Sayısal Analiz (MATLAB) - Arzu Erdem Ders Notları

February 18, 2017 | Author: EEM Ders Notları | Category: N/A

Short Description

Download Sayısal Analiz (MATLAB) - Arzu Erdem Ders Notları...

Description

m

ri. co

Sayısal Analiz Ders Notları Arzu Erdem

c 2012/2013 Bahar d¨

onemi m¨ uhendislik notları1

•

An Introduction to Numerical Analysis for Electrical and Computer Engineers, Christopher J. Zarowski, A JOHN WILEY & SONS, INC. PUBLICATION, 2004.

sn o

An Introduction to Numerical Analysis, Endre S¨ uli and David F. Mayers, Cambridge University Press, 2003. Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic Approach, McGraw-Hill, 1980. Numerical Analysis Using MATLAB and Spreadsheets, Steven T. Karris, Orchard Publications, 2004. Numerical Methods and Analaysis, James I. Buchanan, Peter R. Turner, McGraw-Hill, 1992. Numerical Methods for Mathematics, Science & Engineering, John H. Mathews, Prentice Hall, 1992.

em de r

• • • • • • • •

tla

Kaynaklar

Applied Numerical Analysis Using Matlab, Laurene V. Fausett, Prentice Hall, 1999. Sayısal analiz, Galip Oturan¸c, 2008.

w

w

w .e

˙ Sayısal analiz ve m¨ uhendislik uygulmaları, Irfan Karag¨ oz, 2001.

1

email : erdem.arzu @ gmail.com , web page: http://umm.kocaeli.edu.tr/dosyalar/dif.htm;

February 13, 2013

m ri. co

Chapter 1

1.1

sn o

1

tla

Giri¸s

Neden Sayısal Y¨ ontemler?

w

w

w .e

em de r

Matematikte de˘ gi¸sik tipte denklem t¨ urleri ile ka¸sıla¸smak m¨ umk¨ und¨ ur. Bunlardan bazıları önceki matematik ¨ derslerinde ele alınmı¸stır. Orne˘ gin lineer denklemler ax + b = 0, a, b ∈ IR, a 6= 0 denkleminin ¸cöz¨ um¨ un¨ u x = −b/a olarak elde etmi¸stik. Bunun yanısıra lıneer olmayan pek ço˘ gu i¸cin ki bunlardan en kolayı ax2 +bx+c = 0, a, b, c ∈ IR, a 6= 0 tipinde 2.dereceden polinomlar(parabol) dır. Bu denklemin iki ço¨zm¨ un¨ u x1 , x2 olarak √ b2 −4ac , i = 1, 2 ile gösterilir. 16. y¨ uzyılda Italyan matematik¸ciler Niccolo adalandırırsak ç¨ oz¨ umleri xi = −b± 2a Fontana Tartaglia (1499–1557), Lodovico Ferrari (1522–1565) ve Girolamo Cardano (1501–1576) ”Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus” adlı makalelerinde 3.ve 4. dereceden polinomlar i¸cin bu form¨ ule çok da benzer olmayan bir form¨ ul ortaya koydular. Tabi bulunan bu form¨ ullerin genellemesi, ¸su ana kadar, derecesi 5 ¨ ve 5 ten b¨ uy¨ uk hehangi bir polinomun köklerini bulmak i¸cin genelle¸stirilemedi. Orne˘ gin x5 −4x−2 = 0 denklemi gibi. Polinom denklemlerini ç¨ oz¨ umleri i¸cin genel anlamada bir form¨ ul olmadı˘gı i¸cin bu t¨ url¨ u ve hatta daha genel anlamda f (x) = 0 formunda t¨ um denklemlerin ço¨z¨ umleri i¸cin yakla¸sımlar verilicektir. Burada bir denklemin ç¨ oz¨ um¨ u var mıdır? ve e˘ ger ç¨ oz¨ um varsa bu ¸co ¨z¨ um¨ u nasıl buluruz? sorularının cevabını arayaca˘ gız. Bu derste gör¨ uce˘gimiz ba¸ska bir konu ise f (x) fonksiyonunun x0 , x1 , ..., xn gibi belli noktalarda de˘ gerleri verildi˘ ginde bu R1 Rπ f (x) fonksiyonunu nasıl olu¸sturabilirizdir. Di˘ger bir konu ise integralle ilgilidir. 0 exp (x) dx veya 0 cos (x) dx R1 Rπ integrallerini hesaplayabilirken 0 exp x2 dx veya 0 cos x2 dx gibi integralleri nasıl hesaplayabilir hakkında konu¸suca˘gız. Ele alınacak olan t¨ um n¨ umerik tenkniklerin belli oranda hata payı oldu˘gu gibi bu hata paylarındaki analizler verilcektir. Sayısal y¨ ontemlerde, yinelemeli hesaplar i¸cin bilgisayar ¸cöz¨ umlerine ihtiya¸c duyaca˘ gız.

1.2

Sayısal Analizin Ge¸cmi¸si

N¨ umerik algoritmaların ge¸cmi¸si çok eski zamanlara dayanmaktadır. Eski Mısırda ”The Rhind Papyrus ¨ basit bir denklemin kökleri nasıl bulunuru a¸cıklamı¸stır. Archimedes of Syracuse (287-212 M.O.) ¨ (1650 M.O)” ise geometrik e¸skillerinin hacimlerin, alanların veya uzunlukların nasıl hesaplandı˘ gını bulmu¸stur. Yakla¸sımını bulma y¨ ontemi kullanılmı sayısal integrallemenin ruhunu olu¸sturmu¸stur ki bu ise saac Newton and Gottfried Leibnitz in ¨ oc¨ ul¨ u˘ gu ¨nde matematiksel hesaplamanın geli¸simine katkıda bulunmu¸stur. N¨ umerik hesaplamanın geli¸siminin b¨ uy¨ uk bir kısmı, matematiksel modellemenin fiziksel ger¸cekli˘ ge(fiziksel olaylar,m¨ uhendislik, tıp, ticaret vb.gibi) uygulamalarıyla Newton and Leibnitz tarafından hesaplamanın ke¸sfi ile ba¸slamı¸stır. Bu matematik modeller zaman zaman a¸cık bir ¸sekilde çöz¨ ulemedi˘ginden sayısal y¨ ontemlere ihtiya¸c duyulmu¸stur. Sayısal analizdeki en önemli geli¸smelerden bir di˘ geri de Napier (1614) tarafından logaritmanın ke¸sfidir. Newton ¸ce¸sitli problemlerin sayısal ço¨z¨ umleri i¸cin bazı yöntemler bulmu¸stur. Onlardan bir ka¸cı kök bulma ve polinomların interpolasyonudur. Newtonu takip eden 18. ve 19. y¨ uzyıldaki matematik¸cilerin ¸cok b¨ uy¨ uk bir kısmı, matematiksel problemlerin sayısal ç¨ oz¨ umlerinde b¨ uy¨ uk katkılar sa˘ glamı¸slardır. Bunlardan bazıları Leonhard Euler (1707-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), and Karl Friedrich Gauss (1777-1855) tır. 1800 li yıllarin sonlarında matematik¸cilerin b¨ uy¨ uk bir kısmı ilgi alanları ¸cer¸cevesinde sayısal analizi kullanmı¸s olup geli¸simlerde bulunulmaya devam etmektedir.

1

1. GIRIS ¸

1.3

Sayısal Analize Genel Bir Bakı¸s A¸ cısı

m

2

p (x) = =

sn o

tla

ri. co

Sayısal analiz, problemlerin sayısal çöz¨ umlerinin teorik geli¸smeleri ve bunların bilgisayar programlarına etkisi ve g¨ uvenilirli˘ gi ile ilgilenmektedir. Pek ¸cok sayısal analizci k¨ u¸cu ¨k alt alanlarda ¸calı¸smalarını s¨ urd¨ urmekte olmasına ra˘gmen genel bir perspektif ve ilgiyi payla¸smaktadırlar. Bunlardan bazıları ¸sunlardır: (1) Genel anlmada bir problem direkt olarak çöz¨ ulemiyorsa problemi, probleme çok yakın olan ve prob¨ lemden daha kolay ba¸ska bir problem ile de˘gi¸stirmek. Orne˘ gin n¨ umerik integralleme ve k¨ ok bulma y¨ ontemleri (2) Lineer cebir, reel analiz ve fonksiyonel analiz alanlarında olduk¸ca geni¸s bir kullanım alanına sahiptir. (3) Hata ile ilgili temel bir merak söz konusudur. Hatanın b¨ uy¨ ukl¨ u˘gu ¨ ve onun analitik formu bunlarda bazılarıdır. 1. ¸sıkta bahsedildi˘gi u ¨zere problemin kendisi de˘ gilde yakla¸sık problem ele alındı˘ gında hesaplamalrdan do˘gu äcak bir hata ka¸cınılmazdır. Dahası hatanın formunu anlamak sayısal metodun yakınsaklık davranı¸sını iyile¸stirecek ¸sekilde tahmin etme yöntemini olu¸sturur. (4) Kararlılık, problemlerdeki parameterelerin veya verilerdeki k¨ uçu ¨k de˘gi¸simlere kar¸sı problemin g¨ ostermi¸s ¨ oldu˘ gu hassasiyet olarak adalandırılır ve sayısal analzide olduk¸ca öenmli bir konudur. Orne˘ gin (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 4) (x − 5) (x − 6) (x − 7)

x7 − 28x6 + 322x5 − 1960x4 + 6769x3 − 13 132x2 + 13 068x − 5040

em de r

polinomunun k¨ oklerinden biri 5 ve 6 dır. x6 teriminin ön¨ undeki katsayıyı −28.002 ile de˘ gi¸stirdi˘gimizde 5.459±0.540i, olarak buluyoruz ki de˘gerde olduk¸ca b¨ uy¨ uk bir de˘gi¸sim vardır. Bu t¨ url¨ u polinomlara, kök bulma problemlerine g¨ ore kararlı olmayan veya iyi tanımlı olmayan polinomlarda denir. Bu anlamda problemlerin ¸c¨ oz¨ umleri i¸cin geli¸stirilen sayısal yöntemler, orjinal problemin çöz¨ ulmesinden daha fazla hassasiyet ta¸sırlar. Dahası, orjinal problemin kararlı ve iyi tanımlı oldu˘guda incelenmelidir.. Bu t¨ url¨ u konuları ¨ ozelliklede sayısal lineer cebirde görebilirsiniz. (5) Numerik analizciler, bilgisayar aritmeti˘gini kullanan sonlu ifadelerin etkileri ile olduk¸ca ilgilidirler. ¨ Bu t¨ url¨ u problemleri yine sayısal lineer cebirde gör¨ uce˘giz. (Orne˘ gin yuvarlama hatasını i¸ceren b¨ uy¨ uk problemler gibi) (6) N¨ umerik analizciler, algoritmaların etkisinin öl¸cu ¨m¨ u ile olduk¸ca ilgilidirler. Belirli algoritmanın maaleiyeti ¨ nedir sorusu onlar i¸cin çok önemlidir. Orne˘ gin, n denklem i¸ceren Ax = b lineer denklemini çözerken n3 miktarında aritmeatik i¸slem kullanılmaktadır. Bunu di˘ger problemlerin çöz¨ umleri i¸cin sayısal y¨ ontemlerle nasıl ka¸sıla¸stırabiliriz?

1.4

Sayı sistemleri ve hatalar (Number Systems and Errors) Denklemlerin k¨ oklerinin bulunması (The Solution of Equations) Lineer denklem sistemlerinin ¸cöz¨ umlerinin bulunması (Matrices and Systems of Linear Equations) Optimizasyon (Optimization) ˙ Interpolasyon (Interpolation) E˘ gri uydurma (Regression) Sayısal integral (Integration by numerical methods) Sayısal t¨ urev (Numerical differentiation) Adi Diferansiyel denklemlerin ¸co¨z¨ umleri(The Solution of Ordinary Differential Equations) Kısmi diferansiyel denklemlerin n¨ umerik ¸cöz¨ umleri (Numerical Solution of Partial Differential Equations)

w

w

w .e

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

Sayısal Y¨ ontemlerin Sınıflandırılması

m ri. co

Chapter 2

2

2.1

sn o

tla

Sayı sistemleri ve hatalar (Number Systems and Errors)

Tam Sayıların G¨ osterimleri (The Representation of Integers)

em de r

Hayatımızda sayıları ondalıklı sistemlerde kullanırız. Buna göre 257 sayısının ondalık gösterimini 257 = 200 + 50 + 7 = 2.102 + 5.10 + 7.100

olarak yazabiliriz. Buna g¨ ore herhangi bir tam sayıyı, katsayıları 0 ile 9 arasında de˘gi¸sicek ¸sekilde polinom olarak ifade edebiliriz. Bunun i¸cin kullanmı¸s oldu˘gumuz g¨ osterim a¸sa˘ gıdaki gibidir: a0 , a1 , a2 , ..., an ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} i¸cin N

= (an an−1 ...a0 )10 = an .10n + an−1 .10n−1 + · · · + a0 .100 ,

w

w

w .e

Neden 10 luk sistem kullanıldı˘ gına dair temel bir ger¸cek de bulunmamaktadır. Bununla birlikte elektriksel tepkilerde a¸cık(on)-kapalı(off ) ifadeleri kullanılmaktadır ve bunların bilgisayarlarda gösterimleri ikili sistemlerle (binary system) ifade edilir. Bu ifadelerde ise 2 taban olup olup, polinomun katsayıları 0 ile 1 dir. Negatif olmayan bir tamsayıyı 2lik sistemde a¸sa˘gıdaki gibi g¨ osteririz. a0 , a1 , a2 , ..., an ∈ {0, 1} i¸cin N

