Sak seizmika

KATEDRA ZA KONSTRUKCIJE DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO I GEODEZIJU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA UNIVERZITET U NOVOM SADU

SEIZMIČKA ANALIZA KONSTRUKCIJA VEŽBE – DODATAK –

NOVI SAD 2013.

SADRŽAJ

1. Matematičko modeliranje ..............................................................................................................................3 2. Kondenzacija stepena slobode .......................................................................................................................4 2.1. Teorija II reda – približno rešenje – geometrijska matrica krutosti – Metoda konačnih elemenata ......5 2.2. Primer 1. ..................................................................................................................................................7 2.3. Primer 2. ................................................................................................................................................10 3. Okvir sa krutim tavanicama ..........................................................................................................................15 3.1. Primer 1. ................................................................................................................................................17 4. Dinamička analiza linearno elastičnih sistema .............................................................................................18 4.1. Jednačine kretanja.................................................................................................................................18 4.2. Modalna analiza ....................................................................................................................................18 4.3. Modalna ekspanzija vektora pobude ....................................................................................................19 4.4. Seizmička analiza ...................................................................................................................................21 4.5. Primer 1. ................................................................................................................................................25 4.6. Primer 2. ................................................................................................................................................27 4.7. Primer 3. ................................................................................................................................................31 5. Numerička integracija korak po korak – MDOF (direktna integracija) .........................................................37 5.1. Newmark-ovo postupak sa konstantnim (prosečnim) ubrzanjem ........................................................37 5.2. Program za numeričku integraciju – MDOF – akcelerogram (Matlab – skript datoteka): ....................37 5.1. Primer 1. ................................................................................................................................................40 6. Položaj centra mase i krutosti i raspodela seizmičkih sila u osnovi zgrade..................................................43 7. Literatura ......................................................................................................................................................44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

1. Matematičko modeliranje Izbor matematičkog modela je najznačajnija faza kod rešavanja dinamičkih problema. Matematički model mora da obuhvati bitne karakteristike konstrukcije, tako da se dovoljno tačno simulira stvarno ponašanje. Tačnost rezultata analize bitno zavisi od tačnosti najmanje tačne faze. Razlozi zbog kojih možemo koristi jednostavnije modele kod dinamičke analize konstrukcija nego kod statičke analize su: 1) najčešći slučaj je mala tačnost pri određivanju zemljotresnog opterećenja, 2) najčešće na odgovor konstrukcije bitno utiče samo nekoliko osnovnih tonova vibracija na koje bitan uticaj ima manji broj stepeni slobode, 3) inercijalne karakteristike se mogu opisati jednostavnijim modelom od onog koji koristimo za opisivanje krutosti, 4) određivanje unutrašnjih sila i napona zahteva tačniji model nego određivanje pomeranja (unutrašnje sile su funkcije izvoda pomeranja). Na osnovu prethodnog se može zaključiti da je optimalno je koristiti dva modela. Matrica krutosti se određuje na tačnijem modelu, nakon čega se prelazi na jednostavniji model za dinamičku analizu kojom se određuju pomeranja. Zatim, na osnovu tako određenih pomeranja se određuju unutrašnje sile i naponi na tačnijem modelu.

Strana 3 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

2. Kondenzacija stepena slobode Modeliranje objekata visokogradnje za statičku i dinamičku analizu je prikazano na Slici 2-1 u odnosu na broj stepeni slobode pomeranja.

a) (36 SS)

b) (16 SS, ε = 0) Slika 2-1. Stepeni slobode.

c) (4 SS, ε = 0)

