Saol-soal Dan Pembahasan as 2012

1

Misalk Misalkan an vari variabe abell acak acak X mempun mempunya yaii distr distribu ibusi si prob probabi abilit litas: as: X P(X)

-3 1 6

6 1 2

9 1 3

Tentukanlah: a. E(X) da dan E( E(X2); b. E{(2X + 1) 2}; c. E[{X – E(X) (X)}2 ]!  Jawab :

E(X) = = = = E(X2) = = = =

Σ x P( X = x )

( -3 -3 ) 1/6 1/6 + ( 6 ) 1/2 1/2 + ( 9 ) 1/3 1/3 11 / 2 5,5

Σ x2 P( X = x )

( -3 )2 1/6 + ( 6 )2 1/2 + ( 9 )2 1/3 93 / 2 46,5

E{(2X + 1)2} = = = =

E(4X2 + 4X + 1) 4 E(X2) + 4 E(X) + E(1) 4 . 46,5 + 4 . 5,5 + 1 209

E[{X – E(X)}2 ] = = = = 2

E[X2 – 2XE(X) + {E(X)} E(X)}2] E(X2) – 11 E(X) + 30,25 46,5 46,5 – 11 . 5,5 5,5 + 30,2 30,255 16,25

Misalk Misalkan an varia variabe bell acak acak X mempuny mempunyai ai distri distribus busii probabi probabilit litas as seper seperti ti beriku berikut: t: X P(X)

-2 0 ,3

3 0,2

Tentukanlah: a. Mean X;  b.  b. Simp Simpan anga gann Baku Baku X; 2 c. E(2X – 3X + 5); d. E(e-2x)!  Jawab :

Mean X

= E(X) = Σ x P( X = x ) = ( -2 -2 ) 0,3 0,3 + ( 3 ) 0,2 0,2 + ( 5 ) 0,5 0,5 = 2, 5

E(X2)

= Σ x2 P( X = x ) = ( -2 )2 0,3 + ( 3 ) 2 0,2 + ( 5 )2 0,5

5 0,5

= 15,5

σ 2 = E{(X –  µ )2}

= E(X2) – {E(X)}2 = 15,5 – (2,5) 2 = 9,25

σ = 3,04 E(2X2 – 3X + 5) = 2 E(X2) – 3 E(X) + E(5) = 2 . 15,5 – 3 . 2,5 + 5 = 28,5 = Σ e-2x P(X) = e4 . 0,3 + e -6 . 0,2 + e -10 . 0,5 = 16,38

E(e-2x)

3

Waktu T (dalam detik) yang diperlukan oleh seekor tikus untuk lari sepanjang jalan yang berkelok-kelok adalah suatu variabel acak dengan distribusi probabilitas  berikut: T P(T)

2 0,1

3 0,1

4 0,3

5 0,2

6 0,2

7 0,1

a. Tentukanlah rata-rata dan simpangan baku distribusi tersebut!  b. Misalkan tikus itu akan diberi hadiah sepotong biskuit untuk setiap detik  yang lebih cepat dari 6 detik. Misalnya, bila berhasil menempuh hanya dalam 4 detik, maka ia memperoleh 2 potong biskuit. Tentu saja bila ia menempuh dalam 6 detik atau lebih lama lagi, maka ia tidak akan mendapatkan apa-apa. Berapakah rata-rata hadiah yang diterima tikus itu?  Jawab :

a. E(X) = 2 . 0,1 + 3 . 0,1 + 4 . 0,3 + 5 . 0,2 + 6 . 0,2 + 7 . 0,1 = 4,6 Mean = 4,6 E(X2) = 22 . 0,1 + 32 . 0,1 + 4 2 . 0,3 + 52 . 0,2 + 6 2 . 0,2 + 72 . 0,1 = 23,2

σ 2 = E(X2) – E(X)2 = 23,2 – (4,6)2 = 2,04

σ = 1,43 b.

