi = 4 + 4/;

Z2 = cos 135°-/sin 135°; ,3n

Z3 = 1^ (cos 135° + /sin 135°);

Z4= - 2e '^

4.25. Oldja meg a z f-z 1 -z 3 z ^ = 0 egyenletet a komplex számok halmazán és az eredményt adja meg trigonometrikus alakban, ha 3

. n

.^

Zi = 2^^e

Z2 = 2 (c o s 4 5 °- íS Ín 4 5 °) ;

Z3 = -2]/2e

^

4.26. Oldja meg a komplex számok halmazán a következő egyenleteket: , 4)1 ,n 7_\ 3 ^ // 77T 77 t\^ aJ 8 (p + 3i)e z + 2e = í cos------i sin — V 6 6

( 4 bj (cos225°-/sin225°)z^ + 3 2 /- 0 ,5 Í — j

=0.

(A megoldást trigonometrikus alakban adja meg!) 4.27. Határozza meg z értékét trigonometrikus alakban, ha Zj - (zj - z^)z'‘ = 0 és

i—

= 64e ^ ; Z2 = l/2(cos 315°-/ sin 315°), továbbá z ^ = - f í e

“ *X

4.28. Adja meg z értékét trigonometrikus alakban, ha = z\z^, ahol .^ Zi = 2|^(cos 225° + i sin 225°); Z2 = i f l e ^ ; Z3 = 8(cos 240° - / sin 240°); Z4= 43

4.29. Számítsa ki z értékét trigonometrikus alakban, ha z\z^ = {z^ —z-^z^, és z^ = 2(cos 270° - / sin 270°).

= 2 - 2 /; ^2 = 2(cos30° + /sin30°); Zj = 4.30. Oldja meg a Z'^Z\ + Z2 Z^ = Z\

egyenletet a komplex számok halmazán, és adja meg a végeredményt exponenciális alakban, ha • 5.

Zj = 2(cos 330° —i sin 330°); Z2 = —8e ®; z^ = f i - i \ Z4 = 4(cos 240° + i sin 240°). 4.31. Határozza meg Z-t algebrai és trigonometrikus alakban a következő egyen­ letből: 1 - 1 ^ 1 Z R iXi^ a)R=5; b ) R = 4;

X ^=4; Xj^=5;

1

iX,

= X=S.

4.32. Egy 65 ohm ellenállású, 0,2 H önindukciós együtthatójú légmagos tekercsen 3 A csúcsértékü, 300 körfrekvenciájú váltóáram folpk keresztül. Határozza meg a tekercs kapcsain a feszültségkülönbséget! 4.33. Kapcsoljunk sorba egy 4 ohmos ellenállást és egy 0,001 06 F kapacitású kondenzátort! Határozza meg az áramkörben folyó áram erősségét, ha az áramkörre 110 V csúcsértékű 50 Hz-es váltakozó feszültséget kapcsolunk! 4.34. Határozza meg az alábbi kétpólusok eredő impedanciáját!

íru R a)

44

b)

0

5. SOROZATOK

Bizonyítsa be a teljes indukció módszerével a következő egyenlőségek helyességét: 5.1. l + 2 + 3 + 4 + ... + n = —^ ^

;

« = 1, 2 ,....

5 . 2 . P + 2 = .3 a + . . . H . „ 3 - * í ^ l 5 í ± i ) ; 6

„-,,2,....

2

5.3. l^ + 2^ + 3^ + ... + «^ =

;

« = 1, 2, . . . .

5 .4 . 1 ^ + 32 + 52 + ...+ (2« - l )2 ^ (2«_J)n(2«jl^ _

5.5. 1 -2 + 2 -3 + 3 - 4 + . . . + «(«+ !) =

«(«+1) (« + 2)

^ ^ 1,2,....

n = 1 ,2 ,....

«(/i+l)(/i + 2)(n+3) 5.6. l - 2 - 3 + 2 - 3 - 4 + ... + «(«+ l)(/i+ 2) = -^^----, ----- « = 1 ,2 ,.... 4 5.7. 1 • l! + 2-2! + 3-3! + ... + n-/i! = ( « + l ) ! - l ;

n = 1 ,2 ,....

5.8. 1 -4 + 2 -7 + 3- 10+ ... + «(3/i+l) = « (« + l)^

/i = 1 ,2 ,....

5.9. (1 + 1 ) ( ^ 1 + ^ ^ ^ 1 + ^ ^ . . . ( ^ l + ^ ^ = « + l ;

1 ,2 ,....

45

5. 11. 1 1 - ^

^ -6

^-To

1 1 1 1 « 5 .1 2 .-----+ ------ + ------ + . . . + ---------- = -------; 1-2 2- 3 3-4 n{n+\) n+\

«=1,2,....

1 1 1 1 5 .1 3 .-------- + ----------+ ----------+ . . . + 1-2-3 2-3-4 3 - 4 - 5 ■" n (n + l)(n + 2) n = 1, 2, . . . .

n(« + 3) 4 (n + l)(n + 2 ) ’

1 2 3 r> 5 .1 4 .--------: + —— — + ------- - + . . . + 2-3-4 3-4-5 4-5-6 ( n + 1 ) (n + 2 ) (n + 3) n(tt+l) ; n = 1, 2,. . .. 4(« + 2)(n + 3) 12 2^ 3^ n (« + l) ----- + " ~— + -------H... + -------------------= ------------j 5 .1 5 .-------1 ............................... (2/1-1) (2«+ l) 2(2«+l) 3- 5 5- 7 1-3 1 1 1 + + 5- 7 1-3 3- 5

1 ( 2 n - l) ( 2 « + l)

n 2n+l’

1 n 1 1 1 +” ------ + ... + -------------------- ’ ------- ; 5.17 ----. + 1"-------1 1 -4 4 -7 7-10 (3 « -2 )(3 n + l) 3 «+l 5.18. 2-2^ + 3' 22 + 4-23 + ... + « -2 " -i = (n -l)2 " ; írja fel az alábbi {a„} sorozatok néhány elemét!

5.19.

n —2 ; In

5.20. űf„

1 —3n ; 5«+ 1

5-21.

n+ 2 T-— ; n ^-Z n + 2 n^ + n + l n+ 12

5.22. a „ = — —

46

« = 1 , 2 , ..., 6.

« = 1 , 2 , ..., 5.

« = 3,4, ...,8.

n = l , 2 , ..., 6.

n — 1,2,..

n = 1, 2, . . . .

/í = 1, 2 ,...

n = 2 ,3 ,... .

1/4n+ 1 5.23. a„ = H r - - , 8n

5.24.

16«

==

2«

—

1

«=1,2,...,6.

;

« = 1, 2 , 5 .

5.25. a „:= 2 + ( - l ) ”+ i - ; n 5.26.

n = 1 ,2 ,...,6 .

+

« = 1,2,...,7.

5.28. a „ = = l + ^ + ^ + . . . + ^; ;r 5.29. a„ == cos(«+ 1) - ;

5.30. a„ ■■=sin(2n- 1) - ;

5.31.

n == sin -

;

. =

« = 1, 2,..., 7.

« = 1, 2 , ..., 7.

n = l,2 ,...,8 .

n In ; 5.32. a„ == c o s6 5.33. a„ == I

« = 1, 2,

1

iA:(Ar+l)

;

8.

« = 1 ,2 ,...,8 .

1

; 5.34. a„ := X ,ei(3A r-2) (3Ar+l)

5.35.

n = 1,2, ...,6.

n = l , 2 , ...,8.

ha

« páratlan,

ha

« páros;

« = 1, 2,..., 10. 47

1, 5.36.

n páratlan,

ha

^^

^ páros;

n+ 1 5. 37.a„==lg— ; n+ 2 6" 5.38. ű„+x — r ; n\

n = 1, 2, ..., 10.

« = 1 ,2 ,...,8 .

n

0, 1, 2 , ..., 10.

Tekintse az alább felsorolt számokat egy sorozat egymást követő első néhány elemének. Adjon olyan képletet vagy utasítást, amelyet a megadott sorozatelemek és az n-edik elem kielégít! Döntse el, hogy a sorozat növekedő-e, csökkenő-e, korlátos-e, van-e torlódási pontja, konvergens-e: 5 8 11

1

1

14

1

5.42, 1; 16; 81; 256; .... 5.43. fi- p-, ÍA-, 5.44. 1; -1; 1; -1; .... 5.45. -13; -18; -23; -28; .... 5.46. 1,5; 1,25; 1,125; 1,0625; ....

íija fel az alábbi rekurzív formulával megadott {a„} sorozatok néhány elemét! Állapítsa meg, hogy a sorozatok konvergensek-e: 5.48. ű i = - l ,

48

a„ := -5-4a„_i;

n = 2, 3, 4, 5.

5.49.01 = 1,

02 = 3,

a„ == 2 • a„_i + 5 • ö„_2;

5.50.01 = 2,

ű2 = 3,

ö„ := a„_i-a„_2;

5.51.01 = 3,

ö„ == 2 -------- ;

« = 3, 4, 5, 6.

« = 3, 4, 5, 6, 7, 8.

n = 2, 3, 4, 5.

«n-l

5.52.01 = 1,

02 = 2,

« = 3,4,5,6.

5.53. űi = l,

02=1.

5.54.01 = 4,

a„:=

;

n = 2,3,4,5.

5.55.01 = 1,

a„ = ^*— + 1; ^n-1

n = 2, 3, 4, 5.

5.56. űi = l,

a„+i==a^-l;

«=1,2, 3, 4, 5.

5 .5 7 .0 1 = 0,

a „ + i

ö»+i ==

«n-l +

5

+

(-1 )" - =

n = 2, 3, 4, 5, 6.

;

a „ +

n = l , 2 , 3 ,4 ,5 .

Igazolja, hogy az alábbi {«„} sorozatok konvergensek! Számítsa ki a sorozatok határértékét is! ‘ ^n+ l

1\ 1 ; ű„ + ”2 öj 1

^11+ 1

a a „

a

1

\

+

/

ö » -

a „ ---

4 ö » - l

a „

4 Matematikai feladatok

•■=

3

-+3

a>0;

n = 0 ,1 ,2 ,....

j

== , 2ö„-i+ 2 3V ön (

;

« = 0 ,1 ,2 ,....

;

a>0;

n

=

2

,

3,

5

+ 2;

49

5.63.01 = 2

5.65.

1 a„-=2-------- ; ű,n-l

és

= 1^6,

Ü2

/ó + l/ó, űj = /ó + l/ó + l^ ,.... a„ == l^6+ a„_i; n = 2 ,3 ,....

=

5.66.01 = 1/^6+1),

n = 2, 3, . . . .

Ű2 = ^(Z>+l) + l/ft(Z)+l),..., Z>eN; n = 2 ,3 ,....

ö„== 1^6(6+l) + ű„_i;

Határozza meg a következő {a„} sorozatok legkisebb elemét: 5.67. a „ = = « 2 - 9 n - 100; 5.68.

a „ - -=

5.69. a„ ~

25 ; n

n-\

« = 1 , 2 , ....

n =

1, 2 ,...

.

n = 1 ,2 ,....

—7« —8 ;

5.70. «„==3 + ^ + ^ ; in

«=1,2,....

Határozza meg a következő {a„} sorozatok legnagyobb elemét:

T 5.71. ö„:= — ; n\

« = 0 ,1 ,2 ,....

5.72. a„ := 2 -|/« -

; l/«

« = 1 , 2 , ....

5 . 7 3 . a „ := 20 + 19« - « 2 ;

5.74. a„'= 2 - n -

9

« = 1, 2, . . . .

n = 1, 2 ,... .

írja fel az alábbi {a„} sorozatok legkisebb és legnagyobb értékét: n^ 2nn 5.75. ö„ — 7-----rcos -;—j c o s — l + «2 3 50

« = 1 , 2 , ....

n .n n 5.76. a„ == —— sm^ — ; 1+ n 4 5.77. a„ ■= cos"

2nn

;

« = 1 , 2 , ....

« = 1, 2, —

nn 5.78. ű„ == sin" — ; 6

n = l , 2 , ....

Mutassa meg, hogy az alábbi {a„} sorozatok konvergensek! Határozza meg azt a v(e) küszöbindexet, amelynél nagyobb indexű elemek a sorozatban az előírt e>0-nál kisebb hibával közelítik meg a sorozat határértékét! 5.79.

2rt'‘- 1

5.80. a„==2";

;

« = 1,2,3,...;

£=10-^.

n = 1, 2, 3 ,...;

£=10

1 /'2n+i == V; 2 n

« = 1 ,2 ,3 ,...;

£= 10“ ^

l + 3« 5.83. a „ = = - — ; 5«+ 1

n=l,2,...;

5.84. a„ ~ ^77+ 1 —1/«;

4*

£= 10“ ^

;

" 4 : 3^ i.82.

« = 1 ,2 ,3 ,...;

« = 1 , 2 , ...;

5.86. a„:= —

« = 0,1, 2, .. .;

;

£=10-3.

« = 1 , 2 , ...;

31^+2 5.85. a„ = - ^ ---- ; 2|/n+ 1

.

£=10 - 1 £= 10“ ^

£=10-«.

5.87. a„ == ; " 2 + 4«2

77 = 1, 2,...;

£= 10

5.88. a„ == Ig^q^ ;

« = 1 , 2 , ...;

£=10 ^ 51

Határozza meg az alábbi {a„} sorozatok határértékét, amennyiben az létezik; 10" 5.89. a„== — ;

« = 0 , 1,....

100

5.90. a„ ■■=—----- ;

n = 0, 1,... .

6 • ni T

5.91. a„ ~ -----------; 2"+1000

« = 0, 1, ... .

3»+2_ 1 5.92.

« = 0, 1 ,....

;

5.93. a„ ■■=-

OO;

;

« = 0, 1,... .

10"+10^ 5 -9«-‘' . - 5 . + 2-+10’ ' T -l~ ”

5.95. ö„ ==

;

h

= 0, 1 ,....

0 + 5)(1 + 5^)(1 + 5 3 )...(1 + 5")

5.96. a„==------------------ --------------------- ;

« = 1 , 2 , ....

5 '9 7 '" " ~ ( i + c)(i + c^)(l + í-3)...(l + c") ’ 5.98.

5.99. fl„==

6" + c"

;

7«2 + 3«+10 100n'‘- 2 7 « + ;r

í»,c>0;

;

n = l , 2 , ....

39n3 + 25«2-16« + 9 5.100. ö„==------------------------- j-; 26«3 —36«^—18«+ 4«3 + 5«2 + 6m+ 7 5 ‘101-""'"^1-9«2-27«3 + 3«4’ 52

«=1,2,....

«=1,2,....

....

81n®-8«5-12«2 + 3 9-17«2 + 3n3-9«^ ’ l/«^ + 5«^ - 8 5.103. a„== 3-------------- ; —4n^ + 2

« = 2 ,....

^4«2 + 2«+100 5.104. a„==^^---------------- ; ^57j2-6n-10 p n^ + 2 + Í2 n 5.105. a„==j^^--------^--- ; |/«3 + « + 16-3/1 l/n^ + ó 5.106. ö„==j^^---------- ; l/«2 + 3 n -2 l/n^ + 3n + 36 5.107. ö„==^^--------------- ; 1/«3-2«2 + 25 3

" ~

n=l,2,....

« = 1,2,....

«=1,2,....

«=1,2,....

3

5.108. ű„== l/«T T -|/«; 5.109. a„== 3------ ^— j — ; p n + \-fín

« = 1 , 2 , .... « = 1 , 2 , ....

12 5.110. ö„== 3 ^-------; |/7^-(|/n + 2 - l/n - 2 )

n = l , 2 , ....

.... (2«+ l)(3« + 2)(4« + 3)(5n + 4) 5.111.«„= = ------------------------ ; (2n + 3r(18«+17V5 "■ (6« + S r ’

5.113. ű„ =

«=1,2,....

"

(2«2 + 3« + 4)i° (3«2-4« + 5)i° ^ '">20 ’ (6«2 + 7 n -8 ) '

^

1,2,.... 53

(«+l)(« + 2)(« + 3)(/í + 4) 5.114. ö„==------- 2------;---------------- ; n^ + 2n^ + 3fi + 4

n = l , 2 , ....

Vizsgálja meg, hogy mely eset(ek)ben konvergens az {a„} sorozat, és konvergencia esetében határozza meg a sorozat határértékét is! ( k e N*==Nu{0}.)

1+ 2 + 3 + ... + « 5.115. a„==-------- —-------- ;

n = l , 2 , ....

l^ + 2^ + 3 ^+ ... + «2 5.116. «„==------------ ------------; rr

« = 1 , 2 , ....

l3 + 23 + 3^ + ... + n3 5.117. a„==------------ ------------; rr

«=1,2,....

12 + 32 + 52 + ... + (2k - 1)2 5.118.0,==---------------- í ^ n = l , 2 , . . . . rr [1 + 3 + 5 + . . . + ( 2 n -l)]2 5.119. a„==^-------------- ; « = 1 , 2 , . . . . tr (2 + 4 + 6 + . .. + 2«)3

5.120. ö„==^^-------------^ « = 1 , 2 , . . . . rr 1 -2 + 2-3 + 3 - 4 + . .. + «(«+!) 5.121. a„==-------------------r------— rr l - 4 + 2 -7 + 3-10+. . . + n(3«+l) 5.122. «„==-------------------- --------------------;

n = \ , !,■■■■

« = 1 , . 2 , ....

/

1\ 1\ / 1 v. ‘ " 2 , , . , 3 ö„==------------------5.123. ^ ------------------- ; (1 + 1)

« = 1 , 2 , ....

Számítsa ki a következő {a„] sorozatok határértékét, amennyiben az létezik: 1

1

1+ - + - + . . . + 2

4

1 2 " -i

5.124. ű„ ==--- j--- j-------; 1+ - + - + . . . + ---- 3 9 3"-i —

54

« = 1, 2,....

1 • l! + 2-2! + 3 - 3 ! + ... + «•«! --------------------------- ^

5.126. a- =

3 •«! ( « + ! ) ! + «!

.............................................

;

n = 1, 2 ,... .

9- («+l ) ! + 2-«! 5.127. a„ •■=----------------------- ; 1 0 -(« + l)!-7 « !

n = 1, 2,... .

6 . 1 2 *.

1-

1 - 3,

1 .

1 --);

/

« = 2 ,3 ,....

/

5.129. ö„ = (1 + 1)1

" = ^>2,.... 1

1

1

6/ V

10/

\

n{n-\-\)

;

« = 2, 3, ....

Igazolja, hogy az alábbi {a„} sorozatok konvergensek! Számítsa ki a sorozatok határértékét is;

b > l-

5.131. a „ : = l J ^ - l ,

n=l,2,....

«=1,2,....

5A32. a„:=hn-, n+ l

5.133. a „ : = - — ;

« = 1 , 2 , ....

][n !

5.134 a„ == 1 +

5.135. a„

\ n+ 12

«+12 /

1), n

5.136. a ==

fTi

;

ö>0;

« = 1, 2 , . . . .

ö^l;

« = 1 , 2 , ....

fi

■^ + l/c' ,

b,c>0;

b^l;

c^l;

«=1,2,

55

\ {” r

,

5.137. a ■= 1+ - \]fb-^c

6,c>0;

c#l;

« = 1,2,

Számítsa ki az alábbi {a„} sorozatok határértékét, amennyiben az létezik: ln + ]/n + ]/n 5 A 3 8 .a „ := ^— ^ = —

;

n = 1, 2, . . . .

5.139. a„-=^n + ^n + ^n —]fn', 3

i/m+

5.141. a„

5

|/«+ |/«+ |/«

n^(|/«+ 1 —2|/« + )/«—1);

5.142. ö„ :=

5.143. a„==

4

n = l , 2 , ....

+ 1—«|/2^;

« = 1 , 2 , .... n=l,2,....

n\]j2n^ + % n-\ - l/2n^+ 1 6 n + 11)

5.144. a„ ~

21^

5.147. a„ := 28« 5.148. a„ ==

+ 5« —7 —2tj) ;

+ 28« - 71; + i4„ _ 21 -

5.150. a„--= p n ^ + 2 n - \ - 3 n - ,

n = 2, 3 ,... .

n=l,2,....

« = 1,2, . . . . n = l , 2 , .... + i4„ + 71;

13l/2n+l 5.149. ö„ == , — , , =; 1/I3n^+12-1/13«2-12«

56

« = 1, 2, .. ..

19 —|/3n^ —25|/3«+3^;

5.145. a„:= 7 ., ,, ; ^ n 2 + 1 5 n -1 0 -|/« 2 -6 n + 5 5.146. a„ ==

;

n = 2, 3,....

n = 1, 2, —

« = 1 , 2 , ....

5.151. a„ ■■=

« = 1 , 2 , ....

+ --------- ;

« = 2, 3, . . . .

5.153. ű„:= n\]ln‘^ - A - n y ,

n = 2, 3,. .. .

5.152.

5.154. a„ ■■=sin [n ■i]/4n^ + « + 1 -

+ 2n)] ;

« = 1 , 2 , ..

« = 1, 2 ,... .

5.155. a == tg

5.156. a„ == pn^ +4 n ^ - 2 n - l - 2 n ^ 5.157. a„ ■■= 1+2 + 3 + ... + « 5.158. a ==

5.159. a„ ==

1 + 3 + 5 + ■■■ + ( 2 « - l) p n ^ + 20«2 - l O n - ]/5n* - 10« - 5 ’ pn^ + 2n + 3 - p n ^ + 6 n + 5 pn^ + 5 n + l - p n ^ + 7 n - \ ’ 36"

5.160. a„ ■■= «!

5.161. a„ ==

5.162. a„ ■■=

5.163. ö„ ==

5.164. «„ :=

^3« + 7^ ^™+3

;

« = 1,2,....

« = 1, 2 ,... .

\3n + 4/

12 + 22 + 32+ ... +«2 |/4«®-5«3 + 9-2«3 « -3 \" ? -5

;

v 4 « -3 /

« = 1, 2 ,... .

« = 1, 2 ,... .

'2« + 3\ n — 5 ; 2 ^ ) /4n + 5Y^"

;

;

« = 1 ,2 ,... .

« = 1 ,2 ,... . 57

5.165. a - =

5.166. a„ ==

5.167. ö„ =

5.168. a :=

n = 1,2,....

V3n + 5y 2« + 4\"+2

n = 1,2,... .

3 « -6 y /^5n-6Y" +^

n = 1, 2, ....

\4 n + 3 /

ín^ + l V ^ ^ \n^ + 3J

« = 1, 2, . . . .

« = 1, 2, . . . .

5.169. a ==

5.170. a ==

5.171. ö ==

5.172.

n = 1,2, . . . .

;

« = 1,2,....

/«" + 2« + 4V^"' — ) ; V«^-n+ 1 )

« = 1 , 2 , ....

2«^ - « + 1

n\\ -n) 5.173. Legyen a„ ■■=-----------. A A mely értékére konvergens a sorozat? Adjon 5 —n —n meg olyan A értéket, amelyre lim ö„ = 1, illetve lim ű„ = 0.

5.174. Határozza meg a A és

együtthatók értékét a

fn ^ + l \ lim ----- ;— Xn-fi = 0 ; 00 Y/?+1 y

«=1,2,

feltétel alapján! 5.175. Határozza meg a X együttható értékét a lim

a « + 5\"+®

n-^GO V

feltétel alapján! 58

—3 /

=

5.176. Legyen

Mely b értékekre konvergens a sorozat? Határozza meg a sorozat határértékét is! 5.177. Legyen a„ = \'n^ - Xn+\ -

n = 1 , 2 , ... .

—2« + 3;

Mely Á értékekre konvergens a sorozat? Adjon meg olyan 2. értéket, amelyre lim a„=l,

illetve lim a„ = 0.

« -> o o

« -> o o

Számitsa ki a következő határértékeket; fn ^ -1) 5.178. lim II->00 V + l j

0 ' rí*'+fn +

n^ + n + e^n^ + n \ n^ + 2

5.179. lim n -* 00

+n

+ iy n ^ -6n+5 5.180. lim 00

j n^ —f n —\

;

n=

2« + 5^^

í/f? + 3 n - n 5.182. lim 4------- T T -ir; 4n + 9\^-^" \4n + 5/

, 2 ,....

^„4 _ „2 + g

\ n ^ - 2 n +4j

5.181. lim «->00

1

+ „ - 1'

n^+l

;

n=

1

,2,

« = 1, 2,... .

« = 1, 2, ....

írja fel a sorozatok «-edik elemét zárt alakban, majd állapítsa meg a sorozatok határértékét: 1 1 1 5.183. lim ; + -----+ ... + n-*00 1-2 2 -3 n(n+l)_

n = 1 , 2 , ... .

59

1

1

1

+ -----+ .■ ..+ 5.184. lim n— ► 00 1-3 3 -5

5.185. lim

1

;

« = 1, 2,... .

1

+ -------- + ... + ; 1 -2 -3 2 -3 -4 « (« + !)(« + 2) 1

5.186. lim £

;

« = 1, 2,

« = 1, 2, . . . .

5.187. lim X

n = 1 ,2 ,....

k= 1

5.188. lim £ ( ^ ^ ^ - 2 l/^ + 2 + l/^ + I ) ; k= 1 5.189. lim X lg ( 1 - ^ ) ;

1 ,2 ,....

« = 1, 2, . . . .

k= 2

;

5.190. lim X

n=

1

, 2 , ....

1 •2 -3 + 2 - 3 - 4 + ... + « (« + l)(« + 2)

2« + l i\ / n 1+ 2 3y

5.192. lim 00

(1 + 1)

1+

n = 1, 2, . . . .

--i)'

12

2^ + ----- + ...+ 1-3 3 -5 ,( 2 « - l) ( 2 n + l) 5.193. lim ----------- ----------- ^ n—00 1+2 + 3 + ... + «

n = 1, 2, . . . .

Határozza meg, mely x-ekre konvergensek a következő {a„} sorozatok:

5.194. a „ = = ( ^ ^ V

5.195. a -= 60

2

V^^-9

Y

« = 0 ,1 ,2 ,....

;

« = 0, 1, 2, . . . .

\" 5.196.

==

5.197. a„ :=

;

n = 0 , 1 , 2 , ... .

x^-x-2' ; 6 +x - x ^

n = 0 , 1 , 2 ,....

x ^ -x + 3

Tekintse az alább felsorolt kifejezéseket egy sorozat egymást követő első néhány elemének! Adjon meg olyan képletet vagy utasítást, amelyet a megadott sorozatele­ mek kielégítenek! Konvergensek-e az alábbi {a„} sorozatok? Adja meg a konvergens sorozatok határértékét is: 5.198.

5.199.

