Sayısal İşaret İşleme - Sakarya Üniversitesi Çağlar GÜL Ders Notları FULL Slaytlar

İşaretler ve İşaret İşleme • İşaretler günlük hayatımızda önemli bir rol oynar. • Bir işaret zaman, uzaklık, konum, sıcaklık ve basınç gibi bağımsız değişkenlerin bir fonksiyonudur. • Karşılaştığımız çoğu işaret doğal olarak üretilir. • Ancak, bir işaret yapay olarak ya da bir bilgisayar aracılığıyla da üretilebilir. • Tipik işaretlere bazı örnekler aşağıda verilmiştir.

Tipik İşaretlere Örnekler • Ses ve müzik işaretleri – hava basıncını uzayda bir konumda zamanın bir fonksiyonu olarak temsil eder • “I like digital signal processing” ses işaretinin dalgaşekli aşağıda gösterilmiştir.

Tipik İşaretlere Örnekler • Elektrokardiyografi (EKG) işareti – kalbin elektriksel aktivitesini temsil eder. • Tipik bir EKG işareti aşağıda gösterilmiştir.

Tipik İşaretlere Örnekler • EKG işareti periyodik bir dalgaşeklidir. • Dalgaşeklinin aşağıda gösterilen bir periyodu, kalpten atardamarlara kan transfer işleminin bir çevrimini temsil eder.

Tipik İşaretlere Örnekler • Elektroenselefogram (EEG) işaretleri – beyindeki milyarlarca nöronun rastgele uyarılmasıyla oluşan elektriksel aktiviteyi temsil eder.

Tipik İşaretlere Örnekler • Sismik işaretler – bir deprem, bir volkanik patlama veya bir yer altı patlamasından kaynaklanan kaya hareketleriyle oluşur. • Yer hareketi, hareketin kaynağından başlayıp yeryüzünün katmanlarından tüm yönlerde ilerleyen üç tür elastik dalga oluşturur.

Tipik İşaretlere Örnekler • Tipik bir sismograf kaydı aşağıda verilmiştir.

Tipik İşaretlere Örnekler • Renksiz görüntü - ışık şiddetini iki uzamsal koordinatın bir fonksiyonu olarak temsil eder.

Tipik İşaretlere Örnekler • Video işaretleri–çerçeve olarak adlandırılan görüntü dizilerinden oluşur ve 3 değişkenin bir fonksiyonudur: 2 uzamsal koordinat ve zaman.

Video

İşaretler ve İşaret İşleme • Bir işaret bilgi taşımaktadır. • İşaret işlemenin çıkartmaktır.

amacı

işaretin

taşıdığı

faydalı

bilgiyi

• Bilgi çıkartma yöntemi, işaretin türüne ve işaretin taşıdığı bilginin doğasına bağlıdır. • Bu ders, işaretlerin ayrık-zaman gösterilimi ve ayrık-zaman işlemesini ele almaktadır.

İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması

• İşaret türleri, bağımsız değişkenlerin ne olduğuna ve işareti tanımlayan fonksiyonun aldığı değere bağlıdır. • Örneğin, bağımsız değişkenler sürekli veya ayrık olabilir. • Benzer şekilde, işaret bağımsız değişkenlerin sürekli veya ayrık bir fonksiyonu olabilir.

İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması

• Ayrıca, işaret gerçel veya karmaşık değerli bir fonksiyon olabilir. • Tek bir kaynaktan üretilen işarete SKALER İŞARET denir. • İki veya daha fazla kaynaktan üretilen işarete VEKTÖR veya ÇOK KANALLI işaret denir.

İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • Bir boyutlu (1-D) bir işaret, tek bir bağımsız değişkenin bir fonksiyonudur • Çok boyutlu (M-D) bir işaret, birden fazla bağımsız değişkenin bir fonksiyonudur. • Ses işareti, bağımsız değişkenin zaman olduğu 1-D bir işarettir • Bir görüntü işareti, bağımsız değişkenlerin uzamsal koordinatlar olduğu 2-D bir işarete örnektir. • Renkli bir görüntü, birincil renkleri (kırmızı, yeşil, mavi) temsil eden 3 adet 2-D işaretten oluşur.

İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • Renkli bir görüntü ve görüntünün üç renk bileşeni aşağıda gösterilmiştir.

İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • Renksiz bir sayısal video işaretinin her bir çerçevesi, her çerçeve zamanın ayrık anlarında meydana gelmek üzere ayrık 2 uzamsal değişkenin bir fonksiyonu olan 2-D bir görüntü işaretidir. • Bu nedenle, renksiz bir video işareti 3 bağımsız değişken 2 uzamsal koordinat ve zaman olmak üzere, 3-D bir işarete bir örnek olarak düşünülebilir. • Renkli bir video işareti, 3 birincil rengi (kırmızı, yeşil, mavi) RGB’yi temsil eden 3 adet 3-D işaretten oluşan 3-kanallı bir işarettir. • RGB televizyon işareti, iletim amacıyla parlaklık ve 2 renk bileşinenden oluşan 3-kanallı diğer bir tür işarete dönüştürülür.

İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • 1-D bir işaret için, bağımsız değişken genelde zaman olarak adlandırılır. • Bağımsız değişken sürekliyse, işarete SÜREKLİ-ZAMAN işaret denir. • Bağımsız değişken ayrıksa, işarete AYRIK-ZAMAN işaret denir. • Bir sürekli-zaman işaret, zamanın her anında tanımlıdır. Bir ayrık-zaman işaret, zamanın belirli anlarında tanımlı olup bir sayı dizisidir. • Sürekli genlikli bir sürekli-zaman işaretine genelde ANALOG bir işaret denir. Ses işareti analog bir işarete örnektir.

İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • Sonlu sayıda rakamla temsil edilen ayrık-genlikli bir ayrık-zaman işaretine SAYISAL işaret denilir. • Sayısal bir işarete örnek, bir sayısallaştırılmış muzik işaretidir.

DVD’ye

kaydedilmiş

• Sürekli genlikli bir ayrık-zaman işaretine ÖRNEKLENMİŞ işaret denir. • O halde, sayısal bir işaret kuantalanmış örneklenmiş bir işarettir. • Son olarak, ayrık-genlikli sürekli-zaman işaretleriyle karşılaşılabilir. Aşağıda, 4 işaret türüne örnekler verilmiştir.

de

İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması

İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • Bir işaretin matematiksel temsilindeki fonksiyonel bağımlılık genelde açık bir şekilde gösterilir. • Sürekli-zaman 1-D bir işaret için, sürekli bağımsız değişken genelde t ile gösterilir. Örneğin u(t), sürekli-zaman 1-D bir işareti temsil eder. • Ayrık-zaman 1-D bir işaret için, ayrık bağımsız değişken genelde n ile gösterilir. Örneğin {v[n]} ayrık-zaman 1-D bir işareti temsil eder. • Bir ayrık-zaman işaretinin her üyesi v[n]’ye bir ÖRNEK denir.

İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • Çoğu uygulamada, bir ayrık-zaman işaret bir sürekli-zaman işaretin zamanda düzgün aralıklarla örneklenmesiyle elde edilir. • Ayrık-zaman işaretin tanımlandığı zamanlar düzgün aralıklıysa bağımsız ayrık değişken n, tamsayı değerler alacak şekilde normalleştirilebilir. • Sürekli-zaman 2-D bir işaret durumunda, 2 bağımsız değişken genelde x ve y ile gösterilen uzamsal koordinatlardır. • Örneğin, renksiz bir görüntünün (x,y) konumundaki parlaklığı u(x,y) olarak ifade edilebilir.

İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • Sayısallaştırılmış bir görüntü 2-D ayrık-zaman bir işarettir ve iki bağımsız değişkeni genelde m ve n ile belirtilen ayrıklaştırılmış uzamsal değişkenlerdir. O halde, sayısallaştırılmış bir görüntü v[m,n] olarak ifade edilebilir. • Renksiz bir video işareti 3-D bir işarettir ve u(x,y,t) şeklinde temsil edilebilir. • Renkli bir video işareti, birincil renkleri temsil eden 3 işaretten oluşan bir vektör işarettir:

İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • Matematiksel bir ifade ya da kural, veya tablodan okuma gibi iyi tanımlanmış bir işlemle tam olarak belirlenebilen bir işarete DETERMİNİSTİK bir işaret denir. • Rastgele bir şekilde üretilen ve önceden kestirilemeyen bir işarete RASTGELE bir işaret denir.

Tipik İşaret İşleme Uygulamaları • Analog işaretler durumunda, çoğu işaret işleme algoritmaları zaman uzayında yapılır. • Ayrık-zaman işaretler durumunda, genelde hem zaman hem de frekans uzayında işlemler gerçekleştirilir.

Temel Zaman-uzayı İşlemleri • En temel üç zaman-uzayı işlemi ölçekleme, öteleme ve toplamadır. • ÖLÇEKLEME, bir işaretin pozitif veya negatif bir sabitle çarpılmasıdır. Analog işaretler durumunda, kazanç denen çarpım sabitinin genliği 1’den büyükse işleme KUVVETLENDİRME, aksi halde ZAYIFLATMA denir. • x(t) işareti  ile ölçeklenmişşe, işlem sonucunda y(t) = x(t) işareti oluşur.

Temel Zaman-uzayı İşlemleri • Diğer temel iki işlem, İNTEGRAL ve TÜREV almadır. • x(t) analog işaretinin integrali

işaretini oluşturur. • x(t) analog işareti nin türevi

işaretini oluşturur.

Temel Zaman-uzayı İşlemleri • ÖTELEME işlemi, orijinal işaretin ötelenmiş bir kopyası olan bir işaret oluşturur. • x(t) analog işareti için, y(t) = x(t-t0), x(t)’nin pozitif olduğu varsayılan t0 kadar süreyle ötelenmesiyle elde edilen işarettir. • t0 süresi negatifse, işleme İLERLETME denir.

