FACULTAD DE INGENIERIA
Escuela de Ingeniería Civil
MSc. Hebert Vizcon Vizconde de Poémape
[email protected] Resistencia Resist encia de Materiales
Objetivos ➢ Calcular
los esfuerzos en una viga compuesta de mas de un material.
➢ Calcular
el esfuerzo de vigas a las que se le aplica cargas transversales.
Contenidos •
Vigas compuestas.
VIGAS COMPUESTAS Defor De for maciones uni tarias y esfu esfu erzos
∈ = − = −
……..
Ec. 1
Si den denot otaamos los módulos ulos de elast astic iciidad par araa lo loss mat ateeri rial ales es 1 y 2 con E 1 y E 2, re resp spec ecti tiva vame ment nte, e, y tamb tambié ién n su supo pone nemo moss que que E 2 > E 1, obtenemos el diagrama de esfuerzos que se muestra en la
fi figu gura ra.. El esfue sfuerz rzo o de co comp mpre resi sión ón en la pa part rtee sup uper erio iorr de la viga viga es σ A = E 1ε A y el esfuerzo de tensión en la parte infe nferior es B = E 2ε B.
VIGASS COMPUEST VIGA COMPUESTAS AS
(a) Viga secc ión Viga compuesta de dos materiales, (b) sección transversal de la viga, (c) distribución de deformaciones unitarias ϵx en toda la altura de la viga y (d) distribución de esfuerzos σx en la viga para el caso en que E2 > E1.
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VIGASS COMPUEST VIGA COMPUESTAS AS En la superficie de contacto (C) los esfuerzos en los dos materiales son diferentes diferent es debido a que sus módulos son distintos. En el material 1 el esfuerzo es σ1C=E1ϵC y en el material 2 es
2C=E2C.
σ
Al utilizar la ley de
Hooke y la ecuación (1), podemos expresar los esfuerzos normales a una distancia y del eje neutro en términos de la curvatura curvatura::
Ec. 2
……..
en donde σx1 es el esfuerzo en el material 1 y σx2 es el esfuerzo en el material 2. Con la ayuda de estas ecuaciones, podemos localizar el eje neutro y obtener la relación momento-curvatura.
6
Ecuación para ubicar el eje neutro en una viga compuesta compuesta
……..
Ec. 3
Si la sección ión tra transvers versaal de una vig igaa es doblemente simétrica, como en el caso de una viga de madera cubierta con placas de acero en la parte superior e inferior (figura), el eje neutro se ubic ubicaa a la mita itad de la alt ltu ura de la secció ión n transversal y por tanto la ec ecua uaci ción ón (3 (3)) no es nece necesa sari ria. a.
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Relación momento-curva momento-curvatura tura Ec. 4
……..
en do dond ndee I 1 e I 2 son los momentos de inercia con respecto al eje neutro (el eje z ) de las áreas de las secc seccio ione ness tran transv sver ersa sale less de los los ma mate teri rial ales es 1 y 2, re resp spec ecti tiva vame ment nte. e. Ob Obse serv rvee qu quee I = I 1 + I 2, don ond de I es el mom omeento de inercia de toda el área de la sección transversal con respecto al eje neutro. Ahora de la ec ecua uaci ción ón (4 (4)) pu pued edee de desp spej ejars arsee la cu curva rvatu tura ra en té térm rmin inos os de dell mo mome ment nto o fl flex exion ionan ante te::
Ec. 5
……..
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Esfuerzos normales fórmulas de flexión)
……..
Ec. 6
Estas expresiones, conocidas como fórmulas de la flexión para una viga compuesta, proporcionan los esfuerzos normales en los materiales 1 y 2, respectivamente. Si los dos materiales tienen módulos de elasticidad iguales (E1 = E2 = E),
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Teoría aproximada para la flexión de vigas sándwich
Ec. 7
……..
Ec. 8
……..
en do dond ndee b es el ancho de la viga, h es la altura total de la viga y hc es la alt ltur uraa de dell nú núcl cleo eo.. Ob Obsser erve ve qu quee hc = h – 2t donde t es el espesor de las tapas.
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Teoría aproximada para la flexión de vigas sándwich Los esfuerzos normales máximos en la viga sándwich ocurren en la parte superior e inferior de la sección transversal donde y = h/2 y – h/2, respectivamente. Por tanto, de la ecuación (7), ( 7), obtenemos
Ec. 9
……..