1

1+ 3

3 ’

5+ 7 ’

7 + 9+11 ’

1

1+ 2

1+ 2 + 3

1+2+3+4

2 ’

3+ 4 ’

4+5+6’

5+6+7+S’

1

1-2

1-2 + 3

1-2+3-4

2 ’

3-4 ’

4-5+6’

5-6+7-S’

1+ 3 + 5

1+3+5+7 9 + 1 1 + 13+15 ’

61

6. EG Y V ÁLTO ZÓ S F Ü G G V É N Y E K

Határozza meg a valós számok körében azt a legtágabb részhalmazt, amelynek elemeihez az alább felsorolt képletekkel függvényérték rendelhető: x +2 x^-4x+3' x^ + x x^-x 6.3. X H. 1/9- x ^ . 6.4. X

i fT .

+ Íx.

6.5. X ^ / - 1- x ^ 6 .6. X ^ lg (x"). 6.7. X !-♦ In

í\+ x\ \-x)

6 .8 . X 1^ |/^lg cos X. 6.9.

X n-

sin lg X.

6.10. X n- j/lg sin (x^ —5x + 6). 6 .11. X i-> arctg tg (x - 1). 6 .12. X 62

ctg - . 2

Döntse el, hogy az alábbi függvények közül melyik páros, melyik páratlan, és melyik nem tartozik egyik előző csoportba sem: 6.13. X H- 5. 6.14. X

|x|.

6.15. X

X.

6.16. X

[x].

6.17. X h- x][^. 6.18. X

cos 3x x^

6.19. X

sin lx| .

6 .20. X

Isin x| .

6 .21. X w- sin (sin x). Döntse el, hogy az alábbi függvények közül melyik periodikus és melyik nem! Ahol lehet, határozza meg a periódus hosszát: 6.22. X

sin 2x. V

6.23. X !-►cos - . 6.24. X 6.25.

X

[x], ^ {x} .

{

0, ha X egész szám; 2, ha az x-et közvetlenül megelőző egész szám páros;

- 2, ha az x-et közvetlenül megelőző egész szám páratlan.

6.27. X n- cos (cos x). 6.28.

X

!-►Arctg x.

6.29. X ^ 2“* 63

6.30. Képezze az alábbi függvénykapcsolatok inverz kapcsolatát: =

b ) y = 2>x^ + 2 -,

c)

d) y =

6.31. Állapítsa meg, hogy az alábbi függvényeknek vagy valamely leszűkítésüknek van-e inverz függvénye; ha igen, írja fel az inverz függvényt! a ; / ( x ) = 5; é ;/(x ) = 21n(3-+2) + 5 . 1 , = ÍÍT T ; /)/W =

h a x > f“ ‘’

c) f{x) = x \ D,: = [ - \ - \ ] ■ , í 1, ha X racionális = 0, ha irracionális ' 71 n ~ “ 4 ’4

6.32. A koordináta-rendszer transzformációja segítségével ábrázolja az alábbi racionális függvényeket; aj y = - 3 x + 2;

bj y = - x ^ + 4x~ 5;

3 d) y = ---- r ; x-1

e) y =

cj y = ^

;

2x 3 -x

6.33. A koordináta-rendszer transzformációja segítségéve! ábrázolja az alábbi függvényeket: 3^___ a) y = ±[/2 —x; b) y = 2 ^x —2 - 1. 6.34. Oldja meg az alábbi trigonometrikus egyenleteket: a) |/sinx —f l cosx + 2 = )/3; Í.J 2 - l o j | / 3 ; 2 cos 2x r~ c ) 1- 2 sm x + 1/2 = 0 ; sin X+ cos X ■, \ í n\ ín d) cos x + cos I - + x j —21 cos -1 (cos x) cos I 1 ' e) tg x + - c tg x + 1 =

-

4’

1.

COS^ X

6.35. Igazolja az alábbi azonosságokat: 1 + cos 2x 1 - cos 2x a) cos X = ------------; b) sin x = ----- ------

64

l - t g 2c)

d) sin X =

COS X =

6.36. A koordináta-rendszer transzformációja segítségével ábrázolja az alábbi trigonometrikus függvényeket: — 1 + cos ( —2 x - 2 ) a) y = ; b) 2 y = —h sin { —2 x + 2 ) - 2 ; 1

c) y = ?>- - t g x ;

d) 2 y -

2

= ctg

6.37. A linearizáló formulák felhasználásával, a koordináta-rendszer transzformá­ ciója segítségével ábrázolja az alábbi függvényeket: a) y =

2

sín^ ( x - l) + 2 3 ’

1 + 2 cos^ í ---- X—3 ' ^

2

6.38. írja fel egyszerűbb alakban az alábbi függvényeket! bj X sin(Arccos 2x); dj X >->■sin[arctg(2x —1];

öy) X 1^ cos (arcsin 2x); cj X tg (arcsin x); e) X

X

cos^ I arctg - 1.

6.39. Igazolja az alábbi azonosságokat: n b) Arcsin |/x + Arcsin |/l - x = - . a) Arcsin x + Arccos ^ 2 ’ n

c) arctg X+ arcctg ^ ^ 2 ’

d) arccos ( - x) = n —arccos x ;

eJ Arcctg( - x) = ti- Arcctgx. 6.40. Számítsa ki az alábbi kifejezések értékét segédeszköz használata nélkül: 1

a) Arcsin -p ; b) Arccos Pr í d) cos r Arcsm 1 ~ 2 j •tg Arccos \^)

c) Arctg 1/3;

6.41. Oldja meg az alábbi egyenleteket: n b) 3 Arcsin ][x —n = 0; a) arcsin ( x + 27t) ^ ~ 2 ’ c) 7T—Arcsin X = Arccos x; 5 Matematikai feladatok

d) Arcsin x = Arccos x. 65

6.42. A koordináta-rendszer transzformációja segítségével ábrázolja az alábbi ciklometrikus függvényeket: a) y = —2 Arcsin ( - 2 x + 2) + n;

b) y = ~ Arccos

W

d) 3y =

6

Y

v

Arcctg ( —2x) —2n.

6.43. Oldja meg az alábbi egyenleteket, illetve egyenletrendszereket: b) ^ I g (271 + 3 ^ ) = 1;

a) 4- 5^*-3 • 5^+1 = 25;

d)

c) log3^3 + 41ogg,3 = 6; e)

= 2; I 5lg(2y-x- 1) _ j .

= 81; jlg (x + >;)2-lgx = 2 lg 3.

6.44. A koordináta-rendszer transzformációja segítségével ábrázolja az alábbi exponenciális és logaritmus függvényeket: « ; j = 2 3 -2 -+ l;

b) y = ~ e ' ~ ^ + l ;

c) y =

d) y = 2\g(3x + 2 ) - l .

2

log2 (4 - 2 x ) - l ;

6.45. írja fel egyszerűbb alakban az alábbi függvényeket: a j X H>- sh (arch 2 x) ; ej X HÓth [arsh (x+ 1)];

b ) X ^ e h (arsh x); ííj X He sh (2 arch x).

6.46. A koordináta-rendszer transzformációja segítségével ábrázolja az alábbi hiperbolikus függvényeket és inverzeiket: í.;>; = 3 c h ( l - - J - 2 ;

a ) y = ^sh ( ^ V i ; 1 c) y - \ = ~ 2 e) y =

2

/ V

x' 2 /

-

2;

arsh (2x + 2) + 1;

g) y = 2 arth(í - ~1 x - -

+ 1:

3 —2x' —1 + cth d) y = ------2 / 1- x 1 f ) y ^ ~ arch - 2; 2 / 2x + 2 h) y ^ 2 arcth I — —

6.47. A linearizáló formulák felhasználásával, a koordináta-rendszer transzformá­ ciója segítségével ábrázolja az alábbi függvényeket:

66

a) y = sh^ {-2x);

b) 3y = 2ch^ ( — - — 1—4.

6.48. Igazolja a függvény határértékének definíciója alapján az alábbi állításokat: .2 _ 1 a) lim (2x + 5) = 7; b) lim c) lim - = 1. = - 2; x^l ^-1 x + 1 X-O X 6.49. Határozza meg - amennyiben létezik - 2a f függvény határértékét x ^ a esetén! Ha létezik az A véges határérték, akkor határozza meg, hogy az x = a hely milyen ö sugarú környezetében közelítik meg a függvényvértékek a határértéket e-nál kisebb hibával: 2 x / W = ; r v : — > a = 0, e =10 2 x^ + X ’ x^ + 5x + e a = —3, £=10 b)f {x ) = x^-9 6.50. Határozza meg - amennyiben létezik - az f függvény határértékét x->oo esetén. Ha létezik az A véges határérték, akkor határozzon meg adott e > 0-hoz olyan ct)(e) értéket, amelyre |/(x ) - ^4 i < e, hacsak x > &»(e): a) f ( x ) = ^ ^ , 2 -3 x b ) f ( x ) = 3 -^

e = 10-^e=10

6.51. Állapítsa meg, hogy az alábbi racionáHs törtfüggvények szakadási helyein milyen jellegű szakadás van; x^-\ X a)f(x) = b) Xx) = x^-x- 2 2 x^ + x ’ 6.52. Vizsgálja meg, hol nem folytonosak az alábbi függvények, és állapítsa meg, hogy ezeken a helyeken milyen jellegű szakadásuk van: " x^-9 ha x^O, ± 3; x^-9x' 1 ha -3 ; “ 3’ ha x = 0 ; 0, ha x=3. 1,

- 2,

ha

x^O;

ha

x =0 .

ha

x#0;

ha

x = 0. 67

Határozza meg az alábbi függvények jobb, illetve bal oldali határértékét az adott a helyen: Ix —3| 6 .5 3 ./(x ) = ----- a=3. x -3 l/x + 4 - 2 6 .5 4 ./(x ) = ^^----- ;---- , X

a = 0.

6 .5 5 ./ ( x ) =

a = 0.

^ . x^- X

2, 6 .5 6 ./ ( x ) = ^ 0, - 2, 1, 6 .5 7 ./(x ) = ^ 7, 1,

6 .5 8 ./(x) = ^

ha ha ha

x ^ - 1; -K x < 5 ; 5^x.

ha ha ha

S in1 -,

x < 0; x = 0; x > 0.

K ha

X

x>0.

ö = 0.

« = 0-

a = 0.

6 .5 9 ./(x ) = A rc tg -, X x + 1

6.60.f(x) = 2 ^ - \

a=l.

Határozza meg az alábbi határértékeket: 6.61..lim *-0 6.62. lim

x^ —5x^ + 7x+ 1 ^..----- ---- -. 2 x ^ -9 x -5 xe (eh x) |/x + 4

1\ 6.63. lim ( X In — a:—00 \ Xj

68

a = 5.

6.64. lim In^

\xj

6.65. lim 00

—

e" 6 .66. lim x-6 In (x^) 6.67. lim In^ (x^). X—0 6 .68. lim x^O

sin - . X

Határozza meg az alábbi racionális törtfüggvényeknek az adott a helyen vett — 00

típusú határértékét: x ^ - l x +4 6.69. lim ----- r------ . x-oo 3x^ + 5 2 x ^ -3 x + 2 6.70. hm x-±co -5 x ^ + 2x —1 .. 12x2 + 5x4-1 6.71. hm ------- ;------------- . -V- - 00 — X + 5x — 1

(x+ l)io° + (x + 2)‘®° + (x+3)i°° + ... + ( x + 100)‘°° i “ . ------------------------ .v>»o+10-««-------------------------■ 0 Határozza meg az alábbi racionális törtfüggvényeknek az adott a helyen vett tipusú határértékét: x^ - 4x + 4 6.73. lim -2 x ^ -5 x + 6 ’ x^ + 2x —3 6.74. lim x^ -3 —X +2x + 15 69

, ( l+ x ) ( l + 2x)(l + 3 x ) - l 6.75. h m -------------------------------x-O X x "-l 6.76. lim ------ , x^l X—1

«eN .

x^ —x ^ ~ x + l 6.77. lim ---- r-----------x^i x^ + x - 2 x ‘*'—16 6.78. lim -------- . x^ - 2 X + 2 8 x^ - 1 6.79. lim 1 6 x^ —5x + 1

x ^ -3 2 x ^-3

6.80. lim x-i'i

00

Határozza meg az alábbi irracionális törtfüggvényeknek az adott a helyen vett — típusú határértékét; 6.81. lim a:—- 00 X pc^+ 2 x ^ - 7 x 6.82. lim ]/x^ + 3x^ + 2 4

5

______

\/x^ + 2 -]Í 2 x ^ - l 6.83. lim ------- p = = ----2j/x +3x ]lx‘^ + x^ + ^x^ + 3x^ 6.84. lim ------ j ----- -----------. 0 Határozza meg az alábbi irracionális törtfüggvényeknek az adott a helyen vett típusú határértékét: 70

4

Íx-2

6.85. lim V — • x -1 6 |/ x - 4

4— 6 .86. lim -p= — . l/l+ x ^ - 1 6.87. lim ------------. L'x +13-21/ x +1 6 .88. lim ^ ^ ------ . x-3 x ^ -9 3 ^ x ^ -5 -2 x 6.89. lim . x-3 X + X —12 l/llx + 3 -t'4 x + 1 7 6.90. lim ^ ----x-2 X -5x +6 x^ + x - 2 6.91. lim - - 2 [/x^ + x + 2 —|/x^ + 4x + 8 l'l + 3 x - l/l- 4 x ^ 6.92. lim ^ x-O Ix y.Y-3 6.93. lim -V^-9 p + l x - S 6.94. lim

X-

+X -2

|/x^ + x - l - l / x 3

i/r+ z ^ - 1 6.95. lim -------- r-----. Ix

6.96. lim T---------x-O l/l + x - j / l - x

71

|/x2-3x + 6 - ) / - x ^ + 5 x -2 6.97. lim ^-2 |/-x ^ + 5 x + 3 - ] l - 2 x^ + 9 x - \ ' Határozza meg az alábbi függvényeknek az adott a helyen vett od —oo típusú határértékét: 6.98. lim ( ---------------------------r x^2 \x (x —2) X —3x + 2 6.99. lim x->00 6 .100. lim (l^x^ + x + l - ^ x ^ - x + l ) . X->00 6 .101. lim ( j l x + Í x - p x -

0

j.

6 .102. lim ([/(x + a){x + b) —x).

6.103. lim \ Í x ^ + \ - ^ x ^ - l ) .

A lim ( 1H— 1 = e határérték felhasználásával számítsuk ki a következő határérX->00 y ^) lékeket: /3 x + l\2 ^ -i^ 6.104. lim ------j:—00 \ 3X+ 7/ / 2x - l \ -x-7 6.105. lim ------x->oc y2x+ 3/ 6.106. lim

2 -5 x V- 1 - 5Xy 3;,2_ 2X2x^+20

6.107. lim

3 x ^-5

6.108. lim {x[ln(3x + 4 ) - ln (3 x -2 )]} .

72

6.109. lim

1 rjc4-s , k , l , r , t e Z \{ 0 } , m , s e Z ,

6.110. lim f 1 + jc-Qo \ Ix + mJ

Határozza meg az alábbi határértékeket: 6 .111. lim x(|/x2 + 1-a:). /3 x + llV " 6 .112. hm . *^00 \ + 4 2 x

S.113.

J

* -o o \2x —1/

1^1 + a: sin X - cosx 6.114. lim^^-----------------------. x-o sm 2x

i^ i+ tg 2x - / r ^ 6.115. hm ----------- :-------------x-o sm X X

6.116. hm *-0 |/l+ s in x -|/c o s x + sinx Készítsen ábra vázlatot az alábbi racionális törtfüggvények görbéjéről! (Az adott függvényeket mindig a legtágabb értelmezési tartományban tekintse!) 6.117. xh^

6.118. X

6.119. X

x2 - 3 x +

2‘

1 l-x ^ ' 2 x ^ -x -3 x ^ -x -6 x^ + 3 x ^ - 4 x

73

( x + l) ( x + 3 ) ( x - 2 ) 6 .121. jc t- ------—------—----i x - l ) i x + 2)(x + 3) . Számítsa ki a következő határértékeket Hm----- = 1 felhasználásával: *-0 X sin^ X+ 2 sin a: 6 .122. lim ------------------. x-o X cos X (sin 5x) tg 2x 6.123. l i m *-0 x^ 6.124. lim x^ ctg^ 2x. x^O 6.125. lim x-0

cos X - COS^ X X^ 2 sm • -1 x"^

6.126. lim x-o sm X . sin X A törtkifeiezés bővítése után számítsa ki az alábbi határértékeket lim ----- = 1 x-^O

felhasználásával; 6.127. lim x-0 sm 4x l/l - sin^ 3 x - 1^1 + sin^ 3x 6.128. lim ---------x^ 1 - l/cos 2x 6.129. lim ---- ^-7---- . x-o

3x

1— cos l / ^ 6.130. lim ----------'— x-O X x(/l + tg x - ^1- tgx) 6.131. lim — -------- ---------------x-o sm"^ X

74

X

Határozza meg az alábbi kifejezések határértékét (célszerű 1 — cos 2 x sin X sin X = r----- azonossag és h m ------ = 1 felhasználása): 2 *-0 X

lehet

a

.• cos2x - l 6.132. h m ----- ^------. x-o X sin X 6.133. lim x-O

cos X - 1 X

1— cos 3x 6.134. lim X-O x^ cos x 4x* + x^ 6.135. lim *-0 x(l — cos x) t g x — sinx 6.136. lim x->o x^ cos X 2 sin X 6.137. lim — x-O

-

sin 2x

X^

Határozza meg az alábbi kifejezések határértékét úgy, hogy helyettesítést alkalmaz. majd felhasználja a h m ----- = 1 határértéket: x-O

sin/nx 6.139. lim ------, x^n sm«x

X

m ,neN.

75

7. EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA

Az ebben a fejezetben szereplő függvények mindig a legtágabb értelmezési tartományukban tekinten­ dők.

7.1. Határozza meg az x helyhez tartozó különbségi hányados határértékeként az alábbi függvények x helyhez tartozó differenciálhányadosát: a)f{x ) = '(x-,

b )f {x ) = -

és

x = 2.

Határozza meg az alábbi függvények x szerinti első deriváltját: 7 .2 ./(X) - ^ + f x .

7 .3 ./(x ) = (1- x3)( x2 - 2 x).

2x^ + 3x 7 .4 ./(x ) = — 1 + 2x

, 7 .5 ./(x ) = sin^ x-sin(x^). 7 .6 ./(x ) =

arctg|/x.

7 .7 . /(x ) = xe^'^cos 2x. 1 cos n arsh

7 .9 ./(x ) = e 76

K

7 .1 0 ./(x ) = arctg

x^+l

ln(x + l/x ^-l). In (archj/x). cos^ 2x \ x ^ -l

7 .1 3 ./(x ) = th

/s h 3x\ 7 .1 4 ./(x ) = In - n - . \sin'‘ X / 7 .1 5 . / ( X ) = Arsh(j/x e~^). 7 .1 6 ./(x ) = sin^ (Arccos x). 7 .1 7 . / ( X )

=

n cos^(x^) -

7 .1 8 ./(x ) = sh^

7 .1 9 ./(x )

7 .2 0 . /( X )

tg

sin 2.

X

sh^x

—sin 371.

l^x^+l sin^(l - x)

71

7 .2 1 ./(x ) = 2COS^ X

4'

7.22. fi x ) = In In^ (x^). 7 .2 3 ./(x ) = cos^ (arctg e^. 7 .2 4 . /( X ) = 10g2

^ch 3x\ \sm "- X / 3

7 .2 5 ./(x) = log2(l/? sh x). 77

sin^ 2 x ^ 7 1 7 .2 6 ./W = — ^ + e ^ t g - . 2* 7.27. f{x) = log2 (x*^) - arctg e*+

l-c h ^ x

Határozza meg az alábbi, paraméteres alakban adott függvények x szerinti első deriváltját: 7.28. x{t) = ctg í; 7.29. x(0 = ^ ;

y{t) = tg^í. jW = ln(e»-nak x szerinti differenciálhánya­ dosát az (xq; >’o) pontban: 7 . 7 1 . x ; ; - / - 3 = 0, 80

^„(4; 3).

7.72.

sin {x + ly) = e‘'+ 1,

n Pq (^0; - j .

7.73. Határozza meg az x = 5 cos t,y = A ú n t egyenletrendszerrel megadott görTí hs íq = - -hez tartozó érintőjének egyenletét! 7.74. Határozza meg az = ]jx—1 egyenletű parabolaág és az x^ + y^ = 5 egyen­ letű kör metszéspontjában a körhöz húzott érintő egyenletét! 7.75. Mekkora szög alatt metszi az y tengelyt az y = |/3 sin x + \nfe görbe? írja fel a metszéspontban a görbéhez húzott érintő egyenletét! 7.76. Határozza meg az x = cos t, y = sin t egyenletrendszerrel megadott n görbe t = - -hez tartozó érintőjének iránytangensét! ís i^ n 7.77 írja fel az j = 4 —2x sin - egyenletű görbe érintőjének egyenletét annak .v= 0 abszcisszájú pontjában! 3 |/jC sin(7r-.v) 7.78. írja fel ?izy = e + 2^ cos^ n egyenletű görbe érintőjének egyen­ letét annak x = 0 abszcisszájú pontjában! 7.79 Határozza meg az j = ^ 2 -ix |.g jg jq egyenletű görbe x = l abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének az egyenletét!

7.80. írja fel az j; = log3 (^Ix + 1 ch^ x) egyenletű görbe normálisának egyenletét annak x = 0 abszcisszájú pontjában! Sh X

71

2 ch^ X

4

7.81. Határozza meg az v = -----+ t g - egyenletű görbe x = 0 abszcisszájú pontjához tartozó normáhsának az egyenletét! 3

X^47.82. írja fel az y = tg^ ~ ~ — I c tg - ln(l —x) egyenletű görbe érintőjének és V V normálisának egyenletét annak x = 0 abszcisszájú pontjában! 2

7.83. Adott az x^ + y^ = 5 egyenletű kör és az j = —x ^ —l egyenletű parabola. Határozza meg a két alakzat metszéspontjait! írja fel a kisebb abszcissza értékű metszésponton átmenő, a kört érintő egyenes egyenletét! 6 Matematikai

feladatok

81

7.84. Adott az y = 2^"‘-4(A rctg |/x+ 1) eh x+cos^ x egyenletű görbe. írja fel az X= 0 abszcissza értékű pontban a görbéhez húzható érintő egyenletét! Párhuzamos-e a kapott érintő az y + 3 = 1—x egyenletű egyenessel? (x-3)2 0 + 1)^ / 1\ 7.85. írja fel a z -----------h ---------= 1 egyenletű ellipszis F 2; - 1 pontjában az 4 3 V 2/ érintő egyenletét! Határozza meg a felírt érintő és az y = - 2x+ 3 egyenes hajlásszö­ gét! 7.86. Határozza meg az y — x —2 egyenletű egyenes és az (x —l)^ + (y+ 1)^ = 8 egyenletű kör hajlásszögét a metszéspontokban! 7.87. írja fel a következő polárkoordinátás alakban megadott görbék adott pont­ beli érintőjének egyenletét; aj r = |/cos l(p,

í>o = 4 ; 71

b ) r = (p,

n =

2

'

7.88. Számítsa ki az alábbi függvények görbéjéhez az adott pontban illeszkedő simuló kör sugarát, görbületét és középpontjának koordinátáit! a ;;; = x ^ - l , IV 2 d)y =x \

Xq= 1 ;

r, xo = 0 ;

b) y=e^, 1 1 e)y= \nx,

Xq = 0; . X o=l;

c) y = ~ , Xq = 2\ X

/ ’Jx = ö C O S ^ í] y = aún^ t \ ’ ' =

7.89. Mutassa meg, hogy az/(x) = |/9x^ —6 x + 2 — arsh (3x—1) függvénynek van szélsőértéke! 7.90. Hol van szélsőértéke és hol lehet inflexiós pontja az alábbi függvényeknek? a) f ( x ) = ln(x^ + x + l) + ^ a r c t g ^ ^ í ^ ; b) /(x ) = ln( —x^ + 2x)+ arcth(x—1) — s in - . Számítsa ki az alábbi határértékeket a L’Hospital-szabály segítségével: 7.91. l i m - ^ . x - 0 Sin 5 x

7.92. lim 82

sin 5 x — sin 3 x

sin X—jc cos X 7.93. lim ------ r^r---- — . x^o Sin X x c o s x — sinx 7.94. lim ----- ------------ . x^o X Sin X xsin(l — x)— cos(l — x) + x 7.95. lim ----------------------------------x-^i 2 sin (1 —x) l/2+ 2th2x-l/2chx 7.96. lim ----------- ;------------- . sh X x ^ o

1/1+ t h 2x - l / l - t h 2x 7.97. lim ---------------------------x-^o sh X 2 ctg 3x 7.98. lim ---- ^ , x-O X 7.99. lim *-0 sm X 7.100. lim , x^o

sh 2x + sin X 2x

,• arctgx 7.101. h m -------x-O X X— sm X 7.102. lim -------------1-X- y l/l +x'sh X — eh 3x 7.103. lim^-------- ^------------x->o sh 2x 7.104. lim

x3(x-3) sin 2x —2 sinx

sm X 7.105. lim x-o Arcsin x

6*

83

7.106. lim n

COS^ X

n 2

■'‘^ 2 X - -

sm X—xé 7.107. lim -0 1 — sin X— cos X sin^ x ^ - sh ( - 2 x) 7.108. lim --------------- ^ ^ x-o ( x - l ) l n ( l + x ) x^-4 7.109. lim --------------- . x-2 , n sm -

7.110. lim x^o

eh 5x — cos X ln (l —x)

7.111. lim x-o

sin 3x - sin X ln (l + x)

1+x^ l-xj 7.112. lim x-o sm X cos X In

1 In e + - ] - l xj 7.113. lim -1 X In 7.114. lim -v^0+

7.115. lim

sm X X

1 In X

X—00 X

In X 7.116. lim x^O* ctg X 84

lóg, l/cos X ----7.117. lim .V--0+ JC^ 7.118. lim X In^ ( 1 + - ). x^cc \ Xj 7.119. lim l/2xctg(x2). v^0+ 7.120. lim x H n x . x -> 0 *

7.121. lim

7.122. lim -e " * . x^-oo X 7.123. lim x^ sin - . JC-»00 X 7.124. lim x -i\x -l

InxJ

-V

7.125. lim r-0+\sm X X/ 1 7.126. lim jc-O \x ^

1

sin^ X

7.127. lim (ctgx)'“ *. 1 / • \ 3c^ ^sin

7.128. lim x^O \ ^ 1 7.129.

JC-l

Vizsgálja meg alábbi függvények menetét: 7.1 3 0 ./(x ) = x^-4x^-^4x. 85

7 .1 3 1 ./ W - (x + I)(j:+ 3 y . 7 .1 3 2 ./ W = (2 - 1 ) |5 + 4 . 7 .1 3 3 ./W -

7.134. 6x 7 .1 3 5 ./(x ) = ^ ^ • 4 —4x 7 .1 3 6 ./ w = x+ 3 7 . 1 3 7 . =

■

( x - l) ^ 7 .1 3 8 ./W - ^ . 1 x‘ - 3 x - I S

7

.