Temel Zaman-uzayı İşlemleri • Çoğu uygulama, yeni bir işaret oluşturmak amacıyla iki veya daha fazla işaret içeren işlemler gerektirir. Örneğin, y(t) = x1(t) + x2(t) + x3(t) ile verilen işaret x1(t), x2(t) ve x3(t) analog işaretlerinin toplanmasıyla oluşturulur. • x1(t) ve x2(t) işaretlerinin çarpımı y(t) = x1(t) x2(t) işaretini oluşturur. • Şimdiye kadar tartışılan temel işlemler, ayrık-zaman işaretler üzerinde de uygulanır. • Daha karmaşık işlemler, iki veya daha fazla basit işlemin birleştirilmesiyle gerçekleştirilir.

Filtreleme • FİLTRELEME, en sık kullanılan karmaşık işaret işleme yöntemlerinden birisidir. Bu işlemi gerçekleştiren sisteme bir FİLTRE denir. • Bir filtre, belirli frekans bileşenlerini bozunumsuz geçirirken diğer frekans bileşenlerini bastırır. • Filtreden geçmeye izin verilen frekans aralığına GEÇİRME bandı, filtrenin bastırdığı frekans aralığına da SÖNDÜRME bandı denir. • Çoğu durumda, analog işaretler için filtreleme işlemi doğrusaldır.

Filtreleme • x(t) giriş işareti, y(t) çıkış işareti ve h(t) filtrenin impuls yanıtı olmak üzere, doğrusal bir analog filtreleme işlemi

eşitliğiyle verilen konvolüsyon integraliyle tanımlanır. • Dört tür temel filtre mevcut olup tanımları aşağıda yapılmıştır.

Filtreleme • ALÇAK GEÇİREN bir filtre, KESİM FREKANSI denen belirli bir frekans fc’den küçük frekansları geçirir, fc’den büyük frekansları bastırır. • YÜKSEK GEÇİREN bir filtre, belirli bir kersim frekans fc’den küçük frekansları bastırır, fc’den’den büyük frekansları geçirir. • BAND GEÇİREN bir filtre, fc1< fc2 olmak üzere, iki kesim frekansı fc1ve fc2 arasındaki frekansları geçirir, fc1’den küçük ve fc2’den büyük frekansları bastırır. • BAND SÖNDÜREN bir filtre, fc1< fc2 olmak üzere, iki kesim frekansı fc1ve fc2 arasındaki frekansları bastırır, fc1’den küçük ve fc2’den büyük frekansları geçirir.

Filtreleme • Aşağıdaki şekil, 50 Hz, 110 Hz ve 220 Hz frekansına sahip sinüzoidal 3 işaretten oluşan bir giriş işaretinin alçak geçiren filtrelenmesiyle oluşan sonucu göstermektedir.

Filtreleme • Aşağıdaki şekil, aynı işaretin yüksek ve band geçiren filtrelenmesiyle elde edilen sonuçları göstermeketdir.

Filtreleme • Yukarıda verilen dört tür filtreden başka tüt filtreler de vardır. • Tek bir frekans bileşenini bastıran filtreye ÇENTİK filtre denir • ÇOK BANDLI bir filtrenin birden fazla geçirme ve södürme bandı vardır. • TARAK filtre, bir düşük frekansın tamsayı katsayılarını bastırır.

Karmaşık İşaretlerin Üretilmesi • Bir işaret gerçel ve karmaşık değerli olabilir. İlk durumdaki işaretler GERÇEL, ikinci durumdaki işaretlere KARMAŞIK işaret denir. • HİLBERT DÖNÜŞTÜRÜCÜSÜ kullanılarak, gerçel bir işaretten karmaşık bir işaret üretilebilir. • Hilbert dönüştürücüsünün impuls yanıtı aşağıdaki eşitlikle verilir:

Karmaşık İşaretlerin Üretilmesi • Sürekli-zaman Fourier dönüşümü (CTFT) X(j) aşağıda verilen gerçel bir işaret x(t)’yi ele alalım.

• X(j)’ya x(t)’nin SPEKTRUMU denir. Gerçel bir işaretin genlik spektrumu çift, faz spektrumu ise tek bir işarettir. Gerçel bir işaretin spektrumu pozitif ve negatif frekanslar içerdiğinden Xp(j) ve Xn(j), X(j)’nın sırasıyla pozitif ve negatif frekans aralığını kapsayan kısımları olmak üzere, aşapıda verilen eşitlik yazılabilir:

Karmaşık İşaretlerin Üretilmesi • x(t) bir Hilbert dönüştürücüsüne uygulanırsa çıkışta y(t) oluşur:

• y(t)’nin spektrumu Y(j), hHT(t) ve x(t)’nin spektrumlarının çarpımına eşittir. hHT(t)’nin spektrumu

olduğundan Y(j) aşağıda verilen eşitlikten elde edilebilir:

Karmaşık İşaretlerin Üretilmesi • y(t)’de gerçel bir işarettir. g(t) = x(t) + j y(t) ile verilen karmaşık işareti ele alalım. g(t)’nin spektrumu aşağıdaki eşitlikten bulunur:

• Diğer bir deyişle, ANALİTİK bir işaret adlandırılan karmaşık işaret g(t) sadece pozitif frekans bileşenlerine sahiptir.