Prelazak sa komplikovanijeg modela za statičku analizu na jednostavniji model za dinamičku analizu možemo izvršiti postupkom kondenzacije. Na taj način eliminišemo nebitne stepene slobode, a to su oni koji su vezani za male inercijalne sile (mala masa i/ili malo ubrzanje) i gde nema spoljašnjeg opterećenja. U opštem slučaju koristimo model prikazan na Slici 2-1 a) sa 36 stepeni slobode (24 translacije i 12 rotacija). Za okvir prikazan na Slici 2-1 b) zanemarenjem aksijalnih deformacija ne činimo veliku grešku. Na taj način dobijamo model sa 16 stepeni slobode (4 translacije i 12 rotacija). Prethodna dva modela se koriste pri statičkim analizama. Dinamički model je prikazan na Slici 2-1 c) sa 4 stepena slobode (4 horizontalna pomeranja u nivou greda tj. bitan uticaj na ponašanje imaju inercijalne sile u horizontalnom pravcu). Prelazak sa modela prikazanog na Slici 2-1 b) na model prikazan na Slici 2-1 c) se ne sme učiniti jednostavnim brisanjem rotacija jer one bitno utiču na horizontalna pomeranja. Rotacije se eliminišu tako da njihovu uticaj ostane indirektano uključen, a postupak se naziva kondenzacija stepena slobode. Pri analizi se zanemaruje prigušenje. Jednačina kretanja ima sledeći oblik: MU  KU  F

(2.1)

Jednačinu 2.1 napišemo tako da uzmemo u obzir podelu na bitne i nebitne stepene slobode uz pretpostavku da inercijalne sile uz nebitne stepene slobode nemaju nikakav uticaj na odgovor sistema. Index b predstavlja bitne, a index n nebitne stepene slobode.

0  Un   K nn 0 0 M       K bb  U b    bn

K nb  U n   0   K bb  U b   Fb 

Strana 4 od 44

(2.2)

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Prva jednačina iz matrične jednačine 2.2 glasi: (2.3)

K nnU n  K nbU b  0 Iz prethodne jednačine dobijamo vezu između nebitnih i bitnih pomeranja: 1 U n   K nn K nbU b

(2.4)

Druga jednačina iz matrične jednačine 2.2 glasi: M bbUb  K bnU n  K bbU b  Fb

(2.5)

Uvrstimo u prethodnu jednačinu izraz 2.4:





M bbUb  K bb  K bn K nn1 K nb U b  Fb

(2.6)

Kondezovana matrica masa: (2.7)

M c  M bb Kondezovana matrica krutosti: 1 K c  K bb  K bn K nn K nb

(2.8)

Kondezovani vektor spoljašnjeg opterećenja: (2.9)

Fc  Fb

Veza između bitnih i nebitnih pomeranja je statička pa se ovaj postupak zove i statička kondenzacija. Za određivanje matrice krutosti statičkog modela kod ortogonalnih okvira koji su potpuno uklješteni u tlo pri zanemarenju aksijalnih deformacija (ε = 0) i uticaja smičućih napona na deformaciju (γ = 0) koriste se izrazi za sile na krajevima štapa tipa „k“ usled jediničnih pomeranja i obrtanja koji su prikazani na Slici 2-2.

Slika 2-2. Reakcija štapa tipa „k“ usled jediničnih pomeranja i obrtanja krajeva.

2.1. Teorija II reda – približno rešenje – geometrijska matrica krutosti – Metoda konačnih elemenata Sistem diferencijalnih jednačina kretanja kod modela sa više stepeni slobode u matričnom obliku:

MU  ( K o  K g )U  F

(2.10)

Strana 5 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Matrica krutosti K  K o  K g se formira kao zbir matrice krutosti po teoriji prvog reda K o i geometrijske matrice krutosti K g . Jednačina 2.10 se rešava kao jednačina 2.1. Za ortogonalne okvire pri zanemarenju aksijalnih deformacija (ε = 0) i uticaja smičućih napona na deformaciju (γ = 0):

Slika 2-3. Savijanje u ravni štapa tipa „k“. Matrica krutosti po teoriji prvog reda štapa tipa „k“: 6 L  12 6 L   12  6 L 4 L2  6 L 2 L2  EI  Ko  3  L  12  6 L 12  6 L    2  6 L 4 L2   6L 2L

(2.11)

Geometrijska matrica krutosti štapa tipa „k“ (zatezanje +S, pritisak –S): 3L  36 3L   36  2  3L  L2  S  3L 4 L Kg  30 L  36  3L 36  3L   2 2   3L  L  3 L 4 L 

Strana 6 od 44

(2.12)

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

2.2. Primer 1. Teorija prvog reda

Strana 7 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Slika 2-4. Oblik vibracija.

Strana 8 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Teorija drugog reda

Strana 9 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

2.3. Primer 2.

Strana 10 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Strana 11 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Strana 12 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Strana 13 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

φ1

φ2

Slika 2-5. Oblici vibracija.

