S. a. Mezclas.solucion.masc

LAS LA S   MEZCLAS

T area 1 Tarea 1. Momento 1. Saber

hacer 

T1.M1.1.  Dada la cantidad de agua y la cantidad de jugo de dos jarras distintas, decida cuál de las jarras tiene sabor más intenso a naranja, o bien, si tienen igual intensidad.  Argumente en cada una cuál fue la estrategia para elegir la respuesta. Se asume (para fines del diseño) que todos los vasos contienen igual cantidad de líquido, ya sea de naranja o de agua, y que la intensidad del sabor de las naranjas es la misma en cada vaso. CASO

1

2

3

2

Jarra A

Jarra B

Decisión y argumentación

Para la Jarra A: 3/8 vasos de agua = 37.5% 5/8 vasos de jugo naranja = 62.5% Para la Jarra B: 5/8 vasos de agua = 62.5% 3/8 vasos de jugo naranja = 37.5% Quiere decir que la Jarra A tiene mayor intensidad de sabor de naranja a comparación de la Jarra B Para la Jarra A: 4/7 vasos de agua = 57.14% 3/7 vasos de jugo naranja = 42.86% Para la Jarra B: 3/7 vasos de agua = 42.86% 4/7 vasos de jugo naranja = 57.14% Quiere decir que la Jarra B tiene mayor intensidad de sabor de naranja a comparación de la Jarra A Para la Jarra A: 5/14 vasos de agua = 35.71% 9/14 vasos de jugo naranja = 64.29% Para la Jarra B: 6/14 vasos de agua = 42.86% 8/14 vasos de jugo naranja = 57.14% Quiere decir que la Jarra A tiene mayor intensidad de sabor de naranja a comparación de la Jarra B

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Para la Jarra A: 6/14 vasos de agua = 42.86% 8/14 vasos de jugo naranja = 57.14% Para la Jarra B: 7/16 vasos de agua = 43.75% 9/16 vasos de jugo naranja = 56.25% Quiere decir que la Jarra A tiene mayor intensidad de sabor de naranja a comparación de la Jarra B

4

T1.M1.2.

¿Usaron una misma estrategia en todos los casos?

Si la respuesta es

afirmativa, expliquen ampliamente cuál fue esta y cómo fue usada. Si la respuesta es negativa, expliquen por qué no se usó una sola estrategia y describan ampliamente cuáles fueron y en qué casos resulta posible usarlas. Si se realizó la misma estrategia, donde se consideran porcentajes para representar  de un 100% lo que le correspondió en cada caso, la intensidad de sabor originado por el jugo de naranja, dando por lógica, que el que tuviera mayor porcentaje de  jugo de naranja, sería el que tendría la mayor intensidad de sabor.

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Tarea 1. Momento 2. Saber

analizar 

Para una fiesta se necesita preparar más naranjada. Martín lleva la jarra a la cocina con lo que le quedaba, medio litro. Los invitados elogiaron su preparación, así que procuró hacer más naranjada con el mismo sabor. Para ello, le puso medio litro de agua y medio litro de concentrado de naranja. ¿Qué considera que pasó con el asunto del sabor de la naranjada cuando volvió a la fiesta? T1.M2.2. Reflexione y argumente suficientemente sobre el sentido y las implicaciones de la acción de Martín al preparar el jugo. El sabor de la naranjada no puede ser el mismo, la consistencia puede variar de acuerdo a la disolución que traía la anterior combinación, lo recomendable

hubiera

sido

que

hiciera

el

mismo

procedimiento

de

combinación, utilizando la jarra, pero sin el sobrante.

Tarea 1. Momento 3. Saber

prof undizar 

Considere la siguiente Jarra y proponga ahora otras cuatro jarras con distinta cantidad de líquido total, pero que tengan el mismo sabor.