1

4

0

.

■

7.141. x‘ - 3 x - I 0

7 .1 4 3 ./ W = 4jr^+ ;■ 7.144. /(x ) /1 + x 7 .1 4 5 ./(x ) = In 1 ^

7.146. f{x) = In^ X. 7.147. f{x) = x\n{x^). 7.148. f{x) = x^ In (x^). 7.149. fix) = x \ n - . X

7 .1 5 0 ./(x ) = x M n -. X 1 In 7.151. /(x ) = — .

7.152. fix) = 7.153. fix) = ] { ^ \ 7.154. fix) = xé?-^ 1 7.155. fix) = -g -" . 7.156. f i x ) = x^e-". 7.157. f i x ) = xe~^\ _ í 7.158. f i x ) = xe ^

7 .1 5 9 . / ( X )

= y .

7.160. f i x ) = (X + 2K+2 7 .1 6 1 ./(x ) = x^A 7.162. Ossza fel a 4-et két részre úgy, hogy az egyik rész négyzetének és a másik rész köbének összege maximális (minimális) legyen! 87

7.163. Az 1000 cm^ felszínű, felül nyitott hengerek közül a maximális térfogatú­ nak mekkora a sugara? Mekkora a maximális térfogat? 7.164. Határozza meg a 108 dm^ felszínű, felül nyitott négyzetalapú egyenes hasábok közül a maximális térfogatú hasáb méreteit és térfogatát! 7.165. Azok közül a négyzetalapú téglatestek közül, amelyeknek egyik csúcsában összefutó élek összege s, melyiknek lesz legnagyobb a térfogata? Mekkora a maximá­ lis térfogat? 7.166. Határozza meg az adott a alkotójú legnagyobb térfogatú kúp m magassá­ gát és alapkörének r sugarát! 7.167. 4 db 1 m hosszú rúdból négyzetes alapú, egyenes gúla alakú sátorvázat készítünk. Mekkora alapterület esetén lesz a sátor térfogata maximális? 7.168. Egy ablak egy a, b oldalú teljes téglalapból és egy föléje rajzolt félkörből áll; kerülete 4 m. Hogyan válasszuk meg a méreteket, hogy az ablak területe maximá­ lis legyen? 7.169. Az r sugarú körbe írható derékszögű négyszögek közül melyiknek legna­ gyobb a területe? 7.170. Az r= 4 cm sugarú félkörbe az átmérőn fekvő, maximáhs területű trapézt szeretnénk rajzolni. Hogyan kell a trapézt méretezni? 7.171. Határozza meg a 2a alapú, m magasságú egyenlő szárú háromszögbe rajzolható maximális területű téglalap M magasságát! 7.172. Egy téglalap oldalai 5 és 4 egységnyiek. Köréje olyan egyenlő szárú három­ szöget szerkesztünk, amelynek alapja az 5 egységnyi oldalra esik, szárai pedig átmen­ nek a téglalap másik két csúcsán. Mekkora legyen az egyenlő szárú háromszög magassága, hogy területe a legkisebb legyen? Mekkora a minimális terület?

B

88

7.173. Adott egy a átfogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög. A háromszög egyik befogóján jelöljön ki egy tetszőleges P pontot, amelyen keresztül párhuzamos és merőleges egyenest húz az átfogóra. A keletkező trapéz mikor lesz maximális területü? Mekkora ez a maximális terület? Ez a maximális terület hány %-a a háromszög területének? 7.174. Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 18 cm, magassága 40 cm. Szabályos négyoldalú hasábokat írunk bele úgy, hogy a hasáb alaplapja a gúla alaplapján, a hasáb fedőlapjának csúcsai pedig a gúla oldaléléin legyenek. A hasábok közül melyik a legnagyobb térfogatú? 7.175. Határozza meg az adott R sugarú gömbbe beírt maximális térfogatú kúp sugarát és magasságát! 7.176. Egy adott R sugarú körcikkből tölcsért formálunk. Mekkora középponti szög mellett lesz ennek térfogata a legnagyobb? 7.177. Számítsa ki sin 30° = ^értékének felhasználásával sin 31° közelítő értékét, 10“ ^ pontossággal! 7.178. Egy kocka élei 10 cm hosszúak. Mekkora lesz közelítőleg a térfogata, ha éleit 0,2 cm-rel megnöveljük? 7.179. Hány cm-rel kell növelni egy V= 1000 1 térfogatú gömb sugarát, hogy a térfogat közelítőleg 5 literrel növekedjék? 7.180. Egy négyzetalapú hasáb méretei; ű = 0,5 dm, m = 4dm. a kismértékű vál­ toztatása m mekkora megváltozását eredményezi, ha a térfogat állandó marad?

89

8. EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA

Az

F(,ax+b) f{ax + b) dx = -------------l-c[ö, 6 gR ; a¥=0 ] alkalmazásával határozza meg

az alábbi függvények határozatlan integrálját! 8.1. .V

3 ( 1 - x ) 5 + -----+ 2

(3 + x)'3

*

5

8 .2 . X

2^+]/l + 2x+ l { ~ ^

8.3. X

^ fx

|/2x - l

j/í x^ + 5 _ + + T x^ + l x + \ 2 8.4. X i-» ^ 1= + —^ + --------- 1--------+ --------------x^][x |/x x +4

8 .6 . X !-►3 cos X- 2 sin - + -a — - — + 2 |/3 cos^x s in ^ ( l- x ) ' 8.7. X

cos 2x + cos X sin X. sin^ X cos^ X

sh X , X 5 5 8 .8 . X !-►-------h eh -----------;----- 1- ---------- , 2 2 2 ch^ 2x , 3- X sh^----90

8.9. X

1 sh^ X ch^ X

eh 2x

sh^ I x

3 x +1 1 5 8 .10. X I- — + -------------- — + 2x x ^ —l (x + 1) In 2 5 —3x „ 8 .11. X H>

8.12. jc

-

1 2 3 1 = H— .... . + ] / l - 2 x^ ][^+ \ 4 + 4x^ l/2x^ - 2 ■ 1 3|/5 x2 -2 5

'+i |A-

2

2x^+1

9

8.13. X

8.14. X H-

p{Ax^ + Ax + 2)

x^ + 2x + 2 (x + ir

l ^ 3 í/ - x 2 + x + -A

p x ^ + ( ) x -^

1 5 + x^ + x + l 4 x -x ^ -3

Adja meg az alábbi függvények primitív függvényeinek halmazát és ellenőrizze a megoldást az összetett függvény differenciálási szabálya segítségével: 8.15. /(x ) = xsinx^. 8.16. /(x ) = - (1 + x) cos (1 + x f . 8.17.

/(X ) =

8 .1 8 . / ( X )

=

4 + 4x cos (x + 2x + 1)

sh^ x^ ’

8.19. fix) = 4xe-^\ 8.20.

/ ( x ) = 2"''*

8 .2 1 . / ( X )

=

cos X.

1 COS^ X

91

8 .22./( x ) = - ,

8.23. f i x ) =

2|/x sin^ f : '

8 .2 4 ./ ( x ) =

x

2

Határozza meg a következő

j f ‘(x)f'(x) dx

integrálokat: 8.25. ^ x ^ ] / ^ 2 d x . 2 (x+1) j/jc^+ 2jc-3 +

8.26.

e~^dx.

8.27. 8.28.

r

4x

dx.

8.29.

8.30.

dx.

r c h 2jc í/x. sh"^ 2x

8.31.

8.32.

8.33.

(Arctgx)^ í/x. 1 + x^

2x^-1 o2 x

8.34. 92

dx.

ííx.

(a # —1)

és

•rw dx típusú . /(^ )

8.35.

sin 2x dx. 1 + sin^ X

8.36. í 2 tg 3x dx. 8.37.

- cth 2x dx. 2

8.38.

—1) arcth x 1

8.39.

8.40.

8.41.

8.42.

8.43.

dx.

dx.

th (l-jc ) X ctg

dx.

dx.

X cos x^

|/sin x^

dx.

sin 2x

-dx. ]j\ + sin^ X

8.44. f X® tg X®dx. 8.45. J sin^ X dx. 8.46.

eh® - dx. 2

8.47. j sin^ X cos^ X dx. 8.48.

fch'^x -rr-d^sh®x

93

Parciális integrálással számítsa ki a következő integrálokat: 8.49. J 2 x^ sin 2x dx. 8.50. J(2x+1)s1ia:í/x. 8.51. Í(x " -l)e * í/x . 8.52. J 8.53.

sin xííx:. 3^"' cos - dx. 2

8.54. J X e* cos X dx. 8.55. J 4 COS^ A' dx. X

8.56.

- In^ X dx. 2

8.57.

In X dx. X

8.58. j Arccos x dx. 8.59. J 2x Arctg x dx. 8.60.

'/ I - —x^ ) arth X dx.

8.61. f 2x^ sin (x^) dx. 8.62.

x^ Arctg - dx. X

8.63. f 2M l+x)^í/x. 8.64.

X

:dx.

8.65. j sin In x dx.

94

8 .66. Jch X cos I x dx. 8.67. J Arcsin x dx. 8 .68. í Ix^e-^^ dx. 8.69. J x^ cos^ X dx. 8.70. J (l-x )sh 2 jc í/x .

Új függvény bevezetésével határozza meg a következő integrálokat:

8.71.

ifc

dx.

l-x fc ^thx+ 1 8.72.

8.73

8.74.

ch^x

dx.

^(i+ ]fxy ' sin

+1

^x+l

dx.

dx.

8.75. J cos ^2 x — 1 dx. 3

8.76. j sin fx dx. 8.77. J eh ^2 —x dx. 8.78. í 8.79.

8.80.

l / T ^ dx. x+l

1

dx.

+ — dx. x^ 95

X

8.81.

dx.

^x + 2 dx.

8.82. f

1

8.83.

dx.

\ + ][x 8.84. J sin ]jx dx. A racionális törtfüggvények integrálására vonatkozó módszerek alkalmazásával számítsa ki a következő integrálokat: 8.85.

8 .86 .

8.87.

8.88.

8.89.

8.90.

8.91.

8.92.

8.93. 96

2x~\ /

X

+

(l-3 x )2

—2x + 5

2x-3

x^ + 2x + 5

( x + l ) ( x + 2) ( x + 3 )

1 dx. x^ + x

l+ x ^ 3x-3x^

dx.

dx.

2 ( x + l ) ( x ^ + l) 12X+18

x^ + x ^ - l x

x^ - 2x + 2 ,

+ ^ ---------- 1dx.

2x

x^ + 2 x - 3

1

2x + 5

x^-2x + 2

6x - 2

4 x ^ -4 x + l

X- 1 ---------- +

+

1-

+

dx.

dx.

dx.

dx.

dx.

4x + 2 (jc^ - 2jc + 1) (x^ + 2x + 3)

8.94.

8.95.

'x^ + 2 x ^ - 5 x + l -------- ;-----------dx. x^ + 4

8.96.

’jc ^ - 10jc^ + 24jc^ jc^-lO x + 25 3x^ + 4x + 3

8.97.

( x - l) ^ ( x ^ + 2 x + 2 )

8.98.

dx.

x^(x+l) x +2 2 dx. (x + l) ( x ^ + 6 x + l 2 ) 8

8.99.

8 .100 . — :---------dx. 2 x^ + x - l 8 .101 .

■

x 2 x -X 2

1

8 .102.

'x^ + x^ + x + l dx. 3x^ + x - 2

8.103.

Cx^ + x^ 2 . dx. x^-4

8.104.

' 2 x ^ + llx + 1 6 dx. + 4x^ + 8x

8.105.

'x^+ lOx+18 dx. x^ + 6 x^ + 9x

8.106.

x^ + x^ + 2x + 3 dx. x^ + 5x^ + 6

8.107.

fx^ + 5x2 + 4x + 8 ■ 1— — —dx. J x^ + Ax^

7 Matematikai feladatok

97

8.108.

8.109.

' - x ^ + 3x^ + 5x^ + 6 dx. + 3x^ ^ = COS - , 8 . 1 9 1 . / = 9 - jc, 10

^x + 4 8.193. j = In X,

[0;8]. ,

[0;5]. [1 ;4

8.194. y = sin

8.195. y = tg X,

8.196. y = arthx, 8.197. y = sin^ x,

[0; n].

8.198. Határozza meg az j —7x+ 12 egyenletű görbe és a koordinátatenge­ lyek által bezárt véges terület mérőszámát! 8.199. Határozza meg az Xq értékét úgy, hogy az y - - egyenletű görbe alatti X

terület az [1; e] és az [e; Xq] intervallumban egyenlő legyen egymással! 4 8.200. Számítsa ki az y = — egyenletű hiperbola és az j egyenes által bezárt véges terület nagyságát! 104

13

- x egyenletű

8.201. Mekkora az — + — = 1 és az — + — = 1 egyenletekkel megadott ellipszisek közös részének a területe? 8.202. Az y = ^ egyenlettel megadott görbe alatti terület az [1; b] intervallumban 1

- . Számítsa ki b értékét! 2 8.203. Határozza meg annak a véges területnek a mérőszámát, amelyet az y tengely, az y = fx egyenletű görbe, valamint a görbének az Xq = 4 abszcisszájú pontjához húzható érintője zárnak be! 8.204. Számítsa ki annak a véges területnek a mérőszámát, amelyet az x + y = 1 Q&afx+][y = 1 egyenletekkel megadott függvények grafikonjai zárnak közre! 8.205. Számitsa ki az y = x^, az y = ^ x ^ és az y==3x egyenletekkel megadott görbék által határolt véges síkrész területét! 8.206. Számitsa ki az alábbi egyenletekkel megadott görbék által bezárt véges tartományok területét: aj y = x^ + 2 x —4

és az

y = —-x^ +2 x +2 ;

b j y = —x^ + 2 x + l cj y — ±)/x + 4

és az és az

y = x —1 ; y = ±|/4 —x!

8.207. Milyen arányban osztja ketté az egyenletű kör területét?

= 2x egyenletű parabola az

= 8

8.208. Számítsa ki az x —l = r cos í,

j = 2 + r sin í

paraméteres egyenletrendszerrel megadott kör területét! 8.209. Számítsa ki a közönséges ciklois egy ive alatti terület mérőszámát, ha annak paraméteres egyenletrendszere x = 2(í- s in í),

y = 2(1-c o s 0 ,

0 ^ í ^ 2.

8.210. Számítsa ki az X = a(sh t —t),

y = a(ch t —t) 105

paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbe alatti területet a O ^ í ^ l interval­ lumban! 8.211. Számítsa ki az X = 2 cos í - c o s 2í,

j = 2 sin í - s i n 2?

paraméteres egyenletrendszerrel megadott kardioid területét, ha 0 ^ í ^ 27t . 8.212. Mekkora az X = cos t, y = sin 2 t paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbe alatti terület mérőszáma a 0 ^ í ^ - intervallumban? 8.213. Határozza meg az X = cos t, y =

sin^ t 2 + sin t

paraméteres egyenletrendszerű görbével körülhatárolt területet! Számitsa ki a következő egyenletekkel megadott görbék Ívhosszát a megadott intervallumban: 4 -

[0;4],

8.214.

=

8.215.

= In cos X,

^ . 2 ^Q .y = f:,

71

“ ^4

[1; 2],

8.217. 7 = In ( l-x ^ ),

r

x^

8.219. j = In X,

[l;e].

r 1 -x

106

2 ’

% n 3 ’2

8.221. y = 1 —In sin X,

8.222. J; = - x ^

[0; 1], 1 r 6 ’3

8.223. y = Í { 2 + 2 x f , 2

8.224. Számítsa ki az

2

2

+

egyenletű asztrois teljes ívhosszát!

Számítsa ki a következő paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbék ívhosz? szát az adott intervallumban: 8.225. x = 2 t , y = 3í^

0^ í^ ^.

8.226.

8.229. X = r(cos t + t sin t),

y — r(sin t —t cos t),

8.230. X = é sin t, y = é co^ t, í

0^ íá

M

8.231 . X = a[ cos í + In tg - , y = a sin í, \ 2J 8.232. X = ch^/,>' = sb^/,

n

. 7T

~^ t^ 2

5n _ 6

.

O ^ í^ l.

8.233. X = í - t h O ^ í ^ l . eh t 8.234. X = a(ch t ~ t ) , y = a(ch t+t), 8.235. X = í —sh í eh í, j = 2 eh í,

O ^/^l.

O ^ í^ l. 107

8.236. jc = ^ ch^ í,

= sh t,

1.

8.237. X = {t^ —2) sin í + 2/cos t, y = (2 —í^)cos t + 2t sin t,

O ^t^n.

8.238. Mekkora az j —1 és az x tengely közötti tartomány x tengely körüli megforgatásakor keletkező forgástest térfogata? 2

2

2

8.239. Mekkora az x^+y^ = forgástest térfogata?

egyenletű asztrois megforgatásával keletkező

8.240. Forgassa meg az x tengely körül az 5y = x ^ -4 x + 9 és az 5y = - x^ + 6x + 1 egyenletű parabolák által közrezárt véges tartományt! Mekkora a keletkezett forgástest térfogata? Forgassa meg az alább felsorolt görbeíveket az x tengely körül, és számítsa ki a keletkezett forgástestek térfogatát: n n 2 ’2 8.242. >^ = eh

[-1 ;1 ].

X,

I 8.243. y ~ ^

, í*^’ ^]-

8.244. y = 2xe^, 8.245.

j =

[0; 1],

In X,

8 .2 4 6 ./ - x ^ = I,

[0;3],

8.247. y = x l n X,

[l;e]

8.248. y = ]/2x+l,

[0; 13],

4

8.249. y = xj/r+x^,

108

[0; 1].

8.251.;; = ^------- , Í2 x - \

[0; 1],

8.252. y =

[0 ; 1].

,

8.253. y = e ^ |/sin x, 8.254. >» = tg 2x, 8.255. y =

eh x,

[0 ; n]. n

[0; In 2].

Forgassa meg a felsorolt görbeíveket az y tengely körül! Számítsa ki az így keletke­ zett forgástestek térfogatát:

8.256. ][i+][y = l, 8.257. y =

8.258. y =

2 l + 2x ^ ’ 1

l^yú4. l^yú 2 .

l^y S 2 .

8.263. Forgassa meg az y tengely körül az y =

1 az 3; = - x ^ egyenletű parabolák

és az >•= 4 egyenletű egyenes által közrezárt véges tartományt! Mekkora a keletkezett forgástest térfogata? 8.264. Tekintse a z y = e^, y=e~^ és az x = 1 egyenletű görbék által határolt véges tartományt! Forgassa meg ezt a tartományt az x tengely, illetve az y tengely körül! Számítsa ki a keletkezett két forgástest térfogatát! 109

8.265. Az y = ±|/x egyenletű görbe és az x + j = 2 egyenletű egyenes közötti véges tartományt megforgatjuk az x tengely, illetve az y tengely körül. Számítsa ki a keletkezett két forgástest térfogatát! 8.266. Tekintse az y = 4 — és az y = 9 —x^ egyenlettel megadott függvények görbéi közötti sikrészt az első síknegyedben! Forgassa meg ezt előbb az x, majd az tengely körül! A keletkezett forgástestek közül melyiknek nagyobb, és mennyivel a térfogata? 8.267. A z y = x^ egyenletű görbe O ^ x ^ a intervallumba eső darabját megforgat­ juk az X, illetve az y tengely körül. Az a mely értéke mellett lesz az így keletkezett két forgástest térfogata egyenlő? Forgassa meg a következő paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbéket az Xtengely körül, és számítsa ki a keletkezett forgástestek térfogatát az adott intervallu­ mon: 8.268. X = eh í, y = sh í, 8.269. X = cos í, j = sin 2í,

l^ /^ 4 . 0^ í^

8.270. X = sin t, y = t,

0^ t^

8.271. x = í^ J = 2/^

l^ /^ 2 .

n

.

n

8.272. Forgassa meg az X = r(cos / + / sin t), y = r(sin t —t cos t) paraméteres egyenletrendszerrel megadott függvény grafikonját az y tengely körül! Számítsa ki a keletkezett forgástest térfogatát, ha 0 ^ / ^ ^ ! 8.273. Számítsa ki az x = a cos t, y = b s\n t paraméteres egyenletrendszerrel megadott ellipszis megforgatásából nyert forgási ellipszoid térfogatát! 8.274. Forgassa meg az x = t —ú n t , y = 1- cos í paraméteres egyenletrendszer­ rel megadott ciklois intervallumba eső ívét mindkét tengely körül! Számítsa ki a keletkező forgástestek térfogatát! *____ 8.275. Tekintse az x = í; y — ± ^9 — egyenletrendszerrel megadott zárt görbét! Forgassa meg az x tengely körül, és számítsa ki a keletkezett forgástest térfogatát!

110

Forgassa meg az alábbi görbék megadott darabját az x tengely körül, és számítsa ki a keletkező forgástestek palástjának a felszínét: 8.276. j = eh X, 8.277. j = ^Jc^

-l^ x ^ l. O ^ x ^ l.

8 .2 7 8 .7 = 1^ ^ ,

-3 ^ x ^ 3 .

8.279. y = p - 2 x ,

0^x^2.

8.280. y = sinx,

8.282.

O^x^n.

= 1,

B.283. y = ] f 2 ^ ,

2^x^3.

8.284. Mekkora azx^ + {y-2)^ = 1 egyenletű kör jc tengely körüli megforgatásával nyert tórusz felszíne? 2

2

2

8.285. Mekkora az egyenletű asztrois x tengely körüli megforgatásakor keletkezett forgástest felszíne? x^ y^ 8.286. Számítsa ki az — + — = 1 egyenletű ellipszis x tengely körüli megforgatásával nyert ellipszoid felszínét! 8.287. Forgassa meg az y^ = 8x egyenletű parabola 0 ^ x ^ 6 intervallumba eső darabját az x tengely körül, illetve az y tengely körül! Számítsa ki a keletkezett forgástestek palástjának a területét! Forgassa meg az alábbi paraméteres egyenletrendszerrel felírt görbék megadott darabját az x tengely körül, és számítsa ki a keletkezett forgástestek palástjának a területét:

8.288. x = t ^ , y = t , Ili

8.289. X ^ a cos^ t, y = a sin^ t,

8.290. X = é cos t, y = é sin t,

0 ^ í ^ ^.

0^ í^

t 8.291. X = cos í + ln t g - , y = sin í,

.

n - ^ t ^ n.

8.292. Mutassa meg, hogy az x = r cos í, j; = r sin í paraméteres egyenletrend­ szerrel megadott kör megforgatásából nyert gömb felszíne \r^n. 8.293. Forgassa meg az jc = ű (í-sin t), y = ű(1-cos t) paraméteres egyenlet­ rendszerű ciklois O ^ t ^ n intervallumba eső ívét az y tengely körül! Mekkora a keletkezett forgástest palástjának a területe? Határozza meg az alábbi homogén tömegeloszlású és egységnyi felületi sűrűségű síklemezeknek a) az X és az j tengelyre vonatkozó elsőrendű (statikai) nyomatékát; b) a. súlypontjának koordinátáit; cj az X és az y tengelyre, valamint az origóra vonatkozó másodrendű nyomatékát: 8.294. Az y = x^ egyenletű parabola és az x tengely közötti tartomány, ha 0^ x ^ 2. 8.295. Az y = fx egyenletű parabola és az x tengely közötti tartomány, ha 0^x^4. 8.296. Az y = 4 —x^ egyenletű parabola és az x tengely közötti sikrész. x^ y^ 8.297. Az — + — = 1 egyenletű ellipszis x tengely feletti ive és az x tengely közötti síkrész. 8.298. A z y = \n x egyenletű görbe és az x tengely közötti tartomány, ha 1^ x ^ e . 8.299. P\2 .y = sh Xegyenletű görbe és az X tengely közötti tartomány, ha O ^ x ^ l. 8.300. Az

112

= cos x függvény és az x tengely közötti síkrész, ha 0 ^ x ^ ^ .

Határozza meg az alábbi síklemezek súlypontját: 8.301. Az

X

= r cos í, j = r sin t paraméteres egyenletrendszerrel megadott

körcikk, ha 0 ^ ^ 8.302. Az X = a (/-s in i), y = a(l - cos t) paraméteres egyenletrendszerrel meg­ adott ciklois íve és az jc tengely közötti véges síkrész, ha 0 ^ í ^ 2;t. 8.303. Számítsa ki az x^ + (j + 1)^ = 4 egyenletű kör x tengely feletti része súly­ pontjának a koordinátáit! Határozza meg a következő egyenletekkel megadott homogén tömegeloszlású és egységnyi vonalmenti sűrűségű görbéknek a) az X és az j; tengelyre vonatkozó elsőrendű (statikai) nyomatékát; b) a súlypontjának a koordinátáit; c) a z x é s a z y tengelyre, valamint az origóra vonatkozó másodrendű nyomatékát: 8.304. x^ + y2 = ^2^ 8.305. 7 = 2 eh í ,

[0;r], [0;2],

3

8.306. J = x^ 2

8.307. x^ + /

[1;2].

2

2

=

[0 ;4 3n n^ t^ ~ .

8.308. X = a cos^í, y = a sin^í,

8.309. X = 3 (/-sin t), y = 3(1 - cos t), 8.310. X = 4 cos /, 3; = 4 sin í,

0

^ t^

Határozza meg az alábbi egyenletekkel megadott görbék x tengely körüli megforgatásával keletkező homogén tömegeloszlású és egységnyi sűrűségű forgástesteknek a) az (y;z) síkra vonatkozó elsőrendű (statikai) nyomatékát; bj a súlypontját; cj az X tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékát:

8.311. j = eh X, 8.312.

= 2

O^AT^l.

—x

8.313. j = x^,

-l^ jc ^ O .

8 .3 1 4 ./_ ^ 2 = i

o^ x ^ 3 .

8.315. j = 1 / 5 ^ ,

OSx^l.

v2 8.316. ^ + y = 1’ 8.317. x = d j = 2/^

- 4 ^ a:^4. Oá/^1.

8.318. X = 2 cos /, j = sin /,

0^ í ^ ^ .

8.319. X = a (í-s in t), y = a ( l- c o s /), 8.320. Forgassa meg az y = x^ egyenletű görbe 1 intervallumba eső darab­ ját az X, illetve az y tengely körül! Számítsa ki a keletkezett homogén tömegeloszlású és egységnyi sűrűségű forgástestek a ) elsőrendű (statikai) nyomatékát; b) súlypontját; c) másodrendű nyomatékáti 8.321. Forgassa meg az x ~ t, y = - paraméteres egyenletrendszerrel megadott görbe 1 intervallumba eső darabját az y tengely körül! Számítsa ki a keletke­ zett homogén tömegeloszlású és egységnyi sűrűségű forgástestnek a) az (x; z) síkra vonatkozó statikai nyomatékát; b) & súlypontját; c) az y tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékát! Határozza meg az alábbi görbék x tengely körüli megforgatásával keletkező homo­ gén tömegeloszlású és egységnyi sűrűségű forgásfelületnek a) az (y;z) síkra vonatkozó elsőrendű statikai nyomatékát; bj a súlypontjának a koordinátáit; cj az X tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékát: 8.322. y = l, 114

l^ x ^ 4 .