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Teoría aproximada para la flexión de vigas sándwich Si la lass tapa tapass son son de delg lgaada dass compa ompara rada dass co con n el espes spesor or de dell nú núccleo leo (es (es de deci cirr, si t es pe pequ queñ eño o co comp mpar arad ado o co con n hc), podem podemos os ig igno nora rarr lo loss esfu esfueerz rzos os corta ortant ntes es en las las tapa tapass y sup upon oner er qu quee el núc úcle leo o sopo soport rtaa to todo doss lo loss esf sfue uerz rzos os corta ortant ntees. En est stas as co cond ndic icio ione ness el esfu esfuer erzo zo cort cortan ante te pr prom omed edio io y la defo deform rmac ació ión n unit unitar aria ia prom promed edio io en el núcl núcleo eo so son, n, re resp spec ecti tiva vame ment nte, e,
Ec. 10
……..
en do dond ndee V es la fuerza rza cortan tante que actúa túa sobr obre la sección tr traansversal y G c es el módu módulo lo de ela last stic icid idaad en corta ortant ntee para el material del núcleo. (Aunque el esfuerzo cortante máximo y la deformación unitaria máxima por cortante son mayo ma yore ress que que los los valo valore ress prom promed edio io,, con con frec frecue uenc ncia ia se util utiliz izan an los los valo valore ress prom promed edio io para para fi fine ness de di dise seño ño.) .)
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Ejemplo 1 Una viga compuesta (figura) está construida con una viga de madera (4.0 pulg × 6.0 pulg de dime dimension nsiones es reales reales)) y una placa de acero de refuerzo (4.0 pulg ancho y 0.5 pulg espesor). La madera y el acero están firmemente unidos para actuar como una sola viga. La viga está sometida a un momento mome nto flexion flexionante ante posit positivo ivo M = 60 k-pulg k-pulg.. Calcule los esfuerzos máximos de tensión y compresión en la madera (material 1) y los esfuerzos máximo y mínimo de tensión en el acero (material 2) si E 1=1 =150 500 0 ks ksii y E2= 30,000 ksi.
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Solución
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Momentos de inercia
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Esfuerzos normales
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MÉTODO MÉTOD O DE LA LA SECCIÓN TRANSFORMADA TRANSFORMADA El método consiste en transformar la sección transversal de una viga compuesta en una sección transversal equivalente de una viga imaginaria que está hecha sólo con un material. Esta nueva sección transversal se denomina sección transformada. Luego la viga imaginaria con la sección transformada se analiza de la manera usual para una viga de un material. Como paso final, los esfuerzos en la viga transformada se convierten en los de la viga original.
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Eje neutro y sección transformada Para que la viga transformada sea equivalente a la viga original, su eje neutro debe estar ubicado en el mismo lugar y su capacidad de resistencia de momento debe ser la misma. Para demostrar cómo se cumplen estos requisitos, considere de nuevo una viga compuesta de dos materiales (figura a). El eje neutro de la sección transversal se obtiene con la ecuación (3), que se repite a continuación:
Ec. 11
……..
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Eje neutro y sección transformada Ahora introducimos introducimos la l a notación
……..
Ec. 12
donde n es la razón modular. Con esta notación, podemos rescribir la ecuación (11) en la siguiente forma:
Ec. 13
……..
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Relación momento-curva momento-curvatura tura Ec. 14
……..
Esta ecuación es la misma que la ecuación (4) lo que demuestra que la relación momento-curvatura para la viga transformada transformada es igual que la de la viga original.
Esfuerzos normales Donde Dond e IT es el mome momen nto de in ine ercia rcia de la se secc cció ión n transformada con respecto al eje neutro. Al sustituir en esta esta ecua ecuaci ción ón,, pode podemo mos s calc calcul ular ar lo los s esfu esfuer erzo zos s en cualquier punto de la viga transformada.
……..
Ec. 15
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Relación momento-curvatur momento-curvaturaa Es fáci fácill verif verific icar ar la ec ecuac uació ión n (15) (15) al ob obse serv rvar ar qu que e el momento de inercia de la sección transformada (figura b) está relacionado con el momento de inercia de la sección original (figura a) mediante la siguiente relación: r elación: Ec. 16
……..
Al sustituir esta expresión por I T en la ecuación (15) da
⋅ =−
Ec. 17
……..