Strana 14 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

3. Okvir sa krutim tavanicama Na Slici 5-1 je prikazan ortogonolani višespratni okvir sa krutim tavanicama. Pri analizi su zanemarene aksijalne deformacije (ε = 0) i uticaj smičućih napona na deformaciju (γ = 0). Pri analizi se zanemaruje prigušenje.

ui (t )

f inercijalna i (t )

K i 1 ui 1 (t )  ui (t ) 

Fi (t )

K i ui (t )  ui1 (t ) 

Slika 3-1. Višespratni okvir sa krutim tavanicama. Dalamberov princip ( u1  u 2      u n ): 

 H  0 K u (t )  u i

i

i 1

(t )   K i 1 u i 1 (t )  ui (t )   f inercijalna i (t )  Fi (t )  0

mi ui  K i  K i 1 ui (t )  K i 1u i1 (t )  Fi (t )

Matrica krutosti:

 k2 (k1  k 2 )  k (k 2  k 3 )  k 3 2    k3 *   ki K      

(ki  ki 1 )  ki 1  k i1 * *  k n1

Strana 15 od 44

         (k n1  k n )  k n    kn k n 

ui (t )

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Matrica masa:

m1    M     

m2 * mi

       *  mn 

Vektor pomeranja:

Vektor spoljašnjih sila:

 u1  u   2 * U (t )     ui  *   u n 

 F1  F   2 * F (t )     Fi  *    Fn 

Matrična jednačina dinamičke ravnoteže: MU (t )  KU (t )  F (t )

Strana 16 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

3.1. Primer 1.

φ1

φ2

Slika 3-2. Oblici vibracija Strana 17 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

4. Dinamička analiza linearno elastičnih sistema 4.1. Jednačine kretanja Jednačine kretanja (vibracija) se mogu prikazati u obliku sistema nehomogenih linearnih diferencijalnih jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima (izvođenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena): mua (t )  cu r (t )  ku r (t )  P(t )

(4.1)

gde su:

m – matrica masa, c – matrica prigušenja, k – matrica krutost i

P(t ) – vektor poremećajnih sila.

Kod zemljotresa se opterećenje javlja u obliku prinudnog pomeranja osnove (izvođenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena), pa jednačine kretanja 4.1 postaju: mur (t )  cu r (t )  kur (t )   mut (t )

(4.2)

ili mua (t )  cu a (t )  kua (t )  cut (t )  kut (t )

(4.3)

Jednačina 4.2 se u praksi najčešće koristi jer se zemljotresno opterećenje najčešće uvodi u analizu preko akcelerograma ut (t ) . Vektor apsolutnih pomeranje se može prikazati jednačinom: (4.4)

u a  u r  sut gde su: u a – vektor apsolutnih pomeranja,

u r – vektor relativnih pomeranja i sut – vektor pomeranja tla. Matrica uticajnih koeficijenata s predstavlja pomeranja krute konstrukcije, potpuno uklještene u tlo, kod jediničnih pomeranja tla u pojedinim pravcima. Kod konstrukcija u ravni koje su pobuđivane samo u jednom pravcu i gde su uzeti u obzir samo stepeni slobode u pravcu pobuđivanja važi da matrica s postaje jedinični vektor s = 1.

4.2. Modalna analiza Modalne jednačine (izvođenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena): M n qn  Cn q n  K n qn  Pn (t ) gde su: M n  nT mn – generalisana masa, Strana 18 od 44

(4.5)

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

C n   nT cn – generalisano prigušenje, K n  nT kn – generalisana krutost i Pn (t )  nT p (t ) – generalisana sila.

Ako prethodnu jednačinu podelimo sa Mn dobija se: qn  2 n n q n   n2 qn 

Pn (t ) Mn

(4.6)

Odgovor određujemo kao: N

u (t )   n qn (t ) n 1 N

(4.7)

N 2 n n

f (t )  ku (t )  k  n qn (t )  m   qn (t ) n 1

n 1

Kod zemljotresa se opterećenje javlja u obliku prinudnog pomeranja osnove (izvođenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena), pa jednačine kretanja 4.6 postaju: qn  2 n n q n   n2 qn  

nT msut Mn

(4.8)