B.323.y = x,

O ^x^l.

8.324. y = ifx , 8.325.

0 ^ jc ^ 3 .

= 1,

8.326. X = a sin^ t,

y — a cos^ t,

8.327. x = 3cost,

>^ = 3 sin/,

8.328. X = / - s in /,

0^

^

.

O ^t^n.

= 1 - cos /,

Határozza meg az alábbi görbék y tengely körüli megforgatásával keletkező homo­ gén tömegeloszlású és egységnyi sűrűségű forgásfelületeknek a) az (x; z) síkra vonatkozó elsőrendű (statikai) nyomatékét; b) a súlypontját; c) az y tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékát: 8.329. j =

0^jc^2.

8.330. X = ű cos^ t,

y = a sin^ t,

0 ^ t ^ ~.

8.331. Számítsa ki a következő improprius integrálokat: -2

I ~^dx;

a)

d)

1

b)

1

— 00

GO

00

xfí+ x

:dx;

g) ^4xe-^^dx;

c) 1

e)

x^-5x +6

h) j In x,dx;

dx;

x^ + 4x + 5

dx;

f)

i)

dx\

1

dx;

0

j)

8*

— dx; -•'21/ ^

k)

dx;

l)

x^

115

m) J

In X dx\

3x

n)

dx;

1 dx. x^-2x-3

o)

0

cos X dx integrált a [0; tt] intervallum 6 egyenlő részre 2 n —x

8.332. Számítsa ki az

osztása esetén a) SL trapézformula felhasználásával; b) a. Simpson-formula felhasználásával! 8.333. Számítsa ki az J e

dx integrált

0

a) a [0; 1] intervallum 10 egyenlő részre való felosztása esetén, a trapézformula felhasználásával; b) a [0; 1] intervallum 10 egyenlő részre való felosztása esetén, a Simpson-formula felhasználásával; c) ha az integrálandó függvényt a Maclaurin-sorának tizedfokú polinomjával helyettesítjük! d) Becsülje meg az elkövetett hibát! 8.334. A Simpson-formulával számítsa ki közelítőleg az alábbi táblázattal meg­ adott függvény grafikonjának az x tengely körüli megforgatásával keletkezett test térfogatát: X

y

0

2

4

6

8

10

12

2

6

7

7

3

4

5

8.335. A Simpson-formulával számítsa ki közelítőleg annak a szabásmintának a területét, amelynek a szélessége az elején 10 cm, majd 5 cm-enként mérve a szélességet 12; 20; 18; 16; 20; 16; 25; 28; 31; 34 cm! 8.336. Simpson-formulával számítsa ki közelítőleg annak a forgásszimmetrikus gépalkatrésznek a térfogatát, amelynek az egyik, szélső átmérője 10 cm, majd 4 cm-enként mérve az átmérőket, 14; 18; 20; 22; 18; 16 cm-t kapunk! 8.337. Egy 80 mm hosszú, homogén anyagból készült forgásszimmetrikus gépal­ katrész átmérője 20 mm-enként mérve: í/o = 62mm; í/i = 64mm; í/ 2 = 62mm; ;+l). 10.346. 2 / ' - 4 / - l = 2 sh^x + x. 10.347. y" - 4;;' + 4;; + X- 2e^ eh x = 0. 10.348. y" + y ' - 2 0 y = xe~^\

155

10.349. y" + 2 y ' - 3 y = 16xe~^\ 10.350. 10.351.

= (2x+3)e^. 8 / + löj' = 1

10.352. y" + 4y = sin^x + 4x+

X

X^^

10.354. y " - 4 y ' + 5y = sin - + cos 2 2

10.355. 4y "- 1 6 /+ 17j; = 10e^* + 20 cos ^ +34x. 10.356. y" + y ' - l 2 y =

cos x.

10.357. / ' - y ' - 2 y = e^^(l + sin x). 10.358. y" + 2y' + y = 2 x sin x. 10.359. y " - 3 y' + 2 y = xe^sin x. 10.360. Egy csillapítatlan rezgőmozgást végző m tömegű pontra periodikus erőha­ tást gyakorolunk; ekkor a pont kényszerrezgést végez. Ha a gerjesztő erő F = Fq sin (Ogt, akkor a mozgást leíró differenciálegyenlet —^ dr

+ coy(t) = — sm 0 ) t, m

ahol (üg> 0 a gerjesztő erő frekvenciája. Határozza meg a mozgást leíró y(t) függvényt, ha y(0) = 0, j(0) = Vq. A 10.361.-10.375. feladatokban az adott partikuláris megoldást felhasználva számítsa ki a differenciálegyenlet általános megoldását! 10.361. (1 + x^)y"- 2 xy' + 2y = 0; y^ = x. 10.362. 3 x Y + x / - y ^ 0',y, = x. 156

10.363. (l + x^)y" + x y ' - y = 0; j i = x. 10.364. x ^y"- 2xy ' + 2y = 0 ; y i = x^. 10.365. x ^ y " - x y ' - 3 y = 0;

=

10.366. x \ x + l)y"-2y = 0;

= 1 + -. X

10.367. {e^+l)y"-2y'-e^y = 0 ; y i ^ e ^ - \ . 10.368. xy" + 2 y ' - x y = 0 ; y , = ~ . X

10.369. / ' + (tg x - 2 ctg x ) / + (2 ctg^x)y = 0; 10.370.

tg x + 2 j = 0;

= sin x.

= sin x.

10.371. xy”- y ' + 4x^y = 0; yi = cos x^. 10.372. / ' sin^

= 0;

= ctg X.

10.373. ( l - x ^ ) / ' - x / = 0; yi = Arcsin x. 1 10.374. x / ' + 2 / + xy = 0; y, = - sin x. X

10.375. y" + 4 x / + (4x^ + 2)y = 0; y^ = e~^\ 10.376. / ' + j =

tg X.

10.377. y " - 2 y ' + y =

v'>2 • (1-x)

1 0 . 3 7 8 . 4 / + 4j; =

^ ]!\-x^'

-

2x

10.379. y" -4 y' + 3y =

10.380. / ' + 2 / + 5y =

e^+\ ■ 1

e"" cos 2x 157

11. V A L O SZ IN U SE G SZ A M IT A S

11.1. Hányféleképpen helyezkedhet el a sakktáblán a világos-és a sötét király? (Akirályok által elfoglalt mezők sem élben, sem csúcsban nem érintkezhetnek egymás­ sal.) 11.2. Egy társaságban 8 nő és 8 férfi van. Ha mindannyian - különnemű párokat alkotva - táncolnak, hányféle lehet a párok összetétele? 11.3. Állapítsa meg, hogy az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számoknak hány olyan különböző permutációja van, amelyben pontosan három szám a természetes sorrendben követi egymást! 11.4. Egy labdarúgó-mérkőzésen az A csapat 3 : 2-re nyert a B csapat ellen. Állapítsa meg, hogy hányféle lehetett a mérkőzés lefolyása a pillanatnyi állás alakulá­ sa szempontjából! 11.5. Hány különböző útvonalon juthatunk el a sakktáblán a bal felső sarokban lévő mezőről a jobb alsó sarokban lévőre, ha bármely érintett mezőről csak az alatta lévő, vagy pedig a jobb oldalán álló mezőre léphetünk? 11.6. Egy rendezvényen a belépőjegy egyúttal tombolajegy is. A tombolán 3 ajándéktárgyat sorsolnak ki a 300 résztvevő között. Hányféle lehet a húzás eredmé­ nye, ha a) az ajándéktárgyak mind különbözők; b) ha az ajándéktárgyak egyformák? 11.7. Oldja meg az alábbi egyenletet a 0 és 23 közé eső egész számok halmazán:

\x )

\x j

11.8. Számítsa ki a binomiális tétel felhasználásával 101^ értékét! 158

11.9. Keravili-vásár alkalmával 4 (nem feltétlenül különböző) alkatrészt tartalma­ zó csomagokat árusítanak. Az alkatrészek lehetnek: villásdugó, kapcsoló, elosztó, kábel. Hány olyan különböző összeállítású csomag lehetséges, amelyben van kap­ csoló? 11.10. Egy 34 fős szervezet 5-tagú vezetőséget választ: 1 titkárt és 4 vezetőségi tagot. Hányféle kimenetele lehet a választásnak? (A titkárt a vezetőségi tagoktól megkülönböztetjük, de a négy vezetőségi tag között nem teszünk különbséget.) 11.11. Egy 25 méteres szövetvéget maradék keletkezése nélkül 2 m-es és 3 m-es darabokra kell vágnunk. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha a különböző méretű darabok sorrendje is számít? 11.12. Hányféleképpen lehet tíz, egymás után következő egész szám közül ötöt kiválasztani úgy, hogy a kiválasztott számok között pontosan három egymás után következő legyen? (A kiválasztás sorrendjére nem vagyunk tekintettel.) 11.13. Öt szelet tortát rendelünk a cukrászdában; az összeállítást a felszolgálóra bízzuk. A cukrászda készlete: 11 szelet csokoládétorta, 27 szelet citromtorta, 3 szelet puncstorta és 8 szelet dobostorta. Hányféleképpen teljesíthető a rendelés? (Az azonos fajtájú tortaszeleteket nem különböztetjük meg.) 11.14. Állapítsa meg, hogy hány olyan négyjegyű szám van, amelyben az 1-es számjegy pontosan kétszer fordul elő! (A négyjegyű szám első jegye természetesen nem lehet nulla.) 11.15. Egy íróasztalnak négy fiókja van. Az asztal tulajdonosa két nagy- és három kisméretű borítékot dugott a fiókokba. Hányféleképpen helyezkedhet el az öt boríték az íróasztal fiókjaiban? (Az azonos méretű borítékokat nem különböztetjük meg, a fiókokat viszont igen.) 11.16. Az oxigénnek három, a hidrogénnek két stabil izotópja van. Hányféle vízmolekula képződhet ezekből? 11.17. Négy dobókockával dobunk egyszerre. A dobásnak hány olyan különböző kimenetele lehet, amelyben a dobott számok között legalább 2 hatos fordul elő? (Az esetek összeszámlálásakor a dobókockákat különböztesse meg!) 11.18. Négy, egyforma méretű kocka minden lapjára egy-egy számot írtunk. A felírt számok között nincs két egyforma. Hány különböző (2,2) típusú mátrix olvasható le a kockák felső lapjairól, ha a megfelelő alakzatban minden lehetséges módon kirakjuk őket?

159

11.19. Egy terem mennyezetén 5 sorban, 6 oszlopban összesen 30 lámpa van felszerelve. Közülük 4 világít. Nincs olyan, sor, sem olyan oszlop, amelyben egynél több lámpa égne. Hányféleképpen lehetséges ez? 11.20. Bizonyítsa be, hogy az adott ü eseménytér tetszőleges A, B, C eseményei összegének valószínűségére fennáll: P(A + B + Q = P(A) + P(B) + P(C)- P ( A B ) - P ( A Q - P{BQ + P{ABQ. 11.21. Egy nemzetközi találkozónak 48 résztvevője van; közülük mindenki beszél magyarul vagy németül. Harmincan vannak, akik magyarul, ugyancsak harmincan, akik németül tudnak. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két résztvevő tolmács nélkül tud beszélgetni egymással, ha bármely pár kiválasztása egyenlő valószínűségű? 11.22. Egy 50 tagú társaságban 15-en csak magyarul és oroszul, 10-en csak magya­ rul és németül, 10-en csak oroszul és angolul, 10-en csak magyarul, 5-en csak angolul beszélnek. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a társaság két tagja tolmács nélkül tud beszélgetni? (Bármely két tag kiválasztása egyenlő valószínűségű.) 11.23. A 0, 1, 2, 3, 6 számjegyeket véletlenszerűen sorba állítjuk. Számítsa ki a valószínűségét annak, hogy ily módon egy 4-gyel osztható ötjegyű számot kapunk! 11.24. Véletlenszerűen kiválasztunk egy hatjegyű számot (bármelyiket ugyanak­ kora valószínűséggel). A különféle szelvényekre nyomtatott sorszámokhoz hasonló­ an, ez a szám 0-val is kezdődhet, sőt, mind a hat számjegy lehet 0. Számítsa ki annak valószínűségét, hogy a) a. kiválasztott szám számjegyei mind különbözők, b) a. kiválasztott szám számjegyei mind különbözők és növekvő sorrendben kö\ étik egymást, cj a kiválasztott szám számjegyei nemcsökkenő sorrendben követik egymást, dj a kiválasztott számban minden számjegy pontosan kétszer fordul elő, ej a kiválasztott szám első három jegye megegyezik a második hárommal, esetleg más sorrendben! 11.25. Villamoson, autóbuszon az utasok által működtetett jegykezelő gép a jegyen levő kilenc számozott mezőből néhányat - többnyire hármat - kilyukaszt. Ezzel kapcsolatosak a következő kérdések. aj A gépnek hány olyan különböző beállítása lehetséges, amellyel ajegyen három lyuk keletkezik? bJ Mekkora annak a valószínűsége, hogy az öt lyukra beállított gép három, előre megadott mezőt is kilyukaszt? cJ Mekkora annak a valószínűsége, hogy a három lyukra beállított gép a jegynek ugyanazokat a mezőit lyukasztja akkor is, ha a jegyet lapjával fordítva tesszük a gépbe? 160

A b ) és di c) kérdés esetében feltehető, hogy a gépnek bármely megfelelő beállítása egyformán valószínű. 11.26. A 32 lapos magyar kártyából egy játékosnak kiosztanak 4 lapot. Mekkora annak valószínűsége, hogy a 4 lap között pontosan két piros lap és egy ász van? \ 11.27. A 32 lapos magyar kártyából az osztásnál 5 lapot kapunk. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy az 5 lap között mind a négy szín előfordul! 11.28. Három kockával dobunk egyszerre. Számítsa ki annak valószínűségét, hogy legalább egy hatost is dobunk! 11.29. A totószelvény egyik hasábját úgy töltöttük ki, hogy egyik mérkőzésre sem tippeltünk 2-est. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az első 13 mérkőzésből legalább lO-es találatot értünk el ezzel a tipposzloppal, ha egyik csapat sem nyer idegenben? 11.30. Számítsa ki annak valószínűségét, hogy egy lottóhúzás alkalmával kihúzott öt szám között a) nincs páros szám, b) SLpárosak és a páratlanok száma is legalább kettő! 11.31. A lottó tippszelvényen a 90 szám 6 sorban, 15 oszlopban helyezkedik el. Mekkora a valószínűsége egy olyan lottóeredménynek, amelynél a kihúzott öt szám közül három ugyanabban a sorban, három pedig ugyanabban az oszlopban van? 11.32. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy lottóhúzás alkalmával kihúzott öt szám a) mértani, b) számtani sorozatot alkot? 11.33. Valaki minden héten 1 szelvénnyel lottózik. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy év alatt (52 húzás során) egyszer sem nyer? 11.34. Négyen megajándékozzák egymást úgy, hogy mindegyikük hoz valamit, majd a hozott ajándéktárgyakat egymás között kisorsolják. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egyikük sem a saját ajándékát kapja? 11.35. Hat kocsiból álló metrószerelvényen négy olyan utas található, aki meg van hűlve. a) Mennyi annak a valószínűsége, hogy mind a négyen más-más kocsiban utaznak? b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy legfeljebb két kocsiban tartózkodik meg­ hűlt utas?

11.36. Egy 20 fős tanulócsoportból ketten hiányoznak. Számítsa ki annak valószí­ nűségét, hogy a hiányzók a névsorban egymás után következnek! (A hallgatók közül bármelyik kettő ugyanakkora valószínűséggel hiányozhat.) 11.37. Egy raktárban egyforma alapméretű, különböző magasságú (20 cm, ill. 30 cm) kartondobozokból 6 darabot helyezünk egyenként egymásra. Számítsa ki annak valószínűségét, hogy az oszlop magassága nem haladja meg az 1,5 métert, ha minden lépésben egyenlő valószínűséggel választhatunk kisebb vagy nagyobb dobozt! 11.38. Egy raktárban polcokra dobozokat helyezünk el. Egy-egy polcra az egymás fölé rakott dobozok még éppen beférnek, ha együttes magasságuk 1 méter. A dobo­ zok magassága háromféle: 20 cm, 30 cm, és 40 cm. A dobozok egy szállítószalagon érkeznek, mindhárom méretben egyforma valószínűséggel. Mekkora annak a valószí­ nűsége, hogy egymás után érkező dobozokat egymás fölé rakva, azok a polcra éppen beférnek? 11.39. Egy 20 m-es szövetvégből olyan darabokat vágunk le, amelyek hossza 2 vagy 3 m. Ezt addig folytatjuk, míg az egész véget fel nem daraboljuk. Számítsa ki annak valószínűségét, hogy nem keletkezik 1 m-es maradék, ha a 2 és 3 m-es darabo­ kat véletlenszerűen, egyforma valószínűséggel vágjuk le! 11.40. Az üzletben 10 rádió van abból a típusból, amelyikből vásárolni akarunk, de a 10 rádió közül 3 hibás. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kipróbálás során csak a harmadik rádió lesz jó? 11.41. 10 villanykörtéből, amelyek közül kettő rossz, visszatevés nélkül, találomra kiveszünk három darabot. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ezek közül a) az elsőre kivett rossz, a többi jó, b) legfeljebb egy rossz, c) nem mind jó, d) legalább egy jó? 11.42. Darabáru-szállítmányban az áru 20%-a selejt. A szállítmány átvételekor vísszatevéssel 10 elemű mintát vesznek. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a mintában pontosan két selejt lesz, de ezeket nem egymás után húzzák? 11.43. Egy üzemben kétféle technológiával is gyártanak egy bizonyos terméket. A termékek 60%-át olyan technológiával gyártják, amelynél a selejtarány 10%, a másik technológiával gyártott termékeknél a selejtarány 15%. A készáruraktárban, ahol a kétféle technológiával gyártott termékeket nem kezelik külön, vísszatevéssel kiválasztunk egy 10 elemű mintát. Számítsa ki annak valószínűségét, hogy a mintában legfeljebb 1 selejtes termék lesz! 162

11.44. Egy dobozban 14 csavar van. Az első és a második fajtából 5-5, a harmadik fajtából 4 darab. A dobozból 5 csavart találomra kiemelünk. (Bármelyik csavar húzásának ugyanannyi a valószínűsége.) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy az első és a második fajtából is legalább kettő lesz közöttük! 11.45. Darabáru-szállítmányban 40% az I. osztályú, 50% a II. osztályú és 10% a III. osztályú termékek aránya. Számítsa ki annak valószínűségét, hogy egy 10 elemű, visszatevéssel kiválasztott mintában 4 db I. osztályú, 5 db II. osztályú és 1 db III. osztályú termék lesz! 11.46. Egy villamosmegállóban, ahová reggel 7 és 1/2 8 között gyalogosan érke­ zünk, kétféle villamosra szállhatunk fel. Az egyik járat 5, a másik 12 percenként érkezik a megállóba. 7 órakor mindkét villamos jön. Számítsa ki annak valószínűsé­ gét, hogy nem kell 3 percnél tovább várakoznunk a megállóban! (Érkezési időpon­ tunk a megadott intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó.) 11.47. Véletlenszerűen kiválasztunk két, 0 és 1 közé eső valós számot. A kiválasz­ tott számok eloszlása a (0, 1) intervallumon egyenletes. Számítsa ki annak valószínű­ ségét, hogy a) a. kiválasztott összeg kisebb, mint - , b) a kiválasztott számok különbsége nagyobb, mint ^ , c) a kiválasztott számok szorzata kisebb, mint - . 4 11.48. A (0, 1) intervallumban véletlenszerűen kiválasztunk két, különböző pon­ tot. A kiválasztott pontok eloszlása az intervallumon egyenletes. A két pont az intervallumot három szakaszra bontja. Számítsa ki annak valószínűségét, hogy e három szakaszból háromszög alkotható! 11.49. A 32 lapos magyar kártyát négy játékos között egyenlően szétosztjuk. Jelölje A azt az eseményt, hogy egy kiválasztott játékosnak 3 piros lap jutott, B pedig azt, hogy az utána következő játékosnak 3 piros lap jutott. Számítsa ki a P{B\Á) valószínűséget! Fogalmazza meg szavakban, hogy ez minek a valószínűségét jelenti! 11.50. Ismertek a következő valószínűségek:

P{A\B) =

P{B\Á) —

P{A Iő) = - . Számítsa ki a P{A), P{B), P{AB) és P{A + B) valószínűségeket! (Feltesz8

szűk, hogy Pi^A) > 0 és 0 < P{B) < 1.)

11*

163

11.51. Egy termék 50 darabos tételében 15 a selejt. Az adott tételből vissza tevéssel 5 elemű mintát veszünk. Számítsa ki annak valószínűségét, hogy a mintában 3 jó és 2 hibás termék lesz, feltéve, hogy harmadikra jót választunk! 11.52. Egy íróasztal négy fiókjában összesen 3 piros ceruza van. Egy fiókot talá­ lomra kihúzva mennyi annak a valószínűsége, hogy ha benne több piros ceruza is van, akkor mindhárom piros ceruza ebben a fiókban található? (Mindegyik piros ceruza bármelyik fiókban ugyanakkora valószínűséggel lehet.) 11.53. Egy üzemben gyártott darabáru 60%-a első osztályú, 40%-a másodosztá­ lyú. A termék gyári minősítése során 1%-os valószínűséggel első osztályú terméket másodosztályúnak, 5%-os valószínűséggel másodosztályút első osztályúnak minősíte­ nek. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy első osztályúnak minősített termék valóban első osztályú? 11.54. Egy folytonos eloszlású ^ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: 4 -(1 + x),

ha

-l 13.31. Adja meg az Jf"yx + Jf"yy

z kifejezést, ha f{x\y) = e^. 13.32. Bizonyítsa be, hogy = 0, ha /(x ; y) = In 13.33. Adja meg a dx^ kifejezés értékét, ha J{x; y) =

cos ay,

dy^ a e R.

13.34. Bizonyítsa be, hogy ox ha /(x \y) =

-

sin — I- e* cos - . y

X

ay ^

y

X

187

X y 13.35. Mivel egyenlő az xf^+yf' kifejezés, h a /íx ; v) = sin - cos - ? X

13.36. Mivel egyenlő az xC + yf' kifejezés, h a/(x ; v) = sin - ? y

2

13.37. Adja meg a ---- f'^ +

13.38.

kifejezés értékét, ha f{ x ; y ) = y^ In

Számítsa ki az f"x~fyy kifejezés értékét a Pq - ; fin ) pontban, ha

J{x;y) = In sin (x^ + / ) . 13.39.

X

Számítsa ki az f(x; y) = cos - +/*"' ^ kétváltozós függvény vegyes másod-

rendű parciális deriváltjainak értékét a Po(0 ; 1) pontban! 13.40. Mivel egyenlő ^

8 X “ ~ f'xx ' f'yy kifejezés, ha f ( x ; y ) = ]/2xy^ + x y ‘> 3

5

13.41. Adja meg az f(x;y) = | / ^ c h - x függvény tiszta másodrendű parciális deriváltjainak különbségét! 13.42. Mutassa meg, hogy az f ( x ; y ) ^ f ^ ú n h y

függvény megoldása az

1

4' 13.43. Mennyi a z /x ; j) = 4 sín 27t y ---- függvény tiszta másodrendű parciális \ 2/ deriváltjainak aránya? 13.44. Mekkora a értéke, ha az/(x; j) = x^ + axy^ {a e R) függvény megoldása a (p-f d^f ~ H-----r = 0 differenciálegyenletnek? dx^ dy^ d^u 13.45. Adja meg a —— függvényt, ha dydz 13.46. Számítsa ki az m(x - , y , z ) = In (x^ +

188

+

+ z^ + 3 x j z ) .

« (x ; v; z) = |/x^

+

- 2 x z.

függvény értékét a P ( l ; l ; l ) pontban, ha

13.48. Mutassa meg, hogy az f { x \ y , z ) =

^x^+y^ + z^ Laplace-féle differenciálegyenletet, azaz u"^+uyy + u"^ = 0.

függvény kielégíti az ún.

13.47. Adja meg az u'"^^ függvényt, ha u{x\y, z) = 13.49. Határozza meg a következő függvények lokális szélsőértékeit: a ) f ( x ; y ) = x^ + xy + y ^ - 5 x - 4 y + l ; b) f { x \ y ) = 2 + 2x + 4 y - x ^ - y ^ ; c j / ( x ; y ) = 2 x^ + 2 y^ + ( x - i y + ( y - i y ; 1 1 xy d)f(x;y) = - + - + X y 21 e) f { x \ y ) = sin X—cos (x + y) + sin 13.50. Egy téglatest egy pontba összefutó éleinek összege 24 egység. Mekkorák az élek, ha a téglatest térfogata maximális? 13.51. Adott r sugarú és m magasságú egyenes körkúpba írjunk maximális térfo­ gatú téglatestet! Mekkora a téglatest térfogata? 13.52. A 15 egységnyi kerületű háromszögek közül melyiknek legnagyobb a terü­ lete? 13.53. Adja meg a z = |/x^ —2y^ egyenlettel megadott felület Pq(3; 2) helyhez tartozó pontjában aj érintősíkjának egyenletét; bj normálisának paraméteres egyenletrendszerét! 13.54. Adja meg a z = xy egyenlettel megadott felület Po(2; 6 ) helyhez tartozó pontjában aj érintősíkjának egyenletét; bJ normálisának paraméteres egyenletrendszerét! 13.55. Határozza meg a z = cos {x~2y) egyenlettel megadott felület érintősíkjáín n\ nak az egyenletét a P q ~ ^ helyhez tartozó pontjában! V2 A) 13.56. Egy egyenes henger magasságát (4 ± 0,2) méternek, sugarát pedig (2,5 ± 0,1) méternek mérték. Becsülje meg, hogy milyen hibával számítható ki a térfogat! 13.57. Egy háromszög két oldalát (200±2), illetve (300 ±5) centiméternek, a köztük lévő szöget pedig (60 ± 1) foknak mérték. Mekkora abszolút hibával számítha­ tó ki a háromszög harmadik oldala? 189

13.58. Számítsa ki az alábbi integrálokat: i 11 a)](^T

+

b) 0

9 fí^

\

1

d) j l j dy )dx ; 0 \0

'2-2 x

e) j

/

0

2x

i+ y "

-dx dy,

^dy]dx\

c)

/4-x2-y2

dx.

