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Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
BANCO DE PREGUNTAS Sesión 1: Integral Definida
1)
1
Calcule
cos3
xdx
0
SOLUCIÓN
Sea
u
3x ,
entonces
Además, ya que
x
1
cos 3 x dx
0
3
2
2)
Calcule
0 y
si
x
3
1
.
entonces
u
3.
Ahora sustituyendo, se obtiene
cos u du
0 3
sen u
3
1
u
du
3
1
3dx, de aquí dx
luego
0
1
du
3 1
0
sen
sen
3
(3)
sen
(0)
(3)
(5 6 )
x sen(5x 3x
2
)dx
0
SOLUCIÓN
Sea u 5x 3x2 Además, ya que x obtiene
2
(5 6 )
du
x sen(5x 3x
(5 6x)dx,
0, luego u
2
)dx
0
0
y si
x
2
entonces
u
2, ahora sustituyendo, se
2 senu du
0 2
cos( cos(u) 0
cos( 2) cos(0) s(0) (2) 1 cos (2)
e
3)
Calcule
(ln
2
x) dx
1
SOLUCIÓN
Expresamos el integrando de la siguiente forma, 1
Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
e
e
(ln x)
2
dx
1
Sea
( x)
u
ln
x )(ln x) dx
1
1
du
(ln
y
dx
x
dv
ln x dx
v
x(l n x
Ahora aplicando la fórmula de integración por partes:
e
(ln x)(ln x )dx
x ln x (ln x 1)
1 e
e
1
1)
du , udv uv v du
1 dx x
e
1
x (ln x 1)
e
x ln x (ln x 1) 1 (ln(x ) 1) dx 1
e e e x ln x (ln x 1) 1 ln(x )dx dx 1 1
(ln e e ln e (l
1) 1ln1(ln1 1)
(x )(lnx
1)
x
e
1
e (1 1) 1) (e(ln e 1) e) (1(ln1 1) 1) 1)
e
2
5
4)
Calcule
x
x
9dx
2
3
SOLUCIÓN
Sea que
2
9, entonces
u
x
x
3, luego
5
x
x
2
9dx
u
1
2
Ahora obtenemos los nuevos límites de integración, ya 0 , además si x 5 , entonces u 16 .
5
1
x
16
2
16
2
2xdx.
2
3
3
du
9 ( 2 x) dx
u du
0
1
1
u 2 du
0
12
16
u2 23 0 16
1
u
3
3
0
1
3
3
16
3
64 3
2
Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
5)
Calcule
4
1
ln(s ln(sin in x)cos x dx
SOLUCIÓN
Sea
u
senx
entonces
du
cos xdx, 2
Ahora sustituyendo, se obtiene
ln(sin x) cos xdx
4
1
2
sen1
ln(u )du
Integrando por partes. Sea
t
ln u
, su diferencial es
dt
1
du.
u
Además, sea
ds
du ,
integrando sería
s
u
dtt , se obtiene Ahora aplicando la definición tds ts s d
2
2 2
sen1
ln(u ) du
u ln u 2
sen1
2
u ln u
2
6)
2
1 u du
2
2 sen1
ln(
2
2 u sen1
2 2
u
2 sen1
2
) sen(1) ln(sen(1))
2
(1)
sen
Costo de Fábricar Hard disc. La función costo marginal en dólares de un fabricante de discos duros para laptop está dada por C '(q) 0.8q 4 . Si actualmente la fábrica produce q 50 unidades al día, ¿Cuánto costará doblar la producción?
SOLUCIÓN
La función costo, C (q) , se halla integrando la función costo marginal, C '(q) , puesto que nos piden el costo de doblar la producción, se tiene: C ( q)
100
0
(0.8q 4) dq dq
Integrando
0.8q 4q 2 2
100
0
Evaluando la integral C (100) C (0)
0.8(100) 2 2
4(100)
0.8(0) 2 2
4(0)
3
Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
50 80 x50
4x10 100
4400
Por lo tanto el costo de doblar la producción a 100 unidades, será de 4400 dólares.