=

(an an−1 ...a0 )2

=

an .2n + an−1 .2n−1 + · · · + a0 .20 ,

Bilimsel ¸calı¸smalarda kullanılan pek çok çalı¸sma 2lik sistemde i¸slem yapsada bilgisayar kullanıcıların ço˘ gunlu˘ gu 10luk sistemde çalı¸smayı tercih ederler. Bu sebepten öt¨ ur¨ u iki sistemin birbirine çevirilmesi gerekmektedir. 2lik sistemden 10luk sistme ¨ çeviriyi 2lik sitemin tanımından direk olarak verebiliriz. Orne˘ gin (11)2

=

1.2 + 1.20 = 3

(1101)2

=

1 ∗ 23 + 1 ∗ 22 + 0 ∗ 21 + 1 ∗ 20 = 13

Bunu genel olarak a¸sa˘ gıdaki algoritma ile verebiliriz. Algoritma 2.1. N = (an an−1 ...a0 )x , 0 < x < 10 do˘gal sayısının 10 tabanında N = b0 olarak g¨ osteririz ki burda b0 a¸sa˘gıdaki yinelemeli i¸slemler sonucunda elde edilir: 3

Figure 2.1

2.1. Algoritma

m

2. SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS)

=

an

bn−1 bn−2

= =

an−1 + bn x an−2 + bn−1 x

bn−3

=

an−3 + bn−2 x ...

b1 b0

= =

a1 + b 2 x a0 + b 1 x

ri. co

bn

tla

4

¨ Ornek 2.2. (1101)2 ifadesini yukarıdaki 2.1 algoritmasını kullanarak 10luk sisteme d¨ on¨ u¸st¨ ur¨ un¨ uz. C ¸ öz¨ um

sn o

1101 = a3 a2 a1 a0 b 3 = a3 = 1 b2 b1

= a0 + 2 ∗ b1 = 1 + 2 ∗ 6 = 13 = b0 = 13

em de r

b0 (1101)2

= a2 + 2 ∗ b 3 = 1 + 2 ∗ 1 = 3 = a1 + 2 ∗ b 2 = 0 + 2 ∗ 3 = 6

¨ Ornek 2.3. (10000)2 ifadesini yukarıdaki 2.1 algoritmasını kullanarak 10luk sisteme d¨ on¨ u¸st¨ ur¨ un¨ uz. C ¸ öz¨ um

w

w

w .e

10000 = b4 b3

= =

b2 b1

= =

b0 (10000)2

= =

a4 a3 a2 a1 a0 a4 = 1 a3 + 2 ∗ b 4 = 0 + 2 ∗ 1 = 2

a2 + 2 ∗ b 3 = 0 + 2 ∗ 2 = 4 a1 + 2 ∗ b 2 = 0 + 2 ∗ 4 = 8

a0 + 2 ∗ b1 = 0 + 2 ∗ 8 = 16 b0 = 16

¨ Ornek 2.4. 187 ifadesini 2lik sisteme d¨ on¨ u¸st¨ ur¨ un¨ uz. C ¸ öz¨ um

187 93 46 23 11 5 2

= = = = = = =

2 2 2 2 2 2 2

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

93 46 23 11 5 2 1

+ + + + + + +

1 1 0 1 1 1 0

187 = (10111011)2

⇒ b0 ⇒ b1 ⇒ b2 ⇒ b3 ⇒ b4 ⇒ b5 ⇒ b6 ⇒ b7

=1 =1 =0 =1 =1 =1 =0 =1

Uyarı 2.5. 2lik sistemden 8lik sisteme d¨ on¨ u¸su ¨m yaparken veya 8lik sistemden 2lik sisteme d¨ on¨ u¸su ¨m yaparken a¸sa˘gıdaki tablıyou kullanırız ve sayıları 3 hane olarak birler basama˘gından ba¸slayarak ayırırız.

Figure 2.2. 10luk sistemden 2lik sisteme dön¨ u¸su ¨m

2lik sistem (0)2 (1)2 (10)2 (11)2 (100)2 (101)2 (110)2 (111)2 (1000)2 (1001)2 (1010)2

sn o

tla

10luk sistem 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5

ri. co

Table 1. 2lik sistem ve 10luk sistem dn¸sm tablosu

m

2

¨ Ornek 2.6. (347)8 ifadesini 2lik sisteme d¨ on¨ u¸st¨ ur¨ un¨ uz. C ¸ öz¨ um

(10)2

(100)2

em de r

(347)8 =

(111)2

= (10100111)2

¨ Ornek 2.7. (10111011)2 ifadesini 8lik sisteme d¨ on¨ u¸st¨ ur¨ un¨ uz. C ¸ öz¨ um

(10111011)2 =

w .e

2.2

(111)2

(011)2

= (273)8

Kesirli Sayıların G¨ osterimleri (The Representation of Fractions)

Tanım 2.8. x bir pozitif tam sayı ve xI bu sayıdan k¨ u¸cu ¨k en b¨ uy¨ uk tam sayı olmak u ¨zere xF = x − xI

ifadesine x reel sayısının kesirli kısmı denir ve a¸sa˘gıdaki ¸sekilde g¨ osterilir:

w

w

(10)2

xF =

∞ X

k=0

bk 10−k , 0 ≤ bk < 10.

E˘ger bk sayısı herhangi bir sayıda sıfır oluyorsa kesirli ifade durdurulmu¸stur denir. ¨ Orne˘ gin 1 = 0.25 = 2 ∗ 10−1 + 5 ∗ 10−2 4 kesirli ifadesi durdurulmu¸stur ancak 1 = 0.3333... = 3 ∗ 10−1 + 3 ∗ 10−2 + ... 3 Notasyon . x = an an−1 · · · a0 .b1 b2 · · · reel sayısını 10luk sistemde (an an−1 · · · a0 .b1 b2 · · · )10 veya 2lik sistemde (an an−1 · · · a0 .b1 b2 · · · )2 olarak g¨ osterice˘giz.

m

6

2. SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS)

ri. co

Algoritma 2.9. N = (0.b1 b2 ....)10 , reel sayısının x tabanında a¸sa˘gıdaki i¸slemlerle elde ederiz: =

0.b1 b2 ....

d1 d2

= =

d3

=

(x ∗ f0 )I , f1 = (x ∗ f0 )F (x ∗ f1 )I , f2 = (x ∗ f1 )F

(x ∗ f2 )I , f3 = (x ∗ f2 )F ...

N

=

(0.d1 d2 ...)x

tla

f0

C ¸ öz¨ um

sn o

¨ Ornek 2.10. (0.7)10 ifadesini 2lik sisteme d¨ on¨ u¸st¨ ur¨ un¨ uz.

2 ∗ 0.7 = 1.4 ⇒ d1 = (1.4)I = 1, f1 = (1.4)F = 0.4

2 ∗ 0.4 = 0.8 ⇒ d2 = (0.8)I = 0, f2 = (0.8)F = 0.8 2 ∗ 0.8 = 1.6 ⇒ d3 = (1.6)I = 1, f3 = (1.6)F = 0.6

em de r

2 ∗ 0.6 = 1.2 ⇒ d4 = (1.2)I = 1, f4 = (1.2)F = 0.2 2 ∗ 0.2 = 0.4 ⇒ d1 = (0.4)I = 0, f5 = (0.4)F = 0.4 ...

(0.7)10 = 0.10110011 2

¨ Ornek 2.11. (0.625)10 ifadesini 2lik sisteme d¨ on¨ u¸st¨ ur¨ un¨ uz.

Figure 2.3. 10luk sistemdeki ondalık sayıların 2lik sisteme d¨ on¨ u¸su ¨m¨ u

2 ∗ 0.625 = 1.25 ⇒ d1 = (1.25)I = 1, f1 = (1.25)F = 0.25 2 ∗ 0.25 = 0.5 ⇒ d2 = (0.5)I = 0, f2 = (0.5)F = 0.5 2 ∗ 0.5 = 1 ⇒ d3 = (1)I = 1, f3 = (1)F = 0 2 ∗ 0 = 0 ⇒ d4 = (0)I = 0, f4 = (0)F = 0 ...

w

w

w .e

C ¸ öz¨ um

(0.625)10 = (0.101)2

¨ Ornek 2.12. (0.101)2 ifadesini 10luk sisteme d¨ on¨ u¸st¨ ur¨ un¨ uz. C ¸ öz¨ um Algoritma 2.9 yi kullanabiliriz: 10 ∗ (0.101)2 = (1010)2 ∗ (0.101)2 = (110.01)2 ⇒ d1 = ((110.01)2 )I = (110)2 = (6)10 , f1 = ((110.01)2 )F = (0.01)2 10 ∗ (0.01)2 = (1010)2 ∗ (0.01)2 = (10.1)2 ⇒ d2 = ((10.1)2 )I = (10)2 = (2)10 , f2 = ((10.1)2 )F = (0.1)2 10 ∗ (0.1)2 = (1010)2 ∗ (0.1)2 = (101)2 ⇒ d3 = ((101)2 )I = (101)2 , f3 = ((101)2 )F = (0)2 ...

(0.625)10 = (101)2

:

2.3

7

0 1 0 1 0 1 0

0 1

tla

1 1

1 1 1 0 0 0 1 1 0

ri. co

1010 ∗ 0.101 = 101 ∗ 101 ∗ 10−2 = 110.01

m

2

˙ slemler (Floating Point Arithmetic) Kayan Noktalı I¸

sn o

Bilgisayar (computing) camiasında reel sayılara reel sayı de˘gil de kayan noktalı sayı denmesinin nedeni noktanın yerinin de˘gi¸stirilebilir olmasından kaynaklanıyor olmasıymı¸s. misal reel sayıları g¨ ostermek i¸cin 8 basamak kullanalım dersek 1.2345678, 1234567.8, 0.000012345678, 12345678000000000, vs. ¸seklinde sayıları g¨ osterebiliyoruz. e˘ger sabit noktalı kullanım olsaydı, her sistemin ”ben noktadan sonra en fazla ¸su kadar ¨ basamak gösteririm” ¸seklinde tasarlanması gerekirdi. Oyle olunca noktadan sonra u ¨ç basamak gösterece˘gim denilirse 9.123 gösterilebilir ama 9.1234 gösterilemezdi.

em de r

Tanım 2.13. n basamaklı β tabanındaki kayan noktalı x sayısının en genel halde g¨ osterimi a¸sa˘gıdaki gibidir: x = ± (0.d1 d2 ...)β ∗ β e

burada 0.d1 d2 ... sayısına mantis (mantissa-ondalık kısım), e sayısına da kuvvet (exponent) denir. d1 6= 0 ise kayan noktalı x sayısına normalle¸stirilmi¸stir denir.

Tanım 2.14. k, bir bilgisayarın kayan noktalı hesaplamalarındaki kullanımlarındaki maksimum basamak olmak u ¨zere x = ± (0.d1 d2 ...dk ...)β ∗ β e kayan noktalı sayısını 2 t¨ url¨ u g¨ osterimi vardır. Bunlardan 1.si kesilmi¸s kayan nokta g¨ osterimidir(chopped floating number representation) ve a¸sa˘gıdaki ¸sekilde verilir: f lc (x) = ± (0.d1 d2 ...dk )β ∗ β e

w

w

w .e

di˘ger g¨ osterim ise yuvarlanmı¸s kayan nokta g¨ osterimidir(rounded floating number representation) ve a¸sa˘gıdaki ¸sekilde verilir: f lr (x) = ± (0.d1 d2 ...dk−1 rk )β ∗ β e

Burada rk sayısı dk .dk+1 dk+2 ... ondalıklı sayısının en yakın tamsayıya yuvarlaması ile olu¸sur ¨ Ornek 2.15. f lc 23 =?, f lf 23 =?, f lc (−838) =?, f lf (−838) =?(2 ondalık basamaklı kayan nokta g¨ osterimleri nelerdir?) C ¸ öz¨ um 2 3

=

−838 =

2 2 0 = 0.66 ∗ 10 , f lf = 0.67 ∗ 100 0.6 ⇒ f lc 3 3

−0.838 ∗ 103 ⇒ f lc (−838) = −0.83 ∗ 103 , f lf (−838) = −0.84 ∗ 103 e

Tanım 2.16. x = ± (0.d1 d2 ...dk ...)β ∗ β kayan noktalı sayısı ile f lc (x) veya f lr (x) arasındaki farka yuvarlama hatası denir. Yuvarlama hatası x sayısına ba˘glı olup a¸sa˘gıdaki ba˘gıntı ge¸cerlidir. f lc (x) f lr (x)

= x + xδc , −β 1−k < δc < 0 1 = x + xδr , |δr | < β 1−k 2

rs no tl

2. SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS)

em de

8

¨ Ornek 2.17. x = 0.2 ∗ 101, y = 0.77 ∗ 10−6 olmak u ¨zere x + y ve x ∗ y ifadelerini 2 ondalık basamaklı kayan nokta g¨ osterimleriyle bulup yuvarlama hatalarını elde ediniz. C ¸ öz¨ um

x = 2000000 ∗ 10−6 , y = 0.77 ∗ 10−6 ⇒ x + y = 2000000.77 ∗ 10−6 ⇒ x + y = 0.200000077 ∗ 101

⇒ f lc (x + y) = 0.20 ∗ 101 ⇒ δc = 0.200000077 ∗ 101 − 0.20 ∗ 101 = 0.000000077 ∗ 101 = 0.77 ∗ 10−6

⇒ f lr (x + y) = 0.20 ∗ 101 ⇒ δr = 0.200000077 ∗ 101 − 0.20 ∗ 101 = 0.000000077 ∗ 101 = 0.77 ∗ 10−6 x ∗ y = 0.2 ∗ 101 ∗ 0.77 ∗ 10−6 = 1.54 ∗ 10−6 = 0.154 ∗ 10−5

w

w

w .e

⇒ f lc (x ∗ y) = 0.15 ∗ 10−5 ⇒ δc = 0.154 ∗ 10−5 − 0.15 ∗ 10−5 = 0.004 ∗ 10−5 = 0.4 ∗ 10−7

2.4

Hata Analizi ve Hatanın Yayılması (Error Analysis & Propagation of Error)

Sayısal y¨ ontemlerde pek ¸cok problemin çöz¨ um¨ u i¸cin hesapladı˘ gımız de˘gerler ger¸cek de˘gerler olmayabilir Bu anlamda ¨ ozelliklede sayısal algortimaların geli¸smesinde bize rehberlik edicek olan bazı tanımlamaları vermemiz gerekmektedir. Tanım 2.18. x ger¸cek de˘gerine yakla¸sık de˘geri x e ile g¨ osterelim. Buna g¨ ore Ex = x − x e

ifadesine hata (error)

Rx = ifadesine de ba˘gıl hata (relative error) denir.

x−x e , x 6= 0 x

¨ Ornek 2.19. (a) x (b) y (c) z de˘gerleri i¸cin hata ve ba˘gıl hatayı bulunuz.