Modülasyon ve Demodülasyon • Düşük frekanslı bir işaretin bir haberleşme kanalı üzerinden etkin bir şekilde iletilebilmesi için bir modülasyon işlemi aracılığıyla işaretin yüksek frekanslı bir işarete dönüştürülmesi gereklidir. • Alıcı tarafta, modülasyonlu yüksek frekanslı işarete demodülasyon işlemi uygulanarak iletilen düşük frekanslı işaret geri elde edilir. • Analog işaretlerin modülasyonu için dört yötem vardır: (1) Genlik modülasyonu (2) Frekans modülasyonu (3) Faz modülasyonu (4) Darbe genlik modülasyonu

Genlik Modülasyonu • Genlik modülasyonunda TAŞIYICI denen yüksek frekanslı sinüzoidal bir işaret Acos(0t)’nin genliği, BİLGİ işareti denen düşük frekanslı bir x(t) işaretiyle değiştirilir. Bu işlem MODÜLASYONLU işaret denen yüksek frekanslı bir işaret oluşturur: y(t) = Acos(0t) x(t). • Frekans öteleme özelliğini göstermek için, 1 0 olacak şekilde seçilen bir sayı olmak üzere genlik modülasyonlu işaret aşağıdaki gibi yeniden tanımlanarak yapılır:

• Modülasyonlu işarette taşıyıcı da mevcut olduğundan bu işleme ÇİFT YAN BAND (DSB) modülasyonu denir.

Genlik Modülasyonu • Aşağıdaki şekilde, 20 Hz frekanslı sinüzoidal bir bilgi işareti ve m =0.5 için DSB yöntemi kullanılarak elde edilen 400 Hz taşıyıcı frekanslı genlik modülasyonlu işaret gösterilmiştir.

Genlik Modülasyonu • Geleneksel DSB genlik modülasyonu durumunda, bilgi işaretinin bandgenişliği m iken modülasyonlu işaretinki 2m’dir. İletim kapasitesini arttırmak amacıyla modülasyonlu işaretin sadece alt veya üst yan bandı iletilir. • Karşılık gelen işleme TEK YAN BAND (SSB) modülasyonu denir ve nasıl yapılabileceği aşağıda gösterilmiştir.

Genlik Modülasyonu • SSB modülasyon yönteminde ilgili işaretlerin spektrumları aşağıda verilmiştir.

DSP’nin Üstünlükleri • Filtre karakteristiklerinde sapmaların oluşmaması: filtre katsayıları hafızada saklanan ikili tabanda katsayılar olduğundan harici çevre ve sıcaklık gibi harici parametrelerden etkilenmezler. • İyileştirilmiş kalite seviyesi: İşlemenin kalitesi sadece ekonomik kısıtlardan etkilenir. Veriyi/katsayıları temsil etmede kullanılan bit sayısı arttırılarak istenilen kalite elde edilebilir. Temsilde 1 bit arttırmak SNR’da 6 dB iyileşmeye neden olur. • Aynı sonucun tekrar elde edilebilmesi: Parametre toleransları sistem performansını etkilemez. Cihazın ömrü boyunca kalibrasyona gerek yoktur. • Yeni fonksiyon geliştirme kolaylığı: proğramlanabilir filtreleri tasarlamak ve kolaydır.

Uyarlanır ve gerçekleştirmek

DSP’nin Üstünlükleri • Çoğullama: Aynı düzenek birkaç işaret tarafından paylaşılabilir, dolayısıyla ekeonomik kazanım sağlanır. • Modülerlik: Gerçekleştirme için standard sayısal devreler kullanılır. • VLSI ve ULSI teknolojileri kullanılarak tek çip gerçekleştirme • Yükleme etkisinin oluşmaması

DSP’nin Eksiklikleri • Daha az güvenilirlik: sayısal sistemler aktif cihazlar olduğundan daha fazla güç kullanırlar ve daha az güvenilirdirler. • Sınırlı çalışma frekansı aralığı: Frekans aralığı, gerçekleştirilebilecek ve kullanılabilecek maksimum hesaplama kapasitesine karşılık gelen değerlere sınırlıdır. • Analog işaretlerin işlenmesinde ilave karmaşıklık: Gerekli analog-sayısal (A/D) ve sayısal-analog (D/A) dönüştürücüler toplam sistem karmaşıklığını arttırır.

DSP Uygulama Örnekleri • Cep telefonu • Ayrık çoklu ton iletim • Sayısal fotoğraf makinesi ve kamera • Sayısal ses sentezi • İşaret kodlama ve sıkıştırma • İşaret İyileştirme

Cep Telefonu Blok Diyagramı

Bir Chip Üzerindeki Cep Telefonu Sistemi

• 100-200 MHz DSP + MCU • ASIC lojik • Yoğun hafıza • Analog arayüz

Sürekli-zaman İşaretlerin Ayrık İşlenmesi • Bir sürekli-zaman işaretin sayısal işlenmesi üç adımdan oluşmaktadır: 1. Sürekli-zaman işaretinin bir ayrık-zaman işaretine dönüştürülmesi 2. Ayrık-zaman işaretin işlenmesi 3. İşlenmiş ayrık-zaman işaretin tekrar bir sürekli-zaman işarete çevrilmesi • Bir sürekli-zaman işaretin sayısal hale çevrilmesi ANALOG-SAYISAL (A/D) dönüştürücüyle yapılır. • Sayısal bir işaretin analog bir işarete dönüştürülmesi ters işlemi ise SAYISAL-ANALOG (D/A) dönüştürücüyle yapılır.