4.3. Modalna ekspanzija vektora pobude Poremećajne sile se mogu prikazati na sledeći način:

p(t )  sp(t )

(4.9)

gde su: p(t ) – vektor poremećajnih sila, s – prostorna raspodela sila i p (t ) – vremenska promena opterećenja. Ekspanzija vektora s: N

N

r 1

r 1

s   sr    r [m]r 

(4.10)

Obe strane prethodne jednačine su pomnožene sa nT i uzimajući u obzir svojstvo ortogonalnosti dobija se: Γn 

n T s

(4.11)

Mn

gde je Γ n modalni faktor participacije koji zavisi od normalizacije tonova pa ne predstavlja „dobru“ meru za procenu doprinosa pojedinog tona u odgovoru. Doprinos n-tog tona prostornoj raspodeli sila s :

sn   Γ n [m]n 

(4.12)

Inercijalne sile n-tog tona: ( f I ) n  [m]un (t )  [m] n qn (t ) Strana 19 od 44

(4.13)

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

gde je njihova prostorna raspodela definisana vektorom mn koji je isti kao vektor sn . Ekspanzija vektora prikazana jednačinom 4.10 ima osobinu da vektor sila sn p (t ) „pravi“ odgovor samo u n-tom tonu. Ova osobina može da se prikaže na vektoru generalisanih sila za r-ti ton: T

T

Pr (t )  r  p(t )  r  sn p (t )  Γ n (rT mn ) p(t )

(4.14)

Iz prethodne jednačine se dobija (uzimajući u obzir uslov ortogonalnosti): Pr (t )  0 za r  n Pn (t )  Γ n M n p (t ) za r  n

(4.15)

Takođe, važna osobina ekspanzije vektora pobude je da odgovor u n-tom tonu zavisi samo od vektora sila sn p(t ) . Veza između generalisanih sila u n-tom tonu sa ukupnim vektorom poremećajnih sila:

Pn (t )   n  p(t )   n  s n p(t ) T

T

(4.16)

Pn (t )   Γ r (nT mr ) p(t )

(4.17)

Kombinujući jednačine 4.10 i 4.16 dobija se: N r 1

Uzimajući u obzir uslov ortogonalnosti dobija se: (4.18)

Pn (t )  Γ n M n p(t ) Jednačina 4.6 se može napisati (modalna analiza): qn  2 n n q n   n2 qn 

Γ n M n p (t )  Γ n p (t ) Mn

(4.19)

Ako prethodnu jednačinu napišemo u „duhu“ sistema sa jednim stepenom slobode pomeranja dobija se:

  2  D   2 D  p (t ) D n n n n n n qn (t )  Γ n Dn (t )

(4.20)

Prethodna jednačina predstavlja jednačinu za sistem sa jednim stepenom slobode za svaki ton n koji ima jediničnu masu. Doprinos n-tog tona na ukupni odgovor:

u n (t )  Γ nn Dn (t )

(4.21)

f n (t )  sn [ n2 Dn (t )] gde su: s n – modalni statički deo odgovora i [ n2 Dn (t )] – dinamički (vremenski) deo odgovora.

Strana 20 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Ukupni odgovor određujemo kao: N

u (t )   u n (t ) n 1

(4.22)

N

f (t )   f n (t ) n 1

Uticaj n-tog tona rn (t ) na odgovor sistema r (t ) se određuje statičkom analizom usled sila f n (t ) . Ako rnst označava modalni statički odgovor usled sila sn može se napisati: rn (t )  rnst [ n2 Dn (t )]

(4.23)

Ukupni odgovor: N

N

r (t )   rn (t )   rnst [ n2 Dn (t )] n 1

(4.24)

n 1

Uticaj n-tog tona na odgovor sistema r se može napisati kao:

rn (t )  r st r n [ n2 Dn (t )]

(4.25)

gde je r st statički deo usled sila s odgovora r . Faktor doprinosa n-tog tona: rn 

rnst r st

(4.26)

Karakteristike faktora doprinosa n-tog tona r n su: 1) bezdimenzionalan, 2) ne zavisi od normalizacije tonova i N

3)

r

n

 1.

n 1

4.4. Seizmička analiza Jednačine kretanja usled prinudnog pomeranja osnove (izvođenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena): [m]ur (t )  [c]u r (t )  [k ]u r (t )  [m]1ug (t )  peff (t )