í

2 x - 2

13.59. Határozza meg az aláb b i/(x ;k étv álto zó s függvények integrálját az adott H téglalapon: a ) f { x - y ) = xyb) f { x \ y ) = 2x ^^ 3x y + Ay^-,

/ / = {(x;;

c ) f { x \ y ) = X sin d)f{x-,y) =

1

(x + y + I)^ ’

; i / = {(x; j ) e

)

€

1;

0^ 0^

^ 3};

/ / = |( x ; j ; ) e R ^ |l ^ x ^ 2 ;

0^

^

H = {(x-y)eR^\O Sx^l;

0 ^ j ^ 1}.

11

^ 2};

13.60. Számítsa ki a következő kettős integrálokat az adott sorrendben, majd az integrálás sorrendjének felcserélésével: r? \ a ; í ( J ix^ + y^ ) dx) dy ; o\-f J

í

/]fy

b ) \ ( ^ i y + y )d x ^d y -

d) \ ( l xysin{x^ + y^ydy dx. 13.61. Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvények integrálját az adott A, B, C csúcspontú háromszögtartományon: a) f ( x ; y ) = 3x^ + 2x>'; b ) f ( x ; y ) = x^ + xy; c) f i x ; y) = 2x + 3 j + l ; ^ . d)f(x;y) = X Zy^ e)f(x;y) = ? X f ) f i x - , y ) = sin (x + j); g)fix;y) = h ) f ( x ; y ) = xy^; i)f(x;y) = j) f i x ; y) = cos(x+j;); k) f i x ; y) = j c o s ( x + j ) ;

5(1 ; 0), Bi 2 ; 0 ), B{2; -4 ) ,

C (l;3);

Bi2; 3),

C(3;3);

Ai\;\),

5(2; 3),

C(3;3);

AiO; 0), ^ (0 ; 0), ^(0 ; - 2),

5(0; 3), 5(1; - 2 ), Bi 6 ; 1), 5(3; 1), 5(1; 3), B{2n; n).

C ( - l ; 2); C(2; - 2 ) ; C(3; 1); C(3;4); C(7;3); Cin; n).

Ai-\;Q), ^ (0 ; 0), ^ ( - 1; - 1),

5

190

^ ( - 1; - 1), ^ (0 ; 0),

C(0 ; 1);

13.62. Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvények integrálját az adott A, B, C, D csúcspontú négyszögtartományon: A {- 2;0 ), A{0; 0),

B(4; 0), 5(2; 2),

C(3; 1), C(4; 2),

n ( 0 ; 1); i5(5;0);

c) f{x-,y) = y{\ + x^+y'^) 2; A(0; 0), 2 x d)f{x-,y) = ; A(0; 1), yix^ + y'^) 2 xy e)f{x-,y) = ^ ( - 1; 1),

5(1; 0),

C (l;l),

Z)(0; 1);

5(1 ; 1),

C(e; e).

£>(0 ;e);

B(0; 1),

C(0; 2),

D {-2-2).

a) f { x \ y ) = x + y , b)f{x\y) = f c ^ - ,

13.63. Számítsa ki a következő kétváltozós függvények integrálját azon a véges síkrészen, amelyet az alábbi egyenletekkel megadott egyenesek zárnak közre: a) f { x \ y ) = 3>y^-x\

x = 0,

^

y + x = 2 ,\

b) f { x \ y ) = A x y - 3,y^-, y - 2 x = 2, xy c ) f { x \ y ) = —---- ; y = x,

y - x = 3,

j = 6;

j + x = 2,

x = 0;

.------d) f{x-,y) = p x + y,

y = 2x,

1 j = - -x + 5 .

x = 0,

13.64. Integrálja az alábbi kétváltozós függvényeket az adott egyenes és parabola által bezárt véges tartományon: a) b) d) e) f) g) h)

f{x-,y) = 2 xy\ f { x \ y ) - = x + 2 xy, / ( x ; j ) = x - 2j ; f{x-,y) = x ~ y \ f{x:y)^x-y, f{x\y) = x-Ay\ f { x \ y ) = x + 2 y, f { x - , y ) - = 2 x + 2 y\ J. (x + 2)

y = x -2. y = x +2 . y - 0, y=U y^x, y = 4x+5, y + x = 3, j + x = 0,

/ = x; j = x^; ; ;= 1- x ^ y = 2x^-1; y = 4x-x^; y = (2 x+l)^; y = (x-l)^; y + 2 = x^;

y = x+2 ,

y = x^.

13.65. Határozza meg a következő kétváltozós függvények integrálját az adott parabolák által bezárt véges síkrészen: a) f { x \ y ) = x^ + Ay^\ x = y^, y = x^\ b) f { x \ y ) = x + 2 yco?,x', y + A = x^, y + 2 = - x ^ . 13.66. Számítsa ki kettős integrállal az alábbi egyenletekkel megadott görbék által határolt véges síkrész területét: 191

a) / = 2x; y = x - 4 ; b) y = x ^ - 2 x - l ; y = - x ^ +4x~l; c) xy=5; xy = 7; y = 2x; y = 6 x. 13.67. Számítsa ki a ff (3y^x + 2x^_y)í/rintegrált, ha a véges Ttartomány a z = (T)

X

egyenletű hiperbola és az j = x, x = 5 egyenletű egyenesek által határolt sikrész! 13.68. Számítsa ki a Jf (x+y)dT integrált, ha a véges T tartomány az

= sin 2x

egyenletű görbe és az j = 0, x = 0, x = ^ egyenletű egyenesek által határolt síkrész! 13.69. Számítsa ki a \\ { 2 y + \ ) d T integrált, ha a véges T tartomány az y = 1 + th X egyenletű görbe és az j = 0, jc=0, x = In 2 egyenletű egyenesek által határolt síkrész! 13.70.

Számítsa ki a JJ { x - y ) d T integrált, ha a véges T tartomány az j = cos - x

egyenletű görbe és az j = 0, x = 0, x = tt egyenletű egyenesek által határolt síkrész! 13 7 1 . Határozza meg az alábbi f { x \ y ) kétváltozós függvények integrálját az adott H tartományon: n n sin X ^ ^ cos X^; H = (x ; y ) e R ^ a ) f { x \ y ) 6 - ^ - 4 sin 2x ’ =

-

b)f{x-,y) = T

Sin 2x

c)f{x\y) =

, H =

cos^x

d) f { x \ y ) = 2 j + sin^x,

H =

cos X 2y e)Rx-,y) = ^ ^ f ,

H-

sin X

3 X

(x ; y ) € R ^ - < X < 6“ 4 n (x ;j)e R 2 0 ^ X ^ 4 n 0 ^ X^ 6 (x ;j)e R 2 I O ^ x ^ l ;

sin^ X ^

^ cos^ x^;

sin X ^ j ^ cos x | ; 0 ^ j ^ 1 + s in x i; 1 --^y^é^)-. 2

( x ; j ) g R2 I O ^ x ^ l ;

g) fi.x-,y) = y s i n - + x ,

H = H

h) f(x-, y) = 2 cos X i) f i x ; y) = xy, 192

-

n 2;^, H = (x;>’)eR ^ O ^ x ^ - ;

cos X

’

k) f{x;y) = -. T S n i +(^~ (X !_)

H = {(x; j) eR^ | 2 ^ x ^ 3 ; ( x - 1)^ ^

^ x+ 1}.

rcy 2 - dT integrál, ha a véges T tartományt az j = - ; JJ X X

13.72. Mivel egyenlő a

(T)

X^ j = — egyenletű görbék és az j = 4 egyenletű egyenes határolják? 13.73. Mivel egyenlő a JJ egyenletű görbe és az

dT integrál, ha a véges T tartományt az y = e^

= —ex + 2e;y = 4 egyenletű egyenesek határolják?

13.74. Mivel egyenlő a J"} In x y d T integrál, ha a véges T tartományt az j^ = x (T)

egyenletű parabola ésaz_v = “ X ;y = l;;^ = 2 egyenletű egyenesek határolják? ún^ y dT integrált, ha a véges T tartomány az

13.75. Számítsa ki a

y = Arccos x egyenletű görbe é s a z j = —- , j = - egyenletű egyenesek által határolt síkrész! 13.76. Számítsa ki a jj 2xy^ úi x^y dT integrált, ha a véges T tartomány az X = fíy-, X = |/y egyenletű görbék és az y = 1 egyenletű egyenes által határolt síkrész! 13.77. Számítsa ki a

— dT integrált, ha a véges T tartomány az xj ’+ 2z - 10 = 0 síkkal!

amelyekben

a

görbe

érintője

párhuzamos

az

14.9. Van-e olyan pont az r(0 = (í2 + 2)i + í^j + ( l - 0k térgörbén, amelyben a görbe érintője párhuzamos az x + y + z = 1989 sikkal? 14.10. Hány olyan pont van az r(í) = (sin t —t cos í)i + (cos í + í sin í)j + (í^ + 1) k térgörbén, amelyben a görbéhez húzható érintő párhuzamos az (y, z) koordinátasík­ kal? 14.11. Mekkora szöget zárnak be egymással az r(0 = (í^ + l)i + ( í + l ) 2j + (í-l)3 k térgörbe íj = 0 és 198

1 paraméterértékhez tartozó érintői?

14.12. írja fel az r(í) = (sin í - / c o s í)i + (cos í+ is in í)j + ( í + 1)*^ térgörbe érintőjének az egyenletrendszerét az a)

= 0 és b) ^2 = 2 Paraméterű

pontban! Mekkora szöget zár be ez a két érintő? 14.13. Határozza meg az 1

r(í) = (sin í)i + (cos t)\ H------- k cos t térgörbe to = 0 paraméterű pontjában az érintő, a főnormális és a binormális irányú egységvektort! 14.14. írja fel az r(0 = (í+3)i+ y j + (í2-5)k térgörbe érintőjének, főnormálisának és binormálisának egyenletrendszerét a tg = 1 paraméterű pontban! 14.15. Határozza meg az r(í) = (/3-2í^)i + (3/ + 2)j + (í2-5)k térgörbe érintőjének, főnormálisának és binormálisának egyenletrendszerét a t(,= l paraméterű pontban! 14.16. írja fel az r(0 = (í+ 3)i+ y j + (í2-5)k térgörbe íq = 1 paraméterű pontjában a simuló-, a normál- és a rektifikáló síkjának az egyenletét! 14.17. Határozza meg az r(0 = (í3-2/2)i + (3/ + 2)j + (í^-5)k térgörbe 1 paraméterértékhez tartozó pontjában aj a simulósikjának, bj a normálsikjának, cj a rektifikáló síkjának, egyenletét! 14.18. Számítsa ki az r(0 = 3í2i + (2í+3)j + 3í^k térgörbe görbületét és torzióját annak to = -

1

paraméterű pontjában! 199

14.19. Számítsa ki az r(0 = ( l - 2í^)i + (í2- 2)j+ y k térgörbe görbületét és torzióját annak íq = —\ paraméterű pontjában! 14.20. Számítsa ki az X = A cos t, y = l ú n t , z = 2t térgörbe görbületét és torzióját annak

n ^ ^ Paraméterű pontjaban!

14.21. Számítsa ki az r(t) = (eh í)i + (sh í)j + ík térgörbe görbületét és torzióját annak sú-e a görbe ebben a pontban?

paraméterű pontjában! Jobbcsavarodá-

14.22. Határozza meg az r(í) = (cos^í)i + (sin^Oj + (sin 2í)k térgörbe görbületét és torzióját annak íq = - paraméterű pontjában! 6 14.23. Mutassa meg, hogy az r(0 = (3 sin í)i + (3 cos í)j + 4ík csavarvonal görbülete is, torziója is állandó! 14.24. Mutassa meg, hogy az 1+ í

t

1

görbe síkgörbe! 14.25. Mutassa meg, hogy az r(í) =

{ a i t ^

+

b i t

+

+

^

b

x t ^

c -^ Í

+

+

c

^

\ i

egyenletű görbék, ahol Ui, bi, Ci, i = l, 2, 3 tetszőleges valós számok, síkgörbék! 14.26. Határozza meg, hogy az r(0 = (a eh 0*+ {a sh t)\ + btk görbe tetszőleges pontjában mely a és é értékekre lesz egyenlő a görbület a torzióval!

200

14.27. Számítsa ki az r(0 = (e' cos í)í + (^‘ sin i)\ + e'k egyenlettel megadott térgörbe görbületét és torzióját, továbbá írja fel az érintője és a normálsíkja egyenletét a 1 ^ = 0 pontban! 14.28. Határozza meg az r(0 = (3í2 -2 0 i+ /^j + ( l - / ) k egyenletű térgörbe íq = 2 paraméterű pontjában a) az érintője vektoregyenletét; b) a normálsíkja egyenletét; c) a görbületét; d) a torzióját! 14.29. Határozza meg az r(0 = ( í^ - l) i + (í + 2)j + ( /^ - l) k egyenletű térgörbe = 1 paraméterű pontjában az érintő, a normális, a binormális egyenletrendszerét, a simulósík, a normálsík, a rektifikáló sík egyenletét, a görbületet és a torziót! 14.30. Vizsgálja meg az r(0 = e‘i + e~*l + tk térgörbét annak paraméterű pontjában! (írja fel az érintő, a főnormális, a binormális vektoregyenletét, a simuló-, a normál- és a rektifikáló sík egyenletét, számítsa ki görbületét és torzióját!) 14.31. Számítsa ki az

x = t+3,

t.2 y = ~, 2

’

z = ' ~3~

térgörbe ívhosszát, ha 14.32. Számítsa ki az r(0 = íH + l t ^ + ^t'^k térgörbe ívhosszát, ha - l ^ / ^ 2. 14.33. Számítsa ki az r(0 = (2 cos /)i + (2 sin í)j + 4/k csavarvonal ívhosszát, ha 0 ^ í ^ 2;t.

201

14.34. Számítsa ki az r(í) = (e* cos í)i +

sin í)j +

térgörbe ívhosszát, ha 0 ^ í ^ 3 . 14.35. Számítsa ki az r(/) = [t cos (3 In í)]i + [t sin (3 In í)]j + j/6k térgörbe ívhosszát, ha 0 ^ í ^ 27t. 14.36. Számítsa ki az •■(0 ^ ift cos í)i + {ft sin i)\ + ík térgörbe ívhosszát, ha l ^ í ^ 9 . 14.37. Számítsa ki az cos í . sin t r(0 = —— 1+ — j + ( l - t h í ) k eh í eh í térgörbe ívhosszát, ha a) 0 ^ í ^ l 00; é j O ^ í^ c , ahol c pozitív valós szám! 14.38. írja fel annak a síknak kétparaméteres vektoregyenletét, amely illeszkedik az A{1', 3; 5), ő(4; 5; —6), C(l; 2; 3) pontokra! 14.39. írja fel annak a hengerfelületnek a vektoregyenletét, amelynek vezérgörbéje az (x,y) síkban az x^ + y^ = 4 egyenletű kör, alkotói pedig párhuzamosak a z tengellyel! 14.40. írja fel annak a hengerfelületnek a vektoregyenletét, amelynek vezérgörbéje az (x, y) síkban az x ^ - y ^ = 4 hiperbola, alkotói pedig az a(4; 2; 5) vektorral párhu­ zamosak ! 14.41. írja fel annak a kúpfelületnek a vektoregyenletét, amelynek csúcsa a F(2; - 1; 3) pont, vezérgörbéje az (x, y) síkban az y^ = 4x egyenletű parabola! 14.42. írja fel annak a gyűrűfelületnek (tórusznak) a vektoregyenletét, amely az (x, z) síkban fekvő (x - a)^ + z^ = körnek (a, b pozitív állandók és a > 6) a z tengely körüli forgatásával keletkezik! 14.43. Határozza meg annak a görbének az egyenletét, amely illeszkedik az r(w, v) = (u + 2v)i - v i + (u^ + 3t?)k felületre és eleget tesz az u^ = v feltételnek! 202

14.44. Tekintse az r(u, v) = (4 cos u cos r)i + 4 cos u sin t?)j + (4 sin w)k gömbfelület u = 2t, v = 3t egyenletrendszerrel adott felületi görbéjét! Határozza meg a felületi görbe

= “ paraméterű pontjához tartozó érintőjének egyenletét!

14.45. Határozza meg az r(w, v) =

- 2 v^)\ + {uv^)\ + (u^v - w)k

felület érintősíkjának egyenletét annak Uq = 2 , Vq = - l paraméterű pontjában! 14.46. írja fel az r(u,v) =

+

+

felület érintősíkjának egyenletét annak Uq = 2 , To= 1 paraméterű pontjában! 14.47. írja fel az r(u, v) = (u cos r)i + (u sin p)j + 3rk csavarfelület érintősíkjának egyenletéi annak P (l; |/3; n) pontjában! 14.48. Határozza meg az r(u, v) = (u+ r)i + (u^ + v^)j + (u^ + t;^)k felület érintősíkjának egyenletét annak P(2 ; 2 ; 2) pontjában! 14.49. Számítsa ki az u = x^+y^-3xy skalármező gradiensvektorát a P(2; - 1) pontban! 14.50. Határozza meg a következő skalármezők gradiensterét: a) u =

—2 yz; shx 2 y +z ’ y^ + z^ x^ + y ^'

b) u = e z cos y + x^ + y^ y^ + z^

14.51. Határozza meg az alábbi skalármezők gradiensvektorát a P pontban: x^

y^

z^

203

b ) u = 2 ] f ^ + \n-^,

^ Q ; 2; i )

c)u = é ^ ^ ,

P(2 ; 2 ;l).

14.52. Határozza meg az alábbi skalármezők gradiensvektorát a P pontban: a) u = xy + yz + xz, P (2 ;-3 ;l); b) u = xysix\z + x z \ r \ y + ^ y , c ) u = Ifi, P(3; - 4 ; 1). 14.53. Határozza meg az alábbi skalármezők gradiensterét: a

) u { r ) =

\ t \ - ,

b

c) M(r) = In |r|;

) u

( r ) =

\ r \ ^ ;

d) «(r) = |r|^ +

ir|2 '

14.54. Számítsa ki az u = x^ + 2y^ + 3z^ + xy + 3x —2y—6z skalármező gradiensvektorának hosszát az 0(0; 0; 0) és a P(2; 0; 1) pontban! Melyik pontban nullvektor a gradiensvektor? 14.55. Számítsa ki, hogy mekkora szöget zárnak be az Ml = x^+y^ + z^

és

X

«2 = arcsin------+z X y

skalármezők gradiensvektorai a P(1; 1; 0) pontban! 14.56. Határozza meg az alábbi v vektormezők divergenciáját: aj V = (x+y^ + z^)i + (x^+y + z^)j + (x^+y^ + z)k; b) Y = 3xi + (x-2 y) j + ( z - x ) k ; c j v = e^^i + e^^j + e^^k. 14.57. Határozza meg az alábbi v vektormezők divergenciáját az adott F pontban: aj V = (x^-y^)i + (y^-z^)i + (z^-x^)k; bj y = - i + ^ i + - k , y z x cj V = ( x^+ -

P(2; 1;0);

P ( l;2 ;3 ); x)j + x y z \

P(l; - 1; 2).

14.58. Határozza meg az alábbi v vektormezők divergenciáját: aj Y = ; 204

bj Y = írj r;

c;v=lrpr.

14.59. Forrásmentes-e a V = 0^ + z^)i + (z^ + x^)j + (x^+ y^)k

vektormező? 14.60. Forrásmentes-e a V = (x+y'^-z^)\ + { - x ^ + y + z^)\ + { x ^ - y ^ + z)]i. vektormező? 14.61. Számítsa ki az alábbi vektormezők rotációját: a) V = (x+y^ + z^)i + (x^+y + z^)} + (x^+y^ + z)k; b) y = 3xi + (x-2> ’)j + (z -x )k ; c)\ = + + 14.62. Számítsa ki a következők vektormező rotációját az adott P pontban: a) v = (x^ - y^)i + (y^~ z^)} + (z^ - x^)k, b)y = - i +- j + - k , y

Z

P(2;l;0);

P (l;2 ;3 );

X

£•; V = (x^ + y^)i + 3i4xy^-x)j + x y z %

P(l; - 1; 2).

14-63. Számítsa ki a következő vektormezők rotációját: aj V =

;

6jv=lrir;

c;v=|r|^r.

14.64. Örvénymentes-e a V = f)á-^2y^ + (y^+\)k vektormező? 14.65. örvénymentes-e a V=

+ xzj +

+ 2z)k

vektormező? 14.66. Számítsa ki a V = (3x + 2y)i-{5x + z^)j + (x ^ -y ^) k vektormező divergenciáját és rotációját! 14.67. Számítsa ki a V = x^yzi + xy^zj + xyz^k vektormező divergenciáját és rotációját! 205

1 4 .6 8 . Számítsa ki a /

V=

„, \

/

v -,\

/

1In — i + ( l n y ) j + i n ^ l k V Xj 2

vektormező divergenciáját és rotációját! 14.69. Számítsa ki a V = (sin x^yz)i + (sin xy'^z)} + (sin xyz^)k vektormező divergenciáját és rotációját! 14.70. Számítsa ki a V = (sh^ x)i + (eh xy)j + (In >’z)k vektormező divergenciáját és rotációját annak Tq = 2j - - k helyvektorú pontjában!

14.71. Számítsa ki a v = - ^ vektormező divergenciáját és rotációját az Irr fo = i - 2 j + 3k helyvektorú pontjában! 14.72. Számítsa ki a y

i-2x y ^i + xyzk Arctg X

V = -------

vektormező divergenciáját és rotációját annak Tq = i + 2j + 2k helyvektorú pontjá­ ban! 14.73. Határozza meg a rőt rőt v vektort, ha V =

e”n +e^^i +e^^k.

14.74. Számítsa ki a rőt v és rőt rőt v vektorokat, valamint div rőt v értékét a P (1; 1; 1) pontban, ha V = ( x - 2y)i + xyz j + xz^k. 14.75. Számítsa ki div grad u értékét az Fq = 2j + k helyvektorú pontban, ha u = ye^ + xe^ + yz^. 14.76. Számítsa ki grad div v értékét a F(l; - 1; 1) pontban, ha V = ( x ^ - 2 y z y + (xy^-z^)j + (z^-xyz)k. 14.77. Határozza meg div grad 206

értékét és a rőt grad

vektort!

14.78. Számítsa ki a V =

(3x^ + y^)i +(x^ - y^)i

vektormező vonalmenti integrálját az y = 2 —3x egyenes mentén, ha 0 ^ x ^ 1. 14.79. Tekintse a Y =

------------- I -4- -------------- I

x^ + y^ vektorfüggvényt és az > 4 (-l;0 ), 5(0; 1), C(1;0), D{1; 1) pontokat. Számítsa ki a függvény vonalmenti integrálját, ha az integrálás útja az ' a) AB egyenesszakasz; b) A, B pontok határolta, origó középpontú negyedkörív; c) AC egyenesszakasz; d) A, C pontok által határolt, origó középpontú félkörív; e) BD egyenesszakasz; f ) DC egyenesszakasz; g) x = l , x = —\ , y = \ , y = —1 egyenesek által meghatározott négyzet. 14.80. Számítsa ki a V = yzi + xzj + xyk vektorfüggvény vonalmenti integrálját az r(í) = (2í - l ) i + (í + 2)j + 3ík egyenletű görbe mentén, ha t e [0 ; 1]. 14.81. Számítsa ki a = (j^ —x^)i + 4yz] —x \

V vektorfüggvény vonalmenti integrálját az r(0 = ri + t^j + térgörbe mentén, ha 0 ^ í ^ 1. 14.82. Számítsa ki a

V = (2 xz + y^)i + {2 xy + z^)j + (x^ + 2 yz)k vektorfüggvény vonalmenti integrálját a P(0 ; 0 ; 0) pontból a g(3; - 1; 2) pontba vezető egyenesszakasz mentén! 14.83. Számítsa ki a V = (x + yz)i + {x^ - z^)j + (xy + z)k vektorfüggvény vonalmenti integrálját a P i ( l ; 1; 1) és P 2 (0 ', 3; 5) pontokat összekötő egyenesszakasz mentén, Pj-től P j haladva! 207

14.84. Számítsa ki a V = ( - x ^ + y+z)i + ( x - y ^ + z)} + ( x + y - z ^ ) k vektorfüggvény vonalmenti integrálját a P(2; 0; 0), Q(0 ; 2; 0), /?(0; 0; 2) pontok által meghatározott háromszög kerülete mentén, ebben az irányban haladva! 14.85. Számítsa ki a V = 2jcí- - j + ( x - z ) k z vektormező vonalmenti integrálját az r(0 = ( l- O i + (í^ -l)j + í^k egyenletű görbe mentén, ha 1 14.86. Számítsa ki a V= xH -yi + - k vektormező vonalmenti integrálját, ha az integrációs út az r(0 = görbe és

1+ /

íH-----— jH--------- k 1+ 2Í'' l + 3í

1.

14.87. Számítsa ki a

V

= (x-> ’)i + (x+>')j + xj^k

vektorfüggvény vonalmenti integrálját az r(0 = (cos í)i + (sin t)\ + /k egyenletű görbe mentén, ha 14.88. Számítsa ki a V = -------í + 2 yzj + (y^+ l)k 1 X vektormező vonalmenti integrálját az r(/) = y i + l/íTTj + /k egyenletű görbe mentén, ha 1 208

14.89. Számítsa ki a

vektormező vonalmenti integrálját az r(0 = á + t ^ } + t \

görbe mentén, ha I ^ í ^ 4. 14.90. Számítsa ki a V = (y + z)i + (x + 2)j + (x + j)k vektorfüggvény vonalmenti integrálját az r(í) = (sin í)i + (cos í)j + k egyenletű görbe mentén, ha 0 ^ í ^ 2;t. 14.91. Számítsa ki a V = (y+z)i+(z + x)j + (x + j;)k vektormező vonalmenti integrálját az r (í) =

(sin^ í)i + (sin 2 i)\ + (cos^

egyenletű görbe mentén, ha 0 ^ í ^

4

.

