S03.s2 - Material Adicional - (EJERCICIOS - RESUELTOS - GAUSS - New - 2022M-I)

 

Ejercicio Un cubo de arista L está situado en una región de campo eléctrico uniforme. uniforme. Determine el flujo eléctrico que pasa a través de cada cara del cubo y el flujo total a través de éste cuando: a) El cubo está orientado con dos de sus caras E,, como se ilustra en la figura. perpendiculares al campo E

 z

n1 =− i^ n3 =− ^ j ^

^ n5 =k  ^

^

 

 

a)

n2 =i^

 

^

El flujo en cada cara del cubo:

n 4= j^ ^

b)

^ n6 =− k  ^

 E = E ^i

⃗

 x

c)  y

Ejemplo 1

 El flujo total a través del cubo:

 

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Ejercicios Resueltos Cálculo Aplicado Aplicado a la Física 2  Semana 03 sesión 02

 

Logros  Al finalizar la sesión el estudiante

debe resolver ejercicios de la Ley de Gauss como para una alternativa la Ley de Coulomb determinarde campos eléctricos.

 

Agenda  Resolución de problemas sobre

Flujo de campo eléctrico.  Resolución de problemas sobre Ley de Gauss

Datos/Observaciones

Datos/Observaciones

 

Flujo Eléctrico

 E = E n+ Et 

⃗

⃗

⃗

 E = E n e n + Et  e t 

⃗

Φ =   ∫ ⃗ E d  A =⃗  E  A Superficie ⋅

⋅

^

  ⋅

 ^

⃗

⃗

⋅

 E = E cos θ e n + E sen θ e t 

⃗

[N.m2 /C]

⋅

^

⋅

^

d  A =dA e n ⃗

⋅

^

El vector tiene magnitud igual al área de área la superficie y dirección perpendicular a esta superficie.

dA =|d  A|

⃗ E   ⊥   d⃗ A   ⇒   Φ = 0

Vector tor unitario perpendicular a la superficie. Vec

⃗ E   ∥   d⃗ A  

⃗

er   ^

n^

⊥  e   ∧  ∧  e   ^

t 

 

^

r

e r e t = 0

i^  ^ j= 0

e e =1

  i^  i^ =1

^

^

r

 ⋅

⋅

^

^

r

⋅

⋅

∧   ⃗ E   ∥   dA

⇒   Φ = ∃   ∧   ⃗ E   ⊥   dA

 

Ley de Gauss Φ  =∮ E . cos θ .   A  Φ  =∮   .    = 0

Φ  =  0

⃗

 Φ  = 0

⃗

Sale

 

Sale Sale

Entra Entra

Entra

Entra

Sale

  Sale

Sale

Sale

Entra

Sale

Entra

Sale

Sale

Sale

Entra Sale Entra

Sale Entra   Entra Sale

Sale

Sale Sale Sale

 

Ejercicio Una carga puntual positiva q = 3,0 µC µC   está rodeada por una esfera centrada en la carga y cuyo radio mide 0,20 m. m. Determine el flujo eléctrico a través de la esfera debido a esta carga. Solución:

| E |=

⃗

r

 K e q   q   = 2 2 4 π ε0 r r ⋅

∫ dA = At =4 π r

2

 At 

Φ e =∫⃗ E d  A =∫ E ^n dA ^n ⋅

Ejemplo 2

⃗

⋅

n3 =n^   ^

⇒

 

d  A = dA . n^  A = A t  ^n ⃗

⃗

^  Er = E n= E n

⃗

⃗

 

Ejercicio Una carga puntual positiva q = 3,0 µC µC   está rodeada por una esfera centrada en la carga y cuyo radio mide 0,20 m. m. Determine el flujo eléctrico a través de la esfera debido a esta carga.

n3 =n^   ^

⇒

 

d  A = dA . n^  A = A t  ^n ⃗

^  Er = E n= E n

⃗

⃗

⃗

 El campo eléctrico en el borde de la esfera:

Solución:

 El flujo total a través de la esfera:

| E |=

⃗

r

 K e q   q   = 2 2 4 π ε0 r r ⋅

∫ dA = At =4 π r

2

 At 

Φ e =∫⃗ E d  A =∫ E ^n dA ^n ⋅

Ejemplo 2

⃗

⋅

 

Ejercicio Una carga eléctrica está distribuida de manera uniforme a lo largo de un alambre delgado de

n1 =− i^ ^

n2 =i^ ^

n3 =n^ ^

carga porCalcula unidad de longitud La positiva). es λ  (seinfinita. supone su longitud campo eléctrico. Solución:

 E3

⃗

 E2

⃗

Superficie gaussiana

 

n2

n3

^

^

n1 ^

 L

Φ e=∫⃗ E d  A

 E1

⃗

⋅

Φ e=

q enc ε0

q enc =∫ λ . dl= λ .∫ dl= λ . L Ejemplo 3.

