S02.s1 Estadistica Inferencial Distribucion Muestral

 

ESTADISTICA INFERENCIAL DISTRIBUCIÓN MUESTRAL SESION N°3

 

Inicio (10min) •  Actividad: Los estudiantes comparten con el docente las dudas que hubieran exis existido tido en la segunda sesión. • El estudiante responde las siguientes preguntas:   1.- Que conoce o ha escuch escuchado ado sob sobre re distribu distribución ción muestral? muestral?   2.- Y para que sirve la Distribución Muestral?

Inicio

 

SABERES PREVIOS LA ESTADISTICA INFERENCIAL Que conozco de Distribucion Muestral? Para que sirve?

 

LOGRO DE SESION El estudiante conocerá los principales conceptos y cálculos referidos a la distribución muestral, teorema del límite central, distribución muestral de la media con varianza conocida y desconocida a fin de poder aplicarlos en el campo de la ciencia e ingeniería.

 

TRANSFORMACIÓN (30 min) pedagógico: ico: Aprendizaje autónomo y Aprendizaje colaborativo. Principio pedagóg

•  Actividad: A continuación el estudiante va revisar los conceptos básicos correspondientes a Distribución Muestral y se van a plantear ejercicios para poder desarrollar los conceptos revisados en clase.

 

Transformación

 

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL 

La teoría del muestreo estudia las relaciones entre una  población  población y las muestras extraídas de la misma.



Permite estimar cantidades desconocidas desconocidas de  de la población como la media poblacional, la varianza, etc., frecuentemente llamadas  parámetros poblacionales  poblacionales  a partir de las correspondientes cantidades muestrales como son la media, la varianza, y otros estadísticos muéstrales o brevemente llamados estadísticos.  



La teoría de muestreo es útil para determinar por ejemplo: el aplicar un nuevo suero para el tratamiento tratamiento de una enfer enfermedad, medad, o decidir si un proceso d de e producción es m mejor ejor que otro. estas decisiones envuelven a los llamados ensayos e hipótesis de significación.. significación



En general, a todo lo mencionado anteriormente se le conoce como inferencia estadística .

Datos/Observaciones   

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL  

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

Consideremos todas las muestras de tamaño n  que pueden extraerse de una población . (con o sin reemplazo). Si obtenemos estadísticos  estadísticos   , tales como la media  media  (), la  proporción p, la la   desviación típica (desviación estándar) s, etc., que varían de una muestra a otra. Formaremos una distribución del estadístico deseado, lo que se conoce como distribución muestral . 

Si, el estadístico es la media muestral () , la distribución se conoce como distrib distribución ución muestral muestral de la medias.



Si, el estadístico   es la proporción muestral p, la distribución se cono conoce ce com como o distrib distribución ución m muestral uestral de la proporción.

Población Muestra   MUESTREO

2

X S2 p



n N

Datos/Observaciones  

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL   supóngase que son extraídas de una población Infinita todas las posibles muestras sin remplazo de tamaño n. si se denota:



La media (µ) y la desviación típica ( ) de la población 



La media () y la desviación típica () de la distribución muestral

La distribución muestral de las medias cumplen la siguiente igualdad: NOTA:

 

Si el muestreo es sin reemplazo de un población finita  

¿Estas muestras aleatorias a que tipo de distribución se ajustan? 

Datos/Observaciones    

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL Caso 1: Población con distribución normal: Si la muestra aleatoria Tiene distribu distribución ción normal con media µ y desviación típica : Para cualquier tamaño de muestra (n): La media muestral también tiene una distribución normal con

media y desviación Típica:

Notación Estadística

Caso 2: Población con distribución no normal:

Si:

Teorema del limite central

Si la muestra seleccionada tiene un tamaño mayor o igual a igual a 30, sea cual sea la forma de la distribución de la población (sea normal o no), las medias de todas las muestras seleccionadas de la población tendrán una distribución normal.

Datos/Observaciones  

PRUEBA DE NORMALIDAD Se aplica para comprobar si la distribución de datos de una muestra se ajusta a una Distribución Normal Teórica. Existen diversas pruebas para comprobar si una distribución de datos se ajusta a una distribución normal, para nuestro análisis aplicaremos la Prueba de Kolgomorov Smirnov:

Prueba de Kolgomorov Smirnov Prueba de Kolgomorov Smirnov(KS): Es una prueba no paramétrica que determina la bondad de siguientes ajuste depasos: un conjunto de datos con una distribución especifica. Se deben realizar los 1.- Ho: Los datos analizados siguen una distribución normal estándar    H1: Los datos analizados no siguen una distribución normal estándar  2.- α = 0.01 0.01,, 0.05, 0.01

Datos/Observaciones    

PRUEBAS DE NORMALIDAD 3.- Estadístico de Prueba:   Donde: Xi: es el i-esimo valor observado en la muestra( Cuyos valores se han ordenado previamente de mayor a

menor)

Fn( Xi): es un estimador de la probabilidad de observar valores menores o iguales que Xi Fo( Xi): es la probabilidad de observar valores menores o iguales que Xi cuando Ho es cierta  Así pues D es la mayor diferencia absoluta entre la frecuencia acumulada observada Fn(Xi) y la frecuencia acumulada teórica Fo(x) obtenida a partir de la probabilidad que se espec especifica ifica como Hipótesis Nula. Nula. Para efectos prácticos =

Por tanto a partir de estos Valores

=

Datos/Observaciones  

PRUEBAS DE NORMALIDAD 4.- Por tanto el criterio para rechazar o aceptar la prueba de hipótesis es:

Donde Dα

=

Cα podrá tomar los siguientes valores:

 K(n) podrá tomar los siguientes valores: valores:

Datos/Observaciones  

Ejemplo Nª1 Se tienen los ingresos de un grupo de 10 ingenieros egresado de la UTP, los cuales se presentan a continuación( en miles): 6.0, 2.3, 4.8, 5.6, 4.5, 3.4, 3.3, 1.9, 4.8, 4.5 Probar que los sueldos se ajustan a una distribución normal con un nivel de significación de α= 0.05 Solución: .