14.92. Számítsa ki a xz -j+

V =

y

vektormező vonalmenti integrálját az r ( í) =

(sin^ í)i + (cos^

Oj + ^^k

n n görbe mentén, ha - ^ í ^ . 4 3 14.93. Számítsa ki a V =

- - 2 xy+ - i+ l X

X)

y

y

)

y

vektormező vonalmenti integrálját, az 14 Matematikai feladatok

209

r(/) = (sin^ /)! + 4j + (/ sin 2/)k . . .görbe . . ha - ^ egyenletű menten, 4

^ ^. 3

14.94. Egy konzervatív elektromos erőtér potenciálfüggvénye: y u{x,y) = y^+ A rc tg -. X

Adja meg az erőteret! Mekkora munkát végzünk, ha az egységnyi töltést a P (l; 1) pontból a Q(2; 2) pontba visszük? 14.95. Egy konzervatív vektormező potenciálfüggvénye u(x, y, z) = x ( y + z y ~ In — . z Adja meg a vektormezőt! Mekkora a vonalmenti integrál értéke, ha az útvonal a P(1; 1; 1) pontból a g ( l ; 2 ; 2) pontba vezető egyenesszakasz? 14.96. Egy konzervatív vektormező potenciálfüggvénye: u = ]f x y ^ . Határozza meg a vektormezőt! Mennyi a vonalmenti integrál értéke, ha az útvonal a P i ( l ; 0 ; 1) pontból a PjCl; 1; 0 pontba, majd a Pj pontból a P j í l ; 1; 0) pontba vezető szakasz? 14.97. Egy konzervatív vektormező potenciálfüggvénye: u = sin yz + cos xy + tg xz. Adja meg a vektormezőt! Mennyi a vonalmenti integrál értéke, ha az integrálás útja az az origó középpontú, egységsugarú körvonal, amely az x, z koordinátasíkon fekszik? 14.98. Van-e az alábbi vektormezőknek potenciálfüggvénye? Ha van, határozza meg! aj V = {2 xy - z ^ - yz)i + {x^ + z ^ - xz)j + (2 yz - 2 xz - xy)k; z z l '' " x\jx ^y ^ -z ^^^ y ] / x Y - z ^ ^ ~ 14.99. Konzervatívak-e az alábbi vektormezők? Ha igen, határozza meg a poten­ ciálfüggvényüket! a) V = {2 xy In z + ye^’’)i + (x^ In z + xe^^)j + —- + 3z^^ k ; 210

w V - ( ^ + | 5 + | / 5 ) | - h( ^ + l f i + | S ) i + ( ^ + ^ ) k ; c j

V

=

( f y

+

f z ) \ +

{ Í ^ +

\ fz ) \ +

{ f y

^ f z ) V

i .

14.100. Hogyan kell megválasztani a p paraméter értékét, hogy a V

= (6xyz+ 4j^z^)i + (3x^z + 12xy^z^)l + (3x^y+ pxy^z)k

vektormező konzervatív legyen? írja fel a potenciálfüggvényt is!

14*

211

EREDMENYEK

J. fejezet 1.1. Az F és G kivételével valamennyi. ^ . 2 . a ) A = {1,3,5,7,9,11,13,15,17, 19,21,23}; b) - 8, - 6, - 4 , - 2 ,2 ,4 , 6, 8,12}; c; C = { -1 8 , - 6, - 3 , - 2 , - 1, 1, 2, 3, 6, 18}; ^.3.a)2;

b)

2

;

c) l;

d)

0

;

d) i) = 0.

e) l.

1.4. a) Végtelen sok, a 3 ^ x ^ 5 intervallum valós számai; 5 = {3,4, 5}; 1.5. öJ16;

é; 7;

^ . B. A = D = E■,

ej 8;

í/; 8;

b) három, mégpedig

e) \.

B=F.

1.7. rtj B n C = 0; 5 u C = {a budapesti autóbuszok és villamosok}; c) BnD = {a budapesti csuklós autóbuszok}; d) Cr>D = {a budapesti csuklós villamosok}; e) B \ D = {a budapesti nem csuklós autóbuszok}; f ) C \ D = {a budapesti nem csuklós villamosok}; g) A \ C = {a budapesti nem csuklós járművek}. 1.8. ^ u 5 = | - 4 , 0 , 1 ,^ ,2 ,3 ,4 |;

A n B = {2};

.4 \ ő = |- 4 ,^ |;

B \ A = {0, 1, 3, 4}. 1.9. A'uB = {a páros természetes számok és a 3-mal osztható páratlan természetes számok}; A kjC — A; B ^ C = {a 3-mal vagy 4-gyel osztható természetes számok}; A n B = {a 6-tal osztható természetes szám ok};/ínC = C;Br\C = {a 12-vel osztha­ tó természetes számok}; = {a 6 m -4 alakú természetes számok}; B \ A = {a 3(2/í—1) alakú természetes számok}; A \ C = {a 2(2A:—1) alakú természetes szá­ mok}; C \ A = 0; j5 \C = {a 12A:-3, 1 2 ^-6 és 12A:-9 alakú természetes számok}; C \ B = {a 12A:-4 és 12A:-8 alakú természetes számok}. 215

1.10. N vjP = N-, N u S = N; N'uT = N; P u S = {azok a számok, ame­ lyek vagy prímek vagy párosak}; P u T = T\j{2}\ S u T = N; N n P = P; N n S = S; N r\T = T; P n S = {2}; P nT = P \{2}; S n T = 0. 1.11. ^2 = {60,62,64,66,68, 70}; ^3 = {60, 63, 66, 69}; ^^4 = (60, 64, 68}; A 2 ^ A ^ = {60, 62, 63, 64, 66, 68, 69, 70}; ^ 2X ^3 = {62, 64, 68, 70}; A 2 ^ A ^ = {60, 64, 68}; A^kjA^ = {60, 63, 64, 68, 69}; A^T^A^ = {64, 68}; A 2 C^A3 = {60, 66}; Aj^A^. = {60,62,64,66,68,70} = A^; = {62,66,70}; A ^ \ A 2 = 0; A^nA^ = {60}; A^^^A^ = {63, 66, 69}. 1 .1 2 . ^ X 5 = {(1, 7), (1, 8), (1, 9), (2, 7), (2, 8), (2,9)}; B x A = { (7 , 1), (8, 1), (9,1), (7, 2), (8, 2), (9, 2)};

A x A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1),(2, 2),}; B x B = {(7, 7), (7, 8), (7, 9), (8, 7), (8, 8), (8, 9), (9, 7), (9, 8), (9, 9)}. 1.13. Af = Tr\R. 1.14. H n D r \ T = {négyzetek}. 1.15. K n T = {téglalapok és rombuszok}. 1.16. a) A kjB = {regények és matematikai könyvek}; b) Br\C = {matematika tankönyvek}; c) Á = {azok a magyar nyelvű könyvek, amelyek nem regények}; dj B \ C = {olyan matematikai tárgyú könyvek, ame­ lyek nem tankönyvek}; ej B u C = {a matematikai tárgyú könyvek és az összes egyéb könyv a tankönyvek kivételével}. 1.17. Igen, mert A \ B is a főiskola nem elsőéves férfihallgatóinak halmaza és Ar\B is az. 1.19. h) A^iBr^B) = A u 0 = A;

W /A l., 216

i) An(BKjB) = Ar^H = A.

1.20. a) A \ ( A \ B ) = A n B = B \ ( B \ A ) . (Ábrázolja a halmazokat!)

m ;A \B ,

B\A,[

1.21. Például az aj igazolása: A : vízszintesen, BnC: függőlegesen vonalkázott rész; Au(BnC): ahol van vonal;

lA\C,

B\C.

jobbra dőlő, ^ u C : balra dőlő ferdén vonalkázott rész; (AuB)n(AuC): ■ahol kétféle vonal van.

1.22. Mivel {AyB)r^{AvjB) = A ^ ( B n B ) = A kj0 = A_, {AyjB)n{ÁKjB) = Á^{Br^B) = / u 0 = A,

ezért az adott kifejezés bal oldala: Ar\Á = 0. ^.23. a) AczB és A c C ;

b) AczC és BczC;

c) A(^B(5; 1; 3); £(5; 0; 4); íl(4; 0; 5). 2.15. D (-2 ; - 1 ; 12). 2.16. ( - 1 ; 13; - 4 ) ; (5; 8 ; - 3 ) ; (12; 7; - 7 ) ; (8 ; 14; -7 ). 2.17. a ) ^ = a + b = (9; 8 ; - 5 ) ; c) e )

A

Ö

=

b)

= a + c = (5; 6 ; - 6); d) ~AÍ>^ = b + c = (6 ; 10; - 5 ) ; 1 - ^ 1 / 11^ - (a + b + c) = (5; 6 -4 ) ; / ; Z ^ = a + - ( b + c) = ( ^ 7 ; 7 ; - y ^

c j ) A É = ^ í i - ^ { h + c) =

n T

9\ -j;

i ) F Ő = - ^ a = f-2; - l ; ^ ) ; jV ^ 2 \ IJ = ^(-3a+b+c) = 220

= a + b + c = (10; 12; - 8);

1; i ) ;

1 / 13^ /j;Z^=-a + b+ c = Í 8 ; l l ; - = ^ ( - a + b + c) = (1; 4; - 1); 1 1 ) h ^ = ^(a+b+c) =

2 .18. a) nem;

b) igen,

2 d = - c;

c) igen, mert a zérusvektor bármely vek­

torral párhuzamos. 2 .19. a) igen;

b) nem.

2 .20. P'(3; 18; - 12). 2 .21. V i( - 3; 2 ; 0); 2 .22. v = 8a + b;

V3((3; t - 2 - 4/ 5; 2(/5- 7t); 5(7t + 1)). Vj = 8a(16; 56),

V2 = b (-3 ;0 ).

2 .23. d = - 3 a - 3 b + 7c; á, = -3a(24; - 21; -3 ), d3 = 7c(7; - 7 ; 28). 2 .24. |al = 18;

|b| = 1;

dj = -3b(0; - 9 ; - 6),

ld = j/m = 14,036.

^ „ / 4 12 3 \ / 1 4 8\ 2 .25. e J - ; ; e,(0 ; 0 ; - l ) ; 13 ’ 13 ’ 13 1 2 3 \ / 2 2 = (0,2673; 0,5345;-0,8018); e. /Í4 ’ /Í4 ’ /Í4,

1

2 .26 . 2 . 2.27. Az adott két-két vektor hajlásszöge: a) tompaszög; b) hegyesszög; c) derék­ szög; d) hegyesszög. 2.28. z = - 1 2 . ab 2.29. p = - — , ha b#0. Ha b zérusvektor, akkor p tetszőleges. 2.30. Az a és b vektorokat úgy kell megválasztani, hogy a -L b és la| = |b| egyszerre teljesüljön. 2.31. Igen, mégpedig ha p : ^ = ac : ab. 2.32. Az a, b, c vektorok kockát feszítenek ki, mert ab = bc = ca = 0, |a| = |b| = i c l = 7. 2.33. Az X, y, z tengellyel bezárt szög rendre 63,64°; 96,38°; 21,IT . 2.34. a) van; b) nincs. 221

2.35. a) 90°; b) 57,49°; c) 107,29°; d) 106,78°; e) 148,7°. 2.36. AB =B C= C A = \a][2. 2.37. Az háromszög derékszögű; az A 2 B 2 C 2 háromszög hegyesszögű; az A^B^Ci háromszög tompaszögű. 2.38. a = 32,31°;)?= 38,33°; y= 109,36°. 2.39. 16,6°. 2.40. 30°; M (ll; - 2 ; - 1). 2.41. Az A A 1 A 2 háromszög egyenlő szárú; az AFA 2 szög derékszög. 2.42. k = 49 + / í ^

= 89,31; 59,74°.

2.43. Az AAiB háromszög tompaszögű. 2.44. 2 egység. /

77

44 44\

'

2.46. A feladat feltételeit kielégítik mindazok a b vektorok, amelyek vagy merőle­ gesek a-ra (ekkor a merőleges vetületek hossza 0), vagy amelyekre |b| = ]a!. 2.47. p(6 ; - 6 ; 3 ) ;in ( - 3 ; 0 ;6 ) . 2.48. r ( l ; - 1; 1) . 2.49. F ( - 2 ; 5; 3); BCA szög = 33°. 2.50. r ( 10; - 1; - 5 ) ; m = 2 ^ = 10,198 egység. 2.51. 7’F = 0. 2.52. S T =

1/ ^

= 2,52 egység.

2.53. a) - 3(a x b); b) 6(a x b); c) 0. 2.54. v(18; 19; 6). 222

a Xb 2.55. c = ± ----- . Ia| 2.56. c(2; 3; 6)

vagy

- c(- 2 3 ; - 6).

2.57. Az alaplap csúcsai; (0 ; 0 ; 0), ( - 1; 0 ; 2), (l ; 1; 0), (0; 1; 2), a fedőlap csúcsai: ( - 6 ; 6; -3 ) , ( - 7 ; 6 ; 1), ( - 5 ; 7; - 3), ( - 6; 7; - 1). 2.58. c ( 5 ;6 ;-2 ). 2.59. x (7 ;5 ;l). 2.60.

= 55,68°.

2.61. t = 18|/3 = 31,18 területegység. 2.62. a) t = ^ l/Í8^ = 21,68 területegység; b) t = ség; ej í = 0 területegység; d) t =

=

2 , \ 2

= 20,62 területegy­

területegység.

2.63. AÉ\\ c 3 \ AÉ\\BÜ\ í=20 területegység. 2.64.

= 161bxa| = 16í.

2.65. m = 5 egység. 2.66. k = 2{ ][^ +p 2 + 'Íl) = 24,33 egység; t=\Op.= \A,\ területegység. m

2.67. t =

f i í

= 10,42 területegység.

2 .68. (axb)^ + (ab)^ = a^b^ sin^(a, b) + a^b^ cos^(a, b) = a^b^. 2.69. b x c = b x ( - a - b ) = b x ( - a ) = a x b ; c x a = ( - a - b ) x a = - b x a = axb. 2.70. a) igen; b) nem; c) igen. 2.71. Balsodrású rendszert alkotnak. 2.72. a) igen; b) nem; c) igen. 223

2.73. z = y 2.74. Mivel abc = 0, ezért például a z a x b = ( - 2 ; 7 ; 6 ) vektor merőleges a három adott vektor mindegyikére. 2.75. A pontok nincsenek egy síkban. í = 42,7 területegység. 2.76. V= 3 térfogategység. 2.77. a) V =

térfogategység; bj V= 1 térfogategység.

6

2.78. Z)i(0;8;0). 2.79. m =

?l/3

= 4,04 egység.

2.80. m = 11 egység. 2.81. Igen. 2.82. V1V2V3 = 22abc

0, és ezért nincsenek egy síkban.

2.83. A kapott paralelepipedon térfogata az eredeti paralelepipedon térfogatának a kétszerese. 2.84. Mivel VjVjVj = 27abc, ezért Ki = 27F. 2.85. 0; X = - l - 4 í , j = 3 + 2í, z = 7 + 6?

vagy

x +1

b ) x —t , y — —1+ 7í, 2 = 2 —9í; c) X = 6í + 9, 7 = 8, z = 2í—3; d) x = \ + At,y = 2.86. a) x =

-

2

+ 3t,y = 5 - 2 t , z =

6

^

y —3

— 2 + 3 /,

^

z—

- t ; b) x = 5 -1 0 /, y = 1, z = 2 + t;

2.87. a) Nem illeszkednek egy egyenesre, b) Egy egyenesre illeszkednek. 2.88. r(0 = ( - 3 + 2t)i + (2 + /)j + ( - 1 - 7/)k.

224

'

z = 5 —2t.

c) x = 9t, y = l \ t , z= - 1 ; d) x = 3 + t, y = - l ~ t , z = t.

2.89. X = - 1 + 3/, j; = 2 - 9 /, z= - 4 /.

1

2.90. r(0 = (2 -4 í)i + (l + 30j + ík. 2.91. x = - 2 t , y = 5 -6 í, z = 2. 2.92. X = 3 —3í, j = 1+ 6í, z = 1 + 5/. 2.93. A metszéspont: M( —3; 2; 1). Az egyenes egyenletrendszere: x = —3 + 7í, j = 2 + 23Í, z = l - 6 t. 2 .9 4 ./7 = 3. 2.95. r(0 = (l + 13í)i-(l + 60j + (5 -7 0 k . 2.96. X = 2 + 3/, j = 9 + 6/, z = 1 + í. X—1 2 .9 7 .^ = ^

= z- 2

és

X—1 2 -z - ^ = >^+8 = — .

2.98. a) x = —f, y = - 7 —5 í;z = - 9 - 9 f , b ) x = 2 + 2 t , y = - l + 7í, z = 4í; c) X = 5 - t , y = 4 + 7/, z = 3/. 2.99. r(/) = (1 + 2/)i + (3 + /)j + (2 + /)k. 2.100. X = - 2 - 5 / , j = 1 + 8/, z = 2 + 3/. Igaz, illeszkedik. 2.101.

r ( /)

= (l + 2 /)i-3 /j-( 5 + 6/)k.

2.102. X = 1 + I 0 t , y = 1 -3 /, z = 1+ 12/. 2.103. X = - 7 - 2 / , j = 4 + 3/, z = 4 + 4/; í/= 4 |/ ^ = 21,54 egység. 2.104. X = 2 + 3 /,y = 1+ 3/, z = 1+ /. d=0. 2.105. A ponthalmaz a lOx—14 = —(5;^ +4) = 2z egyenletrendszerű egyenes. 2.106. a) - 3 x + 2 j + l l z + 25 = 0; b) 9x+ y + 25 = 0; c) x + z -

1

= 0;

d) 3x 1 2y + z = 0; e) y - 2 = 0. 2.107. 3 x - 4 j + 5 z-2 6 = 0. 2.108. a) I7x -3v+12z = 37; b) 3x + 3>; + z = 8; c) 5x + 2>^-3z+13 = 0; d) llx —6j + 9z—13 = 0; e) 2 x + y —z = 3. 15 Matematikai feladatok

225

2.109. Igen, a sík egyenlete: 2 x + y - z = 3. 2.110. 5y~2z = 0. 2.111. 12x+16y+5z-23 = 0. 2.112. x + 4y + 7z+16 = 0. 2.113. 6 x -

2 0

y-llz+l = 0 .

2.114. 1 6 x - 3 j- 1 0 z - 3 1 = 0. 2.115. x +5 y + 6 z -2 3 = 0. 2.116. 2 x + y + 4 z - 2 8 = 0. 2.117. x + 4y + 2 z - 2 = 0. 2.118. A = - l . 2.119. Nem illeszkedik, mert pl. nv = 2 # 0. 2.120. 2 x + l 0 y + l l z - l 3 = 0. 2.121. 4x+5y + 2 z - 6 = 0. 2.122. 2x + 7y+13z + 4 = 0. 2.123. 2 x + 3 y - z - 3 = 0. 2.124. l x - 2 y + z + %= 0. 2.125. 2 x + l y + 3 z - 5 \ = 0. 2.126. - 7 X + J + Z + 1 0 = 0. 2.127. 8 x -2 2 j + z -4 8 = 0. 2.128. 3 x + y - 3 z = 2. 2.129. 5 x + 3y + 4z = 14. 2.130. 2 x + 3 ;;-2 z = 0.

226

2.131.

JC+ J

+ 2Z -6 =

0.

2.132. A három egyenes egy síkban van. 2.133. 1 3 x - 6 j - 5 z + 56 = 0. 2.134. 1 3 x-14;;+ llz+ 51 = 0. 2.135. 3 j-7 z + 1 8 = 0. 2.136. 1 9 x - 2 y - 9 z - 6 6 = 0. 2.137. 7x + 57+2 z - 4 = 0. 2.138. K ( - 2 ; l ; -1 ). 2.139. Van. A közös pont: Pl -

-4 TT

A. n

’ I I

2.140. 2 x - 3 j + z - 1 4 = 0. 2.141. A megadott sík az

és 5 pontokat nem választja el.

2.142. x + 4 y - 3 z - 9 = 0. 2.143. 3 x + 2 y - z + 2 = 0. 2.144. A feltételeknek két sík felel meg, egyenletük: 2x + 3y —6 z —12 = 0, illetve 2x+3y + 6 z —1 2 = 0. 2.145. M J 2 ; 6 ; 0),

0; 2),

2.146. M J 9 ; - 4 ; 0), /12

3

M,,(0; 9; - 1).

2 ; -3 ),

M „(3; 0; -2 ).

15^

2.149. D(4;6;2). 2.150. M(4; - 1 ; - 3). 1 5*

227

2.151./J= - 3 . 2.152. t = ^|/1449 = 19,03 területegység. 2.153. r = 4 térfogategység. 2.154. Metszi; a metszésvonal egyenletrendszere ;x = 1 + í, j = 3 —'it,z = 2 + 1. 2.155. P'{0; 11; -13). /19

12

23^

2.157. F ( l ; 1;6) 2.158. P'(9;0; 1). 2.159. x - j - z + 2 = 0. 2.160. 2 x - 3 y - 4 z + n = 0. 2.161. x= - 1 , 7 = 5 -3 í, z = 5 + í. 2.162. 0°. 2.163. 5 x - S y + 3 z + U = 0. 2.164. A'

/53 5 20^ 7 ’7 ’ 7

1 2.165. X = \ + 2t,y = 2t, z = “ 2 - - í .

2.166. X = l+3 t, y = l - 4 í , z = 2 - 3 í; igen. 2.167. S\ x-3>y + 2z + 6 = 0. e' 2 : I4x = 25-14í, 14;; = 23+14í, 14z= -2 0 + 28?. 2.168. a; 60°;

45°; cj 90°; dj 43,4°.

2.169. aj 0°; b) 24,22°; c) 26,56°; d) 30°. 228

2.170. a) 90°; b) 61,87°; c) 82,34°; d) 45°. 2.171. Az

6 2

egyenes az

2A12. d =

egyenessel zár be nagyobb szöget.

= 6,568 egység. 122

Í9

= 2,53 egység.

44 2.174. d = — = 2,32 egység.

2.175. d = 7= = 0,8 egység. ] j \ A

2.176. d=2A,5 egység. 2.177. d=0. 2.178. a) A=^l\ b) A ^ l , 5 = 3 ; c) A = l, 5 ^ 3 . 2.179. x + y - 2 z + \ = 0. 2.180. Az AB szakasz felezőmerőleges-síkjának és az adott egyenesnek a döfés­ pontja a keresett pont: /*( —2 ; 2 ; 2). X—8V+ 4z 4x + 20y —5z 2.181. Egy keresett egyenes a z ----- ------ = 5 és a ------- —-------= 5 síkok met215 25 szésvonala: x = ------- 40í; v = 21í, z = ----- H52í. 7

’

7

2.182. x + ; ; - z - 3 = 0. 2.183. A feladat feltételének két pont felel meg, a

/

V

2\ 0;0;--

es a

( 28\ ^ 2(^0 ; 0 ; - Y j pont. 2.184. A keresett P pont az x = 3 - 3í, >> = - l + 2t, z = t egyenletű metszésvonal és az x + 2_y+ z - 1 = 0 egyenletű, az adott síkok távolságát felező sík döféspontja: ^ ( - 1 ;3 ;0 ) . 229

2.185. Két szögfelező sík van, ezek egyenlete z+ 1 = 0 , illetve x + 2y = 0. A P pontra az első sík illeszkedik. fi 2.186. d = — = 0,707 egység. 2.187. d=][\% = 4,24 egység. 2.188. Az első síkpár metszésvonala: x = \ , y = t , z = f, &második síkpár metszés­ vonala: x=2t, y= - t , z= - 1 . \ távolság d= 1 egység. .

2.189. jc = 6 - 3 t , y = ~ 4 + 2t, z = 8 - 4 í. 2.190. A t„ normáitranszverzális egyenletrendszere; x = 3 + 3í, y = \+2t, z = 4 - 3í. A és metszéspontja: Mi(3; 1; 4), a t„és ej metszéspontja: Mjió; 3; 1). M i M 2 = ]/n = 4,69 egység. 2.191. A metszésvonal vektoregyenlete: r(í) = —ri —(7 + 5í)j “ 9(1 + í)k; az egyenes vektoregyenlete: r(í) = ( 2 - í)i + (l - 50j + (6 -9 í)k ; d = /

= 0,453 egység.

86

2.192. 2x—13j + 7z —90 = 0 , m — - j = = 5,77 egység. /222 / 7 14 14\ ^ 2.193. F(0; 2; 4); r í - - ; - ; - j ; F r = 2[/3 = 3,46 egység; r(/) = - r i + (2 + llí)j + (4+110k. 2.194. ni(3; 1; - 2); n^d; 2; 0); m(4; - 2 ; 5); V =

= 0,134 térfogategy­

ség. A vektorok irányításától függően nyolc különböző helyzetű, de azonos térfogatú tetraéder van. 2.195. A két egyenes síkja: 2x + y —2z = 4. A vetületi egyenes egyenletrendszere: 17 2 10 .v = — + í, j = - - - 2/, z = — , a két egyenes párhuzamos. 2.196. A tetraéder csúcspontjai: ^4(1; 0; 2),

1; 2; 1), C(3; 2; 0), D ( - 2 ; 2; 1).

A térfogat: V = -térfogategység; a felszín: F = ~{l + 1^104+ [^168 + 1/5) = 13,2 terü­ letegység. 230

2.197. A lapok síkjának egyenlete: x + 3j + 4z = 9; y = 2; x + 4y+5z.= 11; y + 2z = 4; az J csúcsból húzható magasság hossza; m = l egység. ~ 0 egyenletből p = 2. A sík egyenlete x + 8>>—3z —20 = 0.

2.198. A 20

"

■

í/ = - ^

= 2,32 egység;

2.199. P ( l ; l ; - 1); í/= 3 egység. 2.200. Az egyenes egyenletrendszere; x = l + 22í, y = - 2 - 1 6 í , z = 3 -2 1 í. A két egyenes metszi egymást, a metszéspont M(12; —10; —7,5). A sík egyenlete; 13l/^ 26x—107j + 92z —692 = 0. A távolság d = -------= 2,84 egység. 21 3. fejezet 3.1. a) Z) = 0; c) D = - 2 i + n j + Z k - , e) Z) = 28;

b) D = - 6 + i; d) Z) = 40; f)D = -4 Í.

3.2. Az első oszlopot a másodikból és a harmadikból levonva, az állítás igazolható. 3.3. a) Xj = 2, Xj = 3; c) x = 9;

Xi = X2 = l, X3= - 2 ; d) Xj = 0 és X2 = —2.

3.4. —sin^ 2x —cos^ 2x+sin^ x + cos^ X = 0. -2 3.5. A + B = 4 9

0 -1 9

3.6. c) és d) igaz. 3.7.

-1 3 / - 7

2 -3 i - 3 + 8/

3.8. Nem, mivel A és B nen szorozhatók össze. 3.9, A ^=

sm 2a

231

1

-2

-6

3.10. A ^=

-3 2 9 2 0 -3 (A^)“ ^ nem létezik, mert sorvektorai lineárisan összefüggők. (A^ első sorát a másodikhoz adva, az új mátrix két sora megegyezik, igy det A^ = 0.) 3.11. Nem, mert AB egy (2 x 2)-es, BA pedig egy (3 x 3)-as mátrix. 3.12. B =

15 4

4 15

0 0 0 3.13. AB = 0 0 0 és ez c = 0 esetén szimmetrikus. c 2c 3c 3.14. a) AB = -

12

_

b) AB =

(„összegzővektor”) ;

10 c) AB = 15 5

4 - 1 T - 1 -1 2 7 1 - 2 3

7 4

d) AB =

3.15. (A + B)2 =

'6 _4

r 2 ~io r = 4 -2 _ _ 4 2_

A^ =

"19 _12

-1 8 ' ; - 5_

B^ =

BA =

“ 13 _ 4

r ; -9 _

AB =

A^ + BA + AB + B^ = 4 3.16. AB = [32, - 4 , - 3 7 ] ;

9 _ -4

- 1 29 • 4 5_

10 r 4 2 (AB)C = - 179;

2‘

BC = 232

23 ; -1 7

- 8' 17_

A(BC) = - 179.