X P(X)

1 0,2

2 0,3

E(X) = 1 . 0,2 + 2 . 0,3 + 3 . 0,1 + 4 . 0,1

3 0,1

4 0,1

= 1,5 Mean = 1,5 4

Dari 5 mobil yang diimpor, ada 2 mobil yang catnya sedikit cacat. Misalkan sebuah agen menerima 3 mobil secara acak. Mobil cacat diberi tanda C dan mobil tidak  cacat diberi tanda T. a. Buatlah ruang sampel S yang menyatakan semua kombinasi mobil yang diterima oleh agen tersebut!   b. Jika X menyatakan banyaknya mobil yang cacat, tentukanlah distribusi  probabilitas X! c. Tentukan mean dan simpangan baku X!  Jawab :

S = { (T1,T2,T3), (T1,T2,C1), (T2,C1,T3), (C1,T1,T3), (T1,T2,C2), (T2,C2,T3), (C2,T1,T3), (T1,C1,C2), (C1,T2,C2), (C1,C2,T3) } P(X = 0) = = = P(X = 1) = = = P(X = 2) = = =

C3 . 2C0 / 5C3 1 . 1 / 10 0,1 3C2 . 2C1 / 5C3 3 . 2 / 10 0,6 3C1 . 2C2 / 5C3 3 . 1 / 10 0,3 3

X P(X)

0 0,1

1 0,6

2 0,3

E(X) = 0 . 0,1 + 1 . 0,6 + 2 . 0,3 = 1,2 Mean = 1,2 E(X2) = 02 . 0,1 + 12 . 0,6 + 2 2 . 0,3 = 1,8

σ 2 = E(X2) – E(X)2 = 1,8 – (1,2)2 = 0,36

σ = 0,6 5

Dari kotak yang berisi 4 uang logam ratusan dan 2 uang logam lima puluhan, diambil 3 uang logam secara acak tanpa pengembalian. Misalkan T menyatakan total ketiga uang logam tersebut. a. Tentukanlah distribusi probabilitas T!  b. Tentukanlah rata-rata dan simpangan baku T!  Jawab :

‘100’an ‘50’an Total P(X = 150) P(X = 250) P(X = 300)

= = = = = = = = =

1 2 150

2 1 250

3 0 300

250 0,6

300 0,2

C1 . 2 C2 / 6 C3 4 . 1 / 20 0,2 4 C2 . 2 C1 / 6 C3 6 . 2 / 20 0,6 4 C3 . 2 C0 / 6 C3 4 . 1 / 20 0,2 4

T P(T)

150 0,2

E(X) = 150 . 0,2 + 250 . 0,6 + 300 . 0,2 = 240 Mean = 240 E(X2) = 1502 . 0,2 + 250 2 . 0,6 + 3002 . 0,2 = 60.000

σ 2 = E(X2) – E(X)2 = 60.000 – 240 2 = 2400

σ = 48,99 6

Dari sebuah kantong yang berisi 4 kelereng kuning dan 2 kelereng biru, diambil 3 kelereng secara acak satu demi satu dengan cara pengembalian. Misalkan W menyatakan banyaknya kelereng kuning yang terambil, tentukanlah: a. ruang sampel S;  b. distribusi probabilitas W; c. rata-rata dan simpangan baku W!  Jawab :

Ruang sampel S terdiri dari : n(S) = 6P3 = 120 P(W = 0) = 2/120 . 2/120 . 2/120 = 8/120 = 0,067 P(W = 1) = 4/120 . 2/120 . 2/120 = 16/120 = 0,133 P(W = 2) = 4/120 . 4/120 . 2/120

= 32/120 = 0,267 P(W = 3) = 4/120 . 4/120 . 4/120 = 64/120 = 0,533 W P(W)