= 3.141592 − x e = 3.14

= 1000000 − ye = 999996 = 0.000012 − ze = 0.000009

C ¸ öz¨ um Ex Rx

= x−x e = 3.141592 − 3.14 = 1.592 × 10−3 1.592 × 10−3 x−x e = = = 5.067 5 × 10−4 x 3.141592

Ey Ry Ez

=

Rz

=

= y − ye = 1000000 − 999996 = 4 4 y − ye = = 4 × 10−6 = y 1000000

z − ze = 0.000012 − 0.000009 = 3.0 × 10−6 3.0 × 10−6 z − ze = = 0.25 z 0.000012

Tanım 2.20. C ¸ ok kompleks bir matematiksel ifade daha elementer i¸slemler i¸ceren bir form¨ ul ile yer de˘gi¸stirdi˘ginde kesme hatası (truncation error) kavramı meydana gelmektedir. Genel anlamda sayısal y¨ ontemlerin kesilmesinden elde edilen hatadır.

8

2. SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS)

¨ Ornek 2.17. x = 0.2 ∗ 101, y = 0.77 ∗ 10−6 olmak u ¨zere x + y ve x ∗ y ifadelerini 2 ondalık basamaklı kayan nokta g¨ osterimleriyle bulup yuvarlama hatalarını elde ediniz. C ¸ öz¨ um x = 2000000 ∗ 10−6 , y = 0.77 ∗ 10−6 ⇒ x + y = 2000000.77 ∗ 10−6 ⇒ x + y = 0.200000077 ∗ 101

⇒ f lc (x + y) = 0.20 ∗ 101 ⇒ δc = 0.200000077 ∗ 101 − 0.20 ∗ 101 = 0.000000077 ∗ 101 = 0.77 ∗ 10−6

⇒ f lr (x + y) = 0.20 ∗ 101 ⇒ δr = 0.200000077 ∗ 101 − 0.20 ∗ 101 = 0.000000077 ∗ 101 = 0.77 ∗ 10−6 x ∗ y = 0.2 ∗ 101 ∗ 0.77 ∗ 10−6 = 1.54 ∗ 10−6 = 0.154 ∗ 10−5

Hata Analizi ve Hatanın Yayılması (Error Analysis & Propagation of Error)

co

2.4

m

⇒ f lc (x ∗ y) = 0.15 ∗ 10−5 ⇒ δc = 0.154 ∗ 10−5 − 0.15 ∗ 10−5 = 0.004 ∗ 10−5 = 0.4 ∗ 10−7

ri.

Sayısal y¨ ontemlerde pek ¸cok problemin çöz¨ um¨ u i¸cin hesapladı˘ gımız de˘gerler ger¸cek de˘gerler olmayabilir Bu anlamda ¨ ozelliklede sayısal algortimaların geli¸smesinde bize rehberlik edicek olan bazı tanımlamaları vermemiz gerekmektedir. Tanım 2.18. x ger¸cek de˘gerine yakla¸sık de˘geri x e ile g¨ osterelim. Buna g¨ ore ifadesine mutlak hata (absolute error)

rs n

ifadesine de ba˘gıl hata (relative error) denir. ¨ Ornek 2.19.

(a) x (b) y (c) z

de

de˘gerleri i¸cin hata ve ba˘gıl hatayı bulunuz. C ¸ öz¨ um

w .e

em

Ex

w

|x − x e| , x 6= 0 |x|

ot

Rx =

la

Ex = |x − x e|

Rx

= 3.141592 − x e = 3.14

= 1000000 − ye = 999996 = 0.000012 − ze = 0.000009

= x−x e = 3.141592 − 3.14 = 1.592 × 10−3 1.592 × 10−3 x−x e = = = 5.067 5 × 10−4 x 3.141592

Ey Ry Ez

=

Rz

=

= y − ye = 1000000 − 999996 = 4 4 y − ye = = 4 × 10−6 = y 1000000

z − ze = 0.000012 − 0.000009 = 3.0 × 10−6 3.0 × 10−6 z − ze = = 0.25 z 0.000012

Tanım 2.20. C ¸ ok kompleks bir matematiksel ifade daha elementer i¸slemler i¸ceren bir form¨ ul ile yer de˘gi¸stirdi˘ginde kesme hatası (truncation error) kavramı meydana gelmektedir. Genel anlamda sayısal y¨ ontemlerin kesilmesinden elde edilen hatadır.

¨ Ornek 2.21. x6 x2n x4 + + ... + + ... 2! 3! n!

ifadesinde ilk 4 toplamı: 1 + x2 +

9

ri. co

2

ex = 1 + x2 +

m

2

x6 x4 + 2! 3!

aldı˘gımızda kesme hatası meydana gelecektir.

sn o

tla

Tanım 2.22. Yuvarlama hatası (round-off error) ¨ ozelliklede bilgisayardaki kısıtlı ¨ depolamadan kaynaklamktadır. Orne˘ gin 1 = 0.00011 2 10 olmasına ra˘gmen bilgisayarda bu de˘ger son hanesine kadar alınamayaca˘gından belli bir ondalıktan sonra kesilip yuvarlanmaktadır. ¨ Tanım 2.23. Orne˘ gin x = 3.1415926536 ve y = 3.1415957341 sayılarını ele alalım. x − y = 3.1415926536 − 3.1415957341 = −3.0805 × 10−6

em de r

farkı bize x ve y sayılarının ilk 6 hanesi aynı oldu˘gunu s¨ oylemektedir ki virg¨ ulden sonra 5 sayının aynı olması demektir. Bu gibi ifadelere basamakların anlamını yitirmesi (loss od significance digits) de denir.

√ √ ¨ Ornek 2.24. f (x) = x x + 1 − x , g (x) = ve g (500) de˘gerlerini bulunuz.

√ x √ x+1+ x

fonksiyonları i¸cin f (500)

C ¸ öz¨ um

f (500) = g (500) =

500 ∗

√ √ 501 − 500 = 500 ∗ (22.3830 − 22.3607) = 500 ∗ 0.022 3 = 11.1500

500 500 500 √ √ = = = 11.1748 22.3830 44.7437 + 22.3607 501 + 500

w

w

w .e

ger¸cekte f (x) ve g (x) fonksiyonları cebirsel olarak birbirine denk olmasına ra˘ gmen elde edilen sayısal sonu¸clar aynı olmamaktadır ve ger¸cekte g (500) = 11.1748 de˘geri ger¸cek de˘ ger olan 11.174755300747198 ifadesinin 4 basama˘ga yuvarlanmı¸s halidir. Not . Hatanın artmasını (propogation of error) toplama, çarpmada ¸su ¸sekilde verebilir. x ger¸cek de˘gerine yakla¸sık de˘geri x e, y ger¸cek de˘gerine yakla¸sık de˘geri ye ile g¨ osterelim. Buna g¨ ore x = y =

x e + Ex ye + Ey

(1) Toplamada hata artı¸sını ”Toplamdaki hata, hataların toplamıdır” ¸seklinde ifade edebiliriz. x + y = (e x + Ex ) + (e y + Ey ) = (e x + ye) + (Ex + Ey )

(2) C ¸ arpmada hata artı¸sını biraz daha karma¸sıktır:

xy = (e x + Ex ) (e y + Ey ) = x eye + x eEy + yeEx + Ex Ey

olarak elde ederiz ki x e ve ye burda 1 den b¨ uy¨ uk bir de˘gerde ise x eEy , yeEx terimleri yeterince b¨ uy¨ uk olabilir. Tanım 2.25. Bir sayısal y¨ ontemde ba¸slangı¸cta verilen de˘gerlerdeki k¨ u¸cu ¨k hatalar sonuca da k¨ u¸cu ¨k hata olarak yansıyorsa bu y¨ oteme kararlıdır (stable) aksi durumda ise kararlı de˘gildir (unstable) denir.

m

10

2. SAYI SISTEMLERI VE HATALAR (NUMBER SYSTEMS AND ERRORS)

¨ Ornek 2.26. =

(x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 4) (x − 5) (x − 6) (x − 7)

ri. co

p (x) =

x7 − 28x6 + 322x5 − 1960x4 + 6769x3 − 13 132x2 + 13 068x − 5040

w

w

w .e

em de r

sn o

tla

polinomunun k¨ oklerinden biri 5 ve 6 dır. x6 teriminin o ¨n¨ undeki katsayıyı −28.002 ile de˘gi¸stirdi˘gimizde 5.459 ± 0.540i, olarak buluyoruz ki de˘gerde olduk¸ca b¨ uy¨ uk bir de˘gi¸sim vardır. Bu t¨ url¨ u polinomlara, k¨ ok bulma problemlerine g¨ ore kararlı olmayan veya iyi tanımlı olmayan polinomlar da denir.

m ri. co

Chapter 3

em de r

3

sn o

tla

f (x) = 0 Formundaki Lineer Olmayan Denklemlerin C ¸o ¨z¨ umleri (The Solution of Nonlinear Equations f (x) = 0)

ax + b = 0, a 6= 0

t¨ ur¨ undeki denklemleri çözmek olduk¸ca kolaydır ve hatta lineer olmayan

ax2 + bx + c = 0, a, b, c ∈ IR, a 6= 0

w

w

w .e

denklemlerinin ¸c¨ oz¨ um¨ un¨ u de kolayca bulabiliriz. Ancak 3. mertebden ve daha y¨ uksek polinomlar i¸cin ¸cöz¨ um bulmak her zaman çok kolay olmamaktadır. S ¸ imdi ise özg¨ ul a˘ gırlı˘gı 0.6 ve yarı¸capı 5.5cm olan bir topun suda ne kadar battı˘ gını bulucak bir problemi ele alalım. Newton’un 3. hareket kuralına göre topun a˘gırlı˘gı suyun kaldırma kuvvetine e¸sit olacaktır.

T opun a˘ gırlı˘ gı = (T opun Hacmi) ∗ (T opun yo˘ g unlu˘ gu) ∗ (Y ercekimi ivmesi) 4 3 Figure 3.1. Topun πR ∗ (ρb ) ∗ (g) = 3 y¨ uzeyindeki durumu R := Topun yarı¸capı (m − metre) ρb := Topun yo˘gunlu˘ gu kg/m3 g := Yercekimi ivmesi m/s2 Kaldırma kuvveti = Yer de˘gi¸stiren suyun a˘gırlı˘gı

= (suyun altında kalan topun hacmi) (suyun yo˘gunlu˘ gu) (Yercekimi ivmesi) x ∗ (ρw ) ∗ (g) = πx2 R − 3 x := topun batan kısmının y¨ uksekli˘ gi 3 ρw := suyun yo˘gunlu˘ gu kg/m 11

su

tla

ri. co

Newton’un 3. hareket kuralına g¨ ore 4 3 x πR ∗ (ρb ) ∗ (g) = πx2 R − ∗ (ρw ) ∗ (g) 3 3 x 4R3 ∗ ρb = 3x2 R − ∗ ρw 3 ⇒ 4R3 ρb − 3x2 Rρw + x3 ρw = 0 ρb − 3x2 R + x3 = 0 ⇒ 4R3 ρw ρb = 0.6 (topun özg¨ ul a˘gırlı˘gı) γb := ρw R = 5.5cm = 0.055m

m

¨ UMLERI ¨ 3. 12 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x)

⇒ 3. 993 × 10−4 − 0.165x2 + x3 = 0

sn o

Bu ise lineer olmayan bir denklem olup topun batan kısmının y¨ uksekli˘gini gösteren x′ i bulmak bundan sonraki ilgilenice˘gimiz konu olucaktır. Ki bu denklemin kökleri , 0.146 36, 6. 237 8 × 10−2 , −4.3737 × 10−2 olup grafi˘gini a¸sa˘gıdaki gibi verebiliriz. y

em de r

0.0003

0.0002

0.0001

-0.04

-0.02

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

x

-0.0001

-0.0002

w

w

w .e

Figure 3.2. Denklemin grafi˘gi

Problem . Buna g¨ ore bu konu altında f (x) fonksiyonu [a, b] aralı˘gında s¨ urekli ve sınırlı bir fonksiyon olmak u ¨zere f (r) = 0 ko¸sulunu sa˘glayacak ¸sekilde r ∈ [a, b] ç¨ oz¨ um¨ un¨ u bulabilirmiyiz sorusunun cevabını bulmaya çalı¸saca˘gız ki bu durumda 3 soru aklımıza gelmektedir. (1) Bir fonksiyonun ço ¨z¨ um¨ un¨ un var olup olmadı˘gını nasıl bulabiliriz? (2) C ¸¨ oz¨ um varsa ço ¨z¨ um¨ u nasıl bulabiliriz? (3) Buldu˘gumuz ço ¨z¨ um, ger¸cek ç¨ oz¨ ume ne kadar yakınsaktır?

