S 13 Inecuaciones
February 15, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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CEPUNT
MATEMÁTICA
“ DESIGUALDAD DESIGUALDADES ES – INECUACIONES INECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS – SISTEMAS SISTEMAS DE ECUACIONES
1.
Desigualdad: Desigualdad: 1.1 Definición: Definición: Se conoce con el nombre de desigualdad a toda proposición donde donde aparece la relación de orden orden “”, “”. ”. 1.2 1.2 Te Teoremas oremas Fundament Fundamentales ales de las De Desig sig ualdades: a, b Se cumple:
R
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
a < ⇒ ± < ± < Si a0 ⟹ 0) ó (a 0 b < 0)
9)
Si
10) 11)
b>1 ∧ b > b ⟺ x > 0 < < 1 ∧ b < b ⟺ x >
12) 13)
b 0, a2> b b 0, a2 b
[a > b ó a < - b ] [ a b ó a - b ]
14)
b 0, a2 b
[ - b a b ]
15)
b > 0, a2< b
[- b 0, b > 0 2 2 2 b < x < a , a < 0, b < 0
17)
Si a < x < b
18)
Si a < x < b, a < 0 , b > 0 al elevarlo al cuadrado siempre el lado izquierdo empieza en CERO y en el lado derecho se
⇒
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escribe el máximo valor entre a 2 y b2 pero con todo su desigualdad; es decir:
⇒0
Si a < x < b
x2 < max(a2 ; b2 )
1.3 Intervalos: Intervalos: Son subconjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones. Se representa en la recta real. Clases Cla ses de Intervalos: 1) Intervalo Ce Cerr rrado: ado: [a, b] = {xR / a x b} b} su representación gráfica es: a x
-
a
con lo cual: x
-
0
b +
b
[ a ; b] = {xR / a < x < b} b}
2)
Interva Intervalo lo Abierto:
3)
Intervalo Se Semiabi miabi erto po porr la Derecha: Derecha: [a, b> = {xR / a x < b}
4)
Intervalo Se Semiabi miabi erto po porr la Iz Izqui qui erda: = {xR / x a} a} = {xR / x > a} 0 ]
4.
Inecuacio Inecuaciones nes de Se Segun gun do Grado: Grado: Son aquellas que pueden reducirse a la forma: P(x) = ax 2 b x c 0 ó [ P(x) 0, P(x) < 0, P(x) >0 ] donde: a, b, c
R, a 0
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4. 4.1 1 Mé Método todo s de resoluc ión : 4.1. 4.1.1 1 Mé Métod tod o de Fa Facto cto rizació rización: n: Cuando un trinomio de la forma ax 2 bx c , tiene por discriminante un cuadrado perfecto, se dice que es factorizable.
△= 2 −4=49
Ejemplo: Resolver Ejemplo: Resolver 3x2 – 11x – 11x + 6 < 0, Solución (3x – (3x – 2)(x 2)(x – – 3) 3) < 0
2
3x-2>0 x-3 x < 3 3
3x-20
3
=
2/3
x <
2
x < x > 3
3 2 3
, 3> x
2/3 2
2/3
3
= x < , 3>
3
3
4.1. 4.1.2 2 Mé Méto todo do de Compl Completar etar Cuadrados: Este método se utiliza cuando el trinomio no se puede factorizar de manera sencilla, consiste en transformar el trinomio P(x) = ax2bx c a la forma: 2
b P(x) = a x k a Ejemplo: Resolver Ejemplo: Resolver 2x2 + 6x – 6x – 9 9 < 0 Solución 2(x2 + 3x) – 3x) – 9 9 < 0
3 x 2 x
2
<
27 4
3 3 3 2
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,
3
2
9 9 x2 + 3x < x < + 2 2 2 4 9
x
3 2
27
0 ( negativa) en todos los intervalos donde aparezca el signo (-)
d.
Si la inecuación corresponde
b.
a 0 0 a 0 entonces los intervalos abiertos determinados en el paso c se cierran, pero solamente para aquellos puntos críticos que no vuelvan cero al denominador. Ejemplo: Resolver x Ejemplo:
1
x
Solución Solución x
1 x
– x –
1 x
0
x2
x
1
0
( x 1 )( x 1) x
0
sus valores críticos son: -1, 0, 1 Equipo de Matemática
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MATEMÁTICA
C.S. = x 5.