Sürekli-zaman İşaretlerin Ayrık İşlenmesi • A/D dönüştürme işlemi sonlu bir zaman aldığından dönüşüm tamamlanıncaya kadar A/D dönüştürücünün girişindeki işaretin genliğinin sabit kalmasını garantileyip sayısal temsilindeki hatayı en küçük yapmak amacıyla bir ÖRNEKLE-ve -TUT (S/H) devresi kullanılır. • Örtüşmeyi önlemek amacıyla S/H devresinden önce bir analog ÖRTÜŞME ÖNLEYİCİ filtre kullanılır. • D/A dönüştürücünün basamak şeklindeki dalgaşekline sahip çıkışını yumuşatmak aamacıyla bir analog YENİDEN OLUŞTURMA filtresi kullanılır.

Sürekli-zaman İşaretlerin Ayrık İşlenmesi

• Anlatılanlar ışığında toplam blok diyagram gösterilimi yukarıda verilmiştir. • Örtüşme önleyici ve yeniden oluşturma filtreleri analog alçak geçiren olduğundan, sayısal filtre tasarımından önce analog alçak geçiren filtre tasarımını ele alacağız. • Ayrıca, en sık kullanılan IIR sayısal filtre tasarım yöntemi, prototip bir analog alçak geçiren filtrenin dönüştürülmesine dayalıdır.

Sürekli-zaman İşaretlerin Ayrık İşlenmesi • Önceden belirtildiği gibi, çoğu uygulamada ayrık-zaman işaretler süreklizaman işartetlerin örneklenmesiyle oluşturulur. • Değişik birden fazla sürekli-zaman işaretin örneklenmesi aynı ayrık-zaman işaretini verebilir. Aslında, örneklendiğinde aynı ayrık-zaman işaretini veren sonsuz sayıda sürekli-zaman işareti vardır. • Ancak, bazı koşullar altında verilen bir ayrık-zaman işaretine karşılık gelen tek bir sürekli-zaman işareti bulmak mümkündür. • Bu koşullar sağlandığında, örneklenmiş işaretten orijinal sürekli-zaman işaretini yeniden oluşturma mümkündür. Şimdi, bu ilişkiyi ve karşılık gelen koşulları belirleyeceğiz.

Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • ga(t), t = nT anlarında örneklenip g[n] = ga(nT) dizisini oluşturan bir süreklizaman işareti olsun. Burada, T ÖRNEKLEME PERİYODUNU göstermektedir. • T’nin tersine ÖRNEKLEME FREKANSI denir ve FT ile gösterilir. • ga(t)’nin frekans uzayı gösterilimi sürekli-zaman Fourier dönüşümüyle (CTFT) verilir:

• Benzer şekilde, g[n] ’nin frekans uzayı gösterilimi ayrık-zaman Fourier dönüşümüyle (DTFT) verilir:

Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • Amacımız Ga(j) ile G(ej) arasındaki ilişkiyi bulmaktır. Bu amaçla, örnekleme işlemini matematiksel olarak ga(t) ile

eşitliğiyle tanımlanan periyodik impuls dizisi p(t)’nin çarpımı olarak ele alırız.

• p(t), aşağıda gösterildiği gibi T aralıklı ideal impulslardan oluşan bir işarettir.

Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • Çarpma işlemi sonucunda gp(t) ile gösterilen bir impuls dizisi oluşur:

• gp(t), t = nT anlarında impulslardan oluşan bir sürekli-zaman işaretidir. İmpulsların genliğini, örneklenecek analog işaret ga(t)’nin örnek değerleri ga(nT) belirler. Aşağıda bir analog işaret ga(t) ve buna karşılık gelen impuls dizisi gp(t) gösterilmiştir.

Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • Gp(j)’nın eşdeğer iki ifadesi vardır. Birincisi, (t-nT)’nin ağrlıklı toplamı ile verilir: • İkinci ifade, POISSON formülünden yaralanılarak elde edilir. Bir (t) işareti için Poisson formülü, T = 2π/T ve (j) işaretin CTFT’si olmak üzere

ilişkisiyle verilir. Poisson formülü, t = 0 için aşağıda verilen eşitlik olur:

Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • CTFT’nin frekans öteleme özelliğinden ga(t) e -jt’nin CTFT’si Ga(j(+)) olacaktır. t = 0 için verilen Poisson formülünde (t) = ga(t) e -jt yazılırsa, aşağıda verilen ilişkiyi elde ederiz:

• Yukarıdaki ifadede  yerine  yazılırsa Gp(j)’nın

ile verilen ikinci gösterilimi elde edilir. • Gp(j)’nın ifadesinden bu işaretin periyodik bir fonksiyon olduğu görülmektedir. Ga(j)’nın T’nin tam katlarına ötelenmiş ve 1/T ile ölçeklenmiş kopyalarının toplamı Gp(j) işaretini oluşturmaktadır.

Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • Gp(j) eşitliğinin sağ tarafındaki toplamada k=0 için bulunan terim, Gp(j)’nın TEMELBAND kısmı, diğer tüm k değerleri için bulunan terimler ise Gp(j)’nın frekans ötelenmiş kısımlarıdır. • - T/2 ≤  ≤ T/2 frekans aralığına TEMELBAND veya NYQUIST bandı denir. • ga(t)’nin bandsınırlı bir işaret olduğunu varsayalım. T = 2π/T olmak üzere, aşağıda örnek bir Ga(j) ve periyodik impuls dizisi p(t)’nin CTFT’si P(j) çizilmiştir.

Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi T’nin farklı iki değeri için Gp(j) aşağıda çizilmiştir. Şekillerden görüldüğü gibi, T > 2 m durumunda, Gp(j)’yı oluşturan ötelenmiş kopyalar arasında kesişme yoktur. Diğer yandan, T < 2 m durumunda, Gp(j)’yı oluşturan ötelenmiş kopyalar arasında kesişme vardır. Bu olaya ÖRTÜŞME denir.

Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • Aşağıda gösterildiği gibi T > 2m ise, örneklenmiş işaret gp(t), T kazançlı ve m < c < T-m eşitsizliklerini sağlayan c kesim frekanslı ideal bir alçak geçiren filtreden geçirilerek analog işaret ga(t) hatasız bir şekilde yeniden oluşturulabilir.

• Diğer yandan, T < 2m ise, Ga(j)’nın kesişen ötelenmiş kopyalarından dolayı filtreleme aracılığıyla analog işaret ga(t) hatasız bir şekilde yeniden oluşturulamaz.

Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi Yeniden oluşturma filtresinin ve ilgili işaretlerin spektrumları aşağıda verilmiştir.

Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi Örnekleme Teoremi: ga(t), CTFT’si || > |m| için Ga(j) = 0 olan bandsınırlı bir işaret olsun. T = 2π/T olmak üzere, T > 2m ise, ga(t) örnek değerler ga(nT)’den tek olarak belirlenebilir. {ga(nT)} verildiğinde,

ile verilen bir impuls dizisi oluşturup diziyi T kazançlı ve m < c < T-m eşitsizliklerini sağlayan c kesim frekanslı ideal bir alçak geçiren filtre Hr(j)’den geçirerek ga(t)’yi hatasız olarak yeniden oluşturabiliriz. Yorumlar: 1. T > 2m koşuluna NYQUIST koşulu denir. 2. T /2 frekansına KATLAMA frekansı denir. 3.ga(t)’de minimum örnekleme frekansını belirleyen en yüksek frekansa NYQUIST denir. 4. 2mfrekansına NYQUIST hızı denir.

Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • Sayısal telefonda 3.8 kHz işaret bandgenişliği kabul edilebilirdir. Bu nedenle, sayısal telefon haberleşmesinde ses işaretinin bandgenişliğinin iki katından daha büyük olan 8 kHz örnekleme frekansı kullanılır. • Yüksek kaliteli analog müzik işareti işlemede ise 20 kHz bandgenişiliğinin yeterli olduğu tespit edilmiştir. Kompakt disk (CD) müzik sistemlerinde işaret bandgenişliğinin iki katından biraz daha büyük olan 44.1 kHz örnekleme frekansı kullanılmaktadır.

Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi Örnek: Aşağıda zaman uzayında denklemleri ve karşılık gelen spektrumları verilen sinüzoidal üç işareti ele alalım.

Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi Bu işaretler, T=20π rad/s örnekleme frekansında (T=0.1s) örneklenmektedir. Örnekleme sonucunda, ile verilen spektruma sahip üç adet sürekli-zaman impuls dizisi g1p(t), g2p(t), g3p(t) olşur. Dizilerin spektrumları aşağıda verilmiştir.

Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • g1(t) durumunda, örnekleme freknası Nyquist koşulunu sağladığından örtüşme oluşmamıştır. Ayrıca, alçak geçiren filtre çıkışındaki işaret orijinal sürekli-zaman işarete eşittir. • Diğer iki durumda, örnekleme freknası Nyquist koşulunu sağlamamaktadır. Her iki durumda da alçak geçiren filtre çıkışı cos(6πt)’ye eşittir. • G2p(j)’da  = 6π’de oluşan impuls, G2(j)’da  = -14π’deki impulsun örtüşmesinden kaynaklanmıştır. • Benzer şekilde, G3p(j)’da = 6π’de oluşan impuls, G3(j)’da = 26π’deki impulsun örtüşmesinden kaynaklanmıştır.

Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • Şimdi, g[n]’nin DTFT’si ile gp(t)’nin CTFT’si arasındaki ilişkiyi bulacağız. İki spektrumun tanımı aşağıda verilmiştir.

• Yukarıdaki denklemlerde, g[n] = ga(nT) ilişkisi kullanılırsa,

elde edilir. Son olarak, aşağıdaki sonuç bulunur

olduğu hatırlanırsa

Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • Bir önceki yansıda verilen spektrum alternatif olarak

şeklinde ifade edilebilir. bulundurulursa şu sonuç çıkar:

ilişkisi göz önünde

Gp(j)’da  = /T yazılırsa, G(ej) elde edilir. • Gp(j), T = 2π/T periyodlu periyodik bir fonksiyondur. •

 = /T ile verilen dönüşümden dolayı, G(ej)’da periyodik bir fonksiyon olup periyodu 2π’dir.