Propuesta 1

Propuesta 2

Propuesta 3

Propuesta 4

Jugo

Agua

Jugo

Agua

Jugo

Agua

Jugo

Agua

10

6

15

9

20

12

25

15

T1.M3.1. ¿Qué características cualitativas considera que tienen las intensidades de los sabores de las mezclas de las jarras propuestas? Se respetó la misma intensidad de sabor que proporciona el jugo de naranja

en

combinación

con

el

agua,

basándose

en

el

ejemplo

y

considerando que se debería tomar en cuenta el sabor determinado por la combinación de los ocho vasos (3 de agua y 5 de jugo).

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T1.M3.2.

¿Qué características numéricas poseen esas cuatro propuestas de jarras

respecto a la dada? Para mantener el mismo sabor es necesario que el porcentaje de combinación sea el mismo para las otras cuatro jarras, por lo tanto, se utilizó un múltiplo que se aplicó a ambas cantidades, lo que garantiza obtener el mismo porcentaje de combinación, para este ejemplo se utilizaron los términos 2, 3, 4 y 5.

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T area 2 Tarea 2. Momento 1. Saber

hacer 

Si representamos gráficamente el fenómeno descrito de las mezclas en un plano cartesiano, considerando la Jarra A de la Tarea 1, Momento 3 (tres vasos de agua y cinco vasos de jugo), una posible representación sería la siguiente:

T2.M1.1. En términos del fenómeno, ¿qué considera que representa la abscisa?  Argumente su respuesta. De acuerdo a la colocación del punto serían los vasos de agua, ya que el desplazamiento es menor que el de las ordenadas.

T2.M1.2. En términos del fenómeno, ¿qué representa en su opinión la ordenada?  Argumente su respuesta. Como el desplazamiento en las ordenadas es mayor, representaría los vasos de jugo.

T2.M1.3. En términos del fenómeno, ¿qué considera que representa el punto en el plano?  Argumente su respuesta. Se habla de una mezcla entre agua y jugo, y el punto es la intersección entre ambos productos, indicando que la combinación está en ese punto.

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Tarea 2. Momento 2. Saber

analizar 

Un estudiante propone los siguientes elementos de la gráfica dando respuesta a la Tarea anterior y la profesora le dice que está bien , sin embargo, no podemos ver la explicación “

”

que realizó el estudiante.

T2.M2.2. ¿Cuál sería una posible explicación a su respuesta? Argumente suficientemente. A dif erenc ia de la gráfic a ant erior, en la presentada por el estudiante, se cambia el orden del agua y del jugo, donde ahora en el eje de las abscisas representa los vasos de  ju go y el ej e de la s or de na da s lo s va so s de agua, apareciendo la mezcla (intersección entre agua y jugo) cargada a la derecha por la razón de que la cantidad de vasos de jugo es mayor a la de vasos de agua.

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Tarea 2. Momento 3. Saber

prof undizar 

T2.M3.1. Dadas las cuatro propuestas aleatorias correspondientes a la Tarea 1. Mom ento 3, bosqueje en un sistema cartesiano de referencia común las representaciones de cada una de las jarras propuestas.

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T2.M3.1. En la gráfica de abajo se colocaron las propuestas de dos personas diferentes una en color azul y otra en color rojo, ¿ambas propuestas son adecuadas según lo que se solicita en la pregunta anterior? Argumente su respuesta.

La propuesta adecuada es la que se marca con color  azul, ya que debe representar, si se unieran los puntos, una línea recta al existir proporcionalidad en la mezcla de los productos.

T2.M3.2.   Después de analizar las tareas que desarrolló hasta el momento, ¿cuáles objetos matemáticos (propiedades, definiciones, conceptos, procedimientos, entre otros) están involucrados en el diseño de la situación? Los objetos matemáticos manejados hasta el momento son: porcentajes plano cartesiano, semejanzas, proporciones, línea recta, pendiente de una recta, fracciones equivalentes y comparaciones entre dos o más proporciones. T2.M3.3. Describe, en términos del fenómeno estudiado (las mezclas): a.   ¿Qué representan los objetos enunciados en la pregunta anterior? Justifique ampliamente su respuesta. Las operaciones, procedimientos e identificación de la problemática a resolver, que nos permiten de manera sencilla, darle solución a lo solicitado en las tareas y lograr  la contestación de las mismas.