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Ejemplo 2 La viga ig ig rm da pduelgunyaev iga on ion essoremaele les sda 4.0a pulg × a6.c0om puplug)esytauqnuaepslaecm a udeesrterafueenrzla o dfigu eu acraer(oa)(aensctáhofodrma e 4a.0 spig easodredm e a0d.5erpau(lcg). g) . Ldaim viegnasio esntá ti tida un mome momento nto flexio flexiona nante nte po posit sitivo ivo M = 60 klbklb- pu pulg lg.. Utilizando el método de la sección transformada, calcule los esfuerzos máximos de tensión y compre ressión en la madera (material 1) y los esfuerzos máximo y mínimo de tensión en el acero (material 2) si E 1 = 1500 ksi y E 2 = 30 30,00 ,000 0 ks ksi. i. Nota: es la misma viga iga que analizó izó antes tes en el ejem jempl plo o 1 de la sección 2.
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Solución Seccion transformada.
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Momento de inercia de la sección transformada.
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Esfuerzos normales en la madera (material 1).
Esfuerzos normales en el acero (material 2).
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Ejercicios Propuest Propuestos os Una viga compuesta que consiste de caras ca ras de fibra de vidrio y un núcleo de aglomerado tiene la sección transversal que se muestra en la figura. El ancho de la viga es 2.0 pulg, el espesor de las caras es 0.10 pulg y el espesor del núcleo es 0.50 pulg. pulg. La viga está sometida a un momento momento flexionante de 250 lb-in que actúa con respecto al eje z. Encuentre los esfuerzos flexionantes máximos σtapa y σnúcleo en las tapas y en el núcleo, respectivamente, si sus módulos de elasticidad respectivos son 4 × 106 psi y 1.5 × 106 psi.
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Ejercicios Propuest Propuestos os La viga compuesta que se muestra en la figura está simplemente apoyada y soporta una carga uniforme total de 50 kN/m sobre un claro de 4.0 m. La viga está construida con un elemento de madera con dimensiones transversales de 150 mm × 250 mm y dos placas de acero con dimensiones transversales transversales de 50 mm × 150 mm. Determine los esfuerzos máximos σs y σw en el acero y la madera, respectivamente, si los módulos módulos de elasti elasticidad cidad sson on Es = 209 G GPa Pa y Ew = 11 11 GPa. (No to tome me en cuenta cuenta el peso de la viga.)
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Ejercicios Propuest Propuestos os La se secc cció ión n tr tran ansv sver ersa sall de una una vi viga ga hech hechaa con con tira tirass delg delgad adas as de alum alumin inio io sepa separa rada dass por por un pl plás ásti tico co li lige gero ro se mues muestr traa en la fi figu gura ra.. La viga iga tie tiene un an anch cho o b = 3. 3.0 0 pulg pulg,, la lass ti tira rass de al alum umin inio io ti tien enen en un es espe peso sor r t t = 0.1 pul pulg y los se segm gmen ento toss de plástico tienen alturas d = 1.2 pulg y 3d = 3.6 pulg. lg. La altu ltura total tal de la vig igaa es h = 6.4 6.4 pulg. pulg. 6 Loss módu Lo módulo loss de elas elasti tici cida dad d para para el alum alumin inio io y el plás plásti tico co so son n E a = 11 × 10 psi y E p = 440 × 103 psi, respectivamente. Dete De term rmin inee los los esfu esfuer erzo zoss máx áxim imos os sa y s p en el aluminio y el plástico, respectivamente, debidos a un momento flexi flexiona onant ntee de 6. 6.0 0 k-in. k-in.
Conclusiones •
Se logro la evaluación de los esfuerzos producidos en vigas formadas por más de un material.
•
Se hizo uso del método de la sección transformada para determinar esfuerzos que se presentan en vigas.
Referencias (1)
“Mecánica de sólidos”. T.J. Lardnery R.R. R.R. Archer. Arc her. 2-20 2-20,, pag.
(2)
“Mecánica de materiales”. R. C. Hibbeler. (2-10) (22-25) (51-54) y (107-111) pags.
(3)
.E. Shigl higle ey y C C..R. Mis isch chke ke,, “Diseño en Ingeniería Mec Mecánica”, ánica”, McGraw Hill 2002.
(4)
B.J. B.J. Hamrock, B. Ja Jacobso cobson nyS S..R. Schmid chmid,, “Elementos “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 200 2000 0