7)
Incremento de la Producción. El administrador de una fábrica de zapatas para frenos de automóviles, determina que la función de costo marginal en dólares por la fabricación de
dC
0.02q 30 . Si la producción actual es q = 70 unidades por dq semana, ¿cuánto más costará incrementar la producción a 100 unidades por semana?
estas zapatas está dada por
SOLUCIÓN
La función costo, C (q) , se halla integrando la función costo marginal, C '(q) , así C (q)
100
70
(0.02q 30) dq
100
0.02q 2 0.02(100) 2 0.02(70) 2 C ( q) 30q 30(100) 30(70) 951 2 2 2 70 Por lo tanto, un incremento de la producción de 70 a 100 unidades, costará 951 dolares. 8)
Depreciación de equipos. Los operarios de la fábrica de pernos Riel Motor S.A. creada en el año 2000 ven como poco a poco empieza a desgastarse los equipos, por lo que los costos de mantenimiento de esta empresa empieza a aumentar. El gerente de esta empresa determina que el incremento de esos costos viene dada por la función A '(t ) 140t 2 9800 en euros por año. ¿qué costo total tendrá esta fábrica desde el año 2010 al 2015? SOLUCIÓN
La función incremento de costo de mantenimiento, mantenimiento, A(t ) , se halla integrando la función incremento de costo, A '(t ) . 5 2 A '(t ) (140t 9800) dt
0
Integrando
5 140t 3 9800 t A(t ) 3 0 Evaluando la integral, obtenemos 4
Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
140(5)3 140(0)3 A(5) A(0) 9800(5) 9800 (0) 3 3
5833. 5833.33 33 49000 49000
54833.33
Por lo tanto, el costo total que tendrá esta fábrica desde el año 2010 al 2015, es de 54833.33 euros. 9)
Regando la casa de campo. Una persona desea regar sus siembras en su casa de campo, para ello deja el grifo abierto a las ocho de la mañana, mientras se va al mecanico a darle
manteniento a su camioneta. Se sabe que el agua sale a razón de
dG dt
50t 20
litros por
hora, si no cierra el grifo hasta la hora que regresa a su casa, exactamente a las tres de la tarde, ¿Cuántos litros de agua se habrá hab rá consumido en regar sus siembras? SOLUCIÓN
La razón a la que se sale el agua,
G(t ) ,
G(t )
7
0
se halla integrando la función,
(50t 20) dt
G '(t ) ,
así
Calculando esta integral queda la función 7
50t 2 G (t ) 20t 2 0 Evaluando la integral, obtenemos G(7) G(0)
50(7) 2 2
20(7)
50(0) 2 2
20(0)
25 x49 49 20x7 1365
Por lo tanto la cantidad de litros de agua consumida en regar la casa de campo será de 1365 litros. 10) Partido de Futbol. En un partido de futbol entre Mannucci de Trujillo y Cienciano del
Cuzco, las puertas del estadio mansiche se abren a las 16:00 horas, y los aficionados entran en él a razón de: 5(1 t )3 185(1 t ) 2 aficionados por hora, t horas después de la apertura de las puertas de acceso. ¿cuántos aficionados entrarán hasta las 18:00 horas, cuando está previsto el comienzo del partido? SOLUCIÓN
5
Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
La cantidad de aficionados que entran V(t), se halla integrando la función de la razón en la que entran, V’(t) V (t )
2
0
5(1 t )3 185(1 t )2 dt
Para calcular esta integral, solo se integra su primer y segundo componente, quedando la función costo, C (q) de esta forma:
5(1 t )4 185(1 t )3 4 3
2
0
Para hallar la cantidad de aficionados que entrarán en dos horas, se da de la siguiente manera: 5(3) 4 185(3) 3 5(1) 4 185(1) 3 3 3 4 4 4 995 5 185 405 49 3 4 3 4
405
4
5
400
4
4
4995
3
185
3
4810
3
4510
3
Por lo tanto la cantidad de aficionado que entran hasta las 18:00 horas, es 1503 aproximadamente.
6
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