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b. ¿Es válido unir los puntos con segmentos?, ¿qué elementos se deben tener en cuenta para responder esta pregunta? Argumente amplia y suficientemente su respuesta. Como lo mencionaba en una pregunta anterior, el unir los segmentos nos permite encontrar la respuesta de manera correcta, al permitirnos determinar  si se forma o no una línea recta, por lo que estamos hablando de encontrar la proporcionalidad de las mezclas.

c. ¿Qué representaría un punto en el tercer cuadrante? ¿Y en el segundo? Argumente ampliamente su respuesta. La intersección donde podemos encontrar la mezcla entre la utilización de vasos de agua y vasos de jugo, para la preparación de la naranjada, como lo hizo Martín.

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T area 3 Tarea 3.1. Momento 1. Saber

hacer 

Se representan en dos sistemas de referencia, ver figuras siguientes, las gráficas que relacionan cantidad de vasos de agua con cantidad de vasos de jugo en distintas jarras:

T3.1.M1.1.  ¿Cuál de las dos gráficas representa al fenómeno de las mezclas cuyo sabor  a naranja es más intenso? ¿Por qué? Si consideramos que los vasos de jugo están representados en el eje de las abscisas, sería

la segunda grafica

en

la que

encontraremos

mayor  

concentrado de jugo.

T3.1.M1.2.  ¿Qué elemento(s) permite(n) la toma de decisión? Argumente ampliamente la respuesta. Que entre más vasos de jugo se consideren, el concentrado de la naranjada será mayor, por la cantidad utilizada. Siendo mi principal argumento para tomar la decisión.

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T3.1.M1.3.  Elabora una conjetura sobre la información brindada por la gráfica respecto al sabor de la mezc la de la jarra. Argumente la respuesta. La grafica brindaría mayor información, si mencionara qué representa a las abscisas y qué representa a las ordenadas, para ser más concretos en nuestras respuestas y de esta manera dar la respuesta correcta sobre el concentrado de la mezcla de la jarra.

Tarea 3.1. Momento 2. Saber

analizar 

 A continuación, se proponen posibles respuestas de la Tarea anterior. Respuesta 1. El sabor es menos intenso en las jarras correspondientes a la Gráfica 1 porque su inclinación es mayor, por tanto, su pendiente es mayor, entonces, está más cerca del eje de la cantidad de vasos de agua. Es decir, su sabor es más aguado.

T3.1.M2.1.   ¿Es satisfactoria la respuesta para usted? ¿Qué elemento(s) se está(n) considerando para tomar la decisión? Justifique ampliamente su decisión. De acuerdo a como considere el orden de los vasos tanto de agua como los vasos de jugo, es decir dejando el jugo en el eje de las abscisas y el agua en el eje de las ordenadas, para mi seria satisfact oria la respuesta.

Respuesta 2. El sabor es el mismo en ambas gráficas porque las pendientes son iguales.

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T3.1.M2.2.   ¿Es satisfactoria la respuesta para usted? ¿Qué elemento(s) se está(n) considerando para tomar la decisión? Justifique ampliamente su decisión. C on ti nu an do co n l a r ef le xi ón d e l a p re gu nt a a nt er io r, pa ra m í n o e s satisfactoria la respuesta, en primera porque las pendientes no tienen la misma inclinación, y en segunda, porque la segunda grafica tiene mayor  concentrado de jugo, al verse reflejado que se están considerando más vasos de jugo que de agua.

Tarea 3.2. Momento 1.  Saber

hacer 

Considere el siguiente par de gráficas propuestas en la Momento 3. A1.

Con estos elementos y utilizando los instrumentos habituales para la medición de ángulos, ¿considera que es posible responder a la siguiente pregunta?: ¿Cuánto mide el ángulo de inclinación de cada una de las rectas? T3.2.M1.1. Argumente ampliamente su respuesta. Podemos determinar la pendiente si contamos con las medidas tanto en el eje de las abscisas como en el eje de las ordenadas, utilizando fórmulas como la de la pendiente, distancia entre dos puntos y también con las razones trigonométricas.