(4.27)

pri ekspanziji vektora pobude na sledeći način:

p(t )  [m]1ug (t ) p(t )  sp(t )  s(ug (t )) s  [m]1

(4.28)

p(t )  ug (t )

sn   n [m]n  Strana 21 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Modalne jednačine:

qn  2 n n q n   n2 qn   Γ n ug (t )

(4.29)

Ako prethodnu jednačinu napišemo u „duhu“ sistema sa jednim stepenom slobode pomeranja tj. kada se prethodna jednačina podeli sa Γ n dobija se:

  2  D   2 D  u (t ) D n n n n n n g

(4.30)

qn (t )  Γ n Dn (t ) Modalni odgovor, tj. doprinos n-tog tona na ukupno pomeranje:

u n (t )   n q n (t )  Γ n n Dn (t ) 

Γn

 n2

 n An (t )

(4.31)

Raspodela sila n-tog tona:

f n (t )  s n [ n2 Dn (t )]  s n An (t ) An (t )  [ n2 Dn (t )]

(4.32)

gde je An (t ) pseudoubrzanje određeno kao odgovor sistema sa jednim stepenom slobode (koji odgovara n-tom tonu) usled  ug (t ) primenom numeričkih metoda. Odgovor se određuje kao: f n (t )  s n An (t ) N

f (t )   f n (t ) n 1

(4.33)

rn (t )  rnst An (t ) N

r (t )   rn (t ) n 1

Pri modalnoj analizi sa spektrima odgovora maksimalna vednost odgovora u n-tom tonu se dobija: rno  rnst S a

(4.34)

Ukupni odgovor se dobija kombinovanjem odgovora za pojedine tonove primenom pravila: SRSS ili CQC i sl.

Strana 22 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Konceptualno objašnjenje modalne analize (Slika je iz [1]):

Strana 23 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Modalni statički odgovori (Slika je iz [1]):

Strana 24 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

4.5. Primer 1.

Strana 25 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Strana 26 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

4.6. Primer 2.

Strana 27 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Strana 28 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

umax = 6,239 cm (SAP2000 (ε=γ=0): 6,234 cm – numerička integracija MDOF modela)

Strana 29 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

umax = 9,317 cm (SAP2000 (ε=γ=0): 9,313 cm – numerička integracija MDOF modela)

Strana 30 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

4.7. Primer 3.

Strana 31 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Strana 32 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Strana 33 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Prva modalna jednačina (SAP2000):

Druga modalna jednačina (SAP2000):

Strana 34 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad Analiza MDOF modela (SAP2000 (ε=γ=0)):

Relativno horizontalno pomeranje prve etaže:

Relativno horizontalno pomeranje druge etaže:

Strana 35 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Dijagram M

Strana 36 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

5. Numerička integracija korak po korak – MDOF (direktna integracija) 5.1. Newmark-ov postupak sa konstantnim (prosečnim) ubrzanjem U ovom poglavlju je prikazan postupak proračuna (izvođenje je dato u literaturi koja je na kraju navedena). Postupak proračuna (indeksi: p – početak intervala i k – kraj intervala): 1. Samo jednom na početku proračuna: 1.1. Formiranje matrice krutosti K, matrice masa M, matrice prigušenja C, i vektora opterećenja F(t) (kod zemljotresnog opterećenja: F (t )  Peff  ug [ M ]s) dinamičkog modela. 1.2. Usvajanje koraka integracije Δt i vektora početnih kinematičkih veličina ( U 0  , U 0  i U   [ M ]1 F  [C ]U  [ K ]U  ). 0

0

0

0

1.3. Određivanje zamenjujuće matrice krutosti: [ K ]  [ K ] 

4 2 [ M ]  [C ] . 2 t t

2. Za svaki korak numeričke integracije: 2.1. Određivanje vektora zamenjujućeg opterećenja: F   Fk   Fp  [ M ] 4 U p  2U p   2[C ]U p   t  2.2. Rešavanje sistema algebarskih jednačina: [ K ]U   F  (dekompozicija zamenjujuće matrice krutosti – jednom na početku proračuna). 2.3. Određivanje veličina na kraju intervala: U k   U p  U 