3 17 -1 7 - 1 3 - 2

3.17. adj A =

A adj A = (adj A)A =

■0 CA = 3c 1

3.19. PA =

7 -2 8 ‘ -1 7 8

-2 5' 8c - c ; -4 6

■-3 1 1

5 8 -2

0 -8 5 0

'- 8 5 0 0

- r 0 ; 2

0 3 1

AC

AP =

0' 0 _ _ {85E. -8 5 - 2c 8c —4c

5 -1 6

' 8 1 0 ' 5 -3 -1 -2 1 2

Balról szorozva a szorzott mátrix első két sora cserélődött fel, jobbról szorozva pedig az első két oszlopa. 3.20. Nem, mert det A = 0. 3 3.21. adj A = - 4 6 ■-3

A -i =

4 -6

2 -4 -3 6 4 -9 -2 3

-4

A -6 9

det A = - 1,

és

így

’l 0 0' AA ^ = 0 1 0 = E. 0 0 1

Megjegyzés: az inverz mátrix elemi bázistranszformáció útján is meghatározható. (L. a Vektorgeometria c. főiskolai tankönyv 2.3.6. pontját!) 3.22. det A = 1 esetén, ill. ha adj A = A“ ^ (az inverz mátrix elemi bázistranszformációval is meghatározható). 3.23. det A = 1, így az egyenlőség fennáll.

3.24. AB =

■- 3 12 9

1 r 18 26 ; 16 17

BA =

■-3 1 r 1 28 25 1 13 7

0 0 0 A B -B A = 11 . . '

AB#BA;

így a keresett inverz nem létezik. 233

3.25. a) N, N, N3

V3 , 8 0 4

V2 1 4 0

Vi 5 4 2

3.26.

N, N, N3

20 21

A, Fi Fi

3 3 2 3

K, K,

^2 2 2 0 3

^3 \ 2 4 5 1

K 2 tartalmazza a legtöbbet ^i-ből, 23-at,

1 5 2 0 4 1 4

Fi F2 F, F,

F,

2 3 1 2

4 5 6 2

2 0 1 3

K, ^4

Kj tartalmazza a legtöbbet A^-bcA, és

2 4 3 26 26 (g ) 21

3.30. a) e(A) = 3 (ugyanis det A 0); b)Q{K)=\c ;e ( C ) = l; d) e(D)=4.

234

X2 = 0 ,

^3 2 4

^4

3 3 0

• •

Aj

Aj

A^

1 3 4 1 1 0 5 0 3 ■ • •

10 14 9 0

• • •

a legkevesebbet ^ 3-ból.

3.29. Ki tartalmazza a legtöbbet ^ 3-ból, 19-et, és ^ 4-ből, 13-at.

3.31. a) Xi = 1,

V,. 7 3 5

pedig a legkevesebbet AjA^

Fi

A2

15 17 (g ) 19 22 0 13 16

3.28.

K, K2

V2 6 0 6

65 000 66 200

3.27.

K, K,

V, 6 6 2

teljes anyagszükséglet

Vi 41 41

N, N,

b)

^3 = 2;

pedig a legkevesebbet az

b) c) d) e)

x= \, x= l, x = 3, ű = 0, de

3.32. a) x = 1,

y =2 y= -2;

3.33. x = 2;

1 -1 2 1 -1 -2 3 -2

3.34.

1 0 0

-1 3 0

0

0

Xi = l,l;

z = 2\ z = 3, v= -2\ z= -l, u=l; így nincs megoldás.

J = -l, y = l, y= -4, pl.

-2 1 0 2

és

z= 1;

b) nincs megoldás (mivel x = —1).

z = 3. 1 0 1 -1

-2 5 3 19

1 -2 0 10

T

3

X2=-0,2;

1 2 -1 4 1 r i 0 i 0 1 1 1 X3 = 0;

'1 0 0 0

-2 5 •- 2 8

- 1 3 - 3 I

'1 0 0

-1 3 0

-2 5 3

0

0

0

—

1 1 0 -2 2 í11 0 -4 i 1 i

I

1 2 0 10 3

1 r i 0 ! 0 1í 1 1

X 4= -0,3.

3.35. a) Z )^ 0, így x = y = z = Q-, b) Z) = 0, így X : : z = 3 : ( - 2 ) : ( - 5 ) vagy x = 3í, j^= - 2 t , z = - 5 t , ahol / tetszőle­ ges valós szám; c) D = 0, így X i: X2 : X3= ( - 2 ) : ( - I ) : 1, vagy x^ = - 2 t , y= - t , z^ = t, ahol t tetszőleges valós szám; d) D^O, így x = y = z = 0. 3.36. Legyen A az együtthatómátrix, B a kibővített mátrix, n az ismeretlenek száma. a) e(A) = ö(B) = n = 3, így van egyértelmű megoldás: 2 I 5 "‘ = 3’ "^ = 6 b) ö(A) = ö(B) = 2, így van megoldás, mivel azonban « = 4, 2 ismeretlen választ­ ható szabadon. c) e(A)#e(B), így az egyenletrendszernek nincs megoldása. 3.37. a) —1, de C2 = 0, nincs megoldás. Cl = —1 és Í 2 = 0 esetén végtelen sok megoldás van: z = t, y = 2í + 1, x = t + l {t paraméter). Egyéb Cj, Cj párválasztás esetén egyértelmű megoldás van, pl. C2= 1 és Cl = 0 esetén : x = —!,>’= —2, z= —1.

235

3.38. Z) = ( í - l ) ^ ( í + 2); O, = - ( í - 1)^ ( í + 1); Z), = és D, = ( í - l ) 2 ( /+ l ) 2. a) Ha ít^I és í # —2, akkor í+ 1 y

=

1 í+ 2

es

z=

{t+\? í+ 2

éj Ha t = \ , akkor az egyenletrendszer lineárisan összefüggő, x = l —y —z; két ismeretlen szabadon választható. cj Ha í = - 2 , az egyenletrendszernek nincs megoldása. 3.39.

a) A ^ = = b) A " ' = =

1 ■- 6 45 485 46 '37 21 46 22 -12 -1 3 - 4

e ) x = [l, -1,2]*.

236

In

1 9 4 1 11 4 1 1 4

5 ; 28 3 39 -4 5 31 8 12 6

ir 5 14 -22 -3 8 4

X = A -'b = [3, 1, 2]*.

21 45 ; -4 2

2' X = A ^b = - 2 3 2

X = A ‘b =

-2

3 -1 6 -2 3 6

X= A

/ ; X = [2, - 2 , 1]*.

-2 1 = -1

3.40. a)

v = -4 ;

>-=5;

z = -2 . Xi

b)

^2

■'2 0 3 2 1 1 2 -1

A 'i= 4;

^2=1;

^ 3 = -

l

^3 0 0 3 2

X4

b

0 0 4 3

9 14 10 11

2 -1 -1 4

1 0 0 0

0 0 3 2

9 0 0 -4 4 1 3 20

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 2

0 0 4 3

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

ési

X,^= 2.

1 4 5 4

1 0 4 0 4/3 5/3 1/^ 2/3 1 0 0 4 0 -1 2 1

237

c) (Itt már egymás mellett vannak a táblázatok, rövidítve!) X2 ^3 X4I ^4 ! ^3 X4I ^3 X4 1 -4 8 0 0 3 0 -1 21 0 0 - 1 6 - 1 6 | -4 8 -1 6 1 4 4 0 1 0 1 1 11 4 1 1| 1 9 - 9 I -2 7 0 0 2 -1 0 2 1 1 - 1 -1 0 -1 0 | -3 1 5 1 1 0 5 0 5 6 | 16 6 1 16 6 | 16 1 - 1 3 1 3 2 - 2 -3 1-5 2 I 3 3| 11 1| Xi

^2

q{A) = 3,

n = 4, így egy ismeretlen, pl. X4 szabadon választható. Ekkor: Xj = 1 - .V4 = 1- í, X2 = 1, X3 = 3 - X4 = 3 - í, x^=t. (t tetszőleges valós szám.)

eV u

y

-2

0 3

0

1

I

-3

3

-3

0

x = —8,

3

1 3 4 -5

1 1

-7

y = 3 + m,

z

3

238

4 j- 12

1

-1

1

-4

ll -3 I 8 |- 2 4

0 I -8

-2 I I -1

Si = s? = [1; 0 ; 0]*;

S3 = [-|/3 ; 1; -2^3]*. oO S3 - r _

= s° = [0 ; 1; 0]*; 2 1 S3 = [2 ; 0 ; 1]*, normáivá: s® =

6

01 0

= 6 + 2m, ahol u szabadon választható.

3.41. a) Ai = 2, A, = 4, A,= - 4 . Si = [ l; l/3 ;0 r ; = [-3 ; 2]*; A normált vektorrendszer; * ~ 3 r * f i 1^ 1 S2 , s? = 4 ’ T ’ 2_ b)

-6 ' 10

0 -3 3 -1 -1

-7

u

^ . 1 .- ^ 1 4 ’ 4 ’ 2_

4. fejezet 4.1.

4.2. a) cos 0 + / sin 0; c) cos 90° + /■sin 90°; e) f i (cos 45° + i sin 4 5 °) ; g) 3 /2 (cos 2 2 5 °+ í sin 225°); i) j/5 (cos 26,6° + isin 26,6°); k) 5 (cos 53,2° + / sin 53,2°); l) 5,39 (cos 111,8° + /sin 111,8°).

b) 8 (cos 180° + /sin 180°); d) 2 (cos 270° + /sin 270°); f ) 2l/2(cosl35° + /sinl35°); h) 2 (cos 330° + /sin 330°); j) fS (cos 243,4° + i sin 243,4°);

,5 n

4.3. a) 4e''^;

b) 2e^\

4.4. a) 7 - 5 í; f ) —7 + 9/; 21

b) 6; 18 13 g ) -----1 y/ 29 -----/; 29

20

41

m; - 4 ;

4.5.

c) lOe'’^;

-2 6 + 7/; b)

14

38

d) 2e^ ■,

Aln f ) 2e 6

.3n

e) e ^ ;

c) - 3 + 3/; 3 11

d) 8/;

e) 2 2 -3 /;

k) 1;

l) - 4 6 - 9 / ;

o; 0,21-0,14/.

23 -i.

4.6. a) X 1 + i és j;= /; b) x = 2+ /, y = 2~i: c) X = 3 - Ili, y = —3 - 9/, z = 1 - 7 /. 4.7. A z^-et és a Z2-t szemléltető vektorok a) egymással párhuzamosak; b) egymás­ ra merőlegesek. 239

4.8. Legyen z = a + bi, a = 0 vagy a = l

1 l/3 és b = 0; a = - és b = ± — .

4.9. 5 -5 i. 4.10. 122-597í. 4.11. a; 2 -4,47 (cos 136,4° + /sin 136,4°); b) 18,4 (cos 135°+/sin 135°); c; 1,3 (cos 144,2° + /sin 144,2°); d) 1,01 (cos 327,1° + /sin 327,1°); e) l,33[cos(85,4° + A:90°) + /sin(85,4° + A:90°)], A; = 0, 1, 2, 3; f) 1,17 [cos (12,7°+ A:72°) + /sin (12,7°+ A:72°)], /t = 0, 1, 2, 3, 4; g) l,97[cos(52,3° + A:120°) + /sin(52,3° + A:120°)], A: = 0, 1, 2; h) 0,942 [cos (13,6° + A:60°) + /sin(13,6° + /t60°)], A: = 0, 1, 2, ..., 5; i) 0,85[cos(2° + m ° ) + /sin(2° + /t72°)], k = 0, l, 4; J) 0,77 [cos (25,1° + A:90°) + /sin (25,1°+ A:90°)], ^ = 0, 1, 2, 3. 4.12. a) cos 2a + / sin 2a; c)

4 4 -5 / 318

e) 2/"-‘.

d) 2;

4.13. cos 3a = cos^ a —3 cos a sin^ a; sin 3a = —sin^ a + 3 cos^ a sin a. =

4.14. öj z = 56 + 72/; 3

c; ^

= 2[cos(70° + A:120°) + /sin(70° + A:120°)], /t = 0; 1; 2.

4.15. nn nn ^ a) 1+ / = 1/2 ( cos - + i___ sin - , ezért (1 + /)" = 2 ( co s-----1- / sin — \ 4 4V llTT '117C\ í ^ p./ llTT 117C\ ^ 0; 1/3 - / = 21 cos---- + / sm ----- = 2 co s---- / sin V 6 6 J V 6 6/ ^ nn (l/3-O" = 2" cos — —/ sin — 6 6/ .

a ej 1 + cos a + / sin a = 2 cos^ - + 2/ sin - cos - = 2( cos 2 2 2 V 2 és ebből adódik a bizonyítandó állítás.

4.16. 0. 240

a a cos - . / 5Ín -

4.17. a) Zq = |^(cos 45° + / sin 45°) = | / 2 e = 1+ /; Zi = l/2(cos 135° + isin 135°) = |/2e ^ = - 1 + /; 22 = ^ (c o s 225° + /sin 225°) = ]/2e'^ = - l - i ; Z3 = |/2(cos315° + /sin315°) = |/2e ^ = 1- / . b) zo = 2(cos 45° + i sin 45°) = 2e‘’ ^ = |/2 + /|/2; ^ zi = 2(cos 135° + ísin 135°) = 2e * = -]/2+iÍ2; .

Z2 = 2(cos225° + /sin225°) = 2 e ^ = - ^ - i ] / 2 ; Z3 = 2(c0s315° + ísin315°) = 2e' “ = ]/2~i]l2. c) Zq = 2(cos 60° + / sin 60°) = le ^ = 1 + /|/3; zi = 2(cos 180° + isin 180°) = lé^ = - 2 ; ^ Z2 = 2(cos300° + /sin300°) = le ^ = \-i]JZ. .

a) Zq = cos - + 1sin - = e

- i;

3;t 'in i^ Zi = cos — + 1sin — = e = - 1; ej Zq = 10(cos0 + /s in 0) = 10e'° = 10; Zj = 10(cos rt + isinrt) = lOe” = -1 0 . 4.18. a) ZoZiZ2 = i;

b )

ZqZ^Z2 Z^ = - 1.

6 4.19. Zo = [/2(cos 45° + 1sin 45°); 6 Zi = |/2(cos 165° + /sin 165°); 6 Z2 = l/2(cos 285°+isin 285°). 4.20. a) Zo = Z2 = b)zQ = zi = Z2 = Z3 = Z4 = Z5 =

0,64+ l,55i; z^ = - 0 ,6 4 - 1,55/; -0 ,6 4 + l,55i; Z3 = 0,64- l,55i. l,31(cos 51,14° + isin 51,14°); l,31(cos 171,14° + isin 171,14°); l,31(cos 291,14° + isin 291,14°); l,31(cos 68,85° + isin 68,85°); l,31(cos 188,85° + / sin 188,85°); l,31(cos 308,85° + /sin 308,85°). ■>í ÍE (£ c) Zo = 2; Zi = 2e ^ ; Zj = 2e ^; z^ = e

16 Matematikai feladatok

Z4 Z4 = e'’ eJn.';,

Zj Z5 =

; in ^ 241

4.21. aj 0,77 + 0,64/;

éj 0,04;

c) 0,2;

4.22. a) z = - i = cos 270° + / sin 270° =

d) l;

3n b) z = - i = cos 270°+ í sin 270° = e \

. , / - 0 ,2 4 2 - 1,37/, 4.23. a; z = < 0,242+1,37/;

,,

e) 111,3; / j 4,81.

;

/- 0 ,7 0 7 + 0,957í, ^ = + oo;

n = 1,2,....

n

5.43. a„ = fn\ {«„} szigorúan csökkenő; korlátos; 5.44. a„ = ( —1)"^^; 5.45. a„ = —5« —8; a„^-co. 5.46. a„ = 1+ ^ ;

a„^l;

« = 1, 2 ,... .

« = 1, 2 ,... ; két torlódási pontja van; nem konvergens. n = 1 ,2 ,... ;

« = 1, 2 ,... ;

{a„} szigorúan csökkenő; nem korlátos;

{a„} szigorúan csökkenő; korlátos; ö„->1.

1; « = 0, 2, 4, . . . , 5.47. = ■( ” I , - ) 5 ,..., [ n+1 {a„} nem monoton; korlátos; két torlódási pontja van. 5.48. { —1; —1; —1; —1;...}, a rekurzív formulával megadott {a„} sorozat állan­ dó elemű, tehát konvergens, és lim a„= —l. QO

5.49. { l ; 3 ; l l ; 3 7 ; 1 2 9 ; 4 4 3 ; . . . } ; a „ ^ + ^ . 5.50. {2; 3; 1 ; - 2 ; - 3 ; - 1; 2; 3;...}; {a„} nem monoton; korlátos; nem konvergens. 247

^

5.51. {

3

^ 7

szigorúan csökkenő; korlátos; a„^\.

^ 13

27

)

5.53. {1; 1; 2; 3; 5; 8; 13;...}; {a„} szigorúan növekedő; nem korlátos; «„-> + oo. 5.54. {4; 3,5; 2,875; 2,210; 1,648;...}. A sorozat korlátos (teljes indukcióval igazolható), monoton csökkenő. Az {a„} soro­ zat egyik alsó korlátja 1, egyik felső korlátja 5, tehát konvergens, azaz elég nagy «-től h^ + 5 hm a„ = lim a„+i ■■=h, így h = -------, és a 6^+ 5 = 0 egyenlet gyökei; /«i = 5, n-»oc n-^cc 6 /?2= 1. A két gyök közül csak h= 1 lehet a határérték, mivel az egyik felső korlát 5 és {a„} monoton csökkenő. 5 41 2306 ; . . . | ; {a„} szigorúan csökkenő; korlátos; {a„} kon5.55. •( 1; 2; - ; — ; 4 ’ 2 5 ’ 1681 vergens. 5.56. {1; 0; - 1; 0; - 1; 0 ;...} ; {a„} nem konvergens. 6.57.

f

1

1

3

5

11

1

torlatos; . . - 0 .

5.58. lim ű„ = 1. n— »00 5.59. Belátható, hogy az a„+1 = - ( a„+ — ) sorozat elég nagy «-től kezdve mono2\ a„J tón csökkenő. Az (n+I)-edik elemet megadó képletből 2a„ +ia„ = al +a adódik, amiből viszont 1—ű = al —2a„+ia„ + al^^ = (ö„ +i “ ön)^ ^ 0 következik. Tehát |a„+il ^ l/a, ami azt jelenti, van olyan index, amelytől kezdve a sorozat elemeinek alsó korlátja fa. Legyen olyan részsorozat, amelyben az elemek indexére k > N fennáll. Mivel al'^a, így ----- = - H------ - ^ 1. A sorozat tehát monoton csökkenő, űjt 2 2a,fc alulról korlátos, így konvergens is. Ebből következik, hogy lim = lim a„ = h, n-»oo

vagyis lim

248

n-»oo

Ebből A = ±|/ö. Mivel a sorozat pozitív tagú, ezért = I rt.

5.60. lim a„ = fa. n-* 00 5.61. lim a„ = 4. 5.62. lim a„ - 3. n— »00 5.63. lim ö„ = 1. n— »00 5.64. lim a„ = 2. 00 5.65. lim 00

= 3.

5.66. lim 00

= 6+1.

5.67. min a„ = a^, =

= —120.

5.68. min a„ = Os = 10. 5.69. min a„ =

0 3

=

= - 20.

5.70. min a„ =

= 3 + i f í = 6,464.

5.71. max a„ ^

76 = a-j = — = 163,4. 6!

5.72. maxa„ =

= 2-2l/6 = -2,89. = 110 .

5.73. max a„= ag = 5.74. max

= Ö3 = —4.

5.75. - - < a„ < 1 ; nincs max a„, min a„ elem.

5.76. Ű5^ a „ < 1; nincs max a„; min a„ =

( c

27tai\” o s ~

-5]/2 j— = -0,1473. ^ D

1, 2, 3 ,... sorozat néhány eleme: 249

2 ’ 2 2 ’ ^’ ^ ’

1

A legkisebb elem ~ 2 ’ ^ legnagyobb elem 1, amelyet az űj = ög = ... = 03^ elemek esetén vesz fel, A: = 1, 2, 3, — 5.78. - l ^ a „ ^ l ; max a„ = 03 + 121 = 1; A: = 0, 1, 2 ,...; min a„ = 09 +12, = - 1; / = 0, 1, 2,... . 5.79. {ű„} szigorúan csökkenő, n +1 < 0, mer. ™

n

-2n^-2n+ \ „ p „ . _ 4„ + i , < »■

Korlátos, mert a„ < 3 és «„ > 0, tehát az előbbiek alapján konvergens és lim a„ = 0. «+l - 0 < — , ha n > \ , vagyis az « = v(e) = 51 indexű 2«2-l 100 tagtól kezdve a sorozat elemei 0“ ^-nál nagyobb pontosságnál megközelítik a 0 számot.

Az £=10 ^ esetén

5.80. lim a„ = 1;

n = v(e) = 70.

5.81. lim a„ = - ; n-*QO 4

« = v(e) = 8.

5.82. lim

n = v(e) = 25.

n-^co

= 1;

5.83. lim a„ = - ; n-^cc 5

n = v(e) = 80.

5.84. lim ű„ = 0;

n = v^e) = 25.

5.86. lim a„ = 0;

n = v(e) = 13.

1 5.87. lim a„ = - ; n-QO 4

« = v(e) = 12.

5.88. lim

« = v(e) = 436.

«->oo

250

= 0;

10" 10^'^ 10"“ ^° 10^° 5.89. lim — = lim -------------------- < lim ------- — ) «-»oo

n\

w-»oo 1 0 !

11 * 1 2 . ..fz

«-*oo 1 0 !

JQlO /1A\»“10 mert lim = állandó és lim w-»oo 10! n-^cc -

=0,

\11/

5.90. 0. 5.91. 1. 5.92. 9. 5.93. 0, ha 0 < c < l ;

ha c = l ; 0, ha c > l .

5.94. 00, divergens. 5.95. 1 . 5.96. lim «->oo

^ (1 + 5)(1 + 52)(1 + 53)...(1 + 5") . 1, + ... + 5';l + 2+... + n " ''X , " ^ — — = lim c2n 5 2n « -> G 0 3 n (n + 1 )

1+ ... + 5 2 / 1 Ü^3«\ = lim -------- —------- = lim I — + ... + 5 ) = 00, mert lim 5 W -+00 5 «->0O

= oo.

5.97. 0. 1

5.98. 7 , ha c < 6 ; b

2

---- , h a c = ft; b+c

1

-,hac>A: c

100

5.100.

3 2

5.101. 0. 5.102. - 00, divergens. 5.103. 00, divergens.

251

5.104. /3 5.105. - j . 5.106. 00, divergens. 5.107. +1. 3^______

3

5.108. a„ = |/« + 1 —fn;n = 1, 2, ... Szorozzuk meg, és osszuk is el a jobb oldali 3

3

kifejezést ([/(«+ 1)^ + 1/«(«+ 1)+ |/«^)-nal. Átalakítás után kapjuk, hogy 1 ; lim a„ = 0. a„" = 3 1/(m+ 1)2+!/„(„+ l)+ |//^ 5.109.

00,

divergens.

5.110. 9. 5.111 5.112. 3'°. 5.113. * 61°' 5.114. 1.

5.115. a„ =

1 + 2 + 3 + ... + «

CO, 1 2’ 0,

n{n+\) 2n^

1 3’ 5.117.00, 252

ha

A: = 0, 1,2,3;

-, 4

ha ha ha

k = 2i;

ha

k = 4;

0,

ha

k>4.

4

ha

^ = 3;

0,

ha

k>7>.

1, ha

k = A;

0,

ha

k>A.

5.118.00,

ha

/: = 0, 1,2;

5.119.00,

ha

A: = 0, 1,2,3;

5.120.

00,

ha

A: = 0, 1,2,3,4,5;

1,

ha

5.121. 00,

ha

A: = 0,1,2;

ha

k = 3;

0,

ha

k>3.

5.122.00,

ha

A: = 0,1,2;

ha

k=3;

0,

ha

k>3.

5.123.00,

ha

k = 0;

0,

ha

1

1

1, 1,

ha

A;= 6; 0,

k= l;

k>6.

ha

k>\.

1

1+ - + - + . . . + 2 4 ■■■ 2"“ ‘ 5.124. a„ = ----- j-----j------------ — ;n = 1, 2, 3 ,... . Alkalmazzuk a számlálóban 1+ — H — H... + ---- 3 9 3”“ i és a nevezőben a mértani sor összegképletét: /IV 1 ( i ) - ‘ " ■ ■ “ i—

2-

5 - ‘

4

T í v ------ ’ 3 ’

, “

(í)-*

5.125. 1 . 5.126. 0.

5.128. 5.129. 5.130.

2 00,

divergens.

3

5.131. Ha lim (Í[b-\) = a létezik, akkor {a„} = Í[b-\ konvergens. Ha b> \, /7->00

253

#1

akkor [/^ = 1 +

tehát x„ ^

írható, ahol x„ > 0. A Bernoulli-egyenlőtlenséget alkalmazva: ft = ( f e " = ( l + x j " ^ l + «x„, V . De a„ = p - 1 = 1+ x „ - 1 = 0<

b-\

b-\ ^ -------- >0, azaz

n

a„^0,

vagyis

|/ft

1,

ha

«^oo.

5.132. lim a„ = l. n-^oc

5.133. lim a„ = e. «->oo

5.134. lim a„ = e. «->G0

5.135. lim a„ = In a. /I-^OO

5.'136. lim

= fbc.

5.137. lim a„ = n-*oD

5.138. 1 . 5.139. 1 . 5.140. y .

5.141. Az a„ = /i^([/«+ 1 -2|/n + |/« - 1), « = 1, 2, 3 ,... kifejezést szorozzuk meg és osszuk el a (|/n+ 1 + 2|/« + |/w- 1) összeggel, az átalakításokat hajtsuk végre:

= ----- 7 = ----- 7 = ---- - F ---- = 2 ■

1 ^+ T + |/ÍP T + 21^

1/«+T+|^ i ^ + 2 ^ ^ ’

majd szorozzuk meg és osszuk el a legutóbbi kifejezést a ^

254

__________ n h - l ) ___________ ^ i f i + l + ^ n ^ + 2 f n ) i ^ n ^ - \ + fi)

- 1 + |/n) összeggel:

fn n 1 = —2 , .......;----- ----- pr- = - = = --- p= - > ---- , n->00. (l/«+l +

5.142.