0 0,067

1 0,133

2 0,267

3 0,533

E(X) = 0 . 0,067 + 1 . 0,133 + 2 . 0,267 + 3 . 0,533 = 2,266 Mean = 2,266 E(X2) = 02 . 0,067 + 12 . 0,133 + 22 . 0,267 + 32 . 0,533 = 5,998

σ 2 = E(X2) – E(X)2

= 5,998 – 2,266 2 = 0,863244

σ = 0,929 7

Suatu variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas f(x) = 1/3 pada interval 1≤ X≤ 4. a. Tunjukkanlah bahwa luas daerah di bawah kurva f sama dengan 1. Apa yang ditunjukkan oleh luas daerah tersebut?  b. Hitunglah P(1,5 < X < 3)! c. Hitunglah P(X < 2,5)! d. Hitunglah P(X ≥ 3,0)!  Jawab :

Luas 1/3

= =

(4 – 1) x 1/3 1

Luasan ini menunjukkan nilai distribusi kumulatif dari variabel acak tersebut 1

4

P(1,5 < X < 3) = 1,5∫3 1/3 dx = 1/3 [x]1,5 → 3 = 0,5 P(X < 2,5) = -∞∫2,5 1/3 dx = 1∫2,5 1/3 dx = 1/3 [x]1 → 2,5 = 0,5

P(X ≥ 3) = 3∫+∞ 1/3 dx = 3∫4 1/3 dx = 1/3 [x]3 → 4 = 1/3 8

Suatu variabel acak X mengambil nilai antara x = 2 dan x = 5 dengan fungsi  probabilitas f(x) = 2(1 + x)/27. a. Hitunglah P(X > 4)!  b. Hitunglah P(X < 3)! c. Hitunglah P(3 ≤ X < 4)!  Jawab :

P(X > 4) = = = =

2/27 4∫5 1 + x dx 2/27 [x + ½x2]4 → 5 2/27 [17,5 – 12] 0,41

P(X < 3) = = = =

2/27 2∫3 1 + x dx 2/27 [x + ½x2]2 → 3 2/27 [7,5 – 4] 0,26

P(3 ≤ X < 4) = = = = 9

2/27 3∫4 1 + x dx 2/27 [x + ½x2]3 → 4 2/27 [12 – 7,5] 0,33

Probabilitas seseorang anak di suatu desa terkena cacar adalah 0,4. Apabila diambil 7 orang anak, berapakah probabilitas: a. Paling banyak empat anak terkena cacar   b. Antara 3 sampai 5 yang terkena cacar  Jawab: n=7  p = 0,4 q =0,6

 7  7− (0,4) (0,6) 

 x x

P(X=x) =

 x

P(X=0) =

P(X=1) =

P(X=2) =

P(X=3) =

 7 0 −07 (0,4) (0,6) 0   7 1 −17 (0,4) (0,6) 1   7 2 −27 (0,4) (0,6) 2   7 3 −37 (0,4) (0,6) 3 

= 0,02799

= 0,13064

= 0,26127

= 0,2903

P(X=4) =

P(X=5) =

 7 4 −47 (0,4) (0,6) 4   7 5 −57 (0,4) (0,6) 5 

= 0,1935

= 0,0774

a. P(X ≤4) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4) = 0,02799+0,13064+0,26127+0,2903+0,1935 = 0.9037  b. P(3 ≤ X  ≤ 5) = P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5) = 0,2903+0,1935+0,0774 = 0.5612 1 0

Berdasarkan data, jumlah suara yang memilih partai Demokrat dalam Pemilu 2009 di suatu daerah adalah sebanyak 700 dari total 1000 suara. Apabila diambil 10 suara secara acak, berapakah probabilitas sebanyak-banyaknya memilih Partai Demokrat? Jawab: n=5  p =