Analog İşaretin Yeniden Oluşturulması • Şimdi, ideal yeniden oluşturma filtresinin çıkışındaki işareti bulacağız. Sonuç, filtrenin impuls yanıtı ile giriş arasındaki konvolüsyon toplamına eşittir. • Filtrenin impuls yanıtı, Hr(j)’nın ters DTFT’si alınarak bulunabilir:

• Filtrenin girişinin • O halde, filtre çıkışı

olduğunu hatırlayınız.

olarak elde edilir. (c = T /2 = π / T olduğu varsayılmıştır.)

Analog İşaretin Yeniden Oluşturulması Yukarıda verilen denklem, bandsınırlı bir aradeğerleme işilemi olup denklemdeki sinüzoidal fonksiyonların analog işareti nasıl oluşturduğu aşağıda verilen şekilde açıklanmaya çalışılmıştır.

Analog İşaretin Yeniden Oluşturulması • c = T /2 ise, hr(0) = 1 ve n ≠ 0 için hr(nT) = 0 olduğu gösterilebilir. Bu gözlem interpolasyon denkleminde kullanıldığında - ∞ < r < ∞ aralığındaki tüm tamsayılar için

sonucu çıkar. • Yukarıdaki sonuç, örnekleme teoreminde verilen koşulun geçerli olup olmadığından bağımsız olarak doğrudur. • Ancak, örnekleme frekansı T örnekleme teoremindeki koşulu sağlıyorsa, yeniden oluşturulan işaret sadece örnekleme anlarının katlarında değil, tüm t değerleri için orijinal analog işarete eşit olur.

Band Geçiren İşaretlerin Örneklenmesi • Şimdiye kadar yapılan tartışmada sürekli-zaman işaretinin Ωm frekansıyla bandsınırlı bir işaret olduğu varsayıldı. Böyle sürekli-zaman işaretlere ALÇAK GEÇİREN işaret denir. • İşaretin daha yüksek bir ΩL< |Ω| < ΩH frekans aralığına bandsınırlı olduğu uygulamalar vardır. Böyle işaretlere BAND GEÇİREN işaret denir. • Bandgeçiren işaretler örneklenirken ΩT ≥ 2 ΩH seçilerek örtüşme önlenebilir. Ancak bu yaklaşımın önemli iki sınırlaması vardır: (i) örneklemeyle elde edilen ayrık-zaman işaretin spektrumunda spektral boşluklar olacaktır, (ii) ΩL büyük bir değere sahipse gerekli örnekleme frekansı çok yüksek olup bazı uygulamalarda pratik olmayabilir. • Aşağıda bandgeçiren işaretler için kullanılabilecek daha uygun bir yöntem tartışılmıştır.7

Band Geçiren İşaretlerin Örneklenmesi • ΔΩ = ΩL - ΩH band geçiren işaretin bandgenişliğini tanımlasın. • İşaretteki en yüksek frekans ΩH’ın bandgenişiliğinin bir tamsayı katı olduğunu varsayalım. Yani, M bir tamsayı olmak üzere ΩH = M(ΔΩ). • Örnekleme frekansını ΩT = 2(ΔΩ) = 2ΩH/M olarak seçeriz (örnekleme frekansının Nyquist frekansının M’de birine eşit olduğuna dikkat ediniz). • Örnekleme frekansının bu değeri Gp(jΩ) için daha önceden bulduğumuz eşitlikte yerine konulursa Gp(jΩ) aşağıdaki şekilde elde edilir:

• Alçak geçiren işaretlerin örneklenmesinde olduğu gibi, örnklenmiş işaret bandgeçiren işaretin spektrumunun ölçeklenmiş ve ötelenmiş kopyalarının toplamından oluşmaktadır. • k’nın her değeri için ötelemenin miktarı kopyalar arasında kesişme olmayacağını garantilediğinden örtüşme oluşmaz.

Band Geçiren İşaretlerin Örneklenmesi Aşağıdaki şekil tartışmaya açıklık getirmektedir.

• Analog işaret ga(t), gp(t)’nin geçirme bandı ΩL< |Ω| < ΩH ve kazancı T olan bandgeçiren bir filtreden geçirilmesiyle elde edilebilir. • Düşük frekans bandlarındaki herhangi bir kopyanın uygun bir bandgeçiren filtre kullanılarak oluşturulabileceğine dikkat ediniz.

Analog Alçak Geçiren Filtre Karakteristikleri Analog alçak geçiren bir filtrenin genlik yanıtı |Ha(jΩ)| aşağıda gösterildiği gibi  verilebilir. 

Ωp: Geçirme bandı kenar frekansı Ωs: Söndürme bandı kenar frekansı δp: Geçirme bandı maksimum dalgalanması δs:  Söndürme bandı m aksimum dalgalanması

Dalgalanmalar dB cinsinden de verilebilir: Maksimum geçirme bandı dalgalanması:  Minimum söndürme bandı zayıflatması: 

Analog Alçak Geçiren Filtre Karakteristikleri 0 ≤ Ω ≤ Ωp frekans aralığı GEÇİRME BANDI olarak tanımlanır.  Geçirme bandında |Ha(jΩ)| 1’den δp kadar sapabilir. Yani

Ωs ≤ Ω ≤ ∞  frekans aralığı SÖNDÜRME BANDI olarak tanımlanır.  Söndürme bandında |Ha(jΩ)| 1’den δs kadar sapabilir. Yani

Analog Alçak Geçiren Filtre Karakteristikleri Genlik karakteristikleri aşağıda gösterildiği gibi genliğin geçirme bandındaki maksimum  değeri 1 olacak şekilde de verilebilir. 