⃗

 E1 =− E  ^  jj

⃗

 E2 = E ^  jj

⃗

 A1 = A 2= π r 2

⃗

 E3 = E  ^n

 A3 =2 π r L

Ejercicio  

Una carga eléctrica está distribuida de manera uniforme a lo largo de un alambre delgado de

n1 =− i^

 E1 =− E  ^  jj

⃗

^

n2 =i^

 E2 = E ^  jj

 A1 = A 2= π r 2

⃗

^

n3 =n^ ^

⃗

 E3 = E  ^n

 A3 =2 π r L

carga porCalcula unidad de longitud La positiva). es λ  (seinfinita. supone su longitud campo eléctrico.

El flujo en cada superficie:

Solución:

Φ e =∫⃗ E d  A =∫ E 1 d  A +∫ E 2 d  A +∫ E3 d  A

 E3

⃗

⋅

 E2

⃗

Superficie gaussiana

 

^

^

⃗

⋅

⋅

⋅

Φ e=

q enc

⃗

 E = Ejemplo 3.

 A3

 A 3

q enc

… . ( 1)

ε0  λ . L  E . ( 2 π r L ) = ε0

ε0

q enc =∫ λ . dl= λ .∫ dl= λ . L

⃗

⃗

Φ e = E . A 3=

Φ e=∫⃗ E d  A

⋅

n ) . ( dA ^n ) =   E ∫ dA =   E . A 3   ( E  ^ Φ e =∫⃗ E d  A = ∫

 El flujo por Gauss:  L

⃗

⃗

 A 2

^

 E1

⋅

 A 3

n1

⃗

⃗

⃗

 A1

n2

n3

⃗

  λ 2π r ε0

  λ

2

= . 2

(

2 π ε0 . r

=

)

2 k e

 λ r

 

Ejercicio . 200 N   N / C )  ^i para x > 0 y Un campo eléctrico  E =( 200 200 N   N  / C )  ^,i para x < 0.  E =− ( 200 Un cilindro circular recto de 20 cm de longitud y 5 cm de radio tiene su centro en el origen y su eje está a lo largo del eje x de modo que una de las caras está en x = +10 cm y la otra x = -10 cm. (a) ¿Cuál es el flujo saliente que atraviesa cada cara?. ⃗

⃗

1

2

⋅

 ⋅

(b) es el flujo a través de la superficie lateral del ¿Cuál cilindro?. (c) ¿Cuál es el flujo neto que atraviesa toda la superficie cilíndrica?.

 y n3 ^

 E3

⃗

⃗

⃗

 E2

 E 1 n1

n2

^

^

 x dA 10 cm

10 cm

 

 

Ejercicio . Una superficie plana de área A= 0,45 m²  que se localiza en el plano xz como se muestra en la figura. Si existe un campo eléctrico: ^ ) 10²  N  / / C   E ( x , y , z ) =( 7 x ^i − 3  j^ − 2 z ² k 

⃗

, que atraviesa toda la región. (a) Determine el flujo saliente que emana de la superficie plana Solución En la figura se muestra la superficie plana ⃗ A

 z

 y

 x  A

 

Ejercicio . Un conductor con una carga neta de 12 μC presenta una cavidad como se ilustra en la figura.

Solución

Dentro de la cavidad se encuentra una caja puesto q = − 3 μC. Calcular la carga q1  en la superficie interior del conductor, y la carga q 2 en la superficie exterior. Como, por hipótesis, En la figura se ha dibujado una superficie gaussiana dentro del conductor, la cual encierra las cargas q1 y − q. Como dentro del conductor el campo eléctrico es cero, al aplicar la ley de Gauss con esta superficie.

 

Ejercicio . Una corteza esférica conductora cuyo radio interno es R1 y externo R2, tiene una carga neta cero. Una carga puntual +Q es localizada en el centro de la corteza tal como se muestra en la figura. (a) Use la ley de Gauss y las propiedades de los conductores en equilibrio electrostático para encontrar el campo eléctrico en las tres regiones:

i.  0≤ r