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Tarea 3.2. Momento 2. Saber

analizar 

 A continuación, se proponen posibles respuestas. Respuesta 1. El ángulo de inclinación es mayor en la Gráfica 1 porque la abertura desde el eje x hasta la recta es mayor. T3.2.M2.1.   ¿Es satisfactoria la respuesta para usted? ¿Qué elemento(s) s e está(n) considerando para tomar la decisión? Justifique ampliamente su decisión. Efectivamente la abertura es mayor desde el eje de las x, y lo demostraríamos con la utilización de alguna de las formulas antes mencionadas, principalmente con la de la pendiente. Conclusión satisfactoria la respuesta.

Respuesta 2. Los ángulos de inclinación son iguales, porque el sabor es el mismo. T3.2.M2.2.   ¿Es satisfactoria la respuesta para usted? ¿Qué elemento(s) s e está(n) considerando para tomar la decisión? Justifique ampliamente su decisión. No es satisfactoria la respuesta, porque la inclinación no es la misma y por  consecuencia el sabor del jugo, será diferente.

Tarea 3. Momento 3. Saber

prof undizar 

Dadas las siguientes representaciones para cada una de las jarras A, B y C, en dos sistemas de referencia diferentes:

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T3.M3.1. Considerando el fenómeno, ¿cómo es la intensidad del sabor de las mezclas de las jarras representadas en la Gráfica 1 respecto del sabor de las jarras representadas en la Gráfica 2? Argumente su respuesta. De acuerdo a la reflexión que he venido manejando y considerando a los vasos de jugo en el eje de las abscisas, la intensidad del sabor de la m ez cl a pr es en ta da e n la g rá fi ca u no , s er á m en or a l a p re se nt ad a en la gráfica dos, donde se observa mayor concentración de jugo, dando como consecuencia un sabor más intenso.

T3.M3.2. ¿Cómo es la pendiente de la recta que se forma con los puntos dados en la ¿Gráfica 1 respecto a la de la Gráfica 2? Argumente su respuesta. La pendiente de la gráfica 1 es mayor que la presentada en la gráfica 2, esto por la diferencia de inclinación que presenta una en comparación a la otra.

T3.M3.3. ¿Cómo son los ángulos de inclinación de las rectas?, ¿podría dar un valor  numérico aproximado? Observando ambas gráficas, se muestra que las pendientes son positivas, porque van de manera ascendente de izquierda a derecha, y los ángulos aproximados serian, para la gráfica 1 60° aproximadamente y el aproximado de la gráfica 2 sería de 15°.

T3.M3.4. Recuerden la fórmula del ángulo de inclinación de una recta (

y2 −y1

=

),

X2−X 1

Calculen con ella el ángulo de inclinación de las rectas que forman los puntos representados en cada gráfica. ¿Cómo son entre sí? Argumente su respuesta. (Confronte este resultado con el enunciado anterior). Si se realiza por el método de la tangente se obtiene para ambas 63°, este resultado se aproxima al número de grados señalados en la pregunta anterior.

T3.M3.5. ¿Lo analizado en este último apartado contradice o confirma algunas de las respuestas dadas anteriormente por usted? ¿En qué casos? ¿Por qué? Más que contradecir confirma algunas de las respuestas proporcionadas en cuestiones anteriores, tanto en la medición de ángulos, como en el concentrado de naranja, en la mezcla realizada para cada gráfica.

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T area 4 Tarea 4. Momento 1. Saber

hacer 

Un barril tiene la siguiente mezcla: por cada cinco litros de agua se colocan dos litros de concentrado de naranja, la cual se repartirá en dos recipientes vitroleros. Para llenar los vitroleros se usa un medidor de un litro con el que se toma el preparado del barril grande. (Considérese el preparado con una distribución homogénea).