Maksimum geçirme bandı  sapması Maksimum södürme bandı  genliği

Genelde iki parametre daha tanımlanır: Geçiş oranı:                             Ayırtedicilik parametresi: 

Butterworth Yaklaşıklığı N. dereceden analog Butterworth alçak geçiren filtresinin genlik yanıtının karesi  aşağıdaki eşitlikle verilir:

Ω = 0’ da |Ha(jΩ)|2 nın ilk 2N‐1 türevi sıfıra eşittir. dB cinsinden KAZANÇ 

olarak verilir.  Ωc 3‐db KESİM FREKANSI olarak adlandırılır. Bu adlandırmanın  nedeni Ω = Ωc de  kazancın yaklaşık olarak ‐3dB olmasıdır: 

Butterworth Yaklaşıklığı Ωc = 1 durumunda çeşitli N değerleri için  Butterworth yaklaşıklığı  ile elde edilen genlik  yanıtları aşağıda verilmiştir:

Butterworth Yaklaşıklığı Butterworth alçak geçiren filtresini tanımlayan iki parametre derece N ve 3‐dB kesim  frekansı Ωc dir.  Bu parametreler, belirtilen kenar frekansları Ωp ve Ωs ile  geçirme bandı minimum  genliği ve maksimum södürme bandı dalgalanmasından aşağıdaki denklemler  kullanılarak hesaplanabilir: 

İki denklem N için çözülürse

bulunur.

Butterworth Yaklaşıklığı Derece tamsayı olduğundan, hesaplanan N değeri en yakın tamsayıya yuvarlanır. N değeri herhangi bir denklemde yerine konularak 3‐dB kesim frekansı Ωc belirlenir. Analog Butterworth alçak geçiren filtresinin transfer fonksiyonu

şeklinde verilir. Denklemde 

olup payda polinomu DN(s)’ye N. Dereceden Butterworth Polinomu denir.

Butterworth Yaklaşıklığı Örnek: 1‐dB kesim frekansı 1 kHz’de ve 5 kHz’deki zayıflatması 40 dB olan en düşük  dereceli Butterworth alçak geçiren belirleyiniz. Verilenlerden

yazarız. İki denklemi çözerek  buluruz. Derece hesabı için gerekli olan 1/k ve 1/k1 parametreleri hesaplandığında

elde edilir. O halde, derece 

olarak hesaplanıp tamsayı olmak zorunda olduğundan N = 4 seçeriz.

Chebyshev Yaklaşıklığı N. dereceden analog 1. tür Chebyshev alçak geçiren filtresinin genlik yanıtının karesi  aşağıdaki eşitlikle verilir:

Paydadaki TN(Ω)’ye   N. dereceden Chebyshev Polinomu denir ve 

eşitliğiyle tanımlanır. 

Chebyshev Yaklaşıklığı Çeşitli N değerleri için  1. tür Chebyshev yaklaşıklığı  ile elde edilen genlik yanıtları  aşağıda verilmiştir:

Chebyshev Yaklaşıklığı Ω = Ωs de genlik 1/A olduğundan

yazılabilir. Yukarıdaki denklem N için çözülürse

bulunur.  Filtrenin derecesi tamsayı olmak zorunda olduğundan, hesaplanan sayı en yakın  tamsayıya  yuvarlanır.   

Chebyshev Yaklaşıklığı N. dereceden analog 2. tür Chebyshev alçak geçiren filtresinin genlik yanıtının karesi  aşağıdaki eşitlikle verilir:

Paydadaki TN(Ω) terimi N. dereceden Chebyshev polinomudur.  1. tür Chebyshev  yaklaşıklığında olduğu gibi, 2. tür Chebyshev alçak geçiren filtresinin derecesi 

eşitliği kullanılarak hesaplanan sayı en yakın tamsayıya yuvarlanarak belirlenir. 

Chebyshev Yaklaşıklığı

Çeşitli N değerleri için  2. tür Chebyshev yaklaşıklığı  ile elde edilen genlik yanıtları  aşağıda verilmiştir:

Chebyshev Yaklaşıklığı Örnek: 1‐dB kesim frekansı 1 kHz’de ve 5 kHz’deki zayıflatması 40 dB olan Chebyshev alçak  geçiren filtrenin en küçük derecesini belirleyelim. Verilen değerlerden derece

olarak hesaplanır. Sonuç yuvarlanırsa N = 3 olur.

Elliptik Yaklaşıklığı N. dereceden analog Elliptik alçak geçiren filtresinin genlik yanıtının karesi aşağıdaki  eşitlikle verilir:

Paydadaki RN(Ω) terimi, RN(1/Ω) = 1/ RN(Ω) eşitliğini sağlayan N. dereceden rasyonel bir  fonksiyonudur. RN(Ω)’nın sıfırları 0