S10.s1 - Material. Aplicaciones de Ecuaciones Lineales de Orden Superior. CE

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

LOGRO DE LA SESIÓN: “Al finalizar la sesión el estudiante modela y resuelve problemas utilizando ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.”

¿Cuál es su utilidad? Las Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior se utilizan en:

✓ Mecánica y Electricidad. ✓ A problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.

Entre otros.

APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN

CIRCUITOS EN SERIE

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3 CIRCUITOS EN SERIE Si 𝑖(𝑡) denota la corriente en el circuito eléctrico en serie LRC, mediante la segunda ley de Kirchhof . la suma de estos voltajes es igual al voltaje 𝐸(𝑡) aplicado al circuito; es decir 𝑑𝑖 1 𝐿 + 𝑅𝑖 + 𝑞 = 𝐸 𝑡 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑞

Pero la intensidad de corriente i(t) es la derivada de la carga 𝑖 𝑡 = , así que 𝑑𝑡 la ecuación se convierte en la ecuación diferencial lineal de segundo orden. 𝑑2 𝑞 𝑑𝑞 1 𝐿 2 +𝑅 + 𝑞 = 𝐸 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 Esta ecuación modela la carga en el capacitor del circuito. Si 𝐸(𝑡) no es constante, es un circuito en serie y derivando la primera ecuación, obtenemos la ecuación que modela la intensidad de corriente en el circuito 𝑑2 𝐼 𝑑𝐼 1 𝑑𝐸 𝑡 𝐿 2+ 𝑅 + 𝐼 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑡

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Ejemplo 1. Un circuito LRC está formado por un resistor 𝑅 = 12Ω, un capacitor 𝐶 = 0,1𝐹 y un inductor 𝐿 = 2𝐻, se conecta a una fuente de voltaje que suministra 𝐸(𝑡) = 20 cos(5𝑡)𝑉. Si inicialmente el capacitor está descargado y no circula corriente alguna por el circuito, encuentre una expresión para la carga y la corriente en todo tiempo t: Solución:

𝑅 = 12Ω 𝐶 = 0,1𝐹 𝐿 = 2𝐻 𝐸 𝑡 = 20 cos 5𝑡 𝑉 𝑞 0 =0 𝑞′ 0 = 0

𝑑2 𝑞 𝑑𝑞 1 𝐿 2 +𝑅 + 𝑞 = 𝐸 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 𝑑2 𝑞 𝑑𝑞 1 2 2 + 12 + 𝑞 = 20 cos(5𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 0.1 𝑑2 𝑞 𝑑𝑞 +6 + 5𝑞 = 10 cos(5𝑡) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 i. Ecuación auxiliar 𝑚2 + 6m + 5 = 0 raíces 𝑚 = −1 ∨ 𝑚 = −5 𝑞𝑐 𝑡 = 𝑐1 𝑒 −𝑡 +𝑐2 𝑒 −5𝑡

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Datos/Observaciones

Continuación del ejemplo 1. Un circuito LRC está formado por un resistor 𝑅 = 12Ω, un capacitor 𝐶 = 0,1𝐹 y un inductor 𝐿 = 2𝐻, se conecta a una fuente de voltaje que suministra 𝐸(𝑡) = 20 cos(5𝑡)𝑉. Si inicialmente el capacitor está descargado y no circula corriente alguna por el circuito, encuentre una expresión para la carga y la corriente en todo tiempo t:

Solución:

𝑞𝑝 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 5𝑡 + 𝐵𝑠𝑒𝑛(5𝑡); Reemplazando

𝑞′𝑝 = −5𝐴𝑠𝑒𝑛 5𝑡 + 5𝐵𝑐𝑜𝑠(5𝑡);

𝑞′′𝑝 = −25𝐴𝑐𝑜𝑠 5𝑡 − 25𝐵𝑠𝑒𝑛(5𝑡)

−25𝐴𝑐𝑜𝑠 5𝑡 − 25𝐵𝑠𝑒𝑛 5𝑡 + 6 −5𝐴𝑠𝑒𝑛 5𝑡 + 5𝐵𝑐𝑜𝑠 5t + 5 𝐴𝑐𝑜𝑠 5𝑡 + 𝐵𝑠𝑒𝑛 5𝑡 = 10cos(5𝑡) 20𝐴 + 30𝐵 𝑐𝑜𝑠 5𝑡 + −30𝐴 − 20𝐵 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 = 10 cos 5𝑡 2 3 −20𝐴 + 30𝐵 = 10 ቊ →𝐴=− ; 𝐵= −30𝐴 − 20𝐵 = 0 13 13 3 2 10 15 −𝑡 −5𝑡 ′ −𝑡 −5𝑡 𝑞 = 𝑐1 𝑒 + 𝑐2 𝑒 + 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 − 𝑐𝑜𝑠 5𝑡 ; 𝑞 = −𝑐1 𝑒 − 5𝑐2 𝑒 + 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 5𝑡 ; 13 13 13 13 2