3. sorunun cevabı i¸cin yakınsaklık tanımını verelim: Tanım 3.1. lim xn = x e

n→∞

olsun. E˘ger

|xn+1 − x e| ≤ c|xn − x e|p

ko¸sulu sa˘glanıyorsa {xn } dizisine p. mertebeden yakınsaktır denir ve p ye de yakınsaklık derecesi denir. 1. sorunun cevabını a¸sa˘ gıda verelim. Di˘ger soruların cevabını ise bu konudaki altba¸slıklarla vermeye ¸calı¸saca˘gız. Teorem 3.2. f (x) fonksiyonu [a, b] aralı˘gında s¨ urekli ve sınırlı bir fonksiyon olmak u ¨zere f (a) f (b) ≤ 0 ko¸sulunu sa˘glasın. O halde f (r) = 0 ko¸sulunu sa˘glayan ∃r ∈ [a, b] vardır.

m

13

tla

ri. co

3

Figure 3.3. Ara de˘ger teoreminin uygulaması

w

w

w .e

em de r

sn o

Uyarı 3.3. Burda dikkat edilmesi gereken en o ¨nemli noktalardan birisi ise fonksiyonun s¨ urekli ve sınırlı olmasıdır. E˘gere bu ko¸sullardan biri sa˘glanmıyorsa yukaridaki teoremi uygulamamız m¨ umk¨ un de˘gildir.

Figure 3.4. Ara de˘ger teoremi i¸cin ters örnek!

¨ Ornek 3.4. A¸sa˘gıdaki fonksiyonların verilen aralıklarda ç¨ oz¨ um¨ un¨ un olup olmadı˘gını belirtiniz. (1) f (x) = ex − 2 − x, [−5, −3] ve [−3, −1] (2) f (x) = cos (x) + 1 − x, x radyan olarak alınacak, [−1, 1] ve [1, 3] (3) f (x) = ln (x) − 5 + x, [1, 3] ve [3, 5]

C ¸ öz¨ um (1)

f (x) = ex − 2 − x ⇒ f (−5) ∗ f (−3) = 3. 1564 > 0 oldu˘ gundan [−5, −3] aralı˘ gında k¨ ok yoktur. (2)

f (−3) ∗ f (−1) = −0.66359 < 0 oldu˘ gundan [−5, −3] aralı˘ gında k¨ ok vardır.

f (x) = cos (x) + 1 − x ⇒ f (−1) ∗ f (1) = 1.3725 > 0 oldu˘ gundan [−1, 1] aralı˘ gında k¨ ok yoktur. f (1) ∗ f (3) = −1.6155 < 0 oldu˘ gundan [1, 3] aralı˘ gında k¨ ok vardır.

rs n em de

¨ UMLERI ¨ 3. 14 f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x)

(3)

f (x) = ln (x) − 5 + x ⇒ f (1) ∗ f (3) = 3. 6056 > 0 oldu˘ gundan [1, 3] aralı˘gında kök yoktur. f (3) ∗ f (5) = −1. 4507 < 0 oldu˘ gundan [3, 5] aralı˘gında kök vardır.

˙ Sabit Nokta Iterasyonu (Fixed Point Iteration)

3.1

f (x) = 0

denklemini

x = g (x)

formuna getirmektir. ¨ Ornek 3.5. ex − 1 − 2x = 0 denklemini x ∈ [1, 2] aralı˘gında x = g (x) ¸sekline getiriniz. y

w

w

w .e

Sabit nokta iterasyonunun ana fikri

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0 1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

x

Figure 3.5. ex − 1 − 2x fonksiyonu C ¸ öz¨ um f (x) x

= ex − 1 − 2x = 0, x ∈ [1, 2] ex − 1 e1 − 1 = g (x) ⇒ g (1) = = 0.85914 ∈ = / [1, 2] oldu˘gundan bu ¸sekilde dön¨ u¸st¨ uremeyiz. 2 2 y3

2

1

0 1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Figure 3.6. g (x) = fonksiyonları

ex = g (2) =

1.6

ex −1 2

1.7

1.8

1.9

2.0

x

ve y = x

2x + 1 ⇒ x = ln (2x + 1) = g (x) ⇒ g (1) = ln (2 ∗ 1 + 1) = 1. 0986 ∈ [1, 2] , ln (2 ∗ 2 + 1) = 1. 6094 ∈ [1, 2] oldu˘gundan bu formu kullanmalıyız.

¨ UMLERI ¨ 14 3. f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) = 0)

(3) f (x) = ln (x) − 5 + x ⇒ f (1) ∗ f (3) = 3. 6056 > 0 oldu˘gundan [1, 3] aralı˘gında k¨ ok yoktur. f (3) ∗ f (5) = −1. 4507 < 0 oldu˘gundan [3, 5] aralı˘gında k¨ ok vardır.

m

˙ Sabit Nokta Iterasyonu (Fixed Point Iteration)

3.1

Sabit nokta iterasyonunun ana fikri f (x) = 0

co

denklemini x = g (x) formuna getirmektir.

ri.

¨ Ornek 3.5. ex − 1 − 2x = 0 denklemini x ∈ [1, 2] aralı˘gında x = g (x) ¸sekline getiriniz. y

tla

2.0

1.5

sn o

1.0

0.5

0.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

x

de r

Figure 3.5. ex − 1 − 2x fonksiyonu

C ¸ o¨z¨ um f (x)

w

w

w .e

em

x

= ex − 1 − 2x = 0, x ∈ [1, 2] e1 − 1 ex − 1 = g (x) ⇒ g (1) = = 0.85914 ∈ / [1, 2] oldu˘gundan bu ¸sekilde d¨ on¨ u¸st¨ uremeyiz. = 2 2

ex = g (2) =

y3

2

1

0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Figure 3.6. g (x) = fonksiyonları

1.6

ex −1 2

1.7

1.8

1.9

2.0

x

ve y = x

2x + 1 ⇒ x = ln (2x + 1) = g (x) ⇒ g (1) = ln (2 ∗ 1 + 1) = 1. 0986 ∈ [1, 2] , ln (2 ∗ 2 + 1) = 1. 6094 ∈ [1, 2] oldu˘gundan bu formu kullanmalıyız.

¨ UMLERI ¨ 3. f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) = 0) 15 2.0

m

y

1.9 1.8 1.7

ri. co

1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

x

sn o

tla

Figure 3.7. g (x) = ln (2x + 1) ve y = x fonksiyonları

Tanım 3.6. g (x) fonksiyonu [a, b] aralı˘gında s¨ urekli,sınırlı ve g (x) ∈ [a, b] olsun. xn+1 = g (xn ) , n = 0, 1, 2, 3, ...

(3.1)

em de r

ile verilen yineleme form¨ ul¨ une sabit nokta veya basit iterasyon (fixed point iteration or simple iteration).denir. xn , n ≥ 0 sayılarına iterasyon n = 0 durumunda x0 sayısına ba¸slangı¸c iterasyonu denir. E˘ger (3.1) ile tanımlanan {xn } dizisi x noktasına yakınsak ise x sayısı g (x) fonksiyonunun sabit noktasıdır:

Ger¸cekten

x = g ( x)

lim xn = x

n→∞

ise

x = lim xn+1 = lim g (xn ) = g n→∞

x) lim xn = g (

n→∞

Yöntemi a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde verebiliriz:

w .e

w

w

n→∞

Algoritma 3.7. Adım 2:

Adım 1: x0 ba¸slangı¸c iterasyonunu ve ε > 0 hata payını verin ve n = 0 alın xn+1 = g (xn )

form¨ ul¨ u ile bir sonraki iterasyonu elde ediniz. Adım 3: |xn+1 − xn | > ε ise n yi 1 arttırın. (n = n + 1) ve 2.adıma gidiniz. Adım 4: Bulunan xn+1 sayısını x = g (x) denkleminin ¸c¨ oz¨ um¨ u olarak belirtiniz. Problem . (3.1) ile tanımlanan {xn } dizisi ne zaman yakınsaktır? Teorem 3.8. g (x) ve g (x) fonksiyonu (a, b) aralı˘gında s¨ urekli ve x ∈ (a, b) sabit noktayı g¨ ostersin. (i) E˘ger ∀x ∈ [a, b] i¸cin |g (x) | ≤ K < 1 ko¸sulu sa˘glanıyorsa x0 ∈ (a, b) i¸cin (3.1) ile tanımlanan {xn } dizisi x sabit noktasına yakınsar (ii) E˘ger ∀x ∈ [a, b] i¸cin |g (x) | > 1 ko¸sulu sa˘glanıyorsa (3.1) ile tanımlanan {xn } dizisi x sabit noktasına yakınsamaz. x noktasına ıraksak sabit nokta (repulsive fixed point) denir ve iterasyon da lokal olarak ıraksaklık g¨ osterir.

tla

ri. co

m

¨ UMLERI ¨ 16 3. f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) = 0)

(b)

em de r

sn o

(a)

(c)

(d)

Figure 3.8. (a) 0 < g (x) < 1 oldugu durum - monoton yakınsaklık (b) −1 < g (x) < 0 oldugu durum - salınımlı yakınsaklık (c) g (x) > 1 oldugu durum - monoton ıraksaklık (d) g (x) > 1 oldugu durum - salınımlı ıraksaklık

w

w

w .e

¨ gunu g¨ osterelim: Ara de˘ ger Proof. (i) Oncelikle (3.1) ile tanımlanan {xn } dizisinin [a, b] aralı˘gında oldu˘ teoremini kullanarak a¸sa˘ gıdaki sonucu elde ederiz: | x − x1 | = |g ( x) − g (x0 ) | = |g (c0 ) ( x − x0 ) | = |g (c0 ) || x − x0 | ≤ K| x − x0 | < | x − x0 | < δ ⇒ x1 ∈ (a, b)

S¸imdi t¨ umevarım y¨ ontemi ile xn ∈ (a, b) olsun. xn+1 ∈ (a, b) oldu˘gunu g¨ osterelim: | x − xn+1 | = |g ( x) − g (xn ) | = |g (cn ) ( x − xn ) | = |g (cn ) || x − xn | ≤ K| x − xn | < | x − xn | < δ ⇒ xn+1 ∈ (a, b) S¸imdi ise

x − x0 | | x − xn+1 | ≤ K n |

oldu˘ gunu g¨ osterelim. Yukarıda | x − x1 | ≤ K| x − x0 | oldu˘ gunu g¨ ostermi¸stik. T¨ umevarım y¨ onteminden faydalanarak | x − xn | ≤ K n−1 | x − x0 | oldu˘ gunu kabul edelim. Buna göre | x − xn+1 | ≤ |g ( x) − g (xn ) | = |g (cn ) ( x − xn ) | = |g (cn ) || x − xn | ≤ K| x − xn | ≤ KK n−1 | x − x0 | = K n | x − x0 | Buna göre | x −xn+1 | ≤ K n | x −x0 | oldu˘ gunu göstermi¸s oluruz. Burada limit aldı˘ gımızda, 0 < K < 1 oldu˘ gundan: lim | x − xn+1 | ≤ lim K n | x − x0 | = 0

n→∞

n→∞

m

¨ UMLERI ¨ 3. f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) = 0) 17

ri. co

Sonuc ¸ 3.9. g (x) ve g (x) fonksiyonu (a, b) aralı˘gında s¨ urekli ve x ∈ (a, b) sabit noktayı g¨ ostersin. E˘ger ∀x ∈ [a, b] i¸cin |g (x) | ≤ K < 1 ko¸sulu sa˘glanıyorsa x0 ∈ (a, b) i¸cin (3.1) ile tanımlanan iterasyonun yakınsaklık derecesi 1 dir. Ve dahası | x − xn | ≤ K n−1 | x − x0 |, ∀n ≥ 1 K n−1 |x1 − x0 | | x − xn | ≤ 1−K hata de˘gerlendirmeleri ge¸cerlidir.

tla

Proof. Teorem 3.8’in ispatında gör¨ uld¨ ug˘u ü ¨ zere

| x − xn+1 || ≤ K| x − xn |

elde ederiz. Buna g¨ ore tanım 3.1’den yakınsaklık derecesini 1 olarak elde ederiz. Ve yine Teorem 3.8’den

de˘gerlendirmesini elde ederiz. | x − xn |

= ≤

sn o

| x − xn | ≤ K n−1 | x − x0 |, ∀n ≥ 1

|g ( x) − g (xn−1 ) | = |g (cn−1 ) ( x − xn−1 ) | ≤ K| x − xn−1 | = K| x − xn−1 + xn − xn | K | − xn−1 + xn | x − xn | ≤ K| x − xn | + K| − xn−1 + xn | ⇒ | 1−K |g (x1 ) − g (x0 ) | = |g (c0 ) (x1 − x0 ) | ≤ K|x1 − x0 |

=

|x3 − x2 |

=

|g (x2 ) − g (x1 ) | = |g (c1 ) (x2 − x1 ) | ≤ K|x2 − x1 | ≤ K 2 |x1 − x0 |

=

... |g (xn−1 ) − g (xn−2 ) | = |g (cn−2 ) (xn−1 − xn−2 ) | ≤ K|xn−1 − xn−2 | ≤ ... ≤ K n−1 |x1 − x0 |

em de r

|x2 − x1 |

|xn − xn−1 |

ifadesini yerine yazdı˘ gımızda sonucu elde ederiz.