U   2t U   U  U   [ M ] F   [C ]U  [ K ]U  k

p

1

k

k

k

k

5.2. Program za numeričku integraciju – MDOF – akcelerogram (Matlab – skript datoteka): %Numericka integracija - MDOF sistem - akcelerogram %Newmark-ov postupak sa konstantnim (prosecnim) ubrzanjem %Literatura: Dinamika diskretnih sistema - Odabrana poglavlja %Autor: Stanko Brcic %Literatura: Dinamika gradbenih konstrukcij %Autor: Peter Fajfar %Ciscenje radnog prostora clear; clc; %Ucitavanje akcelerograma Strana 37 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad dt=0.02; fid = fopen('Akcelerogram.txt', 'r'); [ubzanjeTla, brojPodataka] = fscanf(fid, '%f'); fclose(fid); %Matrica krutosti K=[2*9114.58333333 -9114.58333333; -9114.58333333 9114.58333333]; %Matrica masa M=[50 0; 0 30]; MInv=inv(M); %Matrica prigusenja T1=0.6383; ceta1=0.05; T2=0.2628; ceta2=0.05; a0=4*pi*(T1*ceta1-T2*ceta2)/(T1^2-T2^2); a1=(1/pi)*T1*T2*(T1*ceta1-T2*ceta2)/(T1^2-T2^2); C=a0*M+a1*K; %Broj stepeni slobode brojStepeniSlobode=size(K,1); %Vektor uticajnih koeficijenata for k = 1:1:brojStepeniSlobode s(k,1)=1; end %Vektor efektivnih sila for k = 1:1:brojPodataka Peff(:,k)=-ubzanjeTla(k)*M*s; end %Pocetni uslovi for k = 1:1:brojStepeniSlobode %Pocetno pomeranje Ur(k,1)=0; %Pocetna brzina Vr(k,1)=0; end %Pocetno ubrzanje Ar(:,1)=MInv*(Peff(:,1)-C*Vr(:,1)-K*Ur(:,1)); %Zamenjujuca matrica krutosti Kzam=K+(4/dt^2)*M+(2/dt)*C; KzamInv=inv(Kzam); %Proracun u vremenskim intervalima vektorVrstaVremenskihTrenutaka(1)=0; for k = 1:1:(brojPodataka-1) %Dinamika diskretnih sistema - Odabrana poglavlja - Stanko Brcic %vektorZamenjujucegOpterecenja(:,k+1)=Peff(:,k+1)+ ... %M*((4/dt^2)*Ur(:,k)+(4/dt)*Vr(:,k)+Ar(:,k))+ ... %C*((2/dt)*Ur(:,k)+Vr(:,k)); %Ur(:,k+1)=KzamInv*vektorZamenjujucegOpterecenja(:,k+1); %Vr(:,k+1)=(2/dt)*Ur(:,k+1)-(2/dt)*Ur(:,k)-Vr(:,k); %Ar(:,k+1)=(4/dt^2)*Ur(:,k+1)-(4/dt^2)*Ur(:,k)-(4/dt)*Vr(:,k)Ar(:,k); %Dinamika gradbenih konstrukcij - Peter Fajfar vektorZamenjujucegOpterecenja=Peff(:,k+1)-Peff(:,k) + ... M*((4/dt)*Vr(:,k)+2*Ar(:,k))+2*C*Vr(:,k); deltaUr=KzamInv*vektorZamenjujucegOpterecenja; Ur(:,k+1)=Ur(:,k)+deltaUr; Vr(:,k+1)=(2/dt)*deltaUr-Vr(:,k); Ar(:,k+1)=MInv*(Peff(:,k+1)-C*Vr(:,k+1)-K*Ur(:,k+1)); Strana 38 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