+ 2l/«)

+ 1/«

4

fi

5.143. - 1 . 5.144. -1 0 . 5.145. 2][l. 5.146.

4

5.147. - - . 2 5.148. 0. 5.149.

00,

divergens.

5.150. 5.151. 0. 5.152. -

00,

divergens.

5.153. - 2. 5.154. lim sin [n {Un^ + n + \ - W ;j^oo

.

(-1) .

+ 2n)] = lim sin , , .....= «-*oo

1— )/4w +2«

^

5.155. 1 . 5.156. 1 . 5.1 S7. 4 ( l/2 - l) .

255

5.158.

l^+j/5 8

5.159. l/6. 5.160. 0. 5.161. —00, divergens. 5.162. ^2. 2n-2

1

/2/1 + 3\"~ ^ 5.163. Hm ( - ---- = lim /1 + » - oo\ 2 « - 2 7 » - oo I 2n-2

'

*

1+

1 2n-2

-4

5.164. 5.165. e 5.166. 0. 5.167. 00, divergens.

/n" + 2 V '‘'* = lim 5.168. lim «— *00 «-*oo \«^ + 3 /

n^+3 ■^T 1+

«2 + 3

-1 1+

= e-‘ l 5.169. 5.170. 0. 5.171. 5.172. 00, divergens. 5.173. { a j konvergens, ha A ^ l ;

ha A= 1; a„-^0, ha /l< 1.

------— A « - / i ) = 0, hozzuk közös nevezőre, kapjuk: «+1 / 256

n^ + 3 -1

Hm

= 0 akkor és csak akkor, ha 1—/I = 0 és «+1 —X - f i = 0, ebből A= 1 és ^ = —1.

//-+0O

ha

5.175. 5.176. a „ ^ l ,

ha

X= 4. l0,

X= 2, 5.178. Hm n-^oo

_V«2+i; n^+l

= Hm n^cc

1 ^ 1+ n^+l -2 2

n^+l

lim

2]/n + n^+l

n —y oo

n'*' + fn + n^'^ / n ^ - f n —l

2^'

5.179. 1. 5.180. - +1. 5.181. fe + 2. 5.182. 1 + n-yco . 1-2 2-3 ján írható zárt alakban. 5.183. Hm

5.184.

n(n+l)j

= Hm---- - = 1 kifejezés 5.12. alapn-yoo n~^ 1

2

17 Matematikai feladatok

257

5.185-7

4

5.186.

77 240

5.187. 00, divergens. 5.188. |/ 2 - |/ 3 . 5.189. Ig^. 5.190. 00, divergens. 5.191.

4

5.192. 2. 5.193. 0. 5.194. {a„} konvergens,

ha

{xeR |x= 1. 6.26. Periodikus,/? = 2. 6.27. Periodikus,/? = 7t. 6.28. Nem periodikus. 6.29. Periodikus,/) = 27t. 3-7j 6.30. a) x = — — ; 2y

b)x=

\íy ^ ; [' 3

r 9 c) x = logj ]^+ - ; 4

3

d) X _ X —5 _ 6.31. a) f{x) nem létezik; b) f i x ) = ---------2; c) f{x) nem létezik; In 9 1/ x + 1 _ _ f 1- |/x, ha X ^ 0 ; d) R x ) = I ----- ; e) f(x) nem létezik;/; f(x) = < f X 1 —X, h a x < 0 1 g) f(x) = -A rcsinx. y —2 6 . 3 2 . a ) ^ — ^ = - ~ ] , a = 0,b = 2 , A = l , B = - 3 ; -3 \ 1

260

b)

y+1

íx-2 \ ű = 2 ,

-1

VI

b= - h A = l , B = - l ;

1 1-

1 1

0

Jo*

1*

'

/

f ’'

y*=('Aí*/\

j

/

/

/

\

1 '

\ \

jy=-x^+4;f-5\

261

c)

d)

,^ = 0,í. = ^ , ^ = l , 5 = - y ,

j

2 3

' / x- -- 20\ -1

y-0

,a = 2,b = 0 , A = l , B = 3 ; 3 V I / y +2 _ / x - 3 \ “^ ,a= 2> ,b= -2,A= -\,B= 6. e) 6 V - 1 y j-0 f x —2\^ 6.33. a; - 7- = ± ( — ^1 ,íz=2, 6= 0, 1 -1 'x -2

7+1

-l,fi=l;

,a = 2,b= - \ , A = l,B =2 .

6.34. a) Xi = ~ +2kn, k e Z ; X2 = -----\-2ln, l e Z ; 71

^

5ti

b) X = ± - + k%, k e Z-, 3 d) X e R;

c) x = -----^2kn, k e Z ; 4

e) xi X 16F34' + k ■180°,

JC2 « 170“32' + / • 180°,

1+ cos 2x sin^ X+ cos^ x + cos^ x - sin^ x = 2 2 b) Kövesse az alőző bizonyítás gondolatmenetét!

6.35. a)

k, leZ.

COS^ X.

cos^ - - sin^ COS / 2 • "^ c) cos X

2

=

1

I

^ • 2 ^ c o 2s ---sm -

2

cos^ -X + sin^ -X 7

2 ^

2

2 7

-2^'

cos^2 -^ ,+ sin^ 2

cos^

l + tg " r d) Kövesse az előző bizonyítás gondolatmenetét! 262

2

1 6.36. a)

1 4

x+ \\ = cos I — p 1, a = - 1, , 6, = —1 , A = —1 , ő = -1 ; 4’ 2’ 4 2

>^+1 — — = sin ^2 j-3 c;— r =

x -n _ 1 2

(x-Qh - r

y-\

, =-1, A = 2, B =

1

í

1

3^

d) —^— = cth 1 V-2 7 2 e)

y-l

= arsh

, a = - l , 6=1, A ^ - , B=2; y~2j

v+ 2 f ) —j— = arch

*=-2, ^ = -2 , 5 =

3 y-\

íx+ \\ = a rth í— j, a = - \ , b=\, A = ~ 3 , 5=2 ;

y = a rcth , a = - 1 , b = 0, A = ^ , B = ^ . T ' ) Z L 3 2 V ^ ) 267

2

/ X \

6.47. aj —j— = eh / — j-U

1

a = 0,

6=--,

1

A= - - ,

4 ^x-l\

\^ J

, a=l,

í»=-l,

3 6.48. a) 0 < \ x - l \ < - , ^ ^ c) 268

2

’

esetén \f{x)~ A\ =

^ ^ l-x+ll < e . S = e; X -

X

-1

1

B=~;

=

6 ,4 9 ,.; ^ = 2, ,5 = 4 ^ ; 1306 6.50. a) ctí(e) = —— ;

b) (o{s) =

4 l g3'

6.51. a) x = 0-nál hézagpont (megszüntethető szakadás), x = 1-nél póluspont (nem megszüntethető szakadás), létezik határérték; b) x= —1-nél hézagpont (megszüntethető szakadás), X = 2-nél póluspont (nem megszüntethető szakadás), nem létezik határérték. 6.52. a) x = 0-nál nem megszüntethető szakadás, x=3-nál megszüntethető szakadás; b) x = 0-nál ugrás (nem megszüntethető szakadás); c) x= ±nn-nh\ nem megszüntethető szakadás (n e N). 6.53. lim f{x) = - 1, lim /(x) = 1. 6.54. lim f { x ) = - 00, lim f{x ) = oo. x^ 0 ~ x->0+ 6.55. lim f { x ) = —GO, lim f(x ) = -

go.

6.56. lim f i x ) = 0, lim f(x ) = - 2 . x^5~

x^5 +

6.57. lim f i x ) = 1, lim f ix ) = 1. x->06.58. lim f i x ) = 0, lim f ix ) nem létezik. x-*0 ~

x^ 0 +

6.59. lim /( x ) = x-0~

2

lim /(x ) = ^ . a:^0+ 2

6.60. lim f i x ) = 0, lim f ix ) = oo. x-l~

x-*í +

6.61. 6.62. 0.

6.63. —00. 269

6.64. 00. 6.65. 00.

6 . 66. 0. 6.67. 00.

6.68. 0. 6.69. 0. 6.70. - - . 6.71. 00. 6.72. 100. 6.73. 0.

6.74. - i . 6.75. 6. 6.76. n. 6.77. 0. 6.78. -3 2 . 6.79. 6. 6.80. T 6.81. - 1 . 6.82. 00. 6.83. ]-. 2

270

6.84. 0. 6.85. - . 4

6 .86. - 8. 6.87. 0.

6.90. - — . 10 6.91. 4. 3 6.92. — . 14 6.93. - . 6 6.94. 3. 6 .9 6 .^ .

6.96. ^ 2 6.97. 3. 6.98. 00. 6.99. 0. 6.100. 1. 271

6 .1 0 1 .-^. fi a+ b 6 .1 0 2 .-— 2 6.103. 0. 6.104. 6.105. 6.106. 6.107. 6.108. 2 . 6.109. 1. hL 6.110. e". 6 .111 .

1 2

6 .112 .00. 6.113. 0. 6.114. 0. 6.115. 2 . 6.116. 1 .

•272

6.117.

6 .118.

273

6.120 /

6 .121.

274

/

6.122.

2.

6.123. 10. 6.124.

4

6.125. 1. 6.126. 0. 6.127.

7 4

6.128. - 9 . 6.129.

6 .1 3 0 .-. 2 6.131. 1. 6.132. - 2 . 6.133. 0. 9 6 .1 3 4 .-. 2 6.135. 2. 6.136.^ . 6.137. l. 6.138. 1. 6.139. ( - 1 )” - " - . n

18*

275

7 . fejeze t

]!x + h-][x ]jx + h-][x ]/x + h+][x 7.1. a) lim-------------= lim......................... — — -j= h h^o h VX+ h+vx , {x + h ) - X ,, 1 1 = hm — p = — — = hm ^---- — = = — . >

i 1 (2x)" — ( l - l n 2x).

7 .4 9 ./'(X)

7 .5 0 ./'(x)

7 .5 1 ./'(x)

1 eos^ -1 X

-1

In |/Á+ Í t g xj

1

279

7.52. f'{x) =

^ I n X-(cos x) \ n x + p . -

7 .5 3 ./'(x) =

X

\ 1 In - + 1 X /

J

7.5 4 ./'(x) = (Inx)

sin X

(In x) In In X+ 2 ^ 2|/x In X

7.55. f'(x) = (cos x)“" ^ [cos x(ln cos x) - (tg x) sin x]. 7.56. f i x ) =

/ 1

/

+ x,\ xj

In \

+x 1-X 1

1-X2

l - x

7 .5 7 ./ ( x ) =

7 .5 8 ./'(X) =

(1+X)2 x^(ln x + 1 )

1-ln

1

+x

-(arctg x)^ (1

cos x —2 XV 7 .5 9 ./ = — ^

7.60. / =

y

x(l-2xy) (l+j2) /

7.61. / =

1 -2 x j^ -2 x j 3 • 3x^;; cos^j(j^ - In 4 4"^’ In >>)

'

4^’ cos^j + j - 2 j ^ x ^ cos^ j

^ 2x;;^3*^ln 3 —2xy In y 7.63. y — 2 tx 2 I 2 ~' _)^cos>' —2j 3 + x

7.64. /

280

+ x^y^ + (In 2 ) (xy - y^) 1 + x^y^ - (In 2 ) (x^ - xy) 1

+ x^) arctg x_\

7.65. - = ^ { y + x / ) - e y - \ y ' - l ) = 0. n-{xyY x^ + y^ + (lnl 0).y (x * In 4 7.66. > - --------------------------------------- ^----x^ + y^ + (In 10)x (x " In 4 -7C-7 ^ ~2yfT^ún{xy) 7.67. y \ x ) = — ;----- -------------- . 2x1/1 - y sin {xy)~ 1

y]/r+2y 7.68. / = — X y^ cos^ — I- xl/l + 2y y sin l/x

7.69. / ------------- =!----------------. COS [/x - X cth y

y^ sin^ x - > ’- ( l n cos \)y^ (cos 1)^ sin^ x 7.70. y' = -----------Ctg X + ly^ l.l^.y'

3

1 .12 ./ Po - -2 -

7.73. j = - ^ x + 4^^. 7.74. j = - 2 x + 5. 7.75. «j = 30°,

7 = |/3 x+ ^ .

7.76. m = - 2 . 7.77. j = - 2 x + l . 7.78. >' = (ln2)x+l. 281

7.79. y = nx —(n+ 1). 7.80. y = ~(ln3)x.

7.81. y = - 2 x + l . 1.82. y = x;

y=~x.

7.83.

-2 ) , ^ ^ ( 1 ;- 2 ) , = —x + 2 - n ;

7.84. 7.85.

= •^ 2

X

-

2

párhuzamos. ^ = 90°.

7.86. (pi = (p2 = 9Q\

7.88. a) r =

5J/ÍÖ

c) rx4,3S,

7 . 8 9 . / ' 0 = O,

7.90. a) Xi =

=

ö'«0,23,

51/10’ O

ö(-4;-); “V ” 3

'49 76\ 16 ’ 16

í>;r = /8, éf = ^ ,

0(-2;3);

o;-

/-0> O .

minimumhely; ^2 = 0, Xa = - 2 a lehetséges inflexióhelyek.

b) X = - maximumhely,/"(x')^O, vagyis inflexiós pont nem lehet.

7.92. 2. 282

;

7.93. ^ .

7.94. 1

7.95.

7.96. ]l2. 7.97. 2. 2 7.98. - .

7.99. 2.

7.101. 1. 7.102. 1. 7.103. 0. 7.104. 3. 7.105. 1. 7.106. 0. 7.107. e - l . 7.108. - 2 . 7.109.

4 In 2

7.110. 0. 283

7 .111 . 2. 7 .1 1 2 . 2 .

7 .113 .

1

e

7 .114 . 0. 7 .115 . 0 . 7 .116 . 0. 7 .117 .

4In 3

7 .118 .0. 119 .0 0 .

120.0 . 121.0 . 122.

-

00.

123 . 0 0 . 1

7 .125 . 0. 1

7 .126 .

7 .127 .

1

e

7 .128 . e~k

7.129. e. 284

7.130. Zérushelyek: P^{0; 0), ^2(2; 0),

lim f(x) = - oo, 2

- GO

]2;o)[

- ;2 3

lim /(x )= oo,

3

max. /(-V)

/2 / : \'

32

mm. f(2 ) = 0

7 .131 .

285

7.132.

7.133.

7.134.

286

7.135.

7.136.

4-4x

3

5

-1

7.137.

287

7.138.

7.139.

7.140.

288

7.141.

7.142.

19 Matematikai feladatok

289

7.143.

7.144.

7.145.

290

7.146.

7.147. Páratlan függvény, zérushelyek: /*i(—1; 0), P jílí 0) lim f{x) = ± 00, Hm f( x ) = 0. ,v-*±QO

.v-»0*

- oo; - -

-

e

-;0

e

1

1 0;e

00

fix) max.

mm.

fix)

X fix) fix)

19*

]-a^;0[

]0;^[

-

4-

n

U

291

7.148.

7.149.

7.150.

292

7.151

7.152.

x-^e

i 1 2 7.153.

293

7.154.

7.155. lim /(x ) = x-*-ao

- 00,

lim f(x) = - oo.

x-*0~

Hm f(x) = oc,

jc—0"^

1-00 ;0[ J0;oo[

X

—oo; —1

-1

l-i;0 (

10;a,(

f(x)

+

0

-

-

f( x )

-

+

fix)

T

i

i

fix)

n

u

294

max.

.V

lim f(x) = 0.

x-»oc

7.156.

1' X

1 i 1

0

2 -í e í

2

&

1

1

2*n

4

X

7.157.

7.158.

295

9(Z

L9LZ.

09 LZ.

■6SL7.

7 .1 6 2 .6

és

1000

7.163. r =

8 3

- 2;

4 3

és-

1000 a 000

(=10,3) cm,

3n

7.164. A maximális K _ = 1 0 8 dm^

3n

térfogatú

hasáb

alapéle

( = 3433,55) cm^

6 dm,

magassága

3 dm,

= — , a téglatest kocka.

7.165.

r=

7.166. w = ^ , )/3

7.167. A =

-a.

y3

= 1^2 3 8

7.168. a = b — ------m 8 + tt

7.169. A négyzeté;

0,72 m,

a r = - . 2

a=b=

7.170. A maximális területű trapéz egyenlő szárú trapéz, rövidebbik párhuzamos oldala 4 cm, magassága (/Í2 cm. m 7.171. M = - . 7.172. m = 8 egység. Terület = 40 területegység. 7.173.

x+z y + 2x = ~ ^y = J

3

+ay, mivel z = x + y és a = 2y + x.

T'iy) = a - 3 j . T'(y) = 0,

ha

Ekkor x = ^ .

T'iy) = —3 < 0, tehát a trapéz területe x ^max

a y = - -nál maximális.

— . Ez a háromszög területének kb. 66,7 %-a.

6

297

40 m = — cm.

7.174. a = 12cm, ifi

4 "í = 3^-

7.175. r =

7.176. a = 271 7.177. sin 31° sí 0,5151. 7.178. K «1060cm \ 7.179. JrKO,l cm. 7.180. Am Sí —16 • Aa. 8. fejezet 8.1.

X

\ \ k - - { \ - x f + — { 2 x - \ f - -(3 + x )- ^

1 !--------- T

10Í / / x - l \ ^

8.2 . X H. - [/^ + - l/(l + 2x f + -

+ c.

+ c.

3 44 8.3. X ^ 2 ) /x - 2 l/2 l/x - 6 ^ ( 4 - x ) ^ - - |/(2 x -1)^+c.

8.4. X

------ p= + - ^ + 1 0 V x + -x ^ + 4x------- 31n |x | + c. 5^ ^ 2 X

2x j ^2-* ^:cln2 8.5. X H.---- +2e2* + 2e-*+ -e3^ + 3e*+x----------+ -- -----+c. In 2 3 In a In 2 . X 1 8 .6 . X !-►3 sin x + 4 cos - + ^ t g x + actg (1 —x) + r.

8.7. X !-►—ctgx —t g x — -c o s2 x + c . 298

1 X 5 3 -x 8 .8 . jc !-►- eh x + 2 sh - - - th 2x + 25 cth —— +c. 2 2 4 5 8.9. X I-* - th x + c. 2 8 .10.

X H . -In !xl

2

+ l n |x - l | - - ^ l n |x + l | In 2

-

-ln l5 -3 x | 3

+ c.

1 2 3 1 8.11. X i-» -p Arcsin l/2x H— arsh 3x H— Arctg x — p arch x + c. p. * ^ 3 4 ^ |/2

8.12.

X

8.13. X

|/5 X ^ |/2^ X |/2 ^ !-►— arch -7= - arsh l'2x+ ——Arcsin -7= + — arsh l/2x + c. 15 [/5 ' 9 ][l 2 ' 3 / 1\ 7T 3x+l ^ a r s h (2 x + 1) + Arcsin |^x- - j - ^arch—^---- l-c.

1 2/3 2x + l 8.14. X H » ln lx + l|---- ( ^ + 1 ) --------Arctg — — l- 5 arth (x —2) + c. 2

3

i/3

8.15. ^ — -co sx ^ + cj-.

8.16. { - - s in ( l + x)^ + c}-. 8.17. {2 tg (l+ x )2 + c}. 8.18. >s = — = —r - : = —. T i 2 'in 318

] r 3 c) Az X tengelyre vonatkozó másodrendű nyomaték íxzI^ = - - ( a ^ - x ^ y d x = a 1- 1 - ) = cos t, .aj

dx integrál értéke, amely az - = sin t, a \ö / / dx = a cos í dt helyettesítés után 3 J

L =

ab^

ab^ r /l+ co s2 A ^ ab^ C /3 - + 2 cos 2? + - cos At\dt = cos'^ tdt = — ---------- \ dt = — 2 2 2 12 )

ab^n Az y tengelyre vonatkozó másodrendű nyomaték. b ,_____ -x^^a^-x^dx = b a

h =

/%

x^

/ / - 1 dx V - \\

kiszámításánál is a fenti helyettesítést alkalmazva: a^bn . a^b r , a^b C sin t cos tdt = — (1 —cos 4t) dt = sin^ 2 t d t = „ 4 . 8

ly = a^b

.

Az origóra vonatkozó poláris másodrendű nyomaték I„ =

8.298. a)

8.299. a)

e-1 2

e^+1 ’

sh2 -2

/e^+l

4

4

e~2\ ’

6-2e

+1 =

abn(a + b ) 8

2e^+l

2e^-6e+ 19

2

1

bj

e(ch 1- 1) ’ 8(ch 1- l V

c h M -3 c h l+ 2 c j ---------------------; 3 eh 1 - 2 sh 1 - 2 ; 0,36.

8.300.

8.301.

^ l/3r

^

b)

''n —2 2

n ’

8

2 9

n +4 2

971+ 40 18

llr

n ’ lÓTT 319

8.302. an,

8.303.

0;

6|/3

2r n

8.304. a) r^- r^-

2r n

c)

r^n

r^n

r^n

8.305. a) s h 2 - 2; 4(sh 1- e h 1+ 1); / 2(sh 1- c h 1+ 1) s h 2 - 2 ^ \ sh 1 ’ 2 sh 1 c) 8 sh 1+ - s h M ; 2 4 sh 1- 16e h -1; 32sh 1+ - s h M - 1 6 e h 1. 3 8.306. a) 2,78; 3,17;

( 2 2 ^ b) [ - a , - a

3 , 3 ,

8.307.

8.308. a) - - a ^ \ - - a ^ \ b )

8.309. a) 96; 12n\

c)

6\ n)

8.311. ay

3 c) - -a ^ ; - - a ^ \ - - aL^ 4

- -a; - - a

b) (3;r; 4); '6 ^

8.310

c) 8,54; 5,54; 14,08.

b) (1,52; 1,34);

n{2 s h 2 - e h 2 + 3) 8

2304

; 4327t^- 1228,8; 4327c^-768.

32 ^32 r 64 c; y 7 t - 8 |/ 3 ; y 7 c + 8l/3; — n. /2 s h 2 -c h 2 + 3 < ’> [ 2(2 . s h 2) - -"

71 / 3 c) — ( 3 + - s h 2 + sh2 - ch^ 1 16 V 2

8.312. a) ; r ( l - l n 2);

8.313. 320

b) (2 + In 2 ; 0 ; 0);

I n

c)

48 n 18'

»

11 y ;o ;

\

8.314. a) 24,15n;

b)

8.315. a) 4n;

b) Q ; 0 ; 0 ) ;

8.316. a) 0;

b) (0 ; 0 ; 0);

8.317. a) - n ;

b)

8.3T8*. a) 71;

b)

8.319. a)

/4

34,871.

128

c) 352,02. c) - Ti8

űM45;r2+128) 36 Ti

c)

0; 0 ;

c)

4_^ 16

5

= -• 8 ’ 5 \ 0 ; - ; 0)

/ = ^

22

•

l7l

8.321. a) n \ n l \

b) (0 ; l n 2 ; 0);

8.322. a) I5n;

b) (2,5; 0;0);

C) Ó7C.

8.323. a) 18^^71;

b) (2; 0 ; 0);

81 Ü7t 0 - ^ .

8.324. a) 97,17;

b) (1,66; 0 ; 0);

c) 388,72.

8.325. a) 204,2;

b) (0,21 ; 0 ; 0);

c) 5,84.

8.326.

9a3„2 71 — ;

8.327. a) 0; 21 Matematikai feladatok

256 b) (0 ; 0 ; 0);

6a*n c ) ----- . ^

11

c) 2\6n. 3 21

8.328. a)

8327T

10247T

;

8.329. a) 8,09; 8.330. a)

fía^n

8 i/2ö^7t 15 c)47t; d) 2 arcth

8.331 h) - l ;

i ) ^ ; j) 6; 2

8.332. a) 8.333.

k) 0; l) n-, m)

18 480 0,7462;

3140

éj 0,7468;

ej 0,7468;

cm^

8.337. a) 7,91

kp dm^ ’

kp b) 7 , 8 0 - ^ . dm • 1710

8.338. a) 1480 m m ^

b)

8.339. a) 470,58 g;

b) 480,40 g.

/

79\

8.341. a) (9; 3,100);

322

e) \n2; f ) - arcth n) 8;

g) 2;

o) - 7 In 3. 4

-9601/3-233 b)

8.336. 18847T cm^.

8.340.

9

-4 8 0 /3 -1 1 1 1

8.334. 366;r. 8.335.

c) 32,26.

b) 0;0,53;0);

"(41 b) (9; 3,125).

27 720 ú?; 0,001;

0,0001;

0,0001.

9. fejezet-. 9 .1 . A mértani sorozat összegképletét alkalmazva, a számsor a következőképpen írható: /ly 00

n /l\t

l\t

1

v i) - ‘

1

mivel

n \”

3 -‘ ha «-»oo. Tehát a számsor konvergens. " 2* +3^ 3 9.2. lim y ——— = - ; n -» o o 6 2

konvergens.

" l + 3‘ + 5^ 23 9.3. hm 2, ---- 7Tk— = ; n-»00 1j Zo

konvergens.

k'>"''“ 8ens. 3*+ 9.5. hm Y, ~TTk----divergens. k=o 2 n 3(1+1 9.6^ hm Yj = 12; n^oo 2 „ ^k+3 9.7. hm Z ( “ 1 ) * - ^ n-^oo jt=0 ^

konvergens. 320 ~ ;r ’ ^

9.8. hm y —;---- 1 = a +2; t=o \a + 2/

konvergens.

konvergens.

9.9. A számsor az 5.13. feladat alapján zárt alakban írható: Qo

1

,? i A:(/:+!)(/: + 2) ^

.

"

l k ( k + l ) ( k + 2) ^

n(n + 3) 1 = lim ----------------- = - , tehát konvergens. »-oo4(n+I)(n + 2) 4

21*

323

^ k 1 9 .10. lim y - — ——— — —= - ; w-cx) 1^= 1 (A:+1) (A: + 2) (A: + 3) 4 ” 9.11. lim ^ —— -»• 00 ; {lk-\){2k+ \) " 1 1 9.12. lim Y. 77^— 7 = z ; n-oo 4k^ - 1 2

konvergens.

divergens.

konvergens.

" 1 1 9.13. lim X ,ct/ = T’ 00 {2,k - 2) (3A: + 1) 3

konvergens.

" 9.14. lim ^ "-«> t=i

;

1 +

1

” 1 3 9.15. lim Y. T7rTT\ ^ ’ n-oo A:(A: + 2) 4 "

c+\

(