T4.M1.1. ¿Qué proporción del litro será de concentrado? Explique s u respuesta. El concentrado quedaría de 2/7 del total, por la razón de que se utilizan 2 litros de concentrado y 5 de agua, lo que acumulan 7 litros totales, y del total 2 son de concentrado. En el vitrolero verde, que estaba vacío, se coloca 21 veces el contenido de un medidor y se llena. T4.M1.2. En el vitrolero rojo sólo se llega a colocar 14 veces el contenido de un medidor  hasta llenarse. Si ambos vitroleros tienen la misma capacidad, ¿cuáles pueden ser los motivos por los que se llenó antes uno que otro? De acuerdo a la información proporcionada de último momento, el vitrolero rojo ya contaba con liquido de aproximadamente 7 ve ces el contenido. Nos informan de último momento que el vitrolero tenía líquido antes de comenzar con el llenado descrito, pero no se sabe si tenía agua, concentrado de naranja o la mezcla del preparado, ¡vaya dilema! T4.M1.3. Bosqueje en un mismo plano cartesiano las gráficas que representen cada una de las opciones que se enunció en el párrafo anterior (elija las variables que están relacionándose y coloque las etiquetas en el plano cartesiano).

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T4.M1.3.   ¿Cómo son entre sí los sabores de las naranjadas en cada una de las situaciones planteadas? Los sabores de las naranjas debe ser el mismo para cada una de las situaciones planteadas, ya que es proporcional en todos los casos la mezcla utilizada.

Tarea 4. Momento 2. Saber

analizar 

 Ante la pregunta del momento anterior, una de las respuestas fue: Tienen el mismo sabor porque son paralelas, es decir, tienen igual pendiente. T4.M2.1. Reflexione ampliamente sobre el sentido y las implicaciones de esta afirmación. Es correcta la respuesta, al ser la pendiente igual, prevalece el mismo sabor en cada una de las situaciones planteadas.

Tarea 4. Momento 3. Saber

prof undizar 

T4.M3.1. El vitrolero tiene 21 litros, indique cuál es la relación de agua y de jugo en los siguientes casos. Si al vitrolero le vertimos 14 litros de preparado y el l í qui do del i ni cio era

…

…

…

 concentrado de naranja.  preparado de  jugo.

…

…

gua.

a

Si al vitrolero le vertimos

…

17.5 litros de preparado y el l í qui do del i ni ci o era

…

10/21

12.5/21

4/21

5/21

14/21

17.5/21

T4.M3.2.  ¿Qué se puede asegurar respecto a la intensidad del sabor de la naranjada a medida que se agrega un litro de preparado de jugo del barril, con el medidor, en cada vitrolero? La cantidad de concentrado cambia para cada uno de ellos a medida que se coloca un litro de preparado en los respectivos vitroleros, pero la gráfica y la pendiente para cada una de las situaciones es la misma, la intensidad del sabor  en cada uno de los recipientes permanece igual.

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T4.M3.3.  ¿Qué es lo que se mantiene constante en los tres casos, en términos del fenómeno y en términos de su representación? Argumenta tu respuesta. L a pr op or ci on al id ad , l a pe nd ie nt e y su á ng ul o d e in cl in ac ió n, c om o l o mencionaba con anterioridad, al tener la misma proporcionalidad, se daría una línea recta si se unieran los puntos.

T4.M3.4.  ¿Qué es lo que cambia en los tres casos, en términos del fenómeno y en términos de su representación? Argumenta tu respuesta. La proporcionalidad y en su caso el porcentaje utilizado para cada litro preparado.

Reflexión final para el pr ofesorado En el transcurso de la  situación de aprendizaje  iniciamos una confrontación entre las nociones involucradas en un fenómeno lineal proporcional y uno lineal no proporcional (o también denominado, afín). ¿Podrían realizar un comparativo de las características de cada uno de los fenómenos? ¿Cómo sería? Ejemplos: 1. ¿Cómo está simbolizado el sabor en la representación (gráfica o algebraica) de una relación lineal proporcional?, ¿cómo lo está en una relación lineal no proporcional? Se simboliza con la ecuación de la recta, en la cual se involucran dos variables, que de acuerdo a la proporción otorgada, obtendremos pendientes y segmentos de rectas, y además se estaría realizando una representación matemática.

2. ¿Cómo es el sabor a medida que se va llenando el vitrol si el contenido vertido es igual en todo momento? El sabor no variara, es decir, seguirá siendo constante, por la razón de que la proporción es la misma en todo momento.

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