¨ oz¨ um¨ un¨ u sabit nokta iterasyonu ile bulunuz. Ornek 3.10. x3 − 3x − 20 = 0, x ∈ [1, 4] fonksiyonun ¸c¨ Ba¸slangı¸c iterasyonu x0 = 1.5, hata payı ε = 10−4 ve virg¨ ulden sonra 4 basamak alınız. C ¸ o¨z¨ um

x3 − 20 13 − 20 x3 − 20 ifadesini alamayız ¸cu ¨ nk¨ u x = 1 i¸cin = = −6. 3333 ∈ / [1, 4] 3 3 3 √ √ x3 − 3x − 20 = 0 ⇒ x3 = 3x + 20 ⇒ x = 3 3x + 20 ⇒ x = 1i¸cin 3 3 ∗ 1 + 20 = 2. 8439 ∈ [1, 4] √ x = 4 i¸cin 3 3 ∗ 4 + 20 = 3. 1748 ∈ [1, 4] √ 1 1 1 x = 3 3x + 20 = g (x) ⇒ g (x) = .3 = ≤ √ = 0.13572 < 1 3 3 2 3 2 202 3 (3x + 20) (3x + 20)

w

w

w .e

x3 − 3x − 20 = 0 ⇒ x =

y

4

3

2

1

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

Figure 3.9. x =

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

√ 3 3x + 20 grafi˘ gi

3.8

4.0

x

¨ UMLERI ¨ 18 3. f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) = 0)

g(x)

Eps

hata

0 1 2 3 4

1,5000 2,9044 3,0622 3,0789 3,0807

2,9044 3,0622 3,0789 3,0807 3,0808

0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

5

3,0808

3,0809

0,0001

Devam/Dur-Karar Çözüm

y=x

ri. co

x

1,4044 Devam 0,1578 Devam 0,0167 Devam 0,0018 Devam

0 0 0 0

1E-04 Dur

tla

İterasyon

m

Table 1. Cozum

çözüm=3,0808

1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5

C ¸ o¨z¨ um x

1 0.5x e ⇒ g (0) = 0.5, g (1) = 0.824 36 2 1 ≤ ∗ 0.82436 = 0.20609 4

= g (x) = 1 0.5x e 4

em de r

g (x)

sn o

¨ oz¨ um¨ un¨ u sabit nokta iterasyonu ile bulunuz. Ba¸slangı¸c Ornek 3.11. x = 12 e0.5x , x ∈ [0, 1] fonksiyonun ¸c¨ iterasyonu x0 = 0, ve 3. iterasyona kadar hesaplayıp virg¨ ulden sonra 4 basamak alınız.

=

oldu˘ gundan sabit nokta iterasyonunu kullanabiliriz. y

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

w .e

0.2 0.1 0.0

0.0

0.1

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x

Figure 3.10. x = 12 e0.5x grafi˘ gi

w

w

0.2

Table 2. Cozum

İterasyon

x 0 1 2 3

g(x) 0,0000 0,5000 0,6420 0,6893

Eps 0,5000 0,6420 0,6893 0,7057

Devam/Dur 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

Devam/Dur-Karar Çözüm

0,5 Devam 0,142 Devam 0,0473 Devam

y=x 0 0 0

0,5 0,52 0,54 0,56

3.2

˙ Ikiye B¨ olme Y¨ ontemi (Bisection Method)

m

¨ UMLERI ¨ 3. f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) = 0) 19

sn o

tla

ri. co

f (x) fonksiyonu [a, b] aralı˘gında s¨ urekli ve sınırlı bir fonksiyon olmak u ¨ zere f (r) = 0 ko¸sulunu sa˘ glayacak ˙ ¸sekilde r ∈ [a, b] çöz¨ um¨ un¨ u bulmak i¸cin Ikiye Bölme Yöntemi i¸cin a¸sa˘ gıdaki algoritmayı uygularız:

em de r

˙ Figure 3.11. Ikiye Bölme Yöntemi

w

w

w .e

Algoritma 3.12. Adım 1: ε > 0 hata payını verin ve n = 0 alınız ve ba¸slangı¸c aralı˘gı a0 = a, b0 = b se¸cerek [a0 , b0 ] ¸seklinde belirleyiniz Adım 2: an + b n rn = 2 ¸seklinde aralı˘gın orta noktasını alınız. Adım 3: E˘ger f (rn ) = 0 ise r = rn ¸seklinde ¸c¨ oz¨ um¨ u elde ederiz. Adım 4: E˘ger f (an ) ∗ f (rn ) < 0 ise an+1 = an , bn+1 = rn se¸cerek yeni aralı˘gı [an+1 , bn+1 ] = [an , rn ] ¸seklinde belirleyiniz. Adım 5: E˘ger f (rn ) ∗ f (bn ) < 0 ise an+1 = rn , bn+1 = bn se¸cerek yeni aralı˘gı [an+1 , bn+1 ] = [rn , bn ] ¸seklinde belirleyiniz. Adım 6: E˘ger |an − bn | > ε ise n yi 1 arttırın. (n = n + 1) ve 2.adıma gidiniz aksi durumda i¸sleme son ver.

˙ Problem . Algoritma 3.12 ile verilen ikiye b¨ olme y¨ onteminin yakınsaklı˘gı nedir? Iterasyon ne zaman durur? ˙ Teorem 3.13. (Ikiye b¨ olme teoremi-Bisection theorem) f (x) fonksiyonu [a, b] aralı˘gında s¨ urekli ve sınırlı bir fonksiyon olmak u ¨zere f (r) = 0 ko¸sulunu sa˘glayan ∃r ∈ [a, b] olsun. E˘ger f (a) f (b) ≤ 0 ko¸sulunu ∞ sa˘glanıyorsa Algoritma 3.12 de tanımlanan {rn }n=0 dizisi x = r ¸c¨ oz¨ um¨ une yakınsaktır ve

b−a , n = 0, 1, 2, ... 2n+1 e¸sitsizli˘gi sa˘glanır. ε > 0 hata payını g¨ ostermek u ¨zere maksimum iterasyon sayısı (nmax ) a¸sa˘gıdaki ¸sekilde verilir:

ln (b − a) − ln (2ε) nmax = ln (2) |r − rn | ≤

gıdaki e¸sitsizli˘gi yazabiliriz Proof. r ve rn [a, b] aralı˘gında oldu˘gundan a¸sa˘ |r − rn | ≤

|bn − an | 2

sn o

sonucunu elde ederiz.

|b0 − a0 | |bn − an | = 2 2n+1

tla

|r − rn | ≤

ri. co

0| 0 (1 − a) E˘ ger a1 = a0 , b1 = r0 = a0 +b ise |b1 − a1 | = |b02−a 1 2 |b0 −a0 | 0 (1 − b) E˘ ger a1 = r0 = a0 +b 2 , b1 = b0 ise |b1 − a1 | = 21 a1 +b1 1| 0| (2 − a) E˘ ger a2 = a1 , b2 = r1 = 2 ise |b2 − a2 | = |b12−a = |b02−a 1 2 |b1 −a1 | 0| 1 (2 − b) E˘ ger a2 = r1 = a1 +b = |b02−a 2 2 , b2 = b1 ise |b2 − a2 | = 21 −a0 | T¨ umervarım y¨ ontemi ile |bn−1 − an−1 | = |b20n−1 oldu˘ gunu kabul edelim. an−1 +bn−1 |bn−1 −an−1 | 0| (n − a) E˘ ger an = an−1 , bn = rn−1 = ise |b = |b02−a n − an | = n 2 21 n−1 n−1 | 0| (n − b) E˘ ger an = rn−1 = an−1 +b , bn = bn−1 ise |bn − an | = |bn−12−a = |b02−a 1 n 2 Böylece

m

¨ UMLERI ¨ 20 3. f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) = 0)

ln b−a |b0 − a0 | b−a b−a ln (b − a) − ln (2ε) n 2ε ≤ 2 ⇒ n = ≤ ε ⇒ ⇒ n ≥ = max 2n+1 2n+1 2ε ln (2) ln (2)

em de r

˙ Not . Ikiye b¨ olme y¨ ontemi, en yava¸s yakınsaklı˘ga sahip bir y¨ ontem olmasına ra˘gmen hatalı sonu¸clanmayan bir y¨ ontemdir.

w

w .e

¨ oz¨ um¨ un¨ u ikiye b¨ olme y¨ ontemi ile bulunuz. Hata Ornek 3.14. x3 + 4x2 − 10 = 0, x ∈ [1, 2] denkleminin ¸c¨ −6 payı ε = 10 ve virg¨ ulden sonra 6 basamak alınız.

y

14 12 10 8 6 4 2

w

0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

-2 -4

Figure 3.12. x3 + 4x2 − 10 fonksiyonu

C ¸ o¨z¨ um

2.0

x

r i. c rs no tl a

¨ UMLERI ¨ 3. f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) = 0) 21

Table 3. x3 + 4x2 − 10 = 0, x ∈ [1, 2] denkleminin çöz¨ um¨ un¨ u ikiye b¨ olme y¨ ontemi ile bulunması. İterasyon

a f(a) b f(b) f(a)*f(b) 0 i¸cin Algoritma 3.20 de tanımlanan {rn }n=0 dizisi x = r ¸c¨ oz¨ um¨ une yakınsaktır. Uyarı 3.22. f (x) f (x) ile tanımlanan fonksiyona Newton-Raphson iterasyon fonksiyonu denir. g (x) = x −

1

Isaac Newton, 4 ocak 1643 yılında Woolsthorpe-Ingiltere do˘ gumlu 31 mart 1727, Londra-Ingiltere de ¨ old¨ u. 27 ya¸sında Cambridge de Lucasian ba¸skanlı˘ gını yaptı.

¨ UMLERI ¨ 3. f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) = 0) 27

ri. co

m

Proof. S¸ekilde neden r0 ba¸slangı¸c iterasyonunu çöz¨ ume olduk¸ca yakın se¸cmeliyiz veya neden 2. mertebeye kadar t¨ urevlenebilir ve t¨ urevi s¨ urekli bir fonksiyon se¸ciyoruz sorularının ¸cok net bir cevabını alamıyoruz ancak ispatta neden bu varsayımlarda bulunuyoruz a¸cıklmaya ¸calı¸saca˘ gız. f (x) fonksiyonunun x = r0 noktasındaki Taylor seri a¸cılımını verirsek f (x) = f (r0 ) + f (r0 ) (x − r0 ) + f (c) c, r0 ile x arasında bir de˘ ger. x = r de˘gerini yazdı˘ gımızda

2

(x − r0 ) , 2!

0 = f (r) = f (r0 ) + f (r0 ) (r − r0 ) + f (c)

2

(r − r0 ) 2!

2

tla

0) bu ifade ile e˘ ger r0 ba¸slangı¸c noktası r noktasına olduk¸ca yakın oldu˘ gunda (r−r terimi yeterince k¨ uçu ¨ k bir 2! de˘ger alıcaktır. B¨ oylece f (r0 ) 0 f (r0 ) + f (r0 ) (r − r0 ) ⇒ r r0 − f (r0 )

sn o

olarak elde ederiz. Buna göre yukarıdaki yakla¸sımı sonraki noktayı bulmak i¸cin kullanabiliriz. r1 r0 −

f (r0 ) f (r0 )

ve daha sonra r0 noktasının sırasıyla rk−1 ile de˘gi¸stirdi˘gimizde Newton-Raphson iterasyonunu kurmu¸s oluruz. Yakınsaklı˘gı de˘gerlendirmek i¸cin sabit nokta iterasyonundaki ko¸sulun sa˘ glanması gerekmektedir: f (x) (f (x))2 − f (x) f (x) f (x) f (x) ⇒ g (x) = 1 − = 2 2 f (x) (f (x)) (f (x))

em de r g (x) = x −

E˘ger f (r) = 0 ko¸sulunu sa˘ glayacak ¸sekilde bir ¸cöz¨ um var ise yukarıdaki tanımlamadan g (r) = 0 dır ve g s¨ urekli fonksiyon oldu˘gundan |g (x)| < 1, x ∈ [r − δ, r + δ] ko¸sulunu sa˘glayacak ¸sekilde ∃δ > 0 bulmak m¨ umk¨ und¨ ur. Böylece f (x) f (x) < 1, x ∈ [r − δ, r + δ] (f (x))2 ko¸sulu sa˘glanır.