700 1000

q =0,3

=

0,7

4 suara

 5  5− (0,7) (0,3)   5 0 −05 (0,7) (0,3) 0   5  1 5− 1 (0,7) (0,3) 1   5 2 −25 (0,7) (0,3) 2 

 x x

P(X=x) =

 x

P(X=0) =

P(X=1) =

P(X=2) =

= 0,00243

= 0,02835

= 0,1323

P(X=3) =

P(X=4) =

 5 3 −35 (0,7) (0,3) 3   5 4 −45 (0,7) (0,3) 4 

= 0,3087

= 0,36015

P (X ≤4) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4) = 0,00243 + 0,02835 + 0,1323 + 0,3087 + 0,36015 1 1

= 0,83193 Suatu ketika seorang mahasiswa elektro UI sedang bermain POKER bersama teman-temannya dan beberapasaat kemudaian kartu mulai dibagikan. Sewajarnya tiap pemain diberikan 13 dari 52 set kartu bridge. Ketika   pembagian kartu telah mencapai 10 untuk masing masing pemain tiba-tiba salah seorang pemain mengusulkan penerapan mata kuliah “Statistika dan Probabilitas” dalam permainan kartunya. 10 kartu yang ada di tangannya adalah 2♠ As♥ K♣ J♦ 10♣ 8♣ 6♦ 6♥ 4♥ 3♦, jika pemain tersebut ingin mendapatkan Flush berapa besar kemungkinan tiga kartu sisa dapat membentuk Flush. Jawab a. Flush atau daun kartu sama (sebanyak lima kartu) hanya bisa diperoleh oleh kartu berdaun heart, clover atau diamond karena sisa kartu tinggal 3. Kita harus menacri kemungkinan dari 3 daun/lambang tersebut. - Heart Telah dibagikan 10 kartu berarti sisa kartu yang masuk dalam himpunan semesta distribusi hipergeometrik adalah 42 (52 total kartu bridge dikurangi 10), kita dapatkan N = 42. Untuk memperoleh FLUSH kita  butuh minimal 2 kartu heart lagi bisa 2 atau 3 kartu dalam 3 kartu (n) yang belum dibagikan . Total kartu heart ada 13, kartu heart yang kita miliki 3 berarti sisa kartu heart yang ada pada hipunan semesta

dsitribusi hipergeometrik adalah 10 atau N1 = 10.

 N1  N − N1    k  n − k      P( X = k)  =  N     n      10  42 − 10   k  3 − k      P ( X = k )  =  42    n     

     

     

Probabilitas untuk memperoleh 2 kartu merah adalah

10  42 −10     2  3 − 2          P( X  = 2) =  42    3      10  32     2  1          P( X  = 2) =  42    3       P( X 

= 2) =

2880 22960

=

36 287

Probabilitas untuk mendapatkan 3 kartu merah adalah

10  42 −10     3  3 − 3          P( X  = 3) =  42    3      10  32     3  0          P( X  = 3) =  42    3       P( X 

= 3) =

72 68880

=

6 574

Probabilitas untuk mendapatkan FLUSH merah adalah P( X

= 2) + P( X =  3) =

36 287

+

3 287

=

39 287

Untuk probabilitas FLUSH clover dan diamond, sama seperti probabilits FLUSH pada heart (karena sama-sama dimiliki 3 kartu berdaun sama). Probabilita orang tersebut memiliki FLUSH pada sisa 3 kartu terakhir  adalah total dari probabilitas FLUSH tiap daun yakni sebesar 

3 x  P( M )

1 2

39   117 = 3x   =  287   287

Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan 5 kesalahan ketik per halaman. Berapa peluang bahwa pa da halaman berikut ia membuat: a. tidak ada kesalahan?  b. tidak lebih dari 3 kesalahan? c. lebih dari 3 kesalahan? Jawab:

µ =5 a. (x = 0) di bawah x:0 dengan µ = 5.0 → (0; 5.0) = 0.0067 P( X=0 ) = e -5 100 0! = 0.0067  b. x ≤ 3 → dengan Tabel Distribusi Poisson P( X ≤3) = P(X=0)+P(X=2)+P(X=3) = e -5 50 + e -5 51 + e -5 52 + e -5 53 0!