-
+
+
[-1, 0> [1, +>
Inecuacio Inecuaciones nes Fraccio narias: Son expresiones de la forma:
P( x ) Q( x )
0ó [
≤, ]
P(x) y Q(x): monomios o polinomios ≠ 0
Entonces: 1er. Caso: 2do.Caso:
Q(x )2 P( x)
Q( x ) ax
b
cx
ax a' x
2
2
d
c
b' x
Ejemplo: Resolver Ejemplo: Resolver
2
0 P(x).Q(x) 0,
0 ó
bx
⟹ [Q(x)] > 0
ax
b
cx
d
≤ 0 0 2
0
ó
ax bx c a' x
c'
( x 2) 2 ( x 1) x2
2
≤ 0 0
b' x c'
>0
Resolución:
( x 2) 2 ( x 1)
>0
(x – 2)(x 2)(x + 1) > 0 P.C. = -1, 2 (x –
x2 -
+ -1
C.S. = x
+ 2
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6.
MATEMÁTICA
Inecuacion es con Ra Radic dic ales: Sean
____Si “n” impar impar___________ ___________
______Si “n” par_________ a)
n
b)
n
c)
n
x
y n y 0 ≤ x ≤ y -5/3 x –6
-6
C.S. = x 8.
-5/3
-4/5
[-4/5, +>
Inecuacio Inecuaciones nes Expon enciales enciales:: Las inecuaciones exponenciales toman la() siguiente ()forma: ó [ ] Donde: P(x) y Q(x) son funciones de “x” “x” Caso Ca so I:
≤ Si:
≥, >, <
> 1
() ≤ () ⟺ () ≤ () () > () ⟺ () > ()
Caso II: Si:
0 < < 1
() ≤ () ⟺ () ≥ () () > () ⟺ () < ()
9. 9.Ine Inecuacion cuacion es con Má Máximo ximo Ente Entero: ro:
⟦⟧ = ⟺ ⟦⟧ =⁄ ≤ } ⟺ ≤ < 1 Equipo de Matemática
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MATEMÁTICA
Propiedades: a) Si: b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m)
⟦⟧ ≤ < ⟦⟧ 1, ∀ ⟦⟧ ≥ ⟺ ≥ , ∀
⟦⟧ < ⟺ < , ∀ ⟦⟧ ≥ ⟺ ≥ , ∀ ⟦⟧ ≤ ⟺ < 1, ∀ Si ⇒ ⟦ ⟧ = ⟦ ⟧ ⟦⟧ ⟦⟧ < ⟦ ⟧, ∀ ,, ∀: ⟦⟧ ⟦−⟧ = { 0 , si x ϵ Z ∀ x ϵ R, x − 1 < ⟦x⟧ ≤ x− 1 , si x ϵ (R − Z) Si: y > ⇒ ≥ ⟦x⟧ 1 > ⟦x⟧ ∀ y ϵ Z ∧ x ϵ R Si: x ≤ y ⇒ ⟦x⟧ ≤ ⟦y⟧ ∀ x, x,yy ϵ R Si: n = 1 − ⟦x⟧ ⇒ 0 ≤ n < 1 Si: x ϵ R, x = y n, n, 0 ≤ n < 1 ⇒ = ⟦x⟧
PROBLEMAS DE APLICACION 1.