vektorVrstaVremenskihTrenutaka(k+1)=k*dt; end %Extremi U1max=max(Ur(1,:)); U1min=min(Ur(1,:)); U2max=max(Ur(2,:)); U2min=min(Ur(2,:)); %Grafici subplot(2,1,1); plot(vektorVrstaVremenskihTrenutaka,Ur(1,:)); grid; xlabel('t[s]'); ylabel('Ur,horizontalno[m]'); title(strcat('Prva etaza: Umax=',num2str(U1max),' Umin=',num2str(U1min))); subplot(2,1,2); plot(vektorVrstaVremenskihTrenutaka,Ur(2,:)); grid; xlabel('t[s]'); ylabel('Ur,horizontalno[m]'); title(strcat('Druga etaza: Umax=',num2str(U2max),' Umin=',num2str(U2min))); %Odredjivanje sila na krajevima "donjeg" levog stuba E=31500000; I=0.25^4/12; L=3; Kstapa=(E*I/L^3)*... [12 6*L -12 6*L;... 6*L 4*L^2 -6*L 2*L^2;... -12 -6*L 12 -6*L;... 6*L 2*L^2 -6*L 4*L^2]; for k = 1:1:brojPodataka Rstapa(:,k)=Kstapa*[Ur(1,k); 0; 0; 0]; end disp(max(Rstapa(1,:))) disp(min(Rstapa(1,:))) disp(max(Rstapa(2,:))) disp(min(Rstapa(2,:))) disp(max(Rstapa(3,:))) disp(min(Rstapa(3,:))) disp(max(Rstapa(4,:))) disp(min(Rstapa(4,:)))

Strana 39 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

5.1. Primer 1. Za dinamički model iz 4.6. Primer 2 odrediti relativno horizontalno pomeranje u nivou etaža direktnom integracijom (Newmark-ov postupak sa konstantnim (prosečnim) ubrzanjem) i extremne vrednosti sila na krajevima levog „donjeg“ stuba.

Rešenje primenom prethodno prikazanog programa:

Strana 40 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad Analiza MDOF modela (direktna integracija – SAP2000 (ε=γ=0)): Relativno horizontalno pomeranje prve etaže:

Relativno horizontalno pomeranje druge etaže:

Strana 41 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

Extremne vrednosti sila na krajevima levog „donjeg“ stuba:

6 L  12 6 L  U (t ) r ,1   12  6 L 4 L2  6 L 2 L2   0     R  [ K stapa ]U (t ) krajeva   EI3   L  12  6 L 12  6 L   0   2 2   6 L 2 L  6 L 4 L   0 

Rext

   269,4585        284,1211    404,1878      426,1816     284,1211    269,4585   404,1878       426,1816

Analiza MDOF modela (direktna integracija – SAP2000 (ε=γ=0)):

Strana 42 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

6. Položaj centra mase i krutosti i raspodela seizmičkih sila u osnovi zgrade Pretpostavka analize je da su tavanice krute u svojoj ravni i da su zidovi za ukrućenje raspoređeni paralelno sa x i y osom. Položaj centra mase se određuje u ravni tavanice kao težište krutog tela. Na Slici 5-1 je prikazana osnova zgrade.

Slika 5-1. Osnova zgrade Položaj centra krutosti: n

K xck 

m

K

yi xi

i 1 n

K

xi

yi

i 1 m

yck 

K

yi

i 1

xi

i 1

Ukupna inercijalna sila u horizontalnom pravcu (ukupna seizmička sila) deluje u centru mase. Redukcijom ukupne seizmičke sile u centar krutosti javlja se moment torzije u osnovi zgrade.

Slika 5-2. Centar mase i krutosti Raspodela ukupne seizmičke sile na pojedine zidove: K xi

sila u i-tom zidu usled translacije: S xi  S x

S yi  S y

n

K

xi

m

K

yi

i 1

i 1

sila u i-tom zidu usled rotacije: Si  M t

K yi

K i ri

M t  S ukupno  e

n

K r

2

i i

i 1

Strana 43 od 44

Katedra za konstrukcije – Departman za građevinarstvo i geodeziju – FTN Novi Sad

7. Literatura 1. Chopra A. K.: Dynamics of Structures, Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice Hall, New Jersey, 1995. 2. Clough R. W., Penzien J.: Dynamics of structures, Computers & Structures, Inc., Berkeley, California, 1995. 3. Petrović B. i drugi: Zemljotresno inženjerstvo. 4. Ranković S., Ćorić B.: Dinamika konstrukcija. 5. Rusov L.: Mehanika III - Dinamika, 1975. 6. Sekulović M.: Metod konačnih elemenata. 7. Targ S. M.: Teorijska mehanika. 8. Vujanović B.: Dinamika, 1976. 9. Ćorić B., Salatić R.: Dinamika građevinskih konstrukcija.

Strana 44 od 44