 

Ho: Los Sueldos siguen una distribución normal estándar  H1: Los Sueldos no siguen una distribución normal estándar 

α = 0.05

Datos/Observaciones  

 A partir de la definici  A definición ón se construye la siguiente tabla: donde X= 4.1, S= 1.34

 Los cálculos para la primera fila será: Z = Y1 – x = 1.9 – 4.1 = -1.628 1.34 S  

Fo = P( Z=- 1.628) = 0.051  

D1+ = 0.1- 0.051 = 0.049

Conclusión: = 0.216 Como D < Dα, se puede concluir que los sueldos de los ingenieros de la UTP se ajustan a una distribucion Normal

Datos/Observaciones D1= 0.051 – 0 = 0.051

 

 

DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS CON VARIANZA CONOCIDA Sabemos que si de

Resumen:

Si:  ´

   

 :  ? ? (  , σ 2 )     ≥  →      , √  Emplearemos tabla Z cuando:: cuando  ≥ 2 a. n 30 y σ 2 conocida. b. n < 30 y σ conocida

 ´ −    →  =   √  n  ó   ó 

    ( (  , 1)

( )

Datos/Observaciones  

PRACTICA Nª1( 15 Minutos) El valor nominal de la resistencia de una lámina de un metal m etal compuesto es de 8500 psi. Por estudios pasados se conoce que la desviación estándar de esta resistencia es 1950 psi. Se tiene una muestra de 100 láminas. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de esa muestra: a) Sea Sea mayo mayorr a 8 890 900 0 psi psi? ? b) Sea Sea meno menorr a 800 8000 0 psi psi? ?

Datos/Observaciones

SOLUCION Nª A

DATOS DEL PROBLEMA:

 

=8500

=1950

Recordando

(conocida)

 n=100

 

Variable: X resistencia de una lámina  a. Media mayor que 8900 ()

 P ( Z  a )    1    P( Z  a )

 

Estandarizando

(

1−   ≤

 )

 89 − 85 195 1 √ 1

=

(

⏟

1 −   ≤ 2.5  

( ´ > 89)= 1 −  . 9 998 98 2=.218

∴   

)

Datos/Observaciones

 

SOLUCION Nª B

DATOS DEL PROBLEMA: =8500

=1950

(conocida)

 n=100

Variable: X resistencia de una lámina  a. Media menor que 8000 ()  

( ´ < 8 )= 

   

(

 

<

 ) ⏟

8 − 85 195 1 √ 1

=  (  < − 2 . 56 )= . 52 

Datos/Observaciones  

DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS CON VARIANZA DESCONOCIDA DISTRIBUCIÓN T- STUDENT

Condiciones:  

utiliza en muestras pequeñas de menos de 30 elementos. La desviación estándar de la población () no se conoce. Se

Distribución

Población tiene que ser normal

Características:

 

Es

simétrica, cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.

Las

áreas de los extremos las cuales son más amplias que la distribución normal, como consecuencia de que usualmente se trabaja con muestras pequeñas

grados de libertad (g.l) : V = n – 1 , cuando la curva T se aproxima a la Normal

Tiene

Datos/Observaciones  

Recordando

 

   P( Z  a )  P ( Z  a )    1

Grados de VT

Libertad! =

Datos/Observaciones  

PRACTICA Nª2 ( 15 minutos) PROBLEMA Nª2 Una máquina produce piezas con un tamaño que se ajusta a una distribución normal cuyo valor medio es de 14 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra de tamaño 20 sea menor que 14.58 cm., sabiendo que la varianza muestral ha sido de 9 cm 2 ?

Datos/Observaciones

SOLUCION Nª 2

DATOS DEL PROBLEMA:

 

=14CM

S2=9 cm2 (σ2 desconocida)  n=20

ariable: X:T X:Tamaño amaño de la pieza en cm

  Recordando:

 

Si:  Entonces: 



2

 

      

 < 

 ´ < 14.58 )   :   ( 

Estandarizando:   ¿     − 1 <

14.58 − 14 

→   19 < .8646  

≅

.8

Datos/Observaciones

 

(

√ 2

)

(

 )

CIERRE (15 min) Principio pedagó pedagógico: gico: Aprendizaje autónomo.

Actividad:

• Lluvia de Ideas: El estudiante responde 4 principales preguntas del docente sobre su aprendizaje en la clase de hoy hoy..

Cierre

 

¿QUÉ HEMOS APRENDIDO? 1. 2. 3. 4.

¿Qu ¿Qué é es lla a di distr stribu ibució ción n mu muest estra rall de m medi edias? as? ¿Cu ¿Cuánd ándo o se ap aplic lica a el te teore orema ma d del el lí límit mite e cen centra tral? l? ¿Cu ¿Cuánd ándo os se ea apli plica ca la dis distri tribuc bución ión Z? ¿Cu ¿Cuánd ándo o se ap aplic lica a la di distr stribu ibució ción nT T-St -Stude udent? nt?

Datos/Observaciones