Al res ol v er: A)
1 ; 3
3x-2
-
5x-3
2
B)
3
1 2
;
x -1 12
, el conjunto solución es:
C) x -1
D) x
9 4
Resolución: Siendo el .M.CM. (2, 3, 12) = 12; un número positiv positivo, o, el signo de la desigualdad no se al altera tera al efec efectuar tuar las operaciones indi indicadas. cadas. 6 (3 x – x – 2) 2) – – 4 4 (5 x – x – 3) 3) x – x – 1 1 18 x – x – 12 12 – – 20 20 x + 12 x – x – 1 1 Equipo de Matemática
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MATEMÁTICA
- 2 x x – 1 – 1 multiplicando por (-1) , obtenemos : 1
1
3
3
- 3 x -1 3 x 1
x x ;
(x+1)2 +(x –1) –1)2+(x –2) –2)2 3(x+1)(x – –1), 1), el conjunto solución es:
2. Al resolver: A) x
CLAVE : A
–6 –6
B) [-4/5, +> C) [
9 4
; D)
E) <
2 3
, 3>
Resolución: Efectuando las operaciones indicadas obtenemos: x2 + 2x + 1 + x 2 – 2x – 2x + 1 + x 2 – 4 – 4 x + + 4 3 x2 – 3 – 3 Simplificando: 3x2 – 4x – 4x + 6 3 x2 – 3 – 3 - 4 x - 9 multiplicando por (-1) 4 x 9 x
9 4
Gráficamente:
-
9
0
+
4
x [
9
;
CLAVE: C
4
3.
Dado el siguiente sistema 2x-3
-
2
4
5x - 3 3
3 x -1
-
8 x -1 4
1
….... ()
-1 ….... (ß) -1
Su conjunto solución es: Resolución: Resolviendo cada inecuación: De (): M.C.M.. (4, 2, 1) = 4 2 x – x – 3 3 – – 2 2 (3 x – x – 1) 1) 4 Equipo de Matemática
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MATEMÁTICA 2 4 - 4x 5
2 x – x – 3 3 – – 6 x +
5
x -
4
De (ß): m.c.m. (3, 4, 1) = 12 4 (5 x – x – 3) 3) – – 3 3 (8 x – x – 1) 1) -12 20 x – x – 12 12 – – 24 x + 3 -12 - 4 x -3 4 x 3
x
3 4
En la recta real:
5
-
4
3
0
4
+
Como no hay intersección de las soluciones de ( ) y ()
x
4. La cantidad de números nat naturales urales satisface satisfacen n la in inecuación ecuación : 5
A) 5
B) 7
5 x 13
3
2
7
C) 3
8 x 1
27
D) 4
4
es: E) 5
Resolución : Transformamos la inecuación, para que tenga la misma base, tendremos : 5 x 13
3
10
3
8 x 1
3
5 x 13 10
Equipo de Matemática
28
24x 3
3
24 x 3 28
28
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MATEMÁTICA
28(5x+13) > 10(24x+3) x< 3.34
∈
x donde hay solamente 3 números naturales que satisfacen la inecuación. CLAVE C 5.
El conjunto solución de la inecuación 5
x
4
4x
x
A) [-3,-2]
B) (-3,-2]
2
11x 1
8
2 x es:
C) [-3,-2)
D) (-3,-2)
E) (-3,-6)
Resolución: Pasando 2-x al primer miembro y dando m.c.m. ; obtenemos 5 4 2 ( x5 4 x4 11x2 8) (x2 x 2) x 4 x 11x 8 ( x 2) 0 0 x 1 x 1
5
x
4 x4
10 x2 x 1
x
6
0
( x 1)2 (x 1)(x 2)(x 3) 0 x 1
( x 1)2(x 2)(x 3) 0
Luego, la inecuación depende de : (x+2)(x+3) < 0 x1 = 2 y x2 = -3 (valores críticos)
-
+
+
-3
-2
Obviamente la solución está dada por el intervalo : (-3, -2) CLAVE D D Equipo de Matemática
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MATEMÁTICA
6. El conjunto solución de : 4
2
5 x
x 4
x
16
4
x
36
, es :
16
A) U U C) U
B) [-3,-2] U [2,3] D)
E)
Resolución : De la desigualdad : 4
x
4
x
x x
2
2
2
5x
16
x 4 x
2
9
2
36
0
0 4
4
; pero x2 + 4 siempre positivo de modo
que no constituy constituye e restricción alguna; se puede anul anular. ar. x 3 x 3 x 2 x 2
0
(x-3)(x+3) (x-2)(x+2) < 0 Puntos críticos : -3, -2, 2, 3
-3
-2
x U
Equipo de Matemática
2
3
CLAVE C
199
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