¨ = 0, denkleminin ç¨ oz¨ um¨ un¨ u r0 = 0.5 ba¸slangı¸c noktası ve NewtonOrnek 3.23. exp (x) − 5 sin πx 2 ulden sonra 5 basamak alınız.(cos fonksiyonu i¸cin Raphson y¨ ontemi ile bulunuz. Hata payı ε = 10−5 ve virg¨ radyan alınız)

w .e

w

w

y

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

-1

-2

Figure 3.20. exp (x) − 5 sin C ¸ o¨z¨ um f (x) = exp (x) − 5 sin

πx 2

⇒ f (x) = ex − 52 π cos

1

πx 2

2 πx

1.0

x

¨ UMLERI ¨ 28 3. f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) = 0)

r

Kök

Çözüm =0,14917

tla

0 1 2 3 4 5

f(r) f'(r) eps devam 0,50000 -1,88681 -3,90488 0,00001 0,01681 0,88494 -6,83429 0,00001 Devam 0,14630 0,01859 -6,48996 0,00001 Devam 0,14916 0,00005 -6,47853 0,00001 Devam 0,14917 -0,00002 -6,47849 0,00001 Devam 0,14917 -0,00002 -6,47849 0,00001 Dur

ri. co

İterasyon

m

= 0, denkleminin ¸cöz¨ um¨ un¨ u r0 = 0.5 ba¸slangı¸c noktası ve Table 7. exp (x) − 5 sin πx 2 Newton-Raphson y¨ ontemi ile bulunması

sn o

¨ oz¨ um¨ un¨ u r0 = 1. ba¸slangı¸c noktası ve Newton-Raphson Ornek 3.24. x2 − sin (x) − 1 = 0 denkleminin ¸c¨ y¨ ontemi ile bulunuz. Hata payı ε = 10−6 ve virg¨ ulden sonra 5 basamak alınız.(sin fonksiyonu i¸cin radyan alınız) y 24 22 20 18 16

em de r

14

-5

-4

-3

-2

12 10 8 6 4 2 -1

1

2

3

4

5

x

Figure 3.21. f (x) = x2 − sin (x) − 1 fonksiyonu

w

w

w .e

C ¸ o¨z¨ um f (x) = x2 − sin (x) − 1 ⇒ f (x) = 2x − cos x Table 8. x2 − sin (x) − 1 = 0 denkleminin çöz¨ um¨ un¨ u r0 = 1. ba¸slangı¸c noktası ve NewtonRaphson y¨ ontemi ile bulunması

İterasyon

0 1 2 3 4

r

f(r) f'(r) eps devam 1,00000 -0,84147 1,45970 0,000001 1,57647 0,48527 3,15861 0,000001 Devam 1,42284 0,03539 2,69825 0,000001 Devam 1,40972 0,00026 2,65906 0,000001 Devam 1,40962 0,00000 2,65877 0,000001 Dur

Kök

Çözüm =1,40962227740211

Problem . Algoritma 3.20 ile verilen Newton-Raphson y¨ onteminin yakınsaklı˘gı nedir? Tanım 3.25. f (x) fonksiyonu M. mertebeye kadar t¨ urevlenebilir ve t¨ urevleri s¨ urekli bir fonksiyon olmak u ¨zere f (r) = f (r) = ... = f (M−1) (r) = 0, f (M) (r) = 0

¨ UMLERI ¨ 3. f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) = 0) 29

m

ko¸sulu sa˘glanıyorsa x = r noktasına M. dereceden k¨ ok denir. E˘ger M = 1 ise basit k¨ ok, M = 2 ise katlı k¨ ok de denebilir.

f (x) = (x − r)

M

ri. co

Lemma 3.26. E˘ger f (x) fonksiyonu x = r noktasında M. dereceden k¨ oke sahip ise h (x) , h (r) = 0

olacak ¸sekilde s¨ urekli h (x) fonksiyonu mevcuttur. ¨ Ornek 3.27.

f (x) = x3 − 3x + 2

f (−2) =

f (x) =

0

3x2 − 3

0 0

sn o

f (−2) = f (1) =

tla

fonksiyonunun x = −2 basit k¨ ok¨ ud¨ ur ve x = 1 ise ¸cift katlı k¨ ok¨ ud¨ ur.

f (1) = f (x) =

0 6x ⇒ f (1) = 0

f (x) =

(x − 1) (x + 2)

2

∞

em de r

Teorem 3.28. Algoritma 3.20 ile verilen Newton-Raphson y¨ onteminde tanımlanan {rn }n=0 dizisi x = r ¸c¨ oz¨ um¨ une yakınsaktır. E˘ger x = r basit k¨ ok ise yakınsaklık derecesi 2 dir ve |r − rn+1 | ≈

|f (r)| 2 |r − rn | 2 |f (r)|

e˘ger x = r M. mertebeden bir k¨ ok ise yakınsaklık derecesi 1 dir ve |r − rn+1 | ≈

M −1 |r − rn | . M

w

w

w .e

Proof.

0

f (rn ) + f (rn ) (r − rn ) + f (c)

0

f (rn ) + f (rn ) (rn+1 − rn )

(r − rn )2 2!

ifadelerini taraf tarafa ¸cıkardı˘gımızda 0 f (rn ) (r − rn+1 ) + f (c)

elde ederiz ki buradan

sonucunu çıkartırız.

|r − rn+1 | ≈

(r − rn ) 2!

2

|f (r)| 2 |r − rn | 2 |f (r)|

Uyarı 3.29. (Newton-Raphson y¨ onteminin yakınsaklı˘gının arttırılması) E˘ger x = r fonksiyonun M. mertebeden bir k¨ ok¨ u ise yukarıdaki teoremden yakınsaklık mertebesinin 1. oldu˘gunu belirtmi¸stik. E˘ger yakınsaklık mertebesini arttırmak istiyorsak f (rn ) rn+1 = rn − M , n = 0, 1, 2, ... f (rn ) iterasyonunu kullanabiliriz. √ ¨ ontemi ile ve r0 = 1, ε = 10−4 se¸cerek 4 basamak kesinli˘ge Ornek 3.30. 2 de˘gerini Newton Raphson y¨ g¨ ore hesaplayınız.

¨ UMLERI ¨ 30 3. f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) = 0)

m

C ¸ o¨z¨ um f (x) = x2 − 2 = 0 ⇒ f (x) = 2x

em de r

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(r) f'(r) eps devam 1,00000 -1,00000 2,00000 0,0001 #DEĞER! 1,50000 0,25000 3,00000 0,0001 Devam 1,41667 0,00694 2,83333 0,0001 Devam 1,41422 0,00001 2,82843 0,0001 Dur 1,41421 0,00000 2,82843 0,0001 Dur 1,41421 0,00000 2,82843 0,0001 Dur 1,41421 0,00000 2,82843 0,0001 Dur 1,41421 0,00000 2,82843 0,0001 Dur 1,41421 0,00000 2,82843 0,0001 Dur 1,41421 0,00000 2,82843 0,0001 Dur

3.5

Kök

#DEĞER!

Çözüm =1,41421568627451 Çözüm =1,41421356237469 Çözüm =1,4142135623731 Çözüm =1,4142135623731 Çözüm =1,4142135623731 Çözüm =1,4142135623731 Çözüm =1,4142135623731

tla

r

sn o

İterasyon

ri. co

√ gerini Newton Raphson y¨ ontemi ile ve r0 = 1, ε = 10−4 se¸cerek 4 basamak Table 9. 2 de˘ kesinli˘ge göre hesaplanması

Kiri¸sler Y¨ ontemi (Secant Method)

w

w

w .e

Newton Raphson y¨ onteminde herbir iterasyonda f (x) ve f (x) fonksiyonlarının de˘ gerlerini hesaplamak zorundayız. Genel anlmada bu hesaplama a¸cısından daha fazla zahmetli olmakla birlikte elementer i¸slemleri i¸cermeyen fonksiyonlar i¸cin (i¸cinde integral veya toplam bulunduran fonksiyonlar i¸cin) de˘gerlerin hatalı hesaplanmasına da yol a¸cabilmektedir. Bu anlamda t¨ urevi hesaplamadan di˘ger iterasyonu bulabilece˘ gimiz kiri¸sler y¨ ontemi geli¸stirilmi¸stir.Kiri¸sler y¨ ontemi i¸cin o¨ncelikle r0 ve r1 gibi bir ba¸slangı¸c noktaları verilir.S¸ekile göre r0 noktasından ge¸cen e˘ gimi a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde verebiliriz: f (r2 ) − f (r1 ) 0 − f (r1 ) r1 − r0 f (r1 ) − f (r0 ) = = (f (r2 ) = 0) ⇒ r2 = r1 − f (r1 ) m= r1 − r0 r2 − r1 r2 − r1 f (r1 ) − f (r0 )

Figure 3.22. Kiri¸sler Yöntemi

¨ UMLERI ¨ 3. f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) = 0) 31

Adım 1: ε > 0 hata payını verin ve n = 0 alınız ve r0 , r1 ba¸slangı¸c noktalarını

rn+2 = rn+1 − f (rn+1 )

ri. co

Algoritma 3.31. belirleyiniz. Adım 2:

m

ve bunun i¸cin a¸sa˘ gıdaki algoritmayı uygularız:

rn+1 − rn , n = 0, 1, 2, ... f (rn+1 ) − f (rn )

Figure 3.23. Kiri¸sler Yönteminin yakınsaklı˘ gı

w

w

w .e

em de r

sn o

tla

¸seklinde noktayı bulunuz.. Adım 3: E˘ger |rn+1 − rn | > ε ise n yi 1 arttırın. (n = n + 1) ve 2.adıma gidiniz aksi durumda r rn olarak ¸c¨ oz¨ um¨ u elde ediniz.

Ger¸cekte kiri¸sler y¨ onteminin form¨ ul¨ u ile Regula-Falsi y¨ onteminin iterasyon form¨ ul¨ u aynıdır ancak RegulaFalsi yöntemi aralık u ¨ zerinde çalı¸sılarak verilirken kiri¸sler y¨ onteminde ba¸slangı¸c noktaları verilir. ¨ ontemi ile ¸c¨ oz¨ um¨ u Ornek 3.32. x3 + cos (x) = 0, r0 = −1, r1 = 0 balangı¸c iterasyonları verilerek kiri¸sler y¨ bulunuz. Hata payı ε = 10−5 ve virg¨ ulden sonra 5 basamak alınız.(cos fonksiyonu i¸cin radyan alınız)

y

m

¨ UMLERI ¨ 32 3. f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) = 0)

1.4 1.2 1.0

ri. co

0.8 0.6 0.4 0.2 -1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

-0.2 -0.4

0.6

0.8

1.0

x

tla

Figure 3.24. x3 + cos (x) fonksiyonu

sn o

C ¸ o¨z¨ um

ontemi Table 10. x3 + cos (x) = 0, r0 = −1, r1 = 0 balangı¸c iterasyonları verilerek kiri¸sler y¨ ile ¸cöz¨ um¨ u. f(r(0)) -1,000 0,000 -0,685 -1,252 -0,807 -0,848 -0,867

r(1)

-0,460 1,000 0,453 -1,649 0,166 0,052 -0,005

0,000 -0,685 -1,252 -0,807 -0,848 -0,867 -0,865

f(r(0))2 r2=(f(r(1))r(0)-f(r(0))r(1))/(f(r(1))-f(r(0))) f(r) eps r2-r1 devam 1,000 -0,685 0,453 0,001 0,685 Devam 0,453 -1,252 -1,649 0,001 0,567 Devam -1,649 -0,807 0,166 0,001 0,445 Devam 0,166 -0,848 0,052 0,001 0,041 Devam 0,052 -0,867 -0,005 0,001 0,019 Devam -0,005 -0,865 0,001 0,001 0,002 Devam 0,001 -0,865 0,001 0,001 0,000 Dur

em de r

İterasyon r(0) 0 1 2 3 4 5 6

Kök

Çözüm =-0,865

w .e

¨ Ornek 3.33. cos (x) + 2 sin (x) + x2 = 0, r0 = 0, r1 = −0.1 ba¸slangı¸c iterasyonları verilerek kiri¸sler y¨ ontemi ile ¸c¨ oz¨ um¨ u bulunuz. Hata payı ε = 10−3 ve virg¨ ulden sonra 3 basamak alınız.

y

1.6 1.4

w

1.2 1.0 0.8

w

0.6 0.4 0.2 -2.0

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

x

Figure 3.25. cos (x) + 2 sin (x) + x2 fonksiyonu

C ¸ o¨z¨ um

¨ UMLERI ¨ 3. f (x) = 0 FORMUNDAKI LINEER OLMAYAN DENKLEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS f (x) = 0) 33

fr0

r1 1,000 0,805 0,153 0,046 0,006

fr1 -0,100 -0,513 -0,610 -0,652 -0,658

r2 0,805 0,153 0,046 0,006 0,001

fr2

-0,513 -0,610 -0,652 -0,658 -0,659

eps

0,153 0,046 0,006 0,001 0,000

devam 0,001 Devam 0,001 Devam 0,001 Devam 0,001 Devam 0,001 Dur

tla

0,000 -0,100 -0,513 -0,610 -0,652

Kök

ri. co

İterasyon r0 0 1 2 3 4

m

Table 11. cos (x) + 2 sin (x) + x2 = 0, r0 = 0, r1 = −0.1 ba¸slangı¸c iterasyonları verilerek kiri¸sler y¨ ontemi ile ¸cöz¨ um¨ u

Çözüm =-0,659

Problem . Algoritma 3.31 ile verilen Kiri¸sler y¨ onteminin yakınsaklı˘gı nedir? ∞