𝑞 0 = 0 = 𝑐1 + 𝑐2 − 13

5

൞ 15 𝑞′ 0 = 0 = −𝑐1 − 5𝑐2 + 13

𝒒(𝒕) = −

𝟓 𝟓𝟐

𝟏

𝟑

𝟒

𝟏𝟑

𝒆−𝒕 + 𝒆−𝟓𝒕 +

𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒕 −

𝟐 𝟏𝟑

𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒕 ; 𝒊 𝒕 = 𝒒′ (𝒕) =

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𝑐1 = − 52 ; 𝟓 𝟓𝟐

1

𝑐2 = 4

𝟓

𝟏𝟎

𝟒

𝟏𝟑

𝒆−𝒕 − 𝒆−𝟓𝒕 +

𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒕 +

𝟏𝟓 𝟏𝟑

𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒕

Ejemplo 2. Se conecta en serie una fuente de voltaje E = 110𝑉 , un capacitor C = 10−3 𝐹 y un inductor 𝐿 = 0,1𝐻. Determinar la carga en el capacitor y la corriente que circula por el circuito en todo tiempo, si inicialmente el capacitor estaba totalmente descargado y no fluía corriente sobre el circuito. Solución:

i. Ecuación auxiliar 𝑚2 + 10000 = 0 raíces 𝑚 = ±100𝑖

𝑅 = 0Ω 𝐶 = 0,001𝐹 𝐿 = 0,1𝐻 𝐸 𝑡 = 110 𝑞 0 =0 𝑞′ 0 = 0 𝑑2 𝑞 𝑑𝑞 1 𝐿 2 +𝑅 + 𝑞 = 𝐸 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 𝑑2 𝑞 𝑑𝑞 1 0,1 2 + 0 + 𝑞 = 110 𝑑𝑡 𝑑𝑡 0,001 𝑑2 𝑞 + 10000𝑞 = 1100 𝑑𝑡 2

𝑞𝑐 𝑡 = 𝑐1 cos(100𝑡) +𝑐2 𝑠𝑒𝑛(100𝑡)

𝑞𝑝 𝑡 = 𝐴; 𝑞𝑝′ = 𝑞𝑝′′ = 0 reemplazando 10000𝐴 = 1100

𝑞 𝑡 = 𝑐1 cos 100𝑡 +𝑐2 𝑠𝑒𝑛 100𝑡 + 0.11 𝑞′ 𝑡 = 100𝑐2 cos(100𝑡) −100𝑐1 𝑠𝑒𝑛(100𝑡) Evaluando ቊ

𝑐1 = −0.11 𝑐2 = 0

q 𝑡 = −0.11 cos 100𝑡 + 0.11 𝑖 𝑡 = 𝑞′ 𝑡 = 11 𝑠𝑒𝑛(100𝑡)

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→

𝐴 = 0.11

Ejemplo 3. 1

Encuentre la carga en el capacitor de un circuito LRC en serie cuando 𝐿 = 2 𝐻, 𝑅 = 10Ω, 𝐶 = 0,01𝐹, 𝐸 𝑡 = 150𝑉, 𝑞(0) = 1𝐶 𝑒 𝐼(0) = 0𝐴. Solución: 𝑅 = 10Ω 𝐶 = 0,01𝐹 1 𝐿 = 2𝐻 𝐸 𝑡 = 150𝑉 𝑞 0 =1 𝑞′ 0 = 0

i.Ecuación auxiliar 𝑚2 + 20m + 200 = 0 raíces 𝑚 = −10 ± 10𝑖 𝑞𝑐 𝑡 = 𝑒 −10𝑡 𝑐1 cos 10𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 10𝑡 3 𝑞𝑝 𝑡 = 𝐴; 𝑞𝑝′ = 𝑞𝑝′′ = 0 reemplazando 200𝐴 = 300 → 𝐴=2 𝑞 𝑡 =

𝑒 −10𝑡

𝑞 𝑡 = 𝑒 −10𝑡 2

𝑑 𝑞 𝑑𝑞 1 + 𝑅 + 𝑞 = 𝐸 𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝐶 1 𝑑2 𝑞 𝑑𝑞 1 + 10 + 𝑞 = 150 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 0,01 𝑑2 𝑞 𝑑𝑞 + 20 + 200𝑞 = 300 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝐿

3 𝑐1 cos 10𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 10𝑡 + 2 (10𝑐2 − 10𝑐1 ) cos 10𝑡 + (−10𝑐1 − 10𝑐2 )𝑠𝑒𝑛 10𝑡 3

1

𝑐1 + 2 = 1 → 𝑐1 = − 2

Evaluando ൞ 1 −10𝑐1 + 10𝑐2 = 0 → 𝑐2 = − 2

𝑞 𝑡 = −𝑒 −10𝑡

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1 cos 2

1

10𝑡 + 2 𝑠𝑒𝑛 10𝑡

3

+2

LISTO PARA MI EJERCICIO RETO

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EJERCICIO RETO Encuentre la carga y la corriente en un circuito LRC en serie cuando 𝐿 = 2𝐻 , 𝑅 = 2Ω, C = 𝐶 = 0,25𝐹 y 𝐸 𝑡 = 50 cos 𝑡 𝑉. Si inicialmente el capacitor estaba descargado y no había flujo de corriente en el circuito.

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EJERCICIOS DE REPASO

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3 FINALMENTE

IMPORTANTE 1. Saber identificar las unidades en las que se va a trabajar. 2.Plantear adecuadamente la ecuación diferencial a resolver.

Datos/Observaciones

PARA TI

Gracias por tu participación Hemos visto las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.

Ésta sesión quedará grabada

1. Revisa los ejercicios indicados y realiza la Tarea de ésta sesión. 2. Consulta en el FORO tus dudas.

Datos/Observaciones