1!

2!

3!

= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650 c. poisson(x >3) = 1 - poisson(x≤ 3) P( X ≤3) = P(X=0)+P(X=2)+P(X=3 = 1 - [ e -5 50 + e -5 51 + e -5 52 + e -5 53 ] 0!

1!

2!

3!

= 1 - [0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404] = 1 - 0.2650 = 0.7350 1 3

Sebuah kotak berisi 10 kelereng yang terdiri atas 5 merah, 3 putih, dan 2 kuning. Dari kotak tersebut diambil kelereng sebanyak 4 buah secara acak. a. Bila X menyatakan banyaknya kelereng merah yang terambil, buatlah distribusi probabilitas terambil bukan merah, satu merah, dan semua merah! b.

Bila kejadian A menyatakan salah satu bola yang terambil berwarna  putih, tuliskan anggota kejadian terambil 2 putih dan 2 merah, serta 2 putih

dan 2 kuning! Penyelesaian : a. X = merah

532 532 02 031 P(0) =

=

11 44

1 42

(tidak ada merah)

532 532 532 130 121 1 2 P(1) =

=

111 444

5 21

( satu buah merah)

P(2) =

 5 3  2 4  0  0 1  4 

=

1 42

( semua merah)

 b. Salah satu putih

Putih & merah =

 5 3  2   2  2  0 1   4 

=

1 7

Putih & kuning =

1 4

 5 3  2   0  2  2 1   4 

=

1 70

Suatu variabel random X mempunyai distribusi normal dengan rata-rata (μ ) = 35 dan simpangan baku (σ ) = 15. Tentukanlah: a. P(X≤ 20) d. nilai X0 agar P(X< X0 ) = 0,25 b. P(X>45) e. nilai X0 agar P(X> X0 ) = 0,15 e. P(25  X 0 ) = 0,15  P ( Z  >  Z 0 ) = 0.15  P ( Z  >  Z 0 ) = 0,5 − P (0 <  Z  <  Z 0 ) = 0,15  P (0 <  Z  <  Z 0 ) = 0,35 ≈  P (0 <  Z  < 1,04) ≈  P ( −1,04 <  Z  < 0)  Z 0 = 1,04  P ( X 

karena nilai yang dicari lebih kecil dari 0,5; sehingga  X 0 =  Z 0σ  + µ  = 1,04.15 + 35 = 50,6 Suatu universitas mulai mengadakan penerimaan mahasiswa untuk tahun akademis tertentu. Tes masuk meliputi tes pendahuluan, yaitu tes potensi akademik (TPA) dan tes lanjutan dengan materi Bahasa Inggris dan Bahasa Indonesia. Denman memakai criteria tertentu, peserta tes pendahuluan dapat diterima langsung sebagai mahasiswa; artinya mereka dibebaskan dari tes lanjutan. Denman demikian TPA memiliki bobot paling besar dalam menentukan bisa tidaknya seorang peserta diterima di universitas itu. Berdasarkan pengalaman tes tahun–tahun yang lalu diketahui bahwa skor TPA mempunyai rata-rata (μ) = 330 dan simpangan baku (σ) =35. Skor TPA dari 5000 orang peserta tes masuk universitas tersebut ternyata mempunyai distribusi normal. a. Bila yang akan diterima langsung hanya 10% dari jumlah peserta tes,  berdasarkan hasil tes TPA yang skornya tinggi, berapa skor minimum dari kelompok skor TPA tertinggi agar peserta dapat diterima langsung?  b. Sebaliknya mereka yang memiliki skor TPA 260 atau kurang akan langsung dinyatakan gugur, tidak boleh mengikuti tes lanjutan. Berapakah banyak   peserta yang langsung dinyatakan gugur pada seleksi tersebut? Penyelesaian: Rata-rata skor = 330 simpangan baku = 35  N = 5000

a. P(Zh