Proof. =

rn+2 − r

=

f (rn+1 ) rn − f (rn ) rn+1 rn+1 − rn = ⇒ f (rn+1 ) − f (rn ) f (rn+1 ) − f (rn ) f (rn+1 ) (rn − r) − f (rn ) (rn+1 − r) f (rn+1 ) rn − f (rn ) rn+1 −r = f (rn+1 ) − f (rn ) f (rn+1 ) − f (rn )

rn+1 − f (rn+1 )

em de r

rn+2

sn o

Teorem 3.34. Algoritma 3.31 ile verilen Kiri¸sler y¨ onteminde tanımlanan {rn }n=0 dizisi x = r ¸c¨ oz¨ um¨ une oz¨ um¨ u olan 1.6180 yakınsaktır. E˘ger x = r basit k¨ ok ise yakınsaklık derecesi α = 1 + α1 denkleminin yakla¸sık ¸c¨ dir ve |f (r)| α |r − rn+1 | ≈ |r − rn | , α = 1.6180 2 |f (r)|

ayrıca

f (rn+1 ) = f (rn ) =

f (rn+1 ) − f (r) = f (cn+1 ) (rn+1 − r) f (rn ) − f (r) = f (cn ) (rn − r)

ifadelerini yukarıda yerine yazdı˘ gımızda =

w

w

w .e

rn+2 − r

|rn+2 − r|

=

f (cn+1 ) (rn+1 − r) (rn − r) − f (cn ) (rn − r) (rn+1 − r) f (cn+1 ) − f (cn ) = (rn+1 − r) (rn − r) ⇒ f (rn+1 ) − f (rn ) f (rn+1 ) − f (rn ) f (cn+1 ) − f (cn ) M |rn+1 − r| |rn − r| , M f (rn+1 ) − f (rn )

S¸imdi

|rn+2 − r| = M |rn+1 − r|α

oldu˘ gunu kabul edelim. Buna göre α

|rn+1 − r| = M |rn − r| ⇒ M −1/α |rn+1 − r|

1/α

= |rn − r|

ifadesini yukarıda yerine yazarsak M |rn+1 − r|α = |rn+2 − r| = M |rn+1 − r| |rn − r| = M |rn+1 − r| M −1/α |rn+1 − r|1/α ⇒ |rn+1 − r|α |rn+1 − r|1/α+1 ifadesinin denkli˘gi i¸cin α=1+

1 α

denkleminin sa˘ glanması gerekir ve denklemin ¸cöz¨ um¨ u α ≈ 1.6180 olarak elde edilir.

m ri. co

Chapter 4

sn o

tla

Ax = b formundaki lineer sistemlerin C ¸o ¨z¨ umleri (The solution of Linear Systems Ax = b) 4

5x + y + z − 5 =

0

em de r

x + 4y + z − 4 = 0 x + y + 3z − 3 = 0 17 13 ol¨ umde d¨ uzlemlerini d¨ u¸su ¨ nelim. 3 d¨ uzleim de kesim noktası : x = 19 25 , y = 25 , z = 25 olarak elde edilir. Bu b¨ matrisleri tanıyarak onların ¸cöz¨ ulmesi ile ilgili direk ve iteratif y¨ ontemleri vermeye çalı¸saca˘ gız.

30

20

z

10

0

w

w

w .e

-10

4.1

-20

-4

-2

0

-2

2

0

2

y

4

4

-4

x

Figure 4.1. 5x + y + z − 5 = 0, x + 4y + z − 4 = 0, x + y + 3z − 3 = 0 d¨ uzlemleri

¨ Matris ve Vekt¨ orlerin Ozellikleri (Properties of Vectors and Matrices)

Tanım 4.1. x = (x1 , x2 , ..., xn ) ifadesine n bile¸senli bir vekt¨ or(vector) denir. x1 , x2 , ..., xn sayılarına da x vekt¨ or¨ un¨ un bile¸seni denir. n bile¸senli vekt¨ orlerin oldu˘gu k¨ umeye n boyutlu uzay (n dimesional space) denir. Bir vekt¨ or bir nokta olarak kullanılıyorsa ona durum vekt¨ or¨ u (position vector) denir. Bir vekt¨ or iki nokta arasındaki hareketi veriyorsa buna yer de˘gi¸stirme vekt¨ or¨ u (displacement vector) denir. Not . x = (x1 , x2 , ..., xn ) , y = (y1 , y2 , ..., yn ) vekt¨ orleri c, d reel sayıları i¸cin a¸sa˘gıdaki o ¨zellikler ge¸cerlidir. (1) x = y ⇔ xi = yi , ∀i = 1, 2, 3, ..., n (Vektörlerin e¸sitili˘gi- equivalance of vectors ) (2) x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ) (Vektörlerin toplamı - the sum of vectors) (3) −x = (−x1 , −x2 , ..., −xn ) (Vektör¨ un negatifi- the negative of vector x) 39

40

¨ UMLERI ¨ 4. Ax = b FORMUNDAKI LINEER SISTEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF LINEAR SYSTEMS Ax = b)

x − y = (x1 − y1 , x2 − y2 , ..., xn − yn ) (Vektörlerin farkı - the difference of vectors) cx = (cx1 , cx2 , ..., cxn ) (Skaler ile çarpma - scalar multiplication) cx + dy = (cx1 + dy1 , cx2 + dy2 , ..., cxn + dyn ) (Lineer kombinasyon- linear combination) x.y = x carpımı - dot product) 1 .y1 + x2 .y2 + ... + xn .yn (Nokta ¸ + x22 + ... + x2n (Euclid normu - Euclidean norm or length) x = x21 ˙ nokta arasındaki uzaklık -the distance be(9) y − x = (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 + ... + (yn − xn )2 (Iki tween two points)

ri. co

m

(4) (5) (6) (7) (8)

¨ Ornek 4.2. x = (2, −3, 5, −1) , y = (6, 1, 2, −4) vekt¨ orleri i¸cin

tla

x + y = (8, −2, 7, −5) x − y = (−4, −4, 3, 3) 3x = (6, √ √−9, 15, −3) x = 4 + 9 + 25 + 1 = 39 x.y = 12 −√ 3 + 10 + 4 = 23 √ x − y = 16 + 16 + 9 + 9 = 50

sn o

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

em de r

Notasyon . Bazen vekt¨ orler s¨ utun olarak da g¨ osterilir: ⎞ ⎛ x1 ⎜ x2 ⎟ ⎟ ⎜ T x = ⎜ . ⎟ = (x1 , x2 , ..., xn ) ⎝ .. ⎠ xn

T harfi ile transpozesi(transpose) ifade edilmi¸stir. 0 vekt¨ or¨ u ise 0 = (0, 0, ..., 0) olarak tanımlanır. Teorem 4.3. (Vekt¨ or cebiri- vector algebra) x = (x1 , x2 , ..., xn ) , y = (y1 , y2 , ..., yn ) , z = (z1 , z2 , ..., zn ) vekt¨ orleri, a, b, c reel sayılar olmak u ¨zere a¸sa˘gıdaki o ¨zellikler ge¸cerlidir. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

x + y = y + x # de˘ gi¸sme özelli˘gi (commutative property) 0 + x = x + 0 # sıfır vekt¨ or (zero vector) x − x = x + (−x) = 0 # ters i¸saretli vekt¨ or (the opposite vector) (x + y) + z = x + (y + z) # birle¸sme özelli˘gi (associative property) (a + b)x = ax + bx # skaler i¸cin da˘ gılma o¨zelli˘gi (distributive property for scalars) a(x + y) = ax + ay # vekt¨ orler i¸cin da˘ gılma o¨zelli˘gi (distributive property for vectors) a(bx) = (ab)x # scaler i¸cin birle¸sme özelli˘gi (associative property for scalars)

w

w

w .e

Tanım 4.4.

⎛

a11 ⎜ a21 ⎜ ⎜ .. ⎜ . ⎜ ⎜ ai1 A= ⎜ ⎜ . ⎝ .. am1

a12 a22 .. .

... ...

a1j a2j .. .

ai2 .. .

...

aij .. .

am2

. . . amj ↑ j.s¨ utun

⎞ a1n a2n ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎟ ⎟ . . . ain ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎠ . . . amn ... ...

← i.satır

ifadesine A matrisi (matrix A) denir. m satır (row) ve n s¨ utundan (column) olu¸smaktadır. Kısa formda A = (aij )m×n , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n or ¸seklinde g¨ osterilir. i. satır, j. s¨ utundaki elemanı aij ile ifade edece˘giz. A matrisini satırları n bile¸senli bir vekt¨ olup Ri = (ai1 , ai2 , ai3 , ..., ain ) , 1 ≤ i ≤ m olarak yazılırı ve A = (R1 , R2 , ..., Rm )T

4

41

Cj = (a1j , a2j , ..., amj )T , 1 ≤ j ≤ n

ri. co

ve

m

ile de ifade edilebilir. Benzer ¸sekilde A matrisinin s¨ utun vekt¨ orleri m bile¸senli s¨ utun vekt¨ or¨ ud¨ ur ve

A = (C1 , C2 , ..., Cn ) ¸seklinde yazarız. ¨ Ornek 4.5.

⎛

⎞ 9 1 ⎟ ⎟ 8 ⎠ −5

tla

−2 4 ⎜ 5 −7 A=⎜ ⎝ 0 −3 −4 6 matrisi 4 × 3 l¨ uk bir matristir. Satırları sırasıyla −2 4 R1 = 5 −7 R2 = 0 −3 R3 = −4 6 R4 =

olarak belirtiriz.

1

sn o

⎞ ⎛ −2 4 ⎜ 5 ⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎜ C1 = ⎜ ⎝ 0 ⎠ , C2 = ⎝ −3 −4 6 ⎛

em de r

ve s¨ utunları ise

9

8

−5

⎞

⎞ 9 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ , C3 = ⎜ 1 ⎟ ⎠ ⎝ 8 ⎠ −5 ⎛

Not . A = (aij )m×n , B = (bij )m×n , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n matrisleri p, q reel sayıları i¸cin a¸sa˘gıdaki ozellikler ge¸cerlidir. ¨ A = B ⇔ aij = bij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n #(Matrislerin e¸sitili˘gi- equivalance of two matrices ) A + B = (aij + bij )m×n , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n #(Matrislerin toplamı - the sum of two matrices) −A = (−aij )m×n , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n #(A matrisinin negatifi- the negative of matrix A) A − B = (aij − bij )m×n , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n # (Matrislerin farkı - the difference of matrices) pA = (paij )m×n , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n # (Skaler ile çarpma - scalar multiplication) pA + qB = (paij + qbij )m×n , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n # (Lineer kombinasyon- linear combination) 0 = (0)m×n , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n #(sıfır matris - zero matrix) ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ −2 3 −1 2 ¨ 5 ⎠ , B = ⎝ 1 −4 ⎠ matrisleri i¸cin Ornek 4.6. A = ⎝ 7 −9 7 3 −4 ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ −3 5 −2 3 −1 2 5 ⎠ + ⎝ 1 −4 ⎠ = ⎝ 8 1 ⎠ (1) A + B = ⎝ 7 3 −4 ⎞ ⎞ ⎛ −9 7 ⎞ ⎛ −6 3 ⎛ 1 −1 −2 3 −1 2 9 ⎠ 5 ⎠ − ⎝ 1 −4 ⎠ = ⎝ 6 (2) A − B = ⎝ 7 12 −11 3 −4⎞ ⎛ −9 7 ⎞ ⎛ −3 6 −1 2 15 ⎠ 5 ⎠ = ⎝ 21 (3) 3A = 3 ⎝ 7 9 −12 3 −4 ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ 4 −5 −2 3 −1 2 5 ⎠ − 3 ⎝ 1 −4 ⎠ = ⎝ 11 22 ⎠ (4) 2A − 3B = 2 ⎝ 7 33 −29 −9 7 3 −4

w

w

w .e

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Teorem 4.7. (Matris cebiri- matrix algebra) A = (aij )m×n , B = (bij )m×n , C = (cij )m×n , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n matrisleri, p, q reel sayılar olmak u ¨zere a¸sa˘gıdaki o ¨zellikler ge¸cerlidir.

¨ UMLERI ¨ 4. Ax = b FORMUNDAKI LINEER SISTEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF LINEAR SYSTEMS Ax = b)

A + B = B + A # de˘ gi¸sme özelli˘gi (commutative property) 0 + A = A + 0 # sıfır matris (zero matrix) A − A = A + (−A) = 0 # ters i¸saretli matrix (the opposite matrix) (A + B) + C = A + (B + C) # birle¸sme özelli˘gi (associative property) (p + q)A = pA + qB # skaler i¸cin da˘ gılma o¨zelli˘gi (distributive property for scalars) p(A + B) = pA + pB # vekt¨ orler i¸cin da˘ gılma o¨zelli˘gi (distributive property for vectors) p(qA) = (pq)A # scaler i¸cin birle¸sme özelli˘gi (associative property for scalars)

m

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

ri. co

42

Tanım 4.8. (Matris ¸carpımı - Matrix multiplication) A = (aij )m×n , B = (bjk )n×l , , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ k ≤ l matrisleri i¸cin A matrisinin s¨ utun sayısı ile B nin satır sayıları e¸sit ise A ve B matrislerinin ¸carpımını a¸sa˘gıdaki gibi tanımlarız:

¨ Ornek 4.9. A =

2 3 −1 4

,B =

5 −2 3 8

1 −6

matrislerinin çarpımını bulunuz.

RA1 = , RA1 = 2 3 , RA2 = −1 4 RA2 5 −2 1 5 −2 1 , CB2 = , CB3 = = CB1 CB2 CB3 , CB1 = 3 8 −6 3 8 −6 T T T RA1 .CB1 RA1 .CB2 RA1 .CB3 2∗5+3∗3 2 ∗ (−2) + 3 ∗ 8 2 ∗ 1 + 3 ∗ (−6) = (−1) ∗ 5 + 4 ∗ 3 (−1) ∗ (−2) + 4 ∗ 8 (−1) ∗ 1 + 4 ∗ (−6) RAT2 .CB1 RAT2 .CB2 RAT2 .CB3 19 20 −16 7 34 −25 2 3 −1 4

em de r

C ¸ o¨z¨ um A = B = AB = =

aij bjk = ai1 b1k + ai2 b2k + · · · + ain bnk , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ l

j=1

sn o

cik =

tla

AB = C = (cik )m×l , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ l n

Tanım 4.10. x1 , x2 , ..., xn bilinmeyenler olmak u ¨zere m denklemden olu¸san lineer denklemler sistemini a¸sa˘gıdaki gibi g¨ osteririz:

w

w

w .e

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ... ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn = bi

... am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm

veya matris formunda ⎛

a11 ⎜ a21 ⎜ ⎜ .. ⎜ . A=⎜ ⎜ ai1 ⎜ ⎜ . ⎝ .. am1

Ax = b, a12 a22 .. .

... ...

a1j a2j .. .

ai2 .. .

...

aij .. .

am2 ⎛ x1 ⎜ x2 ⎜ x=⎜ . ⎝ ..

xn

. . . amj ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟,b = ⎜ ⎝ ⎠

⎞ a1n a2n ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎟ ⎟ . . . ain ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎠ . . . amn ⎞ ... ...

b1 b2 .. .

bm

⎟ ⎟ ⎟ ⎠

43

olarak da verilir. ¨ Ornek 4.11. = =

0.1x1 + 0.3x2 + 0.5x3

=

denklem sistemini matris formunda g¨ osteriniz.

−0.44

⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ x1 0.3 0.52 1 0.01 1 1.9 ⎠ , x = ⎝ x2 ⎠ , b = ⎝ 0.67 ⎠ A = ⎝ 0.5 0.1 0.3 0.5 −0.44 x3 ⎛

matris ve vekt¨ orleri i¸cin sistemi

tla

C ¸ o¨z¨ um

0.01 0.67

ri. co

0.3x1 + 0.52x2 + x3 0.5x1 + x2 + 1.9x3

m

4

formunda gösteririz.

sn o

Ax = b

w

w

w .e

em de r

Tanım 4.12. A¸sa˘gıdaki bazı ¨ ozel matrislerin tanımını verelim. ⎛ ⎞ 0 0 ... 0 ... 0 ⎜0 0 . . . 0 . . . 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. .. .. ⎟ ⎜. . . .⎟ ⎟ (1) 0 = (0)m×n = ⎜ #b¨ ut¨ un elemanları sıfır olan matrise sıfır matris (zero ⎜0 0 . . . 0 . . . 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. .. .. ⎟ ⎝. . . .⎠ 0 0 . . . 0 . . . 0 m×n matrix) denir. ⎛ ⎞ 1 0 ... 0 ... 0 ⎜0 1 . . . 0 . . . 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜ .. .. . . .. .. ⎟ ⎟ ⎜. . . 1, i = j . . ⎟ ⎜ , δij = # kö¸segen u ¨ zerindeki elemanları 1 (2) I = (δij )n×n = ⎜ ⎟ 0, i = j 0 0 . . . 1 . . . 0 ⎟ ⎜ ⎜. . .⎟ .. . . ⎝ .. .. . .. ⎠ . 0 0 . . . 0 . . . 1 n×n di˘ gerleri 0 olan kare matrise birim matris (identity matrix) denir. (3) E˘ ger A = (aij )n×n , 1 ≤ i, j ≤ n matrisi i¸cin i > j oldu˘gunda aij = 0 ko¸sulu sa˘glanıyorsa bu matrise u ¨ st u ¨çgensel matris (upper triangular matrix) denir. ⎞ ⎛ a11 a12 a13 a14 ... a1n ⎜ 0 a22 a23 a24 ... a2n ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 a a . . . a3n ⎟ 33 34 ⎟ ⎜ A=⎜ ... ... ⎟ ⎟ ⎜. . . . . . . . . . . . ⎝ 0 0 0 . . . an−1n−1 an−1n ⎠ 0 0 0 ... 0 ann

(4) E˘ ger A = (aij )m×n , 1 ≤ i, j ≤ n matrisi i¸cin i < j oldu˘gunda aij = 0 ko¸sulu sa˘glanıyorsa bu matrise alt u ¨ çgensel matris (lower triangular matrix) denir. ⎞ ⎛ a11 0 0 0 ... 0 ⎜ a21 a22 0 0 ... 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ a31 a32 a33 0 ... 0 ⎟ ⎟ A=⎜ ⎜ ... ... ... ... ... ...⎟ ⎟ ⎜ ⎝an−1,1 an−1,2 an−1,3 . . . an−1,n−1 0 ⎠ an1 an2 an3 ... an,n−1 ann

¨ UMLERI ¨ 4. Ax = b FORMUNDAKI LINEER SISTEMLERIN C ¸ OZ (THE SOLUTION OF LINEAR SYSTEMS Ax = b)

i = j oldu˘gunda aij = 0 ko¸sulu sa˘glanıyorsa bu matrise 0 ... 0 ... 0 ... ... ... . . . an−1,n−1 ... 0

m

(5) E˘ ger A = (aij )n×n , 1 ≤ i, j ≤ n, matrisi i¸cin k¨ o¸segen matris (diagonal matrix) denir. ⎛ a11 0 0 ⎜ 0 a22 0 ⎜ ⎜ 0 0 a33 A=⎜ ⎜. . . . . . . . . ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 0

⎞ 0 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ...⎟ ⎟ 0 ⎠ ann

ri. co

44

sn o

tla

(6) Kö¸segen matrisinde aii = c gibi aynı sabit oluyorsa bu matrise skaler matris (scalar matrix) denir ve a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde yazılır: ⎞ ⎛ k 0 0 0 ... 0 ⎜0 k 0 0 ... 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 0 k 0 ... 0 ⎟ ⎟ A=⎜ ⎜. . . . . . . . . . . . . . . . . .⎟ = kI ⎟ ⎜ ⎝0 0 0 ... k 0⎠ 0 0 0 ... 0 k

em de r

(7) A = (aij )m×n , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n matirisi i¸cin AT = (aji )n×m , 1 A nın transpozesi (transpose of a matrix A) denir. ⎞ ⎛ ⎛ a11 a21 . . . a11 a12 . . . a1j . . . a1n ⎜ a12 a22 . . . ⎜ a21 a22 . . . a2j . . . a2n ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ .. ⎜ .. .. .. .. ⎟ .. ⎟ ⎜ . ⎜ . . . . ⎟ . T ⎜ ⎜ ⇒ A = A=⎜ ⎟ ⎜ a1j a2j . . . ⎜ ⎜ ai1 ai2 . . . aij . . . ain ⎟ ⎜ . ⎜ . .. .. .. .. ⎟ ⎝ .. ⎝ .. . . . . ⎠ am1 am2 . . . amj . . . amn m×n a1n a2n . . .

≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n matrisine ai1 ai2 .. . aij .. . ain

⎞ am1 am2 ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎟ ⎟ . . . amj ⎟ ⎟ .. ⎟ . ⎠ . . . amn n×m ... ...

¨ (8) AT = A ¨ ozelli˘gini sa˘ glayan matrise simetrik matris (symmetric matrix) denir. Orne˘ gin ⎞ ⎛ 1 2 3 A=⎝ 2 4 5 ⎠ 3 5 6

w

w

w .e

matrisi simektir bir matristir. (9) E˘ ger A matrisi kompleks sayılar i¸ceriyorsa A = (aij )m×n , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n matrisine A nın ¨ e¸slenik matrisi denir. Orne˘ gin ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 1 + 2i i 3 1 − 2i −i 3 4i 5 − 2i ⎠ ⇒ A = ⎝ 2 + i −4i 5 + 2i ⎠ A=⎝ 2−i 3 7 + 9i 6i 3 7 − 9i −6i

(10) E˘ ger A kare matrisi i¸cin AT ¨ matrix) denir. Orne˘ gin ⎛ 0 A = ⎝ −2 3

= −A ko¸sulu sa˘glanaıyorsa A matrisine simetrik olmayan matris (skew

T

⎞ ⎞ ⎛ 0 −2 3 2 −3 0 4 ⎠ = −A 0 4 ⎠ ⇒ AT = ⎝ 2 −3 4 0 4 0

(11) E˘ ger A kare matrisi i¸cin A = A ko¸sulu sa˘glanaıyorsa A matrisine Hermitian matris (Hermitian ¨ matrix) denir. Orne˘ gin ⎞ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 1 1+i 2 1 1−i 2 1 1−i 2 T 3 −i ⎠ ⇒ A = ⎝ 1 + i 3 i ⎠=A 3 i ⎠ ⇒ AT = ⎝ 1 − i A=⎝ 1+i 2 i 0 2 −i 0 2 −i 0

4

45

T

ri. co

m

(12) E˘ ger A kare matrisi i¸cin A = −A ko¸sulu sa˘glanaıyorsa A matrisine simetrik olmayan Hermitian ¨ matris (skew Hermitian matrix) denir. Orne˘ gin ⎞ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ i −1 − i −2 −i −1 + i −2 i 1−i 2 T 3i i ⎠⇒A =⎝ 1+i −3i −i ⎠ = −A 3i i ⎠ ⇒ AT = ⎝ 1 − i A = ⎝ −1 − i 2 i 0 2 −i 0 −2 i 0

Teorem 4.13. (Matris ¸carpımı- matrix multiplication) A = (aij )n×n , B = (bij )n×n , C = (cij )n×n , 1 ≤ i, j ≤ n, matrisleri, p reel sayılar olmak u ¨zere a¸sa˘gıdaki o ¨zellikler ge¸cerlidir. (AB)C = A(BC) # birle¸sme özelli˘gi (associative property) IA = AI = A # birim matris (identity matrix) (A + B)C = AC + BC # sa˘g da˘ gılma o¨zelli˘gi (right distributive property) A(B + C) = AB + AC # sol da˘ gılma o¨zelli˘gi (left distributive property) p(AB) = (pA)B = A (pB) # scaler birle¸sme özelli˘gi (scalar associative property)

tla

(1) (2) (3) (4) (5)

sn o

Tanım 4.14. E˘ger A = (aij )n×n , 1 ≤ i, j ≤ n, matrisi i¸cin AB = BA = I ko¸sulunu sa˘glayan B matrisi varsa A matrisine tersinir(invertible)-tekil olmayan(nonsingular) matris denir. Aksi durumda tekil (singular) matris denir. E˘ger A tersinir ise B = A−1 olarak yazılır. −1

Teorem 4.15. (i) A = (aij )n×n , B = (bij )n×n , 1 ≤ i, j ≤ n, tersinir matrisi i¸cin (AB) e¸sitili˘gi do˘grudur. −1 (ii) A = (aij )n×n , 1 ≤ i, j ≤ n, tersinir matrisi i¸cin A−1 = A e¸sitili˘gi do˘grudur.

em de r

Proof. (i)

−1

(ii)

= (AB) (AB) −1 −1 = (AB) B A

= B −1 A−1

I

−1 A BB −1 A−1 = AIA−1 = AA−1 = I ⇒ B −1 A−1 = (AB) −1

(A) (A)

−1 −1 = I ⇒ (A) =A

Lemma 4.16. Ax = b denklem sisteminin ¸c¨ oz¨ um¨ u x1 ve Ax = 0 denklem sisteminin ¸c¨ oz¨ um¨ u ise x2 olmak u ¨zere x1 + x2 , Ax = b denklem sisteminin ¸c¨ oz¨ um¨ ud¨ ur.

w

w

w .e

Teorem 4.17. Ax = b denklem sisteminin bir tek ¸c¨ oz¨ um¨ u olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul Ax = 0 denklem sisteminin 0 ¸c¨ oz¨ um¨ un¨ un olmasıdır.

Teorem 4.18. A = (aij )m×n , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n matirisi i¸cin Ax = b denklem sisteminde m < n ise sıfır olmayan ¸c¨ oz¨ umlere sahiptir. ¨ Orne˘ gin x1 + 2x2 − x3

=

0

x1 − x2 + x3

=

0

denklem sistemini sa˘glayan ve sıfır olmayan sonsu ¸c¨ oz¨ um vardır. Lemma 4.19. A = (aij )m×n , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n matirisi i¸cin Ax = b denklem sisteminin ∀b vekt¨ or¨ u i¸cin bir tek ¸c¨ oz¨ um¨ u varsa AC = I ko¸sulunu sa˘glayacak ¸sekilde C = (cij )n×m , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m matrisi vardır. Lemma 4.20. E˘ger B ve C matrsileri i¸cin BC = I ko¸sulu sa˘glanıyorsa Cx = 0 denklem sisteminin x = 0 ¸seklinde a¸sikar ç¨ oz¨ um¨ u (trivial solution) vardır. Teorem 4.21. A = (aij )m×n , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n matirisi i¸cin Ax = b denklem sisteminin ∀b vekt¨ or¨ u i¸cin bir tek ¸c¨ oz¨ um¨ u varsa m ≤ n dir.

Sayısal Analiz (MATLAB) - Arzu Erdem Ders Notları

Short Description

Description

Comments

We need your help!